时钟问题讲义

时钟问题【例1】钟表上12点15分，时针与分针的夹角是多少度？【趁热打铁-1】请问在4点到5点之间时针与分针首次夹角为10°是什么时刻？【例2】现在是2点，从现在开始，分针与时针在什么时刻第一次重合在一起?【趁热打铁-2】现在是下午3点，从现在开始分针与时针第一次重合在一起是什么时刻?【例3】2点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？【趁热打铁-3】现在是11点整，至少多少分钟以前时针和分针成直角？【例4】一个时钟现在显示的时间是3点整，请问:再经过多少分钟后，时针与分针第一次张开成一条直线?【趁热打铁-4】在9点与10点之间，时针与分针什么时候会反向组成一个平角？【例5】刘老师去开会，出门时看了一下表，是1点多钟.不到一个小时后回，发现这时时针与分针恰好交换了位置.问刘老师开会用多长时间？【趁热打铁-5】星期六新新在家写了两个多小时的作业，开始的时候，他看了看钟，写完的时候又看了看钟，发现时针与分针恰好互相交换了位置，请问新新写了多少时间作业？【例6】在早晨6点到7点之间有一时刻，钟面上的“6'’字恰好在时针与分针的正中央.请问:这一时刻是6点多少分?【趁热打铁-6】9点过多少分时，时针和分针在“9”的两边且与“9”的距离相等？【例7】新新从外星球带来了一块奇怪的手表，这块手表每小时比标准时间都要慢1分钟。

中午12时，新新将手表调准。

下午他到电影院买了一张晚上6点的电影票，可当他按照手表上的时间6点整进场的时候却发现电影已经放映了一段时间，你知道新新迟到了多场时间吗？【趁热打铁-7】新新有一个闹钟，每小时比标准时间慢半分钟。

一天晚上8时整新新对准了闹钟，他想第二天早上5:55起床背书，于是他将闹钟的闹铃定在了5:55，请问这个闹钟会在什么时候闹响？【过关精炼】1、当时钟显示9：15，此时分针与时针的夹角是____度。

2、现在是上午10点，到____点____分时，时针和分针第一次重合．3、钟面上显示的时间是4时，再过____分钟，时针与分针离“4”的距离相等，并在“4”的两旁？4、强强晚上六点多外出锻炼身体，此时时针与分针的夹角是110°；回家时还未到七点，此时时针与分针的夹角仍是110°，则强强外出锻炼身体用了____分钟。

时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题。

钟面的一周分为60格。

当分针走60格时，时针正好走5格，所以时针的速度是分针的5÷60=1/12，分针每走60÷（1－5/60）=65+5/11（分），与时针重合一次，时钟问题变化多端，也存在着不少学问。

这里列出一个基本的公式：在初始时刻需追赶的格数÷（1－1/12）=追及时间（分钟），其中，1－1/12为每分钟分针比时针多走的格数。

一分钟分针可以走6度，时针可以走0.5度。

常见的时钟问题：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型，此外还有快慢钟问题。

【例1】★有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合?【解析】在lO 点时，时针所在位置为刻度10，分针所在位置为刻度12；当两针重合时，分针必须追上50个小刻度，设分针速度为“l ”，有时针速度为“112”，于是需要时间：1650(1)541211÷-=．所以，再过65411分钟，时针与分针将第一次重合．第二次重合时显典型例题知识梳理然为12点整，所以再经过65(1210)6054651111-⨯-=分钟，时针与分针第二次重合．标准的时钟，每隔56511分钟，时针与分针重合一次．我们来熟悉一下常见钟表(机械)的构成：一般时钟的表盘大刻度有12个，即为小时数；小刻度有60个，即为分钟数．所以时针一圈需要12小时，分针一圈需要60分钟(1小时)，时针的速度为分针速度的112．如果设分针的速度为单位“l”，那么时针的速度为“112”．【小试牛刀】钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合？【解析】此题属于追及问题，追及路程是20格，速度差是11111212-=，所以追及时间是：11920211211÷=（分）。

