2019届一轮复习人教A版(文)坐标系课件
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1.3.1空间直角坐标系课件2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
的个数是(
A.1
B
)
B.2
C.3
D.4
[解析] 在①中,OP的坐标为 1,2,3 ,故①正确;
在②中,点P关于x轴对称的点的坐标为 1, −2, −3 ,故②错误;
在③中,点P关于原点对称的点的坐标为 −1, −2, −3 ,故③错误;
在④中,点P关于Oxy平面对称的点的坐标为 1,2, −3 ,故④正确.故选B.
= x, y, z
直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作___________.
课前预习
【诊断分析】判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） x, y, z 既可以表示向量,也可以表示点.( √ )
[解析] 空间中的点和向量都可以用有序实数组 x, y, z 表示,符号 x, y, z 具有双
1 1
1
, ,−
2 2
2
所以EF =
因为CG =
.
1
CD,所以GC
4
=
1
DC，
4
又因为H为C1 G的中点,所以GH =
1 1
8 2
GH = 0, ,
.
1
GC1
2
=
1
(GC +
2
CC1 ) =
1
DC
8
+
1
DD1 ,所以
2
课中探究
［素养小结］
用坐标表示空间向量的步骤：
课中探究
探究点三 空间中点的对称问题
课中探究
探究点二 求空间向量的坐标
例2
如图，在空间直角坐标系Oxyz中有一长方体
OABC − O′A′B′C′，且OA = 6，OC = 8，OO′ = 5.
A.1
B
)
B.2
C.3
D.4
[解析] 在①中,OP的坐标为 1,2,3 ,故①正确;
在②中,点P关于x轴对称的点的坐标为 1, −2, −3 ,故②错误;
在③中,点P关于原点对称的点的坐标为 −1, −2, −3 ,故③错误;
在④中,点P关于Oxy平面对称的点的坐标为 1,2, −3 ,故④正确.故选B.
= x, y, z
直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作___________.
课前预习
【诊断分析】判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） x, y, z 既可以表示向量,也可以表示点.( √ )
[解析] 空间中的点和向量都可以用有序实数组 x, y, z 表示,符号 x, y, z 具有双
1 1
1
, ,−
2 2
2
所以EF =
因为CG =
.
1
CD,所以GC
4
=
1
DC，
4
又因为H为C1 G的中点,所以GH =
1 1
8 2
GH = 0, ,
.
1
GC1
2
=
1
(GC +
2
CC1 ) =
1
DC
8
+
1
DD1 ,所以
2
课中探究
［素养小结］
用坐标表示空间向量的步骤：
课中探究
探究点三 空间中点的对称问题
课中探究
探究点二 求空间向量的坐标
例2
如图，在空间直角坐标系Oxyz中有一长方体
OABC − O′A′B′C′，且OA = 6，OC = 8，OO′ = 5.
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系
3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第9章 解析几何 第2课时 圆锥曲线中的定点(或定值)问题
(3y1+6-x1-x2)(y-y2)-(y1-y2)(x-x2)=0.
将 x=0,y=-2 代入上式,整理得 12-2(x1+x2)+3y1y2+6(y1+y2)-x1y2-x2y1=0.(*)
6(+2)
因为 x1+x2=
2
4+3
3(+4)
,x1x2=
2
4+3
,
-8-16
所以 y1+y2=k(x1-1)-2+k(x2-1)-2=
在椭圆上,即 9
2
9(1- 1 )
9
( 1 +3)2
∴
联立
=
2
1- 2
9
2
( 2 -3)
9
+
( 2 -3)2
,
22
2
1 =1, 9
+ 22 =1,
,整理得 4x1x2-15(x1+x2)+36=0,
= + ,
2
=
22
+ 2 = 1,
得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,
+ 4
则点 M
将
= 1,
= 1,
2 6
1,3
2 6
y=- 代入
3
解得
,N
=
2 6
1,
3
2
y= x-2,得
3
2 6或
3
= 1,
=
2 6
- 3 ,
.
x=3- 6,则点 T 3-
2 6
6,3
.
