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2017 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三语文试卷（满分 150 分，考试时间 150 分钟） 2018.4一、积累应用 10 分1. 按要求填空。
⑴云无心以出岫，__________________。
”（陶渊明《______________》）⑵是日也，天朗气清，__________________。
（王羲之《兰亭集序》）⑶无论是《老子》中的“千里之行，始于足下”，还是《荀子·劝学》中的“________，_________”，都是以“行路”来形象地阐释积累的重要性。
【答案】 (1). 鸟倦飞而知还 (2). 归去来兮辞 (3). 惠风和畅 (4). 不积跬步 (5). 无以致千里2. 按要求选择。
假设你为学校“读书节”设计一张宣传海报，下列诗文中最适合选用的是（）A. 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。
B. 世事洞明皆学问，人情练达即文章。
C. 察己则可以知人，察今则可以知古。
D. 问渠那得清如许，为有源头活水来。
【答案】D【解析】试题分析：本题考查用语要得体。
本题主题是:为学校“读书节”设计一张宣传海报，主要是宣传多读书，D选自（南宋）朱熹的《观书有感》，这首诗告诉我们，正像源源不断的活水使池塘变得如此清澈，人需要不断读书，不断汲取新的知识，心智才能更加开豁，更加敏锐。
符合读书节的主题。
A“纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行”出自陆游的《冬夜读书示子聿》一诗，意思是说,从书本上得到的知识毕竟比较肤浅,要透彻地认识事物还必须亲自实践。
与读书节主题相反。
B“世事洞明皆学问，人情练达即文章。
”出自《红楼梦》第五回中的一副对联。
其大意是：明白世事，掌握其规律，这些都是学问；恰当地处理事情，懂得道理，总结出来的经验就是文章。
与读书无关。
C出自《吕氏春秋》。
意思应该是:通过了解自己可以了解别人,也就是说每个人都有共性,差别不是很大,而后一句意思也相同;通过了解当今而了解古时。
与读书无关。
3. 下面是某高三学生参加高校自主招生的自荐信，画线部分可能存在不得体的表达。
上海市徐汇区2018届高三第二学期学习能力诊断卷高三化学 试卷（满分100分；考试时间60分钟）一、选择题（本题共40分，每小题2分，每题只有一个正确选项） 1．下列物质属于纯净物的是A ．液氯B ．铝热剂C ．氨水D ．石油 2．下列物质属于强电解质的是A ．FeB ．CH 3COONH 4C ．CO 2D ．CH 3COOH3．下列过程只涉及物理变化的是A ．盐酸除锈B ．石油分馏C ．煤的气化D ．氯气消毒 4．关于二氧化碳，下列化学用语正确的是A ．分子比例模型B ．分子电子式C O OC ．分子结构式 O=C=OD ．溶于水电离：CO 2 + H 2O → H + + HCO 3-5．下列我国古代的几种技术应用，不涉及氧化还原反应的是A ．卤水煮盐B ．铁矿石炼铁C ．化丹（Pb 3O 4）为铅D ．火药爆炸6．容量瓶上不会标示A ．标线B ．容量C ．温度D ．浓度7．潮湿氯气、新制氯水以及次氯酸钠溶液都能使有色布条褪色，因为它们都含有微粒A ．HClOB ．ClO -C ．HClD ． Cl 2 8．分析右面的能量变化示意图，下列热化学方程式正确的是A ．2A(g) + B(g) → 2C(g) - QB ．2A(g) + B(g) → 2C(g) + QC ．2A + B → 2C + QD ．2C → 2A + B - Q 9．下列溶液不能区别SO 2和CO 2的是A ．酸性KMnO 4溶液B ．品红溶液C ．氢硫酸溶液D ．Ba(OH)2溶液 10．右图为元素周期表中元素X 的信息。
下列关于X 的说法正确的是A ．属于过渡元素B ．质量数为74.92C ．处于第4周期第IIIA 族D ．非金属性比氮弱 11．某同学认为金属铝也有非金属性。
下列化学反应中，你认为能支持该同学观点的是2A(g) + B(g)物质具有的总能量A ．铝片与盐酸反应生成氢气B ．氢氧化铝溶于强酸溶液C ．氢氧化铝溶于强碱溶液D ．铝热反应 12．关于醋酸钠的结构，下列说法错误的是A ．有极性键B ．有非极性键C ．是极性分子D ．是离子晶体 13．在醋酸溶液中，CH 3COOH 电离达到平衡的标志是A ．溶液显电中性B ．溶液中检测不出CH 3COOH 分子存在C ．氢离子浓度恒定不变D ．c (H +) ＝ c (CH 3COO -)14．《开宝本草》中记载了如何提取硝酸钾：“此即地霜也，所在山泽，冬月地上有霜，扫取以水淋汁后，乃煎炼而成”。
2018学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）2018.4一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分． 1．已知集合1=1,22A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，集合{}2=|,B y y x x A =∈，则A B = ．2．若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ．3．已知直线l 的一个法向量是(1,n =，则此直线的倾斜角的大小为 ．4．某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数1650800==k ．若从16~1中随机抽取1个数的结果是抽到了7，则在编号为48~33的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该是 ．5．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤的图像有一个横坐标为3π的交点，则常数ϕ的值为 ．6．设函数)12(log )(2+=x x f ，则不等式)(2x f 12(log 5)f -≤的解为 ．7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1515S =，则8a 的值为 ．8．从2位男同学和8位女同学中选两人参加志愿者活动，假设每位同学选到的可能性都相同，则选到两位性别相同的同学的概率是 ．（结果用最简分数表示）9．执行如图所示的程序框图，输出的结果a = ．10．矩阵1211222232332123i n i n i n n ni nn a a a a a a a a a n a a a ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭中每一行都构成公比为2的等比数列，第i 列各元素之和为i S ，则2lim 2nnn S n →∞=⋅ ． 11．一个正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积是 ．12．设)(x f 是定义域为R 的奇函数，)(x g 是定义域为R 的偶函数，若函数)()(x g x f +的值域为)3,1[，则函数)()(x g x f -的值域为 ．13．ABC ∆所在平面上一点P 满足PA PC AB +=，若ABP ∆的面积为6，则ABC ∆的面积为 ．14．对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于点0P 的“确界角”．曲线:C y =相对于坐标原点O 的“确界角”的大小是 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分． 15．