第4讲 时钟问题 A版 (2)

时钟问题详细讲解我只是在论坛看到相关内容,并加以整理：一、重合问题1、钟表指针重叠问题中午12点,时针与分针完全重合,那么到下次12点时,时针与分针重合多少次（2006国家考题）A、10B、11C、12D、13 答案B2、中午12点,秒针与分针完全重合,那么到下午1点时,两针重合多少次A、60B、59C、61D、62 答案B讲讲第2题,如果第2题弄懂了第1题也就懂了给大家介绍我认为网友比较经典(de)解法：考友1.其实这个题目就是追击问题,我们现在以钟表上(de)每一刻度为一个单位,这时秒针(de)速度就是是分针速度(de)60倍,秒针和分针一起从12点(de)刻度开始走,多久分针追上时针呢我们列个方程就可以了,设分针(de)速度为1格/秒,那么秒针(de)速度就是60格/秒,设追上(de)时候路程是S,时间是t,方程为(1+60)t＝S 即61t＝S,中午12点到下午1点,秒针一共走了3600格,即S(de)范围是0<S<3600,那么t(de)范围就是0<t<3600/61,即0<t<,因为t只能取整数,所以t为1～59,也就是他们相遇59次.第1题跟这个思路是一样(de),大家可以算算给大家一个公式吧 61T＝S （S为题目中最小(de)单位在题目所要求(de)时间内所走(de)格数,确定S后算出T(de)最大值就知道相遇多少次了）如第1题,题目中最小单位为分针,题目所要求(de)时间为12小时,也就是说分针走了720格T(max)=720/,取整数就是11.1、钟表指针重叠问题中午12点,时针与分针完全重合,那么到下次12点时,时针与分针重合多少次A、10B、11C、12D、13考友2.这道题我是这么解,大家比较一下:解:可以看做追及问题,时针(de)速度是:1/12格/分分针(de)速度是:1格/分.追上一次(de)时间=路程差/速度差=60/(1-1/12)=720/11分从12点到12点(de)总时间是720 分钟,所以重合次数n=总时间/追上一次(de)时间=720/720/11 次二、关于成角度(de)问题,我推荐个公式及变式给你：设X时时,夹角为30X , Y分时,分针追时针,设夹角为A.（请大家掌握）钟面分12大格60小格每一大格为360除以12等于30度,每过一分钟分针走6度,时针走度,能追度.1.30X－或是360－表示绝对值(de)意义（求角度公式）变式与应用2.30X－=A或是360－=A （已知角度或时针或分针求其中一个(de)公式.3.由变式2.可以变为30×〔(X-Y/5)＋Y/60]=A或30×｛〔（X+12)-Y/5]＋Y/60}=A说明变式3.实质上完全等同变式2.例题3〔2000年国家考题〕某时刻钟表时间在10点到11点之间,此时刻再过6分钟后(de)分针和此时刻3分钟前(de)时刻正好方向相反且在一条直线上,则从时刻为（）点15分点19分点20分点25分思路1.设时刻正好方向相反且在一条直线上(de)分针为Y,用变式2解出30×10－=180 解出Y=21又9/11分,Y-6=15又9/11分,本题最接近A.(说明此国考题不够严谨）思路2.根据钟表(de)特点：首先看时针在10点到11点之间,那么根据“正好方向相反且在一条直线上”分针必在4点到5点之间（相对时针而言）,那么在6分钟以前分针必在3点附近（相对时针而言）,运用排除法选A (说明到这里基本规律已完毕,在考题中已经可以应付了,后面(de)讲解作为大家了解,我也是从网络搜索(de),只是前面知识(de)运用而已)学习导航知识网络时钟是我们日常生活中不可缺少(de)计时工具.生活中也时常会遇到与时钟相关(de)问题.关于时钟(de)问题有：求某一时刻时针与分针(de)夹角,两针重合,两针垂直,两针成直线等类型.要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针(de)运动规律和特点.时钟盘面被等分为12个大格,那么每个大格之间(de)夹角为360°÷12=30°.每个大格又被分成5个小格,每个小格之间(de)夹角为30°÷5=6°.