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第一讲导数的概念及运算题组1导数的几何意义1.[2014新课标全国Ⅱ,8,5分][理]设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.32.[2014陕西,10,5分][理]如图3-1-1,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为()图3-1-1A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x3.[2016全国卷Ⅲ,15,5分][理]已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.4.[2015新课标全国Ⅰ,14,5分]已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.5.[2015陕西,15,5分][理]设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.6.[2016全国卷Ⅱ,20,12分]已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(Ⅰ)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.7.[2014新课标全国Ⅰ,21,12分][理]设函数f(x)=a e x ln x+-,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.(Ⅰ)求a,b;(Ⅱ)证明:f(x)>1.题组2导数的运算8.[2015天津,11,5分]已知函数f(x)=ax ln x,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数.若f'(1)=3,则a的值为.9.[2017 浙江,20,15分]已知函数f(x)=(x--)e-x(x≥).(Ⅰ)求f(x)的导函数;(Ⅱ)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围.A组基础题1. [2017河南南阳期中,5]若曲线f(x)=x sin x+1在点(,+1)处的切线与直线ax-2y+1=0互相垂直,则实数a=()A.-2B.2C.1D.-12.[2017临川三模,4]已知函数f(x)=sin x-cos x,且f'(x)=f(x),则tan 2x的值是()A.-B.-C.D.3.[2017成都市高三二诊,5]若曲线y=f(x)=ln x+ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线,则实数a的取值范围是()A.(-,+∞)B.[-,+∞)C.(0,+∞)D.[0,+∞)4.[2017广州市高三综合测试,9]设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为()A.(0,0)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,-1)或(-1,1)5.[2017辽宁省沈阳市高三教学质量监测,16]设函数f(x)=g()+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为9x+y-1=0,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为.6.[2017云南省高三统一检测,13]已知函数f(x)=ax ln x+b(a,b∈R),若f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,则a+b=.B组提升题7.[2018广东七校第一次联考,12]已知函数f(x)=x2的图象在点(x0,)处的切线为l,若l也与函数y=ln x,x∈(0,1)的图象相切,则x0必满足()A.0<x0<B.<x0<1C.<x0<D.0<8.[2017湖北孝感统考,8]若曲线y=ln(x+a)的一条切线为y=e x+b,其中a,b为正实数,则a+的取值范围是()A.(+,+∞)B.[e,+∞)C.[2,+∞)D.[2,e)9.[2018山西八校第一次联考,21]已知函数f(x)=x-1-a ln x(a∈R),g(x)=.(1)当a=-2时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(2)若a<0,且对任意x1,x2∈(0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<4×|g(x1)-g(x2)|,求实数a的取值范围.10.[2017长沙市五月模拟,21] 已知f(x)=ax3-x2-x+b(a,b∈R,a≠0),g(x)=e x(e是自然对数的底数),f(x)的图象在x=-处的切线方程为y=x+.(1)求a,b的值;(2)探究:直线y=x+是否可以与函数g(x)的图象相切?若可以,写出切点的坐标;否则,说明理由.答案1.D y'=a-,由题意得y'|x=0=2,即a-1=2,所以a=3.2.A设所求函数解析式为y=f(x),由题意知f(5)=-2,f(-5)=2,且f'(±5)=0,代入验证易得y=x3-x符合题意,故选A.3.y=-2x-1由题意可得当x>0时,f(x)=ln x-3x,则f'(x)=-3,f'(1)=-2,则在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.4.1因为f(x)=ax3+x+1,所以f'(x)=3ax2+1,所以f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k=3a+1,又f(1)=a+2,所以切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),因为点(2,7)在切线上,所以7-(a+2)=3a+1,解得a=1.5.