2010年四川省高考数学试卷(理科)答案与解析

第1/10页2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至4页。

考试结束后，将本草纲目试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无交通工效．．．．．．．．．．．．。

3.第I 卷共12小题，第小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式)(()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 )(()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343v R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生K 次的概率 其中R 表示球的半径 ())((10,1,2,,C ηκηηρκρρκη-A A =-=⋅⋅⋅ 一． 选择题（1）复数3223i i+-= （A ）．i （B ）.-i （C ）.12—13i （D ）.12+13i（2） 记cos （-80°）=k ，那么tan100°=（A ）（B ）. —（C.）（D ）.第2/10页（3）若变量x ，y 满足约束条件则z=x —2y 的最大值为（A ）．4 （B ）3 （C ）2 （D ）1(4) 已知各项均为正数比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=(B) 7 (C) 6(5)35的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6) 某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医类）第Ⅰ卷一、选择题：（1）i 是虚数单位，计算23i i i ++=（A ）－1 （B ）1 （C ）i - （D ）i解:原式11i i =--=-故选A（2）下列四个图像所表示的函数，在点0x =处连续的是（A ） （B ） （C ） （D ）解:由图显然选D（8）已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则lim n n na S →∞= （A ）0 （B ）12（C ） 1 （D ）2 解:由已知可得1{}n s a +是以12a 为首项,2为公比的等比数列,1111112222n n n n n s a a a s a a -∴+=⋅=⇒=-1112n n n n a s s a --∴=-=⋅,11111211lim lim 12222n n n n n n n a a s a a -→∞→∞-===--,故选B（9）椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是解：连接BM 、BN ，则,B M A C B N A D ⊥⊥，由三角形的面积相等，得,AB BC AB BD BM BNAC AD ⋅== ，得到B M R =，222165AM R AN ==，2229cos 210AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅，222162cos 25MN AM AN AM AN MAN =+-⋅∠= 22217cos 225OM ON MN MON OM ON +-∠==⋅，那么M 、N 两点间的球面距离是17arccos 25R （12）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是（A ）2 （B ）4 （C ） （D ）5解：原式22121025()a ac c b a b =+-+-，22()()24b a b a b a b +--≤= （当且仅当b a b =-）∴原式2222222442102525104a ac c a a c ac a a =+-+=+++-≥（当且仅当222425a c a ==）∴选B 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.（13）6(2的展开式中的第四项是 . （17）（本小题满分12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。

第1/10页2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（含答案）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至4页。

考试结束后，将本草纲目试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无交通工效．．．．．．．．．．．．。

3.第I 卷共12小题，第小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式)(()()P A BP A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 )(()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343v R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生K 次的概率 其中R 表示球的半径 ())((10,1,2,,C ηκηηρκρρκη-AA=-=⋅⋅⋅一． 选择题（1）复数3223ii+-=（A ）．i （B ）.-i （C ）.12—13i （D ）.12+13i （2） 记cos （-80°）=k ，那么tan100°=（A ）（B ）. —（C.）（D ）.第2/10页（3）若变量x ，y 满足约束条件则z=x —2y 的最大值为（A ）．4 （B ）3 （C ）2 （D ）1(4) 已知各项均为正数比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=(B) 7(C) 6(5)35的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6) 某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门。

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(课标版) 理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{}2,RA x x x =≤∈，{}4,ZB x =≤∈，则A B =（A ）()0,2 （B ）[]0,2 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2（2）已知复数1z=，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（A ）14（B ）12（C ）1 （D ）2（3）曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线方程为 （A ）21y x =+ （B ）21y x =- （C ）23y x =-- （D ）22y x =--（4）如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0P ，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t的函数图像大致为（5）已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p -∨和4q ：()12p p ∧-中，真命题是（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 （A ）100 （B ）200 （C ）300 （D ）400 （7）如果执行右面的框图，输入5N=，则输出的数等于 （A ）54（B ）45（C ）65 （D ）56（8）设偶函数()f x 满足()()380f x x x =-≥，则(){}20x f x -=＞（A ）{}2x x x ＜-或＞4 （B ）{}0x x x ＜或＞4 （C ）{}0x x x ＜或＞6 （D ）{}2x x x ＜-或＞2（9）若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan 21tan2αα+=-（A ）12-（B ）12（C ）2 （D ）2-（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A ）2a π （B ）273a π （C ）2113a π （D ）25a π （11）已知函数()lg ,010,16,02x x f x x x ⎧≤⎪=⎨-+⎪⎩＜＞1若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是 （A ）()1,10 （B ）()5,6 （C ）()10,12 （D ）()20,24（12）已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(-12,-15),则E 的方程为（A ）22136x y -= （B ） 22145x y -= （C ） 22163x y -= （D ）22154x y -= 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式s =13V Sh=其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积，体积公式V Sh=24S R π=343V R π=其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}2,R A x x x =≤∈，{}4,Z B x =≤∈，则A B = （）（A）()0,2（B）[]0,2（C）{}0,2（D）{}0,1,2【答案】D【解析】{22},{0,1,2,3,4}A B={0,1,2}A x x B =-≤≤=∴⋂，,选D 命题意图：考察集合的基本运算（2）已知复数z =，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）（A）14（B）12（C）1（D）2【答案】A 命题意图：考察复数的四则运算【解析】2323244i iz ===-⨯4z =，14z z ⋅=（3）曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线方程为（）（A）21y x =+（B）21y x =-（C）23y x =--（D）22y x =--【答案】A【解析】''122,|2(2)x y k y x =-=∴==+ ，切线方程为[](1)2(1)y x --=--，即21y x =+.命题意图：考察导数的几何意义（4）如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0P ，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（）【答案】C【解析】当点P 在0P ，即0t =，P 到x。

四川2010年高考数学(理科)试题及参考答案(估分) 总分：150分及格：90分考试时间：120分一、选择题：本大题共12小题，共计60分。

(1)<Ahref="javascript:;"></A>(2)<Ahref="javascript:;"></A>(3)<Ahref="javascript:;"></A>(4)<Ahref="javascript:;"></A>(5)<Ahref="javascript:;"></A>(6)<Ahref="javascript:;"></A>(7)<Ahref="javascript:;"></A>(8)<Ahref="javascript:;"></A>(9)<Ahref="javascript:;"></A>(10)<Ahref="javascript:;"></A>(11)<Ahref="javascript:;"></A><A href="javascript:;"></A>(12)<Ahref="javascript:;"></A>二、填空题：本大题共4小题，共计16分，直接把答案写在横线上。

(1)<Ahref="javascript:;"></A>(2)<Ahref="javascript:;"></A>(3)<Ahref="javascript:;"></A>(4)<Ahref="javascript:;"></A><Ahref="javascript:;"></A>三、解答题：本大题共6小题，共计74分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤(1)<Ahref="javascript:;"></A>(2)<Ahref="javascript:;"></A>(3)<Ahref="javascript:;"></A>(4)<Ahref="javascript:;"></A>(5)<Ahref="javascript:;"></A>(6)<Ahref="javascript:;"></A>答案和解析一、选择题：本大题共12小题，共计60分。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）英语本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1页至11页，第Ⅱ卷12页至14页。

满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题，共100分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.1—65小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

第一部分英语知识运用（共两节，满分50分）第一节语法和词汇知识（共20小题；每小题1分，满分20分）从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