在钟表上时针与分针是同时运动(de),它们(de)关系是：时针走1小时转过30°,分针转过360°,恰为一个圆周.重点·难点在时钟问题中求解两针重合、两针垂直、两针成直线等问题也都是对求两针夹角问题(de)扩展和延伸.因此只要能够透彻地分析、解答了两针夹角问题,其他问题则有章可循.学法指导解这类问题时,通常分别考虑时针与分针(de)转动情况,再根据条件综合在一起,然后求解,另外,还需要注意全面考虑多种可能(de)情况.经典例题例1 如图1,在时钟盘面上,1点45分时(de)时针与分针之间(de)夹角是多少思路剖析将时钟盘面分成12个分格,那么在1点45分,分针必落在9这个位置上,而时钟针不在1这个位置上,而是在1和2之间(de)某个位置上,也就是要求出从1点到1点45分,45分钟(de)时间时钟转过(de)角度.时针走60分钟转过360°÷12=30°,那么走45分钟,转过 .而且从1点45分时时钟盘面上时针、分针(de)位置易知,从9点整到13点整之间包含有4个大格.那么此时时针与分针(de)夹角是这两部分角度(de)和.解答点津或用变式2. 360-（30×1－×45）＝°（思考为什么用360来减,当然在考题中选择题答案是唯一(de)好办）对于求两针夹角(de)问题,我们都可以按照例1(de)思路求解.从此题(de)求解中,可以总结出如下(de)规律性结论：在1点45分时,两针夹角：,那么在a点b分时,两针夹角：,为了避免a<b÷5(de)情况（分针在时针前）,通常a采用24时计时法；若a>b÷5（分针在时针后）,则a采用12时计时法.如果所求(de)角度是大于180°(de),那么需与360°求差后求出(de)值为最后结果.例2 从5时整开始,经过多长时间后,时针与分针第一次成了直线思路剖析时针与分针直线也就是说两针(de)夹角为180°.从5时整开始时,时针在一个小时之内从5运转到6,分针从12开始在一个小时之内会旋转360°,必然在此期间有一个时刻时针与分针成了直线,从图2中易知此时刻必然落在11与12之间.此题是已知两针夹角求时间(de)问题,与例1正好是个相反(de)过程.我们仍可按照例1得出(de)规律求解.当两针成直线时,时间为5点几分,那么a=5,由于分针位置在11至12之间,则b>55,那么b÷5>11,a<b÷5,应采用24小时计时法.只须解一个方程,便可求解此题.解答时针与分针第一次成直线,它们(de)夹角为180°,设从5时整开始,经过b分后,时针与分针第一次成直线,这时分针落在11与12之间,即b÷5>11,而a=5<b÷5,则采用24时计时法,可得方程：那么可知在5时60分时,即6时整,两针成直线.或者360－〔30×5－×y〕＝180解出y＝60（变式1.好理解些）以下类似略了答：从5时整开始,经过60分钟后,时针与分针第一次成直线.例3 从6时整开始,经过多少分钟后,时针与分针第一次重合思路剖析时针与分针(de)重合,在第一次它们(de)夹角为360°,那么解决两针重合问题(de)方法与求解两针成直线问题(de)方法类似.从6点整开始,一个小时之内,时针从6转到7；分针从12开始转过360°,在此期间必有一时刻两针重合.解答重合时两针都落在6与7之间,因此b÷5>6,而a=6<b÷5,则采用24时计时法,经过b分钟后两针重合,得方程：例4 在8时多少分,时针与分针垂直思路剖析在8时多少分时,两针垂直应有两种情况.如图3和图4所示.图3是分针在时针后,此时(de)垂直夹角是90°.图4是分针在时针前,此时(de)垂直夹角是270°.确定了夹角之后,可根据例1得出(de)规律进行运算.解答分为两种情况：（1）分针在时针后,a=8,a>b÷5,可采用12时计时法,设从8时整开始,经过b1分后,时针与分针第一次垂直,夹角为90°.得方程：（2）时针在分针后,a=8,a<b÷5,可采用24时计时法,设从8时整开始,经过b2分后,时针与分针第二次垂直,夹角为2700.得方程：由于求得b2=60分,那么经过60分钟,即在9点钟时,两针第二次垂直.但题意要求是在8点几分时垂直,所以此种情况可舍.答：在8小时点分时,时针与分针垂直.例5 如图5所示(de)时间是8点20分差一些.