又 = ,所以点 H(5-2
将 x=0,y=-2 代入上式,整理得 12-2(x1+x2)+3y1y2+6(y1+y2)-x1y2-x2y1=0.(*)
6(+2)
因为 x1+x2=
2
4+3
3(+4)
,x1x2=
2
4+3
,
-8-16
所以 y1+y2=k(x1-1)-2+k(x2-1)-2=
在椭圆上,即 9
2
9(1- 1 )
9
( 1 +3)2
∴
联立
=
2
1- 2
9
2
( 2 -3)
9
+
( 2 -3)2
,
22
2
1 =1, 9
+ 22 =1,
,整理得 4x1x2-15(x1+x2)+36=0,
= + ,
2
=
22
+ 2 = 1,
得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,
+ 4
则点 M
将
= 1,
= 1,
2 6
1,3
2 6
y=- 代入
3
解得
,N
=
2 6
1,
3
2
y= x-2,得
3
2 6或
3
= 1,
=
2 6
- 3 ,
.
x=3- 6,则点 T 3-
2 6
6,3
.
又 = ,所以点 H(5-2
人教A版高中数学选修4-4课件 极坐标系的概念(人教A 版)
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个.
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度的正方向。 （通常取逆时针方向）.
O X
这样就建立了一个极坐标系.
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
人民教育出版社 高中/选修4-4
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2, 5)
6
6
O°
x
° O
x•
•M(-2, 5) M (, )
6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作,
将射线OP“反向延长”.
2
3•
F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
- 人民教育出版社 高中/选修4-4
A( 4,0)
4
B(3, 56)
（1）已知两点P（5、 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
思考：在本节开头关于修建高速公路的问题中能否
在极坐标系中解题。
人民教育出版社 高中/选修4-4
数学运用
例3. 已知点Q(, )，分别按下列条件求出点P的坐标：
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度的正方向。 （通常取逆时针方向）.
O X
这样就建立了一个极坐标系.
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
人民教育出版社 高中/选修4-4
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2, 5)
6
6
O°
x
° O
x•
•M(-2, 5) M (, )
6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作,
将射线OP“反向延长”.
2
3•
F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
- 人民教育出版社 高中/选修4-4
A( 4,0)
4
B(3, 56)
（1）已知两点P（5、 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
思考：在本节开头关于修建高速公路的问题中能否
在极坐标系中解题。
人民教育出版社 高中/选修4-4
数学运用
例3. 已知点Q(, )，分别按下列条件求出点P的坐标：
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：第一讲《坐标系》小结
在△OMB 中，同理 → |MB|＝ ρ2＋36－12ρcosθ. → → 由|MA|· |MB|＝36，得 (ρ2＋36)2－(12ρcosθ)2＝362. 即 ρ4＋72ρ2－144ρ2cos2θ＝0. 即 ρ2＝72(2cos2θ－1)＝72cos2θ. 所以，点 M 的轨迹的极坐标方程为 ρ2＝72cos2θ.
3．柱坐标系与球坐标系 (1)柱坐标系
一般地，如图，建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意 一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示 点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标， 这时点 P 的位置可用有序数组(ρ， θ， z)(z∈R)表示，这样我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间 的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有 序数组(ρ，θ，z)，叫做 P 的柱坐标，空间点 P 的直角坐标与柱坐 x＝ρcosθ， 标之间的变换公式为y＝ρsinθ， z＝z.