1. —Here’s your change.——A. Thank you.B. Don’t mention it.C. No problemD. With pleasure.2. In most countries, a university degree can give you flying start in life.A. the; aB. the; 不填C.不填; 不填D.不填; a3. —I take the book out?—I'm afraid not.A. WillB. MayC. MustD. Need4. A great number of students said they were forced to practise the piano.A. to questionB. to be questionedC. questionedD. questioning5. Tired, Jim was fast asleep with his back a big tree.A. inB. belowC. besideD. against6. Some people eat with their eyes. They prefer to order what nice.A. looksB. smellsC. feelsD. tastes7. On my desk is a photo that my father took of when I was a baby.A. himB. hisC. meD. mine8．Jenny was looking for a seat when，luckily，a man and left．A．took up B．got up C．shut up D．set up 9．We laugh at jokes，but seldom about how they work．A．we think B．think weC．we do think D．do we think10．After graduating from college，I took some time off to go travelling，turned out to be a wise decision．A．that B．which C．when D．where 11．In many pe ople’s opinion，that company，though relatively small，is pleasant ．A．to deal with B．dealing with C．to be dealt with D．dealt with 12．The school was moved out of downtown as the number of students had growntoo ．A．small B．few C．1arge D．many 13．一I’m sorry．That wasn’t of much help．一Oh，．As a matter of fact，it was most helpful．A．sure it was B．it doesn’t matterC．of course not D．thanks anyway14．How much one enjoys himself travelling depends largely on he goes with，whether his friends or relatives．A．what B．who C．how D．why15．Such poets as Shakespeare widely read，of whose works，however，some difficult to understand．A．are；are B．is；is C．are；is D．is：are16．一When shall we restart our business?一Not until we our plan．A．will finish B．ar e finishingC．are to finish D．have finished17．The lawyer listened with full attention，to miss any point．A．not trying B．trying notC．to try not D．not to try18．You’ve failed to do what you to and I’m afraid the teacher will blame you．A．will expect B．will be expectedC．expected D．were expected19．If you have a job，yourself to it and finally you’ll succeed．A．do devote B．don't devoteC．devoting D．not devoting20．Because of the heavy traffic，it was already time for lunch break she got to her office．A．since B．that C．when D．until第二节完形填空(共20小题；每小题l 5分，满分30分)阅读下面短文，从短文后各题所给的四个选项(A、B、C和D)中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