如果时针和分针同6(de)距离正好相等,试问是几点几分思路剖析由于时针和分针同6(de)距离正好相等,从图中可知,时针和分针与6(de)距离都是两个大格再加上部分大格.注意到时针多走(de)部分大格是时针与8(de)距离,即在几分钟内时针走(de)格数,而分针多出(de)部分大格是分歧针与4(de)距离,即40个大格减去分针几分钟内走(de)格数.而这两部分是相等(de).由于分针走5分钟走1个大格,那么1分钟就走个大格,而时针60分钟走1个大格,那么1分钟走个大格.由此可以将经过几分钟后时针与8(de)距离和分针与4(de)距离表示出来,得到方程,进而求出结果.解答发散思维训练1.求下面各种盘面上(de)时针与分针之间(de)夹角.（1）3时25分；（2）8时40分；（3）9时12分2.从9点整开始,经过多少分,在几点钟,时针与分针第一次成直线3.小明同时开动两个钟后发现,其中(de)一个钟每小时慢3分钟,而另一个钟每小时快2分钟.过了一段时间他再去看这两个钟,发现那个快(de)钟正好比慢(de)钟快1小时,问小明过了多长时间去看(de)钟4.时针现在表示(de)时间是15时整,那么分针旋转2002周后,时针表示(de)时间是几时5.钟面上(de)时针和分针同时旋转,在相同(de)时间内分针旋转过(de)度数是时针旋转度数(de)多少倍6.一个指在九点钟(de)时钟,分针追上时针需要多少分钟7.时钟(de)分针和时针在24小时中,形成过几次直角8.时钟(de)分针和时针现在恰好重合,那么经过多少分钟可以成一条直线9.在一天(de)第六个小时,小月看了一下表,分针正接近时针,还差3分(de)距离就重合.求现在是几点钟请同学们做完练习后再看答案参考答案1.解：2.解：时针与分针第一次成直线,即它们(de)夹角为180.设从9点整开始,经过b 分后,时针与分针第一次成直线,这时针针必落在3与4之间,即b÷5<4,而a=9>b÷5,可采用12时计时法,得到方程：3.解：快(de)钟比慢(de)钟每小时快3+2=5（分钟）,1小时=60分钟,快出60分钟则需经过60÷5=12（小时）答：小明过了12小时去看(de)钟.4.解：分针旋转1周经过(de)时间是1小时,那么2002周后经过(de)是2002个小时,一天有24小时,2002÷24=83……10,即旋转2002周之后经过了83天,还多10个小时,而现在(de)时间是15时,15+10=25,25-24=1（小时）.答：当分针旋转2002周之后,时针表示(de)时间是1时.5.解：由于在相同(de)时间内分针旋转(de)度数是时针旋转度数(de)多少倍是一个固定(de)值,那么不妨看经过1个小时,两针各旋转多少度.1小时,时针旋转整个表盘(de),而分针旋转一周.因此有：1÷=12（倍）.答：相同时间内分针旋转过(de)度数是时针旋转度数(de)12倍.6.解：分针追上时针即两针重合,设在9点b分时两针重合,夹角为360°,采用24时计时法.7.解：因为时针在1小时内转动30°÷60=°,分针1分钟转动360°÷6=6°,设：经过x分后,时针与分针成为直角,那么有方程x×（6°°）=90°,故x=16.即：一天(de)开始时,两针都指12,两针在16分钟以后,第一次形成直角.所以,下式成立：16×n=60×24,故n=88.但是,两针到下次重合前,形成(de)角依次是90°、180°、270°、360°（相当于0°）,其中,符合题意(de)只有90°和270°二个.因此,24小时内,时针和分针可以形成44次直角.8.解：设时针和分针成一条直线,所需时间为x分钟,这样,分针在表盘上转动6x°,因为分针1分钟转6°,时针1分钟转°,时针则转了°,那么两针之差相差180°.6x°°=180°°=180°x=32答：经过32分钟两针可以成一条直线.9.解：一天(de)第六个小时,应从5点钟开始算起.设从5点开始经b分钟,时针和分针满足题中给出(de)要求.由于分针在一分钟里,顺时针旋转6°,而时针一分钟里旋转°,分针与时针相差3分,那么两针夹角6°×3=18°.a=5,a>b÷5,则采用12时计时法。

