广东六校联盟2021届六校第一次联考数学试题及答案

【校级联考】广东省六校联盟2024-2024学年高二下学期第一次联考物理试题一、单选题：本题共7小题，每小题4分，共28分 (共7题)第(1)题如图所示，一条轻绳跨过光滑定滑轮，两端与质量分别为2m和m的物体P、Q连接，轻弹簧竖直放置，上端与物体Q相连，下端固定在水平面上。

用手托住物体P，当轻绳刚好被拉直时，物体P离地的高度为L，重力加速度大小为g。

物体P由静止释放后，落地时的速度恰好为0，则物体P下落过程中（）A．物体P、Q组成的系统机械能守恒B．物体P、Q组成的系统机械能一直减少C．弹簧的弹性势能增加了0.5mgL D．弹簧的弹性势能增加了mgL第(2)题、两种单色光组成的光束从介质进入空气时，其折射光束如图所示，用、两束光（）A．先后照射双缝干涉实验装置，在缝后屏上都能出现干涉条纹，由此确定光是横波B．先后照射某金属，光照射时恰能逸出光电子，光照射时也能逸出光电子C．从同一介质以相同方向射向空气，其界面为平面，若光不能进入空气，则光也不能进入空气D．从同一介质以相同方向射向空气，其界面为平面，光的反射角比光的反射角大第(3)题下列关于物理学史的叙述正确的是（ ）A．牛顿第一定律是在大量经验事实的基础上，通过实验直接得出的B．牛顿是第一位利用万有引力定律计算出地球质量的人C．哥白尼的日心说认为所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆D．伽利略由理想斜面实验通过逻辑推理否定了力是维持物体运动的原因第(4)题科学史家猜测图为伽利略研究小球从离水平桌面一定高度的轨道下滑到桌面后做平抛运动的手稿。

手稿记录了小球释放点距水平桌面的高度h，落地点与桌子边缘的水平距离x。

将手稿中的数据整理如表格所示（长度计量单位为Punti），由表格数据可推断（）…3008002.70.00890.00003046.19…60011311.90.00310.00000546.17…80013061.60.00200.00000346.17…100014601.50.00150.00000146.17…A．与成正比B．与成正比C．与成正比D．与成正比第(5)题如图所示，光滑绝缘水平面上存在方向竖直向下的有界（边界竖直）匀强磁场，一直径与磁场区域宽度相同的闭合金属圆形线圈在平行于水平面的拉力作用下，在水平面上沿虚线方向匀速通过磁场。

2021届广东省六校联盟高三第一学期第二次联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}21B x x =-<≤，则A B 等于（ ）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．1,0,1,2【答案】C【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】{}1,0,1,2A =-，{}21B x x =-<≤，{}1,0,1A B ∴=-.故选：C.2．已知命题p ：131,28x x -∀≥≤，则命题p ⌝为（ ）A ．13001,28x x -∃≥>B ．10031,28x x -∀≥>C ．13001,28x x -∃<≤D ．10031,28x x -∀<≤【答案】A【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可．【详解】命题p ：131,28x x -∀≥≤的否定p ⌝为：13001,28x x -∃≥>故选：A3．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 5sin a C A =,22()16a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为（ ） A ．3B 3C ．12D ．2【答案】D【分析】由已知利用正弦定理可求得ac ,进而可求得2226a c b +-=代入“三斜求积”公式即可求得结果.【详解】2sin 5sin a C A =，25a c a =，5ac =,因为22()16a c b +=+，所以，2221626a c b ac +-=-=，从而ABC 22165242⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选:D.【点睛】本题考查正弦定理以及新定义的理解,考查分析问题的能力和计算求解能力,难度较易.4．已设,a b 都是正数，则“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由33a b log log ＜和333a b ＞＞分别求出a ，b 的关系，然后利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法得答案． 【详解】由33a b log log ＜，得01b a ＜＜＜或01a b ＜＜＜或1a b ＞＞， 由333a b ＞＞，得1a b ＞＞，∴“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题主要考查了必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了不等式的性质，属于中档题．5．实数,,x y k 满足2230{10,x y x y z x y x k+-≥-+≥=+≤，若z 的最大值为13，则k 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】试题分析：画出可行域（如图阴影部分所示）和曲线，观察图形，知直线过直线和的交点时，解得，故选B.考点:线性规划. 【易错点晴】线性规划问题是数学考试中常见题．其题型大概有如下两种：一、已知线性约束条件，求目标函数的最优解．这种题的难度较小；二、已知线性约束条件中含有参数，并且知道最优解，求参数的值．本题属于第二种，难度要大，解决的方法如下：先作出不含参数的平面区域和目标函数取最优解时的直线，再根据含参数的不等式利用斜率相等或截距相同来解决问题.6．若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)(1)f x f x +=-对所有x ∈R 恒成立，则下列函数值一定正确的是（ ） A ．(1)0f = B ．(2)1f =C ．(2020)0f =D ．(2021)1f =【答案】C【分析】由已知条件知()f x 的周期为4，且(2)(2020)0f f ==，而(2021)(1)f f =函数值不确定，即可知正确选项.【详解】(1)(1)f x f x +=-对所有x ∈R 恒成立，又()f x 是定义在R 上的奇函数，知：()()f x f x -=-且(0)0f =，∴(2)()()f x f x f x +=-=-，即(4)()f x f x +=，则()f x 的周期为4，∴(2)(20)(0)0f f f =+=-=，(2020)(45050)(0)0f f f =⨯+==，故B 错误，C 正确；而(2021)(45051)(1)f f f =⨯+=不能确定其函数值. 故选：C.7．在ABC 中，2AB AC AD +=，20AE DE +=，若EB xAB y AC =+，则（ ） A ．2y x = B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-【答案】D【分析】画出图形，将,AB AC 作为基底向量，将EB 向量结合向量的加减法表示成两基底向量相加减的形式即可求解【详解】如图，由题可知，点D 为BC 的中点，点E 为AD 上靠近D 的三等分点，()()111121326233EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=-， 21,,233x y x y ∴==-∴=-故选：D【点睛】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题8．三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上.棱锥P ABC -的各棱长为：2PA =，3,4,13,5,25PB PC AB BC AC =====则球O 的表面积为（ ） A ．28π B ．29πC ．30πD ．31π【答案】B【分析】由各棱长结合勾股定理知P ABC -为直三棱锥，有PA ⊥面PBC ，进而求出Rt PBC 的外接圆半径r ，由外接球半径R 与r 、PA 的几何关系即可求出R ，最后求外接球表面积即可.【详解】由题意知：222PB PC BC +=，222PA PC AC +=，222PA PB AB +=， ∴,,PA PB PC 两两垂直，即P ABC -为直三棱锥， ∴若Rt PBC 的外接圆半径为r ，则522BC r ==，又PA ⊥面PBC ，∴外接球心O 到PA 的距离为52r =，故外接球半径2229()2PA R r =+=， ∴外接球表面积2429S R ππ==. 故选：B.【点睛】关键点点睛：由棱长推出P ABC -为直三棱锥，有PA ⊥面PBC ，根据其外接球半径R 与Rt PBC 外接圆半径r 、PA 的几何关系求出R ，进而求球的表面积.二、多选题9．下列四个命题中，正确的有（ ） A ．函数3sin(2)3y x π=+的图象可由y ＝3sin 2x 的图象向左平移3π个单位长度得到 B ．sin 2xy e=的最小正周期等于π，且在(0,)2π上是增函数（e 是自然对数的底数）C ．直线x ＝8π是函数5sin(2)4y x π=+图象的一条对称轴 D ．函数tan y x =,2x k x k k Z πππ⎧⎫≤<+∈⎨⎬⎩⎭【答案】CD【分析】利用图像的平移判断选项A ；利用周期的定义判断选项B ；利用整体代入的思想判断选项C ；利用正切函数的定义域判断选项D. 【详解】将y ＝3sin 2x 的图象向左平移3π个单位长度得到y ＝23sin[2()]3sin(2)33x x ππ+=+，故A 错误；令()sin2xf x e =，∴()()sin2sin2x x f x ee ππ++==，故()sin2x f x e =的周期为π，且在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，故B 错误； 由52,42x k k Z πππ+=+∈， 得3,28k x k Z ππ=-∈， 当1k =时，x ＝8π是其对称轴，故C 正确；由tan 0x ≥得,()2k x k k Z πππ≤<+∈，故D 正确.故选：CD.10．设a >1，b >1且ab －(a ＋b )＝1，那么（ ） A ．a ＋b 有最小值2＋22 B ．a ＋b 有最大值2＋22 C ．ab 有最小值3＋22 D ．ab 有最大值1＋2【答案】AC【分析】由基本不等式得ab ＝1＋(a ＋b )≤2()2a b +，ab －1＝a ＋b ≥2ab ，又a ＋b >2、ab >1，应用一元二次不等式的解法，即可求a ＋b 、ab 的最值. 【详解】ab ＝1＋(a ＋b )≤2()2a b +(当且仅当a ＝b >1时取等号)，即(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0且a ＋b >2，解得a ＋b ≥2＋22，∴a ＋b 有最小值2＋22，知A 正确，B 错误；由ab －(a ＋b )＝1，得ab －1＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b >1时取等号)，即ab －2ab －1≥0且ab >1，解得12ab ≥+，即ab ≥3＋22， ∴ab 有最小值3＋22，知C 正确，D 错误. 故选：AC.11．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则下列命题正确的有（ ）A ．直线CP 和平面ABC 1D 1所成的角为定值B ．三棱锥D －BPC 1的体积为定值 C ．异面直线C 1P 和CB 1所成的角为定值D ．直线CD 和平面BPC 1平行 【答案】BCD【分析】直接利用正方体的性质，几何体的体积公式, 线面平行的判定和性质，异面直线的夹角，逐项判断即可.【详解】选项A ，由线面所成角的定义，令BC 1与B 1C 的交点为O ，可得∠CPO 即为直线CP 和平面ABC 1D 1所成的角，当P 移动时∠CPO 是变化的，故A 错误. 选项B ，三棱锥D －BPC 1的体积等于三棱锥P －DBC 1的体积，而△DBC 1大小一定，∵P ∈AD 1，而AD 1//平面BDC 1∴点A 到平面DBC 1的距离即为点P 到该平面的距离 ∴三棱锥D －BPC 1的体积为定值，故B 正确；选项C ，∵在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动， ∴CB 1⊥平面ABC 1D 1，∵C 1P ⊂平面ABC 1D 1，∴CB 1⊥C 1P ，故这两个异面直线所成的角为定值90°，故C 正确；选项D ，直线CD 和平面ABC 1D 1平行，∴直线CD 和平面BPC 1平行，故D 正确. 故选：BCD.12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列结论正确的是A ．20192g =B ．()()()()222123222022210f f f f f f -+-=C ．12320192688g g g g ++++=D ．22221232019201820202f f f f f f ++++=【答案】AB【分析】由+2+1+n n n f f f =可得()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =， 所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-，所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确； 对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-， ()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。

