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高中数学必修1高频考点例析（3）宝鸡市石油中学（721001） 史文刚笔者对北师大版高中数学（必修一）中涉及的高考考点做了统计：其中集合4个：集合的概念，集合的表示法，子集与包含关系，集合的交并补运算；函数17个： 函数的奇偶性，分段函数，二次函数，幂函数，指数幂，幂的运算性质，指数函数的图像，指数函数的性质，对数的概念，对数的运算，换底公式，对数函数的图像，对数函数的性质，函数与方程，二分法求方程的近似解，函数模型，函数模型的应用；但考查频率较高（简称高频）的考点只有十多个.限于篇幅所限，现就有关高频考点分析如下：考点13 指数函数、对数函数单调性的应用指数函数、对数函数的单调性是它们的重要性质，在解决许多数学问题中经常用到.【例25】设0<a<1,函数f(x)=log a (a 2x -2a x -2),则使f(x)<0的x的取值范围是（ ）A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,log a 3)D.(log a 3,+∞)分析：先利用对数函数的单调性转化，再换元化为一元二次不等式，求出a x 的范围，最后利用指数函数的单调性求出x 的范围.解：∵0<a<1，f(x)<0，∴a 2x -2a x -2>1,即a 2x -2a x -3>0.设a x =t,则有t 2-2t-3>0,解得t>3(a x =t<-1不合题意舍去)，即a x >3=3log a a ,∴x<log a 3,故选C.点评：在应用对数函数、指数函数的单调性时，要注意底数a 满足0<a<1条件，从而知道以a 为底的指数函数、对数函数在各自的定义域上是减函数.【例26】（2011，全国Ⅱ）已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .解析：方程l o g (0a a x x b a +-≠＞，且=0的根为0x ,即函数l o g (2a y x a =<<的图象与函数(34)y x bb =-<<的交点横坐标为0x ,且*0(,1),x n n n N ∈+∈,结合图象,因为当(23)x a a =<<时,1y =,此时对应直线上1y =的点的横坐标1(4,5)x b =+∈;当2y =时, 对数函数log (23)a y x a =<<的图象上点的横坐标(4,9)x ∈,直线(34)y x b b =-<<的图象上点的横坐标(5,6)x ∈,故所求的5n =.答案：5点评：本题许多学生找不到解题的切入点，由一次函数与对数函数的关系，将问题转化为确定交点的范围问题，这是解本题思路的关键点，而利用对数函数单调性是求解本题的工具.考点14 函数零点与方程根的问题【例27】. （2011，湖南省） 已知函数f (x ) =3x ，g (x )=x +x .求函数h (x )=f (x )-g (x )的零点个数，并说明理由；解析：由3()h x x x x =--知，[0,x ∈+∞，而(0)h =，且(1)10,(2)620h h =-<=->，则0x =为()h x 的一个零点，且()h x 在12（，）内有零点，因此()h x 至少有两个零点.解法1：1221'()312h x x x -=--，记1221()312x x x ϕ-=--，则321'()64x x x ϕ-=+.当(0,)x ∈+∞时，'()0x ϕ>，因此()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，则()x ϕ在(0,)+∞内至多只有一个零点.又因为3(1)0,()03ϕϕ><，则()x ϕ在3(,1)3内有零点，所以()x ϕ在(0,)+∞内有且只有一个零点.记此零点为1x ，则当1(0,)x x ∈时，1()'()0x x ϕϕ<=；当1(,)x x ∈+∞时，1()'()0x x ϕϕ>=；所以，当1(0,)x x ∈时，()h x 单调递减，而(0)0h =，则()h x 在1(0,]x 内无零点； 当1(,)x x ∈+∞时，()h x 单调递增，则()h x 在1(,)x +∞内至多只有一个零点； 从而()h x 在(0,)+∞内至多只有一个零点.综上所述，()h x 有且只有两个零点.解法2：122()(1)h x x x x -=--，记122()1x x x ϕ-=--，则321'()22x x x ϕ-=+. 当(0,)x ∈+∞时，'()0x ϕ>，因此()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，则()x ϕ在(0,)+∞内至多只有一个零点.因此()h x 在(0,)+∞内也至多只有一个零点，综上所述，()h x 有且只有两个零点.点评：方程的根、图像与x 轴的交点、函数的零点相互之间是紧密联系的,方程根的问题可以借助于函数性质解决，而函数的零点也可以借助于方程的根来研究，它体现了数学中一种很重要的数学思想即化归思想.【例28】已知3()24f x x x =--+，求证此函数()f x 有且仅有一个零点，并求此零点的近似值（精确到0.1）.解：易知函数3()24f x x x =--+在定义域R 上是减函数.3(1)121410f =--⨯+=>，3(2)222480f =--⨯+=-<，即(1)(2)0f f <， 说明函数()f x 在区间(1,2)内有零点，且仅有一个.设零点00,(1,2)x x ∈则，取1 1.5,(1.5) 2.2750,(1.5)(2)0x f f f ==><，∴ 0(1.5,2)x ∈.取2 1.75,(1.75) 4.8590,(1.5)(1.75)0x f f f ==-><，∴ 0(1.5,1.75)x ∈.取3 1.625,(1.625) 3.5410,(1.5)(1.625)0x f f f ==-<<，∴ 0(1.5,1.625)x ∈.取4 1.5625,(1.5625) 2.9400,(1.5)(1.5625)0x f f f ==-<<，∴ 0(1.5,1.5625)x ∈. ∵ 1.5 1.56250.06250.1-=<，∴ 可取0 1.6x =，则函数的零点为1.6. 点评：用二分法求函数零点的近似值，首先要选好选准计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要尽量使其长度小；其次要依据给定的精确度及时检验计算中得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算.. 【例29】（2011，全国）已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9解析：因为当02x ≤<时, 3()f x x x =-,又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且(0)0f =,所以(6)(4)(2)(0)0f f f f ====,又因为(1)0f =,所以(3)0f =,(5)0f =,故函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为6个,选A.答案：A .点评：利用函数性质研究方程的根或函数零点，是一种常用的方法，也是高考命题的一种趋势.考点15 函数建模【例30】（2011，福建省）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式210(6)3a y x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(Ⅰ) 求a 的值； (Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(Ⅰ)因为5x =时11y =，所以101122a a +=⇒=；（Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量2210(6)3y x x =+--，所以商场每日销售该商品所获得的利润：222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-； /2()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+-----，令/()0f x =得4x = 函数()f x 在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当4x =时函数()f x 取得最大值(4)42f =答：当销售价格4x =时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.点评：在构建函数模型的过程中，如果涉及的变量较多，模型较为复杂，可采用层层分解的办法去找出变量间较为简单的对应关系，再解决较为复杂的函数模型间的关系.同时要注意借助于图形的直观性去寻找问题的答案.【例31】（2011，广东省）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x 当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．点评：本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.。
