2020年全国普通高等学校招生统一考试（江苏卷）模拟预测卷数学试题一、填空题1．已知集合{}1A x x =>，{}1,2,3B =，则A B =______.【答案】{}2,3【分析】根据集合交集的定义和运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}1A x x =>，{}1,2,3B =， 根据集合交集的定义和运算，可得{}2,3A B ⋂=. 故答案为：{}2,3.【点睛】本题主要考查了集合交集的定义及运算，其中熟记集合交集的定义是解答的关键，属于容易题.2．已知复数2z i =+（其中i 为虚数单位），若(),za bi ab R i=+∈，则ab 的值为______. 【答案】－2【分析】根据已知求出,a b ，即得解. 【详解】由题得2z ai b i =-=+， 所以2,1b a -==， 所以1a =，2b =-， 所以2ab =-. 故答案为：－2【点睛】本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．已知一组数据是4，a ，7，5，8的平均数为6，则该组数据的标准差是______.【分析】首先根据平均数公式计算得到a ，再根据标准差公式计算结果. 【详解】由平均数公式475865a ++++=得6a =，所以()()()()2222146076568625s ⎡⎤=-++-+-+-=⎣⎦. 故答案为：2【点睛】本题考查样本平均数和标准差，属于基础题型.4．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线1C ：()2210x y m m-=>的一条准线与抛物线2C ：22x y =的准线重合，则正数m 的值是___.【答案】3【分析】由已知可得双曲线的准线方程及其抛物线的准线方程，即可得出正数m ． 【详解】抛物线2C ：22x y =的准线方程为12y，双曲线1C ：221x y m-=的一条准线方程为1y m =-+，根据题意得121m =+，解得3m =. 故答案为：3【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其准线方程，属于基础题． 5．运行如图的程序框图，则输出的结果是______.【答案】13【分析】根据流程图的循环结构，计算输出结果. 【详解】根据流程图可知当1i =时进入循环，12a =，当2i =时，进入循环，1121312a ==+，当3i =时退出循环，输出13a =.故答案为：13.【点睛】本题考查循环结构，重点考查理性流程图，属于基础题型.6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为______.【答案】15【分析】根据阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10，利用古典概型的概率求法求解.【详解】∵阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10， ∴从阳数和阴数中各取一数的所有组合共有5×5=25个， 满足差的绝对值为5的有(1,6)，(3,8)，(5,10)，(7,2)，(9,4)共5个， 则其差的绝对值为5的概率为51255P == 故答案为：15【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.7．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若2552a a +=，则15S 的值是______. 【答案】75【分析】由已知条件可解得85a =，再利用等差数列的性质即可求出.【详解】设等差数列的公差为d ，由2552a a +=，得()11524a d a d ++=+，即175a d +=，所以85a =， 则()1511581515752S a a a =+==. 故答案为：75.【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.8．圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为______2cm ． 【答案】100π【分析】容器的水面下降部分的容积即为球的体积，由此计算出球的半径，再根据球的表面积公式即可求解．【详解】设实心铁球的半径为R ，则32451033R ππ=⨯⨯，得5R =， 故这个铁球的表面积为224100S R cm ππ==． 故填：100π．【点睛】本小题是立体几何的应用题，涉及圆柱的体积和球的表面积、体积的计算，考查考生理解、解决实际问题的能力． 9．若直线1y kx =+与曲线y =k 的值为______.【答案】14【分析】先求函数的导数，则0|x x k y ='==，写出切线方程与结合条件可得1,k =⎨⎪=⎪⎩，从而得出答案.【详解】y ''==,设切点为()00,x y，0y =则切线的斜率为0|x x k y ='==曲线y =()00,x y处的切线方程为y x =所以1,k =⎨⎪=⎪⎩解得14k =.故答案为：14【点睛】本题考查根据切线方程求参数的值，属于基础题. 104cos 122sin12=︒-︒______. 【答案】4-【分析】根据三角函数的基本关系式和两角和差的正弦函数公式，进行化简、运算，即可求解.【详解】原式()sin122sin 1260sin122sin 48cos12412cos 24sin122cos 24sin12cos12cos 24sin 24sin 482︒︒-︒︒︒-︒︒=====-︒︒︒︒︒︒︒︒.故答案为：4-【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及两角和与差的正弦公式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.11．