2007年河南宏力学校初一数学竞赛试题

2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1. 已知z y x ,,满足x z z y x +=-=532，则z y y x 25+-的值为 （ ）（A ）1. （B ）31. （C ）31-. （D ）21. 【答】B.解 由x z z y x +=-=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选（B ）.注：本题也可用特殊值法来判断.2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211x x +-的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ）（A ）－1. （B ）1. （C ）0. （D ）2007.【答】C.解 因为=+-++-222211)1(1)1(1n n n n 011112222=+-++-n n n n ，即当x 分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，0111122=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C ）. 3. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2b a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是 （ ）（A ）等腰三角形. （B ）锐角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）直角三角形.【答】D.解 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选（D ）. 4. 已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ）（A ）30°. （B ）45°. （C ）60°. （D ）75°. 【答】C.解 锐角△ABC 的垂心在三角形内部，如图，设△ABC 的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OD CE AH OB 2===，所以∠OBD ＝30°，∠BOD ＝60°，所以∠A ＝∠BOD ＝60°.故选（C ）.5．设K 是△ABC 内任意一点，△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F，则ABC DEF S S △△:的值为 （ ）（A ）91. （B ）92. （C ）94. （D ）32. 【答】A.解 分别延长KD 、KE 、KF ，与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以ABC MNP S S △△41=.易证△DEF ∽△M N P ，且相似比为3:2，所以MNP DEF S S △△2)32(=ABC S △4194⋅=ABC S △91=. 所以:DEF S △19ABC S =△.故选（A ）. 6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）（A ）101. （B ）51. （C ）103. （D ）52. 【答】B.解 设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ；当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y .因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选（B ）. 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1. 设121-=x ，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则=++ab b a 333____1___.解 ∵12121+=-=x ，而3122<+<，∴122-=-=x a . 又∵12--=-x ，而2123-<--<-，∴22)3(-=---=x b .∴1=+b a ，∴=++ab b a 333=++-+ab b ab a b a 3))((221)(3222=+=++-b a ab b ab a . 2. 对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两个根记作n n b a ,（2≥n ），则)2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a =.10034016- 解 由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，22n n a b n ⋅=-，所以=--)2)(2(n n b a (2-n n b a 4)++n n b a 222(2)42(1)n n n n =--++=-+， 则11111()(2)(2)2(1)21n n a b n n n n =-=----++， )2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a ＝11111111111003()()()()22334200720082220084016⎡⎤--+-++-=--=-⎢⎥⎣⎦. 3. 已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为6,10,2====AD CD BC AB ，过B 、D 两点作圆,与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BF BE -的值为____4_____.解 延长CD 交⊙O 于点G ，设DG BE ,的中点分别为点N M ,，则易知DN AM =.因为10==CD BC ，由割线定理，易证DG BF =，所以42)(2)(2==-=-=-=-AB AM BM DN BM DG BE BF BE .4． 若64100+a 和64201+a 均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是___17____.AB CD E F G M N解 设264100m a =+，264201n a =+，则100,32<≤n m ，两式相减得 ))((10122m n m n m n a -+=-=，因为101是质数，且101101<-<-m n ，所以101=+m n ，故1012-=-=n m n a .代入264201n a =+，整理得020*******=+-n n ，解得59=n ，或343=n （舍去）.所以171012=-=n a .第二试 （A ）一、 （本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求n m ,的值.解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为3mt +.由题意，32mt t n+≥+，即22(3)(2)mt t n +≥+，即222(4)(64)90m t m n t n -+-+-≥. 由题意知，042≠-m ，且上式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m 二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N .证明：∠AFN =∠DME . 证明 设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ，∴△PNE ∽△PBC ，∴PC PE PB PN =, ∴PC PN PE PB ⋅=⋅.又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PF PE PB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅.∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPC PN PM = 又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC ∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED.∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.三、 （本题满分25分）已知a 是正整数，如果关于x 的方程056)38()17(23=--+++x a x a x 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.解 观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得[]056)18()1(2=+++-x a x x因为a 是正整数，所以关于x 的方程 056)18(2=+++x a x （1）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以 A B D E F M N P⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a 当39=a 时，方程（1）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-.此时原方程的三个根为1，1-和56-.当12=a 时，方程（1）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-. 第二试 （B ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ；一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22.所以，21d d ≥22)2()3(23n t mt n t mt +≥+⇔+≥+⇔09)46()4(222≥-+-+-⇔n t n m t m （1）由题意知，042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m 二、（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三、（本题满分25分）设a 是正整数，二次函数a x a x y -+++=38)17(2，反比例函数xy=，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值. 解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=,56,38)17(2x y a x a x y 消去y 得a x a x -+++38)17(2x56=，即 056)38()17(23=--+++x a x a x ，分解因式得[]056)18()1(2=+++-x a x x （1）显然11=x 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点. 因为a 是正整数，所以关于x 的方程 056)18(2=+++x a x（2）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根. 而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a 当39=a 时，方程（2）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-，此时两个函数的图象还有两个交点)56,1(--和)1,56(--.当12=a 时，方程（2）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-，此时两个函数的图象还有两个交点)28,2(--和)2,28(--.第二试 （C ）一、（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，如果二次函数a x a x y 710)232(22-+++=和反比例函数xa y 311-=的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值和对应的公共整点.解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+++=,311,710)232(22x a y a x a x y 消去y 得a x a x 710)232(22-+++＝113a x-，即0113)710()232(223=-+-+++a x a x a x ，分解因式得 []0311)12()12(2=-+++-a x a x x （1）如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于x 的一元二次方程 0311)12(2=-+++a x a x（2）必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式∆应该是一个完全平方数， 而224)18(10036)311(4)12(222-+=++=--+=∆a a a a a .所以224)18(2-+a 应该是一个完全平方数，设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a . 显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以 ⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a当39=a 时，方程（2）即0106512=-+x x ，它的两根分别为2和53-，易求得两个函数的图象有公共整点)53,2(-和)2,53(-.当12=a 时，方程（2）即025242=-+x x ，它的两根分别为1和25-，易求得两个函数的图象有公共整点)25,1(-和)1,25(-.。

