《索洛增长模型》

第一章 索洛增长模型

一、索洛模型的介绍与一些前提假设条件

该模型是经济学家传统上用于分析经济增长的主要模型。几乎对于所有有关增长的分析而言，索洛模型是其起点。理解该模型实质上便是理解增长理论。但该模型也存在缺陷：它不能解释不同时间上人均产出的巨大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。（按边际产品取得收益的传统途径）。

()((),()())Y t F K t A t L t =

假设：（1）生产函数关于两个自变量是规模报酬不变的，即资本与有效劳动是规模报酬不变的((,)(,),0)F cK cAL cF K AL c =∀≥；（2）除资本、劳动与知识以外的其他投入是相对不重要的，特别地，模型忽略了土地与其他自然资源。

规模报酬不变的假设可以让我们利用紧凑形式的生产函数进行分析：

当11/,(,)(,)(

,1)(,)K c AL F cK cAL cF K AL F F K AL AL AL ==⇒=，其中，

K

AL

是单位有效劳动的资本量，1(,)F K AL AL 是单位有效劳动的产出。

定义K

k AL

=，/y Y AL =，及(,1)y F k =()y f k ⇒=，即把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的资本量的函数。

[人均收入：/(/)()Y L A Y AL Af k ==]

紧凑型生产函数()f k 假定满足(0)0f =，'

()0f k >，''

()0f k <。因为：

'(,)(/)(,)/(/)(1/)F K AL ALf K AL F K AL K ALf K AL AL =⇒∂∂='()f k = '()0f k >，''()0f k <的假设意味着资本的边际产品为正，但它随每单位有效劳动的资

本量的增加而下降。另()f •被假设满足稻田条件：''

0lim (),lim ()0k k f k f k →→∞=∞=，

其意思是在资本存量充分小量资本的边际产品是十分大的，而当资本存量变大时，资本的边际产品变得十分小。，它是确保经济的路径并不发散。

（举例柯布－道格拉斯生产函数，说明满足稻田条件的意义） 二、生产投入的时间变化描述

资本、劳动与知识的初始水平给定的，劳动与知识以不变的增长率增长：

()()L t nL t •=，()()A t gA t •

=（n 与g 是外生参数，而变量上的一点表示关于时间的一

个导数，()()/L t dL t dt •

=，为变量的变化率。而变量的增长率指其变化的速率，它等于其

自然对数的变化率，如，ln ()()1ln ()/()()()

d L t dL t n d L t dt L t dL t dt L t •

==

=。ln ()ln (0)L t L nt

⇒=+

()(0)nt L t L e ⇒=（同理可得出()(0)gt A t A e =）

假设产出仅在消费与投资之间分配，其中投入投资的产出份额s 是外生且不变的，投入投资的一单位产出可获得一单位的新资本。现有资本以速率δ折旧，即有：

()()()K t sY t K t δ•

=-

（索洛模型简化：只存在一种单一的产品，政府不存在，就业波动被忽视，生产正好可用于三种投入的总生产函数描述，并且储蓄率（s ）、折旧（δ）、人口增长（n ）与技术进步（g ）不变。）

三、模型的动态学解释

1、k 的动态学

由于/k K AL =，求关于时间t 的导数，可得：

2()()()()()

K K K K L K A k A L L A AL AL AL AL L AL A sY K nk gk AL

sf k k nk gk sf k k n g δδδ••••

•

•

•

=

-+=---=--=---=-++ 它表示单位有效劳动的资本存量的变化率（k •

）为如下两项的差：第一项()sf k 为每单位有效劳动的实际投资；第二项()k n g δ++为持平投资，即为使k 保持在现有水平上所必须进行的投资量。理由是现有资本正在折旧及有效劳动量正在以（n g +）的速率增长。

（1）实际与持平投资图：

（稻田条件保证了上图的实际投资曲线先陡峭，后下降，且只有相交一个点） （2）相位图：用相位图说明作为k 的函数的k •

的变化：如果k 初始小于*

k ，实际投资大于持平投资，因而k •

为正，反之，如果k 大于*

k ，实际投资小于持平投资，因而k •

为负，如果k 等于*

k ，则k •为零。因此，无论k 在哪里开始，它总会收敛于*

k 。

索洛模型中k 的相图

（3）平衡增长路径：当k 收敛于*

k ，则劳动与知识正分别以速率n 与g 增加。资本存量K 等于ALk ，由于k 在*

k 处不变，那么，K 正以速度n g +增长，在资本与有效劳动正以速率n g +增长的条件下，规模报酬不变的假设意味着产出Y 正以该速率增长。人均资本（K/L ）及人均产出(Y/L)正以速率g 增长。即意味着，无论其起点在何处，经济总会收敛于一个平衡增长路径，模型的每个变量正以一个不变的速率增长，人均产出增长率只由技术进步惟一地决定。

四、储蓄率变化的影响

政策最有可能影响索洛模型有参数是储蓄率。 1、对产出的影响。s 的增加把实际投资线向上移动，因而*

k 上升，如图：

用于投资的储蓄率增加的效应

k 不会立即跳跃到*k

的新值上。当k 初始等于*

k 的旧值，实际投资大于持平投资，k

•

为正。因此，k 开始上升，且持续上升，直到达到*

k 的新值才保持不变。如下图所示：

k