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数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
数阵图知识点总结数阵图在计算机科学中有很多应用，例如在图像处理中用来表示图像的像素信息，在数据库中用来存储和管理数据，还可以用来表示图形和网络的关系。
数阵图还可以用来做矩阵运算，包括加法、减法、乘法以及求逆等。
在算法和数据结构中，数阵图也是一个常见的数据结构，例如用来表示图形的邻接矩阵，解决网络流的最大流问题等。
数阵图可以用不同的方式表示和存储，例如用数组、链表、向量等数据结构来实现。
在不同的应用场景中，选择不同的表示和存储方式可以提高数据的访问效率和计算性能。
本文将从数阵图的基本定义、表示和存储、运算以及应用等方面进行介绍和总结。
1. 数阵图的基本定义数阵图可以定义为一个m行n列的二维数组，用来存储各种不同类型的数据。
在数学中，数阵图可以表示为一个m×n的矩阵，每个元素用Aij表示，其中i表示行号，j表示列号，Aij表示矩阵中第i行第j列的元素。
例如，一个3行4列的数阵图可以表示为：A11 A12 A13 A14A21 A22 A23 A24A31 A32 A33 A34在计算机科学中，数阵图也可以用数组、链表、向量等数据结构来表示和存储。
例如，可以用一维数组来表示一个m行n列的数阵图，数组的长度为m×n，其中每个元素对应矩阵中的一个元素。
也可以用链表来表示一个数阵图，每一行用一个链表节点来表示，节点中包含该行中的所有元素。
向量也是一种常见的数阵图表示方式，它可以用来表示稀疏矩阵，在稀疏矩阵中大部分元素为0，向量可以节省存储空间和提高计算性能。
2. 数阵图的表示和存储在计算机中，数阵图可以用不同的数据结构来表示和存储，选择不同的表示和存储方式可以根据实际应用场景来提高数据访问效率和计算性能。
常见的数阵图表示和存储方式包括数组、链表、向量等。
下面分别介绍各种方式的表示和存储方法：2.1 数组表示数组是一种连续存储的数据结构，可以用来表示和存储数阵图。
数组的优点是数据访问速度快，可以通过下标直接访问元素，缺点是数组的大小固定，不方便动态扩展。
3D数学---- 矩阵的更多知识（2）矩阵的逆另外一种重要的矩阵运算是矩阵的求逆，那个运算只能用于方阵。
运算法那么方阵M的逆，记作M-1，也是一个矩阵。
当M与M-1相乘时，结果是单位矩阵。
表示为公式9.6的形式：并非所有的矩阵都有逆。
一个明显的例子是假设矩阵的某一行或列上的元素都为0，用任何矩阵乘以该矩阵，结果都是一个零矩阵。
若是一个矩阵有逆矩阵，那么称它为可逆的或非奇异的。
若是一个矩阵没有逆矩阵，那么称它为不可逆的或奇异矩阵。
奇异矩阵的行列式为0，非奇异矩阵的行列式不为0，因此检测行列式的值是判定矩阵是不是可逆的有效方式。
另外，关于任意可逆矩阵M，当且仅当v=0时，vM=0。
M的”标准伴随矩阵“记作”adj M“，概念为M的代数余子式矩阵的转置矩阵。
下面是一个例子，考虑前面给出的3x3阶矩阵M：计算M的代数余子式矩阵：M的标准伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置：一旦有了标准伴随矩阵，通过除以M的行列式，就能够计算矩阵的逆。
其表示如公式9.7所示：例如为了求得上面矩阵的逆，有：固然还有其他方式能够用来计算矩阵的逆，比如高斯消元法。
很多线性代数书都断定该方式更适合在运算机上实现，因为它所利用的代数运算较少，这种说法实际上是不正确的。
关于大矩阵或某些特殊矩阵来讲，这或许是对的。
但是，关于低阶矩阵，比如几何应用中常见的那些低阶矩阵，标准伴随矩阵可能更快一些。
因为能够为标准伴随矩阵提供无分支（branchless）实现，这种实现方式在现今的超标量体系结构和专用向量处置器上会更快一些。
矩阵的逆的重要性质：几何说明矩阵的逆在几何上超级有效，因为它使得咱们能够计算变换的”反向“或”相反“变换---- 能”撤销“原变换的变换。
因此，若是向量v 用矩阵M来进行变换，接着用M的逆M-1进行变换，将会取得原向量。
这很容易通过代数方式验证：矩阵的行列式在任意方阵中都存在一个标量，称作该方阵的行列式。
线性运算法那么方阵M的行列式记作|M|或“det M”，非方阵矩阵的行列式是未概念的。
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。
如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3）（1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】17 89411215【例 4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k （A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。