2021届六校第一次联考数学学科一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−1>0}，B ={0,1，2，3}，则()R C A B ( )A. {2,3}B. {0,1}C. [−1,1]D. (−∞,−1)∪(1,+∞) 2. 下列说法正确的是( )A. “f (0)=0”是“函数 f (x) 是奇函数”的充要条件B. 若 p ：∃x 0∈R ，x 02−x 0−1>0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2−x −1<0 C. 若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D. “若α=π6，则sinα=12”的否命题是“若6，则sinα≠12”3.已知等差数列{a n }的公差为d(d≠0),且a 3+a 6+a 10+a 13=32,若a m =8,则m 等于( )A.8B.4C.6D.12 4.函数f(x)=21-x 的大致图象为( )5.已知平面向量a 、b 满足|a|=|b|=1,若(2a-b)·b =0,则向量a 、b 的夹角为( )A.30°B.45°C.60°D.120°6.已知二项式(2x 2−1x )n 的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是( )A. −84B. −14C. 14D. 847.已知x,y >0,则(x +y)(1x +4y )的最小值为( )A. 6B. 7C. 8D. 98.函数21,1()ln ,1x x f x x x 则下列命题正确的是（ ）A. 函数f (x )是偶函数B. 函数f (x )最小值是0C. 函数f (x )的单调递增区间是[1,+∞)D. 函数f (x )的图象关于直线x =1对称 9.在△ABC 中,三边长分别为a,a+2,a+4,最小角的余弦值为1314,则这个三角形的面积为( )A.15√34B.154C.21√34D.35√3410.设双曲线Ω：222210,0x y a b ab 的左、右焦点分别为F 1，F 2，Ω上存在关于y 轴对称的两点P ，Q(P 在Ω的右支上)，使得|PQ |+2|PF2|=2|PF 1|，O 为坐标原点，且ΔPOQ 为正三角形，则的离心率为（ ）A. √52B. √62C. √5D. √6二、不定项选择题（本大题共2小题，每小题全对得5分，不全对但无错得3分，有错选或不选得0分，共10.0分）11.若f(x)=lg(|x-2|+1),则下列命题正确的是()A.f(x+2)是偶函数B.f(x)在区间(-∞,2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数C.f(x)没有最小值D.f(x)没有最大值12.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最大值为√2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2且f(x)的图象关于点(−π12,0)对称，则下列判断错误的是()A. 函数f(x)的图象关于直线x=512π对称．B. 要得到函数f(x)的图象，只需将y=√2cos 2x的图象向右平移π6个单位C. 当x∈[−π6,π6]时，函数f(x)的最小值为−√2D. 函数f(x)在[π6,π3]上单调递增三、填空题（本大题共4小题，每小题满分5分，共20.0分）13.已知复数z=√3+2i(i为虚数单位),则z=_________．14.曲线f(x)=1x +ln1x在点(1,f(1))处的切线方程是________．15.如图，实心铁制几何体AEFCBD由一个直三棱柱与一个三棱锥构成，已知BC=EF=πcm，AE=2cm，BE=CF=4cm，AD=7cm，且AE⊥EF，AD⊥底面AEF.某工厂要将其铸成一个实心铁球，假设在铸球过程中原材料将损耗20%，则铸得的铁球的半径为________cm．16.已知ΔABC的三个顶点A、B、C均在抛物线y2=x上，给出下列命题：①若直线BC过点M(38,0)，则存在ΔABC使抛物线y2=x的焦点恰为ΔABC的重心；②若直线BC过点N(1,0)，则存在点A使ΔABC为直角三角形；③存在ΔABC，使抛物线y2=x的焦点恰为ΔABC的外心；④若边AC的中线BM//x轴，|BM|=2，则ΔABC的面积为2√3．其中正确的序号为______________．四、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70.0分）17.在△ABC中,∠A=60°,37 c a(1)求sin C的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.18.已知数列{a n}前n项和S n，点(n,S n)(n∈N∗)在函数y=12x2+12x+1的图象上．(1)求{a n}的通项公式；(2)设数列{1a n a n+2}的前n项和为T n，不等式T n<712log a(1−a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．19.如图，已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD的中点，沿AO将三角形AOD折起，使DB=√3．(Ⅰ)求证：平面AOD⊥平面ABCO；(Ⅱ)若BD上有一点M使得二面角M−OA−B的平面角的正切值为12，试确定M点的位置．20.某地种植常规稻α和杂交稻β，常规稻α的亩产稳定为485公斤，今年单价为3.70元/公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.90元/公斤的可能性为70%，变为4.00元/公斤的可能性为20%. 统计杂交稻β的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图①.统计近10年杂交稻β的单价(单位：元/公斤)与种植亩数(单位：万亩)的关系，得到的10组数据记为(x i,y i)(i=1,2,⋯,10)，并得到散点图如图②．(1)根据以上数据估计明年常规稻α的单价平均值；(2)在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻β的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻β的亩产超过795公斤的概率；(3)判断杂交稻β的单价y(单位：元/公斤)与种植亩数x(单位：万亩)是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y 关于x 的线性回归方程；统计参考数据：x =1.60，y =2.82，，∑(x i −x)210i=1=0.65，附：线性回归方程y ^=b ^x +a ^，b ̂=n i=1i −x)(y i −y)∑(x −x)2n ，a ^=y −b ^x ．21.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线 283x y 的焦点．（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知点2,3,2,3P Q ， 在椭圆上，点 A,B是椭圆上不同的两个动点，且满足APQ BPQ ，试问直线 AB 的斜率是否为定值?请说明理由．22.已知函数f(x)=lnx,g(x)=x −lnx −1．(1)求函数g(x)的单调区间；(2)令G(x)=xg(x)，求证：函数G(x)存在唯一的极大值点；(定义：若G(x 0)是函数G(x)的极大值，则称x 0是函数G(x)的极大值点)（3）若函数f(x)的图像与函数ℎ(x)=ax +bx (b >0)的图像交于P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)两点，其中x 1<x 2，求证：f′(x 1+x 22)<ℎ′(x 1+x 22)．答案和解析1.B；2.D；3.A；4.A；5.C；6.A；7.D；8.B；解：画出函数f(x)图象如图：可知函数f(x)是非奇非偶函数，A错误；函数f(x)最小值是0，B正确；函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞)，(0,1)，C错误；f(0)=−1，f(2)=ln2，f(0)≠f(2)，所以函数不关于x=1对称，D错误．故选B．9.A；10.C；解：由题意，|PF1|−|PF2|=2a，|QF1|−|QF2|=2a，根据双曲线的对称性|PF2|=|QF1|，|PF1|=|QF2|，所以2|PF1|=2|PF2|+4a，即|PQ|=4a,又△POQ为正三角形，所以OP直线方程为y=√3x，代入双曲线方程，整理得(b2−3a2)x2−a2b2=0，解得x P=√b2−3a2，x Q=−√b2−3a2，所以|PQ|=2√b2−3a2，即2√b2−3a2=4a，即：c2−5a2=0，故e=√5，故选C．11.ABD；12.ACD；解：∵函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)，函数的最大值是√2，则A=√2，∵其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴T=2πω=π，解得ω=2，∵f(x)的图象关于点(−π12,0)对称，∴2×(−π12)+φ=kπ,(k∈Z)，解得，φ=kπ+π6，k∈Z，又∵|φ|<π2，解得φ=π6，所以f(x)=√2sin(2x+π6)，对于A，f(x)的对称轴由2x+π6=kπ+π2,(k∈Z)，可得x=12kπ+π6,(k∈Z)，直线x=512π不是其对称轴，故A错误；对于B，将y=√2cos2x的图象向右平移π6个单位，可得，的图象，故B正确；对于C ，x ∈[−π6,π6]时，2x +π6∈[−π6,π2]，可得f(x)=√2sin(2x +π6)∈[−√22,√2]，故C 错误；对于D ，由x ∈[π6,π3]，可得：2x +π6∈[π2,5π6]，由正弦函数的图象和性质可得函数f(x)在[π6,π3]上单调递减，故D 错误．故选ACD ．13.2−√3i 7；14.2x +y −3=0；解：f ′(x)=−1x 2−1x，k =f ′(1)=−1−1=−2．又f(1)=1．所以切点坐标为(1,1)．所以曲线f(x)=1x +ln 1x 在点(1,f(1))处的切线方程为y −1=−2(x −1)，即2x +y −3=0． 15.√33；16.①②；解：设A,B,C 三点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)，①直线BC 过点M (38,0)，设BC 方程为x =my +38，联立{x =my +38y 2=x，消去x ，得y 2−my −38=0,Δ=m 2+32>0，y 2+y 3=m,y 2y 3=−38,x 2+x 3=m(y 2+y 3)+34=m 2+34， 抛物线y 2=x 的焦点恰为△ABC 的重心，∴x 1+x 2+x 3=34,y 1+y 2+y 3=0,∴x 1=−m 2,y 1=−m ，将A 点坐标代入抛物线方程∴m 2=−m 2,∴m =0， 当m =0时，A(0,0),B(38,√64),C(38,−√64)，①正确； ②直线BC 过点N (1,0)，设BC 方程为x =my +1，联立{x =my +1y 2=x ，消去x 得，y 2−my −1=0，y 2+y 3=m,y 2y 3=−1,x 2x 3=y 22y 32=1,∴x 2x 3+y 2y 3=0，∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴OB ⊥OC ，而点O 在抛物线上，故②正确； ③设以抛物线焦点F(14,0)为圆心的圆半径为r ，其方程为(x −14)2+y 2=r 2，与抛物线方程联立得(x −14)2+x =r 2,(x +14)2=r 2,∴x =−14±r ， 方程至多只有一个非负解，即圆与抛物线至多只有两个交点， 不存在△ABC ，使抛物线y 2=x 的焦点恰为△ABC 的外心，③不正确；④AC 的方程为x =my +n ，代入抛物线方程得，y 1+y 3=m,y 1y 3=−n ，x 1+x 3=m(y 1+y 3)+2n =m 2+2n ，设AC 中点M(x 0,y 0)，BM//x 轴，|BM |=2，B(m 2+2n 2−2,m2)，代入抛物线方程得(m2)2=m 2+2n 2−2,∴m 2+4n =8，∴S △ABC =12×2×|y 1−y 3|=√(y 1−y 3)2−4y 1y 3=√m 2+4n =2√2≠2√3，故④不正确．故答案为：①②．（也可特殊位置法检验存在性） 17.解:(1)在△ABC 中,因为∠A=60°,c=37a,所以由正弦定理得sin C=csinA a=37×√32=3√314.--------5分(2)因为a=7,所以c=37×7=3.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2cbcos A 得72=b 2+32-2b×3×12,得b=8或b=-5(舍).所以△ABC 的面积S=12bcsin A=12×8×3×√32=6√3.----------------------10分 18.解(1)∵点(n,S n )在函数f (x )=12x 2+12x +1的图象上， ∴S n =12n 2+12n +1 ① 当2n时，S n−1=12(n −1)2+12(n −1)+1 ②①−②得a n =n ．当n =1时，a 1=S 1=2，不符合上式． ∴a n ={ 2 ,n =1n,n ≥2．-----------------------6分(2)12T T ，又由(1)得2n时，1an a n+2=1n(n+2)=12(1n −1n+2)，∴T n =1a 1a 3+1a 2a 4+⋯+1a n a n+2，=14+12(12−14+13−15+⋯+1n −1n+2)，=712−12(1n+1+1n+2)， ∵T n+1−T n =1(n+1)(n+3)>0，∴数列{T n }单调递增，∴n →+∞,T n →712， 要使不等式T n <712log a (1−a )对任意正整数n 恒成立，只要712≤712log a (1−a )，即log a (1−a )≥log a a ，解得12≤a <1．----------------------------------------12分19.(Ⅰ)证明：∵在矩形ABCD 中， AB =2AD =2，O 为CD 的中点， ∴AO =BO =√2，∴AO 2+BO 2=AB 2 ，即OB ⊥OA.又∵OD 2+OB 2=DB 2 ，∴OB ⊥OD ，又OA ∩OD =O ， OA ，OD ⊂平面AOD ， ∴OB ⊥平面AOD ，又OB ⊂平面ABCO ，∴平面AOD ⊥平面ABCO. -----------------5分 (Ⅱ)解：以O 为坐标原点，分别以直线OA ，OB 为x 轴和y 轴，以过点O 且垂直平面ABCO 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，过点D 作DH ⊥AO ，交AO 于H ，因为平面AOD ⊥平面ABCO ，平面AOD ∩平面ABCO =AO ，DH ⊂平面AOD ，所以DH ⊥平面ABCO ，则B(0,√2,0)，A(√2,0，0)，D(√22,0，√22)，C(−√22,√22,0)． 设BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，0≤λ≤1，则M(√22λ,√2−√2λ,√22λ)， 设平面MOA 的一个法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，由{n ⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{x =0y =λ2λ−2z ，取n ⃗ =(0,λ,2λ−2)， 平面AOB 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,0,1) ， 由题知二面角M −OA −B 的平面角的正切值为12，则二面角M −OA −B 的平面角为锐角， ∴其余弦值为2√55，故|cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|2λ−2√λ2+(2λ−2)2|=2√55⇒λ=12，所以M 是BD 的中点. -------------------------------------------------12分 20.解：(1)设明年常规稻α的单价为ξ元/公斤， 则ξ的分布列为 ξ 3.70 3.90 4.00P 0.1 0.7 0.23.9×0.7+4.0×0.2=3.9，估计明年常规稻α的单价平均值为3.9(元/公斤)；--------------------------4分 (2)杂交稻β的亩产平均值为：[(750+810+820)×0.005+(760+800)×0.01 +(770+790)×0.02+780×0.025]×10 =78.2×10=782，依题意知杂交稻β的亩产超过795公斤的概率为：P =0.1+0.05×2=0.2， 则将来三年中至少二年，杂交稻β的亩产超过795公斤的概率为： C 32×0.22×(1−0.2)+0.23=0.104；--------------------------------8分(3)因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻β的单价y 与种植亩数x 线性相关，由题中提供的数据得：b̂=−0.520.65=−0.8，由y =b̂x +a ̂，得a ̂=y −b ̂x =2.82+0.8×1.60=4.10， 所以线性回归方程为ŷ=−0.8x +4.10. --------------------------12分21.解：（1）设椭圆C的方程为，则．由，，得，所以椭圆C的方程为．------------------------------------4分（2）当时，PA,PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为，则PB的斜率为PA的直线方程为，，，由整理得，，同理PB的直线方程为，可得，所以，，所以所以直线 的斜率为定值．-------------------------------12分22.(1)解：因为g ′(x)=x−1x(x >0)，由g ′(x)>0得x >1，由g ′(x)<0得0<x <1， 所以g(x)的增区间为，减区间为(0,1)；-----------------------3分(2)证明：，所以，设，则T ′(x)=2x−1x ，其中x >0，由T ′(x)>0得x >12；由T ′(x)<0得0<x <12，故T(x)在(0,12)上单调减，在(12,+∞)上单调增，且T(12)=ln2−1<0，又因为T(1e 2)=2e 2>0,T(1)=0，所以T(x)=0在(0,12)内有唯一解x =x 0， 且当x ∈(0,x 0),G′(x)=T(x)>0,G(x)单调增； 当x ∈(x 0,1),G′(x)=T(x)<0,G(x)单调减； 当x ∈(1,+∞),G′(x)=T(x)>0,G(x)单调增，所以G(x)存在唯一的极大值点x 0；--------------------------7分 (3)证明：记，，因为x 2>x 1 >0，所以(x 1+x 22)2>x 1x 2，所以k 2>a −bx1x 2，所以(x 2−x 1)k 2>a(x 2−x 1)−b(x 2−x 1)x 1x 2=ax 2+bx 2−(ax 1+bx 1)=y 2−y 1=lnx 2−lnx 1=ln x2x 1，又(x 2−x 1)k 1=2(x 2−x 1)x 1+x 2=2(x 2x 1−1)1+x 2x 1，第11页，共11页 令r(t)=lnt −2(t−1)1+t ，其中t >1，则r′(t)=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0，所以r(t)在[1, +∞)上单调递增，故r(t)>r(1)=0， 因为x 2x 1>1 ，所以r(x 2x 1)=ln x 2x 1−2(x 2x 1−1)1+x 2x 1>0，即ln x 2x 1>2(x 2x 1−1)1+x 2x 1，所以(x 2−x 1)k 2>(x 2−x 1)k 1，所以k 2>k 1， 故f′(x 1+x 22)<ℎ′(x 1+x 22)．------------------------12分。