(1,1)y'=e x,则y=e x在点(0,1)处的切线的斜率k=1,又曲线y=(x>0)上点P处的切线与y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,所以y=(x>0)在点P处的切线的斜率为-1,设P(a,b),则曲线y=(x>0)上点P处的切线的斜率为=-a-2=-1,可得a=1,又P(a,b)在y=上,所以b=1,故P(1,1).6.(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞).当a=4时,f(x)=(x+1)ln x-4(x-1),f'(x)=ln x+-3,f'(1)=-2,f(1)=0.故曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+y-2=0.(Ⅱ)当x∈(1,+∞)时,f(x)>0等价于ln x--)>0.设g(x)=ln x--),则g'(x)=-)=-)),g(1)=0.(i)当a≤2,x∈(1,+∞)时,x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,故g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增,因此g(x)>0;(ii)当a>2时,令g'(x)=0得x1=a-1--)-,x2=a-1+-)-.由x2>1和x1x2=1得x1<1,故当x∈(1,x2)时,g'(x)<0,g(x)在(1,x2)上单调递减,此时g(x)<g(1)=0.综上,a的取值范围是(-∞,2].7.(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a e x ln x+e x-e x-1+e x-1.由题意可得f(1)=2, f'(1)=e.故a=1,b=2.(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f(x)=e x ln x+e x-1,从而f(x)>1等价于x ln x>x e-x-.设函数g(x)=x ln x,则g'(x)=1+ln x.所以当x∈(0,)时,g'(x)<0;当x∈(,+∞)时,g'(x)>0.故g(x)在(0,)上单调递减,在(+∞)上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g()=-.设函数h(x)=x e-x-,则h'(x)=e-x(1-x).所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0; 当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0.故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-.综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.8.3f'(x)=a(ln x+x·)=a(ln x+1),因为f'(1)=3,所以f'(1)=a=3.9.(Ⅰ)因为(x--)'=1--,(e-x)'=-e-x,所以f'(x)=(1--)e-x-(x--)e-x=-) --)--(x>).(Ⅱ)由f'(x)=-) --)--=0,解得x=1或x=.因为又f(x)=(--1)2e-x≥0,所以f(x)在区间[,+∞)上的取值范围是[0,-].A组基础题1.A因为f(x)=x sin x+1,所以f'(x)=sin x+x cos x, 所以f'()=sin+cos=1.因为直线ax-2y+1=0的斜率为,所以f'()×=-1,解得a=-2,故选A.2.D因为f'(x)=cos x+sin x=sin x-cos x,所以tan x=-3,所以tan 2x=-=--=,故选D.3.D f'(x)=+2ax=(x>0),根据题意有f'(x)≥0 x>0)恒成立,所以2ax2+1≥0 x>0)恒成立,即2a≥-(x>0)恒成立,所以a≥0,故实数a的取值范围为[0,+∞).故选D.4.D由题意知,f'(x)=3x2+2ax,所以曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率为f'(x0)=3+2ax0,又切线方程为x+y=0,所以x0≠0,且-,,解得a=±2,x0=-.所以当,-时,点P的坐标为(1,-1);当-,时,点P的坐标为(-1,1),故选D.5.x+2y+6=0由已知得g'(1)=-9,g(1)=-8,又f'(x)=g'()+2x,∴f'(2)=g'(1)+4=-+4=-,f(2)=g(1)+4=-4,∴所求切线方程为y+4=-(x-2),即x+2y+6=0.6.4由题意,得f'(x)=a ln x+a,所以f'(1)=a,因为函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,所以a=2,又f(1)=b,则2×1-b=0,所以b=2,故a+b=4.B组提升题7.D由题意,得f'(x)=2x,所以f'(x0)=2x0,f(x0)=,所以切线l的方程为y=2x0(x-x0)+=2x0x-.因为l也与函数y=ln x(0<x<1)的图象相切,设切点坐标为(x1,ln x1),易知y'=,所以切线l的方程为y=x+ln x1-1,则,-,又0<x1<1,所以x0>1,所以1+ln 2x0=,x0∈(1,+∞).