高中数学活页作业24用二分法求方程的近似解新人教A版必修1

活页作业(二十四) 用二分法求方程的近似解(时间：30分钟 满分：60分)一、选择题(每小题4分，共12分)1．如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是( )A ．[－2.1，－1]B ．[4.1,5]C ．[1.9,2.3]D ．[5,6.1]解析：用二分法只能求出变号零点的值，对于非变号零点，则不能使用二分法． 答案：C2．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈____________，第二次应计算____________ .以上横线上应填的内容为( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0,1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.25)D ．(0,0.5)，f (0.125)解析：∵f (0)＜0，f (0.5)＞0，∴f (0)·f (0.5)＜0.故f (x )在(0,0.5)必有零点，利用二分法，则第二次计算应为f ⎝⎛⎭⎪⎫0＋0.52＝f (0.25)．答案：A3．根据表中的数据，可以判定方程e x－x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) B ．解析：令f (x )＝e x－x －2， 则f (－1)＝0.37－1＜0，f (0)＝1－2＜0， f (1)＝2.72－3＜0， f (2)＝7.39－4＞0， f (3)＝20.09－5＞0，∴f (1)·f (2)＜0.故函数f (x )的零点位于区间(1,2)内，即方程e x－x －2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．答案：C二、填空题(每小题4分，共8分)4．在用二分法求方程f (x )＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)＜0，f (0.75)＞0，f (0.687 5)＜0，即可得出方程的一个近似解为______(精确度为0.1)．解析：因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5＜0.1，所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解． 答案：0.75或0.687 5(答案可以是[0.687 5,0.75]内的任一数值) 5．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：____________．解析：令f (x )＝2x－x 2，由表中的数据可得f (－1)<0，f (－0.6)>0；f (－0.8)<0, f (－0.4)>0，∴根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内． ∴a ＝－1或a ＝－0.8. 答案：－1或－0.8 三、解答题6．(本小题满分10分)求方程3x＋xx ＋1＝0的近似解(精确度0.1)．解：原方程可化为3x－1x ＋1＋1＝0，即3x＝1x ＋1－1. 在同一坐标系中，分别画出函数g (x )＝3x与h (x )＝1x ＋1－1的简图．g (x )与h (x )的图象交点的横坐标位于区间(－1,0)，且只有一交点，所以原方程只有一解x ＝x 0.令f (x )＝3x＋xx ＋1＝3x－1x ＋1＋1， ∵f (0)＝1－1＋1＝1>0，f (－0.5)＝13－2＋1＝1－33<0， ∴x 0∈(－0.5,0)．用二分法求解列表如下：∵|－∴原方程的近似解可取为－0.4.一、选择题(每小题5分，共10分) 一、选择题(每小题5分，共10分)1．下列函数中不能用二分法求零点的是( ) A ．f (x )＝2x ＋3 B ．f (x )＝ln x ＋2x －6 C ．f (x )＝x 2－2x ＋1D ．f (x )＝2x－1解析：在C 中，因为含零点x ＝1的区间[a ，b ]，不满足f (a )·f (b )＜0，所以不能用二分法求零点． 答案：C2．已知曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x与y ＝x 的交点的横坐标是x 0，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,2)解析：设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x－x ，则f (0)＝1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11012－12＝ 0.1－0.25<0， f (1)＝110－1<0，f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1102－2<0，显然有f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0. 答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)3．用二分法求方程x 3－8＝0在区间(2,3)内的近似解，则经过________次二分后精确度能达到0.01. 解析：区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为127＝1128<1100＝0.01，故经过7次二分后精确度能达到0.01.。

用二分法求方程的近似解[自学目标]1.掌握二分法的概念2.利用二分法求方程的近似解及判断函数零点个数3.理解二分法，了解逼近思想、极限思想。

4.会利用二分法求方程的近似解5.会利用二分法求函数零点个数[知识要点]１．二分法概念：对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。

２．用二分法求方程近似解：【预习自测】例１．利用计算器，求方程x2-2x-1=0的一个近似解（精确到0.1）例２．用二分法求函数f(x)=x3-3的一个正实数零点（精确到0.01）例３．求函数y= x3-2x2-x+2的零点，并画出它的图象。