专题06 动量和动量定理1．（2021届广东省汕头市金山中学高三期中）冰壶运动深受观众喜爱，图1为2014年2月第22届索契冬奥会上中国队员投掷冰壶的镜头．在某次投掷中，冰壶甲运动一段时间后与对方静止的冰壶乙发生正碰，如图2．若两冰壶质量相等，则碰后两冰壶最终停止的位置，可能是图中的哪幅图（）A．B．C．D．【答案】B【解析】冰壶甲乙碰撞过程动量守恒，碰撞前系统动量水平向右，碰撞后合动量也必然水平向右，碰撞后冰壶在摩擦力作用下做匀减速直线运动，所以碰撞点即圆心到最后停靠点的连线代表碰撞后的速度方向，连线的长短代表碰撞后的速度大小．A图中，甲乙碰后的动量都斜向右上方，所以合动量不可能水平向右，不满足动量守恒定律选项A错．乙图中，碰撞后甲静止，乙水平向右运动，符合质量相等小球发生完全弹性碰撞的过程，选项B是可能的．选项C中，虽然甲乙动量都是水平向右，合动量也满足水平向右，但甲在后，乙在前，碰后甲不可能速度大于乙，即甲不可能在乙前面，选项C错，D选项，碰后甲的速度大于乙的速度，合动量水平向左，不符合动量守恒定律选项D错误。

2．（2021届湖南省衡阳市第八中学高三月考）如图所示，垫球是排球运动中通过手臂的迎击动作，使来球从垫击面上反弹出去的一项击球技术，若某次从垫击面上反弹出去竖直向上运动的排球，之后又落回到原位置，设整个运动过程中排球所受阻力大小不变，则（ ）A ．球从击出到落回的时间内，重力的冲量为零B ．球从击出到落回的时间内，空气阻力的冲量为零C ．球上升阶段阻力的冲量小于下降阶段阻力的冲量D ．若不计阻力，球上升阶段动量的变化等于下降阶段动量的变化 【答案】CD【解析】整个过程中，重力不为零，作用时间不为零，根据G I mgt =，可知，重力冲量不为零，故A 错误； 由于整个过程中，阻力都做负功，所以上升阶段的平均速度大于下降阶段的平均速度，即上升过程所用时间比下降过程所用时间少，根据f I ft =可知上升阶段阻力冲量小于下降阶段阻力冲量，整个过程中阻力冲量不为零，故B 错误，C 正确；若不计空气阻力，并规定向上为正方向，设初速度为0v ，上升阶段，初速度为0v ，末速度为零，动量变化量为1000p mv mv ∆=-=-，下降阶段，初速度为零，末速度为0v -，动量变化量为2000p mv mv -∆=-=-，两者相等，故D 正确。

