苏教版高中数学必修一第1讲：集合的含义表示(教师版)

苏教版高中数学必修1第1章集合集合的含义及其表示（一）教学目标1．知识与技能（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．（2）初步了解“属于”关系的意义．理解集合相等的含义.（3）初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合.2．过程与方法（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合．（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义．（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）．（4）通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合掌握集合表示的方法.3．情感、态度与价值观（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力．初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度．（二）教学重点、难点重点是集合的概念及集合的表示．难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单集合.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合．通过提出问题、观察实例，引导学生理解集合的概念，分析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求，并能依照要求举出符合条件的例子，加深对概念的理解、性质的掌握．通过命题表示集合，培养运用数学符合的意识.教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题一个百货商店，第一批进货是帽子、皮鞋、热水瓶、闹钟共计4个品种，第二批进货是收音机、皮鞋、尼龙袜、茶杯、学生回答（不能，应为7种），然后教师和学生共同分析原因：由于两次进货共同的品种有两种，故设疑激趣，导入课闹钟共计5个品种，问一共进了多少品种的货?能否回答一共进了 4 + 5 = 9种呢？应为4 +5 – 2 = 7种．从而指出：,,这好像涉及了另一种新的运算．,,题．复习引入①初中代数中涉及“集合”的提法．②初中几何中涉及“集合”的提法．引导学生回顾，初中代数中不等式的解法一节中提到的有关知识：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．几何中，圆的概念是用集合描述的．通过复习回顾，引出集合的概念．概念形成第一组实例（幻灯片一）：（1）“小于l0”的自然数0，1，2，3，,,，9．（2）满足3x– 2 ＞x + 3的全体实数．（3）所有直角三角形．（4）到两定点距离的和等于两定点间的距离的点．（5）高一（1）班全体同学．（6）参与中国加入WTO谈判的中方成员．1．集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．2．集合的元素（或成员）：即构成集合的每个对象（或成员），教师提问：①以上各例（构成集合）有什么特点?请大家讨论．学生讨论交流，得出集合概念的要点，然后教师肯定或补充．②我们能否给出集合一个大体描述?,,学生思考后回答，然后教师总结．③上述六个例子中集合的元素各是什么?④请同学们自己举一些集合的例子．通过实例，引导学生经历并体会集合（描述性）概念形成的过程，引导学生进一步明确集合及集合元素的概念，会用自然语言描述集合．概念深化第二组实例（幻灯片二）：（1）参加亚特兰大奥运会的所有中国代表团的成员构成的集合．（2）方程x2 = 1的解的全体构成的集合．（3）平行四边形的全体构成的集合．（4）平面上与一定点O的距离等于r的点的全体构成的集合．3．元素与集合的关系：教师要求学生看第二组实例，并提问：①你能指出各个集合的元素吗？②各个集合的元素与集合之间是什么关系？③例（2）中数0，–2是这个集合的元素吗?学生讨论交流，弄清元素与集合之间是从属关系，即“属于”或“不属于”关系．引入集合语言描述集合．教学环节教学内容师生互动设计意图念深化集合通常用英语大写字母A、B、C,表示，它们的元素通常用英语小写字母a、b、c,表示．如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”．如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A，读作“a不属于A”．4．集合的元素的基本性质；（1）确定性：集合的元素必须是确定的．不能确定的对象不能构成集合．（2）互异性：集合的元素一定是互异的．相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素．第三组实例（幻灯片三）：（1）由x2，3x + 1，2x2–x + 5三个式子构成的集合．（2）平面上与一个定点O的距离等于1的点的全体构成的集合．（3）方程x2 = – 1的全体实数解构成的集合．5．空集：不含任何元素的集合，记作．6．集合的分类：按所含元素的个数分为有限集和无限集．教师提问：“我们班中高个子的同学”、“年轻人”、“接近数0的数”能否分别组成一个集合，为什么？学生分组讨论、交流，并在教师的引导下明确：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．