例４．求方程2x3+3x-3=0的一个近似解（精确到0.1）例５．求方程lgx=3-x 的近似解。

[课内练习]1．方程log 3x+x=3的近似解所在区间是 （ ）A （0，2）B （1，2）C （2，3）D （3，4）2．下列函数，在指定范围内存在零点的是 （ ）A y= x 2-x x ∈(-∞ ,0)B y=∣x ∣-2 x ∈[-1,1]C y= x 5+x-5 x ∈[1,2]D y=x 3-1 x ∈( 2,3 )3. 方程2x +3302x -=的解在区间 （ ） A （ 0，1 ）内 B （ 1，2）内 C （2，3）内 D 以上均不对4．方程log a x=x+1 (0<a<1)的实数解的个数是 （ ）A 0个B 1个C 2个D 3个5．下列图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是 （ ）6．证明：方程2x -230x -=的两根一个在区间（-2，-1）内，一个在（3，4）内。

B C D[归纳反思]二分法求方程的解时需要选定初始区间，它往往需要考虑函数性质，常用方法有试验估计法，数形结合法，函数单调性法，还有函数增长速度差异发等等。

活页作业(二十四) 用二分法求方程的近似解(时间：30分钟 满分：60分)一、选择题(每小题4分，共12分)1．如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是( )A ．[－2.1，－1]B ．[4.1,5]C ．[1.9,2.3]D ．[5,6.1]解析：用二分法只能求出变号零点的值，对于非变号零点，则不能使用二分法． 答案：C2．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈____________，第二次应计算____________ .以上横线上应填的内容为( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0,1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.25)D ．(0,0.5)，f (0.125)解析：∵f (0)＜0，f (0.5)＞0，∴f (0)·f (0.5)＜0.故f (x )在(0,0.5)必有零点，利用二分法，则第二次计算应为f ⎝⎛⎭⎪⎫0＋0.52＝f (0.25)．答案：A3．根据表中的数据，可以判定方程e x－x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) B 解析：令f (x )＝e x－x －2， 则f (－1)＝0.37－1＜0，f (0)＝1－2＜0， f (1)＝2.72－3＜0， f (2)＝7.39－4＞0， f (3)＝20.09－5＞0，∴f (1)·f (2)＜0.故函数f (x )的零点位于区间(1,2)内，即方程e x－x －2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．答案：C二、填空题(每小题4分，共8分)4．在用二分法求方程f (x )＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)＜0，f (0.75)＞0，f (0.687 5)＜0，即可得出方程的一个近似解为______(精确度为0.1)．解析：因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5＜0.1，所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．答案：0.75或0.687 5(答案可以是[0.687 5,0.75]内的任一数值) 5．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：的值为____________．解析：令f (x )＝2x－x 2，由表中的数据可得f (－1)<0，f (－0.6)>0；f (－0.8)<0, f (－0.4)>0，∴根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内． ∴a ＝－1或a ＝－0.8. 答案：－1或－0.8 三、解答题6．(本小题满分10分)求方程3x＋xx ＋1＝0的近似解(精确度0.1)．解：原方程可化为3x－1x ＋1＋1＝0，即3x＝1x ＋1－1. 在同一坐标系中，分别画出函数g (x )＝3x与h (x )＝1x ＋1－1的简图．g (x )与h (x )的图象交点的横坐标位于区间(－1,0)，且只有一交点，所以原方程只有一解x ＝x 0.令f (x )＝3x＋xx ＋1＝3x－1x ＋1＋1， ∵f (0)＝1－1＋1＝1>0，f (－0.5)＝13－2＋1＝1－33<0， ∴x 0∈(－0.5,0)． 用二分法求解列表如下：∵|－∴原方程的近似解可取为－0.4.一、选择题(每小题5分，共10分) 一、选择题(每小题5分，共10分)1．下列函数中不能用二分法求零点的是( ) A ．f (x )＝2x ＋3 B ．f (x )＝ln x ＋2x －6 C ．f (x )＝x 2－2x ＋1D ．f (x )＝2x－1解析：在C 中，因为含零点x ＝1的区间[a ，b ]，不满足f (a )·f (b )＜0，所以不能用二分法求零点．答案：C2．已知曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x与y ＝x 的交点的横坐标是x 0，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,2)解析：设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x－x ，则f (0)＝1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11012－12＝ 0.1－0.25<0， f (1)＝110－1<0，f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1102－2<0，显然有f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0. 答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)3．用二分法求方程x 3－8＝0在区间(2,3)内的近似解，则经过________次二分后精确度能达到0.01.解析：区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为127＝1128<1100＝0.01，故经过7次二分后精确度能达到0.01.答案：74．设x 1，x 2，x 3依次是方程log 12x ＋2＝x ，log 2(x ＋2)＝－x ，2x＋x ＝2的实根，则x 1，x 2，x 3的大小关系为________________．解析：log 12x ＝x －2，在同一坐标系中，作出y ＝log 12x 与y ＝x －2的图象，如图(1)所示．由图象可知，两图象交点横坐标x 1＞1.图(1)同理，作出y ＝log 2(x ＋2)与y ＝－x 的图象，如图(2)所示．由图象可知，两函数交点的横坐标x 2＜0.图(2) 图(3)作出y ＝2x与y ＝－x ＋2的图象，如图(3)所示．由图象可知，两函数交点的横坐标0＜x 3＜1.综上可得，x 2＜x 3＜x 1. 答案：x 2＜x 3＜x 1 三、解答题5．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．解：(1)若a ＝0，则f (x )＝－4，与题意不符，∴a ≠0. 由题意得f (－1)·f (1)＝8(a －1)(a －2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，a －2>0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a －2<0，∴1<a <2.故实数a 的取值范围为1<a <2.(2)若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0，f (0)＝2817>0，f (1)＝－417<0.∴函数零点在(0,1)上．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，∴方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根为12.。