2010年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•四川）i是虚数单位，计算i+i2+i3=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数i的幂的运算，容易得到答案．【解答】解：由复数性质知：i2=﹣1故i+i2+i3=i+（﹣1）+（﹣i）=﹣1故选A【点评】本题考查复数幂的运算，是基础题．2．（5分）（2010•四川）下列四个图象所表示的函数，在点x=0处连续的是（）A． B．C．D．【考点】函数的连续性．【专题】数形结合．【分析】根据连续的定义，函数f在x=0连续，满足两个条件f不仅在x=0处有极限且有定义，而且等于它的函数值．根据图象可知A函数在x=0无定义，B有间断点即极限不存在，C虽然有极限但是极限不等于f（0），得到正确答案即可．【解答】解：由图象及函数连续的性质知，A中的函数在x=0处无意义，所以不连续；B中的函数x趋于0无极限，所以不连续；C中虽然有极限，但是不等于f（0），所以不连续；只有D满足连续的定义，所以D中的函数在x=0连续．所以D正确．故选D【点评】考查学生掌握连续的定义，会利用数学结合的数学思想解决实际问题．3．（5分）（2010•四川）2log510+log50.25=（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数运算法则可直接得到答案．【解答】解：∵2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2故选C．【点评】本题主要考查对数的运算法则．4．（5分）（2010•四川）函数f（x）=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是（）A．m=﹣2 B．m=2 C．m=﹣1 D．m=1【考点】函数的图象．【专题】计算题．【分析】根据二次函数对称轴定义和互为充要条件的条件去判断即可．【解答】解：函数f（x）=x2+mx+1的对称轴为x=﹣⇔﹣=1⇒m=﹣2．答案：A．【点评】本题考查了互为充要条件的关系和二次函数的对称轴问题．5．（5分）（2010•四川）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则=（）A．8 B．4 C．2 D．1【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】先求出||=4，又因为=||=2=4，可得答案．【解答】解：由=16，得||=4，∵=||=4，而∴=2故选C．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，属基础题．6．（5分）（2010•四川）将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x﹣） C．y=sin（x﹣） D．y=sin（x﹣）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】分析法．【分析】先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2倍时w变为原来的倍进行横向变换．【解答】解：将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y=sin（x ﹣）再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y=sin（x﹣）．故选C．【点评】本题主要考查三角函数的平移变换．平移的原则是左加右减、上加下减．7．（5分）（2010•四川）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（）A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，根据题意列出不等式组，找出目标函数【解答】解：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，则目标函数z=280x+200y结合图象可得：当x=15，y=55时z最大．故选B．【点评】在解决线性规划问题是，我们常寻找边界点，代入验证确定最值8．（5分）（2010•四川）已知数列{a n}的首项a1≠0，其前n项的和为S n，且S n+1=2S n+a1，则=（）A．0 B．C．1 D．2【考点】极限及其运算；等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】由题意知a n+2=2a n+1，再由S2=2S1+a1，即a2+a1=2a1+a1Þa2=2a1，知{a n}是公比为2的等比数列，所以S n=a1+2a1+22a1++2n﹣1a1=（2n﹣1）a1，由此可知答案．【解答】解：由S n+1=2S n+a1，且S n+2=2S n+1+a1作差得a n+2=2a n+1又S2=2S1+a1，即a2+a1=2a1+a1Þa2=2a1故{a n}是公比为2的等比数列S n=a1+2a1+22a1++2n﹣1a1=（2n﹣1）a1则故选B【点评】本题考查数列的极限和性质，解题时要认真审题，仔细解答．9．（5分）（2010•四川）椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，1）D．[，1）【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，根据|PF|的范围求得|FA|的范围，进而求得的范围即离心率e的范围．【解答】解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|=|PF|∈[a﹣c，a+c]于是∈[a﹣c，a+c]即ac﹣c2≤b2≤ac+c2∴又e∈（0，1）故e∈．【点评】本题主要考查椭圆的基本性质．属基础题．10．（5分）（2010•四川）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）A．72 B．96 C．108 D．144【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题．【分析】本题是一个分步计数原理，先选一个偶数字排个位，有3种选法，对于5要求比较多，需要分类，若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数原理，先选一个偶数字排个位，有3种选法，①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，有A32种，然后剩下的两个位置全排列，共有2A32A22=24个；②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，有A22种，然后剩下的两个位置全排列，共3A22A22=12个根据分步计数原理知共计3（24+12）=108个故选C【点评】本题考查分步计数原理，考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个数字问题，这种问题的限制条件比较多，注意做到不重不漏．11．（5分）（2010•四川）半径为R的球O的直径AB垂直于平面α，垂足为B，△BCD是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是（）A．B．C．D．【考点】球面距离及相关计算．【专题】计算题；压轴题．【分析】求解本题需要根据题意求解出题目中的角MON的余弦，再代入求解，即可求出MN的两点距离．【解答】解：由已知，AB=2R，BC=R，故tan∠BAC=cos∠BAC=连接OM，则△OAM为等腰三角形AM=2AOcos∠BAC=，同理AN=，且MN∥CD而AC=R，CD=R故MN：CD=AM：ACMN=，连接OM、ON，有OM=ON=R于是cos∠MON=所以M、N两点间的球面距离是．故选A．【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及学生对球面上的点的距离求解，是中档题．12．（5分）（2010•四川）设a＞b＞c＞0，则的最小值是（）A．2 B．4 C． D．5【考点】基本不等式．【专题】计算题；压轴题．【分析】先把整理成，进而利用均值不等式求得原式的最小值．【解答】解：==≥0+2+2=4当且仅当a﹣5c=0，ab=1，a（a﹣b）=1时等号成立如取a=，b=，c=满足条件．故选B【点评】本题主要考查了基本不等式的应用．主要口考查了运用基本不等式求最值的问题．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2010•四川）的展开式中的第四项是﹣．【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】利用二项式的展开式的通项公式求出第4项．【解答】解：T4=故答案为：﹣【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（4分）（2010•四川）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|= 2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】可以直接求出A、B然后求值；也可以用圆心到直线的距离来求解．【解答】解：圆心为（0，0），半径为2，圆心到直线x﹣2y+5=0的距离为d=，故，得|AB|=2．故答案为：2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的理解能力，是基础题．15．（4分）（2010•四川）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是．【考点】平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；压轴题．【分析】过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D，连接AD，从而∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，在直角三角形ABC中求出此角即可．【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D连接AD，有三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，为60°又由已知，∠ABD=30°连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角设AD=2，则AC=，CD=1AB==4∴sin∠ABC=；故答案为．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．16．（4分）（2010•四川）设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．其中真命题是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】集合的包含关系判断及应用；子集与真子集；复数的基本概念．【专题】计算题；综合题；压轴题；新定义．【分析】由题意直接验证①即可判断正误；令x=y可推出②是正确的；找出反例集合S={0}，即可判断③的错误．S={0}，T={0，1}，推出﹣1不属于T，判断④是错误的．【解答】解：两个复数的和是复数，两个复数的差也是复数，所以集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集，①正确．当S为封闭集时，因为x﹣y∈S，取x=y，得0∈S，②正确对于集合S={0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误取S={0}，T={0，1}，满足S⊆T⊆C，但由于0﹣1=﹣1不属于T，故T不是封闭集，④错误．【点评】本题考查复数的基本概念，集合的子集，集合的包含关系判断及应用，是中档题．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2010•四川）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量及其分布列；随机事件．【专题】计算题．【分析】（1）甲、乙、丙三位同学每人是否中奖相互独立，可利用独立事件的概率求解，甲中奖概率为，乙、丙没有中奖的概率为，相乘即可．（2）中奖人数ξ的所有取值为0，1，2，3，是二项分布．ξ～B（3，）【解答】解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P（A）=P（B）=P（C）=，P（）=P（A）P（）P（）=，答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为．（2）ξ的可能值为0，1，2，3，P（ξ=k）=（k=0，1，2，3）所以中奖人数ξ的分布列为Eξ=0×+1×+2×+3×=．【点评】本题考查相互独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、二项分布及期望等知识．同时考查利用所学知识分析问题解决问题的能力．18．（12分）（2010•四川）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；（Ⅱ）求二面角M﹣BC′﹣B′的大小；（Ⅲ）求三棱锥M﹣OBC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；综合题；转化思想．【分析】（Ⅰ）连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK，证明MO⊥AA′，MO⊥BD′OM是异面直线AA′和BD′都相交，即可证明OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；（Ⅱ）取BB′中点N，连接MN，则MN⊥平面BCC′B′，过点N作NH⊥BC′于H，连接MH，说明∠MHN为二面角M﹣BC′﹣B′的平面角，解三角形求二面角M﹣BC′﹣B′的大小；（Ⅲ）利用V M﹣OBC=V M﹣OA’D’=V O﹣MA’D’，求出S△MA’D’以及O到平面MA′D′距离h，即可求三棱锥M﹣OBC的体积．【解答】解：（Ⅰ）连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK因为M是棱AA′的中点，点O是BD′的中点所以AM所以MO由AA′⊥AK，得MO⊥AA′因为AK⊥BD，AK⊥BB′，所以AK⊥平面BDD′B′所以AK⊥BD′所以MO⊥BD′又因为OM是异面直线AA′和BD′都相交故OM为异面直线AA′和BD′的公垂线（Ⅱ）取BB′中点N，连接MN，则MN⊥平面BCC′B′过点N作NH⊥BC′于H，连接MH则由三垂线定理得BC’⊥MH从而，∠MHN为二面角M﹣BC′﹣B′的平面角MN=1，NH=BNsin45°=在Rt△MNH中，tan∠MHN=故二面角M﹣BC′﹣B′的大小为arctan2（Ⅲ）易知，S△OBC=S△OA’D’，且△OBC和△OA′D′都在平面BCD′A′内点O到平面MA′D′距离h=V M﹣OBC=V M﹣OA’D’=V O﹣MA’D’=S△MA’D’h=【点评】本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力．19．（12分）（2010•四川）（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式Cα+β：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ；②由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC．【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）①建立单位圆，在单位圆中作出角，找出相应的单位圆上的点的坐标，由两点间距离公式建立方程化简整理既得；②由诱导公式cos[﹣（α+β）]=sin（α+β）变形整理可得．（Ⅱ），求出角A的正弦，再由，用cosC=﹣cos（A+B）求解即可．【解答】解：（Ⅰ）①如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与﹣β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角﹣β的始边为OP1，终边交⊙O于P4．则P1（1，0），P2（cosα，sinα）P3（cos（α+β），sin（α+β）），P4（cos（﹣β），sin（﹣β））由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得[cos（α+β）﹣1]2+sin2（α+β）=[cos（﹣β）﹣cosα]2+[sin（﹣β）﹣sinα]2展开并整理得：2﹣2cos（α+β）=2﹣2（cosαcosβ﹣sinαsinβ）∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ．（4分）②由①易得cos（﹣α）=sinα，sin（﹣α）=cosαsin（α+β）=cos[﹣（α+β）]=cos[（﹣α）+（﹣β）]=cos（﹣α）cos（﹣β）﹣sin（﹣α）sin（﹣β）=sinαcosβ+cosαsinβ（6分）（Ⅱ）由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c则S=bcsinA==bccosA=3＞0∴A∈（0，），cosA=3sinA又sin2A+cos2A=1，∴sinA=，cosA=由题意，cosB=，得sinB=∴cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=故cosC=cos[π﹣（A+B）]=﹣cos（A+B）=﹣（12分）【点评】本小题主要考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力．20．（12分）（2010•四川）已知定点A（﹣1，0），F（2，0），定直线l：x=，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l 于点M、N．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】（Ⅰ）设P（x，y），欲求点P的轨迹方程，只须求出x，y之间的关系式即可，结合题中条件：“动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍”利用距离公式即得；（Ⅱ）先分类讨论：①当直线BC与x轴不垂直时；②当直线BC与x轴垂直时，对于第①种情形，设BC的方程为y=k（x﹣2），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合向量垂直的关系利用向量的坐标运算即可求得结论，从而解决问题．对于第②种情形，由于直线方程较简单，直接代入计算即可验证．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则化简得x2﹣=1（y≠0）；（Ⅱ）①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x﹣2）（k≠0）与双曲线x2﹣=1联立消去y得（3﹣k2）x2+4k2x﹣（4k2+3）=0由题意知3﹣k2≠0且△＞0设B（x1，y1），C（x2，y2），则y1y2=k2（x1﹣2）（x2﹣2）=k2[x1x2﹣2（x1+x2）+4]=k2（+4）=因为x1、x2≠﹣1，所以直线AB的方程为y=（x+1）因此M点的坐标为（），同理可得因此==0②当直线BC与x轴垂直时，直线方程为x=2，则B（2，3），C（2，﹣3）AB的方程为y=x+1，因此M点的坐标为（），同理可得因此=0综上=0，即FM⊥F N故以线段MN为直径的圆经过点F．【点评】本小题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．21．（12分）（2010•四川）已知数列{a n}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2a m+n﹣1+2（m﹣n）2（1）求a3，a5；（2）设b n=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{b n}是等差数列；（3）设c n=（a n+1﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】综合题；压轴题；转化思想．【分析】（1）欲求a3，a5只需令m=2，n=1赋值即可．（2）以n+2代替m，然后利用配凑得到b n+1﹣b n，和等差数列的定义即可证明．（3）由（1）（2）两问的结果可以求得c n，利用乘公比错位相减求{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由题意，令m=2，n=1，可得a3=2a2﹣a1+2=6再令m=3，n=1，可得a5=2a3﹣a1+8=20（2）当n∈N*时，由已知（以n+2代替m）可得a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8于是[a2（n+1）+1﹣a2（n+1）﹣1]﹣（a2n+1﹣a2n﹣1）=8即b n+1﹣b n=8所以{b n}是公差为8的等差数列（3）由（1）（2）解答可知{b n}是首项为b1=a3﹣a1=6，公差为8的等差数列则b n=8n﹣2，即a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2另由已知（令m=1）可得a n=﹣（n﹣1）2．那么a n+1﹣a n=﹣2n+1=﹣2n+1=2n于是c n=2nq n﹣1．当q=1时，S n=2+4+6++2n=n（n+1）当q≠1时，S n=2•q0+4•q1+6•q2+…+2n•q n﹣1．两边同乘以q，可得qS n=2•q1+4•q2+6•q3+…+2n•q n．上述两式相减得（1﹣q）S n=2（1+q+q2+…+q n﹣1）﹣2nq n=2•﹣2nq n=2•所以S n=2•综上所述，S n=．【点评】本小题是中档题，主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．同时考查了等差，等比数列的定义，通项公式，和数列求和的方法．22．（14分）（2010•四川）设，a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．（Ⅰ）设关于x的方程求在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；（Ⅱ）当a=e，e为自然对数的底数）时，证明：；（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较||与4的大小，并说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；反函数；函数与方程的综合运用；不等式．【专题】计算题；综合题；压轴题；转化思想．【分析】（Ⅰ）求出g（x），在[2，6]上有实数解，求出t的表达式，利用导数确定t 的范围；（Ⅱ）a=e求出，利用导数推出是增函数，求出最小值，即可证明；（Ⅲ）利用放缩法，求出||的取值范围，最后推出小于4即可．【解答】解：（1）由题意，得a x=＞0故g（x）=，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）由得t=（x﹣1）2（7﹣x），x∈[2，6]则t′=﹣3x2+18x﹣15=﹣3（x﹣1）（x﹣5）列表如下：所以t最小值=5，t最大值=32所以t的取值范围为[5，32]（5分）（Ⅱ）=ln（）=﹣ln令u（z）=﹣lnz2﹣=﹣2lnz+z﹣，z＞0则u′（z）=﹣=（1﹣）2≥0所以u（z）在（0，+∞）上是增函数又因为＞1＞0，所以u（）＞u（1）=0 即ln＞0即（9分）（3）设a=，则p≥1，1＜f（1）=≤3，当n=1时，|f（1）﹣1|=≤2＜4，当n≥2时，设k≥2，k∈N*时，则f（k）=，=1+所以1＜f（k）≤1+，从而n﹣1＜≤n﹣1+=n+1﹣＜n+1，所以n＜＜f（1）+n+1≤n+4，综上所述，总有|﹣n|＜4．【点评】本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力．。

