湘教版-数学-九年级上册-2.3《一元二次方程根的判别式》 导学案

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校2.3一元二次方程根的判别式教学目标【知识与技能】能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证.【过程与方法】经历思考、探究过程，发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.【情感态度】积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲.【教学重点】能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证.【教学难点】从具体题目来推出一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的b 2-4ac 的情况与根的情况的关系.教学过程一、情景导入，初步认知同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我.【教学说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态.二、思考探究，获取新知1.问题：什么是求根公式？它有什么作用？2.观察求根公式2b x a±=－回答下列问题： （1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有几个根？（2）当b 2-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有几个根？（3）当b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有几个根？3.综上所知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的情况是由b 2-4ac 来判断的.【归纳结论】我们把b 2-4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”表示.即：Δ=b 2-4ac⑴当Δ=b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不相等实数根即12b x a =－，22b x a=－. ⑵当Δ=b 2-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根.⑶当Δ=b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根.4.不解方程判定下列方程的根的情况.(1)3x 2+4x-3=0(2)4x 2=12x-9(3)7y=5(y 2+1)解：(1)因为Δ=b 2-4ac=42-4×3×（-3）=52>0所以，原方程有两个不相等的实数根.（2）将原方程化为一般形式，得4x 2-12x+9=0因为Δ=b 2-4ac=(-12)2-4×4×9=0所以，原方程有两个相等的实数根.（3）将原方程化为一般形式，得5y 2-7y+5=0因为Δ=b 2-4ac=(-7)2-4×5×5=-51<0所以，原方程没有实数根.【教学说明】学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣.三、运用新知，深化理解1.已知方程x 2+px+q=0有两个相等的实根，则p 与q 的关系是．【答案】 p 2-4q=02.若方程x 2+px+q=0的两个根是-2和3，则p ，q 的值分别为.【答案】 -1，-63.判断下列方程是否有解：（1）5x2-2=6x（2）3x2+2x+1=0解析：演算或口算出b2－4ac，从而判断是否有根解：（1）有（2）没有4.不解方程，判定方程根的情况.（1）16x2+8x=-3（2）9x2+6x+1=0（3）2x2-9x+8=0（4）x2-7x-18=0分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．解：（1）化为16x2+8x+3=0这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0所以，方程没有实数根．（2）a=9，b=6，c=1，b2-4ac=36-36=0，∴方程有两个相等的实数根．（3）a=2，b=-9，c=8b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0∴方程有两个不相等的实根．（4）a=1，b=-7，c=-18b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0∴方程有两个不相等的实根．5.若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0∴a<-2∵ax+3>0即ax>-3,∴x<-3/a∴所求不等式的解集为x<-3/a6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=-3时，求方程的根．分析：（1）判断一元二次方程根的情况，只要看根的判别式Δ=b2－4ac的值的符号即可判断：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根.（2）把m的值代入方程，用因式分解法求解即可.解：（1）∵当m=3时，Δ=b2-4ac=22-4×3=-8＜0，∴原方程无实数根.（2）当m=-3时，原方程变为x2+2x-3=0，∵（x-1）（x+3）=0，∴x-1=0，x+3=0.∴x1=1，x2=-3.7.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．(1)求q关于p的关系式；(2)求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．分析：（1）根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入已知方程即可求得q关于p的关系式；（2）由关于x的方程x2+px+q=0的根的判别式的符号来证明抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．解：（1）∵一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2，∴4+2p+q+1=0，即q=-2p-5；（2）证明：令x2+px+q=0．则Δ=p2-4q=p2-4（-2p-5）=（p+4）2+4＞0，即Δ＞0，所以，关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根．即抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．【教学说明】使学生能及时巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题2.3”中第1、2、3题.教学反思本节课的教学坚持从学生实际出发，以学生为主体，注重对新理念的贯彻和教学方法的使用；在突破难点时，多种方法并用，注意培养自学能力；坚持当堂训练，例题、练习的设计针对性强，重点突出，对方法的总结言简意赅；学生能够积极、主动的参与，充分经历了知识的形成、发展与应用的过程，在这个过程中掌握了知识，形成了技能，发展了思维；教学效果很好！。

