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角度制、弧度制、诱导公式

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第一章：三角函数第一课时一、知识清单1．任意角的概念：设角的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在坐标平面内.终边绕顶点旋转即可产生正角、负角和零角.象限角：若角α的终边在第几象限，则称α为第几象限角；角还可以分为象限角和坐标轴上的角。

注：与α终边相同的角连同α在内构成集合为{}360,S k k Zββα==+⋅︒∈2．弧度制的概念：与半径等长的圆弧所对的圆心角称为1rad （弧度）的角. 角度与弧度的互化公式：0rad=180π 1rad=57.3°3扇形的弧长公式：l = r α（扇形的圆心角为α弧度，半径为r ）； 扇形的面积公式：S 21122lr r α==4.三角函数的定义：α终边上任意一点P （非原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+=+>，那么比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin yr α=； 比值r x 叫做α的余弦，记作αcos ，即cos x r α=；比值x y 叫做α的正切，记作αtan ，即tan y xα=；（1）三角函数在各象限的符号： 正弦、余弦分别对应纵、横坐标 （2）特殊角三角函数值： 0°30°45°60°90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 270°sin cos二、方法技巧题型一 角的概念辨析例1 下列各命题正确的是（ ）A ．0°~90°的角是第一象限角B ．第一象限角都是锐角C ．锐角都是第一象限角D ．小于90°的角都是锐角 题型二 终边相同的角例2 与-457°角终边相等的角的集合是（ ）A ．}{Z k k ∈︒+︒⋅=，457360|ααB ．}{Z k k ∈︒+︒⋅=，97360|ααC ．}{Zk k ∈︒+︒⋅=，263360|αα D ．}{Z k k ∈︒-︒⋅=，263360|αα例3 如果角α与β终边相同，则有（ ）A ．α-β=πB ．α+β=0C ．α-β=2k π（k ∈Z ）D ．α+β=2k π（k ∈Z ） 题型三 已知角α所在象限，求角2α、2α所在象限问题例4 已知角α是第二象限角，求角2α是第几象限角若α是第一象限角，则2α是第几象限角？α是第二象限角，则3α是第几象限角？题型四 弧度制的概念问题例6 下列诸命题中，假命题是（ ） A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B ．一度的角是周角的3601，一弧度的角是周角的π21C ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位D ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关题型五 角度与弧度互化问题例7 （1）将112°30′化为弧度 （2）将125π-rad 化为度题型六 与弧长、扇形面积有关问题例8 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，试求扇形的中心角的弧度数题型七 用弧度表示终边相同角的问题例9 将-1485°表示成Z k k ∈+,2απ的形式，且πα20<≤题型八 由两角终边的位置确定两角的关系例10 若角α、β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系一定是（ ） A ．α=-β B ．α=180°+βC ．α=k ²360°+β（k ∈Z ） D. α= k ²360°+180°+β（k ∈Z ）题型九 实际应用题例 11 经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？例12 一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2km ，一列火车用每小时30km 的速度通过，10s 间转过多少弧度？题型十 三角函数的定义及应用例13 已知角θ终边上一点P （x ,3）（x ≠0），且x 1010cos =θ，求θθtan ,sin题型十一 三角函数值在各象限的符号例14 下列各三角函数值：①sin 1125°；②1237sin 1237tanππ⋅；③4cos 4sin ；④1cos 1sin -.其中为负值的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4巩固练习一、选择题1．sin(－270°)＝( )A ．－1B ．0 C.12D ．12．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( ) A.π3 B.2π3C. 3D. 2 3．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6 C ．－π3 D ．－π6 4．已知角α的终边上一点的坐标为]32cos ,32[sinππ，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.2π3 C.5π3 D.11π65．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧P A 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )6．设集合}|{},,32|{πσπσππσσ<<-=∈-==N Z k k M ，则N M ＝________. 7．已知3πα=。