令g(x)=x2-ln 2x-1,x∈(1,+∞),则g'(x)=2x-=->0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递增,又g(1)=-ln 2<0,g()=1-ln 2<0,g()=2-ln 2>0,所以存在x0∈(,),使得g(x0)=0,故<x0<,选D.8.C因为y=ln(x+a),所以y'=.设切点为(x0,y0),则有,),所以b=a e-2.因为b>0,所以a>,所以a+=a+=a+≥2 当且仅当a=1时取等号),所以a+的取值范围是[2,+∞),故选C.9.(1)当a=-2时,f(x)=x-1+2ln x,f'(x)=1+,f(1)=0,切线的斜率k=f'(1)=3,故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y-3=0.(2)对x∈(0,1],当a<0时,f'(x)=1->0,∴f(x)在(0,1]上单调递增,易知g(x)=在(0,1]上单调递减,不妨设x1,x2∈(0,1],且x1<x2,f(x1)<f(x2),g(x1)>g(x2),∴f(x2)-f(x1)<4×[g(x1)-g(x2)],即f(x1)+>f(x2)+.令h(x)=f(x)+,则当x1<x2时,有h(x1)>h(x2),∴h(x)在(0,1]上单调递减,∴h'(x)=1--=--≤0在(0,1]上恒成立,∴x2-ax-4≤0在(0,1]上恒成立,等价于a≥x-在(0,1]上恒成立,∴只需a≥ x-)max.∵y=x-在(0,1]上单调递增,∴y max=-3,∴-3≤a<0,故实数a的取值范围为[-3,0).10.(1)因为f(x)=ax3-x2-x+b,所以f'(x)=3ax2-2x-1,因为f(x)=ax3-x2-x+b的图象在x=-处的切线方程是y=x+,所以f'(-)=,即3a×(-)2-2×(-)-1=,解得a=1.因为f(x)的图象过点(-,),所以(-)3-(-)2-(-)+b=,解得b=.综上,a=1,b=.(2)设直线y=x+与函数g(x)的图象相切,切点为点B(x0,y0),因为g'(x)=e x,所以过点B的切线的斜率是g'(x0)=.又直线y=x+的斜率是,所以=,解得x0=-.将x0=-代入y=e x得点B的坐标为(-,),所以直线y=x+可以与函数g(x)的图象相切,切点坐标为(-,).。
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习第四章平面向量、复数考点知识总结19平面向量的概念及线性运算高考概览高考在本考点的常考题型为选择题和填空题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1.了解向量的实际背景2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3．理解向量的几何表示4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6．了解向量线性运算的性质及其几何意义一、基础小题1．给出下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a －b＝a＋(－b)．其中正确的个数是()A．2 B．3 C．4 D．5答案D解析 由零向量和相反向量的性质，知①②③④⑤均正确．2. 如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →答案 D解析 由图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →.3．给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同；④若非零向量a ，b 的方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同．其中叙述错误的命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 对于②，当a ＝0时，不成立；对于③，当a ，b 之一为零向量时，不成立；对于④，当a ＋b ＝0时，a ＋b 的方向是任意的，它可以与a ，b 的方向都不相同．故选C.4．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12答案 B解析 由于c 与d 反向共线，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]．整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧ λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k <0，所以λ<0，故λ＝－12.5．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，λ，μ∈R ，若A ，B ，C 三点共线，则λ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或1D ．－1或2答案 D解析 ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →，∴存在实数m 使得AB →＝m AC →，则λa ＋2b ＝m [a ＋(λ－1)b ]，∵a ，b 不共线，∴⎩⎨⎧λ＝m ，2＝m (λ－1)，解得λ＝2或－1.故选D. 6．已知在四边形ABCD 中，O 是四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝a －b ＋c ，则四边形ABCD 的形状为( )A ．梯形B ．正方形C ．