“1arcsin3α=”是“1sin 3α=”的（ ） 俯视图左视图主视图21（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件16．下列不等式中，与不等式302x x-≥-同解的是（ ）（A ）()()320x x --≥ （B ）()()320x x --> （C ）203x x -≥- （D ）302x x -≥-17．曲线x y =与直线3x =围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）（A ）003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩ （B ）003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩ （C ）003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩ （D ）003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩18．已知函数()2sin f x xx =⋅．给出下列三个命题：(1)()f x 是定义域为R 的奇函数； (2)()f x 在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增；(3)对于任意的12,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，都有()()()12120x x f x f x ++≥⎡⎤⎣⎦． 其中真命题的序号是（ ）（A ）(1)(2) （B ）(1)(3) （C ） (2)(3) （D ）(1)(2)(3)三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D是AB 的中点．现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小． （结果用反三角函数值表示） 20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．在ABC∆中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c，且cos cos 2cos a C c A b A +=．（1）求角A 的大小； （2）若2a c ==，求ABC ∆的面积．21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如PQBAO右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS ，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点为,C D ．已知梯形的高是40厘米，C D 、两点间的距离为40厘米．（1）求横梁AB 的长度; （2）求梯形外框的用料长度．（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数11()2f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11()2g x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求函数()()()2h x f x g x =+的零点； （2）设()()2()F x f x mf x =+（其中常数0m ≥），求()F x 的最小值；（3）若直线():0,,l ax by c a b c ++=为常数与()f x 的图像交于不同的两点A B 、，与()g x 的图像交于不同的两点C D 、，求证：AC BD=．23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于一组向量n a a a a ,,,,321 (*n N ∈)，令n n a a a a S ++++= 321，如果存在p a ({}1,2,3,p n ∈ )，使得||||p n p a S a -≥，那么称p a 是该向量组的“h 向量”．（1）设),(n x n a n +=(*n N ∈)，若3a是向量组321,,a a a 的“h 向量”，求实数x 的取值范围；（2）若11((),0)3n n a -=(*N n ∈)，向量组n a a a a ,,,,321 是否存在“h 向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知123a a a 、、均是向量组321,,a a a 的“h 向量”，其中1a = ，2a = ，求证：222123||+||+||a a a 可以写成一个关于x e 的二次多项式与一个关于x e -的二次多项式的乘积．文科参考答案一、 填空题：（每题4分）1. {}12. 62i -3. 6π 4. 39 5. 6π6. 0x ≤7. 18. 29459. 310. 1411.12. (]3,1-- 13. 12 14.2π二、 选择题：（每题5分）15. A 16. D 17. A 18. D 三、 四、 解答题19、解：（1）Rt AOB ∆中，2OB =即圆锥底面半径为2 圆锥的侧面积8Srl ππ==侧……………….4’故圆锥的全面积=+8+412SS S πππ==全侧底……………….6’（2）过D 作//DM AO 交BO 于M ，连CM则CDM ∠为异面直线AO 与CD 所成角……………….8’ AO OBC ⊥平面Q DM OBC ∴⊥平面DM MC ∴⊥在Rt AOB ∆中，AO =DM ∴=D Q 是AB 的中点 M ∴是OB 的中点 1OM ∴=CM ∴=在Rt CDM ∆中，tan CDM ∠==，……………….10’CDM ∴∠=，即异面直线AO与CD所成角的大小为……………….12’20、解：（1）sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=……………….3’ 所以()sin 2sin cos A C B A +=，即sin 2sin cos B B A = 由sin 0B ≠1cos 2A ⇒=……………….6’由于0A π<<，故3A π=……………….7’（2）由余弦定理得，222222cos3AC AC π=+-⋅⋅⋅所以1AC =……………….12’故121sin 23ABC S π∆=⋅⋅⋅=……………….14’21、解：（1）如图，以O 为原点，梯形的上底所在直线为x 轴，建立直角坐标系设梯形下底与y 轴交于点M ，抛物线的方程为：()220x py p =< 由题意()20,40D -，得5p =-，210x y =-……….3’取20y x =-⇒=±即()()20,20A B ---y xS RPQMD CBAO()28AB cm=≈答：横梁AB的长度约为28cm………………..6’（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点设(():200RQl y k x k+=-<………………..7’(()2220101002010y k xx kxx y⎧+=-⎪⇒+-+=⎨=-⎪⎩则()210040020k k∆=+=⇒=-:20RQl y=-+…………..10’得()(),40Q R-OQ⇒=梯形周长为(()2141cm+=≈答：制作梯形外框的用料长度约为141cm………………..14’22、解：（1）由31()022xh x xx=-=⇒=，函数()h x的零点为x=………4’（2）则()22()24m mF x f x⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦……………..5’函数()f x的值域为(][),11,-∞-+∞……………..6’若(],12m-∈-∞-，即[)2,m∈+∞，()2mf