(1)写出所有与α终边相同的角； (2)写出在)2,4(ππ-内与α终边相同的角；(3)若角β与α终边相同，则2β11．已知θθcos |cos |-=，且0tan <θ，试判断θθθθsin cos cos sin -的符号．12．如图，动点P 、Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转3π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转6π弧度，求P 、Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P 、Q 各自走过的弧长．第二课时一、知识清单：1、三角函数的诱导公式公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin )2(απ+k ＝sin )(Z k ∈α cos )2(απ+k ＝cos )(Z k ∈αtan )2(απ+k ＝tan )(Z k ∈α cot )2(απ+k ＝cot )(Z k ∈α公式二： 设α为任意角，απ+的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin )(απ+＝－sin α cos )(απ+＝－cos α tan )(απ+＝tan α cot )(απ+＝cot α公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin )(α-＝－sin α cos )(α-＝cos α tan )(α-＝－tan α cot )(α-＝－cot α公式四： 利用公式二和公式三可以得到απ-与α的三角函数值之间的关系：sin )(απ-＝sin α cos )(απ-＝－cos α tan )(απ-＝－tan α cot )(απ-＝－cot α公式五： 利用公式一和公式三可以得到απ-2与α的三角函数值之间的关系：sin )2(απ-＝－sin α cos )2(απ-＝cos αtan )2(απ-＝－tan α cot )2(απ-＝－cot α公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin （π/2＋α）＝cos α cos （π/2＋α）＝－sin αtan （π/2＋α）＝－cot α cot （π/2＋α）＝－tan αsin （π/2－α）＝cos α cos （π/2－α）＝sin αtan （π/2－α）＝cot α cot （π/2－α）＝tan αsin （3π/2＋α）＝－cos α cos （3π/2＋α）＝sin αtan （3π/2＋α）＝－cot α cot （3π/2＋α）＝－tan αsin （3π/2－α）＝－cos α cos （3π/2－α）＝－sin αtan （3π/2－α）＝cot α cot （3π/2－α）＝tan α （以上k ∈Z ）注意：在做题时，将α看成锐角来做会比较好做。

规律总结上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α（k ∈Z ）的三角函数值，①当k 是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k 是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin →cos ；cos →sin ；tan →cot ，cot →→tan. （奇变偶不变，符号看象限）2、三角函数的图象和性质1）正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22xk ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22xk ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2xk ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴2）用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法): 正弦函数x y sin =,]2,0[π∈x 的图象中, 五个关键点是:)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(ππππ- 函 数性 质余弦函数x y cos =,]2,0[π∈x 的图像中, 五个关键点是:)1,2(),0,23(),1,(),0,2(),1,0(ππππ- 要求：能够熟练绘制正余弦函数图象.二、方法提炼（补充课本例题讲解） 例1. 化简：（1）)1050sin()600cot()420cos()210cos()150tan(︒-︒-︒-︒-︒-（2）cos(sin(2)sin()cos(πααπαππα+)⋅+--⋅--)化简：（1）sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-. （2）24sin(2)cos()33n n ππππ+++，（n Z ∈）.例2.21)cos(-=+απ，计算)cos()sin(2)12(sin 2)12(sin παπαπαπαn n n n -∙+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++()Z k ∈.)sin()360cos()810tan()450tan(1)900tan()540sin(00000x x x x x x --⋅--⋅--例3.已知1sin()33πα-=，则cos ?6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭例4.已知关于x 的方程()22310x x m --+=的两个根()()sin ,cos .0,2θθθπ∈（1）求m 的值.（2）方程的两根及此时θ的值？.273021cos ,sin 2παπαα<<=+-的两根，且的方程是关于已知ax x x.)900sin()180cos()6cos()2sin()6tan(的值求αααπαπαπ-︒︒--+--例 5求下列函数的定义域: (1)1sin 2+=x y (2)x x y cos 162-+-=巩固练习（1）求函数1sin 1log 2-=xy 的定义域。

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诱导公式

诱导公式

诱导公式【达标要求】熟记诱导公式，能够运用诱导公式进行简单的三角函数的化简及证明.【知识梳理】诱导公式一：(其中k∈Z) 用弧度制可写成sin(α+ k·360o) = sinαsin(α+2kπ) = sinαcos(α+k·360o) = cosα，cos(α+2kπ) = cosα，ta n(α+k·360o) = tanαtan(α+2kπ) = tanα诱导公式二：(其中k∈Z) 用弧度制可写成sin(k·360o－α) = －sinαsin(2kπ－α) = －sinα，cos(k·360o－α) = cosαcos(2kπ－α) = cosα，ta n(k·360o－α) = －tanαta n(2kπ－α) = －tanα诱导公式三：(其中k∈Z) 用弧度制可写成sin(k·180o-α) = sin αsin(π-α) = sin αcos(k·180o-α) = - cos αcos(π-α) = - cos αtan(k·180o-α) = - tan αtan(π-α) = - tan α诱导公式四：(其中k ∈Z )sin(-α) = -sin αcos(-α) = cos αtan(-α) = -tan α诱导公式五：(其中k ∈Z ) 用弧度制可写成 sin(180o + α) = -sin α sin(π + α) = -sin α cos(180o + α) = -cos α cos(π + α) = -cos α tan(180o + α) = tan α tan(π + α) = tan α诱导公式六：(其中k ∈Z ) 用弧度制可写成ααcos )90sin(=-o ααπcos )2sin(=-ααsin )90cos(=-oααπsin )2cos(=-tan(o 90－ α) =cot α tan(2π－ α) =cot α诱导公式七：(其中k ∈Z )ααcos )90sin(=+o ααπcos )2sin(=+ ααsin )90cos(-=+oααπsin )2cos(-=+tan(o 90+ α) =－cot α tan(2π+ α) =－cot α【说明】：①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③记忆方法： “函数名不变，符号看象限”； 【方法小结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为)2,0[π内的三角函数； ③化为锐角的三角函数。