2010年高考数学四川卷理科第12题赏析摘要：2010年高考数学四川卷理科第12题是一道立意较高、能够有效地考查学生思维品质的试题．本文通过运用消元思想、均值不等式、换元法和求导法，给出了本题的九种解答思路，展示了本题多维度的教学价值．关键词：高考数学；思路；赏析2010年高考数学四川卷理科第12题：设a>b>c>0，则2a2++－10ac+25c2的最小值是（）A． 2 B．4 C． 2 D． 5从高考中本题得分率偏低的角度来看，本题是一个难度较高的试题．在高考评卷时，有的阅卷教师惊呼它是一道“错题”，理由是“等号不能成立”．实际上，本题是一道立意较高、能够有效地考查学生思维品质的试题．同时，这也是一道具有方法论价值的试题，在这道题的解答中蕴涵着丰富的数学思想方法，可以从多种维度，运用多种思想方法进行解答．消元的思想方法“消元”本是解方程中常用的思想方法，现在要迁移到不等式问题的解答当中，确有一定的困难，但如果利用不等式证明当中的放缩法，就可以达到消元的目的．根据本题所提供的代数式的特点，比较容易激活学生“长时记忆”中的完全平方公式以及“配方法”，然后利用平方数非负的性质，运用放缩的策略，便可以逐次消去变量a，b，c．思路1：注意到a>b>c>0，则围绕配方有如下变形2a2++－10ac+25c2=a2++（a－5c）2≥a2+=a2+≥a2+=a-2+4≥4．等号成立的条件：a=5c，b=，a=，即a=，b=，c=．均值不等式的运用完成了关于c的消元之后，下面的两种思路是考生容易想到的．思路2：通过添项，配凑出利用均值不等式求最小值的条件：“积一定”．2a2++－10ac+25c2≥a2++=（a2－ab）++ab+≥4．等号成立的条件是：a=5c，a2－ab=，ab=，解之得a=，b=，c=．思路3：注意到ab+a（a－b）=a2，利用调和平均值不等式，有≤=，即+≥，从而有a2++≥a2+≥4．如果将+化简为，则有可能把解题引上“黑道”，得出“等号不能成立”的结论．下面的两种思路就是这样的“黑道”．思路4*：利用配方法与均值不等式有a2++=a2+=a2－ab+b2+（ab－b2）+=a－2++（ab －b2）+≥2．上式中的等号显然是不能成立．思路5*：利用三元均值不等式有a2+=（a2－a）+b+（a－b）+≥a－2－+3≥，此式中的两个等号不能同时成立．对于思路4*，等号不能成立的原因是由于出现了项（显然不能为零），为了消除这样的项，可以做如下的修正：思路4：a2+=a2－4ab+4b2+4（ab－b2）+≥（a－2b）2+4≥4，显然，等号是成立的．?摇?摇关于思路5*，为使两个等号同时成立，需设法找到一个“平衡点”，这可以借助待定系数法来完成．思路5：a2+=（a2－la）+lb+l（a－b）+≥a－2－+3≥3－，等号成立的条件是：a=，lb=l（a－b）=，由可解得l=2，a=，b=．此时，a2+≥3－=4．整合思路1与思路5中的配方，可以得到只需利用配方法就能得到答案的思路．思路6：2a2++－10ac+25c2=（a2－4ab+4b2）+4b（a－b）++（a2－10ac+c2）=（a－2b）2+2－2+（a－5c）2+4≥4．从思路6可以看出，单从“配方”的角度讲，初中的学生也可以解答本题．换元法为了达到“化繁为简”的目的，可采用换元的方法．通过换元可使那些隐含的特征与结构显现出来，为此又有两种方法．思路7：令=t（t>0），则a=b+，从而有a2+=b+2+t=b2+++t≥+t≥4．思路8：令a－b=t（t>0），则a=b+t，这样有a2+=（b+t）2+=（b－t）2+4bt+≥4．逐次求导法前述各种方法均是建立在“消元”与“配方”基础上的，特别是关于变量c的消元，由于受定式思维的影响（学生习惯于将“消元”与方程联系在一起），并且缺乏利用不等式的放缩来进行消元的经验，学生很难想到相应的思路．如果利用学生比较熟悉的“用导数求极值”的方法，则可以降低思维和技巧上的要求．较为棘手的是题目中含有三个变量，但只要依次把其中的一个看成主变量（其他的看成系数），通过求导的方法，逐次求其最小值，便可以较为明确的程序获得答案．思路9：令f（c）=2a2++－10ac+25c2，则f′（c）=－10a+50c，令f′（c）=0，可得函数f（c）的唯一的一个极值点c=，容易判定这是一个极小值点（也是最小值点），从而有f（c）≥f（）=a2++．再令g（b）=a2++，通过求导可得函数g（b）的最小值点为b=，因此，g（b）≥g=a2+．最后另h（a）=a2+，同样通过求导可得函数h（a）的最小值点为a=，这样就有h（a）≥f（）=4．综上所述，f（c）≥g（b）≥h（a）≥4．在上述解答过程中，对三个变量逐次求导的顺序没有特别的要求，如本题中也可以先对变量b求导，再对c求导，最后对a求导．这种逐次求导求最值的方法是一个具有普遍性的方法，它可以较为简单地、程式化地处理那些含有多个变量的最值问题（多元函数的最值问题）．从以上讨论可以看出，作为考题，本题涉及的知识面较广，思路开阔，方法多样，注重了对“通性通法”以及学生的思维品质和能力水平的考查，既可以检验考生对“双基”的理解、熟练水平，也可以考量他们对“基本数学思想与基本数学活动经验”的掌握、运用程度．从教学的角度，通过本题的学习和探讨，可以完善学生的认知结构，修正和优化思维方式，培养他们的创新意识和创新能力．造成本题难度较高的主要原因不在试题自身，而在于教学中运用了不利于学生思维发展的教学方式．对那些以重复记忆的学习方法为主、靠“题型+方法”与“题海战术”训练出来的考生而言，面对本题自然会一筹莫展．因此，本题对消除数学教学中的弊端、促进数学教学改革有较好的导向作用．。