七年级数学竞赛试题(含答案)一、耐心填一填（每题5分,共50分）1、某天,5名同学去打羽毛球,从上午8:45一直到上午11:05,若这段时间内,他们一直玩双打（即须4人同时上场）,则平均一个人的上场时间为________分2、已知：一条射线OA,若从点O再引两条射线OB、OC,使∠AOB=600,∠BOC=200,则∠AOC=___________度3、()()_______________1541957.0154329417.0=-⨯+⨯+-⨯+⨯。

4、定义a*b=ab+a+b,若3*x=27,则x的值是________。

5、有一个正方体,在它的各个面上分别标上字母A、B、C、D、E、F,甲、乙、丙三位同学从不同方向去观察其正方体,观察结果如图所示。

问：F的对面是_______。

FA DBCAED C6 A、B、C、D、E、F六足球队进行单循环比赛,当比赛到某一天时,统计出A、B、C、D、E、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球,则还没与B队比赛的球队是________。

7、正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字,将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体,那么长方体的下底面数字和为________。

8、小李同学参加了学校组织的名为“互帮互助向未来”活动,为此小李自己在家制作了四份小礼物,准备送给他的新同学,四份小礼物分别装在形状完全一样的小长方体的盒子里,每个小长方体的长、宽、高分别是3、1、1,然后把这四个小长方体盒子用漂亮的丝带捆绑成一个大长方体,那么这个大长方体的表面积可能有________ 中不同的值,其中最小值为________。

9、当a ______时,方程组223196922x y a ax y a a⎧+=+-⎪⎨-=-+⎪⎩的解是正数。

10、如图1,棱长分别为1厘米,2厘米,3厘米,5厘米的四个正方体紧贴在一起,则所得到的多面体的表面积是________平方厘米。

二、细心选一选（每题5分,共30分）1、如果有2015名学生排成一列,按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数,那么第2015名学生所报的数是（）A、1B、2C、3D、42、俗话说“商场如战场”,“买的永远没有卖的精”。

七年级下期数学竞赛试题时间45分钟 总分150分 班级 姓名 得分一、选择题（每小题5分，共35分）1、有理数,,a b c 在数轴上的位置如图，式子a b a b b c ++++-化简结果为（ ）。

A 、23a b c +- B 、3b c - C 、b c + D 、c b -2、若10a b -<<<，则下列式子中正确的是（ ）A 、a b --<B 、11a b< C 、a b < D 、22a b > 3、已知关于x 的方程()3870m n x ++=无解，则mn 是（ ）A 、正数B 、非正数C 、负数D 、非负数4、方程27218a a ++-=的整数解的个数有（ ）A 、5B 、4C 、3D 、25、某商店出售某种商品每件可获利m 元，利润率为20%。

若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m 元，则提价后的利润率为（ ）A 、25%B 、20%C 、16%D 、12.5%6、不等式()()720x x -+<的整数解的个数是（ ）A 、0B 、6C 、8D 、107、若不等式组122x a x x +⎧⎨--⎩≥0>有解，则a 的取值范围是（ ）A 、1a -≥B 、1a ≤C 、1a ->D 、1a <二、填空题（每小题5分，共35分）8、已知关于x 的方程9314x kx -=+有整数解，那么满足条件的所有整数k ＝ 。

