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索洛模型详解

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关于索洛模型的深度解析

关于索洛模型的深度解析

关于“新古典经济增长理论（索洛模型）”的理解1/ 哈罗德与多马两位经济学者假定生产过程中的资本－产出比保持不变，从而得出经济系统不能自行趋于稳定的结论。

但在二十世纪五十年代，托宾、索洛、斯旺和米德等人则分别证明，如果放弃资本－产出比保持不变的假定，也即假定资本与劳动之间完全可替代，则经济系统会自行趋于充分就业的均衡。

这一结论与凯恩斯学派之前的古典学派的观点一致，所以西方经济学将这几位经济学家的相似论证统称为新古典经济增长理论。

我们用Y表示某经济系统的产出量，L表示该经济系统的劳动投入量，K表示该经济系统的资本投入量，A表示该经济系统的技术水平，则经由柯布道格拉斯生产函数，我们有：产出的增量（△Y）=资本的边际产量×资本投入的增量（△K）+劳动的边际产量×劳动投入的增量（△L）+技术水平的边际产量×技术进步的增量（△A）在上式两边同除以产量Y，并在等号右边第一项的分子分母同乘以K、第二项的分子分母同乘以L，从而有：经济增长率=资本投入的产出弹性×资本投入的增长率+劳动投入的产出弹性×劳动投入的增长率+ 技术进步率.根据经济理论，当生产要素市场实现均衡的时候，生产要素的价格应该等于它的边际产量，因此，“资本投入的产出弹性”和“劳动投入的产出弹性”分别相当于资本和劳动这两种生产要素的所有者在国民收入中所享有的份额。

例如，具体地假定某经济系统的（C－D）生产函数为Y=A(K^a)(L^(1-a))，其中，a为正参数（资本投入的产出弹性或资本生产要素在国民收入中所享有的份额）。

显然，这是一个线性齐次生产函数，这意味着我们隐含地假定该经济系统正处于规模报酬不变的状态。

我们对这个具体形式的生产函数先求自然对数、再求微分，最终可得：人均产出的增长率=人均资本存量的增长率×a+技术进步率。

可见，人均经济增长率的高低取决于人均资本存量的增长率和技术进步的速度。

索洛增长模型

索洛增长模型

稳态分析的图形
y
yA
syA
A
0
kA
(n+g+δ)k
f(k) sf(k)
k
图中，sf(k)为人均储蓄曲线，它与 人均生产函数有相同形状但是位于生 产函数的下方。另外一条直线表示资 本的广化。
根据稳态分析，sy= （n+g+δ）k， 此时（n+g+δ）k线和sy曲线相交， 交点A所对应的人均资本为kA，人均 产量为yA，这时人均储蓄恰好等于资 本广化的需要，即
当经济处于资本深化阶段时，产出的增长 会快于人口的增长，人均产出水平会不断 提高。因此对于资本贫乏的国家，其产出 增长率会高于资本充裕的国家，但是随着 资本深化的提高，他将日益接近于稳定增 长的人均资本水平，经济增长率最终会慢 下来。因此当经济偏离稳定状态时，无论 人均资本过多还是过少，都存在着某种力 量使其恢复到长期增长的均衡状态。这是 新古典经济增长理论对哈罗的模型的改进。
y
人均产出和增长率随时间变化的轨迹
y0
0
t0
t1
t
g
0
t
上图的上半部分显示了人均产出水平 的时间路径。储蓄率的提高增加了人 均资本占有量从而人均产量提高，直 到达到新的稳定状态。
下半部分则显示了人均产量增长率的 时间路径。储蓄率的增加会导致资本 积累，实现人均产量水平的暂时性较 高增长，但是随着资本积累，人均产 量的增长率最终会回落到人口增长率 水平。
Байду номын сангаас
储蓄率变动对消费的影响
若将家庭引入模型，其福利将取决于消费而非产量， 因此在许多情况下，我们可能只关心消费变动而非产 量变动。
率为n，知识增长率为g。

