电路7章1syl

i2 ( t ) I 2m cos(t 2 )
电流i1(t)与i2(t)间的相位差为
(t 1 ) (t 2 ) 1 2
上式表明两个同频率正弦量在任意时刻 的相位差均等于它们初相之差，与时间t 无关。 相位差反映出两个正弦量在时间上的 超前和滞后关系：
j
极坐标形式： A =a a1=acos a2=asin
a a1 a2
2 2
a2
j a
复数的复 平面表示
arctg
a2 a1

a1
+1
0
正弦量的相量表示
分析正弦稳态的有效方法是相量法 (Phasor method)，相量法的基础是用 相量（向量）或复数来表示正弦量的 振幅和初相。注意：其频率不变。 j f ( t ) F cos(t )
2 2
T
0
T /2
[1 cos 2t]d t
A 2
0.5 A
可得半波整流波形的有效值是振幅值 的0.5倍。
由此可见： (1)正弦量的有效值只与振幅值有关， 与角频率和初相无关； (2)非正弦周期量的有效值没有上述关 系，需要单独计算。
当然，还有平均值的定义。即：一 个周期内取其平均。
相量图的另一个好处是可以用向量和 复数的运算法则求同频率正弦电压或 电流之和。平行四边形法则。
１。试求下列正弦量的振幅相量和有效值 相量
(1) (2) i1 (t ) 5 cos tA i2 (t ) 10 cos(t / 2)A
２。试写出下列相量所代表的正弦量。已 知 314rad / s
Im 2
0.707 I m
结果表明，振幅为Im的正弦电流与 数值为I=0.707Im的直流电流，在一个周 期内，对电阻R提供相同的能量。也就 是说正弦电压电流的有效值为振幅值的 0.707倍，或者说正弦电压电流的振幅 是其有效值的 2 倍 正弦电压u(t)=Umcos(t+)的有效值为
U 1 T 1 T
560 A I1m

i2 ( t ) 10 sin( 314t 60 ) 10 cos(314t 30 ) 10150 A 10 cos(314t 150 ) I 2m

相量图如图所示。
从相量图容易看 出各正弦电压电 流的相位关系： i2(t)超前于 i1(t) 90°。
( 180) ( 45 ) 135

u(t)与i2(t)的相位差为
( 180) 60 240

习惯上将相位差的范围控制在 -180°到 +180°之间。 如：我们不说电压u(t)与电流i2(t) 的相位差为-240 ，而说电压u(t) 与电流i2(t)的相位差为(360240)=120, 即：u(t)超前于i2(t) 120 。
解：角频率 函数表达式为
2 T

2 100 10
3
20 rad/s
u(t ) U m cos(t ) 10 cos( 20t 10cos(62.8 t 30 ) V


6
)
波形如右图。
例2 试求正弦量 f (t ) 10 sin(100 t ) 6 的振幅Fm 、初相与频率f 。
正弦稳态分析的重要性在于：(1) 正 弦信号是最基本的信号，它容易产生 、加工和传输；(2) 很多实际电路都 工作于正弦稳态。例如电力系统的大 多数电路。(3) 用相量法分析正弦稳 态十分有效。(4) 已知电路的正弦稳 态响应，可以得到任意波形信号激励 下的响应。 分析正弦稳态的有效方法——相量法。
m
Re[Fme
j
e
jt
]
Fm sin
相量图
F e j F Fm m m
Fm

称为：f (t)的振幅相量
0
+1 Fm cos
有效值相量 正弦量有效值与复值的关系：
Fm 2F
正弦量 f (t) 的有效值相量
Fe j F F
f ( t ) Fm cos(t ) Fm Fm f (t ) 2 F cos(t ) F F
正弦量与其相量的对应关系：
正弦量f(t)是以角速度ω沿反时针方向旋 e j t 在实轴投影。即： 转的旋转相量 Fm
e jt ] f ( t ) Re[Fm
1 Fm
j