2ac (2)当 a≠c 时，方程可化为 x ＋y － x＝0，其轨迹是以 a－c
2 2
ac ac 2ac ( ，0)为圆心， 为半径的圆，但不包括点(0,0)和( ， a－c |a－c| a－c 0)．
【例 2】
x′＝2x， 在同一坐标系中， 经过伸缩变换 y′＝2y
后，
曲线 C 变为曲线(x－5)2＋(y＋6)2＝1，求曲线 C 的方程，并判 断是什么曲线．
高 考 真 题 【例 8】 在极坐标系中， 圆 ρ＝2cosθ 的垂直于极轴的两条切 线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和 ρcosθ＝2 π B．θ＝2(ρ∈R)和 ρcosθ＝2 π C．θ＝2(ρ∈R)和 ρcosθ＝ D．θ＝0(ρ∈R)和 ρcosθ＝1
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-1第一讲-坐标系
【分析】
解决这一问题的关键，在于确定遗址 W 与地下管
线 m 的位置关系， 即求出 W 到直线 m 的距离 d 与 100 米进行比较．
【解】 依题意，以 A 点为原点，正东方向和正北方向分别为 x 轴和 y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．如下图．
则 A(0,0)，B(－1 000,0)，由|AW|＝400，得
∴水面与抛物线拱顶相距 3 5 3 |y|＋ ＝ ＋ ＝2(m)． 4 4 4 即水面上涨到与抛物线形拱顶相距 2 m 时，船开始不能通航．
【例 2】 用解析法证明：任意四边形两组对边中点连线及两 对角线中点连线三线共点，且互相平分．
【证明】 如下图所示，建立直角坐标系．设四边形各点的坐 标分别为 A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，(d，e)．
2 2 2 2 2
1 1 ∴λ＝3，μ＝2. 1 x′＝3x， ∴ y′＝1y， 2 1 即将椭圆 4x ＋9y ＝36 上的所有点的横坐标变为原来的 ，纵 3
2 2
1 坐标变为原来的 ，即可得到圆 x′2＋y′2＝1. 2
规律技巧
求满足图象变换的伸缩变换， 实际上是让我们求出
变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数 可得．
2．坐标法的应用 (1)坐标法的基本思想就是在平面上引进“坐标”的概念，建 立平面上的点和坐标之间的一一对应，从而建立曲线的方程，并通 过方程研究曲线的性质． (2)坐标法解决几何问题的“五步骤”： ①建立适当的平面直角坐标系，设动点 M(x，y)； ②根据题设条件，找出动点 M 满足的等量关系式；
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
高考数学一轮复习选修44坐标系与参数方程课件新人教A版理
3
cos +sin
(2)C3 是一条过原点且斜率为正值的直线,
C3 的极坐标方程为 θ=α,α∈ 0,
π
2
,
= 2cos,
联立 C1 与 C3 的极坐标方程
= ,
得 ρ=2cos α,即|OA|=2cos α.
3
= cos +sin ,
联立 C1 与 C2 的极坐标方程
= ,
-11知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
2.若原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,则点(-5,-5√3)的极
坐标是(
)
π
A. 10, 3
2π
C. -10,- 3
4π
B. 10, 3
2π
D. 10, 3
关闭
设点(-5,-5√3)的极坐标为(ρ,θ),
-5 √3
则 tan θ=
-5
= √3.
4π
因为 x<0,所以最小正角 θ= ,
由圆 C1 与圆 C2 的方程相减可得公共弦所在的直线方程为
4x-2y+1=0.
圆心(1,1)到直线 4x-2y+1=0 的距离 d=
故弦长|AB|=2 1-
3 2
√20
=
√55
5
.
|4-2+1|
42 +(-2)2
=
3
,
√20
-24考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
(2)解 ①圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ,
3
3
得 ρ=cos +sin ,即|OB|=cos +sin ,
高二数学人教A版2019选择性必修第一册精品课件1-3-1空间直角坐标系
空间点、向量的坐标
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=4,|AD|=3,|AA1|=5,N为棱 CC1的中点,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标 系.
(1)求点A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标; (2)求点N的坐标.
空间点、向量的坐标
空间点、向量的坐标
(2)关于横轴(x轴)的对称点是P2_____________________； (3)关于纵轴(y轴)的对称点是P3_____________________； (4)关于竖轴(z轴)的对称点是P4_____________________； (5)关于xOy坐标平面的对称点是P5__________________； (6)关于yOz坐标平面的对称点是P6__________________； (7)关于zOx坐标平面的对称点是P7____________________.