9、方程525x x -+=-的解是 。

10、已知关于,x y 的二元一次方程组2321x y k x y +=⎧⎨+=-⎩的解互为相反数，则k 的值为 。

11、m 为正整数，已知二元一次方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，则2m ＝ 。

12、若()4360,2700x y z x y z xyz --=+-=≠，则式子222222522310x y z x y z+---的值为 。

２００7年全国初中数学竞赛（初赛）试题说明：本卷共120分，时量分钟一、选择题（本大题共６个小题，每小题５分，满分３０分）１．若ｘ＝m3＋２，ｙ＝４－m 9．用含ｘ的代数式表示ｙ为（ ）Ａ．ｙ＝２ｘ Ｂ．ｙ＝2x Ｃ．ｙ＝2x －２ｘ Ｄ．ｙ＝４ｘ－2x ２．⊙Ｏ切△ＡＢＣ的三边于点Ｄ，Ｅ，Ｆ则△ＤＥＦ的形状为（ ）Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不能确定 ３.如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝２， ｙＢＣ＝１，点Ａ，Ｃ分别在ｘ轴，ｙ轴上．点Ａ在ｘ轴 Ｂ上运动时，点Ｃ随之在ｙ轴上运动，在运动过程中， 点Ｂ到原点Ｏ的最大距离为（ ） Ａ．３ Ｂ．5＋１ Ｃ．2＋１ Ｄ．5 ４．已知π的前２４位数字为３１４１５９２６５３５８９７９３２３８４６２６４，在这２４个数字中随意地抽取一个数字，并依次记作1a ，2a ，… ，24a ，则（1a -2a ）（43a a -）…（2423a a -）的值为（ ）Ａ．奇数 Ｂ．偶数 Ｃ．奇数或偶数 Ｄ．质数５．如图，Ｐ是正方形ＡＢＣＤ内点一点，且ＰＡ＝２，ＰＢ＝１，ＰＤ＝３，则∠ＡＰＢ的度数为（ ）Ａ．１００° Ｂ．１１０° Ｃ．１２５° Ｄ．１３５°６．如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，且ＯＡ＞ＯＣ，ＯＢ＞ＯＤ，在ＡＯ上取ＡＥ＝ＯＣ，ＢＯ上取ＢＦ＝ＯＤ，连结ＤＥ，ＢＥ，ＡＦ，ＣＦ，记△ＡＦＣ的面积为1S ，△ＢＥＤ的面积为2S ，则有（ ）Ａ．1S ＞2S Ｂ．1S ＝2S Ｃ．1S ＜2S Ｄ．1S 和2S 的大小不能确定 Ｄ Ｃ Ｄ Ｃ Ｏ Ｐ Ｅ ＦＡ Ｂ Ａ Ｂ（第５题）（第６题）二、填空题（本大题共６个小题，每小题５分，满分３０分） ７．一个凸多边形的所有内角中，最多有（ ）个锐角． ８．已知a 1－a ＝１，那么代数式a1＋a 的值为（ ）． ９．为了了解用电量的多少，小明在３月初连续几天同一时刻观察电表显示的刻度数，记录如下表：由此可以估计小明３月份的用电量大约是( )度． １０．若分式方程22-+x ax ＝－１的解是正数，则ａ的取值范围是（ ） １１．如图，六面体的４个定点处分别有四只 Ａ蚂蚁1A ，2A ，3A ，4A ，要求它们在爬过所有 Ａ 2A 的９条棱后到达终点Ｂ，如果它们的爬速相同，那么最先到达终点的是（ ）． Ｂ１２．已知二次函数ｙ＝ａ2x ＋ｂｘ＋ｃ和一次函数ｙ＝ｋ（ｘ－１）－42k ，若它们的图像对任意实数ｋ都只有一个公共点，则该二次函数的解析式为（ ）三、解答题（本大题共４个小题，每小题１５分，满分６０分）13．若多项式2x －（ａ＋５）ｘ＋５ａ－１能分解成两个一次因式ｘ＋ｂ，ｘ＋ｃ的乘积（要求ｂ，ｃ是整数且ｂ＜ｃ），求ａ，ｂ，ｃ的值．１４．如图，已知正方形ＡＢＣＤ的边长为１，Ｇ为ＣＤ边上的一个动点（点Ｇ不与Ｃ，Ｄ重合）以ＣＧ为边在正方形ＡＢＣＤ外作正方形ＧＣＥＦ连结ＤＥ交ＢＧ的延长线于点Ｈ．⑴求证：△ＢＣＧ≌△ＤＥＣ⑵ＢＨ与ＤＥ垂直吗？证明你的结论．⑶当点Ｇ运动到什么位置时，ＢＨ垂直平分ＤＥ？请说明理由．ＡＤＨＧＦＢＣＥ１５.今有甲，乙两个游团取某公园游览，若分别购票，两团总计应付门票费１３１４０元；若合在一起作为一个团队购票，总计应付门票费１００８０元，问这两个游团各有多少人？附：公园门票价格购票人数１～５０人５１～１００人１００人以上每人门票价格１３０元１１０元９０元１６．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ是半径ＯＢ的中点，Ｄ是ＯＢ延长线上的一点，且ＢＤ＝ＯＢ，过Ｄ的直线交⊙Ｏ于Ｍ，Ｅ，连结ＭＢ．（１）求证：ＭＢ平分∠ＣＭＤ；（２）求ＭＤ︰ＭＣ的值；（３）当ＭＤ与⊙Ｏ相切时，ＭＤ︰ＭＣ的值是否发生变化？请说明理由．。