f(t)
t2 t
e j t Fm

t2
可见，一个按正弦规律变化的电压和电 流，可以用一个相量(复常数)来表示。 已知正弦量的时间表达式，可得相应的 相量。反过来，已知电压电流相量，也 就知道正弦电压电流的振幅和初相，再 加上角频率，就能写出正弦电压电流的 时间表达式(两者存在一一对应关系)。 即
e jt ] Re[ 2 I e jt ] Re[ I km k
e ]0 代入KCL中得: i (t ) Re[ I
j t k 1 n k k 1 n km
n
n
e ]0 i (t ) Re[ 2 I
通过周期电流信号i(t)时，电阻吸收的 功率p(t)= i2(t)R是时间的函数，在一 个周期T内获得的能量为
W
0
T
i
2
( t ) Rdt
当直流电流I或者电流i(t)通过同一电阻 R时，假设它们在一个周期的时间内获 得相同的能量，即
W I RT
2
0
T
i ( t ) Rdt
2
由此解得
u(t ) U m cos( t u ) U m U m u i (t ) I m cos( t i ) I m I m i
或：
u(t) U m cos(ω t φu ) 2U cos (ωt φu ) U Uφu i(t) I m cos (ω t φi ) 2 I cos (ωt φi ) I Iφi
10 A (1) I 2 (2) U 4 j 4V

7－3 正弦稳态电路的相量模型
7-3-1 基尔霍夫定律的相量形式
KCL:
k 1
ik ( t )
n
0
电路中全部电流都具有同一频率ω，则 可用振幅相量或有效值相量表示： ik (t ) 2 I k cos(t k )
例3 已知正弦电压u(t)和电流i1(t), i2(t)的表达式为 u(t ) 311cos( t 180 ) V
i1 ( t ) 5 cos( t 45 ) A

i 2 ( t ) 10 cos( t 60 ) A

试求: u(t)与i1(t)和i2(t)的相位差。 解： u(t)与i1(t)的相位差为

T 0
u (t )d t
2

T 0
U m cos ( t )d t 0.707U m
2 2
对于半波整流 波形，其表达 式 ：
h( t ) A sinωt (0 t T / 2)
H 1 T A
0
2
T
h ( t )d t 1 2
2
1 T
0
T /2
A sin td t
解：将正弦量表达式化为基本形式：
f ( t ) 10 sin(100 t 10 cos(100 t


6
) 10 sin(100 t
5 6
) )
5 6

2
) 10 cos(100 t

3
所以 Fm =10， = /3rad, =100rad/s, f =/2=50Hz
练习1： 已知正弦电压 u 40 sin( 314t / 4)V
（1）试求振幅、周期、频率、角频率和初 相； （2）画出其波形图。
7-1-2
正弦量间的相位差
正弦稳态电路中，各电压电流都是 频率相同的正弦量，常常需要将这些正 弦量的相位进行比较。两个正弦电压电 流相位之差，称为相位差 。如两个同 频率的正弦电流 i1 ( t ) I1m cos(t 1 )
练习2 已知两个正弦电压
u1 U1m cos(1000t 60 )V

u2 U 2 m sin( 1000t 150 )V

试求这两个正弦电压的相位差。
7-1-3 正弦量的有效值
将直流电流I和正弦电流i(t)通过电 阻R时的功率和能量作一比较，导出正 弦电压电流的有效值。
电阻R通过直流电流I时，吸收的功率 P=I2R ， 在 时 间 T 内 获 得 的 能 量 为 W=PT=I2RT .
当=1-2>0时，表明i1(t)超前i2(t)，
超前的角度为 。 当=1-2<0时，表明i1(t)滞后i2(t)， 滞后的角度为||。
当=1-2 =0时， i1(t)与i2(t)同相。 当=1-2 =时， i1(t)与i2(t)反相。 当=1-2 =/2时， i1(t)与i2(t)正交
(a) 电流i1超前于电流i2, (b) 电流i1滞后于电流i2
(c) 同相 (d) 正交 (e) 反相 注意：角频率不同的两个正弦间的相 位差为
(t ) (1t 1 ) ( 2t 2 ) (1 2 )t (1 2 )
是时间t的函数，不再等于初相之差。
练习2 已知两个正弦电压
u1 U1m cos(1000t 60 )V

u2 U 2 m sin( 来自000t 150 )V
当t=0时，u1(0)=5V,u2(0)=8V,试求这两个 正弦电压的振幅、有效值。