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1.4 用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度

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中国矿业大学(北京)《大学物理》课件 第1章 质点运动学

中国矿业大学(北京)《大学物理》课件 第1章 质点运动学

y 0.22 152 9.115 30 57m
r 66i 57 j
r
的大小
r的方向
r 662 (57)2 87m
arctan y arctan 57 41
x
66
（2） 速度沿坐标轴 x、y 的投影为
vx
dx dt
d dt
(0.31t 2
7.2t
28)
0.62t 7.2
物体平动时可视为质点。 物体上任一点的运动都可以代表物体的运动。
➢ 研究汽车突然刹车“前倾”或转弯 涉及转动问题，汽车各部分运动情况不同，各
车轮受力差异很大，不能把汽车作质点处理。
质点是从客观实际中抽象出的理想模型，研 究质点运动可以使问题简化而又不失客观真实性。
二、确定质点位置的方法
静止和运动是相对的 地心学说被日心说取代，让人们明白，判断物体
求 船的运动方程。
解 取坐标系
v
依题意有
l0
l(t) l0 v t
h l(t)
坐标表示为
O
x
x(t) (l0 v t)2 h2
x(t)
说明
质点运动学的基本问题之一 , 是确定质点运动 学方程。 为正确写出质点运动学方程, 先要选定参 考系、坐标系, 明确起始条件等, 找出质点坐标随时 间变化的函数关系。
x 0.31t2 7.2t 28 y 0.22t 2 9.1t 30
试求 t =15s时小田鼠的 （1）位矢;（2）速度; （3）加速度。
解 （1）根据已知条件，小田鼠的位矢可写成
r
(0.31t
2
7.2t
28)i
(0.22t 2 9.1t 30) j
t = 15s 时

2013-01-2自然坐标系下的速度-加速度

2013-01-2自然坐标系下的速度-加速度

a
a
0，an
a
an
0
为匀速率曲线运动（圆 周运动）
dv dt
0
v2
n0
a an
a
a a a 2 an 2 dv dt2 v2 2
加速度总是指向曲线的凹侧
大学物理
自然坐标系中总加速度为：
a a an
改变速度大小
大小 a a 2 an2
加速度
方向 tan 1 an
下面三种情况分别代表那一类运动？
１. ，an＝0， a 0, 2. ＝常量，an 0，a＝0, 3. ＝常量，an 0，a 0,
１. 变速直线运动 ２. 匀速率圆周运动 ３. 变速率圆周运动
大学物理
讨论
质点沿固定的圆形轨道， 若速率 v 均匀增加，at 、an、
a以及加速度与速度间的夹角中哪些量随时间变化？
v lim r
t0 t
ds
dt
vr ds v v v
dt
z
v
p s
s
r q
r(t)
r(t t)
o
y x
自然坐标系下的 速度表达式
大学物理
讨论物理意义：
vr ds v v v
dt
ds v dt
1、 瞬时速率 v：
反映了质点任一时刻沿轨道运动的快 慢。
2、任何时刻质点的速度总沿轨道的 切线方向，速度只有切线分量而无法 向分量。
与切向加速度垂直
大学物理
例题
一质点沿半径为R的圆周按规律 s v0t b运t 2动/ 2，
v0、b 都是正的常量。求：
（1） t 时刻质点的总加速度的大小
（2） t 为何值时，总加速度的大小b

大学物理1.2 质点的位移、速度和加速度

大学物理1.2 质点的位移、速度和加速度
1.3.1 位移
y
A r r1 r2
y
B
yB yA
A r r1 r2
xA xB x A
B
yB yA
o
x
o
xB
x
把 由始点 A 指向终点 B 的有向线段 r 称为点 A 到 B 的位移矢量 , 简称位移. r r2 r1
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化,
1.2 质点的位移、速度和加速度
一、 位移 （反映物体位置的变化）
位移 位矢 r 在t 时间内的增量
O

P
r (t )
s
r
Q

r (t t ) 说明 (1) r是矢量， s 是标量，且大小一般不等 Δr r s r 位矢增量的大小与Δr ( r )位矢大小的增量的区别 (2) 分清
A
r (t )
o
dt
x
三、 加速度
1. 速度增量 v v (t t ) v (t )
v (t )
B
v (t t )
A

2 . 平均加速度
v a t
r (t )
r (t t )
3. 瞬时加速度
a lim v t dv dt
dr dt v
r
r
0
t dr (6i 16t j )dt 0

r0 8k
2 r 6t i 8t j 8k
1.4 用自然坐标表示平面曲线运动中 的速度和加速度
一、 速度
s s (t t ) s (t ) r s r lim ( ) v lim t 0 s t t 0 t r s ( lim )( lim ) t 0 s t 0 t r ds ds τ ( lim ) t 0 s dt dt