2007年七年级（下册）数学试卷一 巧手填填（8×3分=24分）1． 照镜子时，当你眨动左眼，镜中的像眨动的是 。

2． 3月12日是植树节，七年级一班和二班同学参加了植树活动，一班种了a 棵树，二班种的比一班多b棵，两个班一共种了 棵树。

3． 小明的身高大约是165.0厘米，这个近似数的有效数字是 。

4． 北京08年奥运会吉祥物是“贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮”，现将三张分别印有 “欢欢、迎迎、妮妮”吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小一样、质地相同）放入盒子。

小聪从盒子中任意取一张，取到卡片妮妮的概率是 。

5． 一个等腰三角形的底角是54°，则它的顶角是 。

6． 将一张圆形纸片对折，使得折痕平分这个圆形面积，则这样的折纸方法共有 种7． 有一个正方形，若边长x (cm)为自变量，面积y (cm 2)为因变量，其关系式为 。

8． 如图，已知在△ABC 和△DCB 中,A B ＝DC,，则需要添加一个条件 。

二 慧眼选选（8×3分=24分）9． 下列四个数据，精确的是（ ）A . 小强身高是1.60 米.B. 小明班上有46人.C. 小丽体重是50千克.D. 小红测得数学书长度是21.0厘米. 10． 一个事件的概率不可能是 （ ）A. 0 B .21 C 23D. 1 11． 一个三角形的两边分别为5㎝ . 11㎝. 那么第三边的长度在以下选项中只能是A. 4㎝B. 5㎝C. 6㎝D. 7㎝ 12． 一个口袋里共有50个球，其中白球10个，黄球20个，红球 20个，则摸不到黄球的概率是（ ）A54 B. 53 C. 52 D. 5113． 如图.A B ∥DC ∠B ＝60°. 那么∠DCE 的度数是（ ） A. 120° B.100° C. 60° D. 30° 14． 下列说法中不正确的是（ ）A. 全等形一定关于某直线对称.B. 关于某直线对称的两个图形一定全等.C. 如果在直线MN 两旁的两个图形经直线MN 对折后能完全重合，那么这两个图形关于直线MN 对称 .D 任何一个图形关于任何一条直线都可以画出其对称图形. 15． 一根蜡烛长20㎝,点燃后每小时燃烧5㎝ ，燃烧时剩下的高度h (厘米) 与燃烧时间t(小时)（0 ≦t ≦ 4）之间的关系式是（ ）A. h ＝20－5tB. h ＝4tC. h ＝5tD. 无法确定. 16． 右图是某人骑自行车的行驶路程s (㎞)与行驶时间t(h) 的函数图象，下列说法不正确的是（ ） A. 从0时到3时，行驶了30㎞. B. 从1时到2时匀速前进.C. 从1时到2时原地不动.D. 从0时到1时与从2时到3时行驶的速度相同三 细心算算17． 计算 －2a(a －b)＋(a －b)2（5分）18．巧算（要有计算过程，不能用计算器，任．选其中一个题解答．．．．．．．．） （1） 20072 （5分） （2）301×299（5分）四 精心画画19． 如图是等边三角形，它有几条对称轴？请你用直尺把它们画出来。