空间点、向量的坐标
在平面直角坐标系中，点P(x，y)的几种特殊的对称点的坐标如下： (1)关于原点的对称点是P′(－x，－y)； (2)关于x轴的对称点是P″(x，－y)； (3)关于y轴的对称点是P′″(－x，y)， 那么，在空间直角坐标系内，点P(x，y，z)的几种特殊的对称点坐标： (1)关于原点的对称点是P1______________；
空间直角坐标系
问题1：在空间直角坐标系中，坐标平面上的点和坐标轴上的点的坐标有何特征？
2．坐标轴上的点的坐标特征： x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)． y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)． z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)．
03空间点、向量的坐标
A．y轴上
1.3.1空间直角坐标系 课件-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
例2 空间直角坐标系中点的坐标表示
(1)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱
长为1，则点B1的坐标是( C )
A.(1,0,0) C.(1,1,1)
B.(1,0,1) D.(1,1,0)
(2)（多选）在空间直角坐标系中，点P(1,-3,2)在坐标平
面内的射影可能为( BCD )
A.(-1,3,-2) B.(1,-3,0) C.(0,-3,2)
z
P7
P
O
y
例1 空间直角坐标系
(1)下列空间直角坐标系中，是右手直角坐标系的是①____④__
例1 空间直角坐标系
(2)如图，已知在三棱锥A-BCD中，AB⊥底面BCD，
BC⊥BD，请叙述如何建立空间直角坐标系。
解：因为AB⊥底面BCD，所以 AB⊥BC，AB⊥BD。又因为BC⊥BD， 所以以点B为坐标原点，以DB所在 直线为x轴，BC所在直线为y轴，BA 所在直线为z轴，建立空间直角坐标 系。
D.(1,0,2)
例2 空间直角坐标系中点的坐标表示
(3)在空间直角坐标系中，点A(1,-2,3)与点B(-1,-2,-3)关于
（ C ）对称
A.原点 B.x轴 C.y轴 D.z轴
例3 空间向量的坐标表示
B
z
P
O
y
P5
在空间直角坐标系中，点P(x,y,z)，则有
• 点P关于x轴的对称点是_P_1_(x_,_-_y,_-z) • 点P关于y轴的对称点是_P_2_(-_x_,_y,_-z)
P6
• 点P关于z轴的对称点是_P_3_(-_x_,_-y_,z)
• 点P关于原点的对称点是_P_4_(-_x_,_-y_,-z)
空间向量运算的坐标表示(教学课件)(人教A版2019选择性必修第一册)
由点M在z轴上,可设M(0, 0, a),
又因为A(1, 0, 2), B(1, 3,1), MA MB , 所以 (1 0)2 (0 0)2 (2 a)2 (1 0)2 (3 0)2 (1 a)2 ,
解得a 3, 所以M(0, 0, 3).
4. 如图, 正方体OABC DABC的棱长为a, 点N , M分别在AC , BC 上, AN 2CN , BM 2MC, 求MN的长.
人教A版2019选择性必修第一册
1
环节一：创设情境，引入课题
我们所在的教室即是一个三维 立体图,如果以教室的一个墙角为 始点,沿着三条墙缝作向量可以得 到三个空间向量.
这三个空间向量是不共面的, 那么如何用这三个向量表示空间 中任意的向量呢？
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设a (a1, a2 ), b (b1, b2 ) a b ___(_a_1___b_1,_a_2___b_2_)____, a b ____(_a_1__b_1_,_a_2___b_2_)___,
(4) a b (3)1 2 5 5 (1) 3 10 5 2
2.已知a (2, 1, 3), b (4, 2, x), 且a b, 求x的值.
因为a b, 所以a b 8 2 3x 0, 解得x 10 . 3
3. 在z轴上求一点M, 使点M到点A(1,0, 2)与点B(1, 3,1)的距离相等.
a __(__a_1,___a_2_, __a_3_),_____R_,
a b ____a_1b_1___a_2_b_2 __a_3_b_3___ .
问题1：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运 算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？
知识点1 空间向量及其运算的坐标表示
又因为A(1, 0, 2), B(1, 3,1), MA MB , 所以 (1 0)2 (0 0)2 (2 a)2 (1 0)2 (3 0)2 (1 a)2 ,
解得a 3, 所以M(0, 0, 3).
4. 如图, 正方体OABC DABC的棱长为a, 点N , M分别在AC , BC 上, AN 2CN , BM 2MC, 求MN的长.