2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式s =13V Sh=其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积，体积公式V Sh=24S R π=343V R π=其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}2,R A x x x =≤∈，{}4,Z B x =≤∈，则A B = （）（A）()0,2（B）[]0,2（C）{}0,2（D）{}0,1,2【答案】D【解析】{22},{0,1,2,3,4}A B={0,1,2}A x x B =-≤≤=∴⋂，,选D 命题意图：考察集合的基本运算（2）已知复数z =，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）（A）14（B）12（C）1（D）2【答案】A 命题意图：考察复数的四则运算【解析】2323244i iz ===-⨯4z =，14z z ⋅=（3）曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线方程为（）（A）21y x =+（B）21y x =-（C）23y x =--（D）22y x =--【答案】A【解析】''122,|2(2)x y k y x =-=∴==+ ，切线方程为[](1)2(1)y x --=--，即21y x =+.命题意图：考察导数的几何意义（4）如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0P ，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（）【答案】C【解析】当点P 在0P ，即0t =，P 到x。

2010 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医类）一、选择题：1.i 是虚数单位，计算 i＋ i 2＋i 3＝（）A.－ 1B.1C. iD. i【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出复数，利用复数代数形式的四则运算求值.【难易程度】容易【参考答案】 A【试题解析】由复数性质知：i 2＝－ 1,故 i ＋ i 2＋ i3＝ i＋ (－ 1)＋ (－ i) ＝－ 1.2.下列四个图像所表示的函数，在点x 0处连续的是A B C D【测量目标】函数图象的判断 .【考查方式】直接根据连续条件判断图象.【难易程度】容易【参考答案】 D【试题解析】由图象及函数连续的性质知，D正确.3． 2log 510＋ log50.25＝( ) ()A.0B.1C. 2D.4 w_w w. k #s5_u.c o*m【测量目标】对数的化简与求值.【考查方式】直接给出两对数，求其和.【难易程度】容易【参考答案】 C【试题解析】 2log 5 10＋ log50.25＝log 5100＋ log 50.25＝log 525＝224．函数 f( x)＝ x ＋ mx＋ 1 的图像关于直线A. m2 B. m2x＝ 1 对称的充要条件是C. m1（）D. m1【测量目标】二次函数的图象与性质，充分、必要条件.【考查方式】直接给出二次函数解析式形式，判断图象关于直线对称的条件.【难易程度】容易【参考答案】 A【试题解析】函数f(x)＝ x 2＋ mx ＋1 的对称轴为 x ＝－m于是－m＝1m ＝－ 222216, AB AC AB AC5.设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外， BC 则AM（ ）A ． 8B.4C. 2D.1 w【测量目标】向量加法、减法的运算，平面向量的数量积 .【考查方式】给出向量的位置关系，借助向量的四则线性求解 .【难易程度】中等【参考答案】 C216，得 BC 4【试题解析】由BCABAC ABACBC ＝4(步骤 1)而 ABACAM故AM 2m(步骤 2)6.将函数 ysin x 的图像上所有的点向右平行移动π个单位长度，再把所得各点的横坐标10伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数解析式是 ()A. ysin(2 x πB. ysin(2 x π)) wsin( 1x10sin( 1x5C. yπ)D. yπ)210220【测量目标】函数 y Asin x的图象及其变换 .【考查方式】已知正弦函数图象，判断它经过变换后的图象的函数解析式 .【难易程度】中等【参考答案】 C【试题解析】 将函数 ysin x 的图像上所有的点向右平行移动π个单位长度，所得函数图10象的解析式为 y ＝ sin(x －π) (步骤 1)10再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数解析式是y sin( 1 xπ) .( 步骤 2) 2 107.某加工厂用某原料由车间加工出A 产品 ,由乙车间加工出B 产品 .甲车间加工一箱原料需耗费工时10 小时可加工出 7 千克 A 产品 ,每千克 A 产品获利40 元.乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品 ,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天共能完成至多 70 多箱原料的加工 ,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过 480 小时 ,甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为()A. 甲车间加工原料 10 箱 ,乙车间加工原料 60 箱 .B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55箱 .C.甲车间加工原料18 箱 ,乙车间加工原料 50箱.D. 甲车间加工原料 40 箱 ,乙车间加工原料 30 箱. 【测量目标】二元线性规划的实际应用.【考查方式】根据题目得出变量约束条件 ,画图求目标函数的最优解 .【难易程度】中等 【参考答案】 B【试题解析】设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱x y , 70则 10x 6 y , 480 （步骤 1）x, y N +目标函数 z ＝ 280x ＋200y第 7 题图结合图象可得：当 x ＝ 15,y ＝ 55 时 z 最大（步骤 2）8.已知数列a n 的首项 a 10 ，其前 n 项的和为 S n ，且 S n 1 2S n a 1 ，则 lima n( )nS nA.0B.1C .1D.22【测量目标】等比数列的前 n 项和、通项，数列的通项公式a n 与前 n 项和 S n 的关系 .【考查方式】 已知数列的前 n 和项与项的关系， 根据等比数列的通项公式和前n 项和公式求解.【难易程度】中等 【参考答案】 B【试题解析】由S2Sa ,且 S2Sa o*mn 1n1n 2n 11作差得 a n ＋ 2＝ 2a n ＋1 （步骤 1）又 S 2＝ 2S 1＋ a 1，即 a 2＋a 1＝ 2a 1＋ a 1 a 2＝ 2a 1w_w w. k s 5_u.c o*m故{ a n } 是公比为 2 的等比数列（步骤2）2 n －1a 1＝ (2 nS n ＝ a 1＋2a 1＋ 2 a 1＋ ⋯⋯ ＋2 － 1)a 1则 lim a nlim2n 1 a 1 1 （步骤 3）S n(2 n1)a 1 2nn9.y 21 a ＞ b ＞ 0的右焦点为F,x轴的交点为 A ．在椭圆上存在点 P椭圆x 2其右准线与a 2b 2满足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是( )， 21C.2 11 ，B. ，D.A. 0221 2【测量目标】椭圆的标准方程、几何性质和垂直平分线的性质.【考查方式】 已知椭圆的标准方程形式、 椭圆中线段间的特殊关系，利用线段关系转化为离心率求解 .【难易程度】中等【参考答案】 D【试题解析】由题意,椭圆上存在点P,使得线段 AP 的垂直平分线过点F即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等而 |FA|＝a 2cb 2cc|PF|∈ [a － c,a ＋ c]（步骤 1）2于是b∈ [a － c,a ＋ c]c即 ac －c 2 , b 2 , ac ＋ c 2 .∴ acc 2 , a 2 c 2 a 2 c 2 , ac c 2c , 1a（步骤 2）c剠 1或 c1a a2又 e ∈ (0,1)故 e ∈ 1,1 （步骤 3）210.由 1、 2、 3、 4、 5、 6 组成没有重复数字且1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 ( ) A.72B.96C.108D.144【测量目标】排列组合及其应用 .【考查方式】根据题目所给条件分类讨论，得出满足条件的六位偶数个数.【参考答案】 C 【难易程度】中等【试题解析】先选一个偶数字排个位，有 3种选法.①若 5 在十位或十万位，则1、3 有两个位置可排， 2 A 32A 22 ＝24 个（步骤 1）②若 5 排在百位、千位或万位，则 1、 3 只有三个位置可排，共 3 A 22A 22 ＝ 12 个（步骤 2）算上个位偶数字的排法，共计3(24＋ 12)＝ 108 个（步骤 3）11.半径为 R 的球 O 的直径 AB 垂直于平面 ,垂足为 B , △ BCD 是平面内边长为 R 的正三角形 ,线段 AC 、 AD 分别与球面交于点 M 、 N , 那么 M 、 N 两点间的球面距离是( )A . R arccos17B . R arccos1825251 π4C.RD.Rπ315第 11 题图【测量目标】余弦定理、三角形中两直线平行的条件.