2-4隐函数求导,参数方程求导,相关变化率资料

第二章 导数与微分
第四节 隐函数及由参
数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
显函数：
隐函数：
一般的
例1 求由方程确定的隐函数的导数.
例2 设由所确定，求
例3 设求.
例4 设求
.
二、由参数方程所确定的函数的导数
定理 设在上可导，，则
若二阶可导，则
例5 设 求
例6 已知摆线（旋轮线）的参数方程为
求摆线在处的切线方程与法线方程。

三、相关变化率
例7 设有一个倒置的圆锥形容器,其底面圆直径为10cm,高为5cm,
秒时水面上升的速率.现以每秒
给容器中加水.试求
内容小结
1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导
2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,
连除表示的函数
转化
3. 参数方程求导法极坐标方程求导
4. 相关变化率问题
1）列出依赖于 t 的相关变量关系式
2）等式两端对 t 求导
作业P108：2；3(3)(4)；4(1)(3)；8(3)(4)；11.。

#
x＝ t t－1 例 6 求曲线 在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解： 令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的 方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合 关系 y ＝ ， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝ ＝ ＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解： 如图所示 dx 水平速度 v x ＝ ＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝ ＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝ 大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝ ＝ ＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝ ＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ， 求 y .

例9. 设由方程
x t2 2t
t 2 y sin y 1
(0 1) 求
dx
解
2t 2 dt
2t d y cos y d y 0
dt
dt
d x 2 (t 1) dt d y 2t
d t 1 cos y
故
dy dx
dy dt
dx dt
t
(t 1)(1 cos y)
dx dx
dx
2
由(1)(2）得 H (x, dy ) 0 3
解(3)得
dy d x dx
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对方程 F(x, y) 0若能确定可导隐函数x g y,即有 F(g y, y) 0
我们把左边视为复合函数
u F(x, y) x g y,
复合后u是以y为自变量的函数且 u y 0, 故
解: 两边取对数 , 化为隐式
ln y sin x ln x
两边对 x 求导
1 y
y
cos x ln x
sin x
x
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
注: 这是处理幂指函数导数的重要方法还有别的
方法吗?
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2) 有些显函数求导
例6
的导数！
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一、隐函数的导数
对方程 F(x, y) 0
若能确定 以x 为自变量的函数 y f x,或确定以y为 自变量的函数 x g y. 假设它们可导情况下如何求它们
的导数。 在这里我们假定所给方程能确（隐）函数且可导。
至于方程满足什么条件能确定（什么样的隐）函数， 以及什么条件时可导我们下册探讨。

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思考:当气球升至500 m 时停住 , 一观测者以100 m／min 100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m
时, 仰角的增加率是多少 ?
500 提示: tan x 对 t 求导
2
500
x d 500 dx sec 2 dt x dt dx d 100 m min , x 500 m , 求 . 已知 dt dt
方法2 等式两边同时对 y 求导
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y2 y y1
(sin x) tan x (sec 2 x ln sin x 1)
1 x
ln x 3
3 x x 2x 2 1 2 ln x 3(2 x) 3(2 x) (2 x)
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3. 设
由方程
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
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例10. 一气球从距离观察员500 m 处从地面铅直上升, 其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , h 则 tan 500 500 两边对 t 求导
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(t ) 0 时, 有
x a (t sin t ) 例7. 求摆线 在t 处的切线方程. 2 y a(1 cos t ) dy 解 dy a sin t sin t d t a a cos t 1 cos t dx dx dt sin dy 2 1. t dx 2 1 cos 2 当 t 时, x a ( 1), y a. 所求切线方程为 2 2