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因式分解配方法课件

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用因式分解法求解一元二次方程课件

用因式分解法求解一元二次方程课件

小亮是这样想的: 如果a b 0, 那么a 0或b 0 或a b 0.
即, 如果两个因式的积等于0, 那么这两个数至少有一个为0.
小亮是这样解的:
解 :由方程x2 3x,得 x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
（3）、方程x2=x的根是
，方程(y-2)2=0的
根是
，方程(x+1)2=4(x+1)的根是
.
（4）（2015 北京）在实数范围内定义一种新运
算※，其规则为：a※b=a－b,根据这个规则，方
程(x-2) ※1=0的解是
。
3、解答题：
（1）解方程：2x2 ＋18=12x

（2）活学活用： 已知三角形的两边长为3和7，第三边长是
九年级数学(上)
学习目标
1、会用因式分解法（提公因式法、公式法）解一 元二次方程，体会“降次”化归的思想方法。
2、能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解 方法，体会解决问题的灵活性和多样性。
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法: (x+h)2=k (k≥0)
4.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地 显示了“二次”转化为“一次”的过程.
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
学习是件很愉快的事
淘金者
你能用分解因式法解下列方程吗？
1. x2-4=0;
2. (x+1)2-25=0.
解： (x+2)(x-2)=0,
解： [(x+1)+5][(x+1)-5]=0,

因式分解(五)-添拆项-配方法,

因式分解(五)-添拆项-配方法,

因式分解—配方法、换元法、添拆项法【知识要点】1. 配方法：配成完全平方公式，平方差公式，立方和公式，立方差公式等；2. 换元法：将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，从而简化运算过程，分解后要注意将新字母还原；3. 添拆项法：将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用分组分解法进行分解因式。

【典型例题】配方法：例1． 若实数,,a b c 满足2226344210a b c ab bc c ++---+=，求,,a b c 的值。

例2．已知,,a b c 满足2221346a b c ab bc ++=+，求235532a b c a b c++++的值。

配方法练习：（1）、求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正。

（2）已知19952=+y x ，53=+y x 时，求229123y xy x ++的值。

换元法：例1、22224()(2)12x xy y x xy y y ++++- 例2、 44(1)(3)272x x +++-例3、2(61)(21)(31)(1)x x x x x ----+ 例4、42242(1)(3)x x x x +-++-例5、22222()4()x xy y xy x y ++-+ 例6、2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++换元法练习： （把下列各式分解因式）1、 222(231)22331x x x x -+-+- 2、2200020063997*20011997*1999*2002*2003-+2（）（2000）添拆项法：把下列各式分解因式：例1.（1）3292624x x x +++ （2）32332a a a +++例2、 (1) 6424936x x x --+ (2) 32374a a +-例3、22223345a b c ab ac bc +++++添拆项法练习：（把下列各式因式分解）1、3221215a a a +-+2、343115x x -+3、444()x y x y +++4、()()a b c ab ac bc abc ++++-5、求多项式2059416178222+--+-=b a b ab a P 的最小值，并求P 最小时b a ,的值．【作业】1、分解因式 ：4322321x x x x ++++2、分解因式：33221a b ab a b -+++3、分解因式：326116x x x +++4、已知22524x y x y ++=+，求y x x y +的值。

分组分解法、拆项法、待定系数法因式分解PPT幻灯片课件

分组分解法、拆项法、待定系数法因式分解PPT幻灯片课件
4
因式分解的方法
基本方法
提取公因式 公式法
拓展提高
十字相乘 分组分解 以退为进 换元法、 配方法、拆项法、待定系数法
5
练习：因式分解 （1）x4+x3+x2+2 （2）2a2-7ab-22b2-5a+35b-3 （3）x2+xy-2y2+2x+7x-3
6
x2 7x 6
你能用以上某种方法把下列式子因式分解吗?
（1）x3-x2-x-2 （2）4X4+8X3-X2-8X-3
3
请问：还记得用什么方法做这道题吗?
若代数式6x2+mx-6能被3x-2整除， 试确定m的值。
你能用上述方法把下列式子因式分解吗?
（1）x3-3x-2 （2）x2+2xy+y2+x+y-2 （3）3x²＋5xy－2y²＋x＋9y－4
因式分解1Fra bibliotek请问：用什么方法把下列式子因式分解? （1） 7x2 3y xy 21x
（2） 4x2 a2 6a 9
你能用类似方法把下列式子因式分解吗?
（1）(a+b+c)(ab+ac+bc)-abc
（2）a3-(b2+bc+c2)a+bc(b+c)
2
请问：能用几种方法把下列式子因式分解?

用因式分解法解一元二次方程PPT课件(北师大版)

用因式分解法解一元二次方程PPT课件(北师大版)

二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解
我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?
视察下列各式,也许你能发现些什么
开启 智慧
二次三项式 ax2+bx+c
的因式分解 一般地,要在实数范围 内分解二次三项式
ax2+bx+c(a≠o),只要用公式法求出相应的一元二次方程
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
动脑筋
争先赛
• 1.解下列方程:
1.x 2x - 4 0,2.4x2x 1 32x 1.
解 :1.x 2 0,或x - 4 0.
x1 2; x2 4.
2.4x2x1 32x1 0,
心动 不如行动
公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular).
老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般情势的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
• (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
• 因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显 示了“二次”转化为“一次”的过程.
明确
1、用因式分解法解一元二次方程时，等
. 号的一边必须是0
2、另一边可分解成两个因式乘积的情
势.

一元二次方程的解法(4)因式分解法课件全面版

一元二次方程的解法(4)因式分解法课件全面版
右化零 左分解
两因式 各求解
布置作业 1、家庭作业：练习册17.2（5） 2、课堂作业:课本习题17.2第4题； 3、预学下一课时内容。
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时

2-4《因式分解法》课件(共35张PPT)

2-4《因式分解法》课件(共35张PPT)
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
（3）十字相乘法:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
实际问题
根据物理学规律，如果把一 个物体从地面 10 m/s 的速度竖 直上抛，那么经过 x s 物体离地 面的高度（单位：m）为
3. 分别解两个一元一次方程，它们的根就 是原方程的根.
AB = 0
A=0或B=0
（ A、B 表示两个因式）
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1. 方程右边化为_零_____。
2. 将方程左边分解成两个__一__次___因__式__的乘积。 3. 至少_有___一__个__因式为零，得到两个一元一次
⑴ 5x2-3 2 x=0 （运用因式分解法）
⑵ 3x2-2=0
（运用直接开平方法）
⑶ x2-4x=6
（运用配方法）
⑷ 2x2-x-3=0
（运用公式法）
⑸ 2x2+7x-7=0 （运用公式法）
② 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能 否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法， 若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0

用因式分解法求解一元二次方程ppt课件

3.完全平方公式法：a2±2ab＋b2=(a±b)2；
4.(拓展) 二次三项式型：x2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b).
知1－练
例 1 用因式分解法解下列方程：
解题秘方：按方程的特点选择恰当的因式分解
的方法.
知1－练
(1)(x－5)(x－6)=x－5；
解：移项，得(x－5)(x－ 6)－(x－5)=0.
因式分解，得(x－5)(x－7)=0.
∴ x－5 =0 或x－7=0. ∴ x1=5，x2=7.
知1－练
(2)(2x＋1)2=(3－x)2；
解：原方程可化为(2x＋1)2－(3－x)2=0.
因式分解，得(2x＋1＋3－x)(2x＋1－3＋x)= 0，
即(x＋4)(3x－2)=0.
∴ x＋4 = 0 或3x－2=0. ∴ x1=－4，x2=
方程的方法称为因式分解法.
体现了转化思想.
知1－讲
2. 用因式分解法求解一元二次方程的理论依据
若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0，
即若ab= 0，则a=0 或b=0.
达到降次的目的.
知1－讲
3. 用因式分解法求解一元二次方程的基本思想
通过因式分解实现“降次”，将一元二次方程转化
为两个一元一次方程.
知2－练
(3)x2－ x－1=0.
解：这里 a＝1，b＝－
2，c＝－1.
∵Δ＝b2－4ac＝2＋4＝6>0，
∴方程有两个不相等的实数根，x＝
即 x1＝
2＋
2
6
，x2＝
2－
2
6
.
2± 6
，
2
用因式分解法解
一元二次方程

初三数学上册(人教版)《21.2.3 因式分解法》课件


∴y－5＝0 或 y＋3＝0.
∴y1＝5，y2＝－3.
(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0； (6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.
(5)将方程左边因式分解，得(x－3)[5x－(x＋1)]＝0. ∴(x－3)(4x－1)＝0.
∴x－3＝0 或 4x－1＝0.∴x1＝3，x2＝14.
(6)移项，得 4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0. ∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0. ∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0. ∴(11x－8)(x＋12)＝0.
∴11x－8＝0 或 x＋12＝0.∴x1＝181，x2＝－12.
巩固练习
2.用适当的方法解下列方程：
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平 方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解 法叫做因式分解法．
【提示】 1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边 等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的方法; 3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0 ”.
(2)x2－6x－19＝0； (3)3x2＝4x＋1; (4)y2－15＝2y；
择顺序是：直接开平方法 →因式分解法→公式法→ 配方法．
(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；
(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.
(2)x2－6x－19＝0；
解：(1)(1－x)2＝ 9，∴(x－1)2＝3，x－1＝± 3. ∴x1＝1＋ 3，x2＝1－ 3. (2)移项，得 x2－6x＝19. 配方，得 x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28. ∴x－3＝±2 7.∴x1＝3＋2 7，x2＝3－2 7.

_因式分解法解一元二次方程课件课件

2
去括号，移项，合并同类项，得 2 x 7 x 6 0,
2
( x 2)( 2 x 3) 0
x 2 0或2 x 3 0
x1 2, x2
3 2
.
想一想
先胜为快
2.一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
解：设这个数为x,根据题意,得 2x2=7x. 2x2-7x=0, x(2x-7) =0, ∴x=0,或2x-7=0.
2 2
解方程 : x 2 x 3 0得x1 3, x2 1; 而x 2 x 3 ( x 3)( x 1);
2
3 而4 x 2 12 x 9 4( x 3 )( x 3 解方程 : 4 x 12 x 9 0得x1 , x2 ; 2 2 2 2 4 4 2 2 解方程 : 3x 7 x 4 0得x1 , x2 1; 而3 x 7 x 4 3( x )( x 1) 3 3 看出了点什么?有没有规律 ? 3
2
4 .2 ( x 3) x 9;
2 2
3.x1
3 2
; x2
1 2
.
4.x1 3; x2 9.
先胜 为快
2 2
解下列方程
6 .( x 2 ) 2 x 3 ;
2 2
5 . 5 ( x x ) 3 ( x x );
5.x1 0; x2 4.
把下列各式分解因式 :
1.x 2 7; 解 : 1. 一元二次方程
x 7 0
2
2.3 y 2 y 14. 解 : 2 . 一元二次方程
3 y y 14 0
2
的两个根是x1

因式分解配方法

因式分解配方法因式分解是代数中的一个重要概念，它在解决多项式的因式分解、求根、化简等问题中起着至关重要的作用。

而在因式分解的过程中，配方法是一种常用且有效的技巧。

本文将重点介绍因式分解配方法的基本原理和具体应用。

首先，让我们来看一个简单的例子，$x^2 + 5x + 6$。

我们需要将这个二次多项式进行因式分解。

首先，我们可以尝试寻找两个数的和为5，乘积为6，这两个数分别是2和3。

因此，我们可以将$x^2 + 5x + 6$进行分解为$(x+2)(x+3)$。

这里我们就是利用了配方法来进行因式分解。

接下来，我们来详细介绍一下因式分解配方法的基本原理。

在进行因式分解时，我们通常会遇到一些多项式，其系数较大，因此直接进行因式分解会比较困难。

这时，我们就可以利用配方法来简化问题。

配方法的核心思想是通过对多项式进行适当的配方，使得原多项式可以被分解成两个简单的因式相乘的形式。

具体来说，我们可以通过改变多项式中的常数项，使得多项式可以被分解成两个一次多项式相乘的形式，从而达到简化因式分解的目的。

在实际应用中，配方法的具体步骤如下，首先，我们需要观察多项式的各项系数，找到一个合适的数，将多项式中的常数项进行分解；然后，我们将多项式进行分组，将其分解成两个一次多项式相乘的形式；最后，我们通过因式分解的方法，将多项式进行进一步简化，得到最终的因式分解结果。