【例2】★钟表的时针与分针在8点多少分第一次垂直？【解析】32711，此题属于追及问题，但是追及路程是4401525-=格（由原来的40格变为15格），速度差是11111212-=，所以追及时间是：11325271211÷=（分）。

时钟问题时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题。

钟面的一周分为60分格，当分针走60格时，时针正好走5格，所以时针的速度是分针的5÷60=112，我们可以将分针的速度看成是1格/分，时针就是112格/分。

分针每走60÷（1－560）=56511（分），与时针重合一次。

时钟问题变化多端，也存在着不少的学问。

这里列出一个基本公式：在初始时刻需追赶的格数÷（1－112）=追及时间（分钟）。

其中，1－112为分针每分钟比时针多走的格数，即速度差。

〖经典例题〗例1、如图1，在时钟盘面上，1点45分时的时针与分针之间的夹角是多少？【分析】将时钟盘面分成12个分格，那么在1点45分，分针必落在9这个位置上，而时钟针不在1这个位置上，而是在1和2之间的某个位置上，也就是要求出从1点到1点45分，45分钟的时间时针转过的角度。

时针走60分钟转过360°÷12=30°，那么走45分钟，转过300×4560=22.50。

而且从1点45分时时钟盘面上时针、分针的位置易知，从9点整到13点整之间包含有4个大格。

那么此时时针与分针的夹角是这两部分角度的和：30×4+22.50=142.50。

例2、在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？【分析】分两种情况进行讨论。

（1）在顺时针方向上分针与时针成270°角：在顺时针方向上当分针与时针成270°时，分针落后时针60×（270÷360）=45（个）格，而在10点整时分针落后时针5×10=50（个）格。

因此，在这段时间内，分针要比时针多走50－45=5（个）格，而每分钟分针比时针多走（1－1 12）个格，因此所用的时间为：5÷（1－112）=5511（分钟）。

（2）在顺时针方向上分针与时针成90°角：在顺时针方向上当分针与时针成90°角时，分针落后时针60÷（90÷360）=15个格，因此在这段时间内，分针要比时针多走50－15=35个格，所以所用的时间为：35÷（1－112）=38211（分钟）。

时钟推理的技巧
1. 理解时钟的指针走向：时钟的长针代表小时数，短针代表分钟数。

长针顺时针转动每一格代表一个小时，短针顺时针转动每一格代表一分钟。

2. 了解时钟的规律：时钟的指针在一小时内绕一圈，即长针经过12个位置，短针经过60个位置。

对于任何时间点，长针的位置都可以确定，而短针的位置则需要通过求余数来计算。

3. 学会换算时间：考虑时钟的指针移动的距离，可以把时钟推理问题转化为时间计算问题。

例如，相对时间计算可以将时刻转化为分钟数，然后进行加减运算。

4. 观察指针移动的方向：时钟指针的转动方向是顺时针还是逆时针，这决定了时间的前进方向。

掌握指针移动的方向，才能正确解答时钟推理问题。

5. 注意时间的重叠：在某些情况下，指针会重叠在一起，这时需要特别注意时间的计算方法。

例如，当指针分别指向3和9时，实际的时间可能是15:00，而不是3:00。

6. 利用数学方法解答问题：时钟推理问题可以通过数学方法进行求解，如方程式和代数式。

利用数学方法可以更快地解决复杂的时钟推理问题。

知识点拨时钟问题知识点说明时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。

我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。

时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。

对于正常的时钟，具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。

分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度时针速度：每分钟走112小格，每分钟走0.5度注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。

要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。

另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。

例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为56511分。

【例1】当时钟表示1点45分时，时针和分针所成的钝角是多少度？【巩固】在16点16分这个时刻，钟表盘面上时针和分针的夹角是____度.【例2】有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合?【巩固】现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？【例3】钟表的时针与分针在8点多少分第一次垂直？【巩固】2点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？【例4】现在是10点，再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？【巩固】在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？【例5】晚上8点刚过，不一会小华开始做作业，一看钟，时针与分针正好成一条直线。