广东省六校联盟2021届高三数学上学期第一次联考试题 理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设()()24f x x x x R =-∈，则()0f x >的一个必要而不充分的条件是（ ）A. 0x <B. 04x x <<或C. 11x ->D.23x ->【答案】C 【解析】由()0f x >可得0x <或4x > ，所以，0x <是()0f x >的充分不必要条件；0x <或4x >是()0f x >的充要条件；由11x -> 得0x <或2x >，所以11x ->是()0f x >的一个必要而不充分的条件，由23x ->得，1x <-或5x >， 所以23x ->是()0f x >充分不必要条件，故选C.【方法点睛】本题通过不等式的解集主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题. 2.设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（ ）A. 1D. 2【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，1(1)(1)1(1)(1)i i i z i i i i ---===++-，所以1z =，故选A. 考点：复数的运算与复数的模.3.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（ ）A. 42130r r r r <<<<B. 24130r r r r <<<<C. 24310r r r r <<<<D. 42310r r r r <<<< 【答案】C 【解析】 【分析】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，进而可得出结果.【详解】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：(1)(3)为正相关，(2)(4)为负相关；故1300r r >>，；2400r r <<，； 又(1)与(2)中散点图更接近于一条直线，故13r r >，24r r <， 因此，24310r r r r <<<<. 故选C【点睛】本题主要考查相关系数，根据散点图的特征进行判断即可，属于基础题型. 4.已知函数2()2cos f x x x =+，若'()f x 是()f x 的导函数，则函数'()f x 的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】试题分析：函数2()2cos f x x x =+，则其导函数为.因为，即导函数为奇函数，，即在实数范围内恒有，所以在实数范围内恒为增函数，观察图像，只有选项A 满足条件，故正确选项为A. 考点：导函数以及函数的图象.【方法点睛】本题主要考察函数的性质与图像的关系，首先要求得函数的解析式，再求函数的基本性质，包括奇偶性，单调性，函数值的（正负），以及一些特殊的点，通过这些条件结合选项，进行排除，对于较复杂的函数，经常利用导函数的性质来判断函数的单调性，本题中整式利用导函数求得函数在原点附近的单调性.5.已知函数32()4f x x ax =-+-在2x =处取得极值，若[1,1]m ∈-，则()f m 的最小值为（ ） A. 4- B. 2- C. 0 D. 2【答案】A 【解析】 【分析】令导函数当2x =时为0，列出方程求出a 值，利用导数求出()f m 的极值，判断极小值且为最小值． 【详解】解：2()32f x x ax '=-+，函数32()4f x x ax =-+-在2x =处取得极值，1240a ∴-+=，解得3a =，2()36f x x x '∴=-+，∴当[1,1]m ∈-时，32()34f m m m =-+-，2()36f m m m '=-+，令()0f m '=得0,2m m ==（舍去）， 由于10,()0,()m f m f m '-≤<<递减，01,()0,()m f m f m '<≤>递增．所以0m =时，()f m 取极小值，也为最小值，且为−4． 故答案为：−4． 故选：A.【点睛】本题考查了利用导数求单调区间和极值，以及求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[,]a b 上的最大值与最小值是通过比较函数在(,)a b 内所有极值与端点函数(),()f a f b 比较而得到的，是中档题．6.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中E 为棱BB 1的中点（如图），用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：如图补全过的平面，将上半部分切去，所以左视图如C 选项，故选C.考点：三视图7.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B两点.若AB 的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为（ ）A. 2214536x y +=B. 2213627x y +=C. 2212718x y +=D.221189x y += 【答案】D 【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的斜率 101132k --==- ，2211222222221{1x y a bx y a b +=+= ，两式相减得()()()()1212121222x x x x y y y y ab+-+-+= ，即()()()()121222221212111120022y y y y a b x x x x a b +-+=⇔+⨯⨯=+-- ，即222a b = ，22229,c a b c ==+ ，解得：2218,9a b == ，方程是221189x y +=，故选D.8.函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A. (2,4) B. (],2-∞ C. (],4-∞D. [)4,+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：∵2()cos 2sin 12sin sin f x x a x x a x =+=-+，令sin t x =，由(,)62x ππ∈得1(,1)2t ∈，依题意有2()21g t t at =-++在1(,1)2t ∈是减函数，∴142a ≤，即2a ≤，故选B ．考点：同角三角函数的基本关系式及二次函数的单调性.9.某校高三年级有男生220人，学籍编号为1，2，…，220；女生380人，学籍编号为221，222，…，600.为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10)，再从这10名学生中随机抽取3人进行座谈，则这3人中既有男生又有女生的概率是（ ） A.15B.310C.710D.45【答案】D 【解析】 【分析】解：由题意，得到抽到的10人中，有男生4人，女生6人，再从这10位学生中随机抽取3人座谈，可求出基本事件总数，然后求出3人中既有男生又有女生包含的基本事件个数，进而可求出3人中既有男生又有女生的概率．【详解】解：由题意，得到抽到的10人中，有男生4人，女生6人， 再从这10位学生中随机抽取3人座谈， 基本事件总数310120n C ==，3人中既有男生又有女生包含的基本事件个数333104612042096C C C --=--=，3人中既有男生又有女生的概率9641205m p n ===． 故选：D ．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x 、y 都小于1的正实数对(),x y ；再统计x 、y 两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如统计结果是35m =，那么可以估计π的值约为（ ）A.227B.4715C.5116D.196【答案】D 【解析】 【分析】依题意，x 、y 与1能构成钝角三角形，即221x y +<，即点(),x y 落在图中在第一象限正方形内的阴影区域，代入计算即可． 【详解】解：依题意，x 、y 与1能构成钝角三角形，即2211x y x y ⎧+<⎨+>⎩，即点(),x y 落在图中在第一象限正方形内的阴影区域，所以112042m π=-， 当35m =时，有11203542π=-， 得196π=．故选：D ．【点睛】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是基础题．11.已知数列{}n a 满足1=1a ，*1=2()n n n a a n N +⋅∈，则2019S 等于（ ）A. 201921-B. 1010323⨯-C. 101123-D.1010322⨯-【答案】C 【解析】 【分析】由1=2nn n a a +⋅得：11=2n n n a a --⋅，两式相除，可得数列{}n a 奇数项和偶数项均为等比数列，分奇数项和偶数项讨论，分别求出通项公式，进而可求2019S . 【详解】解：*1=2()n n n a a n N +⋅∈，故1*1=2(2,)n n n a a n n N --⋅≥∈,两式相除得：111222nn n n a a +--==， 故数列{}n a 的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，()(2019132019242018)S a a a a a a ∴=++⋯+++++()()10101009121111a q a q qq--=+--()10091010212121212--=+--101010102122=-+-101123=-故选：C.【点睛】本题考查利用数列的递推式求解数列的性质，重点考查了等比数列前n 公式的运用，考查了分组求和，是中档题.12.已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,3]-上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】把已知函数变形，可得21()(1)1]sin(1)11f x x x x ⎡=---++⎣-，令21()(1)sin(1)sin(1)1g x x x x x =----+-，结合(2)()0g x g x -+=，可得()g x 关于(1,0)中心对称，则()f x 在[1,3]-上关于(1,1)中心对称，从而求得M m +的值．【详解】解：∵221()(2)sin(1)(1)1]sin(1)111x f x x x x x x x x ⎡=--+=---++⎣-- 令21()(1)sin(1)sin(1)1g x x x x x =----+-， 而21(2)(1)sin(1)sin(1)1g x x x x x-=----+-，∴(2)()0g x g x -+=，则()g x 关于(1,0)中心对称，则()f x 在[1,3]-上关于(1,1)中心对称． ∴2M m +=． 故选：B ．【点睛】本题考查函数在闭区间上的最值，考查函数奇偶性性质的应用，考查数学转化思想方法，属中档题． 二、填空题： 13.1||-1x e dx ⎰值为______．【答案】22e -. 【解析】 【分析】由||x y e =是偶函数可得11||-12x x e dx e dx =⎰⎰，再用微积分基本定理求定积分即可.【详解】解：因为||x y e =是偶函数，11||1100-122|2()2(1)x x x e dx e dx e e e e ∴===-=-⎰⎰， 故答案为：22e -【点睛】本题考查定积分的计算，关键是利用被积函数是偶函数来解决问题，是基础题. 14.已知{}n a 、{}n b 都是等差数列，若110+=9a b ，38+=15a b ，则56+=a b ______． 【答案】21. 【解析】 【分析】由等差数列的性质可知()15610382a a b b a b +++=+，代入即可求解 【详解】解：∵{}n a 、{}n b 都是等差数列， 若110+=9a b ，38+=15a b ，又∵()1561038230a a b b a b +=+=++，()561103030921a b a b ∴+=-+=-=，故答案为：21.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题15.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221y x -=相交于,A B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝ .【答案】【解析】试题分析:抛物线的准线方程为2px =-,设,A B 两点的纵坐标为,A B y y ,由双曲线方程可知22214ABp y y ==+,焦点到准线的距离为p .由等边三角形的特征可知AB p =,即p =,可得p =故答案应填考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.双曲线的标准方程与几何性质.【思路点晴】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质,双曲性的标准方程与几何性质.本题的关键是找出关于p 的方程.将抛物线的准线与双曲线结合,又转化为直线与双曲线的位置关系的问题. (对于直线与双曲线(圆锥曲线)的位置关系.常用到设而不求的数学思想方法,即假设直线与双曲线(圆锥曲线)的交点坐标,利用韦达定理,弦长公式来构造等式).再运用数形结合,利用等边三角形的牲征得出关于p 的方程.16.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年）一书中，用如图A 所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士•帕斯卡的著作（1655年)介绍了这个三角形，近年来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”() Chinese triangle ，如图A .17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”，如图B .在杨辉三角中，相邻两行满足关系式：111r r r n n n C C C ++++=，其 中n 是行数，r N ∈.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是__________．【答案】111112121111r r r n n n n n n C C C C C C ++++++=+ 【解析】分析：这是一个考查类比推理的题目，解题的关键是仔细观察图中给出的莱布尼茨三角形，并从三解数阵中，找出行与行之间数的关系，探究规律并其表示出来．详解：类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数111n C +，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子111r r r n n n C C C ++++=，有111112121111r r r n n n n n n C C C C C C ++++++=+． 故答案为111112121111r r r n n n n n n C C C C C C ++++++=+． 点睛：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ． (1)求角B 的大小；(2)若ba ＋c 的范围． 【答案】（1）23π（2）2]． 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cos B 的值，即可确定出B 的度数；（2）由b 及cos B 的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出a +c 的最大值，最后利用三角形两边之和大于第三边求出a +c 的范围即可． 【详解】(1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ． ∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0，∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0．即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A ． ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12．∵0＜B ＜π，∴B ＝23π．(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2-22a c +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝34 (a ＋c )2，当且仅当a＝c时取等号．∴(a＋c)2≤4，故a＋c≤2．又a＋c>b，∴a＋c，2]．即a＋c的取值范围是2]．【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．18.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择；方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率为45.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束.若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，获得奖金1000元；若未中奖，则所获奖金为0元.方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获奖金400元.（1）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列；（2）某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，试比较哪个方案更划算？【答案】（1）详见解析；（2）选甲方案.【解析】试题分析：(1)由题意可知X的取值可以是0,500,1000，结合题意求解相应的概率即可求得分布列；(2)利用(1)中的结论结合题意求解相应的数学期望，选择期望值更大的数值即可确定选择的方案. 试题解析：（1）()141170552525P X==+⨯⨯=，()412500525P X==⨯=，()4148100052525P X==⨯⨯=. 所以某员工选择方案甲进行抽奖所获金X（元）的分布列为：（2）由（1）可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金X的均值()285001000520525E X=⨯+⨯=，若选择方案乙进行抽奖中奖次数2 3, 5Bξ⎛⎫⎪⎝⎭～，则()26355Eξ=⨯=，抽奖所获奖金X的均值()()()400400480E X E E Eξξ===，故选择方案甲较划算.点睛：离散型随机变量的分布列指出了随机变量X的取值范围以及取各值的概率；要理解两种特殊的概率分布——两点分布与超几何分布；并善于灵活运用两性质：一是p i≥0(i＝1,2，…)；二是p1＋p2＋…＋p n＝1检验分布列的正误．19.如下图，在四棱锥P ABCD-中，PD⊥面ABCD，//AB DC，AB AD⊥，6DC=，8AD =，10BC=，45PAD∠=，E为PA的中点．（1）求证：//DE面PBC；（2）线段AB上是否存在一点F，满足CF DB⊥？若存在，试求出二面角F PC D--的余弦值；若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在点F，满足CF DB⊥,二面角F PC D--的余弦值为817．【解析】【详解】试题分析：（1）要证//DE平面PBC，只要在平面PBC内找到一条直线与DE平行即可，取PB的中点M,构造平行四边形CDAN即可证明；（2）以,,DA DC DP分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz-，写出点,,,A B C D的坐标，假设AB上存在一点F使CF BD⊥，利用空间向量知识可得到在AB上存在点F满足条件，平面DPC的一个法向量为(1,0,0)DA=，再求出平面FPC的法向量，即可求二面角F PC D--的余弦值．试题解析：（1）取PB的中点M，连EM和CM，过C点作CN AB⊥，垂足为N∵CN AB⊥，DA AB⊥，∴//CN DA，又//AB CD∴四边形CDAN为平行四边形，∴8,6CN AD DC AN ====，在直角三角形BNC 中，22221086BN BC CN =-=-=∴12AB =，而,E M 分别为,PA PB 的中点， ∴//EM AB 且6EM =，又//DC AB∴//EM CD 且EM CD =，四边形CDEM 为平行四边形， ∴//DE CMCM ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ，∴//DE 平面PBC ．（2）由题意可得，,,DA DC DP 两两互相垂直，如图，以,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则，假设AB 上存在一点F 使CF BD ⊥，设F 坐标为，则，由(1,0,0)DA =，得，又平面DPC 的一个法向量为(1,0,0)DA = 设平面FPC 的法向量为(8,12,9)n =又，，由，得，即不妨设，有则又由法向量方向知，该二面角为锐二面角， 故二面角F PC D --的余弦值为．考点：1.直线与平面平行的判定与性质；2.空间向量的应用． 20.已知动圆P 经过点()1,0N ，并且与圆()22:116.M x y ++=相切.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设(),0G m 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A,B 两点，当k 为何值时？ 22||||GA GB ω=+ 是与m 无关的定值，并求出该值定值.【答案】（1）22143x y +=（2）7.【解析】 【分析】（1）由题意可得点P 的轨迹C 是以M 、N 为焦点的椭圆，求出半长轴及半焦距的长度，再由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），G （m ，0）（﹣2＜m ＜2），直线l ：y ＝k （x ﹣m ），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A ，B 的横坐标与纵坐标的和与积，再由ω＝|GA |2+|GB |2是与m 无关的定值求得k ，进一步得到该定值． 【详解】解：（1）由题设得：|PM |+|PN |＝4， ∴点P 的轨迹C 是以M 、N 为焦点的椭圆， ∵2a ＝4，2c ＝2，∴223b a c =-=∴椭圆方程为22143x y +=；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），G （m ，0）（﹣2＜m ＜2），直线l ：y ＝k （x ﹣m ），由()22143y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得（3+4k 2）x 2﹣8k 2mx +4k 2m 2﹣12＝0，22212122284124343mk k m x x x x k k -+=⋅=++，， ∴()()()12121226243mky y k x m k x m k x x km k +=-+-=+-=+．()()()()22222221212121223443k m y y k x m x m k x x k m x x k m k -⋅=--=-++=+．∴()22222222211221212121212||()()()222()2GA GB x m y x m y x x x x m x x m y y y y +=-++-+=+--++++-()()()()222222643243143m k k k k--++=++．∵ω＝|GA |2+|GB |2的值与m 无关，∴4k 2﹣3＝0，解得2k =±．此时ω＝|GA |2+|GB |2＝7． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法与待定系数法，是中档题．21.设函数2()ln (1)f x ax x b x =+-，曲线()y f x =过点2(,1)e e e -+，且在点(1,0)处的切线方程为0y =. （1）求,a b值；（2）证明：当1x ≥时，2()(1)f x x ≥-；（3）若当1x ≥时，2()(1)f x m x ≥-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1,1a b ==-；（2）详见解析；（3）32m ≤.【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义得()10f '=，再结合()21f e e e =-+ 联立方程组，解得,a b 的值；（2）即证明差函数()22ln g x x x x x =+-的最小值非负，先求差函数的导数，为研究导函数符号，需对导函数再次求导，得导函数最小值为零，因此差函数单调递增，也即差函数最小值为()10g =，（3）令函数()()22ln 11h x x x x m x =---+，因为()10h =，所以()min 0h x =.先求差函数导数，再求导函数的导数得()2ln 32h x x m '+'=- ，所以分33,22m m ≤>进行讨论：当32m ≤时，()()()()()01010h x h x h h x h ≥⇒≥⇒'=≥''='满足题意；当32m >时，能找到一个减区间，使得()()10h x h <=不满足题意.【详解】（1）由题意可知，()()2ln 1f x ax x b x =+-定义域为()0,,,x x o >∈∞即()2ln ,(0)f x ax x ax b x =++>'，()10f a b ='+=，()()()222111f e ae b e a e e e e =+-=-+=-+1,1a b ∴==-．（2）()2ln 1f x x x x =-+，设()22ln g x x x x x =+-，()1x ≥，()2ln 1g x x x x =-+'由()()'2ln 10g x x +'=>，()g x '在[)1,+∞上单调递增，∴()()10g x g ''≥=，()g x 在[)1,+∞上单调递增，()()10g x g ≥=．∴()()21f x x ≥-．（3）设()()22ln 11h x x x x m x =---+,()1x ≥，()()2ln 211h x x x x m x =+---'，由（2）中知()()22ln 111x x x x x x ≥-+-=-，ln 1x x x ≥-，∴()()()()()3121321h x x m x m x ≥---=--'， 当320m -≥即32m ≤时，()0h x '≥， 所以()h x 在[)1,+∞单调递增，()()10h x h ∴≥=，成立．②当320m -<即32m >时，()()()2ln 121h x x x m x +-'=- ()'()2ln 32h x x m +'=-，令()()'0h x '=，得2321m x e-=>，当[]01,x x ∈时，()h x '单调递减，则()()1h x h '<'，所以()h x 在[)01,x 上单调递减，所以()()10h x h <=，不成立． 综上，32m ≤． 【点睛】本题主要考查了导数的综合应用问题，利用导数研究函数的单调性从而得到函数的最值即可证明不等式，对于恒成立问题，一般采用变量分离的方式将参数与函数的最值比较，属于难题.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4―4：坐标系与参数方程] 22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:{sin ,x t C y t αα==（t 为参数,且0t ≠）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB 最大值. 【答案】（Ⅰ）()30,0,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）4. 【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,{0,x y y x y +-=+-=解得0,{0,x y ==或{3,2x y ==所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3()22． （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为．所以2sin 23AB αα=-4()3sin πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．[选修4―5：不等式选讲]23.已知函数()2|1||2|f x x x =++-的最小值为m . （1）求m 的值； （2）若a 、b 、c 均正实数，且满足a b c m ++=，求证：2223b c a a b c++≥.【答案】（1）3； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）讨论x 的取值，去掉函数()f x 的绝对值，求出()f x 的最小值m ；（2）根据3a b c m ++==，利用基本不等式求出222()b c a a b c a b c+++++的最小值，即可证明结论成立．【详解】（1）当1x <-时，()2(1)(2)3(3,)f x x x x =-+--=-∈+∞； 当12x -<时，()2(1)(2)4[3,6)f x x x x =+--=+∈； 当2x 时，()2(1)(2)3[6,)f x x x x =++-=∈+∞． 综上，()f x 的最小值3m =.（2）证明：因为a 、b 、c 均为正实数，且满足3a b c ++=， 所以222222()b c a b c a a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 21 - 22(2()b a a b c a ⋅=++， 当且仅当1a b c ===时，取“＝”，所以222b c a a b c a b c ++++，即2223b c a a b c++ 【点睛】本题考查了求含绝对值函数的最小值问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目，难度较大．。