除了简化因式分解的过程外，配方法还可以帮助我们求解一些复杂多项式的根。

通过配方法，我们可以将原多项式转化为两个一次多项式相乘的形式，从而方便我们求解多项式的根。

这在解决一些高阶多项式的根的问题时尤为重要。

在实际应用中，配方法是一种非常灵活和有效的技巧，它可以帮助我们简化因式分解的过程，解决复杂多项式的根的问题。

因此，掌握配方法对于提高我们的代数解题能力具有重要意义。

综上所述，因式分解配方法是解决多项式因式分解和根的重要技巧。

通过适当的配方和分解，我们可以简化复杂多项式的因式分解过程，求解多项式的根。

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练习1 把下列各式分解因式
(1) x 2 x 8
2
( 2 ) x 6 xy 5 y
2 2 2
2
( 3 ) x y 20 xy 96
试试用配方法怎样进行下列式子 的因式分解呢？
(1) x 3 x 40
2
(2)2 x x 3
2
在分解过程中，为什么要加上一项，又减 去该项？ 在第2题中怎样把二次项系数变为1？
练习3 把下列各式分解因式
x 4
4
3 x 6 x 1（在实数范围内）
2
你领略到配方的魅力了吗？
配方法是一种“通法”，就是说只 要是能分解的二次三项式，都能用配 方法来分解。
综合应用
1 .若 x ( m 3 ) x 4 是完全平方式，
2
则实数 m 的值是 ______ .
2 2
( a 3) ( a 3)
2
2
综合应用
3 .用简便方计算： （1） 2008
2
64 16 2008
2008
2
解：原式
2 2008 8 8
2
2
2
2008 8） 2000 （
4000000
（ 2） 999
2
1002 998
2
解：原式 998 1） 1002 998 （ 2 998 2 998 1 1002 998 998 998 2 1002 ） 1 （
998 2） 1 1997 （
对于 ax bx c ( a 0 ) 这样的二次三项式，可以进行因式 分解吗？
2
例如 : x 2 x 3
2
解：原式=( x 2 x 1) 1 3
2
( x 1) 4
2
[( x 1) 2 ][( x 1) 2 ] ( x 3 )( x 1)
能总结出用配方法分解因式的步骤吗？
对比用配方法解方程，你觉得用配方法分 解因式的过程中，哪些值得注意的地方？
步骤：1提：提出二次项系数；
2配：配成完全平方；
3化：化成平方差；
4分解：运用平方差分解因式。 实质：对二次三项式的常数项进行 “添项”。“添”的是一次项系数一 （添项拆项法） 半的平方。

2

3a ( x y )
( 2 ) a 8 a b 16 b ( a 4 b )
4 2 2 4
2 2
2
[( a 2 b )( a 2 b )]
2
(a 2b ) (a 2b )
2
2 2 2
2
( 3 )( a 9 ) 36 a ( a 9 6 a )( a 9 6 a )
因式分解
——配方法
知识回顾
1、分解下列因式： (1)7x2-28x
(2) 5ab2-80a3 (4)25a2-30ab+9b2
(3) -9a2+36b2
(5)18x3y+24x2y2+8xy3 (6) a4-4
(在实数范围内）
提升训练
2.因式分解:
2 2
(1) 3 ax 6 axy 3 ay 3 a x 2 2 xy y 2
2 2
提高练习：已知a2+b2-6a+2b+10=0, 求a,b的值.
解:∵ a2+b2-6a+2b+10=0
∴
a2-6a+9+b2+2b+1=0
∴
(a-3)2+(b-1
课堂作业
1、填空：
（1）x2-18x+ =( )2 (2) 9x2 + +16y2=( )2
2、如果x2-2kx+4是完全平方式，则k= 3、分解因式 （1）x2+2x-24 (3)x2-3x-10 (2) x2+8xy+12y2 (4)x2y2-9xy+20
.
(5)-x2-2x+15
家庭作业
1、如果x2+2（k+4）x+25是完全平方式，求k的值。
2、已知x2+y2+6x-4y+13=0,求x,y的值.
3、分解因式
(1)x2-4x-12 (3)x2-3x-28 (5)x2+4xy-21y2 (2)y2+12y-133 (4)y2+18y+56 (6)x2y2+5xy+6
分析：两种情况： 2 2 （1）如果 x ( m 3 ) x 4 ( x 2 ) 则 m 3 4即 m 7 ;
( 2 ) 如果 x ( m 3 ) x 4 ( x 2 ) 则 m 3 4即 m 1; m 7 或 1。