人教A版2019选择性必修第一册
1
环节一：创设情境，引入课题
我们所在的教室即是一个三维 立体图,如果以教室的一个墙角为 始点,沿着三条墙缝作向量可以得 到三个空间向量.
这三个空间向量是不共面的, 那么如何用这三个向量表示空间 中任意的向量呢？
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设a (a1, a2 ), b (b1, b2 ) a b ___(_a_1___b_1,_a_2___b_2_)____, a b ____(_a_1__b_1_,_a_2___b_2_)___,
(4) a b (3)1 2 5 5 (1) 3 10 5 2
2.已知a (2, 1, 3), b (4, 2, x), 且a b, 求x的值.
因为a b, 所以a b 8 2 3x 0, 解得x 10 . 3
3. 在z轴上求一点M, 使点M到点A(1,0, 2)与点B(1, 3,1)的距离相等.
a __(__a_1,___a_2_, __a_3_),_____R_,
a b ____a_1b_1___a_2_b_2 __a_3_b_3___ .
问题1：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运 算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？
知识点1 空间向量及其运算的坐标表示
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解析 方程 ρ＝－2cosθ 化为直角坐标方程为(x＋1)2＋ 4 y ＝1，ρ＋ρ＝4 2sinθ 化为直角坐标方程为 x2＋(y－2 2)2
2
＝4，两圆圆心距为 －12＋2 22＝3＝1＋2，所以两圆外 切．
3． [2018· 皖北协作区联考]在极坐标系中， 直线 ρ( 3cosθ －sinθ)＝2 与圆 ρ＝4sinθ 的交点的极坐标为(
y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩 变换．
考点 2
极坐标与直角坐标
1．极坐标系：在平面内取一个定点 O，叫做 极点 ， 自极点 O 引一条射线 Ox，叫做 极轴 ；再选定一个长度单 位、 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方 向)，就建立了极坐标系． 2． 点的极坐标： 对于极坐标系所在平面内的任一点 M， 若设|OM|＝ρ(ρ≥0)，以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的 角为 θ，则点 M 可用有序数对 (ρ，θ) 表示．
π 标为2，6 .故选
A.
π 4．[2018· 株洲模拟]在极坐标系中，直线 ρsin(θ＋4)＝2 被圆 ρ＝4 截得的弦长为( ) A．2 2 B．2 3 C．4 2 D．4 3
π 解析 直线 ρsin(θ＋4)＝2 可化为 x＋y－2 2＝0，圆 ρ ＝4 可化为 x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得 2 r2－d2＝ 2
π 2 ， A. 6 π C.4，6 π 2 ， B. 3 π D.4，3
)
解析 ρ( 3cosθ－sinθ)＝2 可化为直角坐标方程 3x－ y＝2，即 y＝ 3x－2. ρ＝4sinθ 可化为 x2＋y2＝4y，把 y＝ 3x－2 代入 x2＋y2 ＝4y，得 4x2－8 3x＋12＝0，即 x2－2 3x＋3＝0，所以 x ＝ 3，y＝1.所以直线与圆的交点坐标为( 3，1)，化为极坐
6．[2017· 天津高考]在极坐标系中，直线
π 4ρcosθ－6 ＋1
2 ＝0 与圆 ρ＝2sinθ 的公共点的个数为________ ．
解析 由
π θ － 4ρcos 6＋1＝0
得 2 3ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝
0，故直线的直角坐标方程为 2 3x＋2y＋1＝0.
3π 表示为2， 4 .(
√ )
(4)过极点，作倾斜角为 α 的直线的极坐标方程可表示为 θ＝α 或 θ＝π＋α(ρ∈R)．( √ ) (5)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点 O 的圆的极坐标 方程为 ρ＝2asinθ.( × )
4 2．[2018· 开封模拟]方程 ρ＝－2cosθ 和 ρ＋ρ＝4 2sinθ 的曲线的位置关系为( ) A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
(1)将(*)代入 2x＋3y＝0，得到经过伸缩变换后的图形 方程是 x′＋y′＝0.
x′＝2x， 因此，经过伸缩变换 后， y′＝3y
直线 2x＋3y＝0 变成直线 x′＋y′＝0.