2021届六校第一次联考数学试题参考答案及评分标准1-8DCABAAAD 9,ACD 10,ABC 11,AC 12,BC13,214,1e-15,1616,(1).4π（2分）(2).αβ<（3分）17.解：（1）'()2cos (2cos )f x x x x x x =+=+…………1分因为曲线()y f x =在点(,())a f a 处的切线为y b=所以'()0()f a f a b =⎧⎨=⎩，即22cos 0sin cos a a a a a a a b+=⎧⎨++=⎩，…………3分解得01a b =⎧⎨=⎩…………5分（2）因为2cos 0x +>…………6分所以当0x >时'()0f x >，()f x 单调递增当0x <时'()0f x <，()f x 单调递减…………8分所以当0x =时，()f x 取得最小值(0)1f =，所以b 的取值范围是(1,)+∞…………10分18.解：由题意得f(−x)=f(x)，即ln (e −2x +1)−ax =ln (e 2x +1)+ax ，解得a =−1．…………3分，x x ee y 1+= 在(0,+∞)上是增函数，∴f(x)在(0,+∞)上是增函数（用求导法判断单调性也行）…………6分（2）∵f(x)是偶函数，∴f(x +2)<f(2x −3)等价于|x +2|<|2x −3|，…………8分即(x +2)2<(2x −3)2，…………10分解得．∴原不等式的解集…………12分19.解：（1）472.33612580012001200800)700300500500(200022≈=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=K …………3分因为3.472＞2.706，所以有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联…………5分（2）由题意知，从有家长督促的800名学生中按分层抽样法抽出8人，其中成绩上升的有5人，成绩没有上升的有3人，再从这8人中随机抽取3人，随机变量X 所有可能取的值为-3.-1，1，3…………6分则561)3(383305==-=C C C X P （7分）5615)1(382315==-=C C C X P （8分）2815)1(381325===C C C X P （9分）285)3(380335===C C C X P （10分）所以X 的分布列为X -3-113P56156152815285所以435610356301561515613=⨯+⨯+⨯-⨯-=EX …………12分20.（1）证明：根据题意，在AOC ∆中，2==a AC ，2==CO AO ，所以222AC AO CO =+，所以CO AO ⊥.……………………………2分因为AC BD 、是正方形ABCD 的对角线，所以AO BD ⊥．……………………………………………………4分因为BD CO O = ，所以AO BCD ⊥平面.…………………5分（2）解：由（1）知，CO OD ⊥，如图，以O 为原点，OC ，OD 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系O xyz -，………………………………6分则有()0,0,0O ，()0,2,0D ，()2,0,0C，()0,2,0B -．设()00,0,A x z ()00x <，则()00,0,OA x z =，()OD =．…………………7分又设面ABD 的法向量为()111,,x y z =n ，则0,0.OA OD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n即010110,0.x x z z +=⎧⎪=所以10y =，令10x z =，则10z x =-．所以()00,0,z x =-n ．………………………8分因为平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)=m ，且二面角A BD C --的大小为120，所以1cos ,cos1202==m n ，得20203x z =．因为2=OA ，所以22020=+z x ．解得26,2200=-=z x ．所以26,0,22A ⎛- ⎝⎭．………………………9分设平面ABC的法向量为()222,,x y z =l ，因为)26,22BA BC ⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭，则0,0.BA BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ l l，即22222260,220.x z ⎧-++=⎪⎨+=令21x =，则3,122=-=z y ．所以(1,=-l ．…………………………………………………10分设二面角A BC D --的平面角为θ，所以15cos cos ,5θ===l m ．……………………………11分所以510sin =θ，所以二面角A BC D --的正弦值为510．…………12分21.解：（1）依题意有222221,2,331,4c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩………………………………3分故椭圆C 的方程为22143x y +=．………………………………………………………5分（2）设()1122(,),,A x y B x y ，设1F AB ∆的内切圆半径为r ，1F AB ∆的周长为121248AF AF BF BF a +++==，所以11442F AB S a r r ∆=⨯⋅=．根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，………………6分由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690m y my ++-=………………………………………7分()22(6)36340m m ∆=++>，m R ∈，由韦达定理得12122269,3434m y y y y m m --+==++，……………………………………8分112121221234F ABm S F F y y y y m ∆∴=-=-==+，………10分令t =，则1t ≥，121241313F AB t S t t t∆∴==++．令1()3f t t t =+，则当1t ≥时，21'()103f t t =->，()f t 单调递增，4()(1)3f t f ∴≥=，13F AB S ∆≤，……………………………………………………11分即当1,0t m ==时，1F AB S ∆的最大值为3，此时max 34r =．故当直线l 的方程为1x =时，1F AB ∆内切圆半径的最大值为34．………………12分22、解：（1）()f x 的定义域为R ，()1'x x f x e -=，当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，所以()f x 在()+∞,1单调递增.…………2分则()gx 在()+∞,1单调递增，即()'ln 0g x x ax =-≥在()+∞,1恒成立，即ln xax≤在()+∞,1恒成立，…………3分令()ln x p x x=，()1,x ∈+∞；()21ln 'x p x x-=，所以当()1,x e ∈时，()'0p x >；当(),x e ∈+∞时，()'0p x <，所以()p x 在()1,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，又()1,x ∈+∞时，()0p x >，所以()10,p x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，…………4分∴0a ≤.…………5分（2）()'ln g x x ax =-，(]0,x e ∈，()1''g x a x=-，∵0x e <≤，10a e ≤<，∴()1''0g x a x=->，∴()'g x 在(]0,e 单调递增，又()'10g a =-≤，()'10g e ae =->，∴存在唯一的[)01,x e ∈，使得()0'0g x =，…………7分即00ln 0x ax -=，即0ln x a x =，当()00,x x ∈时，()'0g x <，()g x 单调递减，当()0,x x e ∈时，()'0g x >，()g x 单调递增，∴()()200000000min ln ln 22x gx x a g x x x x x x ==--=-，…………9分令()ln 2x x qx x =-，[)1,x e ∈，则()ln 1'02x q x -=<恒成立，则()ln 2x xqx x =-在[)1,e 上单调递减，…………10分∴()()()1qe q x q <≤即()12e q x -<≤-即()min 0()12g x g x e -<=≤-，∴()12eh a -<≤-.即()h a 值域为⎥⎦⎤⎝⎛--1.2e …………12分。