高考数学 三角函数

高考数学 三角函数


tan 例、已知 1, 求 tan 1 sin 3 cos 2 （ 1 ） , (2) sin sin cos 2 sin cos
一、概念
1.3、诱导公式
k k sin( ), cos( ) 2 2
奇变偶不变，符号看象限
一、概念
f ( x) f (2a x) : 函数关于直线x a轴对称 f ( x) f (2a x) : 函数关于点（a， 0）中心对称
（2）变形
ab f (a x) f (b x) : 函数关于直线x 轴对称 2 ab f (a x) f (b x) : 函数关于点（ ， 0）中心对称 2
O
M
Ax
正弦线：MP 余弦线：OM 正切线：AT
例、若x (0, ), 求证： sin x x tan x 2

一、概念
1.2、任意角的三角函数——同角三角函数关系
sin tan cos
sin cos 1
2 2
一、概念
1.2、同角三角函数关系——切割化弦

倍
三、图像
1.2、y=Asin(ω x+ψ )——图像变换
三、图像
1.3、y=Asin(ω x+ψ )——图像的向量变化
特别关注：向量
设函数图像按向量
平移后：
m (a, b) 进行平移
x
y
( x a)
( y b)
三、图像
1.3、y=Asin(ω x+ψ )——图像的向量变化
一、概念
1.3、诱导公式
例、y sin(x )( [0,2 ])是偶函数，则 （） 例、y sin(x )( [0,2 ])是奇函数，则 （） 例、y sin(x )是偶函数，则 （） 例、y sin(x )是奇函数，则 （）
(精心整理)高中数学三角函数专题(重要知识点和经典方法大合集)