已知向量,a b ，满足3b =，a b a ⋅=，则a b -的最小值为______.【答案】【分析】利用222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅化为数量积的运算，再代入已知条件可求得最小值．【详解】()222229218a ba b a b a a a -=+-⋅=+-=-+≥，当且仅当1a =时，等号成立，故a b -的最小值为故答案为：【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是把向量的模转化向量数量积，然后结合函数知识得最小值．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：()()2224-+-=x m y 上两个动点，且AB =若直线:2l y x =-上存在点P ，使得OC PA PB =+，则实数m 的取值范围为______.【答案】11⎡--+⎣【分析】根据题意求出AB 的中点Q 的轨迹，由2OC PA PB PQ =+=，设()00,P x y ，()11,Q x y ，进而求出点P 在以1,12D m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆D 上，根据点P 在直线l ：2y x =-上，利用直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】由题意知圆C 的圆心(),2C m ，半径2r .取AB 的中点Q ，连结CQ ，则CQ AB ⊥.所以1CQ ===， 所以点Q 在圆()()2221x m y -+-=上. 因为2OC PA PB PQ =+=，设()00,P x y ，()11,Q x y ，则()1010,PQ x x y y =--，(),2OC m =，所以()()10102,22,m x x y y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩则1010,21,m x x y y ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩因为()11,Q x y 在圆()()2221x m y -+-=上， 所以()2200112m x m y ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， 即()2200112m x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，所以点P 在以1,12D m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆D 上， 又点P 在直线l ：2y x =-上，所以直线l 与圆D 有公共点，1≤，解得11m -≤-.故答案为：11⎡--⎣【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、轨迹问题，考查了基本知识以及知识的灵活应用，属于中档题.13．已知函数()31111,1,3442111,0,362x x x f x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩()()2x g x e ax a R =+-∈，若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是______.【答案】[)2,e -+∞【分析】先利用导数求出()f x 的值域，设为集合A ，设()g x 的值域为B ，则本题等价于BA ≠∅，再求出()g x 的导数，讨论a 的范围结合()g x 的单调性和最值即可求出a 的范围.【详解】当102x ≤≤时，()f x 单调递减，()106f x ≤≤；当112x <≤时，()2104f x x '=-≥成立，()f x 单调递增，()1163f x <≤，所以()f x 的值域为10,3A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 设()g x 的值域为B ，因为存在1x ，[]20,1x ∈使得()()12f x g x =成立，所以B A ≠∅.()2x g x e ax =+-，()x g x e a '=+.①1a ≥-，任意[]0,1x ∈，()0g x '≥成立，()g x 在[]0,1单调递增， 所以()()min 01g x g ==-，()()max 12g x g e a ==+-，[]1,2B e a =-+-. 因为BA ≠∅，所以20e a +-≥，2a e ≥-；②a e ≤-，任意[]0,1x ∈，()0g x '≤成立，()g x 在[]0,1单调递减， 所以()()min 12g x g e a ==+-，()()max 01g x g ==-，[]2,1B e a =+--， 则B A ⋂=∅，不合题意； ③1e a -<<-，令()0x g x e a '=+=，()ln x a =-，()g x 在()()0,ln a -递减，()()ln ,1a -递增，所以()()()()min ln 2ln g x g a a a a =-=--+-，()()(){}max max 0,1g x g g =. 又()010g =-<，()120g e a =+-<，则B A ⋂=∅，不合题意. 综上所述，2a e ≥-.【点睛】本题考查利用导数解决能成立问题，属于较难题. 14．已知在锐角三角形ABC 中，AH BC ⊥于点H ，且()229449BA CA AH CA BA -=⋅-，若2BC =，则sin sin sin B CA的取值范围是______.