2021届广东六校联盟第一次联考试题数学（理科）（总分值150分） 考试时刻：120分钟一．选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.设集合M ＝{x|x2－3x －4<0}，N ＝{x|0≤x ≤5}，那么M∩N＝( ) A ．(0，4] B ．[0，4) C ．[－1，0) D ．(－1，0]2．设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，那么 z i ＋i ·z －＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i3. 已知实数x y ，知足1218y y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤，那么目标函数z x y =-的最小值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. -24. 假设双曲线221x ky +=的离心率是2，那么实数k 的值是 ( ) A.3 B. 13 C. 3- D. 13-5. 已知平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，假设()()2,4,1,3,AB AC AD BD ==⋅=则( )A. 8-B. 6-C.6D.86. 已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下：由此所得回归方程为7.5y x a =+，假设6月份广告投入10（万元）估量所获利润为（ ） A ．95.25万元 B ．96.5万元 C ．97万元D ．97.25万元AB C D7．如图：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 别离是棱11,A B CD的中点，点M 是EF 的动点，FM x =，过点M 、直线AB 的平面将正方体分 成上下两部份，记下面那部份的体积为()V x ，那么函数()V x 的大致图像是（ ）8．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：关于函数φ(x)，存在一个正数M ，使得函数φ(x)的值域包括于区间[－M ，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x 时，φ1(x)∈A ，φ2(x)∈B.现有如下命题：①设函数f(x)的概念域为D ，那么“f(x)∈A”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f(a)＝b”； ②函数f(x)∈B 的充要条件是f(x)有最大值和最小值；③假设函数f(x)，g(x)的概念域相同，且f(x)∈A ，g(x)∈B ，那么f(x)＋g(x)∉B ； ④假设函数f(x)＝aln(x ＋2)＋xx2＋1(x>－2，a ∈R)有最大值，那么f(x)∈B ；⑤假设函数f(x))ln(2a x +=A ∈，那么0>a . 其中的真命题有（ ）A ．①③④⑤B ．②③④⑤C ．①③⑤D ．①③④ 二 填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分） (一)必做题(9～13题)9. 假设不等式4|1||4|x x a a +--≥+，对任意的x R ∈恒成立，那么实数a 的取值范围是_ _.10. 已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ax 的图象在x ＝1处的切线与直线x ＋2y －1＝0平行，那么实数a 的值为___． 11. 已知数组（12345,,,,a a a a a ）是1，2，3，4，5五个数的一个排列，如数组（1，4，3，5，2）是符合题意的一个排列。

绝密★启用前2021届广东省六校联盟高三上学期第一次联考数学理试题本试卷共5页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设2()4()f x x x x R =-∈，则()0f x >的一个必要不充分条件是( )A ．0x <B ．0x <或4x >C ．|1|1x ->D ．|2|3x ->2．设复数z 满足11z i z +=-，则||z 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．23．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A.24310r r r r <<<<B.42130r r r r <<<<C.42310r r r r <<<<D.24130r r r r <<<<4．已知函数2()2cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是( )5．已知函数32()4f x x ax =-+-在2x =处取得极值，若[1,1]m ∈-，则()f m 的最小值为( )A ．4-B ．2-C ．0D ．26．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点A 、E 、1C 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为( )7．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为( )A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y += 8．若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．()24，B ．(],2-∞C ．(],4-∞D ．[)4+∞，9．某校高三年级有男生220人，学籍编号为1,2，…，220；女生380人，学籍编号为221,222，…，600.为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10)，再从这10名学生中随机抽取3人进行座谈，则这3人中既有男生又有女生的概率是( )A ．15B ．310C ．710D ．4510．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x 、y都小于1的正实数对(,)x y ；再统计x 、y 两数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如统计结果是35m =，那么可以估计π的值约为（ ）A ．227B ．4715C ．5116D ．19611．已知数列}{n a 满足1=1a ，*1=2()n n n a a n N +⋅∈，则2019S 等于( )A ．201921-B ．1010323⨯-C ．101123-D ．1010322⨯-12．已知函数2()(2)sin(1)1x f x x x x x =--+-在[1,3]-上的最大值为M ，最小值为m ， 则M m +＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．1||-1x e dx ⎰值为 ．14．已知}{n a 、{}n b 都是等差数列，若110+=9a b ，38+=15a b ，则56+=a b ．15．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221y x -=相交于A ，B 两点， 若ABF ∆为等边三角形，则p ＝ ．16．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士⋅帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：111r r r n n n C C C ++++=，其中n 是行数，r N ∈.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是 ．图1图2三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，向量m ＝(cos ,cos )B C ， n ＝(2,)a c b +，且m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若3b =，求a c +的取值范围．18．（本小题满分12分）某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为45.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获得奖金400元． (1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，6DC =，8AD =，10BC =，∠PAD ＝45°，E 为PA 的中点．(1)求证：DE ∥平面BPC ；(2)线段AB 上是否存在一点F ，满足CF ⊥DB ？若存在，请求出二面角F PC D --的余弦值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）已知动圆P 经过点(1,0)N ，并且与圆22:(1)16M x y ++=相切．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设(,0)G m 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，当k为何值时，22||||GA GB ω=+是与m 无关的定值，并求出该定值．21．（本小题满分12分）设函数2()ln (1)f x ax x b x =+-，曲线()y f x =过点2(,1)e e e -+，且在点(1,0)处的切线方程为0y =.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当1x ≥时，2()(1)f x x ≥-；(3)若当1x ≥时，2()(1)f x m x ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4 ― 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩ (t 为参数，0t ≠)，其中0απ≤<.在以O 为极点x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C ：ρθ=.(1)求2C 与3C 交点的直角坐标；(2)若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值．23．[选修4 ― 5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数()2|1||2|f x x x =++-的最小值为m .(1)求m 的值；(2)若a 、b 、c 均为正实数，且满足a b c m ++=，求证：2223b c a a b c++≥.。