x=-时，有2min()4mF x=-……………..8’若(]1,02m -∈-，即[)0,2m ∈，()1f x =-时，有min ()1F x m =-综上所述：[)[)2min2,()410,2m m F x m m ⎧-∈+∞⎪=⎨⎪-∈⎩…………….10’ （3）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y()2220112ax by c a b x cx b y x x ++=⎧⎪⇒+++=⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，则1222cx x a b+=-+……………..14’ 同理由()2220112ax by c a b x cx b y x x ++=⎧⎪⇒++-=⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩，则3422c x x a b +=-+ 则AB 中点与CD 中点重合，即AC BD=……………..16’23、解：(1)由题意，得：||||213a a a +≥，则22)32(9)3(9++≥++x x ……………..2’解得：02≤≤-x ……………..4’(2) 1a 是向量组n a a a a ,,,,321 的 “h 向量”，证明如下：)0,1(1=a ，1||1=a而)0,)31(2121()0,311])31(1[31(1132--⋅-=--=+++n n n a a a ……………..7’ 111110()2232n -≤-⋅<，1211110[()],2234n -≤-⋅< 故=+++||32n a a a 1410])31(2121[221<<+⋅--n 即||||321n a a a a +++>所以1a 是向量组n a a a a ,,,,321 的“h 向量”……………..10’(3)由题意得：||||321a a a +≥，23221||||a a a +≥，即23221)(a a a +≥ 322322212a a a a a ⋅++≥，同理312321222a a a a a ⋅++≥，212221232a a a a a ⋅++≥ 三式相加并化简，得：3231212322212220a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅+++≥ 即0)(2321≤++a a a ，0||321≤++a a a ，所以0321=++a a a ……………..13’ 由0321=++a a a，则3(a = 222222123()||+||+||222x x x x a a e e e e a --=+++22221()2222x x x x e e e e --+++=+ 221x x e e -=++……………..15’2()1x x e e -=+-()(1)1x x x x e e e e --=+++-()(111)1x x x x e e e e--=+++- 22()(1)1x x x x e e e e --=++-+……………..18’（注：分解结果不唯一）。
2018学年第二学期上海市徐汇区学习能力诊断卷高三语文试卷2019.04一积累应用10分1.按要求填空。
（5分）（1）虽无丝竹管弦之盛，______________，亦足以畅叙幽情。
（__________《兰亭集序》）（2）王国维在《___________》中借用了柳永的词句“__________，___________”来类比成就大事业、大学问必经的第二境界。
2.阅读下面文字，按要求选择。
（5分）2016年，由地球物理学家黄大年领衔的“中国深部探测技术”项目研究成果达到国际一流水平。
黄大年对他的团队成员说：在“巡天探地潜海”领域，我们一直在跟跑；经过5年的努力，我们进入了并跑阶段。
要达到领跑水平，我们更要戮力同心，沉下心来做研究。
常常有队员拿实验报告来向我__，或发来论文让我__，不时能看到你们的__，我很欣慰，也很骄傲。
目前我们取得了骄人的成绩，但从并跑到领跑的路还很长，“___，___”我们任重道远。
（1）按顺序填入空格处的词语，用语贴切的一项是（）。
（3分）A.请示指正不经之谈B.垂询斧正不根之论C.请教斧正不易之论D.咨询指正不刊之论（2）填入画线处的句子，合适的一项是（）。
（2分）A.千淘万漉虽辛苦，吹尽狂沙始到金。
B.路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。
C.雄关漫道真如铁，而今迈步从头越。
D.宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。
二阅读70分（一）阅读下文，完成第3—7题。
（15分）科幻作品的价值①近几年，随着刘慈欣的《三体》获雨果奖，以及《黑客帝国》《阿凡达》等科幻电影迸发出炽烈的“科幻热”，科幻作品拥有了数量庞大的受众，但这依然未能改变科幻作品的尴尬地位：它既不是科学领域的主流，也不是文学领域的主流，而是被大部分国人习惯看作“科普读物”沉沦在边缘状态。
如何定位科幻作品，我们似乎应该厘清一个基本问题：科幻作品的价值到底是什么?②1866年，人们在海上发现了一只被称为“独角鲸”的大怪物，生物学家阿龙纳斯应邀参加了捕捉这只“怪物”的行动。
Lvhui2017-2018 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三语文试卷（满分150 分，考试时间150 分钟）2018.4一、积累应用10 分1. 按要求填空。
（5 分）⑴云无心以出岫，。
”（陶渊明《》）⑵是日也，天朗气清，。
（王羲之《兰亭集序》）⑶无论是《老子》中的“千里之行，始于足下”，还是《荀子·劝学》中的“，”，都是以“行路”来形象地阐释积累的重要性。
2. 按要求选择。
（5 分）⑴假设你为学校“读书节”设计一张宣传海报，下列诗文中最适合选用的是（）。
（2 分）A. 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。
B. 世事洞明皆学问，人情练达即文章。
C. 察己则可以知人，察今则可以知古。
D. 问渠那得清如许，为有源头活水来。
⑵下面是某高三学生参加高校自主招生的自荐信，画线部分可能存在不得体的表达。
尊敬的学校领导：您好!①感谢您在百忙之中阅读我的自荐信。
我是XX，来自XX 市XX中学，学习成绩优秀，曾担任校学生会文艺部部长，爱好写作。
我获得过第十九届“语文报杯”全国中学生作文竞赛高中组一等奖；也曾代表学校参加市中学生辩论大赛，②以敏捷的反应和出众的口才令对手自惭形秽，③获得“最佳辩手”称号。
贵校历史悠久，底蕴深厚，④能进入贵校中文系学习是我的理想。
⑤贵校的自主招生条件也非常符合我的标准。
⑥请您一定不要拒绝我，⑦圆我的大学中文系之梦。
此致敬礼！自荐人：XXXXX 年 X 月 X 日有几处画线部分存在不得体的表达？（）（3 分）A. 1 处B. 2 处C. 3 处D. 4 处二、阅读（70 分）（一）阅读下文，完成第3—7 题。
（16 分）①美国波士顿一所公立学校日前选用了一种全新标准的世界地图，令学生们看后困惑不已：美国、加拿大、欧洲的版图不再如印象中那般阔大，南美洲和大洋洲也不像原先看起来那样狭小。
最令人惊讶的是非洲——和美国比起来，非洲才是真正的巨人，连俄罗斯都无法与之相提并论。
②世界地图也有多种版本吗？哪个版本才是正确的呢？要解答这些问题，首先要对地图投影有所了解。
2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级生命科学学科2018.4 一、选择题（共60分，每小题2分。
