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(2) A B A (u) B (u), u U ; (3) (4) (5) (6)
A B A (u) B (u), u U ;
AB (u) A (u) B (u), u U ; AB (u) A (u) B (u), u U ;
补： Ac ( x ) 1 A( x ), x U
32
32
例6 设论域 U={a, b, c, d, e} 是一个5人组成的 集合 ，A 表示“高个子”的集合， B 子”的集合
表示“胖
A 0.6 a 0.3 b 0.9 c 0.5 d 1 e
B 0.4 a 0.7 b 0.8 d 0.2 e
A {( x1 , A( x1 )), ( x2 , A( x2 )),, ( xn , A( xn ))}
（3）向量表示法
A ( A( x1 ), A( x2 ),, A( xn ))
若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：
A
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xU
A( x ) x
例1
A 表示“圆糊糊的物体”
6
• 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支
分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；
人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐 • 模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯
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模糊彩色电视机——可根据室内的光线、距离屏 幕 的远近来自动调节屏幕的亮度和音量的大小。 模糊空调器——由于用微机进行模糊控制，到了 设定时刻，空调器能够根据室温需要，采用经济的工 作状态，调节合适的房间温度，既省电又省事。
F (U ) {A | A : U [0,1]}
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模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：
（1）Zadeh表示法
A( x1 ) A( x2 ) A( xn ) A x1 x2 xn
A( x i ) 这里 表示 xi 对模糊集 A 的隶属度是 A( xi ) 。 xi
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（2）序偶表示法
模糊数学
模糊数学绪论
一、什么是模糊数学 二、模糊数学的产生与基本思想 三、模糊数学的研究对象
1
一、什么是模糊数学
•模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然 n=k+1 亦为秃子
若n=k 为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间无明显
分界线
年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、 低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多 云、暴雨、清晨。
A B A( x ) B( x ), x U
包含： A B A( x ) B( x ), x U
并：
( A B)( x) A( x) B( x), x U
表示取大； 表示取小。
交： ( A B )( x ) A( x ) B( x ), x U
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定义：设U是论域，称映射
A : U [0,1],
~
x A ( x ) [0,1]
数， A ( x ) 称为 x 对 A 的隶属程度，简称隶属度。
~
A 称为 A 隶属函 确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 ~ ~ ~
~
~
A ( x ) 越接近于0, A ( x ) 越接近于1,
x 140 A( x) 190 140 用Zadeh表示法：
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A x1 x2 x3 x4 x5 x6
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还可用向量表示法： A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1).
另外，还可以在U上建立一个“矮个子”、“中等个子”、 “年轻人”、“中年人”等模糊子集. 从上例可看出： (1) 一个有限论域可以有无限个模糊子集,而经典子集是有 限的； (2) 一个模糊子集的隶属函数的确定方法是主观的. 隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，模糊数学方法 是在客观的基础上，特别强调主观的方法.
A {1, 2,3}, B {x, y} A B {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y)}
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特征函数
论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。 通常用大写字母U、V、X、Y 等表示。
论域U中的每个对象u称为U的元素。
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那么 A (a ) 0.3
A (b) 0
A (e) 1
A (c) 0.8
A ( d ) 0.5
Zadeh表示：
a e
b c d
0.3 0.8 0.5 1 A a c d e
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向量表示：
A (0.3 0.8 0.5 1)
展，模糊理论和模糊技术将对于人类社会的进步发挥更
大的作用。
4
处理现实对象的数学模型
确定性数学模型: 确定性或固定性,对象间有必然联系.
随机性数学模型: 对象具有或然性或随机性 模糊性数学模型: 对象及其关系均具有模糊性. 随机性与模糊性的区别 随机性: 指事件出现某种结果的机会. 模糊性: 指存在于现实中的不分明现象. 模糊数学: 研究模糊现象的定量处理方法.
模糊煮饭器——一次最多可煮1.8升米饭，内装锅 体温度、室温、蒸气三种传感器，用它煮饭时，每分 钟检测一次加热状况，根据检测结果采用模糊理论对 火力强弱进行微妙控制，使煮出来的米饭松软可口。
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三、与模糊数学相关的问题
模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学 （概念 与其对立面之间没有一条明确的分界线）
2
共同特点：模糊概念的外延不清楚。
模糊概念导致模糊现象 模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。 • 术语来源 Fuzzy: 毛绒绒的，边界不清楚的
模糊，不分明，弗齐，弗晰，勿晰
3
•人工智能的要求
• 取得精确数据不可能或很困难 •没有必要获取精确数据 模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学学科，而且 也形成了一种崭新的思维方法，它告诉我们存在亦真亦 假的命题，从而打破了以二值逻辑为基础的传统思维， 使得模糊推理成为严格的数学方法。随着模糊数学的发
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0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ； A∪ = A ， A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (A∪B)c = Ac∩Bc，(A∩B)c = Ac∪Bc； 排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = ； U 为全集， 为空集.
集合的直积： A B= { (x , y )| xA , y B }.
29
29
例4 考虑年龄集U=[0,100]，O=“年老”，O也是一个年龄 集，u = 20 ∉ A，40 呢？…札德给出了 “年老” 集函数刻画:
0 0 u 50 u 50 2 1 O(u ) (1 ( ) ) 50 u 100 5
1
0 50
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在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个 经典集合A，则必有 u A 或者 u A，用函数表示为：
A : U {0,1} u A ( u),
其中
1, u A A ( u) 0, u A
函数 A 称为集合A的特征函数。
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特征函数与集合的关系
(1) A U A (u) 1, A A (u) 0, u U ;
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例3 有100名消费者，对5种商品 x1 , x2 , x3 , x4 , x5
评价，
结果为： 81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好，
所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人认为x5 质量好
则模糊集A（质量好）
0.81 0.53 1 0 0.24 A x1 x2 x3 x4 x5
序偶表示：
A {(0.3, a), (0.8, b), (0.5, c), (1, d )}
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例2 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集 “高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为
~ ~ ~
表示 x 隶属于A 的程度越小；
表示 x 隶属于A 的程度越大；
A ( x )＝0.5, 最具有模糊性，过渡点.
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当映射 A ( x ) 只取0或1时，模糊子集A就是经典子
集，而 A ( x ) 就是它的特征函数. 可见经典子集就是
~ ~
模糊子集的特殊情形.
模糊幂集
论域U上全体模糊子集组成的集合，记为F(U)
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二、模糊数学的产生
1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》
(Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )
•基本思想 用属于程度（隶属度）代替属于或不属于。
如某员工属于优秀的程度为0.6，属于良好的程度为0.2， 属于一般的程度为0.1，属于较差的程度为0.1。
A (u) 1 A (u), u U ;
c
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二. 模糊集合
亦此亦彼
模糊集合 A , ~
A
~
元素 x
U 若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部，
则用 x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。