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专题复习—— 三角函数（一）知识梳理1、 角度制与弧度制的互化10.01745180180157.30rad rad rad ππ⎧=≈⎪⎪⎨⎛⎫⎪=≈ ⎪⎪⎝⎭⎩2、 扇形公式22(11=22180(=360l R R lR n R l n n R αααππ⎧=⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩①弧长弧度制为弧度)②扇形面积S ①弧长角度制为角度)②扇形面积S3、 同角三角函数恒等式22sin sin cos 1cos (sin tan cos cos sin ααααααααααα⎧⎧=⎪⎪⎪⎪+=⇒=⎨⎪⎪⎪±⎪⎩⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎧=⎪⎪⎪⎪±⎨⎪⎪⎪=⎪⎪⎩⎩①其中“”由所在象限确定）②③推论其中“”由所在象限确定）4、 诱导公式sin(2)sin sin()sin cos(2)cos cos()cos tan(2)tan tan()tan sin()sin sin()sin cos()cos cos()cos tan()tan tan()tan s k k k απαπαααπαπαααπαπααααπααααπααααπαα+=+=-⎧⎧⎪⎪+=+=-⎨⎨⎪⎪+=+=⎩⎩-=--=⎧⎧⎪⎪-=-=-⎨⎨⎪⎪-=-=-⎩⎩公式一公式二公式三公式四公式五in()cos sin()cos 22cos()sin cos()sin 2233sin()cos sin()cos 2233cos()sin cos()sin 22ππααααππααααππααααππαααα⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎧⎨-=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪-=+=-⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎧⎪-=-+=-⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪-=-+=⎪⎪⎩⎩⎩公式六推论1推论25、差（和）角公式cos()cos cos sin sincos()cos cos sin sinsin()sin cos cos sinsin()sin cos cos sintan tantan()1tan tantan tantan()1tan tanαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧-=+⎪+=-⎪⎪-=-⎪⎪+=+⎨-⎪-=⎪+⎪+⎪+=⎪-⎩余余正正号相反正余余正号相同6、二倍角公式（倍角公式）22222221sin22sin cos sin cos sin22cos2cos sin1cos2cos212sin sin21cos2 cos22cos1cos22tantan21tanαααααααααααααααααααα⎧⎪=⇒=⎪⎪=-⎪⎪-⎪=-⇒=⎨⎪+⎪=-⇒=⎪⎪⎪=⎪-⎩7、正弦定理及推论2(sin sin sin2sin,2sin,2sinsin,sin,sin222::sin:sin:sinsin sin sin,,sin sin sina b cR R ABCA B Ca R Ab R Bc R Ca b cA B CR R Ra b c A B Ca A a Ab Bb Bc C c C⎧===∆⎪⎪===⎪⎪⎪===⎨⎪⎪=⎪⎪===⎪⎩①为外接圆的半径）②③④⑤8、余弦定理及推论222 222222 222222 2222cos cos22cos cos22cos cos2b c a a b c bc A Abca c bb ac ac B Baca b c c a b ab C Cab⎧+-=+-⇒=⎪⎪+-⎪=+-⇒=⎨⎪⎪+-=+-⇒=⎪⎩9、三角形面积公式1(21()(2111=sin sin sin222S ah aS r a b c r ABCS ab C ac B bc A⎧=⎪⎪⎪=++∆⎨⎪⎪==⎪⎩为底，h为高）为内切圆的半径）10、求最小正周期的公式sin()2= cos()tan()= y A x kTy A x ky A x k Tωϕπωϕωπωϕω⎧=++⎪=++⎪⎨⎪=++⎪⎩最小正周期为的最小正周期为11、正弦函数y=sinx[]maxmin111+2,2,22(2)3+2,2,.222()1;2(3)2() 1.2(4)((5)y sinRk k k Zk k k Zx k k Z yx k k Z yk k Z kxππππππππππππππ-⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩⎧+∈=⎪⎪⎨⎪+∈=-⎪⎩∈≠=（）定义域：，值域：，在单调递增；单调性在单调递减当且仅当=时，最值当且仅当=-时，周期性：周期为2且0),最小正周期为2.奇偶性：,;(6)2.Rx k k Zk k Zπππ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧+∈⎪⎪⎨⎪⎪∈⎪⎩⎩为上的奇函数.①为轴对称图形，对称轴为=对称性②为中心对称图形，对称中心为（,0),12、余弦函数y=cosx[][][]maxmin111+2,2,(2)2,2,.2()1;(3)2() 1.(4)((5)y cos,(6)Rk k k Zk k k Zx k k Z yx k k Z yk k Z kx Rx k kππππππππππππ-⎧-∈⎪⎨+∈⎪⎩∈=⎧⎨+∈=-⎩∈≠=（）定义域：，值域：，在单调递增；单调性在单调递减当且仅当=时，最值当且仅当=时，周期性：周期为2且0),最小正周期为2.奇偶性：为上的偶函数.①为轴对称图形，对称轴为=对称性;+.2Zk k Zππ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪∈⎧⎪⎪⎪⎨∈⎪⎪⎩⎩②为中心对称图形，对称中心为（,0),13、正切函数y=tanx1|,,22-+,),.22(3)(0.(4)y tan(5),0),.2x x k k Z Rk k k Zk k Z kxkk Zπππππππππ⎧⎧⎫≠+∈⎪⎨⎬⎩⎭⎪⎪+∈⎪⎪⎪∈≠⎨⎪=⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪∈⎪⎪⎩⎩（）定义域：值域：（）单调性：在开区间（单调递增周期性：周期为且），最小正周期为奇偶性：为奇函数.①不是轴对称图形；对称性②是中心对称图形，对称中心为(14、简谐运动sin()y A xωϕ=+[)2=1(0,0,0,)2xA xTπωωωπωϕϕ⎧⎪⎪⎪⎪⎪=>>∈+∞⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩①振幅：A②周期：T③频率：f=其中④相位：x+⑤初相：=0时的相位2222sin cos)(tan)0)sin cos)(tan)ba xb x a b xaa aa xb x a b xbωωωϕϕωωωϕϕ⎧+=++=⎪⎪⎨>⎪+=+-=⎪⎩①其中15、三角恒等变换之辅助角公式（其中②其中辅助角公式的证明如下：证明：asin xω+bcos xω22a b+22a b+sin xω22a b+cos xω),①22a b+=cosϕ22a b+=sinϕ,则asin xω+bcos xω22a b+xωcosϕ+cos xωsinϕ)22a b+xω+ϕ) (其中tanϕ=ba)② 22a a b+=sin ϕ22b a b+ϕ,则asin x ω+bcos x ω22a b +x ωsin ϕ+cos x ωcos ϕ) 22a b +x ω-ϕ),(其中tan ϕ=a b) 注：其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出；或由tan ϕ=ba和(a,b)所在的象限来确定. 