每小题只有一个正确答案）：1. 人体内的一个肌肉细胞与一个神经细胞中，肯定相同的是A．细胞核内DNA B．细胞质内RNA C．蛋白质种类 D．各种细胞器的数量2.下列微生物中只进行分裂生殖．．．．．．的是A.大肠杆菌B. 青霉菌C. 蘑菇D. 酵母菌3．关于细胞膜的组成、结构、功能之间的关系，逻辑顺序正确的是①膜主要由磷脂分子和蛋白质分子构成②具有流动性③具有选择透过性④膜内蛋白质分子和磷脂分子大都是运动的⑤物质运输得以正常进行A．①④②⑤③B．①②④③⑤C．①④②③⑤D．①②④⑤③4.1953年Watson和Crick构建了DNA双螺旋结构模型，其重要意义在于①证明DNA是主要的遗传物质②确定DNA是染色体的组成成分③发现DNA如何储存遗传信息④为DNA复制机制的阐明奠定基础A．①③B．②③C．②④D．③④5．下图中理论值与实际生存个体数差别很大，。
对于此结果，若用达尔文进化理论来解释，则属于该理论所述的是A．过度繁殖B．生存斗争C．遗传变异D．适者生存6.用生长素作用于某植物后,取部分制成临时装片。
显微镜下观察的结果如右图。
据图得出的有关结论，正确的是A. 生长素的作用具有两重性B. b侧的生长素浓度大于a侧C. a侧的生长素浓度大于b侧D. 生长素能对细胞的伸长生长产生影响7. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm的颗粒物，其中含有有害、有毒物质，易通过肺部进入血液。
PM2.5进入人体后，会被吞噬细胞吞噬，同时导致生物膜通透性改变，引起细胞死亡。
下列有关PM2.5的推测合理的是A. PM2.5进入人体细胞的途径：血浆→组织液→淋巴→病变细胞B. 颗粒物中的一些酸性物质进入血液会导致血浆呈酸性C. PM2.5可能成为过敏原，其诱发的过敏反应属于免疫过程D. 吞噬细胞吞噬PM2.5，属于人体免疫的第三道防线8．生物多样性是人类赖以生存和发展的基础，也是人类及其子孙后代共有的宝贵财富，下列说法错误的是( ) A．外来物种的入侵是我国生物多样性减少的主要原因B．基因重组是形成生物多样性的重要原因之一C．就地保护的主要措施是建立自然保护区和国家公园D．生物多样性包括遗传多样性、物种多样性和生态系统多样性9．依据图所示的三羧酸循环运行原理判断：在有氧呼吸过程中，每分子葡萄糖能使三羧酸循环运行A. 一次B. 二次C. 三次D. 六次10．下列关于体温调节的叙述中，正确的是A．下丘脑是感觉体温变化的主要中枢，是形成冷觉和热觉的部位B．冷觉感受器分布在皮肤，温觉感受器分布在内脏器官C．寒冷环境中打寒战是立毛肌收缩的结果D．在炎热环境中大量排汗并未带走热量，只有汗液蒸发才能带走热量11．某人因一次意外而导致下丘脑受到损伤，这样可能会导致他的( )①甲状腺激素分泌量发生变化②体温调节发生变化③血糖含量发生变化④细胞外液渗透压发生变化⑤垂体合成抗利尿激素减少A．①②⑤B．①②③④⑤C．①③④⑤D．①②③④12. 对429人的ABO血型的基因型进行了检测并计算，得到I A的频率为0.24，I B的频率为0．06，i的频率为0．70。
上海市徐汇区2018届高三下学期学习能力诊断（二模）数学试题一、填空题1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U .2．在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是.3．函数()lg(32)x x f x =-的定义域为_____________． 4．已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a =. 5．若一个球的体积为32π3，则该球的表面积为_________． 6．已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，． 则目标函数z x y =-的最小值为___________．7．函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．8．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于.9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =-- ，向量()1,1b =，则向量a b ⊥ 的概率．．是. 10．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交 点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是.11．若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是．12．已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足||a =、||b = ，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=> ，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为.二、选择题13．在四边形ABCD 中，AB DC = ，且AC ·BD＝0，则四边形ABCD 是（ ） A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形14. 若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为12，且a S n n =∞→lim ，(n ∈*N )，则复数ia z +=1（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限15．在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“090C ∠=”的（ ） A .充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16．如图，圆C 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴相切于点,A B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于点,M N ，若点(2,1)Q 是切线上一点，则MON ∆周长的最小值为( ) A.10 B.8C.三、解答题17． 如图在长方体1111D C B A ABCD -中，2AB =，4AD =，1AC =，点M 为AB 的中点，点N 为BC 的中点．（1）求长方体1111D C B A ABCD -的体积；（2）求异面直线M A 1与N B 1所成角的大小（用反三角函数表示）．NMD 1C 1B 1A 1DCBA18．如图：某快递小哥从A 地出发，沿小路AB BC →以平均时速20公里/小时，送快件到C 处，已知10BD =（公里），0045,30DCB CDB ∠=∠=，ABD ∆是等腰三角形，0120ABD ∠=．（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C 处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD DC →追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C 处？19．已知函数2()31f x x tx =-+，其定义域为[0,3][12,15] ， (1) 当2t =时，求函数()y f x =的反函数；(2) 如果函数()y f x =在其定义域内有反函数，求实数t 的取值范围．20．如图，,A B 是椭圆22:12x C y +=长轴的两个端点，,M N 是椭圆上与,A B 均不重合的相异两点，设直线,,AM BN AN 的斜率分别是123,,k k k .