随机-区间混合不确定性单输出模型确认指标

随机-区间混合不确定性单输出模型确认指标赵录峰1， 吕震宙1， 阚丽娟2（1.西北工业大学航空学院 陕西 西安 710072；2.空军工程大学装备管理与安全工程学院，陕西 西安710051）摘要：针对既有随机变量又有区间变量的模型预测结果与实验数据之间的一致性度量问题，文章对随机-区间混合不确定性模型确认指标进行了研究。

首先根据工程数学模型和实验过程中的不确定性来源，分析了随机-区间混合不确定性模型确认的特点；然后，运用概率方法和区间理论，提出了一种新的随机-区间混合不确定性模型确认指标，讨论了所提指标的性质，给出了指标的计算方法和步骤。

最后，通过数字算例和工程算例，验证了本文所提指标可行性和有效性。

关键词：模型确认；指标；随机变量；区间变量；不确定性 中图分类号：O212.4；TP391.9 文献标志码：AValidation metric for single output models with stochastic andinterval mixed uncertaintyZhao Lufeng 1, Lu Zhenzhou *,1, Kan Lijuan 2(1.School of Aeronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072，china; 2. Equipment Management andSafety Engineering College, Air Force Engineering University, Xi’an 710051,china ）Abstract: For the models with interval input variables and random input variables simultaneously, to measure the agreement between the quantitative predictions from a model and relevant empirical data, a validation metric is researched in this paper. Firstly, with respect to different sources of uncertainty existed in engineering mathematic models and experiments ，the characteristic of the validation for models with stochastic and interval mixed uncertainty is analyzed. Secondly, a new validation metric for model with stochastic and interval mixed uncertainty is proposed using interval theory and probability method. The properties of the proposed validation metric are discussed, and its calculation method and procedures are presented. Finally, a numerical test case and an engineering example are used to verify the feasibility and effectiveness of the proposed validation metric.Keywords: Model validation; Metric; Random variables; Interval variables; Uncertainty收稿日期：2017-04-28基金项目：国家自然科学基金（51475370）；中央高校基本科研业务费专项资金（3102015BJ （II ）CG009） 作者简介：赵录峰(1973-)，男，陕西富平人，博士研究生，E-mial:zlf315611@吕震宙(1966-)，女，教授，博士生导师，E-mial: zhenzhoulu@ 阚丽娟(1982-), 女，博士研究生， E-mail: 31396222@1. 引言随着现代科学技术的飞速发展和对产品质量要求的日益提高，很多产品的结构系统变得越来越复杂，研制周期增长，实验费用大幅增加。

为了有效减少实验成本，产品的设计及评估过程已逐渐被数学模型预测所替代。

由于受主、客观不确定性和实验数据欠缺的限制，数学模型与真实物理过程之间往往存在一定的差异，这在很大程度上影响到产品的设计与决策。

因此，不确定性因素影响情况下的模型确认理论与技术，已成为国内外学术界和工业界的一项重点研究内容。

模型确认是指从模型用途角度客观地评估一个模型在多大程度上能够准确描述真实物理世界的过程 [1-3]。

模型确认主要包括两个过程：一是应用模型确认指标对模型的准确性进行量化评估的过程；二是判断模型的准确性是否满足相应需求的过程。

因此，开展模型确认工作，首先需要建立一个科学合理的模型确认指标。

模型确认指标[4,5]的定义是“用来度量模型响应量与实验结果之间差异程度的指标”。

目前，国内外学者对不确定性因素影响情况下的模型确认方法进行大量研究。

如文献[6,7]提出了直接面积和u-pooling两种模型确认指标，分别用于单输出模型在单一位置和多个位置的模型确认；在这两个指标的基础上，文献[8]应用多维概率积分转换(PIT)方法，提出了PIT面积和t-pooling两种模型确认指标，文献[9]运用马氏距离(MD)方法,提出了MD 面积和MD-pooling 两种模型确认指标，分别用于多维相关输出模型在单一位置和多个位置的模型确认。

此外，文献[10]通过多输出响应量的数学期望列阵和协方差矩阵等数字特征，提出了多输出模型确认的局部混合矩指标和全局混合矩指标。

已有的指标主要针对随机不确定性影响下的模型确认问题，运用概率论和数理统计方法进行研究。

然而在实际工程建模过程中，有的输入变量能够获得明确的概率分布，而有的输入变量由于数据信息量少，或受认知水平的限制，只能采用区间变量来描述，对于这类既有随机输入变量，又有区间输入变量的混合不确定模型称之为随机-区间混合不确定性模型，关于这类模型的确认问题，目前还鲜有研究。