例：化简32cos 2y x x =+.法一：逆用差（和）角公式3132cos 22(2cos 2)2(sin 2cos cos 2sin )2sin(2)2666y x x x x x x x πππ=+=+=+=+法二：应用辅助角公式32cos 22sin(2)6y x x x π=+=+ (其中3tan 363πϕϕ==⇒=)（二）考点剖析考点一：正、余弦定理，三角形面积公式的应用 例1: 在△ABC 中，C ＝2B ，AB AC ＝43. (1)求cos B ；(2)若BC ＝3，求S △ABC . 解：(1)由C ＝2B 和正弦定理得sin C ＝2sin B cos B ＝2·AC AB sin C ·cos B ∴cos B ＝AB 2AC ＝23 (2)设AC ＝3x ，则AB ＝4x . 由余弦定理得(3x )2＝(4x )2＋32－2×4x ×3cos B ，即9x 2＝`16x 2＋9－16x ∴7x 2－16x ＋9＝0 解得x ＝1或x ＝97当x ＝1时，AC ＝3，AB ＝4 ∴S △ABC ＝12BA ×BC ×sin B ＝12×4×3×53＝2 5.当x ＝97时，AC ＝277，AB ＝367 ∴S △ABC ＝12BA ×BC ×sin B ＝12×367×3×53＝1875.考点二：利用正、余弦定理判断三角形的形状例2:在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1) 2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C由正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ① 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A12cos cos 2bc A bc A ∴-=⇒=- 又0A π<< 23A π∴=. (2)由①得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C 又sin B ＋sin C ＝1 ∴sin B ＝sin C ＝12又0,022B C ππ<<<<∴B ＝C ∴△ABC 是等腰三角形．考点三：三角恒等变换之辅助角公式：sin cos )(tan )ba xb x x aωωωϕϕ+=+=其中例3：已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =+，x R ∈（1） 求f(x)的最小正周期及最大值； （2） 求函数f(x)的单调递增区间； （3） 若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数f(x)的值域 .解：2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++（1） f(x)的最小正周期为22T ππ==，最大值为max ()1f x =. （2） 由222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得3,88k x k k πππππ-+≤≤+∈∴函数f(x)的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（3）02x π≤≤52444x πππ∴≤+≤sin(2)14x π≤+≤ 0)114x π∴≤++≤即0()1f x ≤≤∴函数f(x)的值域为1⎡⎤⎣⎦即时训练：已知函数22(sin cos )y x x x =++x R ∈（1） 求函数f(x)的最小正周期、最小值及单调递减区间； （2） 当02x π<<时，求函数f(x)的值域.【高考地位】三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一. 掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. 这也是解决三角函数问题的前提和出发点. 在高考中常以选择题、填空题出现，其试题难度考查不大.【方法点评】方法一 切割化弦使用情景：一般三角求值类型解题模板：第一步 利用同角三角函数的基本关系sin tan cos θθθ=，将题设中的切化成弦的形式； 第二步 计算出正弦与余弦之间的关系； 第三步 结合三角恒等变换可得所求结果.例1已知1tan()2πα+=，则sin cos 2sin cos αααα-+=（ ） A ．41 B ．21 C ．41- D ．21- 【答案】C 【解析】试题分析：21tan =α，将原式上下同时除以αcos ，即411tan 21tan cos sin 2cos sin -=+-=+-αααααα，故选C.考点：同角三角函数基本关系学*科网 【变式演练1】已知2)tan(-=-απ，则=+αα2cos 2cos 1（ ）A ．3 B. 52C.25- D.3- 【答案】C 【解析】考点：诱导公式，同角间的三角函数关系，二倍角公式.方法二 统一配凑使用情景：一类特殊三角求值类型解题模板：第一步 观察已知条件中的角和所求的角之间的联系；第二步 利用合理地拆角，结合两角和（或差）的正弦（或余弦）公式将所求的三角函数值转化为已知条件中的三角函数值；第三步 利用三角恒等变换即可得出所求结果.例2已知,31tan ,71tan ==βα则=+)2tan(βα 【答案】1 【解析】 试题分析：212tan 3tan ,tan 231tan 4ββββ===-，()13tan tan 274tan 21131tan tan 2174αβαβαβ++∴+===--⨯考点：两角和的正切公式.方法三 公式活用例3 下列式子结果为3的是（ ） ①tan25tan353tan25tan35︒+︒+︒︒； ②()2sin35cos25cos35cos65︒︒+︒︒； ③1tan151tan15+︒-︒；④2tan61tan6ππ-.A. ①②B. ③C. ①②③D. ②③④ 【答案】C【高考再现】1.（2018年全国卷Ⅲ文）若，则A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 分析：由公式可得.详解：，故答案为B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.2. 【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．4.【2017山东，文4】已知3cos 4x =,则cos2x = A.14- B.14 C.18- D.18【答案】D 【解析】【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．6. 