(1)求23k k ⋅的值；(2)若直线MN 过点⎫⎪⎪⎝⎭，求证：1316k k ⋅=-； (3)设直线MN 与x 轴的交点为(,0)t (t 为常数且0t ≠)，试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．21．已知数列{}n a 的前n 项和n A 满足*11()12n n A A n n n +-=∈+N ，且11a =，数列{}n b 满足*2120()n n n b b b n ++-+=∈N ，32b =，其前9项和为36．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)当n 为奇数时，将n a 放在n b 的前面一项的位置上；当n 为偶数时，将n b 放在n a 前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：1122334455,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b ⋅⋅⋅，求该数列的前n 项和n S ； (3)设1n n nc a b =+，对于任意给定的正整数()2k k ≥，是否存在正整数,()l m k l m <<，使得,,k l m c c c 成等差数列？若存在，求出,l m (用k 表示)；若不存在，请说明理由．【参考答案】一． 填空题１．]3,1[- 2．20 3．(0,)+∞ 4．1 5．16π 6．1- 7．π 8．15π9．16 10． 2220x y x y +--= 11．114⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12．815 二．选择题13．A 14．D 15．B 16．A 三. 解答题17．解：（1） 连AC 、1AC ． ABC ∆是直角三角形，∴AC =1111D C B A ABCD -是长方体，∴BC C C ⊥1，CD C C ⊥1，又C BC DC =⋂， ∴⊥C C 1平面ABCD ，∴AC C C ⊥1．又在1ACC Rt ∆中，1AC =，AC =∴11CC =，∴11118ABCD A B C D V -=． （2）解法一：如图建立空间直角坐标系.则()14,0,1A 、()4,1,0M 、()14,2,1B 、()2,2,0N ，所以()10,1,1A M =- 、()12,0,1B N =--， 则向量1AM 与1B N 所成角θ满足1111cos 10A M B N A M B Nθ⋅==⋅． ∴异面直线M A 1与N B 1所成的角等于．14分解法二：取AD 的中点E ，连E A 1、EM ．11////B A AB EN ，∴四边形NE B A 11为平行四边形，N B E A 11//∴，∴M EA 1∠等于异面直线M A 1与N B 1所成的角或其补角．1AM =，2AE =，11=AA，得1AM =1AE =，5=EM ，∴1cos EA M ∠==110EA M ∠=． ∴异面直线M A 1与N B 1所成的角等于． 18．解：（1）10AB =（公里），BCD ∆中，由00sin 45sin 30BD BC=，得BC =，于是，由106051.215020+≈>知， 快递小哥不能在50分钟内将快件送到C 处．（2）在ABD ∆中，由22211010210103002AD ⎛⎫=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，得AD =， 在BCD ∆中，0105CBD ∠=，由00sin105sin30CD =，得(51CD =+（公里），由(5160152045.9851.2160⨯+=+≈<（分钟）知，汽车能先到达C 处．END 1C 1B 1A 1D CBA19．解：(1) 3[8,1]3[73,136]x y x ⎧∈-⎪=⎨+∈⎪⎩； (2)01 若302t ≤，即0t ≤，则()y f x =在定义域上单调递增，所以具有反函数；02 若3152t≥，即10t ≥，则()y f x =在定义域上单调递减，所以具有反函数；--10分 03 当33122t ≤≤，即28t ≤≤时，由于区间[]0,3关于对称轴32t的对称区间是[]33,3t t -，于是当312332t t <⎧⎪⎨≥⎪⎩或33153122t t->⎧⎪⎨≤⎪⎩，即[)2,4t ∈或(]6,8t ∈时， 函数()y f x =在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数． 综上，(,0][2,4)(6,8][10,)t ∈-∞+∞ ． 20．解：(1)设00(,)N x y，由于(A B ，所以223202y k k x ⋅==-，因为00(,)N x y 在椭圆C 上，于是220012x y +=，即220022x y -=-， 所以202320122y k k x ⋅==--.(2)设直线:2MN x my =+，1122(,),(,)M x y N x y，由22222x my x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得223(2)02m y ++-=，于是()1212223,222y y y y m m +=-⋅=-++，13k k ⋅==()()2222332212396322222m m m m m --+===---+++．(3)由于直线MN 与x 轴的交点为(,0)t ，于是:MN x my t =+，联立直线:MN x my t =+与椭圆22:12x C y +=的方程，可得 222(2)220m y mty t +++-=，于是212122222,22mt t y y yy m m -+=-⋅=++.因为直线:AM y x =，直线:BN yx =，两式相除，可知2211y y y y===22212221222()222(2t mtm t y m m t m t y m -⋅++--++==-⋅++2==， 于是2xt =，所以2x t =，即直线AM 与直线BN 的交点Q 落在定直线2x t=上． 21．解： (1)因为*11()12n n A A n n n +-=∈+N ，于是数列n A n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，所以1122n A n n =+，即*(1)()2n n n A n +=∈N ， 当2n ≥时，1n n n a A A n -=-=，又因为11a =，所以*()n a n n =∈N . 又因为*2120()n n n b b b n ++-+=∈N ，于是数列{}n b 是等差数列，设{}n b 的前n 项和为n B ，由于95936B b ==，则54b =，由于32b =， 所以1(*)n b n n =-∈N ． (2)数列{}n a 的前n 项和(1)2n n n A +=，数列{}n b 的前n 项和(1)2n n nB -=． 当2(*)n k k =∈N 时，22(1)(1)22n k k k k k k kS S A B k +-==+=+=； 当43(*)n k k =-∈N 时，2432122(21)(23)(1)463n k k k S S A B k k k k k k ---==+=-+--=-+；当41(*)n k k =-∈N 时，241212(21)(21)42n k k k S S A B k k k k k k --==+=-+-=-； 所以2221,243,4341,414n n n k n S n k n n k ⎧=⎪⎪+⎪==-⎨⎪⎪-=-⎪⎩，其中*k ∈N ．(3)由(1)可知，121n c n =-. 若对于任意给定的正整数()2k k ≥，存在正整数,()l m k l m <<，使得,,k l m c c c 成等差数列，则2l k m c c c =+，即211212121l k m =+---， 于是121421212121(21)(21)k l m l k l k --=-=-----，所以222(1)(214)(21)421421kl k l k l k k m k l k l +--+-+-==----2(21)1421k k k l -=-+--，即2(21)1421k m k k l -=+---， 则对任意的()2,k k k N *≥∈，421k l --能整除2(21)k -，且4210k l -->.由于当2k ≥时，21k -中存在多个质数， 所以421k l --只能取1或21k -或()221k -，若4211k l --=，则21l k =-，2452m k k =-+，于是2473(43)(1)0m l k k k k -=-+=-->，符合k l m <<；若42121k l k --=-，则k l =，矛盾，舍去；若2421(21)k l k --=-，则2m k +=，于是0m ≤，矛盾．综上，当2k ≥时，存在正整数221,452l k m k k =-=-+，满足k l m <<，且使得,,k l m c c c 成等差数列．。