在随机-区间混合不确定性模型中，随机输入变量和区间输入变量之间可能相互独立，也可能存在一定的相关性，本文主要针对随机输入变量和区间输入变量共存且相互独立的混合不确定性单输出模型确认问题，分析了混合不确定性单输出模型的特点，在此基础上，提出了一种新的随机-区间混合不确定单输出模型确认指标，讨论了指标的性质，阐明了指标的求解方法，最后，通过一个数字算例和两个工程算例，验证了所提指标的可行性和有效性。

2. 随机-区间混合不确定单输出模型确认问题的定性分析在工程设计与实验过程中，受随机因素的影响和认知能力的限制，所建工程问题的数学模型和实验过程常常具有明显的不确定性。

文献[11-14]对模型确认过程中的不确定性进行了深入研究，归纳总结出模型确认中四类主要不确定来源：即参数不确定性、数学模型不确定性、物理实验结果不确定性和实验数据有限而导致的信息不确定性等。

这些不确定性传递到模型输出响应量与实验结果，导致它们之间产生一定的差异。

不确定性通常情况采用概率论的方法进行描述。

当模型的输入变量或参数（如：载荷、几何尺寸，材料属性、边界条件）被看作随机变量，并采用概率分布函数描述其取值规律时，则模型的输出响应量（如：应力、应变、挠度、加速度）也为服从某一分布函数的随机变量；同理，物理实验结果也为服从某一分布函数的随机变量。

在这种情况下，模型确认指标可以通过模型输出响应量概率分布函数与实验结果概率分布函数之间的差异程度来描述[15]。

但对于随机-区间混合不确定性模型而言，当区间输入变量取任意一个名义值时，模型的输出响应量则为服从某一概率分布的随机变量；当区间输入变量遍历整个区间时，模型的输出响应量则为服从某一区间概率分布的区间随机变量。

同理，物理实验结果也为服从某一区间概率分布的区间随机变量。

因此，随机-区间混合不确定性下的模型确认指标可以通过模型输出响应量区间概率分布函数与实验结果区间概率分布函数之间的差异程度来描述。

3. 随机-区间混合不确定性单输出模型确认指标3.1 指标的构建在实际工程中，随机输入变量和区间输入变量经常出现在同一个模型之中，定义这种混合不确定性模型的表达式为：()mZ g=X , Y（1）式中12(,,,)RnX X XX=为Rn维随机向量，iX的取值规律由相应的概率密度函数()iX if x(1,,)Ri n=描述。

12(,,,)InY Y YY=为In维区间向量，jY的取值规律则由相应的区间]jL UjY,Y[(1,,Ij n=)描述，LjY和UjY分别表示第j维区间变量的下、上界。

在式（1）中，当区间输入向量Y取名义值*y时，Y的不确定性对输出响应量的影响将会被消除，模型输出响应量则为一个随机变量，它的分布函数则为一条曲线。

当区间输入向量Y 遍历其区间范围取所有名义值时，对应的模型输出响应量则为区间随机变量，对应的区间分布函数则为一族曲线，且这些曲线具有相应的上、下界。

本文绘制了区间输入向量Y 遍历其取值区间取所有名义值时，随机-区间混合不确定性模型输出响应量mZ 的区间分布函数族曲线示意图（见图1）。

由图1可以看出，当模型输出响应量为*z 时，与之对应的区间分布函数的取值为一个区间变量**()()]mL mU Z Z F z ,F z [Y Y y,y,。

当模型输出响应量在其取值范围取全部值时，对应的区间分布函数取值的上界和下界连起来，就形成如图1实线所示的模型输出响应量区间分布函数的上、下界曲线()mU Z F z Y y,和()mL Z F z Yy,。

图1区间变量取不同名义值时输出响应量的区间分布函数曲线Fig.1The interval CDFs of the model responses withdifferent realizations from interval variable 同理，可以得到对应的实验结果响应量eZ 的区间经验分布函数()eZ Fz Yy,的上、下界曲线()eU Z F z Y y,和()eL Z F z Yy,，如图2中线所示。

图2模型响应量区间分布函数和实验结果区间经验分布函数的上下界曲线Fig.1 The upper and lower bounds of the interval CDFs ofmodel responses and that of experiments,由图2可以推断出，当所建的模型与物理过程完全一致时，模型输出响应量区间分布函数上、下界曲线将与实验结果区间经验分布函数上下界曲线重合，即两条实线与两条虚线之间阴影部分的面积应该趋于零。