湘教版数学九年级上册《2.3 一元二次方程根的判别式》说课稿3一. 教材分析湘教版数学九年级上册《2.3 一元二次方程根的判别式》是本节课的主要内容。

一元二次方程是中学数学中的重要内容，它在实际生活中有着广泛的应用。

而一元二次方程的根的判别式是解决一元二次方程关键所在。

本节内容主要让学生了解和掌握一元二次方程根的判别式的定义、性质和应用。

通过本节课的学习，学生能够熟练运用判别式解决一元二次方程的求解问题，为后续学习更高阶的数学知识打下坚实的基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元一次方程和一元二次方程的基本概念，对代数知识有了一定的了解和掌握。

但是，对于一元二次方程的根的判别式的理解和运用还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，我将以引导为主，让学生通过自主学习、合作探讨的方式，理解和掌握一元二次方程根的判别式的知识。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解一元二次方程根的判别式的定义和性质，能够运用判别式判断一元二次方程的根的情况。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作探讨的方式，培养学生解决问题的能力和团队合作精神。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学知识的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学在生活中的重要性。

四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程根的判别式的定义和性质。

2.教学难点：运用判别式判断一元二次方程的根的情况。

五. 说教学方法与手段本节课采用自主学习、合作探讨的教学方法，利用多媒体课件辅助教学，通过生动的实例和动画，让学生直观地理解和掌握一元二次方程根的判别式的知识。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考一元二次方程的根的情况，激发学生的学习兴趣。

2.自主学习：让学生自主学习教材，理解一元二次方程根的判别式的定义和性质。

3.合作探讨：学生分组讨论，运用判别式判断一元二次方程的根的情况，分享讨论成果。

4.讲解与演示：教师对学生的讨论成果进行点评和讲解，利用多媒体课件进行演示，让学生直观地理解判别式的运用。

新湘教版九年级数学上册导学案：2.3 一元二次方程根的判别式【学习目标】 1.理解一元二次方程根的判别式的作用，会用判别式判断一元二次方程是否有实数根和两个实根是否相等. 2.经历对判别符号△的讨论，体会分类讨论思想.重点难点重点：会用判别式判断一元二次方程是否有实根和两实根是否相等.难点：正确计算判别式的值； 分类讨论思想的应用.【预习导学】 预习学生自主预习教材P 43-P 45，完成下列各题.1.一元二次方程的一般形式是 ，其中a 、b 、c 分别叫作 .2. 将一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0),配方得 .3.用公式法解下列方程：（1）x 2+3x-1=0; (2) x 2-6x+9=0;(3)2y 2-3y+4=0.【探究展示】(一)合作探究议一议：我们在运用公式法求解一元二次方程（ax 2+bx+c=0（a ≠0）时，总是要求b 2-4ac ≥0，这是为什么？将方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）配方得到（x+a b 2）2=2244a ac b - 由于a ≠0，所以24a ＞0，因此我们不难发现： （1）当ac b 42-＞0时, 2244a acb -＞0,由于正数有两个平方根，所以原方程有 实数根，分别为x 1= ,x 2= .（2）当ac b 42-=0时,2244a ac b -=0. 由于0的平方根为0，所以原方程有 的实数根，两实数根为x 1=x 2= .（3）当ac b 42-＜0时，2244a acb -＜0.由于负数在实数范围内没有平方根，所以原方程实数根.2 是考察一元二次方程根的情形的依据，因此我归纳：由此可见，代数式acb4们把叫作一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，记作 . （二）展示提升利用判别式判断下列方程根的情况：（1）3x2+4x-3=0; (2)4 x2=12x-9;(3)7y=5(y2+1);【知识梳理】以”本节课，我们学到了什么？”启发学生谈谈本节课的收获.【当堂检测】1.一元二次方程x2-x+1的根的情况为（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）只有一个实数根（D）没有实数根2.不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：（1）3x2-4x+1=0 ；（2）x(x+8)=16；（3）(x+2)(x-2)=1；（4）x+5=25.【学后反思】通过本节课的学习，1.你学到了什么？2.你还有什么样的困惑？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？。

湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》说课稿1一. 教材分析《一元二次方程根的判别式》是湘教版数学九年级上册第2.3节的内容。

本节主要让学生掌握一元二次方程的根的判别式（()），并能够应用判别式判断一元二次方程的根的情况。

这一节内容是整个一元二次方程部分的核心，对于学生理解和掌握一元二次方程的解法具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元一次方程和一元二次方程的基本概念，对代数运算有一定的掌握。

但是，对于一元二次方程的根的判别式的推导和应用，还需要进一步引导和启发。

此外，学生可能对于抽象的数学概念和证明过程感到困惑，需要通过具体的例子和实际操作来加深理解。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解一元二次方程根的判别式的定义和意义，掌握判别式的计算方法，并能够应用判别式判断一元二次方程的根的情况。

2.过程与方法目标：学生通过观察、实验、推理和证明等数学活动，培养逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与数学学习，对数学产生兴趣和自信心，培养合作和交流的能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程根的判别式的定义和意义，判别式的计算方法。

2.教学难点：判别式的推导过程，以及如何应用判别式判断一元二次方程的根的情况。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、实验、推理和证明等数学活动，主动探索和发现一元二次方程根的判别式的性质和规律。

2.教学手段：利用多媒体课件和实物模型等辅助教学手段，生动形象地展示一元二次方程根的判别式的概念和应用。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出一元二次方程根的判别式的概念，激发学生的兴趣和思考。

2.新课导入：介绍一元二次方程根的判别式的定义和意义，引导学生理解判别式的作用。

3.案例分析：通过具体的例子，讲解判别式的计算方法，让学生通过实际操作来加深理解。

4.性质探索：引导学生观察和分析判别式的性质，让学生通过推理和证明来发现规律。

2.3 一元二次方程根的判别式【学习目标】：1.会熟练运用求根公式解一元二次方程.2.了解 b2-4ac 的值与一元二次方程根的情况的关系.【体验学习】：一、新知探究1.一元二次方程 ax2+ bx + c =0的求根公式是什么？2.能用求根公式解一元二次方程的前提是什么？为什么？3.阅读教材第 43、44 页的“议一议”内容，b2-4ac的值有哪几种情况？它与一元二次方程 ax2+ bx + c =0的根的情况有什么关系？学法指导：在应用根的判别式之前，一定要先把一元二次方程化为形式.4.一个一元二次方程，你能不解就判断出它根的情况吗？学法指导：我们把∆ = b 2-4ac 叫做一元二次方程 ax 2+ bx + c =0的根的判别式.（1）△＞0⇔方程 ax 2+ bx + c =0在实数范围内实数根.（2）△=0⇔方程 ax 2+ bx + c =0在实数范围内实数根.（3）△＜0⇔方程 ax 2+ bx + c =0在实数范围内实数根.二、基础演练：根据以上的探究，自主解决下列问题：1．已知方程2x2- 3x+1 = 0 ，则b2- 4ac=.2．已知关于x的方程x2-mx+2=0有两个相等的实数根，那么m的值是：. 3．当k时，方程 2x2- 6x- (k- 4) = 0 没有实数根.4．不解方程，判断下列二元一次方程根的情况.（1）2x2-5x-4=0；（2）7t2-5t= -2（3）3y2+25=10y35．已知关于x的方程x2-3x+k=0，问k取何值时，这个方程：（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？三、综合提升：先尝试独立解决下列问题：6．已知：关于x的方程x2-(k+1)x+14k2+1=0（1）k取什么值时，方程有两个实数根；（2）如果方程的两个实数根x1，x2满足x1=x2，求k的值.7．已知a、b、c是∆ABC的三边，且方程a(1+x2)+2bx-c(1-x2)=0有两个相等的实数根，判断此三角形的形状.【当堂检测】：1.方程x2-x+2=0的根的情况是（）A．只有一个实数根C.有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根D．没有实数根2.方程kx2-4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________________.3.不解方程，判定下列方程的根的情况.（1）2y2+4y-3=0（2）x2+9= 3x（3）1x2- 6x+ 21 = 0 42。

《一元二次方程根的判别式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对一元二次方程根的判别式的理解，掌握其应用方法，并能够通过实践操作加深对判别式在解决实际问题中作用的认识。

二、作业内容1. 理论知识巩固：（1）复习一元二次方程的标准形式，并强调根的判别式的重要性。

（2）详细解释判别式的计算过程及其与方程根的关系。

（3）通过例题讲解，使学生掌握判别式在判断方程实根和虚根的应用。

2. 实践操作练习：（1）布置适量习题，包括计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况。

（2）设计应用题，让学生运用判别式解决实际问题，如根据条件判断物体运动轨迹等。

（3）设置开放性问题，鼓励学生自主探索判别式在其他领域的应用。

3. 拓展延伸学习：（1）引导学生阅读相关数学资料，了解判别式在数学其他领域的应用。

（2）鼓励学生通过小组合作，探讨判别式在实际生活中的应用案例。

三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案。

2. 计算过程需详细，每一步计算都应有明确的解释或推导。

3. 作业中应包含足够的例题和练习题，并附有详细的解题步骤和答案。

4. 拓展延伸部分需有记录和总结，体现学生的自主学习和探索过程。

四、作业评价1. 教师将根据学生作业的完成情况、计算过程的正确性、解题思路的清晰度等方面进行评价。

2. 对于优秀作业，将在课堂上进行展示和表扬，鼓励其他学生向其学习。

3. 对于存在问题的作业，教师将进行个别指导，帮助学生找出问题所在，并指导其改正。

五、作业反馈1. 教师将根据学生作业中普遍存在的问题，在课堂上进行重点讲解和答疑。

2. 对于学生在拓展延伸部分的表现，教师将给予鼓励和建议，帮助学生进一步提高自主学习能力。

3. 定期收集学生对于作业设计的反馈意见，以便于教师调整教学策略，更好地满足学生的学习需求。

通过本次作业的精心设计，以期能让学生在巩固一元二次方程根的判别式理论知识的同时，通过实践操作和拓展延伸学习，加深对判别式应用的理解和掌握，提高其解决实际问题的能力。

湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》说课稿2一. 教材分析湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》是本册教材中的一个重要内容。

这部分内容是在学生已经掌握了二次方程的解法以及二次函数的图像的基础上进行讲解的。

通过学习这部分内容，学生能够理解一元二次方程的根的判别式的含义，掌握求解一元二次方程根的判别式的方法，并能够应用判别式解决实际问题。

本节课的主要内容是让学生学习一元二次方程的根的判别式，并能够运用判别式判断一元二次方程的根的情况。

教材通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握判别式的求法和应用。

二. 学情分析在进入九年级的学生中，大部分学生已经掌握了二次方程的解法以及二次函数的图像。

他们对这些概念和知识点有了一定的理解，但可能在应用上还存在一些困难。

因此，在教学过程中，我将会注重引导学生将理论知识应用到实际问题中，提高他们的解决问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解一元二次方程的根的判别式的含义，掌握求解一元二次方程根的判别式的方法，并能够应用判别式解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过小组合作和讨论，学生能够培养团队合作的能力，提高解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够培养对数学的兴趣和好奇心，培养积极的学习态度。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解一元二次方程的根的判别式的含义，掌握求解一元二次方程根的判别式的方法。

2.教学难点：学生能够将判别式应用到实际问题中，解决实际问题。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法和实践活动法相结合的方法。

首先，我会通过讲解和举例的方式，向学生解释一元二次方程的根的判别式的概念和方法。

然后，我会学生进行小组合作和讨论，让他们通过实践活动来应用判别式解决实际问题。

此外，我还会利用多媒体教学手段，如PPT和数学软件，来辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。

六. 说教学过程1.导入：通过复习二次方程的解法以及二次函数的图像，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。