(2)将(*)代入 x2＋y2＝1， 得到经过伸缩变换后的图形的 x′2 y′2 方程是 4 ＋ 9 ＝1.
考向 例 1
平面直角坐标系下图形的变换
在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图
x′＝2x， 形经过伸缩变换 后的图形． y′＝3y
(1)2x＋3y＝0；(2)x2＋y2＝1.
解
x＝1x′， x′＝2x， 2 由伸缩变换 得到 1 y′＝3y， y＝3y′.
(*)
2 2 4 －
2 2 ＝4 . 2
5． [2017· 北京高考]在极坐标系中， 点 A 在圆 ρ2－2ρcosθ －4ρsinθ＋4＝0 上，点 P 的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为
1 ________ ．
解析 由 ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得
x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1， 圆心坐标为 C(1,2)，半径长为 1. ∵点 P 的坐标为(1,0)，∴点 P 在圆 C 外． 又∵点 A 在圆 C 上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1.
考点 3
常用简单曲线的极坐标方程
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)点 P 在曲线 C 上，则点 P 的极坐标一定满足曲线 C 的极坐标方程．( × ) π (2)tanθ＝1 与 θ＝4表示同一条曲线(ρ≥0)．( × ) (3)点 P 的直角坐标为(－ 2， 2)，那么它的极坐标可
由 ρ＝2sinθ 得 ρ2＝2ρsinθ， 故圆的直角坐标方程为 x2＋y2＝2y， 即 x2＋(y－1)2＝1.圆心为(0,1)，半径为 1. |2×1＋1| ∵圆心到直线 2 3x＋2y＋1＝0 的距离 d＝ 2 32＋22 3 ＝4＜1，∴直线与圆相交，有两个公共点．
板块二 典例探究· 考向突破
3．极坐标与直角坐标的互化公式：在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，射线 Ox 的正方向为极轴方向，取相 同的长度单位， 建立极坐标系． 设点 P 的直角坐标为(x， y)， 它的极坐标为(ρ，θ)，则相互转化公式为
ρ2＝x2＋y2， x＝ρcosθ， y y＝ρsinθ， tanθ＝ x≠0. x
选修4－4
坐标系与参数方程
第1讲 坐标系
板块一 知识梳理· 自主学习
[必备知识] 考点 1 坐标变换 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
x′＝λ· xλ>0， φ： 的作用下， 点 P(x， y)对应到点 P′(x′， yμ>0 y′＝μ·
x′＝2x， 因此，经过伸缩变换 后，圆 x2＋y2＝1 变 y′＝3y
x′2 y′2 成椭圆 4 ＋ 9 ＝1.
触类旁通 平面直角坐标系下图形的变换技巧 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示． 在伸
2
＝4，两圆圆心距为 －12＋2 22＝3＝1＋2，所以两圆外 切．
3． [2018· 皖北协作区联考]在极坐标系中， 直线 ρ( 3cosθ －sinθ)＝2 与圆 ρ＝4sinθ 的交点的极坐标为(
y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩 变换．
考点 2
极坐标与直角坐标
1．极坐标系：在平面内取一个定点 O，叫做 极点 ， 自极点 O 引一条射线 Ox，叫做 极轴 ；再选定一个长度单 位、 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方 向)，就建立了极坐标系． 2． 点的极坐标： 对于极坐标系所在平面内的任一点 M， 若设|OM|＝ρ(ρ≥0)，以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的 角为 θ，则点 M 可用有序数对 (ρ，θ) 表示．
π 标为2，6 .故选
A.