中国教育学会中学数学教学专业委员会 2007年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。

以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里。

不填、多填或错填得零分）1、方程组⎩⎨⎧=+=+6||12||y x y x 的解的个数为（ ）A 、1B 、 2C 、3D 、4 答案：A解析：若0≥x ，则⎩⎨⎧=+=+6||12y x y x ，于是6||-=-y y ，显然不可能若0 x ，则⎩⎨⎧=+=+-6||12y x y x于是18||=+y y ，解得9=y ，进而求得3-=x 所以，原方程组的解为⎩⎨⎧=-=93y x ，只有1个解．故选（A ）．2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）A 、 14B 、 16C 、18D 、20答案：B解析：用枚举法：红球个数 白球个数 黑球个数 种 数 5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4 所以，共16种． 故选（B ）．3、已知ABC ∆为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过ABC ∆的（ ）A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心 答案：B解析： 如图，连接BE ∵ABC ∆为锐角三角形 ∴BAC ∠，ABE ∠均为锐角又∵⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦 ∴ABE BAC ∠=∠∴BAC ABE BAC BEC ∠=∠+∠=∠2 若ABC ∆的外心为1O 则BAC C BO ∠=∠21 ∴⊙O 一定过ABC ∆的外心 故选（B ）．4、已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则abc ca b bc a 222++的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 答案：D解析：设0x 是它们的一个公共实数根，则02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx把上面三个式子相加，并整理得()()01020=++++x x c b a因为0432112002+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x所以0=++c b a于是()()33333333222=+-=+-+=++=++abcb a ab abc b a b a abc c b a ab c ca b bc a 故选（D ）．5、方程256323+-=++y y x x x 的整数解（x ，y ）的个数是（ ）A 、0B 、1C 、3D 、无穷多 答案：A解析：原方程可化为()()()()()2113212++-=++++y y y x x x x x因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的。

2007-2012年全国初中数学联合竞赛分类解析汇编6---几何解答题1、如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N .证明：∠AFN =∠DME .（2007）证明 设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ， ∴△PNE ∽△PBC ，∴PCPEPB PN =, ∴PC PN PE PB ⋅=⋅.又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PFPEPB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅. ∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPCPN PM =又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC ∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED.∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.2． 如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.（1）证明：点O 在圆D 的圆周上.（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值. （2008）解 （1）连,,,OA OB OC AC ，因为O 为圆心，AB BC =，所以△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠因为,OD AB DB BC ⊥⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=︒-∠=︒-∠=∠， 所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上.（2）设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aSl y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=. 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以△BDO ∽△ABC ，所以BD BOAB AC=，即2r a l y =，故2al r y =.AB CDEF MN P所以22223222()4422a l a aS S a Sr y y y y ==⋅=⋅≥，即2r ≥a y =时成立，这时AC 是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r的最小值为2.3．设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求1I 2I .（2009）解 作1I E ⊥AB 于E ，2I F ⊥AB 于F.在直角三角形ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB =5=.又CD ⊥AB ，由射影定理可得2AC 9A D =AB 5=，故16BD =AB AD 5-=，12CD =5=. 因为1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以1I E ＝13(AD CD AC)25+-= 连接D 1I 、D 2I ，则D 1I 、D 2I 分别是∠ADC 和∠BDC 的平分线，所以∠1I DC ＝∠1I DA ＝∠2I DC ＝∠2I DB ＝45°，故∠1I D 2I ＝90°，所以1I D ⊥2I D ，1113I E 5DI sin ADI sin 455===∠︒.同理，可求得24I F 5=，2D I 5=.所以1I 2I=.C4． 已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB. （2009）解 因为BN 是∠ABC 的平分线，所以ABN CBN ∠=∠. 又因为CH ⊥AB ，所以CQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠，因此CQ NC =.又F 是QN 的中点，所以CF ⊥QN ，所以CFB 90CHB ∠=︒=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆.又FBH =FBC ∠∠，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上. 同理可证，点E 在CH 的中垂线上. 因此EF ⊥CH.又AB ⊥CH ，所以EF ∥AB.5、已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线. （2010） 证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N. 因为CP 为∠ACB 的平分线， 所以∠ACP ＝∠BCP.又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC.又CP 公共，所以△A CP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC.由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条直线.又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合， 故PD 是⊙I 的切线.6．如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且SB DS 2=，P 为AC 的中点．求证：（1）︒=∠30PBD ；（2）DC AD =．（2011）证明 （1）由已知得 90ADC ∠=︒，从而D C B A ,,,四点共圆，AC 为直径，P 为该圆的圆心．作BD PM ⊥于点M ，知M 为BD 的中点，所以BPM ∠＝NBN CAC AB12BPD ∠＝60A ∠=︒，从而︒=∠30PBM ． （2）作BP SN ⊥于点N ，则12SN SB =．又BD MB DM SB DS 21,2===，∴ SN SB SB SB DM DS MS ==-=-=21232，∴ Rt △PMS ≌Rt △PNS ，∴ ︒=∠=∠30NPS MPS ，又PB PA =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒，故DCA DAC ∠=︒=∠45，所以DC AD =．7．如图，已知P 为锐角△ABC 内一点，过P 分别作AB AC BC ,,的垂线，垂足分别为F E D ,,，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ．如果PF PE PD +=，求证：CN 是ACB ∠的平分线．（2011）证明 如图1，作BC MM ⊥1于点1M ，AB MM ⊥2于点2M ，BC NN ⊥1于点1N ，AC NN ⊥2于点2N ．设NM NP λ=，∵ 11////MM PD NN ， ∴111M N D N λ=．若11MM NN <，如图2，作1MM NH ⊥，分别交PD MM ,1于点1,H H ，则△1NPH ∽△NMH ，∴λ==NMNPMH PH 1，∴ MH PH λ=1， ∴111NN MH H H PH PD +=+=λ11111)1()(NN MM NN NN MM λλλ-+=+-=．若11MM NN =，则1111)1(NN MM MM NN PD λλ-+===．N1M 1DCAHN 1M 1DNM若11MM NN >，同理可证11)1(NN MM PD λλ-+=． ∵2//NN PE ，∴λ-==12NMPMNN PE ，∴2)1(NN PE λ-=． ∵ 2//MM PF ，∴λ==NMNPMM PF 2，∴2MM PF λ=． 又PF PE PD +=，∴ 2211)1()1(NN MM NN MM λλλλ-+=-+．又因为BM 是ABC ∠的平分线，所以12MM MM =，∴ 21)1()1(NN NN λλ-=-． 显然1≠λ，即01≠-λ，∴ 21NN NN =，∴CN 是ACB ∠的平分线．8．如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D.证明：2AD BD CD =⋅.（2012）证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，AD ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA P B PC =⋅，∴PB PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PBD ∽△COD ， ∴PD BD CD OD=，∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅.。