4.5.2用二分法求方程的近似解分层演练综合提升A级基础巩固1.若函数f(x)在区间[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)f(b)<0,f(a)·f(a+b2)>0,则 ()A.f(x)在区间a ,a+b2上有零点B.f (x)在区间a+b2,b上有零点C.f(x)在区间a,a+b2上无零点D.f(x)在区间a+b2,b上无零点答案:B2.如果函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正零点的附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984f(1.375)≈- 0.260 f(1.437 5)≈0.162那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.1)为 ()A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5答案:C3.用二分法求方程2x+3x-9=0在区间[1,3]上的近似根时,取中点2,则下一个有根区间是(1,2).4.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,即得出方程的一个近似解为0.687 5(答案不唯一).(精确度为0.1)5.用二分法求函数f(x)=x2-5的零点的近似值(精确度为0.1).解:因为f(2.2)=-0.16<0,f(2.4)=0.76>0,所以f(2.2)f(2.4)<0,说明这个函数在区间(2.2,2.4)上有零点x0.取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3,则f(2.3)=0.29.因为f(2.2)f(2.3)<0,所以x0∈(2.2,2.3).再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25,f(2.25)=0.062 5.因为f(2.2)f(2.25)<0,所以x0∈(2.2,2.25).因为|2.25-2.2|=0.05<0.1,所以函数f(x)=x2-5的零点的近似值可取为2.25.B级能力提升6.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,若用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为()A.3B.4C.5D.6解析:设等分的最少次数为n,则由0.1<0.01,得2n>10,所以n的最小2值为4.答案:B7.在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,至少4次就一定可以发现这枚假币.解析:将26枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那13枚金币里面;从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面;将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那3枚金币里面;从这3枚金币中任拿出2枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚即是假币,若不平衡,则质量小的那一枚即是假币.综上可知,至少称4次就一定可以发现这枚假币.8.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间(0,1)上有两个实根.证明:因为f(1)>0,所以3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0.因为a+b+c=0,所以a=-b-c,因为-b-2c>0,所以-b-c>c,即a>c.因为f(0)>0,所以c>0,所以a>0.取区间(0,1)的中点12,则f(12)=34a+b+c=34a+(-a)=-14a<0.因为f(0)>0,f(1)>0,所以函数f(x)在区间(0,12)上和区间(12,1)上各有一个零点.又因为f(x)为二次函数,最多有两个零点,所以方程f(x)=0在区间(0,1)上有两个实根.C级挑战创新9,有零点但不能用二分法求零点的近似值的是()A.y=2x +1 B.y={-x+1,x≥0,x+1,x<0C.y=12x2+4x+8 D.y=|x|解析:对于选项C,y=12x2+4x+8=12(x+4)2≥0,故不能用二分法求零点的近似值.对于选项D,y=|x|≥0,故不能用二分法求零点的近似值.易知选项A,B有零点,且可用二分法求零点的近似值.答案:CD10lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)时,设f(x)=lg x+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0.在以下过程中,他用二分法又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是1.5,1.75,1.875,1.812 5.解析:第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.812 5).。