第2讲 曲线运动的描述

第2讲 曲线运动的描述
a n g a
2 2
gv0 v ( gt )
2 0 2
O
x
代入数据，得
a
an
9 .8 2 5 302 (9.8 5) 2
9.8 30 302 (9.8 5) 2
an
8.36m s 2
a
g
y
5.12m s 2
例题2 质点在oxy平面内运动,其运动方程为
切向和法向加速度分别为:
dv d d 2 2 2 2 at ( vx vy ) ( 4 (4t ) ) 3.58m s dt dt dt
an a 2 at2 1.79m s 2
1.3 圆周运动及其描述
运动的线量描述：位置 位移 速度 加速度 （直角坐标系，自然坐标系） 运动的角量描述：角位置 角位移 角速度 角加速度 (用极坐标系描述圆周运动）
2 2 v vx v y vz2
tangential acceleration normal acceleration
切向加速度 a dv d s 2
dt
2
2
dt
法向加速度 an v
1 y R
y
O
3 2 2
, y y ( x)
R
2 a a a2 an
Δt 时间内转过的角度.
角位移的方向 右手定则判定 四指沿着质点运动方向弯曲，拇指指向为其正向.
有限大小的角位移Δθ不是矢量[不符合交换律]，无 限小的角位移 d才是矢量. 先绕 x 轴转 π/ 2，再绕 y 轴转 π/ 2.
先绕 y 轴转 π/ 2，再绕 x 轴转 π/ 2.
最后的效果是不一样的.

1.4 自然坐标系 曲线运动

1.4 自然坐标系 曲线运动

r ∆v
v v v ∆τ = τ (t + ∆t ) − τ (t )
v τ (t + ∆t )
3
第1章质点运动学
P
v τ (t )
•
Qv
∆θ
•
r τ (t )
L v n(t )
O
τ (t + ∆t )
∆θ
v τ (t + ∆t )
r ∆τ
r r 夹角为 ∆τ 与τ (t )
(π－∆θ )/2 ，当 r r ∆θ → 0, dτ ⊥ τ
方向
P
v dr
r r 由右手法则确定) ω× r (由右手法则确定)
13
v v v v v r r r r v dv d (ω × r ) dω v v dr a= = = × r + ω× = β × r + ω ×v dt dt dt第1章质点运动学 dt
一质点作半径为0.1 的圆周运动， 例3 一质点作半径为 m 的圆周运动，已知运动学方 3 。 程为 求
∆θ
v
υ (t )
v
υ=const.
2
v an = R
o
指向圆心
R
向心加速度意义： 向心加速度意义： 速度方向的变化率
υ (t + ∆t )
v
∆υ
v
v
υ (t ) ∆θ
2
从加速度定义出发， 练习 ：从加速度定义出发，导出
10 第1章质点运动学
v an = R
2. 变速圆周运动
υ (t )
∆θ
O R
υy = 0
y
∴v = v x = v0 cosθ
dυx Q at = =0 dt ∴ an = g

第1章 质点运动学共48页文档

第1章 质点运动学共48页文档

(2) 位矢法 以O点为参考点
r
x(
t
)i
y(
t
)j
R
cos
t
i
R
sin
t
j
(3) 自然法
以O’点为参考点，逆时为正。
S R t
第一章 质点运动学
7
§1-2 质点的位移、速度和加速度
一、位移 描述质点位置变化的物理量
S
几何描述： 数学描述：
PrQ
r(
t
t
)
r(
t
)
r( t ) r( t t )
2、联系 从数学上看是微分与积分的关系
微分法 r a 积分法
微分法
积分法
ar ra
第一类问题（微分法） 第二类问题（积分法）
第一章 质点运动学
14
例：直杆AB两端可以分别在两固定而 相互垂直的直线导槽上滑动，已知杆 的倾角按φ=ωt 随时间变化，试求杆 上M点的运动规律。（运动方程、轨 迹、速度、加速度）
直角坐标系
j
i
k
i jk
分别是x、y、z方 向的单位矢量
在直角坐标系中可写成：
r xi yj zk
a
x i y axi ay
j
z
k
j azk
(A)
大小
2 x
2 y
2 z
a
ax2
a
2 y
az2
第一章 质点运动学
12
由基本关系式
有：
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt
a
dx
b
2
sin
t