平行四边形D ．菱形答案 C解析 因为OD →＝a －b ＋c ，所以AD →＝c －b ，又BC →＝c －b ，所以AD →∥BC →且|AD →|＝|BC→|，所以四边形ABCD 是平行四边形．故选C.7．已知△ABC 中，AD →＝2DC →，E 为BD 的中点，若BC →＝λAE →＋μAB →，则λ－2μ的值为( )A ．2B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由已知得，BC →＝BA →＋AC →＝BA →＋32AD →＝BA →＋32(AE →＋ED →)＝BA →＋32(2AE →＋BA →)＝3AE →－52AB →，所以λ＝3，μ＝－52，所以λ－2μ＝8.8．设e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，AB →＝(a －1)e 1＋e 2，AC →＝b e 1－2e 2(a ＞0，b ＞0)，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 因为a >0，b >0，若A ，B ，C 三点共线，设AB →＝λAC →，即(a －1)e 1＋e 2＝λ(b e 1－2e 2)，因为e 1，e 2是平面内两个不共线向量，所以⎩⎨⎧a －1＝λb ，1＝－2λ，解得λ＝－12，a －1＝－12b ，即a ＋12b ＝1，则1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝1＋1＋b 2a ＋2a b ≥2＋2b 2a ·2a b ＝2＋2＝4，当且仅当b 2a ＝2a b ，即a ＝12，b ＝1时取等号，故1a ＋2b 的最小值为4.故选B.9．(多选)已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( )A ．2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2eB ．存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0C ．x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)D ．已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b答案 AB解析 对于A ，∵向量a ，b 是两个非零向量，2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－2e ，∴a ＝27e ，b ＝－87e ，此时能使a ，b 共线，故A 正确；对于B ，存在相异实数λ，μ使λa －μb ＝0，要使非零向量a ，b 是共线向量，由共线定理可知成立，故B 正确；对于C ，x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)，如果x ＝y ＝0，则不能使a ，b 共线，故C 错误；对于D ，已知梯形ABCD 中，AB →＝a ，CD →＝b ，如果AB ，CD 是梯形的上下底，则正确，否则错误．故选AB.10．(多选)已知等边三角形ABC 内接于⊙O ，E 为边BC 的中点，D 为线段OA 的中点，则BD →＝( )A.23BA →＋16BC →B.43BA →－16BC →C.BA →＋13AE →D.23BA →＋13AE →答案 AC解析 如图所示，BD →＝BA →＋AD →＝BA →＋13AE →＝BA →＋13(AB →＋BE →)＝BA →－13BA →＋13×12BC→＝23BA →＋16BC →.故选AC.11．(多选)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则( )A ．△ABC 是直角三角形B ．△ABC 是等腰三角形C ．△ABC 的面积为23D ．△ABC 的面积为3答案 AC解析 由|PB →|＝|PC →|得，△PBC 是等腰三角形，取BC 的中点D ，连接PD ，则PD⊥BC ，又AB →＋PB →＋PC →＝0，所以AB →＝－(PB →＋PC →)＝－2PD →，所以PD ＝12AB ＝1，且PD∥AB ，故AB ⊥BC ，即△ABC 是直角三角形，由|PB →|＝2，|PD →|＝1可得|BD →|＝3，则|BC→|＝23，所以△ABC 的面积为12×2×23＝2 3.12．已知A 1，A 2，A 3为平面上三个不共线的定点，平面上点M 满足A 1M →＝λ(A 1A 2→＋A 1A 3→)(λ是实数)，且MA 1→＋MA 2→＋MA 3→是单位向量，则这样的点M 有________个．答案 2解析 由题意得，MA 1→＝－λ(A 1A 2→＋A 1A 3→)，MA 2→＝MA 1→＋A 1A 2→，MA 3→＝MA 1→＋A 1A 3→，所以MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＝(1－3λ)(A 1A 2→＋A 1A 3→)，设D 为A 2A 3的中点，则(1－3λ)·(A 1A 2→＋A 1A 3→)为与A 1D →共起点且共线的一个向量，显然直线A 1D 与以A 1为圆心的单位圆有两个交点，故这样的点M 有2个，即符合题意的点M 有2个．二、高考小题13．(2022·全国Ⅰ卷)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC →答案 A解析 如图，在△ABC 中，根据向量的运算法则，可得EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－14(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →.故选A.14．(2015·全国Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.故选A.15．(2015·北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.答案 12 －16解析 如图，在△ABC 中，MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝－23AC →＋AB →＋12BC →＝－23AC →＋AB →＋12(AC →－AB →)＝12AB →－16AC →.∴x ＝12，y ＝－16.三、模拟小题16．(2022·辽宁东北育才学校三模)在△ABC 中，若AB →＋AC →＝4AP →，则CP →＝( ) A.34AB →－14AC → B ．－34AB →＋14AC →C.14AB →－34AC → D ．－14AB →＋34AC →答案 C解析 由题意得AB →＋AC →＝4AP →＝4(AC →＋CP →)，解得CP →＝14AB →－34AC →.故选C.17．(2022·广东茂名市高三期中)已知向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ为( )A ．2B ．1 C.12 D.14答案 C解析 因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在k ∈R ，使得λa ＋b ＝k (a ＋2b )，因为向量a ，b 不平行，则⎩⎨⎧k ＝λ，2k ＝1，解得λ＝12.故选C. 18．(2022·山西太原高三模拟)平面向量a ，b 共线的充要条件是( )A ．a ·b ＝|a ||b |B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0答案 D解析 对于A ，a ·b ＝|a ||b |成立时，说明两个非零向量的夹角为零度，但是两个非零向量共线时，它们的夹角可以为平角，故A 错误；对于B ，两个非零向量也可以共线，故B 错误；对于C ，只有当a 不是零向量时才成立，故C 错误；对于D ，当平面向量a ，b 共线时，若a ＝0，则存在λ1≠0，λ2＝0，λ1a ＋λ2b ＝0，若a ≠0，则存在一个λ，使得b ＝λa 成立，令λ＝－λ1λ2(λ2≠0)，则b ＝－λ1λ2a ，所以λ1a ＋λ2b ＝0，因此存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0；当存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0成立时，若实数λ1，λ2都不为零，则有a ＝－λ2λ1b 成立，显然a ，b 共线，若实数λ1，λ2有一个为零，不妨设λ1＝0，则有λ2b ＝0⇒b ＝0，所以平面向量a ，b 共线，所以D 正确．故选D.19．(2022·安徽高三二模)△ABC 中，D 是BC 的中点，点E 在边AC 上，且满足3AE →＝AC →，BE 交AD 于点F ，则BF →＝( )A ．－34AB →＋14AC → B.34AB →－14AC →C ．－13AB →＋23AC →D ．－23AB →＋13AC →答案 A解析 由题设画出几何示意图，设BF →＝λBE →，AF →＝μAD →，∵BE →＝AE →－AB →＝13AC →－AB →，∴BF →＝λBE →＝λ3AC →－λAB →，∵AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AF →＝μAD →＝μ2(AB →＋AC →)．由AB →＋BF →＝AF→知(1－λ)AB →＋λ3AC →＝μ2(AB →＋AC →)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λ＝μ2，λ3＝μ2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝34，μ＝12，∴BF →＝34BE →＝14AC →－34AB →.故选A.20. (2022·滨海县八滩中学高三期中)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，H 是AD 的中点，过H 作一直线分别与边AB ，AC 交于M ，N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则x ＋4y 的最小值为( )A.52B.73C.94D.14 答案 C解析 因为D 是BC 中点，所以AD →＝12AB →＋12AC →，由题知，AB →＝1x AM →，AC →＝1y AN →，AD →＝2AH →， 所以2AH →＝12x AM →＋12y AN →，AH →＝14x AM →＋14y AN →，因为M ，H ，N 三点在同一直线上，所以14x ＋14y ＝1.x ＋4y ＝(x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋14y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋x y ＋4y x ，因为x >0，y >0，所以由基本不等式得x y ＋4yx ≥2x y ·4y x ＝4，所以x ＋4y ≥94，当且仅当x ＝34，y ＝38时等号成立．故选C.21．(2022·湖南天心长郡中学高三月考)在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →，则S △BCDS △ACD＝( )A.16B.12C.13D.23 答案 B解析 如图，设AD 交BC 于E ，且AE →＝xAD →＝x 3AB →＋x 2AC →，由B ，E ，C 三点共线可得 x 3＋x 2＝1⇒x ＝65，∴AE →＝25AB →＋35AC →，∴25(AE →－AB →)＝35(AC →－AE →)⇒2BE →＝3EC →.