34A 、 4cm B 、 5cm C 、 9cm 若（x+5）2与y-2的值互为相反数,则x+2y 的值为A 、9B 、D D 13cm) -45999 II 9 已知卩二孑厂。

=戶"，那么卩、Q 的大小关系6A 、 P>Q B 、 P=Q 一个正数x 的两个平方根分别是a+1与a-3,贝％C 、D 无法确定 ）7A 、 2 B 、 -1 C 、 1 某年的某个月份中有5个星期三，它们的日期之和为80 （把日期作为一个数，例如22 日看做22）,那么这个月的3号是星期（） A 、H D 、B 、一C 、二D 、四8、 T he adminission price (入场费)per child at an amusement park (公园)is 5/9 of the admission price per adult. If the adminission price for 6 adults and 3 children is Y276, then the admission price per adult is ( )A 、¥24B 、C 、D 、则他的等级是) D 、C 、.条七年级数学竞赛答题时请注意：1、用黑笔作答；2、草稿纸与试题不上交，只交答卷纸!一、选择题（每小题2分，共20分）1.在（-1 ）2007, |-1|\ -（-1严，18这四个有理数中，负数共有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、以下四个有理数运算的式子中：①（1+2）+3=1+（2+3）;②（1—2）—3=1—（2—3）; ③（1+2） 4~3=1+（24~3）;④（14-2） 4-3=14- （24-3）.止确的运算式子有（ ）个A 、 1B 、 2C 、 3D 、 4在下列长度的四根木棒中，能与4cm 、9cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（） 9、 如图3, “人文奥运”这4个艺术字中，轴对称图形有(A 、1 个B 、2 个C 、3 个D 、410、QQ 空间是一个展示自我和沟通交流的网络平台.它既是网络日记本，又可以上传图片、 视频等.QQ 空间等级是用户资料和身份的象征，按照空间积分划分不同的等级.当用户 在10级以上，每个等级与对应的积分有一定的关系.现在知道第10级的积分是90,第 11级的积分是160,第12级的积分是250,第13级的积分是360,第14级的积分是490…… 若某用户的空间积分达到1 000,A 、 18B 、 17 二、填空题（每空2分，共30分）1、 数一数图中线段共有.2、 3点 _____ 分时，时针和分针重合.3、鞋柜里有5双鞋，任取一只恰是右脚穿的概率是.10、对任意四个有理数a, b, c, d 定义新运算：c b =ad-fc)c, 已2x -4=18,则 1 块三角形砖时，则金字塔能搭4、 一生物教师在显微镜下发现，某种植物的细胞直径约为0.00012nnn,用科学记数法表 示这个数为 ___________ mm.5、 - + + + ……+ ------ --- = 1x2 2x3 3x4 2008x2009 ----------------6、 “北”、“京”、“奥”、“运”分别代表一个数字，四位数“北京奥运”与它的各位数字的和为2008,则这个四位数为 ______________ .7、 小明把自己的左手手印和右手手印按在同一张白纸上，左手手印— _ （填“能” 或“不能”）通过平移与右手手印完全重合。