[精品]掌握用自然坐标法求点的速度加速度的方法步骤


方法二：直角坐标法 ①列动点的运动方程。 建立直角坐标系Oxy，如图所示。 图示几何关系：x=Rsin2φ y=Rcos2φ y 故点M的运动方程为 O' x=Rsin2ωt a 2 a y=Rcos2ωt O ②求点的速度。 vx= dx/dt = 2Rωcos2ωt vy= dy/dt =-2Rωsin2ωt A 点M速度的大小为： v =√vx2+vy2 = 2Rω 速度的方向余弦： cos（v，i）= vx/v= cos2ωt=cos2φ
3、匀变速直线运动 an=0，a = aτ=dv/dt=常量。若已知点的运动的初 始条件，当t=0时，s= s0，v= v0，则积分可得 v = v0 + at s = s0+ v0t +at² /2 由上式消去t 可得 v 2= v0 2+2a（s-s0） 4、匀变速曲线运动 an= v2/ρ， aτ=dv/dt=常量。若已知点的运动 的初始条件，当t=0时，s= s0，v= v0，则积分 可得 v = v0 +aτt s = s0+ v0t +aτt² /2 由上式消去t可得 v2= v02+2aτ（s-s0）
例3：如图a所示：杆AB的A端铰接固定，环M将AB杆 与半径为R的固定圆环套在一起，AB与垂线之夹角为 φ=ωt，求套环M的运动方程、速度、加速度。 方法一：自然坐标法 ①分析动点的运动、建立弧坐标轴。 动点套环M的轨迹为沿固定圆环 的圆周运动。以圆环上的O′点 为弧坐标原点，顺时针为弧坐标 正向，建立弧坐标轴。 ②列动点的运动方程。 图示几何关系：s = R（2φ） 故有： s= 2Rωt
③求点的速度、加速度。 由v = ds/dt得 v = d（2Rωt）/dt=2Rω 速度v的方向沿该点的切线方向，且指向运动的一方。 由an = v2/ρ，aτ=dv/dt得 aτ=dv/dt=0，an = v2/ρ=4Rω2 即点M的全加速度为：a=an=4Rω2 a的方向即 an的方向，自M点半径指向圆心。 （套环M沿固定圆环作匀速圆周运动。）

大学物理力学

求 汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度大小。
解 根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式，有
ds v 20 0.4t dt dv aτ 0.4 dt
2 τ 2 n
v (1) 19.6 m/s
v 2 (20 0.4t ) 2 an R R
2 2
(20 0.4t ) a a a 0.4 R (20 0.4 1) a (1) 0.4 200
a (2) t =2s 时 v ，
r2 4i 2 j r1 2i j 解 (1) 由运动方程得 r r2 r1 (4 2)i (2 1) j 2i 3 j 2 dr d r d v (2) v 2i 2t j a 2 2 j dt dt dt a2 2 j 当 t =2s 时 v 2 2 i 4 j
§1.4 用自然坐标表示平面曲线运 动中的速度和加速度
一. 速度
s s(t t ) s(t )
r r s v lim lim ( ) t 0 t t 0 s t r s r ds ( lim )( lim ) ( lim ) t 0 s t 0 t t 0 s dt r ds ds ( lim τ ) τ vτ t 0 s dt dt

O
r
z
y

β
参考物
位矢的大小为：
x
x
r x2 y 2 z 2
y
位矢的方向用方向余弦表示，则有：
x y z cos , cos , cos r r r

自然坐标系中的速度、加速度


速度的矢量表示
总结词
速度的矢量表示包括大小和方向两个方 面，通常用箭头表示方向，用绝对值表 示大小。
VS
详细描述
矢量表示法是速度最常用的表示方法，它 能够完整地描述速度的大小和方向。在自 然坐标系中，速度的大小由箭头的长度表 示，箭头的指向代表速度的方向。
速度的标量表示
总结词
速度的标量表示只考虑速度的大小，忽略方向，通常用绝对值表示。
特点
自然坐标系与质点运动的具体轨迹相 关，可以直观地描述速度和加速度的 方向和大小。
自然坐标系的应用
描述曲线运动
自然坐标系常用于描述质点在曲线上 的运动，如行星绕太阳的椭圆轨道运 动。
分析动力学
在分析力学中，自然坐标系用于描述 质点的速度和加速度，进而研究其动 力学行为。
自然坐标系与直角坐标系的区别与联系
02
03
健康管理
在健康管理中，个人的速度和加速度 可以用来监测身体的运动状态，从而 进行科学的健身计划和健康管理。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
定义法
根据加速度的定义式计算，即加速度等于速度的变化量除以时间的变化量。
公式法
根据加速度的公式计算，即加速度等于速度的导数或切向加速度。
02
速度在自然坐标系中的 表示
速度的定义
总结词
速度是描述物体运动快慢的物理量，定义为物体在单位时间内通过的位移。
详细描述
速度是矢量，具有大小和方向，通常用符号"v"表示。在自然坐标系中，速度的 大小等于物体在单位时间内通过的直线距离，方向则与物体位移的方向相同。
详细描述
匀速直线运动是指物体在直线轨道上以恒定速度进行的运动，其方程为 $s = v_0t$，其中 $s$ 是位移， $v_0$ 是初始速度，$t$ 是时间。