设S △CED ＝2y ，则S △BED ＝3y ，∴S △BCD ＝5y .又AE →＝65AD →⇒AD →＝5DE →，∴S △ACD ＝10y ，∴S △BCDS △ACD ＝5y 10y ＝12.故选B.22．(多选)(2022·福建龙岩高三月考)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半．”这就是著名的欧拉线定理．设△ABC 中，点O ，H ，G 分别是外心、垂心、重心，BC 边的中点为D ，则下列四个结论中错误的是( )A.GH →＝2OG →B.GA →＋GB →＋GC →＝0 C.AH →＝3OD → D.OA →＝OB →＝OC → 答案 CD解析 如图，由题意，得GH →＝2OG →，故A 正确；∵D 为BC 的中点，G 为△ABC 的重心，∴AG →＝2GD →，GB →＋GC →＝2GD →＝－GA →，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，故B 正确；∵AG →＝2GD →，GH →＝2OG →，∠AGH ＝∠DGO ，∴△AGH ∽△DGO ，∴AH →＝2OD →，故C 错误；向量OA →，OB →，OC →的模相等，方向不同，故D 错误．故选CD.23．(2022·江苏省高三一模)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1CB →＋λ2CA →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.答案 －23解析 因为AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，所以DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12(CB →－CA →)－23CB →＝－16CB →－12CA →，所以λ1＝－16，λ2＝－12，则λ1＋λ2＝－23.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2022·银川摸底)已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？解 ∵d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d ＝k c ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2， 即⎩⎨⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．2. (2022·内江市市中区天立学校高三月考)如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，BM ＝23BC ，AN ＝14AB .(1)试用向量a ，b 来表示DN →，AM →； (2)AM 交DN 于O 点，求AO ∶OM 的值．解 (1)∵AN ＝14AB ，∴AN →＝14AB →＝14a ，DN →＝AN →－AD →＝14a －b ，∵BM ＝23BC ，∴BM →＝23BC →＝23b ，∴AM →＝AB →＋BM →＝a ＋23b .(2)∵A ，O ，M 三点共线，设AO →＝λAM →＝λa ＋2λ3b ，∵D ，O ，N 三点共线， ∴DO →＝μDN →，AO →－AD →＝μAN →－μAD →，∴AO →＝μAN →＋(1－μ)AD →＝μ4a ＋(1－μ)b .∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ4，2λ3＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝314，μ＝67，∴AO →＝314AM →，OM →＝1114AM →，∴AO ∶OM ＝3∶11.3. (2022·河南安阳模拟)如图，已知△ABC 的面积为14，D ，E 分别为边AB ，BC 上的点，且AD ∶DB ＝BE ∶EC ＝2∶1，AE 与CD 交于点P .设存在λ和μ，使AP →＝λAE →，PD →＝μCD →，AB →＝a ，BC →＝b .(1)求λ及μ； (2)用a ，b 表示BP →； (3)求△P AC 的面积． 解 (1)由于AB →＝a ，BC →＝b ，则AE →＝a ＋23b ，DC →＝13a ＋b ，AP →＝λAE →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ，DP →＝μDC →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋b ，AP →＝AD →＋DP →＝23AB →＋DP →，∴23a ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ， ∴λ＝23＋13μ，① 23λ＝μ，②由①②，得λ＝67，μ＝47.(2)BP →＝BA →＋AP →＝－a ＋67×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ＝－17a ＋47b .(3)由|PD →|∶|CD →|＝μ＝47， 得S △P AB ＝47S △ABC ＝8，由|PE →|∶|AE →|＝1－λ＝17， 得S △PBC ＝17S △ABC ＝2，∴S △P AC ＝S △ABC －S △P AB －S △PBC ＝14－8－2＝4.。