2017-2018学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 2018.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U .2．在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是.3．函数()lg(32)x xf x =-的定义域为_____________．4．已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a =.5．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．6．已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，．则目标函数z x y =-的最小值为___________．7．函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．8．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于.9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是. 10．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是.11．若函数222(1)s i n()1x x f x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()s i n 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是． 12．已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足||15a =、||b =，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。
2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 高三化学 试卷 2018.4一、选择题（本题共40分，每小题2分，每题只有一个正确选项） 1．下列物质属于纯净物的是A ．液氯B ．铝热剂C ．氨水D ．石油 2．下列物质属于强电解质的是A ．FeB ．CH 3COONH 4C ．CO 2D ．CH 3COOH3．下列过程只涉及物理变化的是A ．盐酸除锈B ．石油分馏C ．煤的气化D ．氯气消毒 4．关于二氧化碳，下列化学用语正确的是A ．分子比例模型B ．分子电子式C O OC ．分子结构式 O=C=OD ．溶于水电离：CO 2 + H 2O → H + + HCO 3-5．下列我国古代的几种技术应用，不涉及氧化还原反应的是A ．卤水煮盐B ．铁矿石炼铁C ．化丹（Pb 3O 4）为铅D ．火药爆炸6．容量瓶上不会标示A ．标线B ．容量C ．温度D ．浓度7．潮湿氯气、新制氯水以及次氯酸钠溶液都能使有色布条褪色，因为它们都含有微粒A ．HClOB ．ClO -C ．HClD ． Cl 2 8．分析右面的能量变化示意图，下列热化学方程式正确的是A ．2A(g) + B(g) → 2C(g) - QB ．2A(g) + B(g) → 2C(g) + QC ．2A + B → 2C + QD ．2C → 2A + B - Q 9．下列溶液不能区别SO 2和CO 2的是A ．酸性KMnO 4溶液B ．品红溶液C ．氢硫酸溶液D ．Ba(OH)2溶液 10．右图为元素周期表中元素X 的信息。
下列关于X 的说法正确的是A ．属于过渡元素B ．质量数为74.92C ．处于第4周期第IIIA 族D ．非金属性比氮弱11．某同学认为金属铝也有非金属性。
下列化学反应中，你认为能支持该同学观点的是A ．铝片与盐酸反应生成氢气B ．氢氧化铝溶于强酸溶液C ．氢氧化铝溶于强碱溶液D ．铝热反应2A(g) + B(g)物质具有的总能量12．关于醋酸钠的结构，下列说法错误的是A ．有极性键B ．有非极性键C ．是极性分子D ．是离子晶体 13．在醋酸溶液中，CH 3COOH 电离达到平衡的标志是A ．溶液显电中性B ．溶液中检测不出CH 3COOH 分子存在C ．氢离子浓度恒定不变D ．c (H +) ＝ c (CH 3COO -)14．《开宝本草》中记载了如何提取硝酸钾：“此即地霜也，所在山泽，冬月地上有霜，扫取以水淋汁后，乃煎炼而成”。
2018学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学 试卷 2019.4【考生注意】考试设试卷和答题纸两部分，所有答案必须填涂（选择题）或书写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
考试时间120分钟，试卷满分150分。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 设全集U R =，若集合{1,2,3,4},{|23}A B x x ==≤≤，则=U A B I ð___________.2. 已知点(2,5)在函数x a x f +=1)((0a >且1a ≠)的图像上，则()f x 的反函数1()=f x -______________.3. 不等式+11x x>的解为___________. 4. 已知球的主视图所表示图形的面积为9π，则该球的体积是 .5.函数cos 2sin ()cos x xf x x-=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为___________. 6. 若2+i （i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x mx n ++=的一个根，则圆锥曲线221x y m n+=的焦距为 . 7.设无穷等比数列{}n a 的公比为q .若{}n a 的各项和等于q ，则首项1a 的取值范围是 .8.已知点(0,0),(2,0),(1,O A B -，P是曲线y =则OP BA ⋅u u u r u u u r 的取值范围是 .9. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为________.（结果用数值表示）10.已知函数4()1f x x x =+-，若存在121,,,,44n x x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦L ，使得121()()()()n n f x f x f x f x -+++=L ，则正整数n 的最大值是___________.11.