时钟问题是基于时针、分针等在钟面以不同的速度运动彼此不断重合、分离、重合、……的关系而出现的一类试题。

从运动的角度来看，时钟问题可以视为行程问题的变形，同时因为时钟特有的性质，在该类题目的运算中也有自己的特点。

时钟问题的一般类型就是时针和分针重合、成一直线或直角问题，实际上相当于时针和分针的追及问题或相遇问题。

也会有一些其他体型，如牵涉到弧度的问题，以及时钟快慢的问题等。

时针和分针间的距离一般用角度即两者的夹角来表示，如重合时距离为0，成一直线时距离为180度，成直角时距离为90度。

各自的速度也用角度来表示：时针每十二个小时绕钟面转一圈，每分钟走360÷12÷60=0.5度分针每小时绕钟面转一圈，每分钟走360÷60=6度速度差为6-5.5=5.5度/分钟速度和为6+5.5=6.5度/分钟例1：钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合?( )A．22又7/11分 B．21又9/11分C．19又8/11分 D．20又7/13分正确答案：B解析：4点整时，分针指向12，时针指向4，时针在前，分针在后；要两针重合，需要分针赶上时针。

分针与时针的速度差为5.5度/分钟，而4点时时针与分针相距120度，则分针需120÷5.5=21又9/11分钟能追上时针，此时两针第一次重合。

例2：从4时到5时，钟的时针与分针可成直线的机会有多少次？A.1次B.2次C.3次D.4次正确答案：B解析：两针成一直线，包括两针重合以及成180角两种情形。

4时整时，时针与分针成120度角；5时整时，时针与分针成150度角。

从4时到5时，时针与分针的角度先从120度减到0度（两针重合），再增加到180度（两针反向成一直线），再减少到150度。

可知，时针与分针有2次成一直线。

其中分别是4点21又9/11分和4点54又6/11分时刚好成直线，前面的时间是两针重合，后面的时间是两针成一直线。

例3：从时钟指向5点整开始，到时针、分针正好第一次成直角，需要经历( )分钟。

小学奥数：时钟问题讲义小学奥数：时钟问题讲义一、时钟问题第一部分（例题讲解）1、从时钟指向4点开始，再经过多少分钟，时针正好与分针重合？（迎新春初赛试题）2、有一个时钟，它的每一个小时慢25秒，今年3月21日中午12点它的指示正确。

请问，这个时钟下一次指示正确的时间是几月几日几点钟？（华杯赛初赛试题）3、钟面上3时过几分，时针与分针离3的距离是相等的，并且在3的两旁？（九章杯初赛试题）4、从三点开始，分针与时针第二次形成30度角的时间是三点几分？（迎春杯决赛试题）5、科技馆里有一只奇妙的钟，一圈共有20格，每过7分钟，指针就跳一次，每跳一次就要跳过9个格，今天早上8点整的时候，指针恰好从0到跳到9，问昨天晚上8点整的时候指针指着几？（小学奥林匹克总决赛试题）6、把一个时钟改装成一个玩具钟，使得时针每转一圈，分针就转16圈，秒针转36圈，开始时三针重合。

问在时针旋转一周的过程中，三针重合了几次？（华杯赛决赛口试题）7、甲乙两个钟表都不准确，甲钟每24小时，恰好就快了1分钟；乙钟每走24小时，恰好就慢了1分钟。

假定今天下午三点钟的时候，将甲乙两钟调好，指在正确的时间上，任其不停地走下去，问一下这两只钟表都同样指在三点钟表的时候，要隔多少天的时间？（江西八一杯决赛试题）8、王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每个小时快30秒，而闹钟却比标准时间每个小时慢30秒，那么王叔叔的手表一个昼夜比标准时间差几秒的时间？（迎春杯决赛试题）9、在10点和11点之间，钟面上时针和分针在什么时间垂直？10、一只钟的时针与分针均指向4与6之间，且钟面上“5”字恰好在时针与分针的正中央。