三维思考模型，是把一个完整的产品的概念，从具体到抽象、从实操性强到主攻思考，分为了三个维度。
越是刚入门的PM，越是关注实操性更强的部分，而忽略了思考的部分。
这可以算是PM成长的主要瓶颈了。
突破了思考的界限，也就等于突破了成长的瓶颈，能到达一个更高的思维高度。
三维思考模型的三个维度，分别是：业务维度、支持维度和泛化维度。
其中业务维度和支持维度，基本构成了整个用户体验闭环；而泛化维度则更关注于整个团队的未来发展。
通过这三个维度的勾勒，基本能在心中对一个产品的全局有一个完整的模型。
不管思考什么，至少不会偏离产品的发展主线。
人们总说“细节决定成败”，但不是每个细节都决定成败的。
就像“成功必须经历磨难”，但并非“经历了磨难就一定成功”。
心中对整个产品有了完整的模型之后，就不至于在那些看似重要其实无所谓的细节上，花费太多精力了。
业务维度——核心功能业务维度，指的是大家通常理解的产品，最狭义的产品概念。
这个产品可以是一个APP、一个网站，或者任何你想要做的最核心的有形产品。
这个部分应该是最核心的功能，是看得见摸得着的，直接与用户接触的产品部分。
在这个维度，最关注的是通过视觉设计、流程优化等手段，来优化用户体验。
为了做到这一点，PM要去收集和分析，用户主动反馈的和我们主动收集的各种数据。
用一款移动设备上的阅读APP来解释一下，下面我们就来看看这个“栗子”。
对于一款阅读软件，核心功能当然是阅读。
找到想读的内容，打开，翻页，设置书签等等。
只是把阅读实体书籍的过程，照搬到互联网上，凝聚到一款APP中，然后在进行适当的优化。
优化的部分，可能包括调整排版和配色，自动帮助用户记录阅读进度和阅读历史，提供简单的笔记功能，自动向用户推荐用户可能喜欢的内容等。
业务维度是一个产品与用户最直接接触的部分。
相比其他两个维度，一个团队总会在这个维度快速得到用户的大量反馈，同时也能收集到大量关于业务的数据。
如果用户量足够大的话，有任何的小差错，同样会收到大量的用户投诉。
思维导引-幻方与数阵教案第一章：幻方的概念与性质1.1 幻方的定义介绍幻方的概念，让学生理解幻方是一种特殊的方阵，其特点是每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等。
1.2 幻方的性质解释幻方的性质，包括：奇数阶幻方的存在性、最小正整数解的存在性、幻方的对称性等。
1.3 幻方的构造方法介绍构造幻方的方法，包括：递推法、矩阵法、迭代法等。
第二章：数阵的基本概念2.1 数阵的定义解释数阵的概念，让学生理解数阵是一种由数字排列成的阵列，可以有多种不同的排列规则。
2.2 数阵的类型介绍常见的数阵类型，包括：线性数阵、矩阵数阵、幻方数阵等。
2.3 数阵的性质解释数阵的性质，包括：数阵的行列式、逆矩阵数阵的存在性等。
第三章：幻方与数阵的关系3.1 幻方是一种特殊的数阵说明幻方是一种特殊的数阵，其特点是每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等。
3.2 数阵的幻方化介绍将一般数阵转化为幻方的方法，包括：行列式法、矩阵变换法等。
3.3 幻方的数阵表示解释如何将幻方表示为数阵，以及如何利用数阵的性质来研究幻方的性质。
第四章：幻方的应用4.1 幻方在数论中的应用介绍幻方在数论中的应用，例如：证明费马大定理、研究素数的分布等。
4.2 幻方在组合数学中的应用解释幻方在组合数学中的应用，例如：构造拉丁方、解决排列组合问题等。
4.3 幻方在其他领域的应用探讨幻方在其他领域的应用，例如：在计算机科学中的应用、在经济学中的应用等。
第五章：数阵的应用5.1 数阵在数学中的应用介绍数阵在数学中的应用，例如：解线性方程组、研究矩阵的性质等。
5.2 数阵在物理中的应用解释数阵在物理中的应用，例如：描述量子力学中的状态向量、研究物质的结构等。
5.3 数阵在其他领域的应用探讨数阵在其他领域的应用，例如：在工程学中的应用、在生物学中的应用等。
第六章：幻方的制作技巧与练习6.1 幻方的手工制作教授学生如何通过手工计算制作小阶幻方，例如3x3、4x4幻方。
基于三维框架的计算思维培养与测评实践计算思维主题研训活动如火如荼开展之时，各地纷纷进行了有关计算思维的载体形式和实现方式的研讨。
其中有关计算思维如何落地、信息技术学科中如何践行计算思维的质疑也在日益凸显，究竟何种教学模式，才是计算思维正确的打开方式？问题分析从理论界的演进到学术界的认可，从学科领域的更替到研究方向的明晰，计算思维在确立其学科思维引导者的旗舰作用后，缺少了教学一线的落地研究。
本文将对计算思维从学理中进行实践性的解析，以期为计算思维的落地研究提供实例。