【考查方式】作辅助线求出相关量，借助余弦定理求解 .【难易程度】中等【参考答案】 A【试题解析】由已知,AB ＝ 2R,BC ＝ R,故 tan ∠ BAC ＝122 5 （步骤 1）cos ∠ BAC ＝w5连结 OM ,则 △ OAM 为等腰三角形AM ＝ 2AO cos ∠ BAC ＝4 5R ,同理 AN ＝4 5R ,且 MN ∥CD55而 AC ＝ 5 R,CD ＝ R故 MN :CD AN:ACMN ＝ 4R ,(步骤 2)5连结 OM 、ON,有 OM ＝ON ＝R于是 cos ∠MON ＝OM2ON 2 MN 2 172OM ON25所以 M 、N 两点间的球面距离是R arccos17.（步骤 3）2512.设 abc 0，则 2a 21 1 10 ac 25c2 的最小值是()aba(a b)A.2B.4C. 25D.5【测量目标】基本不等式求最值 .【考查方式】通过添项，化为基本不等式形式求最值.【难易程度】较难【参考答案】 B【试题解析】 2a 21 110ac 25c 2ab a(a b)＝(a 5c) 2 a 2abab11 b)aba( a＝ (a5c) 2 ab1 a(a b)1 b)aba(a⋯ 0＋ 2＋ 2＝ 4（步骤 1）当且仅当 a － 5c ＝ 0,ab ＝ 1,a(a － b)＝1 时等号成立如取 a ＝2 ,b ＝2 ,c ＝ 2满足条件 . （步骤 2）25第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 .把答案填在题中横线上 .13. (21)6 的展开式中的第四项是3x【测量目标】二项式定理 .【考查方式】由二项式展开式，求其中一项.【难易程度】容易【参考答案】－160x【试题解析】 T 4＝ C 36 23 (1 )31603xx14. 直线 x 2y 5 0 与圆x 2y 28 相交于A 、B 两点 则AB.,【测量目标】圆的标准方程、点线间距离公式.【考查方式】直接给出圆和直线的方程，借助直角三角形求两交点距离.【参考答案】 2 3【难易程度】容易【试题解析】圆心为(0,0),半径为 2 2 w_圆心到直线 x 2 y 50 的距离为d＝| 00 5 |5（步骤 1）12( 2)2故 |AB|2得|AB|＝2 3（步骤 2）15.如图 ,二面角l的大小是60 ,线段AB. B l ,AB 与l所成的角为30 .则AB与平面所成的角的正弦值是.第15题图【测量目标】直线与平面所成角、二面角的概念.【考查方式】作辅助线将线面角转化为三角形的内角求解.【难易程度】容易3【参考答案】4【试题解析】过点 A 作平面β的垂线 ,垂足为 C,在β内过 C 作 l 的垂线 .垂足为 D,连结 AD, 有三垂线定理可知 AD ⊥l ,故∠ ADC 为二面角l的平面角为60 （步骤 1）又由已知 ,∠ ABD ＝ 30连结 CB,则∠ ABC 为AB与平面所成的角第15题图设 AD＝ 2,则 AC＝3,CD＝ 1w_w w.#AD＝ 4（步骤 2）AB＝sin 30∴sin ∠ ABC ＝AC3 .（步骤 3）AB416．设 S 为复数集 C 的非空子集 .若对任意 x, y S ,都有 x y,x y,xy S ,则称 S 为封闭集.下列命题：w_w w. k #s5_u.c o*m①集合 S a bi （ a,b 为整数 , i 为虚数单位）为封闭集；②若 S 为封闭集 ,则一定有 0 S ；③封闭集一定是无限集；④若 S 为封闭集 ,则满足 ST C 的任意集合 T 也是封闭集 .其中真命题是（写出所有真命题的序号）【测量目标】集合的含义、集合之间包含的关系、复数代数形式的四则运算 .【考查方式】给出满足封闭集的条件，运用特殊值法直接判断集合是否满足条件 .【难易程度】中等 .【参考答案】①②w_w【试题解析】直接验证可知①正确 .当 S 为封闭集时 ,因为 x － y ∈ S ,取 x ＝ y,得 0∈ S ,②正确对于集合 S ＝ {0}, 显然所有素有条件 ,但 S 是有限集 ,③错误 取 S ＝ {0}, T ＝ {0,1}, 满足S T C ,但由于 0－ 1＝－ 1 T ,故 T 不是封闭集 ,④错误w. k#三三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有 “奖励一瓶 ”或 “谢谢购买 ”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶 ”字样即为中奖，中奖概率为1.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.6 （Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（Ⅱ）求中奖人数的分布列及数学期望 E .【测量目标】相互独立事件的概率，离散型随机变量的分布列、期望，独立重复试验.【考查方式】给出三人中奖的概率（ 1）直接利用相互独立事件的概率公式求解.（ 2）利用独立重复试验概率公式求解，得分布列，再求数学期望.【难易程度】容易 .【试题解析】（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么P( A) P(B) P(C)1 ,6P( A B C) P(A)P( B)P(C)1 5 225( ).6 6216答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是25（步骤 1）216（Ⅱ） 的可能取值为 0， 1，2， 3.P(k )C34 (1)k (5)3 k , k 0,1,2,3. （步骤2）66所以中奖人数的分布列为：0123P 1252551 2167272216E01251 2525311（步骤 3）2167272216 2.18.（本小题满分12 分）w_w w. k #s5 _u.c o*m已知正方体 ABCD － A'B'C'D '的棱长为1，点 M 是棱 AA '的中点，点 O 是对角线 BD'的中点 .（Ⅰ）求证： OM 为异面直线 AA '和 BD '的公垂线；（Ⅱ）求二面角M－ BC'－ B'的大小；（Ⅲ）求三棱锥M－OBC 的体积 .第18题图【测量目标】异面直线，直线与平面垂直，二面角的概念，三棱锥的体积.（空间直角坐标系，空间向量及其运算.）【考查方式】（1）通过作辅助线转化线段位置、通过线面垂直证明线线垂直.(2) 借助作辅助线将二面角转化为三角形内角求解（. 3）利用三棱锥体积的等价求体积.做空间直角坐标系（ 1）写出各点坐标，通过坐标运算证明垂直（2）通过做平面法向量求两面的余弦，再求二面角（3）通过求平面法向量得点面距离，再求三棱锥体积.【难易程度】中等.【试题解析】解法一：第18 题图（Ⅰ）连结AC，取 AC 的中点 K，则 K 为 BD 的中点，连结OK ．因为点 M 是棱AA的中点，点O 是BD的中点，所以 AM 1DD OK ，2所以 MO AK ．（步骤1）由 AA AK ，得 MO AA因为 AK BD，AK BB ，所以 AK平面 BDD B ，（步骤2）所以 AK BD ．所以 MO BD ．（步骤3）又因为 OM 与异面直线AA和BD都相交，故 OM 为异面直线AA和BD的公垂线．（步骤4）（Ⅱ）取 BB 的中点N，连结MN，则 MN平面 BCCB ．过点N作 NH BC 于H，连结 MH ，则由三垂线定理得，BC MH ．从而，MHN 为二面角 M BC B 的平面角．MN 1，NH BN sin 45122．（步骤）2245在 Rt△ MNH 中， tan MHN MN12 2 ．NH24故二面角 M BC B 的大小为arctan2 2（步骤6）（Ⅲ）易知，△DBC △,且△OBC 和△ OA D 都在平面 BCD A 内，点O到平面S S OAD1MA D 的距离 h.21S△MA D 1.（步骤VM OBC VM OA DVO MAD h7）324解法二：以点 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz,则 A(1,0,0) ， B(1,1,0) ， C(0,1,0) ，A1,0,1， C0,1,1， D 0,0,1 ，（步骤1）第18题图（Ⅰ）因为点 M 是棱 AA 的中点 ,点O 是 BD 的中点 ,所以 M (1,0, 1),O(1 , 1, 1,),22 2 2OM( 1,1,0), AA(0,0,1), BD( 1, 1,1)22（步骤 2）1 1OM AA0, OM BD0,2 02所以 OM AA ,OM BD ,又因为 OM 与异面直线 AA 和 BD 都相交故 OM 为异面直线AA 和 BD 的公垂线 . （步骤 3）（Ⅱ）设平面 BMC 的一个法向量为 n 1 ( x, y, z).BM(0, 1,1), BC( 1,0,1), （步骤 4）2n 1 BM0, y 1 z 0,5）即2（步骤n 1 BC0,x z 0.取 z 2, 则 x 2, y 1,从而 n 1 (2,1, 2).取平面 BC B 的一个法向量为 n 2 (0,1,0),cos( n 1 n 2n 1 n 21 1（步骤 6）n 1 n 29 1 .3由图可知 ,二面角 MBCB 的平面角为锐角 .故二面角 MBCB 的大小为 arccos 1.3（Ⅲ）易知， S △OBC1S △CDA1 1 22.（步骤 7）444设平面 OBC 的一个法向量为 n 1( x 1 , y 1 , z 1 ),BD( 1, 1,1), BC ( 1,0,0)n 1 BD 0, 即x 1 y 1 z 1 0,n 2 BC0.x 1 0.（步骤 8）取 z 11,则y 1 1,从而 n 3 (0,1,1).点 M 到平面 OBC 的距离BM n 11 1 d2 . （步骤 9）n2 2 2VM ABC1S △OBC d1 2 2 1 1. （步骤 10）334 22419.