问这是什么时刻？11、一旧钟面上的两针（分针与时针）每66分重合一次，这只旧钟一天中比标准时间快或慢几分？12、小明家的挂钟走起来每小时慢1.5分钟，早上8时小朋把钟对准了标准时间，那么这只表走到中午12点的时候，标准时间是几时几分？13、3时后的某一刻，时针与分针的位置，恰好与5 时后（不超过6时）的某一刻时针与分针的位置互换，即分针在先前时针所在的位置上，时针在先前分针所在的位置上。

钟表问题&自动扶梯本讲内容时针分针的相遇追及时针分针的夹角扶梯与人的相遇追及行程问题一直都是在研究时间、速度和路程三者之间的关系，之前我们已经学习过一般相遇追及问题，流水行船问题，火车过桥问题以及环形跑道上的多人相遇追及问题，这里我们将继续学习相遇追及问题里面另外两部分：钟表上的相遇追及问题和自动扶梯上的行程问题。

钟表上的相遇追及问题：分针绕钟面一圈需要的时间是60分钟，所以分针每分钟走360606÷=；时针绕钟面一圈需要的时间是12小时，所以时针每分钟走36012600.5÷÷=；分针与时针的速度差是每分钟60.5 5.5-=。

【例1】 【基础】三点钟的时候时针和分针夹角是多少度？【分析】 因为三点钟的时候时针指向正“3”，分针指向正“12”，它们之间间隔是三大格，所以夹角是33090⨯=度。

【提高】八点钟的时候时针和分针夹角是多少度？【分析】 因为八点钟的时候时针指向正“8”，分针指向正“12”，它们之间的间隔是四大格，所以夹角是430120⨯=度。

【尖子】两点钟的时候时针和分针夹角是多少度？【分析】 因为两点钟的时候时针指向正“2”，分针指向正“12”，它们之间间隔是两大格，所以夹角是23060⨯=度。

第4讲行程问题—钟表【例2】 【基础】钟面上6点1分时，时针与分针的夹角是多少度？【分析】 我们注意到6点时，时针与分针夹角是180，1分钟以后，分针比时针多走了1 5.5 5.5⨯=，所以此时两针夹角是180 5.5174.5-=。

即钟面上6点10分时，时针与分针的夹角是174.5。

【提高】钟面上6点10分时，时针与分针的夹角是多少度？【分析】 我们注意到6点时，时针与分针夹角是180，10分钟以后，分针比时针多走了10 5.555⨯=，所以此时两针夹角是18055125-=。

即钟面上6点10分时，时针与分针的夹角是125。

【尖子】钟面上6点20分时，时针与分针的夹角是多少度？【分析】 我们注意到6点时，时针与分针夹角是180，20分钟以后，分针比时针多走了20 5.5110⨯=，所以此时两针夹角是18011070-=。

时钟问题（二）【知识要点】钟表——日常生活不可缺少的计时工具．它提醒人们定时起床、休息、工作、学习……当你认识了钟表时，你已经离不开它了．然而钟表上的许多问题对你来说可能还是个奥秘，要揭开这些奥秘，就必须更深的了解钟表知识．这一讲主要研究与时钟有关的时间问题。

【例题选讲】例1．下面是某火车站列车发车及到达终点的时刻表．你能按照规律，说出第五次列车起点站发车时刻和到达终点的时刻吗？并计算出这条线路从起点到终点全程时间．例2．已知光的传播速度是每秒30万千米，太阳离地球1亿5千万千米。

光从太阳到地球要用几分钟？（得数保留一位小数）例3．早晨7点10分，妈妈叫醒爱华，让他穿衣准备上学。

可爱华看到镜中的表的指针还没有到起床的时刻，问：爱华认为当时是什么时刻？例4 小明晚上10点整将手表对准，可早晨8点到校时却迟到了20分钟．那么，小明的手表每小时慢几分钟？例5．钟面上7点整，再过多少分钟时针与分针首次重合？过多少分钟时针与分钟首次成直角？例6．李叔叔下午要到工厂上3点的班，他估计快到上班的时间了，就到屋里去看钟，可是钟停在了12点10分。