七年级三科联赛数学试题（时间：120分钟 分数：120分）一、选择题：1、当x=2时，代数式ax 3-bx+1的值为-17，那么当x=-1时，代数式12ax-3bx 3-5的值是（ ） A ．-20 B.22 C.-25 D.192、某商品进货价便宜8%，而售价保持不变，那么他的利润由目前的x%增加到[（x+10）%]，则x%是（ ）A ．12% B.15% C.30% D.50%3、设a+b+c=0,abc ＞0，则||a c b ++||b a c ++||c ba +的值为 （ ）A ．-3 B.1 C.3或-1 D.-3或14、甲从一鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b 元，后来他又以每条2ba +元的价格把鱼全部卖掉，结果发现赔了钱，原因是 （ ）A ．a ＞b B.a ＜b C.a=b D.与a 和b 的大小没有关系5、把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所示的立方体， 然后将露出的表面部分染成红色，那么红色部分的面积为（ ）A ．21 B.24 C.33 D.376、把足够大的一张厚度为0.1mm 的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过12mm ，至少要对折（ ）A ．6次 B.7次 C.8次 D.9次 7．若（5a+8b ）x+7=0无解，则a ·b 是（ ）A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数 8．如图，一个周长为12的大圆内有许多小圆， 这些小圆的圆心都在大圆的一条直径上，记 所有小圆的周长之积为C ，则（ ）A ．C12B ．C12C ．C=12D ．无法计算 二、填空题9、若a 、b 、c 都是有理数，且满足aa ||+bb ||+c c ||=1，则abc abc ||=10、|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值为11、方程2x+6x +12x +20x +30x +……+2005·2004x =2004的解为12、某人以4km/h 的速度步行由甲地到乙 ，然后又以6km/h 的速度从乙返回到甲地，对那么此人往返一次的平均速度是 km/h.13、某商场有一部自动电梯自下向上运动，甲、乙两人都急于上楼办事，在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了55级后到达楼上，乙登楼梯速度是甲的2倍（单位时间内乙登楼梯的级数是甲的2倍），他登了60级后到达楼上，那么，由楼下到楼上自动扶梯的级数为 14、从黄冈开往九龙的特快列车，途中只有两个停靠点，如果任意两站间的的票价都不相同，那么应准备 种不同的车票。