做完作业再看钟，还不到9点，而且分针与时针恰好重合。

时钟问题一1认识钟表表盘分为12大份，60小份1小格=6度三点常识：1分钟：分针走1格6度时针走1/12 格0.5度分钟比时钟多走11/12格 5.5【重合问题】【例1】两点几分，时钟分钟重合三步法：1 数整点差几格整2点时针和分针差10格2 数重合差几格重合0格3 差÷11/12 =答案注：追及问题【例2】有一座时钟现在显示10点整，那么经过多少分钟，分针与时针第一次重合？再那么经过多少分钟，分针与时针第二次重合？50÷11/12=600/11规律：分母为11分针是60的倍数第二次重合：多跑60格60÷11/12=720/11=60+5/11【巩固】现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？【巩固】钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合？小红上午8点多钟开始做作业时，时针与分针正好重合在一起。

10点多钟做完时，时针与分针正好又重合在一起。

小红做作业用了多长时间？【成直线问题】【例3】7时与8时之间，什么时候时钟的分针和时针成一直线【例3】4时与5时之间，什么时候时钟的分针和时针成一直线两种情况：第一种情况：（重合）整点4点差20格重合差0格20 ÷11/12=240/11第二种情况：（成180度）整点4点差20格（成180度）超30格多跑：5050÷11/12=600/11现在是10点，再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？【例1】晚上8点刚过，不一会小华开始做作业，一看钟，时针与分针正好成一条直线。

做完作业再看钟，还不到9点，而且分针与时针恰好重合。

小华做作业用了多长时间？小红在9点与10点之间开始解一道数学题，当时时针和分针正好成一条直线，当小红解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合，小红解这道题用了多少时间？【垂直】1、7点到8点之间，在什么时刻时针与分针垂直？2、10点到11点之间，在什么时刻时针与分针垂直？3、2点到3点之间，在什么时刻时针与分针垂直？4、9点到10点之间，在什么时刻时针与分针垂直？补充方法：在0点到12点之间，钟面上的时针与分针重合有几次？时针跑1圈分针跑12圈重合1111×2=22次【例2】钟表的时针与分针在8点多少分第一次垂直？【例3】2点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？注意：够加90度+90 够减90度-90不够加90度-270度不够减90度+270度【成夹角】【例4】1点过1分，分针与时钟的夹角是多少？8点过20分，分针与时钟的夹角是多少？12点过55分，分针与时钟的夹角是多少？4点过42分，分针与时钟的夹角是多少？【例5】8时到9时之间，在什么时刻时针与分针的夹角是60度？分两种情况：1 差60度整点：差40格=240度第二次差：差10格60度30÷11/12=360/11或：180÷5.5=360÷11=360/112 超60300÷5.5=600/11【例5】在0点到12点之间，钟面上的时针与分针成60度有几次？特殊时刻：当10点整，9点就算一次，10点算一次当2点整，1点就算一次，2点算一次24-1-1=22次【例6】某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为1100，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是1100．那么此人外出多少分钟?【距离相等】【例6】在早晨6点到7点之间有一时刻，钟面上的“6”字恰好在时针与分针的正中央，请问：这一时刻是6点多少分？方法一：时针走了：1点点分针走了：30-1点点分针速度是时针的12倍：距离也是12倍30-x=x×12X=30/13分钟：30-30/13 360/13方法二：时针走了：1点点分针走了：30-1点点两个针总共走了：30格（路程和）速度和：（1+1/12）30÷(1+1/12)=30÷13/12=360/138时到9时之间时针和分针在“8”的两边，并且两针所形成的射线到“8”的距离相等．问这时是8时多少分?一部动画片放映的时间不足1时，小明发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。