高中数学学习材料唐玲出品高一数学3.1 .2 用二分法求方程的近似解一、选择题1、下列函数中，在指定范围内存在零点的是（ ） （A ）12--=x x y ，x ∈（-∞，0） （B ）2||-=x y ，x ∈[-1，1]（C ）33-+=x x y ，x ∈[1，2] （D ）13-=x y ，x ∈（2，3）2、方程x 5-x-1=0的一个正零点存在的区间可能是（ ） （A ）[0，1] （B ）[1，2] （C ）[2，3] （D ）[3，4]3、用二分法求函数()53+=x x f 的零点可以取的初始区间是 （ ）（A ）[-2，-1] （B ）[-1，0] （C ）[0，1] （D ）[1，2] 4、函数f （x ）的图象如右，其中变号零点个数为 （） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45、下列函数的图象与x 轴均有交点，其中能用二分法求函数零点的近似值的是（ ）6、函数()x x x f 2ln -=的零点所在区间为 （ ） （A ）（1，2） （B ）（2，3） （C ）（1，e1）和（3，4） （D ）（e ，+∞） 二、填空题7、函数2223-++-=x x x y 的零点是_________。

8、用二分法求方程0523=--x x 在区间[2，3]内的实根，取区间中点2.5，则下一个有根区间是_________。

9、若函数()x x f x 292--=-的零点都在区间[k ，k+1]，k ∈Z ，则k=_______。

x yO -1 1 x y O x y O x y O x y O （A ） （B ） （C ） （D ）10、二次函数2)13(722--++-=k k x k x y 的图象与x 轴的两个交点分别在开区间（0，1）与（1，2）内，则实数k 的取值范围是_________。

三、解答题11、用二分法求方程03323=-+x x 在（0，1）内的近似解（精确到0.1）。

高一数学学案课题：用二分法求方程的近似解
课堂练习题
1 下列函数图像与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是（ ）
2 求方程x 3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x 0=2.5,那么下一个有根区间是
3 已知方程x = 3﹣lgx ，下列说法正确的是（ ）
A 方程x = 3﹣lgx 的解在区间（0，1）内
B 方程x = 3﹣lgx 的解在区间（1，2）内
C 方程x = 3﹣lgx 的解在区间（2，3）内
D 方程x = 3﹣lgx 的解在区间（3，4）内
4 方程（2
1）x = lnx 的根的个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3
5 求函数f （x ）= x 3 +2 x 2﹣3x ﹣6的一个正数零点（精确到0.1）
作业
已知函数f （x ）= lnx + 2x ﹣6
（1）证明f （x ）在其定义域上是增函数
（2）证明f（x）有且只有一个零点
1（3）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过
4知识小结：。