计算思维的概念界定与落地方式2006年，“计算思维”概念肇始于美国卡内基梅隆大学计算机科学系主任周以真（Jeannette M. Wing）的界定。
“计算思维”概念的讨论发源自计算机科学领域，是他们关于科学思想和方法之深刻价值的进一步觉醒。
随着信息技术学科的发展，“计算思维”概念正在走出计算机科学领域，显现为一种新的具有广泛意义的思想方法。
这个概念逐步受到基础教育界的广泛重视：ISTE和CSTA联合制定的中小学计算思维课程框架中，明确将计算思维定义为解决问题的一种过程。
[1]Resnick认为计算思维是种特别重要的表达形式，“编程就像写作，是一种表达方式，也是开发新的思维方式的入口”。
他相信对于多数人来说，计算思维意味着经常运用计算媒体表达自己的一种手段，计算的力量体现在它允许人们通过各种媒体表达和展现自己，因此，计算思维意味着能够创建、建立和创造展示物，需要频繁使用计算媒体。
[2]Wilensky认为有关计算思维的定义可以分为四种类型：理解世界的方式、做事的方式、探究的方式、协作的方式。
[3]中国学者李艺、钟柏昌认为，“计算思维可以分为三组有关联的思维结构：对象化思维和过程思维，兼具认识世界和改造世界的功能，分别指向世界的空间和时间维度；抽象思维和可视化思维，它们主要体现在认识世界的活动当中，分别指向世界的内在本质和外在形态；工程思维和自动化思维，它们主要表现为改造世界的能力，分别指向改造世界的必然性和自由性”。
基于计算思维三维框架的scratch教学设计研究基于计算思维三维框架的scratch教学设计研究引言计算思维是21世纪最重要的思维能力之一，它能够培养学生的逻辑思维、创新思维和问题解决能力。
Scratch是一种非常适合初学者的图形化编程语言，能够帮助学生理解计算机程序设计的基本概念。
本文将介绍一种基于计算思维三维框架的Scratch教学设计研究，以帮助学生更好地理解和应用计算思维。
一、计算思维三维框架的介绍计算思维三维框架是指将计算思维分为三个层次：问题分解和抽象、模式识别和数据表示、算法设计和优化。
问题分解和抽象是计算思维的起点，它需要学生将一个复杂的问题分解为较小的子问题，并抽象出关键的概念和模式。
模式识别和数据表示是计算思维的基础，它要求学生能够识别和应用各种模式，并选择合适的数据结构来表示和处理信息。
算法设计和优化是计算思维的核心，它涉及到解决问题的具体算法的设计和优化。
二、基于计算思维三维框架的Scratch教学设计1. 问题分解和抽象在教学设计中，可以提供一些具体的问题给学生，并引导他们思考如何将问题分解为较小的子问题，并抽象出关键的概念和模式。
例如，可以设计一个游戏，要求学生用Scratch编程实现。
学生需要将游戏的主要功能分解为角色移动、与其他角色的互动、计分等子问题，并抽象出关键的概念，如坐标系统、碰撞检测等。
2. 模式识别和数据表示为了培养学生的模式识别和数据表示能力，可以设计一些问题，要求学生找出问题中的模式，并选择合适的数据结构来表示和处理信息。
例如，可以设计一个花园中植物的生长模拟程序，在程序中提供不同的植物和环境参数，学生需要找出植物生长的模式，并选择合适的数据结构来表示植物和环境。
3. 算法设计和优化为了培养学生的算法设计和优化能力，可以设计一些复杂的问题，要求学生设计和实现高效的算法来解决。
例如，可以设计一个迷宫游戏，要求学生设计一个算法来寻找迷宫中的最短路径。
学生需要分析问题，设计合适的算法，并优化算法的效率。
学而思秘4籍复杂的数阵
（实用版）
目录
1.学而思秘 4 籍复杂的数阵的概念
2.学而思秘 4 籍复杂的数阵的特点
3.学而思秘 4 籍复杂的数阵的应用
4.学而思秘 4 籍复杂的数阵的解析方法
正文
学而思秘 4 籍复杂的数阵是数学领域中的一个重要概念，它具有独特的特点和广泛的应用。
首先，学而思秘 4 籍复杂的数阵是一种多元数组，其元素是由数字、字母、符号等构成的复杂数字序列。
这种数阵的元素数量庞大，排列方式复杂，因此被称为复杂的数阵。
其独特的结构和形式使得它在数学、物理、化学、生物等科学领域中都有着重要的应用。
其次，学而思秘 4 籍复杂的数阵具有以下特点：首先，它的元素并非随机排列，而是按照一定的规律组成；其次，数阵的元素之间存在着复杂的相互关系，这种关系可以是线性的，也可以是非线性的；最后，数阵的元素和行列式之间的关系复杂，需要通过高深的数学方法进行解析。
再者，学而思秘 4 籍复杂的数阵在实际应用中也有着重要的价值。
在物理学中，它可以用来描述粒子的运动状态；在化学中，它可以用来表示分子的结构；在生物学中，它可以用来表示基因的表达情况。
最后，对于学而思秘 4 籍复杂的数阵的解析方法，通常需要运用到线性代数、微积分、概率论等多种数学知识。
通过对数阵进行运算、变换、分解等方式，可以揭示出数阵中元素之间的关系，从而理解和掌握数阵所描述的系统或现象。
总的来说，学而思秘 4 籍复杂的数阵是一种重要的数学概念，它不仅具有独特的特点，而且在科学领域中有着广泛的应用。