第一次课-1.1 -1.2确定质点位置的方法


1.2 质点的位移、速度和加速度
一、 位移 （反映物体位置的变化）
r r (t t ) r (t )
P
s
位移 位矢 r 在t 时间内的增量
说明
O


r (t )
r
P
r (t t )
Δr
(1) r是矢量， s 是标量，且大小一般不等 r s r 与Δr ( r)的区别 (2) 分清
x y z
2 2
2
方向
x cos r
y cos r
z cos r
3. 自然坐标法 （用于运动轨迹已知的质点）
• O
s
P
说明 自然坐标 s 是代数量 4. 运动学方程(函数) 直角坐标 自然坐标 位矢法
x x(t )
s f (t )

y y (t )
一、 质点运动学的基本概念
质点 ： 大小和形状可以忽略的物体
z
参照物
O
y
x
参照物 ：为了描述物体运动而被选作参考的物体或物体系
二、确定质点位置的常用方法
1. 直角坐标法 P(x, y, z) 2. 位矢法 （质点位置由位置矢量描述）
z
r
参照物
y
O
x
位置矢量 大小 r
r xi yj zk
v
三、 加速度
1. 速度增量 v v (t t ) v (t )
v (t )
B
v (t t )
A

2 . 平均加速度
a v t
r (t )
r (t t )
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vn
v2 an an n n r
dv a a τ τ dt
v dv a an n a τ n τ r dt
加速度的大小和方向分别为 an 2 2 t an a an a a
大学物理 第三次修订本
a 反映速度大小变化的快慢 切向加速度
大学物理 第三次修订本
2
第1章 质点运动学
s v 2 v lim an lim t 0 t r t 0 t r | vτ | v dv aτ lim lim t 0 t t 0 t dt
大学物理 第三次修订本
9
第1章 质点运动学
三、一般平面曲线运动中的加速度
v an a n n n
2
dv a a τ τ dt 2 v dv a an n a τ n τ dt
ρ为轨迹曲线在任意点的曲率半径。
大学物理 第三次修订本
10

3
2
第1章 质点运动学
例1 一辆汽车在半径为R=200 m的圆弧形公路 2 上行驶，其运动学方程为 s 20t 0.2t ,其中 s以m计，t 以s计，试求汽车在 t =1s 时的速度 和加速度的大小。
解 根据速度和加速度在自然坐标系中的表示 形式，有 ds 速度大小 v 20 0.4t dt 加速度 2 2 dv v (20 0.4t ) a 0.4 an dt R R
-1
2
) 1.96m s -2
5
2
大学物理 第三次修订本
第1章 质点运动学
例2 质点沿半径R=3m的圆周运动，如图。已知 2 切向加速度 a 3m s , t 0 时质点在 O 点, 其 速度 v0 0，试求（1）t =1s 时质点速度和加速 度的大小；（2）第2秒内质点所通过的路程。 解 取t=0时质点的位置O´为自然 坐标原点，以质点运动的方向为 自然坐标正向，并设任意时刻t质 点的速度为v。自然坐标为s。
大学物理 第三次修订本
4
第1章 质点运动学
(20 0.4t ) a a a (0.4) R 当 t = 1s 时
2 n 2 2
2
)
2
v 20 0.4 19.6m s
(19.6) a (0.4) 200
2
第1章 质点运动学
一 、速度 s s(t t ) s(t )
1.4 用自然坐标表示平面曲线运动中 的速度和加速度
r s r v lim lim ( ) t 0 t t 0 s t r s ( lim )( lim ) t 0 s t 0 t r ds d s ( lim ) τ t 0 s d t dt
s
R
o


o
dv （1）由 a dt
得

v
0
dv a dt
0
6
t
大学物理 第三次修订本
第1章 质点运动学
大学物理 第三次修订本
7
第1章 质点运动学
积分，得
v aτ t
v 2 aτ2t 2 an R R
法向加速度的大小
加速度的大小
a t a a a ( aτ ) R
v
P

s
Q
r (t )

r
L
r (t t )
O
t 0 时， r 沿切线方向，且 r s
大学物理 第三次修订本
1
第1章 质点运动学
二、圆周运动中的加速度
v vτ vn
A
v(t ) v n

P
B
v
根据加速度定义 O v v (t t ) v a lim t 0 t v vn lim lim a an t 0 t t 0 t an反映速度方向变化的快慢 法向加速度
2 n 2 τ 2
2 2 τ

2
大学物理 第三次据，得
v a t 3 1 3m/s
a 4.24 m/s 2
ds （2）由 v dt
得
积分，得
1 2 s a t 2
ds a tdt
0 τ 0
s
t
代入数据，得
1 2 2 s 3 (2 1 ) 4.5 m 2