在平面直角坐标系中，设点00O （，），(3,A ，点(,)P x y的坐标满足0200y x y -≤-+≥⎨⎪≥⎪⎩，则OA u u u r 在OP uuu r上的投影的取值范围是 .12.函数()sin (0)f x x ωω=>的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为123,,,,,,n A A A A L L 在点列{}n A 中存在三个不同的点,,k l p A A A ，使得k l p A A A ∆是等腰直角三角形.将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{}n ω，则2019ω=___________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 满足条件i 34i z -=+（i 是虚数单位）的复数z 在复平面上对应的点的轨迹是（ ）（A ）直线 （B ）圆 （C ）椭圆 （D ）双曲线14. 设*n N ∈，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件15. 已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） （A ）3716（B ）115 （C ）2 （D ）7416. 设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x R ∈,使得1212()()()22x x f x f x f ++=，则称函数()f x 具有性质P ,那么以下函数： ①1(0)()0(0)x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩； ②3()f x x =； ③2()1f x x =-； ④2()f x x =中，不具有性质P 的函数为（ ）（A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos 2+4cos()30A B C ++=. （1）求角A 的大小； （2）若3=a ，3=+c b ，求b 和c 的值.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图：正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，1BC 与底面ABCD 所成角的大小为arctan 2，M 是1DD 的中点，N 是BD 上的一动点，设(01)DN DB λλ=<<u u u r u u u r.（1）当1=2λ时，证明：MN 与平面11ABC D 平行；（2）若点N 到平面BCM 的距离为d ，试用λ表示d ，并求出d 的取值范围.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如下图：A 、B 两个信号源相距10米，O 是AB 的中点，过O 点的直线l 与直线AB 的夹角为045.机器猫在直线l 上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晚8v 秒(注：信号每秒传播0v 米).在时刻0t 时，测得机器鼠距离O 点为4米. （1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻0t 时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l 不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）对于项数为(3)m m ≥的有穷数列{}n a ，若存在项数为1m +，公差为d 的等差数列{}n b ，使得1k k k b a b +<<，其中1,2,,k m =…，则称数列{}n a 为“等差分割数列”. （1）判断数列{}:1,4,8,13n a 是否为“等差分割数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 的通项公式为2(1,2,,)nn a n m ==L ，求证：当5m ≥时，数列{}n a 不是“等差分割数列”；（3）已知数列{}n a 的通项公式为43(1,2,,)n a n n m =+=L ，且数列{}n a 为“等差分割数列”.1A若数列{}n b 的首项13b =，求数列{}n b 的公差d 的取值范围（用m 表示） .21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数()1y f x =，()2y f x =，定义函数()()()()()()()112212,,f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩.（1）设函数()()()11210,2x f x f x x -⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭求函数()y f x =的值域；（2）设函数()1lg(1)f x p x =-+（10,2x p <≤为实常数），()21lg f x x= 102x ⎛⎫<≤⎪⎝⎭，当102x <≤时，恒有()()1,f x f x =求实常数p 的取值范围； （3）设函数12()2,()32,x x pf x f x -==⋅p 为正常数，若关于x 的方程()f x m =(m 为实常数）恰有三个不同的解，求p 的取值范围及这三个解的和（用p 表示）.参考答案一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1. {}14，2. 2log (1)x -3. (0,+)∞4. 36π5.6. 67. 1(2,0)0,4⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦ 8. []2,4- 9. 34 10. 611. [3,3]- 12.40372π 二、 选择题：(共20分，每题5分)13. B 14. A 15. C 16. D 三、 解答题17、解：（1）由2cos 2+4cos()30A B C ++=，得01)cos(4cos 42=+++C B A ，…（2分） 因为π=++C B A ，所以A C B cos )cos(-=+，故0)1cos 2(2=-A ，…………（4分）所以，21cos =A ，3π=A ． ………………（6分） （2）由余弦定理，A bc c b a cos 2222-+=，得322=-+bc c b ， ………………（8分）33)(2=-+bc c b ，得2=bc ， ………………（10分）由⎩⎨⎧==+,2,3bc c b 解得⎩⎨⎧==,1,2c b 或⎩⎨⎧==.2,1c b ……………（14分）18、解：(1) 因为1C 是1BC 上的点，且1C 在平面ABCD 上的射影是C ，即BC 是1BC 在平面ABCD 上的射影，于是1C BC ∠是1BC 与底面ABCD 所成的角，而111tan 22CC CC C BC BC ∠===,所以14CC =. ………（2分） 如图，以D 为原点，直线DA 为x 轴，直线DC 为y 直线1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.连结1BD ，因为M 是1DD 的中点，N 是BD 中点， 所以1//MN BD ， ………（4分）于是1//MN BD u u u u r u u u u r ，令1()MN tBD t R =∈u u u u r u u u u r. 