π 4．[2018· 株洲模拟]在极坐标系中，直线 ρsin(θ＋4)＝2 被圆 ρ＝4 截得的弦长为( ) A．2 2 B．2 3 C．4 2 D．4 3
π 解析 直线 ρsin(θ＋4)＝2 可化为 x＋y－2 2＝0，圆 ρ ＝4 可化为 x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得 2 r2－d2＝ 2
π 2 ， A. 6 π C.4，6 π 2 ， B. 3 π D.4，3
)
解析 ρ( 3cosθ－sinθ)＝2 可化为直角坐标方程 3x－ y＝2，即 y＝ 3x－2. ρ＝4sinθ 可化为 x2＋y2＝4y，把 y＝ 3x－2 代入 x2＋y2 ＝4y，得 4x2－8 3x＋12＝0，即 x2－2 3x＋3＝0，所以 x ＝ 3，y＝1.所以直线与圆的交点坐标为( 3，1)，化为极坐
6．[2017· 天津高考]在极坐标系中，直线
π 4ρcosθ－6 ＋1
2 ＝0 与圆 ρ＝2sinθ 的公共点的个数为________ ．
解析 由
π θ － 4ρcos 6＋1＝0
得 2 3ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝
0，故直线的直角坐标方程为 2 3x＋2y＋1＝0.
3π 表示为2， 4 .(
√ )
(4)过极点，作倾斜角为 α 的直线的极坐标方程可表示为 θ＝α 或 θ＝π＋α(ρ∈R)．( √ ) (5)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点 O 的圆的极坐标 方程为 ρ＝2asinθ.( × )
4 2．[2018· 开封模拟]方程 ρ＝－2cosθ 和 ρ＋ρ＝4 2sinθ 的曲线的位置关系为( ) A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
(1)将(*)代入 2x＋3y＝0，得到经过伸缩变换后的图形 方程是 x′＋y′＝0.
x′＝2x， 因此，经过伸缩变换 后， y′＝3y
直线 2x＋3y＝0 变成直线 x′＋y′＝0.
(2)将(*)代入 x2＋y2＝1， 得到经过伸缩变换后的图形的 x′2 y′2 方程是 4 ＋ 9 ＝1.
考向 例 1
平面直角坐标系下图形的变换
在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图
x′＝2x， 形经过伸缩变换 后的图形． y′＝3y
(1)2x＋3y＝0；(2)x2＋y2＝1.
解
x＝1x′， x′＝2x， 2 由伸缩变换 得到 1 y′＝3y， y＝3y′.
(*)
2 2 4 －
2 2 ＝4 . 2
5． [2017· 北京高考]在极坐标系中， 点 A 在圆 ρ2－2ρcosθ －4ρsinθ＋4＝0 上，点 P 的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为
1 ________ ．
解析 由 ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得
x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1， 圆心坐标为 C(1,2)，半径长为 1. ∵点 P 的坐标为(1,0)，∴点 P 在圆 C 外． 又∵点 A 在圆 C 上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1.
考点 3
常用简单曲线的极坐标方程
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)点 P 在曲线 C 上，则点 P 的极坐标一定满足曲线 C 的极坐标方程．( × ) π (2)tanθ＝1 与 θ＝4表示同一条曲线(ρ≥0)．( × ) (3)点 P 的直角坐标为(－ 2， 2)，那么它的极坐标可
由 ρ＝2sinθ 得 ρ2＝2ρsinθ， 故圆的直角坐标方程为 x2＋y2＝2y， 即 x2＋(y－1)2＝1.圆心为(0,1)，半径为 1. |2×1＋1| ∵圆心到直线 2 3x＋2y＋1＝0 的距离 d＝ 2 32＋22 3 ＝4＜1，∴直线与圆相交，有两个公共点．
板块二 典例探究· 考向突破
3．极坐标与直角坐标的互化公式：在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，射线 Ox 的正方向为极轴方向，取相 同的长度单位， 建立极坐标系． 设点 P 的直角坐标为(x， y)， 它的极坐标为(ρ，θ)，则相互转化公式为
ρ2＝x2＋y2， x＝ρcosθ， y y＝ρsinθ， tanθ＝ x≠0. x
选修4－4
坐标系与参数方程
第1讲 坐标系
板块一 知识梳理· 自主学习
[必备知识] 考点 1 坐标变换 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
x′＝λ· xλ>0， φ： 的作用下， 点 P(x， y)对应到点 P′(x′， yμ>0 y′＝μ·
x′＝2x， 因此，经过伸缩变换 后，圆 x2＋y2＝1 变 y′＝3y
x′2 y′2 成椭圆 4 ＋ 9 ＝1.
触类旁通 平面直角坐标系下图形的变换技巧 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示． 在伸