2007年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 已知z y x ,,满足x z z y x +=-=532，则zy y x 25+-的值为（ ） A ．1. B ．31. C ．31-. D ．21. 2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx +-的值，将所得的结果相加，其和等于（ ） A ．－1. B ．1. C ．0. D ．2007.3. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2b a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形. B ．锐角三角形. C ．钝角三角形. D ）直角三角形.4. 已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ）A ．30°.B ．45°.C ．60°.D ．75°.5．设K 是△ABC 内任意一点，△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F ，则ABC DEF S S △△:的值为（ ）A ．91.B ．92.C ．94.D ．32. 6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是（ ）A ．101.B ．51.C ．103.D ．52. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1. 设121-=x ，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则=++ab b a 333___ ．2. 对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两个根记作n n b a ,（2≥n ），则)2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a = ． 3. 已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为6,10,2====AD CD BC AB ，过B 、D 两点作圆,与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BF BE -的值为．4． 若64100+a 和64201+a 均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是 ．第二试（A ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求n m ,的值.二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N .证明：∠AFN =∠DME .三、 （本题满分25分）已知a 是正整数，如果关于x 的方程056)38()17(23=--+++x a x a x 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.第二试（B ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，二次函数a x a x y -+++=38)17(2，反比例函数xy 56=，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值. 第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，如果二次函数a x a x y 710)232(22-+++=和反比例函数xa y 311-=的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值和对应的公共整点.A B C D EF M N P2007年全国初中数学联合竞赛试题答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.B2.C3.D4.C5.A6.B（解析：1.由x z z y x +=-=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选B. 注：本题也可用特殊值法来判断.2． 因为=+-++-222211)1(1)1(1n n n n 011112222=+-++-n n n n ，即当x 分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，0111122=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选C.3. 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选D.4. 锐角△ABC 的垂心在三角形内部，如图，设△ABC 的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OD CE AH OB 2===，所以∠OBD ＝30°，∠BOD ＝60°，所以∠A ＝∠BOD ＝60°.故选C.5． A.分别延长KD 、KE 、KF ，与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以ABC MNP S S △△41=.易证△DEF ∽△MNP ，且相似比为3:2，所以MNP DEF S S △△2)32(=ABC S △4194⋅=ABC S △91=.所以:DEF S △19ABC S =△.故选A. 6．设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ；当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y .因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选B.） 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1.1 2. 10034016- 3.4 4.7 （解析：1.∵12121+=-=x ，而3122<+<，∴122-=-=x a . 又∵12--=-x ，而2123-<--<-，∴22)3(-=---=x b .∴1=+b a ， ∴=++ab b a 333=++-+ab b ab a b a 3))((221)(3222=+=++-b a ab b ab a .2.由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，22n n a b n ⋅=-，所以 =--)2)(2(n n b a (2-n n b a 4)++n n b a 222(2)42(1)n n n n =--++=-+， 则11111()(2)(2)2(1)21n n a b n n n n =-=----++， )2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a ＝11111111111003()()()()22334200720082220084016⎡⎤--+-++-=--=-⎢⎥⎣⎦. 3.延长CD 交⊙O 于点G ，设DG BE ,的中点分别为点N M ,，则易知DN AM =.因为10==CD BC ，由割线定理，易证DG BF =，所以42)(2)(2==-=-=-=-AB AM BM DN BM DG BE BF BE .4．设264100m a =+，264201n a =+，则100,32<≤n m ，两式相减得))((10122m n m n m n a -+=-=，因为101是质数，且101101<-<-m n ，所以101=+m n ，故1012-=-=n m n a .代入264201n a =+，整理得020*******=+-n n ，解得59=n ，或343=n （舍去）.所以171012=-=n a .）第二试 （A ）一、（本题满分20分）解：因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为3mt + （5分） 由题意，32mt t n +≥+，即22(3)(2)mt t n +≥+，即222(4)(64)90m t m n t n -+-+-≥（10分） 由题意知，042≠-m ，且上式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m （15分） 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m （20分） 二、（本题满分25分） 证明:设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ， ∴△PNE ∽△PBC ，∴PCPE PB PN =, ∴PC PN PE PB ⋅=⋅.(5分) 又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PF PE PB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅.(10分)∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPC PN PM =(15分) 又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC(20分)∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED.∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.(25分)三、（本题满分25分）解：观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得[]056)18()1(2=+++-x a x x （5分）因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x （1） 的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.（10分）设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .（15分） A B C D E FM N P显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a ⎩⎨⎧==.26,12k a （20分） 当39=a 时，方程（1）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-.此时原方程的三个根为1，1-和56-.当12=a 时，方程（1）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-.（25分） 第二试 （B ）一、（本题满分20分）解：因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ；一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22.（5分）所以，21d d ≥22)2()3(23n t mt n t mt +≥+⇔+≥+⇔ 09)46()4(222≥-+-+-⇔n t n m t m （1）（10分）由题意知，042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m （15分） 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m ⎩⎨⎧==.1,6n m （20分） 二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分） 解：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=,56,38)17(2x y a x a x y 消去y 得a x a x -+++38)17(2x56=，即056)38()17(23=--+++x a x a x ，分解因式得[]056)18()1(2=+++-x a x x （1）（5分）显然11=x 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x （2）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.（10分）而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .（15分）显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a （20分）当39=a 时，方程（2）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-，此时两个函数的图象还有两个交点)56,1(--和)1,56(--.当12=a 时，方程（2）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-，此时两个函数的图象还有两个交点)28,2(--和)2,28(--.（25分） 第二试 （C ）一、（本题满分25分）题目与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分） 解：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+++=,311,710)232(22x a y a x a x y 消去y 得a x a x 710)232(22-+++＝113a x -，即0113)710()232(223=-+-+++a x a x a x ，分解因式得[]0311)12()12(2=-+++-a x a x x （1）（5分）如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于x 的一元二次方程0311)12(2=-+++a x a x （2）必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式∆应该是一个完全平方数.（10分）而224)18(10036)311(4)12(222-+=++=--+=∆a a a a a .所以224)18(2-+a 应该是一个完全平方数，设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a .（15分）显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a （20分） 当39=a 时，方程（2）即0106512=-+x x ，它的两根分别为2和53-，易求得两个函数的图象有公共整点)53,2(-和)2,53(-.当12=a 时，方程（2）即025242=-+x x ，它的两根分别为1和25-，易求得两个函数的图象有公共整点)25,1(-和)1,25(-. （25分）。