【答案】5⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由向量数量积的概念化简可得23BH CH =，BC 边上的高为h ，由tan ,tan B C 表示tan C ，结合三角形为锐角三角形，得h 的范围，由三角形面积公式和正弦定理结合可得2sin sin R B C h =，进而得出sin sin sin 2B C hA =，即可结果.【详解】由()229449BA CA AH CA BA -=⋅-，得229944BA AH BA CA CA AH +⋅=+⋅，所以94BA BH CA CH ⋅=⋅，即2294BH CH =，23BH CH =. 设BC 边上的高为h ，由2BC =，45BH =，6=5CH ， 则5tan 4h B =，5tan 6hC =， 所以()2555046tan tan 0552524146h hh A B C h h h +=-+=-=>--⋅，所以h >因为ABC 的面积11sin 22S bc A ah ==，所以2sin sin R B C h =，所以sin sin sin 2B C h A =>.故答案为：⎫+∞⎪⎪⎝⎭.二、解答题15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3B π=.（1）若b =2a =，求c 的值； （2）若cos A ，求cos C 的值. 【答案】（1）4c =；（2）626-.【分析】（1）根据题中所给的条件，两边一角，利用余弦定理建立等量关系式，求得c 的值；（2）根据题中所给的条件13cos A =，利用同角三角函数关系式求得23sin A =，利用诱导公式和余弦和角公式求得结果. 【详解】（1）在ABC 中，3B π=，23b =，2a =，由余弦定理得2222cos b c a ac B =+-， 得21242c c =+-，即2280c c --=， 解之得4c =或2c =-（舍去）. （2）由13cos 013A =>，得02A π<<， 所以221323sin 1cos 113A A ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 又因为3B π=，所以()()cos cos cos C A B A B π=--=-+cos cos sin sin A B A B =-+ 1312336132-=-⨯+⨯=. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理解三角形，诱导公式和余弦和角公式，属于简单题目.16．已知直三棱柱111ABC A B C -，E ，F 分别是BC ，1AA 的中点，1CB CC =，AC BC ⊥.求证：（1）//EF 平面11BA C ； （2）1EF B C ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）设11,B C BC 交于O 点，连接1A O ，OE ，在1BB C △中，证得1//EF A O ，结合线面平行的判定定理，即可证得//EF 平面11BA C ；（2）由直三棱柱111ABC A B C -，所以1CC ⊥平面ABC ，得到1CC AC ⊥，再由AC ⊥平面11BCC B ，得到1AC B C ⊥，证得111AC B C ⊥，进而的得到1B C ⊥平面11BA C ，即可证得1EF B C ⊥.【详解】（1）设1B C ，1BC 交于O 点，连接1A O ，OE ， 在1BB C △中，点O ，E 分别是1B C ，BC 中点， 所以1//OE B B 且112OE B B =， 因为直三棱柱111ABC A B C -，所以11//B B AA ，11B B AA =，又因为F 是1AA 中点，所以1OE FA =，1//OE FA ，所以1//EF A O ，因为1AO ⊂平面11BA C ，EF ⊄平面11BA C ，所以//EF 平面11BA C . （2）因为直三棱柱111ABC A B C -，所以侧面11BCC B 是矩形， 又因为1BC CC =，所以四边形1BCC B 是正方形，所以11B C BC ⊥， 因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1CC ⊥平面ABC ， 因为AC ⊂平面ABC ，所以1CC AC ⊥， 又因为BC AC ⊥，1BCCC C =，1CC ，BC ⊂平面11BCC B ，所以AC ⊥平面11BCC B ，因为1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AC B C ⊥，因为直三棱柱111ABC A B C -，所以11//AC A C ，所以111AC B C ⊥， 因为1111BC AC C ⋂=，1BC ，11A C ⊂平面11BAC ，所以1B C ⊥平面11BA C ， 因为1AO ⊂平面11BA C ，所以11A O B C ⊥， 因为1//EF A O ，所以1EF B C ⊥.【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的性质的应用，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，以及熟练应用线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于中档试题.17．如图，已知边长为2的正方形材料ABCD ，截去如图所示的阴影部分后，可焊接成一个正四棱锥的封闭容器.设FCB θ∠=.（1）用θ表示此容器的体积；（2）当此容器的体积最大时，求tan θ的值. 【答案】（1）)2221tan tan V θθ=-，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）1tan 5θ=. 