（本小题满分 12 分）w_w w. k #s 5 _u.c o*m○证明两角和的余弦公式C : cos() coscossin sin ；（Ⅰ） 1○由 C推导两角和的正弦公式S:sin () sin coscos sin2.（Ⅱ）已知△ ABC 的面积 S1AB AC3 ，且 cosB3 ，求 C .25cos【测量目标】两角和的正、余弦公式，诱导公式，同角三角函数的关系 .【考查方式】（ ○○1）1 建立直角坐标系，根据两点间距离公式证明. 2 借助诱导公式证明 .（2）同角三角函数的转换 ,诱导公式，同角三角函数的基本关系.【难易程度】中等 【试题解析】（Ⅰ）第 19 题图○内作单位圆 O,并作出角, 与,使角 的始边为 Ox,交圆 O 于点1 在直角坐标系 xOy P 1 ,终边交圆 O 于点 P2 ;角 的始边为 OP 2 ,终边交圆 O 于点 P3 ,角的始边为 OP 1 ,终边交圆 O 于点 P 4.则 P 1,0 , Pcos ,sin ,12P3cos,sin, P4cos,sin.由PP P P,得1 32 4 及两点间的距离公式cos2sin2cos cos2sin21）1sin.（步骤展开并整理 ,得22cos22cos cos sin sin .cos cos cos sin sin.（步骤2）○2 由○1 易得 , cosπsin,sinπcos.（步骤 3）22sin cosπcosπ.22= cos πcosπsin 2sin2= sin cos cos sin .s i n s i n c o s c o s （s步in骤4.）(Ⅱ )由题意，设△ABC的角 B、C 的对边分别为b、c,则S 1bc sin A1.（步骤5）22AB AC bc cos A30,A(0,π3sin A.),cos A23 10（步骤 6）又 sin2A21,sin A 10cos A,cos A.1010由题意 cos B3,得 sin B4.55cos( A B)cos A cosB sin Asin B10. （步骤7）10故 cosC cos[ π ( A B)]cos(A B)10.（步骤8）1020.（本小题满分 12 分）w_w w. k #s5 _u.c o*m已知定点 A(－ 1,0),F(2,0), 定直线 l ：x＝1轴上的动点P与点 F的距离是它到直线l2 ,不在 x的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、 C 两点 ,直线 AB、 AC 分别交 l 于点M、 N（Ⅰ）求 E 的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由 .【测量目标】轨迹方程、双曲线的标准方程、向量的垂直、直线与双曲线的位置关系 .【考查方式】（1）直接根据坐标系中线段间的关系求轨迹方程.（ 2）利用分类讨论思想，运用联立方程后根的个数反映直线与双曲线位置关系这一思想，向量与直线的垂直求解.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）设 P x, y ,则x 2 y 22 x 1 ,2化简得 x 2y 21 y0 . （步骤 1）3（Ⅱ）○当直线 BC 与 x 轴不垂直时 ,设 BC 的方程为 yk x 2 k 0 .（步骤 2）1与双曲线方程 x 2y 2 1联立消去 y 得33 k 2 x 2 4k 2 x 4k 23 0.由题意知 , 3k 2 0且0, （步骤 3）设 B x 1, y 1 , C x 2 , y 2 , 则 x 1 x 24k 2 , x 1x 2 4k 2 3 .k 2 3k 2 3y 1 y 2k 2 x 1 2 x 2 2k 2 x 1x 2 2 x 1 x 24= k 24k 2 3 8k 2 4 = 9k 2 （步骤 4）k 2 3 k 2 3 k 2 3.因为 x x2 1,1所以直线 AB 的方程为yy 1 x 1 ,因此 M 点的坐标为1 3 y 1 ,x 1 1 ,2 x 112FM3 ,2 3 y 1 .2 x 1 1同理可得 FN3 , 3 y 2 , （步骤 5）2 2 x 2 1因此 FM FN339 y 1 y 2224 x 1 1 x 2 1981k 2k 2 3=2244k 3 4k143k 23k 2=0. （步骤 6）○当直线 BC 与 x 轴垂直时 ,其方程为 x2,则B 2,3 ,C 2, 3.2 AB 的方程为 y x 1. 因此 M 点的坐标为同理可得 FN3 , 3 .（步骤 7）221 33 3 ,, FM2 , .2 223 3 3 3 因此 FM FN2 20.22综上,FM FN 0.即 FMFN .故以线段 MN 为直径的圆过点 F.（步骤 8）21．（本小题满分 12 分）已知数列 { a n } 满足 a 1＝ 0， a 2＝ 2，且对任意 m 、 n ∈ N *都有a 2m － 1＋ a 2 n － 1＝ 2a m ＋ n － 1＋ 2(m － n)2 （Ⅰ）求 a 3，a 5；（Ⅱ）设 b n ＝a 2n ＋1－ a 2n － 1(n ∈ N *)，证明： { b n } 是等差数列；（Ⅲ）设 c n ＝ (a n+1－ a n )q n－ 1(q ≠0， n ∈ N * )，求数列 { c n } 的前 n 项和 S n .【测量目标】等差数列的性质，错位相减法求和，等差数列的通项 .【考查方式】已知数列各项的关系（ 1）直接根据已知等式求解.（ 2）根据等差数列的性质证明（ 3）求出等差数列通项，再利用错位相减法求和.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由题意，令m 2, n 1可得 a 3 2a 2 a 12 6. （步骤 1）再令 m 3, n 1可得 a 5 2a 3a 18 20.（步骤 2）当 n N * 时,由已知 (以 n 2代替 m)可得（Ⅱ） a 2 n 1a2n 12a2 n 18（步骤 3）于是 [ a1) a1 ] (a2n1a ) 8即2( n 12( n 1)2 n 1b n 1 b n 8.所以，数列b n是公差为 8的等差数列 . （步骤4）（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）的解答可知b n是首项 b1a3 a16, 公差为8的等差数列 .则b n 8n2.即 a2n1a2 n 18n2,（步骤 5）令由已知（令m=1 ）可得，a n a2n1a1n126）2, （步骤a2 n a2n 1那么 , a n 1a n 12n 1=8n 2222n 1 2n于是， c n2nq n 1（步骤7）当 q=1 时，2462 1 .（步骤8）S n n n n当 q 1时，S 2 q0 4 q1 6 q22n q n1 .（步骤 9）n两边同乘 q 可得qS n 2 q1 4 q2 6 q3 2 n 1 q n 12n q n（步骤10）上述两式相减即得(1 q) S n2(1q1q2q3q n 1 )2n q n1q n2nq n=1n 1 q n nq n 1= 221q 1q所以 S n2nq n1n 1 q n nq n 111）q2（步骤1n n1q1综上所述， S nq n 1n 1 q n nq n1（步骤 12）n2q1q1222．（本小题满分14 分）设 f ( x )1a x（ a0 且 a1），g(x)是f( x)的反函数.1 a x（Ⅰ）设关于x 的方程求log atg(x) 在区间[2，6]上有实数解，求t 的取值(x21)(7x)范围；n 2 n n2（Ⅱ）当 a＝ e（ e 为自然对数的底数）时，证明：g (k)；2n( n1)k20＜ a ,1时，试比较n n与 4 的大小，并说明理由 .（Ⅲ）当 f ( k )2k 1【测量目标】 利用导数求函数的最值， 对数函数和指数函数互为反函数， 利用导数判断函数的单调区间，不等式恒成立问题，二项式定理，利用导数解决不等式问题 .【考查方式】已知函数解析式（1）化函数为对数函数形式，利用导数求函数的最值，再求t 的范围（ 2）利用导数判断函数单调性，在利用导数证明不等式成立（ 3）借助分类讨论思想比较两式大小 .【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由题意，得a x y1 0,y1故 g (x)log a x1, x ( , 1)(1,). （步骤 1）x 1由 log a(x 2t7 x)log a x1 得1)(x 1t ( x1)2(7 x), x[ 2,6]（步骤 2）3x 2则 t18x 153( x 1)( x 5).列表如下：x 2(2,5) 5 (5,6) 6t+_t5极大值 3225所以 t 最小值5,t 最大值 32 ，所以 t 的取值范围为 [5 ，32] （步骤 3）n123n 1 （Ⅱ）g(k )lnln4 lnln1k235nln(12 3 n 1)34 5n 1（步骤 4）ln n(n 1)2令 u(z)ln z21 z 22ln z z1, z0,zz则 u ( z)2 1 1 (1 1 )2 ⋯0. （步骤 5）z z 2 z所以 u( z)在 (0, )上是增函数 .又因为n( n1)1n(n1)20, 所以 u() u(1) 0,2n(n1)即 ln2120,（步骤 6）n(nn(n 1)1)2n 2 n n2即g(k)2n(n1)k2设 a1,则 p 厔1,11a121pf (1)a3.1p当n时,2, 2 4.1 f (1) 1（Ⅲ）p当n ⋯ 2时,（步骤 7）设 k ⋯ 2, k N +时,则f ( k)(1 p) k1121(1p) k1(1 p)k12n . （步骤8）12P2kPC1P C1C1所以1 f (k ) , 1214144C k2k(k1)k k.C k11n444从而 n1 f (k ) ,n1n1n 1.（步骤 9）2n n1k21所以 n nf (k) f (1)n1,n4 k1n综上，总有 f (k)n 4.（步骤 10）k1。