另外，集合的元素一定是互异的．相同的对象归于同一个集合时只能算作集合的一个元素．教师要求学生观察第三组实例，并提问：它们各有元素多少个?学生通过观察思考并回答问题．然后，依据元素个数的多少将集合分类．让学生指出第三组实例中，哪些是有限集？哪些是无限集？,,请同学们熟记上述符号及其意义．通过讨论，使学生明确集合元素所具有的性质，从而进一步准确理解集合的概念．通过观察实例，发现集合的元素个数具有不同的类别，从而使学生感受到有限集、无限集、空集存在的客观意义．7．常用的数集及其记号（幻灯片四）．N：非负整数集（或自然数集）．N*或N+：正整数集（或自然数集去掉0）．Z：整数集．Q：有理数集．R：实数集．教学环节教学内容师生互动设计意图应用举例列举法：定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.师生合作应用定义表示集合.例1 解答：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A = {0，1，2，3，4，5，6，7，例1 用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2 = x的所有实数根组成的集合；（3）由1～20以内的所有质数组成的集合.描述法：定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x2–2 = 0的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合. 8，9}.由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举法. 例如：A = {9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.（2）设方程x2= x 的所有实数根组成的集合为B，那么B = {0，1}.（3）设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C= {2，3，5，7，11，13，17，19}.例2 解答：（1）设方程x2 – 2 = 0的实数根为x，并且满足条件x2 –2 = 0，因此，用描述法表示为A = {x∈R| x2 –2 = 0}.方程x2–2 = 0有两个实数根2，2，因此，用列举法表示为A = {2，2}.（2）设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10＜x ＜20. 因此，用描述法表示为B = {x∈Z | 10＜x＜20}.大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B = {11，12，13，14，15，16，17，18，19}.教学环节教学内容师生互动设计意图应用举例例3 已知由l，x，x2，三个实数构成一个集合，求x应满足的条件．解：根据集合元素的互异性，得2211xxxx所以x∈R且x≠±1，x≠0．课堂练习：教材第5页练习A1、2、3．例2 用∈、填空．①Q；②3Z；③3R；④0 N；⑤0 N*；⑥0 Z．学生分析求解，教师板书．幻灯片五（练习答案），反馈矫正．通过应用，进一步理解集合的有关概念、性质．例4 试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程x2– 9 = 0的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数y = x + 3与y = –2x +6的图象的交点组成的集合；（4）不等式4x– 5＜3的解集.生：独立完成；题：点评说明.例4 解答：（1）{3，–3}；（2）{2，3，5，7}；（3）{(1，4)}；（4）{x| x＜2}.归纳总结①请同学们回顾总结，本节课学过的集合的概念等有关知识；②通过回顾本节课的探索学习过程，请同学们体会集合等有关知识是怎样形成、发展和完善的．③通过回顾学习过程比较列举法和师生共同总结——交流——完善．引导学生学会自己总结；让学生进一步（回顾）体会知识的形描述法. 归纳适用题型. 成、发展、完善的过程．课后作业1.1 第一课时习案由学生独立完成．巩固深化；预习下一节内容，培养自学能力．备选例题例1（1）利用列举法表法下列集合：①{15的正约数}；②不大于10的非负偶数集.（2）用描述法表示下列集合：①正偶数集；②{1，–3，5，–7，,，–39，41}.【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用.【解析】（1）①{1，3，5，15}②{0，2，4，6，8，10}（2）①{x | x = 2n，n∈N*}②{x | x = (–1) n–1·(2n–1)，n∈N*且n≤21}.【评析】（1）题需把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合，多用于集合中的元素有有限个的情况.（2）题是将元素的公共属性描述出来，多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集.例2 用列举法把下列集合表示出来：（1）A = {x∈N |99x∈N}；（2）B = {99x∈N | x∈N }；（3）C = { y = y = –x2 + 6，x∈N，y∈N }；（4）D = {(x，y) | y = –x2 +6，x∈N }；（5）E = {x |pq= x，p + q = 5，p∈N，q∈N*}.【分析】先看五个集合各自的特点：集合A 的元素是自然数x ，它必须满足条件99x也是自然数；集合B 中的元素是自然数99x，它必须满足条件x 也是自然数；集合C中的元素是自然数y ，它实际上是二次函数y = –x 2 + 6 (x ∈N )的函数值；集合D 中的元素是点，这些点必须在二次函数y = –x 2 + 6 (x ∈N )的图象上；集合E 中的元素是x ，它必须满足的条件是x =p q，其中p + q = 5，且p ∈N ，q ∈N *.【解析】（1）当x = 0，6，8这三个自然数时，99x=1，3，9也是自然数.∴ A = {0，6，9}（2）由（1）知，B = {1，3，9}.（3）由y = –x 2 + 6，x ∈N ，y ∈N 知y ≤6. ∴x = 0，1，2时，y = 6，5，2 符合题意.∴ C = {2，5，6}.（4）点{x ，y}满足条件y = –x 2+ 6，x ∈N ，y ∈N ，则有：0,1,2,6,5,2.x x x yyy∴ D = {(0，6) (1，5) (2，2) }（5）依题意知p + q = 5，p ∈N ，q ∈N *，则0,1,2,3,4,5,4,3,2,1.p p p p p qqqqqx 要满足条件x =P q，∴E = {0，14，23，32，4}.【评析】用描述法表示的集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义.例3 已知–3∈A = {a –3，2a – 1，a 2 + 1}，求a 的值及对应的集合 A.–3∈A ，可知–3是集合的一个元素，则可能 a –3 = –3，或2a – 1 = –3，求出a ，再代入A ，求出集合 A.【解析】由–3∈A ，可知，a –3 = –3或2a –1 = –3，当a –3 = –3，即a = 0时，A = {–3，–1，1}当2a – 1 = –3，即a = –1时，A = {– 4，–3，2}. 【评析】元素与集合的关系是确定的，–3∈A ，则必有一个式子的值为–3，以此展开讨论，便可求得 a.。

❖ 如：2∈Z，2.5∈Z
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例1 下列的各组对象能否构成集合： (1)所有的好人； (2)小于2003的数； (3) 和2003非常接近的数。 (4)小于5的自然数； (5)不等式2x+1>7的整数解； (6)方程x2+1=0的实数解；
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（三） 有限集与无限集
高
1、有限集(finite set)：含有有限个元素的 集合。
(7) 2 5 ＿ Q (8)2 5 ＿ Q
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三、小 结：本节课学习了以下内容： 1.集合的含义； 2.集合中元素的特性：
确定性，互异性，无序性
3.数集及有关符号.
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➢集合的含义是什么？ ➢集合之间有什么关系？ ➢怎样进行集合的运算？
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练习： (1)《课课练》 (2)在作业本上写出你这节 课不懂的地方。 (3)思考题：已知2是集合{0,a,a2 -3a+2} 中的元素,则实数a为( )
A.２ B.０或3 C. 3 D . 0,2,3均可
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全体非负整数的集合。记作N
（2）正整数集: 非负整数集内排除0的集。记作N*或N+
（3）整数集： 全体整数的集合。记作Z （4）有理数集 ：全体有理数的集合。记作Q
（5）实数集： 全体实精数选课的件pp集t 合。记作R
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对象与集合的关系：
❖ 如果对象a是集合A的元素，就记作a∈A， 读作a属于A；如果对象a不是集合A的元素， 就记作a∈A，读作a不属于A。

第1课时集合的含义及其表示(1)教学过程一、问题情境(1) 小于10的所有偶数;(2) 中国的直辖市;(3) 单词book中的字母;(4) 到一个角的两边距离相等的所有的点;(5) 方程x2-5x+6=0的所有实数根;(6) 不等式x-3>0的所有解;(7) 某高中全体高一学生.二、数学建构问题1以上实例有什么共同特征?(引导学生说出:一定范围内,确定的,不同对象.然后通过学生回答,总结出集合的含义)一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.集合常用大写的拉丁字母来表示,如集合A、集合B.集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.集合的元素常用小写的拉丁字母来表示,如元素a、元素b.问题2回答下列问题:(1) 已知A={1, 3},问:3, 5哪个是A的元素?(2) “所有素质好的人”能否构成一个集合A?(3) A={2, 2, 4}表示是否准确?(4) A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一个集合?由上述问题可以归纳出集合中元素的特征:①确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则“x是A的元素”或者“x不是A的元素”这两种情况必有一种且只有一种成立.②互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不能重复出现同一元素.③无序性:一般不考虑元素之间的顺序,但在表示数列之类的特殊集合时,通常按照由小到大的数轴顺序书写.问题3元素与集合之间有怎样的关系?解如果a是集合A中的元素,就记作a∈A,读作“a属于A”;如果a不是集合A中的元素,就记作a∉A或a⋷A,读作“a不属于A”.问题4常用的数集有哪些?它们分别用什么数学符号表示?解自然数集(非负整数集):N,正整数集:N*或N+,整数集:Z,有理数集:Q,实数集:R.问题5集合的表示方法有哪些?(1) 列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于“{}”中,元素之间用逗号分隔.列举时与元素次序无关,如{北京,上海,天津,重庆}.集合的相等关系:如果两个集合所含的元素完全相同,那么称这两个集合相等,如{北京,上海,天津,重庆}={天津,重庆,北京,上海}.思考“问题情境”中的集合都能用列举法表示吗?如果能,请表示出来.(2) 描述法:将集合中所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式.{x|p(x)}中x为集合的代表元素,p(x)指元素x具有的性质,如{x|x为中国的直辖市},{x|x-3>0, x∈R}. (3) Venn图:有时用Venn图示意集合(如图1),更显直观.(图1)问题6按照元素的个数,集合该怎样分类?(1) 有限集:含有有限个元素的集合称为有限集.(2) 无限集:含有无限个元素的集合称为无限集.(3) 空集:不含任何元素的集合称为空集,记作⌀,如{x|x2+x+1=0, x∈R}=⌀.三、数学运用【例1】下列各组对象能否构成集合:(1) 所有的好人;(2) 小于2012的数;(3) 和2012非常接近的数;(4) 小于5的自然数;(5) 不等式2x+1>7的整数解;(6) 方程x2+1=0的实数解. (见学生用书课堂本P1~2)[处理建议]引导学生根据定义判断.[规范板书]解(1)(3)不符合集合中元素的确定性,因此,只有(2)(4)(5)(6)能够构成集合.[题后反思]解决这类题目要抓住集合中元素的两个特征:确定性,互异性.【例2】用符号“∈”或“∉”填空:-错误!未找到引用源。

观察下面的语句：(1)所有小于10的自然数；(2)高一(2)班的所有帅哥；(3)2013～2014赛季所有参加CBA联赛的球队；(4)方程x2－1＝0的所有实数根；(5)我们班的高个子同学．问题1：以上各语句中所要研究的对象分别是什么？提示：分别为自然数，帅哥，球队，实数根和高个子同学．问题2：哪几个语句中的对象不能确定？为什么？提示：(2)、(5)中对象不能确定．因为帅哥和高个子没有明确的划分标准．问题3：你能指出第(1)、(4)中的确切的对象吗？提示：(1)中：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.(4)中：1，－1.集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合，集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.已知英文字母包括元音字母和辅音字母．问题1：记元音字母组成的集合为A，辅音字母构成的集合为B，那么字母O与字母G 与A、B关系怎样？提示：字母O是集合A的元素，不是集合B的元素．字母G是集合B的元素，不是集合A的元素．问题2：能否存在某个字母，它既是A的元素，又是集合B的元素？提示：没有．1．常用数集及其记法常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N N*或N＋Z Q R 2．观察下列集合：(1)中国的直辖市；(2)2的所有正因数；(3)不等式x－2≥3的解集；(4)所有偶数的集合；(5)方程x2－3x＋2＝0的解集．问题1：上述四个集合中的元素能分别一一列举出来吗？提示：(1)、(2)、(5)中元素可以一一列举出来，(3)、(4)中元素不能一一列举，因为它们中的元素有无穷多个．问题2：设(3)、(4)中元素为x，请用等式(或不等式)分别将它们的特征表示出来．提示：(3)中元素x≥5，(4)中元素x＝2n，n∈Z.问题3：(2)、(5)中的两个集合有什么关系，如何表示呢？提示：(2)、(5)中两个集合(分别记为集合A、B)的元素完全相同，所以是相等集合，可表示为A＝B.1．集合的表示法列举法将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{ }”内，元素之间用逗号分隔，用这样表示集合的方法称为列举法描述法将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式，用这样表示集合的方法称为描述法2.集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A 的元素)，那么称这两个集合相等．考察下列集合：(1)方程x2－4＝0的解组成的集合；(2)不等式x>3的解组成的集合；(3)方程x2＝－1的解组成的集合．问题1：集合(1)中有几个元素？提示：两个，分别是2和－2.问题2：集合(2)中的元素能数得尽吗？提示：数不尽．即集合中的元素有无限个．问题3：集合(3)中的元素是什么？提示：集合(3)中没有元素．有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合，记作∅1．集合是具有共同的特征(或属性)的对象组合而成，且这个特征(或属性)有确定的划分标准．2．集合与元素间的关系是用符号“∈”或“∉”表示的，是集合中的元素，必须是确定的，对于集合A与元素a，要么a∈A，要么a∉A，二者必居其一．集合中的元素是不同的，任何两个相同的对象在同一集合中，只能算作一个元素．3．列举法和描述法是表示集合的两种常用方法．列举法表示集合直观明了，可以明确知道集合中具体的元素及元素个数，但当元素个数无限时，多用描述法．[例1]判断下列每组对象能否构成一个集合：①高一(1)班成绩较好的同学；②今年诺贝尔文学奖获得者；③立方接近于零的正数；④巴西奥运会所有比赛项目；⑤1,2,3,2.[思路点拨]解答本题可根据集合的意义，考虑每组对象是否具有明确的标准，是否互异，这是判断它们能否构成集合的依据．[精解详析]②④中的对象都是确定的，而且是不同的，因而能构成集合；①中“成绩较好”的标准不明确，不能构成集合；③中“接近零”的标准不明确，不能构成集合；⑤中含有两个2，不满足互异性，不能构成集合．[一点通]判断某些对象能否组成集合，关键看这些对象是否具有集合中元素的确定性，互异性特征，若具有则可以组成集合，否则就不能组成集合．1．下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的是__________．(填序号)解析：“接近于0的数”，“比较小的正整数”对象不明确，即元素不确定，所以①②不能构成集合；同样，“2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数是不是它的近似值，所以⑤也不能构成集合；③④能构成集合．★答案★：③④2．判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)某个单位里的年轻人组成一个集合．(2)1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，12，这些数组成的集合有五个元素． (3)由a ，b ，c 组成的集合与由b ，a ，c 组成的集合是同一个集合．解：(1)不正确．因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能作为元素来组成集合．(2)不正确．对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由三个元素组成的．(3)正确．集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合.[例2] 已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，求a .[思路点拨] 由－3∈A ，得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，求出a 后再进行验证． [精解详析] 由－3∈A ， 则－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－1舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72≠－3≠12，故a ＝－32.[一点通] 根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验，此类问题常因忽略检验而错解，在运用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的应用．3．集合P ＝{1，m ，m 2－3m －1}，若3∈P 且－1∉P ，则实数m 的值为________． 解析：∵3∈P 且－1∉P .∴当m ＝3时，P ＝{1,3，－1}，与－1∉P 矛盾．当m 2－3m －1＝3时，m ＝4或m ＝－1(舍去)，此时P ＝{1,4,3}．符合题意．∴m ＝4.★答案★：44．若2∉{x |x －a >0}，则实数a 的取值范围是________．解析：因为2∉{x |x －a >0}，所以2不满足不等式x －a >0，即满足不等式x －a ≤0，所以2－a ≤0，即a ≥2.所以实数a 的取值范围是{a |a ≥2}． ★答案★：{a |a ≥2}5．已知x 2∈{1,0，x }，求实数x 的值．解：若x 2＝0，则x ＝0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若x 2＝1，则x ＝±1，当x ＝1时，集合为{1,0,1}，舍去； 当x ＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合条件；若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1，由上可知，x ＝0和x ＝1都舍去． 综上所述，x ＝－1.[例3] 用适当的方法表示下列集合： (1)已知集合P ＝{x |x ＝2n,0≤n ≤2，且n ∈N }； (2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合； (3)x 2－4的一次因式组成的集合；(4)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解所组成的集合．[思路点拨] (1)是用描述法给出的集合，还可用列举法来表示；(2)可用列举法或描述法表示；(3)将x 2－4分解因式，用列举法表示即可；(4)注意方程组的解是有序数对．[尝试解答] (1)用列举法表示为P ＝{0,2,4}．(2)可用列举法表示为{6,9,12}；也可用描述法表示为{x |x ＝3n,4<x <15，且n ∈N }． (3)用列举法表示为{x ＋2，x －2}．(4)可用列举法表示为{(1,2)}，也可用描述法表示为{(x ，y )|x ＝1，y ＝2}． [一点通](1)用列举法时要注意元素的不重不漏，不计次序，且元素与元素之间用“，”隔开． (2)用描述法表示集合时，常用的模式是{x |p (x )}，其中x 代表集合中的元素，p (x )为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．6．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，则用列举法表示B ＝________.解析：因为集合A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，当t ＝－2和2时，x ＝4；当t ＝3时，x ＝9；当t ＝4时，x ＝16，用列举法表示B ＝{4,9,16}．★答案★：{4,9,16}7．用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)使y ＝1x 2＋x －6有意义的实数x 的集合；(3)坐标平面内第一、三象限角平分线上的点的集合； (4)方程x 2＋(m ＋2)x ＋m －1＝0(m ∈R )的解集． 解：(1)正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)要使y 有意义，必须使分母不为0，即x 2＋x －6≠0，可得x ≠2且x ≠－3，故集合可表示为{x |x ∈R ，x ≠2，x ≠－3}．(3)第一、三象限的角平分线应是直线y ＝x ，故集合为{(x ，y )|y ＝x ，x ∈R ，y ∈R }． (4){x |x 2＋(m ＋2)x ＋m －1＝0，x ∈R ，m ∈R }.[例4] 已知集合A ＝{x ，xy ，x －y }，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，求x 与y 的值． [思路点拨] 解答本题可考虑利用集合相等的定义来解．即元素完全相同，还要注意集合中元素的互异性．[精解详析] ∵0∈B ，A ＝B ，∴0∈A . 若x ＝0，则A ＝{0,0，－y }不成立， ∴x ≠0.又y ∈B ，∴y ≠0，∴只能x －y ＝0. ∴x ＝y .从而A ＝{0，x ，x 2}，B ＝{0，|x |，x }． ∴x 2＝|x |.∴x ＝0或x ＝1或x ＝－1. 经验证x ＝0，x ＝1均不合题意， ∴x ＝－1，即x ＝－1，y ＝－1适合． [一点通](1)判断两个集合相等的依据是两集合的元素必须完全相同． (2)解决此类问题的步骤：①利用集合相等的条件，建立方程或方程组，求得参数．②把所得数值依次代入集合验证，若满足元素的三个特性，则所求是可行的，否则应舍去．8．设a 、b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }与{0，ba ，b }相等，则b －a ＝________.解析：∵{1，a ＋b ，a }与{0，ba ，b }相等，又a ≠0，∴a ＋b ＝0，∴ba＝－1.∴{1，a ＋b ，a }＝{1,0，a } ，{0，ba ，b }＝{0，－1，b }．从而a ＝－1，b ＝1，∴b －a ＝1－(－1)＝2. ★答案★：29．数集X ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，Y ＝{y |y ＝4k ±1，k ∈Z }之间的关系是________．解析：∵若n为奇数，可设n＝2k－1(k∈Z)，则x＝4k－1.若n为偶数，可设n＝2k(k∈Z)，则x＝4k＋1.∴X＝Y.★答案★：X＝Y1．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征(1)确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象或者是这个集合的元素，或者不是这个集合的元素，两者必居其一．也就是说，某个对象是不是该集合中的元素，必须有一个明确的判断标准，这是集合最基本的特征．(2)互异性：集合中的任何两个元素都是能区分的(即互不相同)，相同的对象归入任何一个集合时，只能算作这个集合的一个元素．(3)无序性：在一个集合中，通常不考虑元素之间的顺序，也就是说，{a，b，c}＝{b，c，a}．2．集合常用的表示方法是列举法和描述法(1)一般情况下，对有限集，元素不太多的情况下，宜采用列举法，应注意：①元素间用“，”分隔；②集合中元素必须满足三个特性；③若元素个数较多或无限个且构成集合的这些元素有明显规律，也可用列举法，但必须把元素规律显示清楚后才能用省略号．(2)对无限集，一般采用描述法．它的优点是形式简洁，能充分体现集合中元素的特征，但应注意六点：①写清楚集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”；⑤所有描述的内容都要写在括号内；⑥用于描述的语句要力求简明、确切．3．解集合问题的关键是：弄清集合是由哪些元素构成的，即将抽象的问题形象化、具体化，将描述法表示的集合用列举法表示，或用图示法来表示抽象的集合，或用图形表示集合，如用数轴表示数集，用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合．课时达标训练（一）一、填空题1．在“①高一数学课本中的难题；②抛物线y＝x2－x＋1上所有的点；③方程x2＋2＝0的实数解”中，能够表示成集合的是________．解析：构成集合的对象必须具有确定性，由于高一数学课本中的难题不确定，故①不能构成集合，②③具有确定性，可构成集合．★答案★：②③2．若1∈{x ，x 2}，则x ＝__________.解析：当x ＝1时，x 2＝1，与集合的互异性矛盾，∴x ≠1； 当x 2＝1时，x ＝±1，根据互异性知x ＝－1. ★答案★：－13．用符号“∈”或“∉”填空： (1)0__________N *，5__________Z ； (2)23__________{x |x <11}， 32__________{x |x >4}， (3)(－1,1)__________{y |y ＝x 2}． (－1,1)__________{(x ，y )|y ＝x 2}． 解析：(1)0∉N *，5∉Z ；(2)中；∵(23)2>(11)2，∴23>11. ∴23∉{x |x <11}；∵(32)2>42，即32>4，∴32∈{x |x >4}； (3)中，(－1,1)为点，{y |y ＝x 2}中元素为数， 故(－1,1)∉{y |y ＝x 2}．又∵(－1)2＝1，∴(－1,1)∈{(x ，y )|y ＝x 2}． ★答案★：(1)∉，∉；(2)∉，∈；(3)∉，∈4．(山东高考改编)设集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是________．解析：∵x ∈A ，y ∈A ，∴x ，y ＝0,1,2.依次代入计算x －y ，可知x －y 的值可以为－2，－1,0,1,2，即集合B 中元素的个数是5.★答案★：55．若集合A ＝{－1,2}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，则a ＋b 的值为________． 解析：由题意知－1,2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根．则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴a ＋b ＝－3. ★答案★：－36．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y x ，1，B ＝{x 2，x ＋y,0}，若A ＝B ，则x 2 013＋y 2 014＝________，A＝B ＝________.解析：根据集合相等的定义知x ＝0或yx ＝0.当x ＝0时，y x 无意义，所以只能yx ＝0，得y ＝0，则A ＝{x,0,1}，B ＝{x 2，x,0}．又∵A ＝B ，∴x 2＝1，∴x ＝1或x ＝－1，当x ＝1时，A ＝{1,0,1}，B ＝{1,1,0}，不符合集合元素的互异性，故舍去； 当x ＝－1时，A ＝{－1,0,1}，B ＝{1，－1,0}，符合题意． ∴x 2 013＋y 2 014＝(－1)2 013＋02 014＝－1. ★答案★：－1 {－1,0,1} 二、解答题7．已知A ＝{1,2，x 2－5x ＋9}，B ＝{3，x 2＋ax ＋a }，如果A ＝{1,2,3},2∈B ，求实数a 的值．解：由A ＝{1,2，x 2－5x ＋9}＝{1,2,3}，知x 2－5x ＋9＝3，解得x ＝2或x ＝3，又2∈B ，则x 2＋ax ＋a ＝2，当x ＝2时，a ＝－23，当x ＝3时，a ＝－74.故a ＝－23或－74.8．用适当的方法表示下列集合． (1)A ＝{x |99－x∈N ，x ∈N }；(2)B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝4，x ∈N *，y ∈N *}； (3)不等式3x －8≥7－2x 的解集；(4)坐标平面内抛物线y ＝x 2－1上的点的集合． 解：(1)∵99－x∈N ，x ∈N ，∴当x ＝0,6,8这三个自然数时，99－x ＝1,3,9也是自然数，∴A ＝{0,6,8}．(2)∵x ＋y ＝4，x ∈N *，y ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1， ∴B ＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}．(3)由3x －8≥7－2x 可得：x ≥3，所以不等式3x －8≥7－2x 的解集为{x |x ≥3}．(4){(x ，y )|y ＝x 2－1}．9．已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a ∈A ，则1＋a 1－a ∈A . (1)若a ＝2，求出A 中其他所有元素；(2)0是不是集合A 中的元素？请说明理由．解：(1)由2∈A ，得1＋21－2＝－3∈A . 又由－3∈A ，得1－31＋3＝－12∈A . 再由－12∈A ，得1－121＋12＝13∈A . 由13∈A ，得1＋131－13＝2∈A . 故A 中其他所有元素为－3，－12，13. (2)0不是集合A 中的元素．若0∈A ，则1＋01－0＝1∈A ， 而当1∈A 时，1＋a 1－a不存在，故0不是集合A 中的元素．。