4.5.2 用二分法求方程的近似解[A 基础达标]1．用二分法求函数f (x )＝2x－3的零点时，初始区间可选为( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2)D ．(2，3)解析：选 C.f (－1)＝－52<0，f (0)＝－2<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝1>0，f (3)＝5>0，则f (1)·f (2)<0，即初始区间可选(1，2)．2．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2，4)上的唯一零点的近似值时，验证f (2)·f (4)<0，取区间(2，4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0所在的区间是( )A ．(2，4)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．无法确定解析：选B.因为f (2)·f (4)<0，f (2)·f (3)<0， 所以f (3)·f (4)>0，所以x 0∈(2，3)．3．用二分法求方程x 3＋3x －7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f (x )＝x 3＋3x －7，算得f (1)<0，f (1.25)<0，f (1.5)>0，f (1.75)>0，则该方程的根所在的区间是( )A ．(1，1.25)B ．(1.25，1.5)C ．(1.5，1.75)D ．(1.75，2)解析：选B.由f (1.25)<0，f (1.5)>0得f (1.25)·f (1.5)<0，易知函数f (x )的图象是连续不断的，根据零点存在性定理可知，函数f (x )的一个零点x 0∈(1.25，1.5)，即方程x 3＋3x －7＝0的根所在的区间是(1.25，1.5)，故选B.4．用二分法逐次计算函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个零点(正数)附近的函数值时，参考数据如下：f (1)＝－2，f (1.5)＝0.625，f (1.25)≈－0.984，f (1.375)≈－0.260，f (1.437 5)≈0.162，f (1.406 25)≈－0.054，那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为( )A ．1.5B ．1.25C ．1.375D ．1.437 5解析：选 D.由参考数据知，f (1.406 25)≈－0.054，f (1.437 5)≈0.162，则f (1.406 25)·f (1.437 5)<0，且|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.437 5，故选D.5．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，则a ，b 的关系是________． 解析：因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法，所以函数f (x )＝x 2＋ax ＋b的图象与x 轴相切，所以Δ＝a 2－4b ＝0，所以a 2＝4b . 答案：a 2＝4b6．在用二分法求方程f (x )＝0在[0，1]上的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)．解析：因为|0.75－0.625|＝0.125>0.1，|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，方程的近似解可以是0.75.答案：0.757．某同学在借助计算器求“方程lg x ＝2－x 的近似解(精确度0.1)”时，设f (x )＝lg x ＋x －2，算得f (1)＜0，f (2)＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x 的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x ≈1.8.那么他再取的x 的4个值依次是________．解析：第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5)． 答案：1.5，1.75，1.875，1.812 58．已知A 地到B 地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10 km 长的线路，每隔50 m 有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？解：如图，可首先从中点C 开始检查，若AC 段正常，则故障在BC 段；再到BC 段中点D 检查，若CD 段正常，则故障在BD 段；再到BD 段中点E 检查，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100 m 之间，即可迅速找到故障所在．9．已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋1.(1)证明方程f (x )＝0在区间(0，2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f (x )＝0(x ∈[0，2])的实数解x 0在哪个较小的区间内．解：(1)证明：因为f (0)＝1>0，f (2)＝－13<0，所以f (0)·f (2)<0，由函数的零点存在性定理可得方程f (x )＝0在区间(0，2)内有实数解． (2)取x 1＝12(0＋2)＝1，得f (1)＝13>0，由此可得f (1)·f (2)<0，下一个有解区间为(1，2)．再取x 2＝12(1＋2)＝32，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－18<0， 所以f (1)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<0，下一个有解区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.再取x 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝54，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＝17192>0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<0，下一个有解区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32. 综上所述，得所求的实数解x 0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32内．[B 能力提升]10．用二分法求函数f (x )＝ln(x ＋1)＋x －1在区间(0，1)上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C.开区间(0，1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 次操作后，区间长度变为12n .因为精确度为0.01，所以12n <0.01，又n ∈N *，所以n ≥7，且n ∈N *，故所需二分区间的次数最少为7，故选C.11．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a ，b )内，当|a －b |＜ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x 0＝a ＋b2与真实零点的误差最大不超过( )A.ε4B.ε2C ．εD ．2ε解析：选B.真实零点离近似值x 0最远即靠近a 或b ，而b －a ＋b 2＝a ＋b2－a ＝b －a 2＜ε2，因此误差最大不超过ε2.12．证明函数f (x )＝2x＋3x －6在区间[1，2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)． 解：由于f (1)＝－1＜0，f (2)＝4＞0，又函数f (x )在[1，2]内是增函数，所以函数f (x )在区间[1，2]内有唯一零点，不妨设为x 0，则x 0∈[1，2]．下面用二分法求解．似零点可取为1.25.13．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在区间[0，1]内有两个实根．证明：因为f (1)>0，所以3a ＋2b ＋c >0， 即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0.因为a ＋b ＋c ＝0，所以－b －2c >0， 则－b －c >c ，即a >c .因为f (0)>0，所以c >0，则a >0. 在区间[0，1]内选取二等分点12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0.因为f (0)>0，f (1)>0，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上各有一个零点．又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0，1]内有两个实根．[C 拓展探究]14．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，且f (1)＝－a2.(1)求证：函数f (x )有两个零点；(2)设x 1，x 2是函数的两个零点，求|x 1－x 2|的取值范围． 解：(1)证明：由函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)且f (1)＝－a2，得a ＋b ＋c ＝－a 2，则c ＝－3a2－b .对于方程ax 2＋bx ＋c ＝0，因为a >0，所以Δ＝b 2－4ac ＝b 2＋6a 2＋4ab ＝(b ＋2a )2＋2a 2>0，所以函数f (x )有两个零点．(2)显然x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的两个实数根，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝c a，所以|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝b 2a 2－4c a ＝b 2－4aca 2＝b 2＋4ab ＋6a 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋4b a ＋6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋22＋2≥ 2. 则|x 1－x 2|的取值范围是[2，＋∞)．。