设1n u r 是平面11ABC D 的法向量，则11n BD ⊥u r u u u u r ，于是11111()0n MN n tBD tn BD ⋅=⋅=⋅=u r u u u u r u r u u u u r u r u u u u r ，即1n MN ⊥u r u u u u r ，又因为MN 不在平面11ABC D 内，所以MN 与平面11ABC D 平行. (2)由于(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)B C M ，于是(2,0,0),(0,2,2)CB CM ==-u u u r u u u u r. ………（设平面BCM 的法向量2(,,)n x y z =u u r，因为220,0n CB n CM ⋅=⋅=u u r u u u r u u r u u u u r ，于是20220x y z =⎧⎨-+=⎩，取1y =，则平面BCM 的一个法向量为2(0,1,1)n =u u r.………（10分） 因为(01)DN DB λλ=<<u u u r u u u r，于是(2,2,0)(01)N λλλ<<，则(2,2,2)MN λλ=-u u u u r， ………（11分）所以点N 到平面BCM的距离22,(0,1)||MN n d n λ⋅==∈u u u u r u u r u u r ，………（13分） 从而d的取值范围是. ………（14分） 19、解：（1）设机器鼠在点(,)P x y 处，则由题意，得0088PA PB v AB v -=⋅=< 所以，P 为以A 、B 为焦点，实轴长为8，焦距为10 的双曲线右支上的点，……（2分）该双曲线的方程为()2214169x y x -=≥， ………（4分）又4PO =，解得(4,0)P ，即在时刻0t 时，机器鼠所在位置的坐标为40（，）. ………（6分） （2）与直线l 平行且距离不超过1.5的直线方程为(2y x m m =+≤……（8分）考虑(2y x m m =+≤与()2214169x y x -=≥是否有交点， 2222217321614405764032169x y x mx m m y x m ⎧-=⎪⇒+++=⇒∆=-⎨⎪=+⎩……（10分）因为2m ≤，所以0∆< ……（12分）所以，(2y x m m =+≤与()2214169x y x -=≥没有交点， 即机器鼠保持目前的运动轨迹不变，没有“被抓”风险. ……（14分） 20、解：(1)因为存在等差数列1,3,7,11,15-， ……（2分） 满足113478111315-<<<<<<<<，所以数列{}:1,4,8,13n a 是“等差分割数列”. ……（4分） (2)当5m ≥时，若存在公差为d ，项数为1m +项的等差数列{}n b 满足：1k k k b a b +<<， 其中1,2,,k m =…，则有1234562481632m b b b b b b b <<<<<<<<<<<<…，……（6分） 于是32826d b b =-<-=，所以633681826b b <+⨯<+=，与632b >矛盾， ……（8分） 即5m ≥时，{}n a 不是“等差分割数列”. ……（10分） (3)由题意知,111213141512345b a b d a b d a b d a b d a b d <<+<<+<<+<<+<<+<… 11(1)m b m d a b md <+-<<+，于是一方面11213111114,()4,()4,,()423m d a b d a b d a b d a b m>-=>-=>-=>-=…，所以4d >. ……（11分）另一方面，2131411111,(),(),,()231m d a b d a b d a b d a b m <-<-<-<--…， ……（13分）由于111114()()12(1)(2)m m a b a b m m m m -----=----，又因为3m ≥， 于是11111()()12m m a b a b m m --<---，所以114()11m md a b m m <-=--.……（15分） 综上所述，441md m <<-. ……（16分）21、解：（1）因为()()12111f f ==，当[]0,1x ∈时，()1f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()1212x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减.所以 ()111,12x x f x x -≤≤=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩ ……（2分）当01x ≤≤时，()[]0,1f x ∈；当1x >时，()()0,1f x ∈()y f x ∴=值域为[]0,1……（4分）（2）102x <≤时，()()1f x f x =恒成立，等价于()()12,f x f x ≤对102x <≤恒成立，即()1lg 1lg ,p x x -+≤ 11p x x -+≤，11,p x x -≤-1111p x x x-+≤-≤-即1111x p x x x -+≤≤+-对102x <≤恒成立， ……（5分）11x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Q 在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上递增12x ∴=时，max 11+12x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭……（7分）又11 xx⎛⎫+- ⎪⎝⎭Q在10,2 x⎛⎤∈⎥⎝⎦上递减，12x∴=时，min1312xx⎛⎫+-=⎪⎝⎭……（9分）1322p∴-≤≤……（10分）（3）11()(),f x f x=-Q22()()f p x f p x+=-∴函数12(),()f x f x图像分别关于直线0,x x p==对称.当x R∈时，若1()()f x f x=恒成立，等价于12()()f x f x≤恒成立，即232x x p-≤⋅即23x x p--≤，即2log3x x p--≤恒成立.当0p>时，设(),(0)2,(0),()p xg x x x p x p x pp x p-<⎧⎪=--=-≤≤⎨⎪>⎩max()g x p∴=，故20log3p<≤成立.……（12分）当20log3p<≤时，1()()f x f x=()(][)1,00+f x-∞∞Q为偶函数，且在上递减、，上递增，方程()f x m=最多有两个解.如下图.故关于x的方程()f x m=恰有三个不同的解，则2log3p>……（14分）当0x≤时，()()()()12122,x p xf x f x f x f x--=<<=从而当x p≥时，1()222x p x pf x-==⋅>2log3222()x p f x-⋅=从而2()().f x f x=当0x p<<时，1()2xf x=及2()32p xf x-=⋅由00232,x p x-=⋅得2log32px+=显然2log32px p+<=<表明x在0与p之间Q在(]00,x x∈时，1()2xf x=递增，2()32p xf x-=⋅递减；在(),x x p∈时，1()2xf x=递增，2()32p xf x-=⋅递减1020(),(0)()(),()f x x x f x f x x x p <≤⎧∴=⎨<<⎩综上可知，1020(),()()(),()f x x x f x f x x x ≤⎧=⎨>⎩……（16分）()f x 在(][]0,0,,x p -∞上单调减，在[][)00,,,x p +∞上单调增. 如下图故关于x 的方程()f x m =恰有三个不同的解，则3m =或20log 3210()22p x m f x +===01当3m =时，三个解的和为p ……（17分） 02当20log 3210()22p x m f x +===时，三个解的和为203log 32.2p p x --=……（18分）更多高考数学信息，请关注。