广东省六校联盟2025届高三下学期联考数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．中，如果，则的形状是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形2．函数()xf x e ax =+（0a <）的图像可以是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,)2πϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．,()36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．2,()3k k k Z πππ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦4．若0,0x y >>，则“222x y xy +=的一个充分不必要条件是 A ．x y = B ．2x y = C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =5．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）A ．5?n ≤B ．6?n ≤C ．7?n ≤D ．8?n ≤6．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y += D ．2214525x y += 8．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为（ ）A 5B 30C 6D 259．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A ．240B ．320C ．180D ．12010．双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一个焦点为(c,0)F （0c >），且双曲线1C 的两条渐近线与圆2C ：222()4c x c y -+=均相切，则双曲线1C 的渐近线方程为（ ）A ．30x y ±=B ．30x y ±=C ．50x y ±=D ．50x y ±=11．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．12．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2. 3. 绝密★启用前 一、选择题2021 届六校联盟第一次联考理科数学试题参考答案1．C 2．A 3．A 4．A 5．A 6．C 7．D 8．B9．D10．D 11．C12．B 二、填空题 13． 2e - 214． 2115． 2116．C 1 Cr1＋ 1 C r ＋1＝1 1 C r 三、解答题n ＋2 n ＋1 C n ＋2 n ＋1 C n ＋1 n17．△ABC 的三内角 A 、B 、C 所对的边分别是 a 、b 、c ，向量 m ＝(cos B ，cos C )， n ＝(2a ＋c ，b )，且 m ⊥n .(1)求角 B 的大小；(2)假设 b ＝ 3，求 a ＋c 的取值范围．解：(1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且 m ⊥n ， ∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，由正弦定理，得 cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0， ∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0， 即 2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－1∵0<B <π，∴B ＝2π…………………………… 6 分(2)由余弦定理，得： b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2⎛a ＋c ⎫2＝3＋c )2，3又 b 2＝3，－ ⎪ ⎝ 2 ⎭ 4(a ∴(a ＋c )2≤4，当且仅当 a ＝c 时取等号． ∴a ＋c ≤2.故 a ＋c 的取值范围是( 3，2]．…………………………… 12 分3518．某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖时机，每次抽奖的中奖率均为4.第一次抽奖，假设未中奖，那么抽奖结束．假设中奖，那么通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：假设抛出硬币， 反面朝上，员工那么获得 500 元奖金，不进行第二次抽奖；假设正面朝上，员工那么须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，假设中奖，那么获得奖金 1 000 元；假设未中奖，那么所获得的奖金为 0 元．2方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为5，每次中奖均可获得奖金 400 元． (1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X (元)的分布列；(2)试比拟某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？ 解：(1)由题意，X 的所有可能取值为 0,500,1 000.那么 P (X ＝0)＝1＋4 11＝ 7，5 P (X ＝500)＝45×2×5 25 1＝2，5×2 5 P (X ＝1 000)＝4 14＝ 8，5×2×5 25∴某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X (元)的分布列为X 0 500 1000 P7 25 2 5 825(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金 X 的期望 E (X )＝500…………………………… 6 分2＋1000× 8＝520，假设选择方案乙进行抽奖，中奖次数 ξ～B ⎛3，2⎫，那么 E (ξ)＝3×5 25 2＝6，⎝ 5⎭×5 5抽奖所获奖金 X 的期望 E (X )＝E (400ξ)＝400E (ξ)＝480，应选择方案甲较划算． …………………………… 12 分 19． 如图，在四棱锥 P —ABCD 中，PD ⊥平面 ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ， DC ＝6，AD ＝8，BC ＝10，∠PAD ＝45°，E 为 PA 的中点．(1)求证：DE ∥平面 BPC ；(2)线段 AB 上是否存在一点 F ，满足 CF ⊥DB ？假设存在，请求出二面角 F —PC —D 的余弦值；假设不存在，请说明理由．(1)证明: 取PB 的中点M，连接EM 和CM，过点C 作CN⊥AB，垂足为点N.在平面ABCD 内，∵CN⊥AB，DA⊥AB，∴CN∥DA，又AB∥CD，∴四边形CDAN 为平行四边形，∴CN＝AD＝8，DC＝AN＝6，在Rt△BNC 中，BN＝BC2－CN2＝102－82＝6，∴AB＝12，而E，M 分别为PA，PB 的中点，∴EM∥AB 且EM＝6，又DC∥AB，∴EM∥CD 且EM＝CD，四边形CDEM 为平行四边形，∴DE∥CM.∵CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，∴DE∥平面BPC. …………………………… 4 分(2)解: 由题意可得DA，DC，DP 两两互相垂直，如图，以D 为原点，DA，DC，DP 所在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz，那么A(8,0,0)，B(8,12,0)，C(0,6,0)，P(0,0,8)．假设AB 上存在一点F 使CF⊥BD，设点F 的坐标为(8，t,0)(0<t<12)，那么→→CF＝(8,t－6,0)，DB＝(8,12,0)，由→→2 CF·DB＝0，得t＝3.又平面DPC 的一个法向量为m＝(1,0,0)，设平面FPC 的法向量为n＝(x，y，z)．又→＝(0,6,－8)，→＝⎛－8，16，0⎫. PC FC ⎝ 3 ⎭ ⎧→⎧6y－8z＝0，⎪n·PC＝0，⎪由⎨→得⎨－8x＋16 ＝0，⎪⎩n·FC＝0，⎪⎩ 3 y417⎨ ⎧z ＝3y ， 即 2 不妨令 y ＝12，那么 n ＝(8,12,9)．⎩x ＝3y ，那么 cos 〈n ，m 〉＝ nm · ＝ 8 ＝ 8.|n||m | 1× 82＋122＋92 17又由图可知，该二面角为锐二面角，故二面角 F —PC —D 的余弦值为 8. …………………………… 12 分20．动圆 P 经过点 N (1,0)，并且与圆 M ：(x ＋1)2＋y 2＝16 相切． (1)求点 P 的轨迹 C 的方程；(2)设 G (m,0)为轨迹 C 内的一个动点，过点 G 且斜率为 k 的直线 l 交轨迹 C 于 A ，B 两点，当 k 为何值时，ω＝|GA |2＋|GB |2 是与 m 无关的定值，并求出该定值． 解：(1)由题设得|PM |＋|PN |＝4>|MN |＝2， ∴点 P 的轨迹 C 是以 M ，N 为焦点的椭圆， ∵2a ＝4,2c ＝2，∴b ＝ a 2－c 2＝ 3，x 2 y 2∴点 P 的轨迹 C 的方程为4 ＋ 3 ＝1.…………………………… 4 分(2)设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，G (m,0)(－2<m <2)， 直线 l ：y ＝k (x －m )，⎧⎪y ＝k (x －m )， 由⎨x 2 y 2⎪⎩ 4 ＋ 3 ＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－12＝0，8mk 24k 2m 2－12x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝ ，4k 2＋34k 2＋3∴y 1＋y 2＝k (x 1－m )＋k (x 2－m )＝k (x 1＋x 2)－2km ＝－ 6mk .4k 2＋3 y 1·y 2＝k 2(x 1－m )(x 2－m )12＝k2x1x2－k2m(x1＋x2)＋k2m23k2(m2－4)＝4k2＋3.∴|GA|2＋|GB|2＝(x1－m)2＋y2＋(x2－m)2＋y2＝(x1＋x2)2－2x1x2－2m(x1＋x2)＋2m2＋(y1＋y2)2－2y1y2－6m2(4k2－3)＋24(3＋4k2)＝(k2＋1)(4k2＋3)2.∵ω＝|GA|2＋|GB|2 的值与m 无关，∴4k2－3＝0，解得k此时ω＝|GA|2＋|GB|2＝7. …………………………… 12 分21．设函数f(x)＝ax2ln x＋b(x－1)，曲线y＝f(x)过点(e，e2－e＋1)，且在点(1,0)处的切线方程为y＝0.(1)求a，b 的值；(2)证明：当x≥1 时，f(x)≥(x－1)2；(3)假设当x≥1 时，f(x)≥m(x－1)2 恒成立，求实数m 的取值范围．(1)解: 由题意可知，f(x)＝ax2ln x＋b(x－1)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2ax ln x＋ax＋b(x>0)，∵f′(1)＝a＋b＝0，f(e)＝a e2＋b(e－1)＝a(e2－e＋1)＝e2－e＋1，∴a＝1，b＝－1. …………………………… 2 分(2)证明：f(x)＝x2ln x－x＋1，f(x)－(x－1)2＝x2ln x＋x－x2，设g(x)＝x2ln x＋x－x2(x≥1)，那么g′(x)＝2x ln x－x＋1.由(g′(x))′＝2ln x＋1>0，得g′(x)在[1，＋∞)上单调递增，3 ∴g ′(x )≥g ′(1)＝0， ∴g (x )在[1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (1)＝0. ∴f (x )≥(x －1)2.…………………………… 7 分(3)解：设 h (x )＝x 2ln x －x －m (x －1)2＋1(x ≥1)， 那么 h ′(x )＝2x ln x ＋x －2m (x －1)－1， 由(2)知 x 2ln x ≥(x －1)2＋x －1＝x (x －1)， ∴x ln x ≥x －1，∴h ′(x )≥3(x －1)－2m (x －1)＝(3－2m )(x －1)．①当 3－2m ≥0，即 m 3，h ′(x )≥0，≤2时 ∴h (x )在[1，＋∞)上单调递增， ∴h (x )≥h (1)＝0 成立．②当 3－2m <0，即 m >2时，h ′(x )＝2x ln x ＋(1－2m )(x －1)， (h ′(x ))′＝2ln x ＋3－2m ，令(h ′(x ))′＝0，得 x ＝ e2m -3 2>1，当 x ∈[1， e2m -3 2)时，h ′(x )单调递减，那么 h ′(x )≤h ′(1)＝0，∴h (x )在[1， e2m -3 2)上单调递减，∴h (x )≤h (1)＝0， 即 h (x )≥0 不成立．综上，m 3…………………………… 12 分≤2.⎨ ⎧⎪x ＝t cos α，22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1：⎨ ⎪⎩y ＝t sin α (t 为参数，t ≠0)，其中 0≤α＜π.在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝2 3cos θ.(1)求 C 2 与 C 3 交点的直角坐标；(2)假设 C 1 与 C 2 相交于点 A ，C 1 与 C 3 相交于点 B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线 C 2 的直角坐标方程为 x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线 C 3 的直角坐标方程为 x 2＋y 2－2 3x ＝0.⎧⎪x 2＋y 2－2y ＝0，联立⎨ ⎪⎩x 2＋y 2－＝0，⎧⎪x ＝0， ⎧x 解得⎨ 或 3⎪⎩y ＝0⎩y ＝2.所以 C 2 与 C 3 交点的直角坐标为(0,0)和，3⎫.…………………………… 5 分2⎭(2)曲线 C 1 的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中 0≤α＜π.因此 A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(2 3cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－2 3cos α|＝4⎪sin ⎛α－π⎫⎪.⎪ ⎝ 3⎭⎪当 α＝5π，|AB |取得最大值，最大值为 4. …………………………… 10 分6 时23．函数 f (x )＝2|x ＋1|＋|x －2|的最小值为 m . (1)求 m 的值；(2)b 2c 2 a 2假设 a 、b 、c 均为正实数，且满足 a ＋b ＋c ＝m ，求证： a ＋ b ＋ c ≥3. 解：(1)当 x ＜－1 时，f (x )＝－2(x ＋1)－(x －2)＝－3x ∈(3，＋∞)； 当－1≤x ＜2 时，f (x )＝2(x ＋1)－(x －2)＝x ＋4∈[3,6)； 当 x ≥2 时，f (x )＝2(x ＋1)＋(x －2)＝3x ∈[6，＋∞)． 综上，f (x )的最小值 m ＝3.…………………………… 5 分(2)证明：因为a、b、c 均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，b2 c2 a2所以a ＋b ＋c ＋(a＋b＋c)⎛b2 ⎫⎛c2 ⎫⎛a2 ⎫＝⎝a ＋a⎭＋⎝b ＋b⎭＋⎝c ＋c⎭≥2⎛b2·a＋c2·b＋a2·c⎫⎝ a b c ⎭＝2(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c＝1 时，取“＝〞，b2 c2 a2所以a ＋b ＋c ≥a＋b＋c，b2 c2 a2即a ＋b ＋c ≥3. …………………………… 10 分。

【校级联考】广东省六校联盟2024-2024学年高二下学期第一次联考高效提分物理试题（强化版）一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题如图，abc是竖直面内的光滑绝缘固定轨道，ab水平，bc是与ab相切于b点且半径为R的圆弧，所在空间有方向平行于ab向右的匀强电场。

在轨道上P点由静止释放一个质量为m、电荷量为q（q>0）的小球，小球飞出轨道后达到的最高点为Q（图中未画出）。

若小球可视为质点，重力加速度大小为g，电场的场强大小，Q与c点的高度差为，则可知（ ）A．Q在c点的正上方B．Pb=RC．从c到Q的过程中，小球的动能不变D．从b到c的过程中，小球对轨道的最大压力为第(2)题如图所示，小球从O点的正上方离地高处的P点以的速度水平抛出，同时在O点右方地面上S点以速度斜向左上方与地面成抛出一小球，两小球恰在O、S连线靠近O的三等分点M的正上方相遇。

若不计空气阻力，则两小球抛出后到相遇过程中所用的时间为（ ）A．1s B．C．2s D．3s第(3)题如图所示，导线A、B通以大小、方向均相同的恒定电流，在A、B连线的垂直平分线上放置一段长为L的直导线C，A、B、C刚好在正三角形的三个顶点上。

现C通以恒定电流，C受到的安培力大小为F。

现将导线A的电流反向，且增大为原来的两倍，则C受到的安培力大小变为（ ）A．F B．C．D．第(4)题许多科学家在物理学发展过程中做出了重要贡献，下列说法正确的是（ ）A．亚里士多德认为重的物体与轻的物体下落得一样快B．伽利略认为物体下落的快慢是由它们的重量决定的C．开普勒通过第谷多年的观测数据最早提出了“日心说”D．卡文迪许通过扭秤实验测出了引力常量第(5)题所谓“火星合日”现象是当火星和地球分别位于太阳两侧与太阳共线干扰无线电时，影响通信的天文现象，因此中国首辆火星车“祝融号”（在火星赤道表面附近做匀速圆周运动）发生短暂“失联”。

