人教A版数学必修5-2.2等差数列(一)课件

证明：设等差数列 an 的公差为 d， 则 an＝a1＋(n－1)d，∴bn＝a3n＋ 1＝a1＋3nd， ∴ bn＋ 1－bn＝ a3(n＋ 1)＋ 1－a3n＋ 1＝[a1＋3(n＋ 1)d]－(a1 ＋3nd)＝3d.(常数) 由等差数列的定义得数列 bn 是等差数列．


2．如何理解等差数列的自然语言与符号语言的 关系？
答案：若数列 an 已知首项 a1 且满足 an－an－1＝ d(n∈N*，n≥2，d 为常数)或 an＋1－an＝d(n∈N*，d 为常数)，则数列 an 为等差数列．


错因分析：以特殊代替一般，用验证几个特例 作为证明是不正确的，必须用定义或与定义等价的 命题来证明．
正解：因为 an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，所以 an＋1 －an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋nlg 2)＝lg 2(常数)．所 以数列 an 为等差数列．

纠错心得：要说明一个数列为等差数列，必须 说明从第二项起所有的项与其前一项之差为同一常 数，即an－an－1＝d(n≥2)恒成立，而不能只验证有 限个相邻两项之差相等．
课堂总结
1．在等差数列 an 中

①公差是从第二项起，每一项减去它前一项的 差，即d＝an－an－1(n≥2)，或d＝an＋1－an(n∈N*)； ②要证明一个数列是等差数列，必须对任意 n∈N*，an＋1－an＝d，或an－an－1＝d(n≥2)都成立；
要点阐释
1．等差数列的定义 (1)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项 与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数 列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差， 公差通常用字母d表示．
(2)等差数列的定义还可以用数学符号语言表述 为：在数列 an 中，如果 an＋1－an＝d(常数)对任意 n ∈N 都成立，则称数列 an 为等差数列，常数 d 称为 等差数列的公差．
3．等差中项及等差数列的判定 判断一个数列为等差数列的常见方法有：
(1)定义法： an＋1－an＝d (常数)(n∈N*)⇔ an

为等差数列． (2)中项公式法： 2an＋1＝ an＋an＋2(n∈N )⇔ an 为等差数列． (3)通项法： an 为 n 的一次函数⇔ an 为等差数 列．
x＋y (2)A＝ 是 x，A，y 成等差数列的充要条件，因 2 此两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数，可以 用它来判断或证明三个数成等差数列．
(3)等差中项经常作为数列题目中的题设或结论出现， 所以要引起重视．
典例剖析
题型一 等差数列的通项公式

【例 1】 已知等差数列 an ， 若 a49＝80， a59＝100， 求 a79 的值．
2.2 等差数列（一）
1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念， 深化认识并能运用．
自学导引
1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做 ________数列，这个常数叫做等差数列的________， 公差通常用字母d表示． 答案：等差 公差 2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a 与b的________，并且A＝________.
题型二 等差数列的判断
【例2】 已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋ c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差数列？ 证明：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b， a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a) ＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b) ＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0， ∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)， ∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列．

*


如果三个数 x，A，y 组成等差数列，那么 A 叫做 x 和 y 的等差中项． x＋y 显然， 如果 A 是 x 和 y 的等差中项， 那么 A＝ . 2
特别提示：(1)在一个等差数列中，从第 2 项起， 每一项(有穷等差数列的末项除外 )都是它前一项与后 一项的等差中项，即 2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
方法点评：如果a，b，c成等差数列，常转化成 a＋c＝2b的形式去运用；反之，如果求证a，b，c成 等差数列，常改证a＋c＝2b.有时应用概念解题，需 要运用一些等值变形技巧，才能获得成功．
2． 已知 an 为等差数列， bn＝a3n＋1， 求证： 数列 bn 为等差数列．