2010年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工农医类)第I 卷「、选择题：(1) i 是虚数单位，计算i i 2 i 3 =(A )- 1( B ) 1( C ) -i(D ) i(2)下列四个图像所表示的函数，在点x =0处连续的是(3) 2log 510 log 50.25 =(4)函数f (x) = x 2 • mx • 1的图像关于直线(A) 8 (6)将函数y =sinx 的图像上所有的点向右平行移动(D) 1个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来10(A)甲车间加工原料 10箱, 乙车间加工原料 60箱 (B) 甲车间加工原料 15箱， 乙车间加工原料 55箱 (C)甲车间加工原料 18箱， 乙车间加工原料 50箱 (D)甲车间加工原料 40箱，乙车间加工原料 30箱 (A) 0 (B) 1(C ) 2 (D) 4(A) m = —2 (C ) m - -1(5)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外,2BC =16(D ) m = 1AC = AB —"AC .则 AM 二的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是 -) 10 (A) y 二sin(2x (B) y = sin(2x ) 5 1 兀 (D ) y = sin(— x ) 2 20 1 H (C ) y =sin(—x )2 10 " '2 20’(7)某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品，由乙车间加工出 B 产品•甲车间加工一箱原料需耗费工时 10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时 6小时可加工 出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元•甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、 乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 x =1对称的充要条件是(B) 4(C ) 2(A)(B)(D)2a 皿“ °的右焦点F，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段-10ac ■ 25c 2的最小值是a(a -b)第口卷二、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分•把答案填在题中横线上•(16)设S 为复数集C 的非空子集•若对任意x, y S ，都有x • y,x -y,xy • S ，则称S 为封闭集。