【2015高考福建，文6】若5sin13α=-，且α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．125B．125-C．512D．512-【答案】D【考点定位】同角三角函数基本关系式．【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在sinα、cosα、tanα三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角α的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题．6.（2018年全国卷II文）已知，则__________．【答案】.【解析】分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得.详解：，解方程得.学科*网点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.7.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 学#科网【反馈练习】1．【山东省济南市2018届高三第一次模拟考试数学（文）试题】若72sin 410A π⎛⎫+=⎪⎝⎭， ,4A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin A 的值为（ ）A ．35 B ． 45 C ． 35或45 D ． 34【答案】B 【解析】5,,,4424A A πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos 04A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，且22cos 1sin 4410A A ππ⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以4sin sin sin cos cos sin 4444445A A A A ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，选B. 点睛：本题主要考查同角三角函数基本关系式、两角差的正弦公式等，属于易错题.解答本题的关键是拆角，将sin A 拆成sin 44A ππ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.2．【山西省2018年高考考前适应性测试文科数学试题】已知tan 3α=，则sin21cos2αα=+（ ）A ． 3-B ． 13-C ． 13D ． 3 【答案】D 【解析】222sin cos 3122sin tan cos cos αααααα===+故选D3.【江西省上饶市2018届高三下学期第二次高考模拟数学（理）试题】000sin65sin35cos30cos35-=（ ） A ． 3-B ． 12-C ． 12D ． 3【答案】C 【解析】由题得()00000000sin 3530sin35cos30cos35sin301sin30cos35cos352+-===，故选C. 4.【河南省濮阳市2018届高三第一次模拟考试数学（理）试题】设()0,90α∈︒︒，若()3sin 7525α︒+=-，则()()sin 15sin 75αα︒+⋅︒-= ( )A ．110 B ． 2 C ． 110- D ． 2-【答案】B【解析】()()sin 75cos 15αα-=+， 所以原式等于()()()1sin 15cos 15sin 3022ααα++=+ 而()()()()2sin 302sin 75245sin 752cos 7522αααα⎡⎤⎡⎤+=+-=+-+⎣⎦⎣⎦ ， ()75275,255α+∈ ，又因为()sin 7520α+<，所以()752180,255α+∈，可求得()4cos 7525α+=- ， 那么()()()22342sin 302sin 752cos 7525510ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+-+=---= ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，那么()12sin 3022α+=，故选B. 5．【安徽省宣城市2018届高三第二次调研测试数学理试题】已知3cos 5α=， 3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．【答案】34310- 【解析】∵3cos 5α=， 3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭∴4sin 5α=- ∴3143343cos cos cos sin sin 333525πππααα-⎛⎫⎛⎫-=+=⨯+-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为343-. 三角函数的图像和性质问题【高考地位】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。

三角函数诱导公式规律口诀

三角函数诱导公式规律口诀

诱导公式是指三角函数中，利用周期性将角度比较大的三角函数，转换为角度比较小的三角函数的公式。

接下来分享三角函数诱导公式规律口诀。

三角函数诱导公式规律公式一到公式五函数名未改变，公式六函数名发生改变。

公式一到公式五可简记为：函数名不变，符号看象限。

即α+k·360°（k∈Z），﹣α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

上面这些诱导公式可以概括为：对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan。

（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

（符号看象限）三角函数诱导公式口诀奇变偶不变，符号看象限。

第一象限内任何一个角的三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦和余割是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余函数是“－”；第四象限内只有正割和余弦是“+”，其余全部是“－”。

一全正，二正弦，三双切，四余弦。

三角函数的诱导公式诱导公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等设α为任意锐角，弧度制下的角的表示：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)诱导公式二：π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系设α为任意角，弧度制下的角的表示：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα诱导公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα诱导公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα诱导公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα。