2003年高考数学试题(北京文)及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ） （A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ）（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课程卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （2003x <的解集是A.(0，2)B.(2，)+∞C.(2，4]D.(-∞，0)(2，)+∞2. （2003•全国新课程•文）抛物线2y a x =的准线方程是2y =，则a 的值为A.81B.18-C.8D.－83. （2003•全国新课程•文）=+-2)3(31i iA.i 4341+B.i 4341--C.i 2321+D.i 2321--4. （2003•全国新课程•文）已知(2x π∈-，0)，54cos =x ，则tan 2x =A.247 B.724-C.724 D.247-5. （2003•全国新课程•文）等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33n a =，则n 为 A.48 B.49 C.50 D.516. （2003•全国新课程•文）双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F，12F M F ∠120=︒，则双曲线的离心率为B.2C.3D.37. （2003•全国新课程•文）设函数12210()0xx f x xx -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是A.(1-，1)B.(1-，)+∞C.(-∞，2)(0-，)+∞D.(-∞，1)(1-，)+∞8.（2003•全国新课程•文）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足O P O A =+()([0||||A B A C A B A C λλ+∈，))∞+，则P 的轨迹一定通过A B C ∆的A.外心B.内心C.重心D.垂心9. （2003•全国新课程•文）函数1ln1x y x +=-，1(∈x ，)∞+的反函数为 A.11xx e y e -=+，0(∈x ，)∞+ B.11xx e y e +=-，0(∈x ，)∞+ C.11x x e y e -=+，-∞∈(x ，)0D.11x x e y e +=-，-∞∈(x ，)010. （2003•全国新课程•文）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为A.33aB.43aC.63aD.123a11. （2003•全国新课程•文）已知长方形的四个项点(0A ，0)，(2B ，0)，(2C ，1)和(0D ，1).一质点从A B 的中点0P 沿与A B 夹角为θ的方向射到B C 上的点1P 后，依次反射到C D ，D A 和A B 上的点2P ，3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 与0P 重合，则tan θ= A.13B.25C.12D.112. （2003则此球的表面积为A.3πB.4πC.D.6π 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上. 13. （2003•全国新课程•文）291()2x x-展开式中9x 的系数是_____________.14. （2003•全国新课程•文）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取______、_________、__________辆. 15. （2003•全国新课程•文）在平面几何里，有勾股定理：“设A B C ∆的两边A B 、A C 互相垂直，则22A B A C +2B C =.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A B C D -的三个侧面A B C 、A C D 、A D B 两两相互垂直，则_______________________________.” 16. （2003•全国新课程•文）将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物，种.（以数字作答）演算步骤.17. （2003•全国新课程•文）已知正四棱柱1111A B C D A B C D -，1A B =，12A A =，点E 为1C C 中点，点F 为1B D 中点.⑴证明：E F 为1B D 与1C C 的公垂线； ⑵求点1D 到面B D E 的距离.18. （2003•全国新课程•文）已知抛物线1C ：22y x x =+和2C ：2y x a =-+，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.⑴a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； ⑵若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.19. （2003•全国新课程•文）已知数列{}n a 满足11a =，113(2)n n n a a n --=+≥.⑴求2a ，3a ； ⑵证明：312nn a -=.20. （2003•全国新课程•文）有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，现从三种产品中各抽取一件进行检验. ⑴求恰有一件不合格的概率；⑵求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）21. （2003•全国新课程•文）已知函数()sin ()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3(4M π，0)对称，且在区间[0，]2π上是单调函数.求ϕ和ω的值.22. （2003•全国新课程•文）已知常数0a >，向量(0c =，)a ，(1i =，0)，经过原点O 以c i λ+为方向向量的直线与经过定点(0A ，)a 以2i c λ-为方向向量的直线相交于点P ，其中R λ∈.试问：是否存在两个定点E 、F ，使得||||P E P F +为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.2003年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （2003x <的解集是A.(0，2)B.(2，)+∞C.(2，4]D.(-∞，0)(2，)+∞【分析】由题意0x ≥且240x x -≥，可两边平方去根号，解可得答案． 【解答】解：由题意0x ≥且240x x -≥，解可得04x ≤≤，x <两边同时平方可得：224x x x -<，即2240x x ->， 解可得2x >或0x <，又由04x ≤≤，故其解集为24x <≤，即(2，4]；故选：C ．【点评】本题主要考查无理不等式的求解，解无理不等式关键是平方去根号，注意等价变形．还要注意选择题的特殊做法．2. （2003•全国新课程•文）抛物线2y a x =的准线方程是2y =，则a 的值为A.81 B.18-C.8D.－8【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程2x m y =的形式，再根据其准线方程为4m y =-即可求之．【解答】解：抛物线2y a x =的标准方程是21x y a=，则其准线方程为124y a=-=，所以18a =-.故选：B ．【点评】本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式． 3. （2003•全国新课程•文）=+-2)3(31i iA.i 4341+B.i 4341--C.i 2321+D.i 2321--【分析】化简复数的分母，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，即可求得结果．212122444--==⨯==--⨯，故选B ．【点评】复数代数形式的混合运算，是基础题． 4. （2003•全国新课程•文）已知(2x π∈-，0)，54cos =x ，则tan 2x =A.247B.724-C.724D.247-【分析】先根据c o s x ，求得sin x ，进而得到tan x 的值，最后根据二倍角公式求得tan 2x .【解答】解：∵4c o s 5x =，(2x π∈-，0)，∴3sin 5x ==-∴s in 3ta n c o s 4x x x==-，∴232ta n 316242ta n 291ta n277116x x x -===-⨯=---. 故选D ．【点评】本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题． 5. （2003•全国新课程•文）等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33n a =，则n 为 A.48 B.49 C.50 D.51【分析】先由等差数列的通项公式和已知条件解出d ，进而写出n a 的表达式，然后令33n a =，解方程即可．【解答】解：设{}n a 的公差为d . ∵113a =，254a a +=，∴114433d d +++=，即2543d +=，解得23d =.∴1221(1)3333n a n n =+-=-，令33n a =，即213333n -=，解得50n =.故选：C ．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，注意方程思想的应用. 6. （2003•全国新课程•文）双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，12F M F ∠120=︒，则双曲线的离心率为233【分析】根据双曲线对称性可知260O M F ∠=︒，在直角三角形2M O F 中可得22ta n O F c O M F O Mb∠==，进而可得b 和c的关系式，进而根据a =a 和b的关系式，最后代入离心率公式即可求得答案.【解答】解：根据双曲线对称性可知260O M F ∠=︒，∴22ta n O F c O M F O Mb ∠===c =，∴a ==，∴2c e a ===，故选：B ．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质.本题利用了双曲线的对称性．7．（5分）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，当x0＞0时，则x0＞1，故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：D．【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．8．（5分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定+的方向与∠BAC的角平分线一致，再由可得到=λ（+），可得答案．【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴=λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选：B．【点评】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．9．（5分）函数，x∈（1，+∞）的反函数为（）A．，x∈（0，+∞）B．，x∈（0，+∞）C．，x∈（﹣∞，0）D．，x∈（﹣∞，0）【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域等函数知识和方法；将，看做方程解出x，然后根据原函数的定义域x∈（1，+∞）求出原函数的值域，即为反函数的定义域．【解答】解：由已知，解x得，令，当x∈（1，+∞）时，m∈（1，+∞），则，∴函数，x∈（1，+∞）的反函数为，x∈（0，+∞）故选：B．【点评】这是一个基础性题，解题思路清晰，求解方向明确，所以容易解答；解答时注意两点，一是借助指数式和对数式的互化求x，二是函数，x∈（1，+∞）值域的确定，这里利用”常数分离法“和对数函数的性质推得．10．（5分）棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A．B．C．D．【分析】画出图形，根据题意求出八面体的中间平面面积，然后求出其体积．【解答】解：画出图就可以了，这个八面体是有两个四棱锥底面合在一起组成的．一个四棱锥的底面面积是正方体的一个面的一半，就是，高为，所以八面体的体积为：．故选：C．【点评】本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，体积的计算公式，考查转化思想，是基础题．11．（5分）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tgθ=（）A．B．C．D．1【分析】可以画草图帮助理解，由于若P4与P0重合，故P2、P3也都是所在边的中点，根据对称性可知P0P1的斜率是，得到结果．【解答】解：由于若P4与P0重合，故P2、P3也都是所在边的中点，因为ABCD是长方形，根据对称性可知P0P1的斜率是，则tgθ=．故选：C．【点评】本题考查直线的斜率和对称性知识，由于ABCD是长方形，降低了题目难度，可以采用观察法求得结论．是基本方法的训练题目．12．（5分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．3D．6π【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方体的对角线即为球的直径，即球的半径R=，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．则球的半径R=，∴球的表面积为3π，故选：A．【点评】棱长为a的正方体，内接正四面体的棱长为a，外接球直径等于长方体的对角线长a．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在的展开式中，x3的系数是﹣（用数字作答）【分析】首先根据题意，写出的二项展开式，可得9﹣2r=3，解可得r=3，将其代入二项展开式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于，有Tr+1=C99﹣r•x9﹣r•（﹣）r=（﹣）r•C99﹣r•x9﹣2r，令9﹣2r=3，可得r=3，当r=3时，有T4=﹣x3，故答案﹣．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．14．（4分）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 6 辆、30 辆、10 辆．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出在三种型号的轿车抽取的数目．【解答】解：因总轿车数为9200辆，而抽取46辆进行检验，抽样比例为=，而三种型号的轿车有显著区别，根据分层抽样分为三层按比例，故分别从这三种型号的轿车依次应抽取6辆、30辆、10辆．故答案为：6，30，10．【点评】本题的考点是分层抽样，即保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．15．（4分）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2 ．”【分析】从平面图形到空间图形的类比【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S △ABC2+S △ACD2+S △ADB2=S △BCD2．故答案为：S △ABC2+S △ACD2+S △ADB2=S △BCD2．【点评】本题主要考查学生的知识量和知识的迁移类比等基本能力．7. （2003•全国新课程•文）将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有______种．（以数字作答）【分析】将3种作物种植在5块试验田里，且相邻的试验田不能种同一种作物，就是第一块可以种3种不同的植物，第二块与第一块不同，只能种2种，余下的几块都只能种2种，减去不合题意的，得到结果．【解答】解：将3种作物种植在5块试验田里每块种一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，就是第一块可以种3种不同的植物，第二块与第一块不同，就只能种2种不同的植物，余下的几块都只能种2种不同的植物.这样会造成5块田只种2种植物的情况，∴共有3×2×2×2×2﹣22332222242C ⨯⨯⨯⨯-=故答案为：42【点评】本题考查排列组合的实际应用问题，这种问题在2003年的高考中考查过，是一个出现几率比较大的问题，注意题目条件中的限制条件． 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知正四棱柱ABCD ﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E 为CC1中点，点F 为BD1中点．（1）证明EF 为BD1与CC1的公垂线； （2）求点D1到面BDE 的距离．【分析】（1）欲证明EF 为BD1与CC1的公垂线，只须证明EF 分别与为BD1与CC1垂直即可，可由四边形EFMC 是矩形→EF ⊥CC1．由EF ⊥面DBD1→EF ⊥BD1． （2）欲求点D1到面BDE 的距离，将距离看成是三棱锥的高，利用等体积法：VE ﹣DBD1=VD1﹣DBE ．求解即得． 【解答】解：（1）取BD 中点M ． 连接MC ，FM ． ∵F 为BD1中点， ∴FM ∥D1D 且FM=D1D ．又EC CC1且EC ⊥MC ， ∴四边形EFMC 是矩形∴EF ⊥CC1．又FM ⊥面DBD1． ∴EF ⊥面DBD1．∵BD1⊂面DBD1．∴EF ⊥BD1． 故EF 为BD1与CC1的公垂线．（Ⅱ）解：连接ED1，有VE ﹣DBD1=VD1﹣DBE ． 由（Ⅰ）知EF ⊥面DBD1， 设点D1到面BDE 的距离为d ． 则．∵AA1=2，AB=1． ∴，， ∴．∴故点D1到平面DBE 的距离为．【点评】本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．8. （2003•全国新课标•文）已知抛物线1C ：22y x x =+和2C ：2y x a =-+，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.⑴a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； ⑵若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.【分析】⑴先分别求出各自在某点处的切线，然后根据是公切线建立等量关系，要使1C 和2C 有且仅有一条公切线，可利用判别式进行判定；⑵分别求出1C 和2C 有两条公切线段的中点坐标，发现两者相等，从而证明了相应的两条公切线段互相平分． 【解答】解：⑴函数22y x x =+的导数为22y x '=+，则曲线1C 在点1(P x ，2112)x x +的切线方程是：21111(2)(22)()y x x x x x -+=+- 即211(22)y x x x =+-①函数2y x a =-+的导数为2y x '=-，则曲线2C 在点2(Q x ，22)x a -+的切线方程是2222()2()y x a x x x --+=-- 即2222y x x x a =-++②如果直线l 是过P 和Q 的公切线， 则①式和②式都是l 的方程，故121x x +=-，2212x x a -=+.消去2x 得方程2112210x x a +++=.当判别式442(1)0a ∆=-⨯+=，即12a =-时解得112x =-，此时点P 与Q 重合.即当12a =-时1C 和2C 有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为14y x =-.⑵证明：由⑴可知． 当0∆>即12a <-时1C 和2C 有两条公切线.设一条公切线上切点为：1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y . 其中P 在1C 上，Q 在2C 上，则有121x x +=-，2222121121112()2(1)1y y x x x a x x x a a +=++-+=+-++=-+线段P Q 的中点为1(2-，1)2a -+.同理，另一条公切线段P Q ''的中点也是1(2-，1)2a -+.所以公切线段P Q 和互相P Q ''平分.【点评】本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力，属于中档题．9. （2003•全国新课标•文）已知数列{}n a 满足11a =，113(2)n n n a a n --=+≥.⑴求2a ，3a ； ⑵证明：312nn a -=.【分析】⑴由11a =，113(2)n n n a a n --=+≥，当2n =时可求2a ，3n =时求得3a .⑵利用递推式构造113n n n a a ---=，然后通过累加可求出n a .【解答】解：⑴∵11a =，∴2314a =+=，233413a =+=； ⑵证明：由已知113(2)n n n a a n ---=≥故112()()n n n n n a a a a a ---=-+-+…211()a a a +-+1233n n --=++ (31312)n-++=，2n ≥当1n =时，也满足上式． ∴312nn a -=.【点评】本题是个基础题，主要考查由递推式求数列的项和累加法求数列的通项，注意验证1n =． 20．（12分）在三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验． （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率； （Ⅱ）求至少有两件不合格的概率．（精确到0.001） 【分析】（1）要求恰有一件不合格的概率，我们根据P=P （A •B •）+P （A ••C ）+P （•B •C ），根据已知条件，算出式中各数据量的值，代入公式即可求解． （2）我们可以根据至少有两件不合格的概率公式P=P （A ••）+P （•B •）+P （••C ）+P （••），根据已知条件，算出式中各数据量的值，代入公式即可求解．也可以从对立事件出发根据（1）的结论，利用P=1﹣P （A •B •C ）+P （A •B •）+P （A ••C ）+P （•B •C ）进行求解．【解答】解：设三种产品各抽取一件， 抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C ．（Ⅰ）P （A ）=0.90，P （B ）=P （C ）=0.95． P =0.10，P =P =0.05． 因为事件A ，B ，C 相互独立， 恰有一件不合格的概率为P （A •B •）+P （A ••C ）+P （•B •C ）=P （A ）•P （B ）•P （）+P （A ）•P （）•P （C ）+P （）•P （B ）•P （C ） =2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95=0.176 答：恰有一件不合格的概率为0.176；（Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为P （A ••）+P （•B •）+P （••C ）+P （••） =0.90×0.052+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.052 =0.012．答：至少有两件不合格的概率为0.012． 解法二：三件产品都合格的概率为 P （A •B •C ）=P （A ）•P （B ）•P （C ） =0.90×0.952 =0.812．由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176， 所以至少有两件不合格的概率为 1﹣P （A •B •C ）+0.176 =1﹣（0.812+0.176） =0.012．答：至少有两件不合格的概率为0.012．【点评】本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．10. （2003•全国新课程•文）已知函数()sin ()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3(4M π，0)对称，且在区间[0，]2π上是单调函数.求ϕ和ω的值.【分析】由()f x 是偶函数可得ϕ的值，图象关于点3(4M π，0)对称可得34ωπϕ+=k π，k Z ∈，可得ω的可能取值，结合单调函数可确定ω的值.【解答】解：由()f x 是偶函数，得2k πϕπ=+，k Z ∈，由0ϕπ≤≤可得2πϕ=，从而()sin ()c o s 2f x x x πωω=+=由()f x 的图象关于点3(4M π，0)对称，得342k πωππ+=，k Z ∈又0ω>，∴2(21)3k ω=-，*k N ∈又函数()f x 在区间[0，]2π上是单调函数，则122T ππω≤=，即2ω≤∴2(21)23k -≤，解得2k ≤当1k =时，23ω=，2()c o s3f x x =在[0，]2π上是减函数，满足题意； 当2k =时，2ω=，()c o s 2f x x =在[0，]2π上是减函数，满足题意；所以，综合得23ω=或2.【点评】本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力.22．（14分）已知常数a＞0，向量=（0，a），=（1，0），经过原点O以+λ为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以﹣2λ为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．【分析】根据和，求得+λ和﹣2λ进而可得直线OP和AP的方程，消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程，进而整理可得关于x和y的方程，进而看当时，方程为圆不符合题意；当时和当时，P的轨迹为椭圆符合两定点．【解答】解：∵=（0，a），=（1，0），∴+λ=（λ，a），﹣2λ=（1，﹣2λa）．因此，直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y﹣a=﹣2λax．消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程y（y﹣a）=﹣2a2x2．整理得．①因为a＞0，所以得：（i）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；（iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点．【点评】本题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．。

第1页（共15页）2003年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）直线2y x =关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．12y x =-B ．12y x =C ．2y x =-D ．2y x =2．（5分）已知(2x π∈-，0)，4cos 5x =，则tan 2x 等于( ) A ．724B ．724-C ．247D ．247-3．（5分）抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a 的值为( ) A ．18B ．18-C ．8D ．8-4．（5分）等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33n a =，则n 为( )A ．48B ．49C ．50D ．515．（5分）双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，12120F MF ∠=︒，则双曲线的离心率为( ) ABCD6．（5分）设函数12210()0x x f x xx -⎧-⎪=⎨⎪>⎩…若0()1f x >，则0x 的取值范围是( )A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(-∞，2)(0-⋃，)+∞D ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞7．（5分）已知5()f x lgx =，则f （2）(= ) A ．2lgB ．32lgC ．132lgD ．125lg8．（5分）函数sin()(0)y x ϕϕπ=+剟是R 上的偶函数，则(ϕ= ) A ．0B ．4πC ．2π D ．π9．（5分）已知点(a ，2)(0)a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则(a = ) AB．2C1D110．（5分）已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为34R ，该圆柱的全面积为( )。

绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文史类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 其中c '、c 分别表示上、下底面)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球，其中R 表示球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于 （ ）A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}11|{>-<x x x 或2．设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（ ）A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 23．“232c o s -=α”是“Z k k ∈+=,1252ππα”的 （ ） A ．必要非充分条件 B ．充分非必要条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 4．已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．正确的是 （ ）A ．若m ∥α，α∩β=n ，则m//nB ．若m ∥n ，α∩β=n ，则n ⊥αC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β5．如图，直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点F 1和 一个顶点B ，该椭圆的离心率为 （ ）A ．51 B ．52C ．55 D ．552 6．若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 （ ）A ．π2B ．π23C ．π332 D ．π218．若数列{}n a 的通项公式是 ,2,1,23)1(3=-+=--n a n n n n ，则)(lim 21n n a a a +++∞→ 等于（ ）A ．241B ．81 C ．61 D ．21 9．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上， 其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 （ ） A ．24种 B ．18种 C ．12种 D ．6种10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 ⎩⎨⎧=.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ） A ．kk a a a a a a 2222111211+++++++B ．2221212111k k a a a a a a +++++++C ．2122211211k k a a a a a a +++D ．k k a a a a a a 2122122111+++第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为12．函数x tg x h x x g x x f 2)(|,|2)(),1lg()(2=-=+=中， 是偶函数.13．以双曲线191622=-y x 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是14．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数.sin cos sin 2cos )(44x x x x x f --= （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 的最大值、最小值. 16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令).(3R x a b n n n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式.17．（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a.（Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；（Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离；（Ⅲ）判断A1B与平面ADC的位置关系，并证明你的结论.CBC B118．（本小题满分15分）如图，A 1，A 为椭圆的两个顶点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点. （Ⅰ）写出椭圆的方程及准线方程；（Ⅱ）过线段OA 上异于O ，A 的任一点K 作OA 的垂线，交椭圆于P ，P 1两点，直线 A 1P 与AP 1交于点M.求证：点M 在双曲线192522=-y x 上.19．（本小题满分14分）有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？20．（本小题满分14分）设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件： （i ）;0)1()1(==-f f（ii ）对任意的.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有 （Ⅰ）证明：对任意的;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有 （Ⅱ）判断函数⎩⎨⎧∈--∈+=]1,0[,1)0,1[,1)(x x x x x g 是否满足题设条件；（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数)(x f y =，且使得对任意的 .|)()(|],1,1[,v u v f u f v u -=--∈都有若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（文史类）（北京卷）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.1．A 2．D 3．A 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.11．3 12．)();(x g x f 13．)4(362--=x y 14．44+π三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分. （Ⅰ）解：因为x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=)42cos(22sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos 2222π+=-=--+=x x x x x x x x所以)(x f 的最小正周期.22ππ==T （Ⅱ）解：因为),42cos(2)(π+=x x f 所以)(x f 的最大值为2,最小值为－216．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分.（Ⅰ）解：设数列}{n a 公差为d ，则,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a所以.2n a n=（Ⅱ）解：由,323n n n nn a b ==得,323)22(343212n n n n n S ⋅+-+⋅+⋅=- ①.323)22(34323132+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ②将①式减去②式，得 .32)13(332)333(22112++⋅--=⋅-++-=-n n n n n n n S所以.32)31(31+⋅+-=n nnn S17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分.（Ⅰ）证法一：∵点D 是正△ABC 中BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，又A 1A ⊥底面ABC ，∴A 1D ⊥BC ，∵BC ∥B 1C 1，∴A 1D ⊥B 1C 1.证法二：连结A 1C 1，则A 1C=A 1B. ∵点D 是正△A 1CB 的底边中BC 的中点， ∴A 1D ⊥BC ，∵BC ∥B 1C 1，∴A 1D ⊥B 1C 1.（Ⅱ）解法一：作DE ⊥AC 于E ， ∵平面ACC 1⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ACC 1于E ，即DE 的长为点D 到平面ACC 1的 距离. 在Rt △ADC 中，AC=2CD=.23,a AD a =∴所求的距离.43a AC AD CD DE =⋅=C 1解法二：设点D 到平面ACC 1的距离为x ， ∵体积111ACC D ACDC V V --= .21318331112x CC a CC a ⋅⋅⋅=⋅⋅∴,43a x =∴即点D 到平面ACC 1的距离为a43.（Ⅲ）答：直线A 1B//平面ADC 1，证明如下：证法一：如图1，连结A 1C 交AC 1于F ，则F 为A 1C 的中点，∵D 是BC 的中点，∴DF ∥A 1B ， 又DF ⊂ 平面ADC 1，A 1B ⊄平面ADC 1，∴A 1B ∥平面ADC 1. 证法二：如图2,取C 1B 1的中点D 1，则AD ∥A 1D 1，C 1D ∥D 1B ，∴AD ∥平面A 1D 1B ，且C 1D ∥平面A 1D 1B ，∴平面ADC 1∥平面A 1D 1B ，∵A 1B ⊂平面A 1D 1B ，∴A 1B ∥平面ADC 1.图（2）图（1）C 11C18．本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分. （Ⅰ）解：由图可知,.3a b ,4,522=-===c c a 所以该椭圆的方程为,192522=+y x准线方程为.425±=x（Ⅱ）证明：设K 点坐标)0,(0x ,点P 、P 1的坐标分别记为),(),,(0000y x y x -， 其中,500<<x 则,1925202=+y x ……① 直线A 1P ，P 1A 的方程分别为： ),5()5(00+=+x y y x ……② ).5()5(00-=-x y y x ……③②式除以③式得,555500-+=-+x x x x 化简上式得,250x x=代入②式得,500x y y = 于是，直线A 1P 与AP 1的交点M 的坐标为).5,25(00x y x 因为.1)251(2525)5(91)25(25120202020020=--=-x x x x y x所以，直线A 1P 与AP 1的交点M 在双曲线上192522=+y x .19．本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）解：设P 的坐标为（0，y ），则P 至三镇距离的平方和为.146)4(3)12()25(2)(222+-=-++=y y y y f所以，当4=y 时，函数)(y f 取得最小值. 答:点P 的坐标是).4,0(（Ⅱ）解法一：P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥++=.|12|25|,12||,12|25,25)(222y y y y y y x g 当当由|12|252y y -≥+解得,24119≥y 记,24119*=y 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.|,12|,,25)(**2y y y y y y x g 当当 因为225y +在[),*+∞y 上是增函数，而]y ,(-|12|*∞-在y上是减函数. 所以*y y =时,函数)(y g 取得最小值. 答:点P 的坐标是);24119,0( 解法二：P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥++=.|12|25|,12||,12|25,25)(222y y y y y y x g 当当 由|12|252y y -≥+解得,24119≥y 记,24119*=y 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.|,12|,,25)(**2y y y y y y x g 当当 函数)(y g x =的图象如图)(a ，因此，当*y y =时，函数)(y g 取得最小值.答:点P 的坐标是);24119,0(解法三：因为在△ABC 中，AB=AC=13,且，(b).,4,51222如图π=∠=>=-ACB OC OC AC 所以△ABC 的外心M 在线段AO 上,其坐标为)24119,0(, 且AM=BM=CM. 当P 在射线MA 上，记P 为P 1；当P 在射线MA 的反向延长线上，记P 为P 2，这时P 到A 、B 、C 三点的最远距离为P 1C 和P 2A ，且P 1C ≥MC ，P 2A ≥MA ，所以点P 与外心M重合时，P 到三镇的最远距离最小.答:点P 的坐标是);24119,0( 20．本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当]1,1[-∈x 时，有,1|1||)1()(||)(|x x f x f x f -=-≤-= 即.1)(1x x f x -≤≤-（Ⅱ）答：函数)(x g 满足题设条件.验证如下：).1(0)1(g g ==- 对任意的]1,1[,-∈v u ，当|;||)1()1(||)()(|,0,1][,u v u v u v g u g v -=---=-∈有时当|;||)()(|,,0]1-[,u v u v g u g v -=-∈同理有时 当0,u <⋅v不妨设],1,0(),0,1[∈-∈v u 有.|||||)1()1(||)()(|u v v u v u v g u g -≤+=--+=-所以，函数)(x g 满足题设条件.（Ⅲ）答：这样满足的函数不存在.理由如下：假设存在函数)(x f 满足条件，则由,0)1()1(==-f f 得,0|)1()1(|=--f f ① 由于对任意的]1,1[,-∈v u ，都有.|||)()(|v u v f u f -=-所以，.2|)1(1||)1()1(|=--=--f f ② ①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.。