索洛模型

索洛模型
洛模型中，主要参数有：
n, g , , s
政策最有可能影响的是储蓄率
34
（三）参数变化的影响
1.储蓄率增加的影响方向分析（定性）； 2.储蓄率增加的影响程度分析（定量）； 3.最优储蓄率——资本的黄金规则水平。
分三个角度来观察： 1.旧的稳态点
2.新的稳态点
其中：有效劳动AL，有效劳动人均资本k=K/AL， 有效劳动人均产量y=Y/AL，总产量Y=AL· f(k)
8
（一）模型的基本假定
进一步假设：
f k 0 f k 0
边际报酬递减
满足稻田( Inada )条件： lim f k lim f k 0
经济增长理论之
索洛模型
1
70法则
如果任意变量每年以g%的速度增长，则该变量值翻 倍时间大约是70/g年。
yt y0e gt 2 y0 y0 e
gt *
t * log 2 / g 0.7 / g g % 1%和5%时，t * 70和14年。
2
预备知识：技术进步的类型
Y=F(K,AL)（哈罗德型，资本增进型） Y=F(AK,L)（索洛型，劳动增进型）
gt At A0e
12
（一）模型的基本假定
投入品的指数增长： 假设时间t是连续的（非离散的） （1）劳动力的增长： L(t ) / L(t ) [dL(t ) / dt ] / L(t ) n
（2）知识的增长： A(t ) / A(t ) [dA(t ) / dt ] / A(t ) g 其中n为人口增长率，g为技术进步率，均为外 生参数，表示不变增长速度
n g k t
sf k

课程资料：第2节 索洛增长模型

课程资料：第2节 索洛增长模型

第二节 索洛增长模型变量定义：Y ：总产出；K ：总资本，L:劳动力总量，A ：技术进步参数，C ：总消费，S:总储蓄， s ：储蓄率， I:总投资，d ：折旧率。

增长的解释框架索洛（R.Solow,1957）从生产函数入手分析决定经济增长的决定因素。

建立总量生产函数：产量（Q ）是资本存量(K)、劳动投入(L)和技术状态(T)的函数： Q=Q(K,L,T)假定：技术变化引起K 和L 边际产量的同等增加，因此，上式可以改写为Q=TF(K,L)产量变化：(,)K L Q TF K L TF K TF L ∆=∆+∆+∆在生产函数为规模报酬不变和完全竞争条件下，一、假设1. 生产一种产品2. 简单比例的储蓄函数：,01S sY s =<<（储蓄率s ：外生不变）3. 资本存量的变化：K I dK ∆=-,（折旧率d ：外生不变）假设储蓄全部转化为投资，则资本存量的变化：K sY dK ∆=-4. 劳动力按一个外生的不变比率n 增长：L n L∆= 5. 生产函数的技术进步是劳动增进型技术进步（Harrod Neutral ）：技术进步参数A 与L 结合，AL 称为有效劳动（effective labors ），技术进步使劳动者工作效率的提高可视为技术进步使得劳动者的数量增加。

(,)Y F K AL =，技术的增长率为g ：A g A∆=，因此，有效劳动的增长速度为（n+g ）。

6. 假设生产函数规模报酬不变，因此，生产函数的集约形式为： ()/,/y f k y Y AL k K AL = ==y :单位有效劳动产出；k ：单位有效劳动资本生产函数满足下列条件：（1） 资本的边际产量记为：()f k ' ，()f k ' >0，()f k '' <0 (0)0f =，()f ∞=∞（2） 稻田条件（Inada Conditions ）: 0lim ()k f k →'=∞，lim ()0k f k →∞'= 二、新古典经济增长模型 该模型描绘出在整个时期中资本-有效劳动比的轨迹。

索洛模型资料

索洛模型资料

索洛模型
简介
索洛模型是一种经济学模型，旨在解释市场中的竞争和定价策略。

该模型最初
由经济学家T.C. 索洛在20世纪70年代提出，并逐渐被广泛应用于市场分析和竞
争策略制定。

索洛模型旨在揭示企业在不完全竞争市场环境下的行为方式和策略选择。

竞争与定价
在索洛模型中，企业面临的市场竞争程度被认为是影响企业选择定价策略的重
要因素。

竞争程度通常通过市场集中度和产品差异化程度来衡量。

在竞争激烈的市场中，企业可能会选择降低价格以吸引消费者，从而争取市场份额；而在垄断市场中，企业可能会选择较高的价格以获得更高的利润。

定价策略
根据索洛模型，企业在制定定价策略时需要考虑成本、需求弹性和竞争程度等
多个因素。

企业可以采取不同的定价策略，如垄断定价、寡头垄断定价、价格歧视等，以实现自身利益最大化。

此外，索洛模型还强调了企业之间的博弈和战略互动，企业在定价时需要考虑竞争对手的反应和市场预期。

市场效率
索洛模型也涉及了市场效率的问题。

在完全竞争市场中，索洛模型认为市场价
格会趋向于均衡水平，资源会得到最有效的配置，市场效率较高；而在垄断市场中，企业可能会通过定价歧视等手段获取不正当利润，导致资源配置效率低下。

结论
综上所述，索洛模型为我们提供了一种理解市场行为和定价策略的框架。

企业
在制定定价策略时需要综合考虑成本、需求、竞争等多个因素，并在博弈和战略互动中寻求最优策略。

索洛模型的研究有助于我们更好地理解市场运作机制，指导企业在竞争中取得优势地位。

《索洛模型详解》课件

《索洛模型详解》课件
详细描述
企业可以利用索洛模型分析其战略对资本、劳动力和技术进步的影响，了解其经济增长 的源泉和潜力。这有助于企业制定更加科学和有效的战略，提高其竞争力和盈利能力。 同时，企业还可以通过索洛模型评估竞争对手的战略对经济增长的影响，从而调整自身
的竞争策略。
05
结论与展望
索洛模型的意义与价值
索洛模型是经济增长理论的重要基石，为理解经济 增长提供了重要的理论框架。
《索洛模型详解》ppt课件
目
CONTENCT
录
• 索洛模型简介 • 索洛模型的主要内容 • 索洛模型的扩展与改进 • 索洛模型的应用 • 结论与展望
01
索洛模型简介
索洛模型的背景
02
01
03
经济增长是各国政府和学术界关注的重点问题
索洛模型是研究经济增长的重要理论工具之一
索洛模型通过对经济增长的内在机制进行解释，为政 策制定提供理论支持
人口增长对资源环境的影响
人口增长会导致资源消耗增加，环境压力增大，从 而对经济增长产生负面影响。
人口增长对经济发展的影 响
在某些情况下，人口增长可以促进经济增长 ，例如通过增加劳动力供给和提高消费需求 等方式。
04
索洛模型的应用
索洛模型在经济增长预测中的应用
总结词
通过索洛模型，可以预测一个国家或地区的经济增长趋势，分析 经济增长的源泉和潜在动力。
技术进步的来源
技术进步可以来源于企业自主研发、外部技术引进、教育培训和市场竞 争等。
03
技术进步对经济增长的影响
技术进步可以促进经济增长，提高生产效率和产品质量，推动产业升级
和转型。
索洛模型与教育投资
教育投资
01
教育投资是促进人力资本积累和提升的重要途径，对经济增长

索洛增长模型及稳定详解

模型假设模型假设:1、该模型假设储蓄全部转化为投资，即储蓄-投资转化率假设为1;2、该模型假设投资的边际收益率递减，即投资的规模收益是常数;3、该模型修正了哈罗德-多马模型的生产技术假设，采用了资本和劳动可替代的新古典科布-道格拉斯生产函数，从而解决了哈罗德-多马模型中经济增长率与人口增长率不能自发相等的问题。

该模型假设储蓄全部转化为投资，即储蓄-投资转化率假设为1; 该模型假设投资的边际收益率递减，即投资的规模收益是常数; 该模型修正了哈罗德-多马模型的生产技术假设，采用了资本和劳动可替代的新古典科布-道格拉斯生产函数，从而解决了哈罗德-多马模型中经济增长率与人口增长率不能自发相等的问题。

因为在科布-道格拉斯生产函数中，劳动数量既定，随资本存量的增加，资本的边际收益递减规律确保经济增长稳定在一个特定值上。

该模型没有投资的预期，因此回避了有保证的经济增长率与实际经济增长率之间的不稳定，就此可得出结论:经济稳定增长。

编辑本段模型变量外生变量:储蓄率、人口增长率、技术进步率内生变量:投资模型的数学表达其中，K--资本;L--劳动;A--技术发展水平;I--毛投资;S--储蓄;k--有效劳动投入之上的资本密度;s--边际储蓄率;n--人口增长率;g--技术进步率;δ--资本折旧率;y--有效劳动投入之上的人均国内生产总值。

索洛增长模型的假设{①生产和供给方面:Y=F(K，L)，劳动和资本可以平滑替代，规模报酬不变，稻田条件(公式)，在生产函数两边同除以L--y=F(k,1)=f(k)，所有符号均代表人均产量;需求方面:y=c+i，c=(1-s)y，y=(1-s)y+i，i=sy=s f(k)}，资本存量的变化{△k=i-δk= s f(k)-δk}，投资、折旧和资本存量的"稳态"(图，储蓄率对稳态的影响，资本积累能提高产出水平，但是无法实现经济持续增长，"黄金律水平"{c*=f(k*)-δk*，条件:MPK=δ}，一个经济肯定会自动收敛于一个稳定状态，但并不会自动收敛到一个"黄金律水平"的稳定状态编辑本段模型结论经济增长的路径是稳定的编辑本段模型评价在索罗模型中，较高的储蓄导致较快的经济增长，但是，这只是暂时的。

索洛增长模型及稳定详解

模型假设模型假设:1、该模型假设储蓄全部转化为投资，即储蓄-投资转化率假设为1;2、该模型假设投资的边际收益率递减，即投资的规模收益是常数;3、该模型修正了哈罗德-多马模型的生产技术假设，采用了资本和劳动可替代的新古典科布-道格拉斯生产函数，从而解决了哈罗德-多马模型中经济增长率与人口增长率不能自发相等的问题。

该模型假设储蓄全部转化为投资，即储蓄-投资转化率假设为1; 该模型假设投资的边际收益率递减，即投资的规模收益是常数; 该模型修正了哈罗德-多马模型的生产技术假设，采用了资本和劳动可替代的新古典科布-道格拉斯生产函数，从而解决了哈罗德-多马模型中经济增长率与人口增长率不能自发相等的问题。

因为在科布-道格拉斯生产函数中，劳动数量既定，随资本存量的增加，资本的边际收益递减规律确保经济增长稳定在一个特定值上。

该模型没有投资的预期，因此回避了有保证的经济增长率与实际经济增长率之间的不稳定，就此可得出结论:经济稳定增长。

编辑本段模型变量外生变量:储蓄率、人口增长率、技术进步率内生变量:投资模型的数学表达其中，K--资本;L--劳动;A--技术发展水平;I--毛投资;S--储蓄;k--有效劳动投入之上的资本密度;s--边际储蓄率;n--人口增长率;g--技术进步率;δ--资本折旧率;y--有效劳动投入之上的人均国内生产总值。

索洛增长模型的假设{①生产和供给方面:Y=F(K，L)，劳动和资本可以平滑替代，规模报酬不变，稻田条件(公式)，在生产函数两边同除以L--y=F(k,1)=f(k)，所有符号均代表人均产量;需求方面:y=c+i，c=(1-s)y，y=(1-s)y+i，i=sy=s f(k)}，资本存量的变化{△k=i-δk= s f(k)-δk}，投资、折旧和资本存量的"稳态"(图，储蓄率对稳态的影响，资本积累能提高产出水平，但是无法实现经济持续增长，"黄金律水平"{c*=f(k*)-δk*，条件:MPK=δ}，一个经济肯定会自动收敛于一个稳定状态，但并不会自动收敛到一个"黄金律水平"的稳定状态编辑本段模型结论经济增长的路径是稳定的编辑本段模型评价在索罗模型中，较高的储蓄导致较快的经济增长，但是，这只是暂时的。

索洛模型


1 K F ,1 F K , AL AL AL
（3）
K AL 是每单位有效劳动的平均资本数量，而 F K , AL AL 就是 Y AL ，即每单位有
效劳动的平均产量。定义 k K AL ， y Y AL ， f k F k ,1 。那么我们可将（3）写
t nLt L
（8） （9）
t gAt A
t 是 其中 n 和 g 为外生参数，一个变量上加一点表示其对时间的导数（也就是说， X
dX t dt 的简写） 。 方程 （8） 和 （9） 意味着 L 和 A 是指数增长。 也就是说， 如果 L0 和 A0
由于经济可能随时间增长， 那么着重考虑每单位有效劳动的平均资本存量 k 而非未经 调整的资本存量 K 就较为方便了。由于 k K AL ，用链锁法则可得
t k
t K At Lt
At Lt
K t
2
t t Lt A At L

平衡增长路径
由于 k 向 k 收敛，很自然人们要问：当 k k 时，该模型的各变量如何变动。按假定， 劳动和知识分别以速率 n 和 g 增长。资本存量 K ALk ；由于 k 在 k 处不变，因此 K 以

K n g ） 。由于资本和有效劳动二者均以 n g 增长，规模 n g 增长（也就是说， K
t sf k t n g k t k
（13）
方程（13）是索洛模型的关键方程。它表明，每单位有效劳动的平均资本存量的变动是 两项之差。第一项 sf k 是每单位有效劳动的平均实际投资：每单位有效劳动的平均产量为
f k ， 该 产 量 中 用 于 投 资 的 比 例 为 s 。 第 二 项 n g k 是 持 平 投 资 （ break-even

索洛模型假设

索洛模型假设1. 简介索洛模型（Solow model）是由美国经济学家罗伯特·索洛（Robert Solow）在1956年提出的一种经济增长模型。

该模型旨在解释国家经济增长的长期趋势，特别是在资本积累和技术进步的背景下。

索洛模型假设了一系列经济变量之间的关系，包括劳动力增长、资本积累、产出增长和经济收入分配等。

通过分析这些变量之间的相互作用，索洛模型试图解释为什么一些国家的经济增长速度比其他国家更快，以及如何实现持续的经济增长。

2. 假设内容索洛模型基于以下几个主要假设：2.1 假设一：劳动力增长索洛模型假设劳动力人口以固定的速度增长。

这意味着劳动力人口的增长率是恒定的，不受其他因素的影响。

这个假设基于人口增长通常较为缓慢的事实，尤其是相对于资本积累和技术进步而言。

2.2 假设二：资本积累索洛模型假设资本积累是经济增长的主要驱动力。

资本积累是指通过投资来增加生产资本，包括机器、设备、工厂等。

模型假设资本积累的速度是恒定的，与劳动力增长率相匹配。

2.3 假设三：产出增长索洛模型假设产出增长取决于资本积累和技术进步。

资本积累可以提高生产效率，而技术进步可以改善生产方法和生产工具。

模型假设产出增长的速度是资本积累和技术进步的函数，即产出增长率随着资本积累和技术进步的增加而增加。

2.4 假设四：经济收入分配索洛模型假设经济收入在劳动力和资本之间的分配是固定的。

即劳动力和资本的收入份额是恒定的，不受其他因素的影响。

这个假设基于历史上收入分配相对稳定的事实，尽管在现实中这个假设并不总是成立。

3. 模型解释基于上述假设，索洛模型可以用以下方程表示：Y=Kα⋅(AL)1−α其中，Y表示产出，K表示资本积累，A表示技术进步，L表示劳动力。

α是资本的边际产出份额，(1-α)是劳动力的边际产出份额。

根据这个方程，我们可以看到产出取决于资本积累、劳动力和技术进步。

资本积累和劳动力的增加会促进产出的增长，而技术进步可以提高产出的效率。

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2011-1-4 中国矿业大学管理学院 徐建博 8
折旧
δk δk
0
k
2011-1-4
中国矿业大学管理学院 徐建博
9
二. 资本积累和稳态
5. 资本积累和稳态
综合以上，一个经济中投资和折旧对资本存量的影 响能够用下列方程反映： ∆k = i －δk= s f（k）－δk 其中，∆k是这一年中新增的资本量，反映资本存量变化。
2011-1-4 中国矿业大学管理学院 徐建博 12
三、储蓄率变化对稳定状态影响
y δk s2f(k) i*=δk*1 s1f(k)
0
2011-1-4
k1*
k2*
k
13
中国矿业大学管理学院 徐建博
三、储蓄率变化的影响
1. 储蓄率变化，形成新的稳态。
和原来的稳态相比，储蓄率提高形成新稳态具有较高的资 本存量水平和较高的产出。降低储蓄率，则结果相反。
当s f（k）>δk， 则Δk>0，资本存量增加； 当s f（k）<δk， 则Δk<0，资本存量减少; 当 s f（k）=δk， 则Δk=0，资本存量不变。
2011-1-4 中国矿业大学管理学院 徐建博 10
投资、 投资、折旧和稳态
δk* y f(k) i*=δk* sf(k)
0
2011-1-4
k1 k* k2
2011-1-4 中国矿业大学管理学院 徐建博 14
查阅资料并利用索洛经济增长模型解释：
（1） 我国经济最近几年增长速度都很高，会不会一直这 么高下去？ （2） 日本和德国是两个成功的经济增长事例。二战期间 摧毁了两国的大量资本存量。但是，战后的几十年中，这两 个国家经历了最迅速的增长。在1948年到1972年间，日本 每年人均产出为8.2%，德国的每年人均产出增长率为5.7%。 相比之下，美国每年的人均产出增长率仅为2.2%。 为什么战后的日本、德国的经济会得到高速的增长？
c=（1-s）y c=（
代入①式得： y= （1 - s）y + i i = s y
该式表明投资与产出成正比。
2011-1-4 中国矿业大学管理学院 徐建博 5
二. 资本积累和稳态
3.投资函数
前面的分析得到i = s y 和 y=f(k)，整理得：
i = s f(k)
从式中可以看出：
(1) 人均资本k 越高，产出f（k）和人均投资i就越大。 (2) 投资也取决于储蓄率，储蓄率越高，则在资本存量 和产出水平一定的条件下，投资水平越高，但是同时 消费越少。
2011-1-4
讨论： 讨论：多少资本积累是长期消费最优的 中国矿业大学管理学院 徐建博
17
一. 假设条件
1. 索洛模型成立 2. 储蓄率s可以调整； 3. 目标：未来消费水平最高。
2011-1-4
中国矿业大学管理学院 徐建博
18
二、黄金律
1. 含义: 长期中消费水平
最高的稳定状态，被称为资 本积累的“黄金律”水平。 2. 数学表达 我们知道： c = y – i 假定稳定状态的人均资本 为k*，则有： i* =sf（k*）=δk* 由c = y－i 可得, c*=f（k*）－δk* 。
y=F（k，1）= f（k） （ ， ） （ ）
即人均产出只与人均资本有关 人均产出只与人均资本有关。 人均产出只与人均资本有关
2011-1-4
中国矿业大学管理学院 徐建博
3
二. 资本积累和稳态
2. 人均消费函数（需求角度）
假设:
个人可支配收入DPI即为国民收入(Y) 自发消费a为零。 C = a+bY = bY
k
21
通过储蓄率选择黄金律稳态
y δk
f(k) Cg* sgf(k)
0
2011-1-4
kg*
中国矿业大学管理学院 徐建博
k
22
练习题
某国生产函数Y=K 0.5 L 0.5 , δ=10%。
求： （1）黄金律稳态时的人均资本存量k*,人均 产出y*； （2）储蓄率达到什么水平可以使资本存量达到黄 金律稳态。 解答:
dc / dk = df / dk – δ= 0
MPk -δ= 0 MPk = δ
因此， MPk= δ就是消费最大化的基本条 件，即：资本的边际产出等于折旧率。
2011-1-4 中国矿业大学管理学院 徐建博 20
2.资本积累的黄金律水平
y δk
f(k) Cg*
0
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kg*
中国矿业大学管理学院 徐建博
2011-1-4 中国矿业大学管理学院 徐建博 1
经济增长理论——索罗模型 索罗模型 经济增长理论 第一节 资本积累
一. 基本假设条件 （1）劳动力和技术水平保持不变。
（2）两部门经济（居民和生产者）： Y=C+I 。 （3）生产函数规模不变 Y= F（K，L） 规模收益不变：λY= F（λK,λL） （4）储蓄函数S = sY，s----储蓄率, 0≤s ≤1
2011-1-4 中国矿业大学管理学院 徐建博 25
仍然从资本积累的角度来研究。
则一年中资本的变化量（新增的资本量） 为
∆k = i-δk- nk=i-（δ+n）k = s f（k）-（δ+n）k
2011-1-4
中国矿业大学管理学院 徐建博
26
3. 人口增长后稳态的变化
现在，考虑了人口的变动，稳态点就会有变化。 稳态时， s f（k）=（δ+n）k （ ） （ ） （δ+n）k称为“平衡投资”，即存在折旧和人 口增长的情况下，新增投资必须至少等于它， 才能使资本存量保持不变，达到稳态。 说明：经济处于稳态时， “平衡投资”投资一部分
2011-1-4 中国矿业大学管理学院 徐建博 24
一、 人口增长的影响
1. 基本假设：
（1）索洛模型成立；（2）人口增长率为n.
2. 人口增长的影响
假设劳动力人口以固定速率n增长, 则y=Y/L，k=K/L两 个变量都会随着人口增长而下降。假设下降速度为x。当 总资本量不变时： K=k×L=（1-x）k ×（1+n）L=（1-x+n-xn）k×L 由于x、n都很小，xn则更小，可以忽略不计，因此， 可得x=n 也就是说，当人口以n的速度增加时，人均产出y和人 均资本k均以n的速度下降。
用于对现有资本折旧的弥补δk ，一部分给新劳动力提 供稳态水平的资本nk 。
2011-1-4
中国矿业大学管理学院 徐建博
27
有人口增长时的稳态
y (δ+n)k δk sf(k)
0
2011-1-4
k*
k0
k
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中国矿业大学管理学院 徐建博
3. 人口增长对索洛模型的影响
人口增长的引入改变了索洛模型。从三个角度：
2011-1-4
中国矿业大学管理学院 徐建博
2
二. 资本积累和稳态
1. 人均生产函数（供给角度）
索洛生产函数为 Y=F（K，L ） 由于规模报酬不变，λY= F（λK,λL） 为简化分析：我们把上述变量都变成人均量 令λ=1/L，得 Y/L= F（K/L,1） 用y=Y/L代表人均产出，k=K/L代表人均资本存量，得：
2. 储蓄率对经济增长速度的影响
储蓄率对一个经济稳定状态的影响，在一定程上说明了 储蓄率的高低对经济增长速度的影响。 (1) 较高的储蓄率意味着较高的资本存量稳定状态。 当一个经济的当前资本存量水平一定时，储蓄率提高就 意味着与稳定状态之间存在着更大的差距，这样经济增长就 会有较大的空间和速度。但这仅仅是暂时的。 (2) 经济在长期中只要达到它的稳态，就不会再继续增长。
(1) 它能在一定程度上解释持续的经济增长。因为人口的增 长，尽管人均资本和产出不变，导致总资本和总产出也以 速度n增长。 (2) 人口增长率高的国家，稳态人均资本低，产出低，所以 生活水平也低。(比较) (3) 人口增长对黄金率稳态的影响：引进人口增长率会改变 资本积累黄金律水平。
稳态时: i = sf(k) =（δ+n）k* c=y-i=f（k*）- （δ+n）k* 消费水平的最大化表现为一阶导数为0。MPk=
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δ+n
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即在黄金律稳态：资本的边际产量徐建博 = 折旧率+人口增长率 中国矿业大学管理学院
人口增长率对稳态的影响
y (δ+n2)k (δ+n1)k sf(k)
0
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k*2
k*1
k
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中国矿业大学管理学院 徐建博
计算
设某国的总量生产函数：Y=K0.5L0.5，资 本存量折旧率为5%，人口增长率为1%， 储蓄率为10%。 求：（1）均衡时本国的人均资本存量、 人均产出及人均消费水平。 （2）黄金律稳态时的人均资本量和人均 产出以及储蓄率水平。
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产出、 产出、消费和投资的关系
f(k) c y i 0
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y
s1f(k) sf(k)
i1 k
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二. 资本积累和稳态
4. 折旧
(1) 含义: 折旧是资本随着使用和时间的变化而受到的 损耗和减少。 为简单起见，假设一个经济中所有的资本都 以一个固定的比例δ折损减少。（δ称平均折 旧率） 这样，如果年初资本数为k, 当年折旧掉的资本 数量就是δk，与k成正比。
(1)y=k 0.5 MPK=dy/dk=1/2K -0.5 . 求出 求出k=25,y=5 (2) s f（k）=δk, 5s=0.25, （ ）
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s=0.5
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第三节 人口增长与技术进步