【分析】（1）取BC 的中点M ，连接FM ，连接AC 交GF 于N ，根据题意可求出正方形EFGH 的边长，进而求出底面积和高，即可求出体积； （2）令tan t θ=求出()V t 的导数，利用导数判断其单调性，从而可求出其最大值，即得解.【详解】（1）取BC 的中点M ，连接FM ，连接AC 交GF 于N ，如图.由题意知FM BC ⊥，在直角三角形CFM 中，1cos CF θ=. 在直角三角形CFN 中，sin 4NF CF πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以22NF θ=-，所以22GF θ=. 因为cos 4CN CF πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以22tan CN θ=+. 从而)222GFEH S θ=，正四棱锥高2222CO CN NO CN NF =-=-222222tan tan 2tan 2222θθθ⎛⎫⎛⎫=+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以正四棱锥的体积)211222tan 33GFEHV S CO θθ=⋅=⋅)2221tan tan θθ=-0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）令tan t θ=()0,1t ∈，则()))2253221233V t t t t t t =-=-+， ())()()4222222256151133V t t t t t '=-+=--. 令()0V t '=，得5t =. t50,5⎛⎫ ⎪⎝⎭555,15⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭()V t '+－()V t↗ 极大值↘所以()V t 在50,⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在5,1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减， 所以()V t 在5t =时取到最大值，此时1tan 5θ=.【点睛】本题考查棱锥体积的求法，考查利用导数求最值，属于中档题.18．如图，点F 为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点，点A ，B 分别为椭圆C的右顶点和上顶点，点62,P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且满足//OP AB .（1）求椭圆C 的方程； （2）过定点(),0T m ()2m <且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线4x =分别交直线AM ，AN 于点D ，E ，求证：以DE 为直径的圆经过x 轴上的两定点（用m 表示）.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由62,2P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，可得222312a b +=，由//OP AB ，可得3ba=-，从而解出,a b 的值，得到答案. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，()00,Q x y 是以DE 为直径的圆上的任意一点，设出直线AM 的方程，得到点D 的纵坐标，同理得到点E 的纵坐标,由条件可得0DQ EQ ⋅=，得到()()()2120124422y y x x x -=---，设直线l 的方程为x ty m =+，与椭圆C 的方程22143x y +=联立，将韦达定理代入上述式子，可得答案.【详解】解：（1）由P ⎛ ⎝⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上得222312a b +=①， 如图，由A 为C 的右顶点，B 为C 的上顶点可知(),0A a ，()0,B b ， 因OPAB ，所以OP AB k k =，则b a=-②.联立①②得方程组22231,2,2a bb a ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，又()2,0A ， 所以直线AM 的方程为()1122y y x x =--，令4x =，得1122D yy x =-， 所以1124,2y D x ⎛⎫⎪-⎝⎭.同理2224,2y E x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 设()00,Q x y 是以DE 为直径的圆上的任意一点，则0DQ EQ ⋅=，所以()21200012224022y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，令00y =，得()()()2120124422y y x x x -=---.设直线l 的方程为x ty m =+，与椭圆C 的方程22143x y+=联立，消去x 得()2223463120ty tmy m +++-=，所以122634tm y y t +=-+，212231234m y y t -=+， 所以()()()()12122222x x ty m ty m --=+-+-()()()()22212122422234m t y y t m y y m t -=+-++-=+.所以()()()()()()222212022122312432412334422242234m m y y m t x x x m m m t -+-+-=-=-==-----+， 因为22m -<<，所以04x =所以以DE 为直径的圆经过x 轴上两定点，其坐标分别为4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭和4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆过定点问题,属于难题.19．若数列{}n c 满足：存在实数t ，使得()2212112m n m n c c c t m n --+-+=+-对任意m 、*n N ∈都成立，则称数列{}n c 为“t 倍等阶差数列”.已知数列{}n a 为“t 倍等阶差数列”.（1）若10a =，212a =-，31a =，求实数t 的值； （2）在（1）的条件下，设()*2121n n n b a a n N +-=-∈.①求数列{}n b 的通项公式；②设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，是否存在正整数p 、q ，且1p q <<，使得1S 、p S 、q S 成等比数列？若存在，求出p 、q 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2t =；（2）①87n b n =-；②存在2p =，36q =.【分析】（1）由题中定义可得出关于实数t 的等式，由此可解得实数t 的值； （2）①根据题中定义可推导出数列{}n b 为等差数列，确定该数列的首项和公差，由此可求得数列{}n b 的通项公式；②利用裂项相消法可求得n S ，由题意可得出2161988p p q+=+>，可得出关于正整数p的不等式，解出p 的取值范围，可求得正整数p 的值，进而可求得q 的值，由此可得出结论.【详解】（1）由数列{}n a 为“t 倍等阶差数列”， 令2m =，1n =，得()2312221a a a t +=+-，所以11022t ⎛⎫+=⨯-+ ⎪⎝⎭，解得2t =；（2）①以2n +代替m ，得23212128n nn a a a .则()()()21212112118n n n n a a a a +-+++-⎡⎤---=⎣⎦，即18n nb b +-=. 所以数列{}n b 是以8为公差的等差数列.又1311b a a =-=，所以()18187n b n n =+-=-.②因为()()111111878188781n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以111111111189917878188181n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则119S =，81p p S p =+，81q q S q =+. 假设1S 、p S 、q S 成等比数列，则2181981p qp q ⎛⎫=⋅⎪++⎝⎭， 因为216189988p q p q q ++==+>，所以281610p p --<， p <<又因为p 为大于1的整数，所以2p =，36q =， 所以存在2p =，36q =，使得1S 、p S 、q S 成等比数列.【点睛】本题考查数列的新定义，考查了等差数列的通项公式的求解、裂项相消法与数列的存在性问题的求解，考查计算能力，属于难题. 20．已知函数()()ln 0af x x x x=+>. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在定义域内有两个零点，求a 的取值范围；（3）若对任意()0,x ∈+∞，不等式()()()2ln 112xm x x e x x x e++-≥-恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（3）[)1,m ∈+∞. 【分析】（1）求导得()()20x af x x x -'=>，按0a ≤，0a >分类讨论得结果； （2）由题意得ln a x x -=在()0,∞+上有2个交点，令()ln h x x x =，则()'1ln h x x =+，得函数()h x 的单调性，最小值和最大值极限，即可得a 的取值范围；（3）由题意得()()1ln 12xm x e x e x ⎛⎫++-≥- ⎪⎝⎭，令()()1ln 21x F x m x x e e x ⎛⎫=++-+- ⎪⎝⎭，求导得()()21x m F x x e x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，按0m ≥，0m <分类讨论得结果.【详解】（1）()()20x af x x x -'=>. 当0a ≤时，0x，得()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调增；当0a >时，令()0f x '>得x a >，所以()f x 在(),a +∞上单调增，令()0f x '<得0x a <<，所以()f x 在()0,a 上单调减.综上，当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,∞+，无减区间； 当0a >时，()f x 的增区间为(),a +∞，减区间为()0,a . （2）令()ln 0af x x x=+=，得ln a x x -=，令()ln h x x x =，则()'1ln h x x =+， 0x，得()'0h x =的根为1=x e ，()h x ∴在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，11h e e ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，()0,0x h x →→，且(),x h x →+∞→+∞，要使函数()f x 有2个零点，则10a e -<-<，即10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（3）0x，由()()()2ln 112xm x x e x x x e ++-≥-可得()()1ln 12x m x e x e x ⎛⎫++-≥- ⎪⎝⎭.令()()1ln 21xF x m x x e e x ⎛⎫=++-+- ⎪⎝⎭，()()()()22111x x m x m F x x e x e x x -⎛⎫'=+-=-+ ⎪⎝⎭. 当0m ≥时，20xme x+>，令()0F x '>得1x >，所以()f x 在()1,+∞上单调增； 令()0F x '<得01x <<，所以()f x 在()0,1上单调减.所以()()min 110F x F m ==-≥，得m 1≥.当0m <时，因为()()141774ln 414ln 41444F m e e m e ⎛⎫=--+-<--+- ⎪⎝⎭，即()1114ln 4044F m e ⎛⎫⎛⎫<---<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0F x ≥在()0,x ∈+∞上不恒成立，则0m <舍去.综上可知，[)1,m ∈+∞.【点睛】本题主要考查了利用求导求原函数的单调性问题，同时也考查了参变分离求函数单调性与最值，进而求得参数的取值范围等，属于中档题．21．已知矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1201B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若直线l 依次经过变换A T ，B T 后得到直线l '：220x y +-=，求直线l 的方程.【答案】510x y +-=.【分析】本题可先设出直线l 上的任意一点(),P x y ，再设出这点经过变换T A ，T B 后得到的对应点(),P x y '''．然后根据变换对应的矩阵找到两个点的坐标的关系表达式，再根据点(),P x y '''在直线l '上，将两个点的坐标的关系表达式代入直线l '的方程即可得到直线l 的方程．【详解】解：设点(),P x y 是l 上的任意一点，其依次经过变换A T ，B T 后得到点(),P x y '''.则12100102x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得42x x y y y '+⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦，即4,2.x x y y y ''=+⎧⎨=⎩又点P '在直线l '上，所以220x y ''+-=，故()24220x y y ++-=，即510x y +-=， 所以直线的方程为：510x y +-=【点睛】本题主要考查一条直线经过一定的变换得到对应的直线，已知其中一条直线方程求另一条直线方程，本题可通过设对应点和变换对应的矩阵找到两个点的坐标的关系表达式来求出．本题属基础题．22．已知直线l的参数方程为1222x t y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），点P (1，2)在直线l 上．（1）求m 的值；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ=4与直线l 交于两点A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． 【答案】（1）2m =；（2）11.【分析】（1）根据点P (1，2)在直线l 上，将点的坐标代入直线的参数方程求解. （2）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程，然后与直线的参数方程联立，再结合韦达定理利用参数的几何意义求解. 【详解】（1）因为()1,2P ，在直线l 上，所以112,22,t m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2m =+．（2）因为曲线C ：ρ=4，所以曲线C 的直角坐标方程为2216x y +=，将直线l的参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入C的方程得(21110t t ++-=，设A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，则1211t t =-， 故1211PA PB t t ==⋅．【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化直线与圆的位置关系以及参数的几何意义的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．设,,a b c 都是正数，求证：222()()()4()+++++≥++b c c a a b a b c a b c.【答案】见解析【分析】利用柯西不等式证明即可； 【详解】证明：因为a ，b ，c 都是正数，所以()()()()222b c c a a b a b c a b c ⎡⎤+++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦222222⎡⎤⎡⎤=++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦2⎡⎤≥++⎢⎥⎣⎦()()()2b c c a a b =+++++⎡⎤⎣⎦ ()24a b c =++，所以()()()()2224b c c a a b a b c abc+++++≥++.【点睛】本题考查柯西不等式的应用，属于基础题.24．