2021年广东高三一模数学试卷（六校联盟）-学生用卷第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1、【来源】 2021年广东高三一模（六校联盟）第2~2题已知集合M={x|log2(x−1)≤1}，N={x∈Z|x2>1}，则M⋂N=（）A. (1,3] B. ∅ C. {2,3} D. {1,2,3}2、【来源】 2021年广东高三一模（六校联盟）第6~6题已知z+i 20222+i=−1+i，则|z2−z|=（）A. 5B. √26C. √34D. 63、【来源】 2021年广东高三一模（六校联盟）第17~17题函数f(x)=(2x+2−x)lg⁡|x|的大致图象为（）A.B.C.D.4、【来源】 2021年广东高三一模（六校联盟）第8~8题我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类，《周礼·春宫》中记载，中国古典乐器一般按“八音”分类，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.现从“金、石、土、匏、丝”中任取三音，则三音来自两种不同类型乐器的概率为（）A. 15B. 35C. 34D. 235、【来源】 2021年广东高三一模（六校联盟）第16~16题一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的发展速度各不相同，通常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟阶段变化速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式为f(x)=K1+be−ax(K>0,a>0,b>0)，x∈[0,+∞)，该函数也可以简化为f(x)=K1+a kx+b (K>0,a>1,k<0)的形式.已知f(x)=101+3kx+b(x∈N)描述的是一种果树的高度随着时间x（单位：年）的变化规律，若刚栽种时该果树的高为1m，经过一年，该果树的高为2.5m，则该果树的高度超过8m，至少需要（）A. 4年B. 3年C. 5年D. 2年6、【来源】 2021年广东高三一模（六校联盟）第10~10题已知直线l:x−√3y+1=0与圆C:x2+y2−2x+t=0相交于A，B两点，且|AB|=4√2，则圆E:(x−cos⁡θ)2+(y−sin⁡θ)2=1(θ∈R)与圆C的位置关系是（）A. 外切B. 内切C. 相交D. 内切或内含7、【来源】 2021年广东高三一模（六校联盟）第12~12题已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，E是边CD的中点，连接AE并延长至点F，使得AE= 2EF，若H为线段BC上的动点，则FH→⋅AH→的取值范围为（）A. [−2,−32]B. [−17764,−32]C. [−17764,−2]D. [−2,−12)8、【来源】 2021年广东高三一模（六校联盟）第14~14题已知等比数列{a n}的通项公式为a n=210−n，n∈N∗，记{a n}的前n项和为S n，前n项积为T n，则使得T n>S n成立的n的最大正整数值为（）A. 17B. 18C. 19D. 20二、多选题9、【来源】 2021年广东高三一模（六校联盟）第18~18题2021年1月11日，国家统计局发布2020年全国居民消费价格指数（ CPI）相关数据，指出2020年较好地实现了“居民消费价格涨幅3.5%左右”的物价调控目标.2020年全国居民消费价格涨跌幅如折线图所示，则（）A. 从环比看， CPI由2020年11月份的环比下降0.6%在12月份转为环比上涨0.7%B. 2020年1月份 CPI同比增长最多C. 2020年 CPI环比上涨的月份数比下跌的月份数多D. 2020年全年， CPI平均比2019年上涨约2.5%10、【来源】 2021年广东高三一模（六校联盟）第20~20题已知点P为等轴双曲线x 2m +y2m−3=1上的一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（）A. m=32B. 双曲线的实轴长为3C. 双曲线的焦点到渐近线的距离为√62D. 若∠F1PF2=π2，则△F1PF2的面积为3211、【来源】 2021年广东高三一模（六校联盟）第12题已知函数f(x)=(cos⁡x+sin⁡x)(cos⁡x−|sin⁡x|)，则下列说法正确的是（）A. f(x)在(0,π3)上单调递减B. 直线x=π2为f(x)图象的一条对称轴C. f(x)≥12在(π2,2π)上的解集为[5π6,19π12]∪[23π12,2π) D. 函数f(x)在(0,2π)上的图象与直线y =12的交点的横坐标之和为3π12、【来源】 2021年广东高三一模（六校联盟）第22~22题已知定义在R 上的函数f(x)满足对任意的x ，y ∈R ，f(x +y)=f(x)f(y)，且当x >0时，f(x)>1，则（ ）A. f(0)=1B. 对任意的x ∈R ，f(x)>0C. f(x)是减函数D. 若f (12)=2，且不等式f (xln⁡y−xln⁡x−ay x )≤4恒成立，则a 的最小值是1e 2第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13、【来源】 2021年广东高三一模（六校联盟）第1~1题已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，角β的终边与单位圆x 2+y 2=1交于点(−√32,12)，角α的终边与角β的终边关于y 轴对称，则cos⁡(α−β)= .14、【来源】 2021年广东高三一模（六校联盟）第3~3题已知抛物线E:y 2=4x ，过点M(2,0)的直线l 与E 交于A ，B 两点，与E 的准线交于点C ，且点A 在第一象限，若|CB||AB|=23，则直线l 的斜率为 .15、【来源】 2021年广东高三一模（六校联盟）第7~7题在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2√2的正方形，AA 1=3√2，E ，F 分别为棱AB ，AD 的中点，P 为线段C 1D 上的动点，则直线A 1P 与平面D 1EF 的交点Q 的轨迹长度为 .四、双空题16、【来源】 2021年广东高三一模（六校联盟）第4~4题已知(x+ax4)n的展开式中第四项的系数为120，所有奇数项的二项式系数之和为512，则实数a的值为，展开式中的常数项为．五、解答题17、【来源】 2021年广东高三一模（六校联盟）第9~9题在①b=√3，②sin⁡B+sin⁡C=2sin⁡A，③bc=10这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出△ABC的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由.问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sin⁡(A+B)=csin⁡B+C2，a=3，______？18、【来源】 2021年广东高三一模（六校联盟）第11~11题已知等差数列{a n}满足a2=3，a3+a4=3(a1+3).(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 若等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n+1S n S n+1}的前n项和为T n，求T nn的最大值.19、【来源】 2021年广东高三一模（六校联盟）第13~13题某学校为普及垃圾分类知识，增强学生的垃圾分类意识，在全校范围内举办了垃圾分类知识竞赛.通过选拔，仅有甲、乙两名选手进入决赛.决赛分为必答和抢答两个环节，必答环节规则：先从题库中随机选出5道题让选手作答，选手答对的题目数记为N，如果N=4，则在题库中再选1道题回答，若答对，则进入抢答环节，该轮答题结束；若N=5，则直接进入抢答环节，其他情况下选手均不能进入抢答环节.已知甲、乙两名选手答对每道题目的概率分别为23，13，且两名选手每道题是否答对互不影响.（1）求甲选手进入抢答环节的概率.（2）假设两名选手均进入抢答环节，且在抢答环节中，比赛采用积分制，选手是否抢到试题是等可能的，最后分数高的获得冠军.抢答环节共3道题，每题10分，答对得10分，答错自己不得分，对方得10分（抢到的选手必须作答），记甲同学的得分为X（单位：分），求X的分布列及数学期望.20、【来源】 2021年广东高三一模（六校联盟）第15~15题如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF为矩形，ED=√2，平面BDEF⊥平面ABCD.（1）求证：平面ACE⊥平面ACF；（2）求平面AEF与平面FBC夹角的余弦值.21、【来源】 2021年广东高三一模（六校联盟）第19~19题已知点P(−2,−1)为椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，且C的离心率为√32.（1）求C的标准方程；（2）若M为C上第二象限内一点，点M关于直线x=−2的对称点为N，直线PN与C交于另一点Q，O为坐标原点，求证MQ//OP.22、【来源】 2021年广东高三一模（六校联盟）第5~5题已知函数f(x)=xe x+a(ln⁡x−x)，a∈R．（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；（2）讨论函数f(x)的零点个数．1 、【答案】 C;2 、【答案】 C;3 、【答案】 C;4 、【答案】 B;5 、【答案】 A;6 、【答案】 D;7 、【答案】 B;8 、【答案】 A;9 、【答案】 A;B;D;10 、【答案】 A;C;D;11 、【答案】 A;C;12 、【答案】 A;B;D;13 、【答案】−12;14 、【答案】 2;15 、【答案】2√233;16 、【答案】 1;45;17 、【答案】答案见解析.;18 、【答案】 (1) a n=2n−1；(2) 34.;19 、【答案】（1）256729；（2）答案见解析.;20 、【答案】（1）证明见解析；（2）12.;21 、【答案】（1）x28+y22=1；（2）证明见解析.;22 、【答案】（1）y=1e−1；（2）答案不唯一，见解析.;。

2021届高三专题训练专题二、相互作用力一、选择题1.（广东百师联盟2021届高三一轮复习联考）（多选）“挑山工”被称为“行走的脊梁”，某挑山工肩挑重担稳步匀速上山的照片如图所示，已知其身后的竹筐用四根等长且均匀分布的轻绳系于轻质扁担的一端，若扁担处于水平且前后所挂重物质量均不变。

下列说法正确的是（）A.轻绳越短，每根轻绳的拉力越小B.轻绳越短，每根轻绳的拉力越大C.扁担对人的作用力与系在扁担两端轻绳的间距无关D.扁担对人的作用力随系在扁担两端轻绳间距的减小而减小【答案】BC2.（“皖豫联盟体”2021届高三第一次联考）（多选）如图所示,杆ab、ac 分别固定在水平地面上,其中ab竖直,ac与水平面夹角为 。

两带孔小球P和Q分别穿在两杆上,P 与Q之间用一细线相连,系统静止,细线与ac的夹角为β。

不计一切摩擦,现在把细线缓慢收短一些,P、Q仍处于稳定态,则下列说法正确的是（）A. β总是大于B.细线上张力不变C.Q对杆ac的弹力减小.D.竖直杆对P的弹力增大【答案】AB3.（2021届江西省上饶市横峰中学高三（上）第一次月考）一质量为m的物块恰好静止在倾角为θ的斜面上.现对物块施加一个竖直向下的恒力F，如图所示.则物块( )A. 沿斜面加速下滑B. 仍处于静止状态C. 受到的摩擦力不变D. 受到的合外力增大【答案】B【解析】试题分析：质量为m的物块恰好静止在倾角为θ的斜面上，对其受力分析，可求出动摩擦因数，加力F后，根据共点力平衡条件，可以得到压力与最大静摩擦力同时变大，物体依然平衡．解：由于质量为m 物块恰好静止在倾角为θ的斜面上，说明斜面对物块的摩擦力等于最大静摩擦力，对物体受力分析，如图根据共点力平衡条件，有f=mgsin θN=mgcos θf=μN解得 μ=tan θ 对物块施加一个竖直向下的恒力F ，再次对物体受力分析，如图根据共点力平衡条件，有与斜面垂直方向依然平衡：N=（mg+F ）cos θ因而最大静摩擦力为：f=μN=μ（mg+F ）cos θ=（mg+F ）sin θ，故在斜面平行方向的合力为零，故合力仍然为零，物块仍处于静止状态，A 正确，B 、D的错误，摩擦力由mgsin θ增大到（F+mg ）sin θ，C 错误；故选A ．4.（2021届安徽省六校教育研究会高三(上)第一次素质测试）如图所示，一个轻质环扣与细线l 1、l 2连接（l 1<l 2），两细线另一端分别连接着轻环P 、Q ，P 、Q 分别套在竖直面内倾角相同的固定光滑杆AB 和AC 上。