误区解密 对等差数列的定义理解不透彻
【例 3】 若数列 an 的通项公式为 an＝10＋lg 2 ，试说明数列 an 为等差数列．
n

错解： 因为 an＝ 10＋ lg 2n＝ 10＋ nlg 2，所以 a1＝ 10＋ lg 2， a2＝ 10＋ 2lg 2， a3＝ 10＋ 3lg 2，…， 所以 a2－ a1＝ lg 2， a3－ a2＝ lg 2，…，故数列 an 为 等差数列．
③an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，表明d≠0时， an是关于n的一次函数． 2．如果已知等差数列的某两项，常把这两项都 用首项和公差表示，这样可以求出首项和公差和通 项公式．
是
2．△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则 角B等于 ( ) A．30° B．60° C．90° D．120° 答案：B 3．等差数列1,3,5,7…的通项公式是________． 解析：因为a1＝1，公差d＝3－1＝2， 所以其通项公式为an＝1＋(n－1)×2， 即an＝2n－1. 答案：an＝2n－1 4．3与15的等差中项是________． 解析：3与15的等差中项是＝9. 答案：9
可见，等差数列的意义用符号语言表示，即a1 ＝a，an＝an－1＋d(n≥2)，其本质是等差数列的递推 公式．
预习测评
1．等差数列a－2d，a，a＋2d，…的通项公式 ( ) A．an＝a＋(n－1)d B．an＝a＋(n－3)d C．an＝a＋2(n－2)d D．an＝a＋2nd 解析：an＝(a－2d)＋(n－1)· 2d＝a＋2(n－2)d. 答案：C
2．等差数列的通项公式 公式an＝a1＋(n－1)d也可以用以下方法(累差法) 导出：
a2－a1＝d a3－a2＝d a4－a3＝d … an－an－ 1＝d
n－1 个
将以上n－1个等式两边分别相加，可得an－a1 ＝(n－1)d，移项得通项公式an＝a1＋(n－1)d.“累差 法”是推导给出形如an＋1－an＝f(n)(n∈N*)递推公式 的数列的通项公式的一种重要方法． 由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看 出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式， 反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中 任意三个量，就可以求出另一个量．
特别提示：(1)注意定义中“同一常数”这一要 求， 这一要求可理解为：每一项与前一项的差是常 数且是同一常数，否则这个数列不能称为等差数 列．
*

(2)注意定义中“从第2项起”这一要求，这一要 求可理解为：首先是因为首项没有“前一项”，其次 是如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起， 每一项与前一项的差是同一个常数(即an＋1－an＝d， n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数a49＝ a1＋ 48d＝ 80， d，则 a59＝ a1＋ 58d＝ 100，
证明：设公差为
a1＝－ 16 解得： d＝ 2.
∴a79＝a1＋(79－1)d＝140.
方法点评：关于a1，an，n，d之间的运算称为 基本量的运算，这是等差数列中最简单、最重要、 必须熟练掌握的知识．
a＋b 答案：等差中项 2
3．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通 项an＝________. 答案：a1＋(n－1)d
自主探究
1． 已知数列 an 中， an＝pn＋q 其中 p， q 是常数， 且 p 不为 0，那么数列 an 是否为等差数列，如果是， 公差和首项是多少？ 答案：根据等差数列的定义式 an＋1－an＝p(n＋ 1)＋q－(pn＋q)＝p，a1＝p＋q，故数列 an 首项是 a1 ＝p＋q，公差是 d＝p 的等差数列．
1．已知数列－5，－3，－1,1，…是等差数列， 判断52,2n＋7(n∈N*)是否为该数列的某项？若是， 是第几项？ 解：根据所给数列，可得等差数列的通项公式 为 an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7. 59 * 若 52＝2n－7，解得 n＝ ∉N ，所以 52 不是该 2
数列的项． 而2n＋7＝2(n＋7)－7(n∈N*)，所以2n＋7是该 数列的项，是第n＋7项．