某商场准备在今年的“五一假”期间对顾客举行抽奖活动，举办方设置了,A B 两种抽奖方案，方案A 的中奖率为23，中奖可以获得2分;方案B 的中奖率为()0001P P <<,中奖可以获得3分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，并凭分数兑换奖品，（1）若顾客甲选择方案A 抽奖，顾客乙选择方案B 抽奖，记他们的累计得分为X ，若3≤X 的概率为79，求0P （2）若顾客甲、顾客乙两人都选择方案A 或都选择方案B 进行抽奖，问:他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大? 【答案】（1）013P =（2）当0409P <<时，他们都选择A 方案进行抽奖时，累计得分的均值较大；当0419P <<时，他们都选择B 方案进行抽奖时，累计得分的均值较大；当049P =时，他们都选择A 方案或都选择B 方案进行抽奖时，累计得分的均值相等 【分析】（1）首先求解出对立事件“5X =”的概率，再根据对立事件概率公式求得结果；（2）利用二项分布均值公式求解出()1E X 和()2E X ，根据均值的性质求得两人全选A 方案或B 方案的均值，比较两个均值的大小，得到0P 不同取值的情况下应选取的方案.【详解】（1）由已知得，甲中奖的概率为23，乙中奖的概率为0P ，且两人中奖与否互不影响记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为C ，则事件C 的对立事件为“5X =” ()0253P X P ==()()02715139P C P X P ∴=-==-= 013P ∴= （2）设甲、乙都选择A 方案抽奖的中奖次数为1X ，都选择B 方案抽奖的中奖次数为2X 则这两人选择A 方案抽奖累计得分的均值为()12E X ，选择B 方案抽奖累计得分的均值为()23E X 由已知可得：122,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()202,X B P()124233E X ∴=⨯=，()202E X P = ()()118223E X E X ∴==，()()220336E X E X P == 若()()1223E X E X >，则0863P > 0409P ∴<< 若()()1223E X E X <，则0863P < 0419P ∴<< 若()()1223E X E X =，则0863P = 049P ∴= 综上所述：当0409P <<时，他们都选择A 方案进行抽奖时，累计得分的均值较大 当0419P <<时，他们都选择B 方案进行抽奖时，累计得分的均值较大 当049P =时，他们都选择A 方案或都选择B 方案进行抽奖时，累计得分的均值相等 【点睛】本题考查对立事件概率的求解、二项分布均值求解及均值性质的应用问题，利用均值来解决实际问题，属于常规题型.25．已知2020220200122020(1)....x a a x a x a x -=++++（1）求122020...a a a +++的值；（2）求01220201111...a a a a ++++的值.【答案】（1）1-；（2）20211011. 【分析】（1）根据已知条件，令0x =，求得0a ，令1x =，即可求得122020...a a a +++的值；（2）由二项式定理可得()20201k k k a C=-，求得1k n C ，由120202021202112021112022k k k C C C +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而求得202001k ka =∑，即可求得答案. 【详解】（1）()20202202001220201x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+——①.在①中，令0x =，得01a =.在①中，令1x =，得01220200a a a a +++⋅⋅⋅+=，∴1220201a a a ++⋅⋅⋅+=-.（2）2020220200122020(1)....x a a x a x a x -=++++由二项式定理可得()20201k k k a C =-，0k =，1，2，⋅⋅⋅，2020.()()()()()()()!!!!2!!11111!21!21!k n k n k k n k n k n k k n k n n C n n n n n --+-+++-++==⋅=⋅++++ ()()()()()111!1!1!!111121!1!2k k n n k n k k n k n n n n n n C C +++⎡⎤+-+-⎛⎫++=+=+⎢⎥ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴202020202000002020202011(1)(1)kk k k k k k k a C C ===-==-∑∑∑ ()20200122020202020202020202011111C C C C =-+-⋅⋅⋅+-.120202021202112021112022k k k C C C +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴20202020011220202021020212021202120212021202112021111111(1)2022k k a C C C C C C =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 0202120212021202111202120221011C C ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题解题关键是掌握组合数计算方法和根据二项式定理求各项系数和步骤，考查了分析能力和计算能力，属于难题.。