他赶快给钟上足发条，匆忙中忘了对表就上班去了，到工厂一看离上班时间还有10分钟。

夜里11点下班，李叔叔回到家一看，钟才9点钟。

如果李叔叔上、下班路上用的时间相同，那么他家的钟停了多长时间？【课内练习】1．在2001年3月23日，坠入南太平洋的俄罗斯“和平”号空间站，15年来围绕地球共转了87500圈，大约多少分钟绕地球一圈？2．早晨小亮从镜子中看到表的指针指在6点20分，他赶快起床出去跑步，可跑步回来妈妈告诉他刚到6点20分。

问：小亮跑步用了多长时间？3．观察在镜面反射后的钟面的指针位置，说出这两个钟面所表示的时刻，并求出它们的时间差．4．一手表每小时快4分钟，下午2点整将表对准，当这只手表的指针指向晚10点整的时候，实际的时刻应是几点几分？5．钟面上9点整，再过多少分钟两指针第一次重合？6．钟面上的时刻为3点整，再过多少分钟时针与分针成平角？7．某钟面的指针指在7点的哪一刻时，时针和分针的位置与6的距离相等？答案【例题选讲】例 1 下面是某火车站列车发车及到达终点的时刻表．你能按照规律，说出第五次列车起点站发车时刻和到达终点的时刻吗？并计算出这条线路从起点到终点全程时间．解：观察上面时刻表，起点站发车时刻依次为：8点零5分、8点50分、9点35分、10点20分．也就是第一次列车与第二次列车发车时刻相隔时间为：8小时50分—8小时5分=45分钟第一次列车起点时刻与到达终点时刻相隔时间为：10小时10分—8小时5分=2小时5分第二次列车与第三次列车发车时刻相隔时间为：9小时35分—8小时50分因为1小时=60分钟，所以发车时刻相隔时间为：8小时95分—8小时50分=45分钟．第二次列车起点到终点经过的时间为：10小时55分—8小时50分=2小时5分钟同样的方法可以计算出第三次列车与第四次列车发车时刻相隔时间为45分钟，第三次列车与第四次列车行驶全程均需时间2小时5分钟．综上，找到规律：相邻两次列车间隔45分钟，每次列车行驶全程需2小时5分钟．结论：第五次列车起点发车时刻为：10时20分+45分=10时65分=11时5分到达终点的时刻为：11时5分+2时5分=13时10分这条线路从起点到终点全程行驶时间为2小时5分钟．例2已知光的传播速度是每秒30万千米，太阳离地球1亿5千万千米。

时钟问题一时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。

钟面的一周分为60格，分针每走60格，时针正好走5格，所以时针的速度是分针速度5÷60=121。

1、 现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？2、 在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？3、 在3点与4点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？4、 晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片，开始时分针与时针正好成一条直线，结束时两针正好重合。

这部动画片播出了多长时间？5 、 3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？6 、小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。

小明做作业用了多少时间？练习题：1、时针与分针在9点多少分时第一次重合？2、王师傅2点多钟开始工作时，时针与分针正好重合在一起。

5点多钟完工时，时针与分针正好又重合在一起。

王师傅工作了多长时间？3、8点50分以后，经过多长时间，时针与分针第一次在一条直线上？4、小红8点钟开始画一幅画，正好在时针与分针第三次垂直时完成，此时是几点几分？5、3点36分时，时针与分针形成的夹角是多少度？6、3点过多少分时，时针和分针离“2”的距离相等，并且在“2”的两边？7、早晨小亮从镜子中看到表的指针指在6点20分，他赶快起床出去跑步，可跑步回来妈妈告诉他刚到6点20分。

问：小亮跑步用了多长时间？时钟问题二任何一块手表或快或慢都会有些误差，所以手表指示的时刻并不一定是准确时刻。

研究不准确时钟有关的时间问题关键是抓住单位时间内的误差，然后根据某一时间段内含多少个单位时间，就可求出这一时间段内的误差。

1、肖健家有一个闹钟，每小时比标准时间慢半分钟。

有一天晚上8点整时，肖健对准了闹钟，他想第二天早晨5点55分起床，于是他就将闹钟的铃定在了5点55分。

这个闹钟将在标准时间的什么时刻响铃？2、爷爷的老式时钟的时针与分针每隔66分重合一次。