(江苏版)高考数学二轮复习 专题三 第2讲 不等式的解法与“三个二次关系” 理

第1讲 不等式的解法与三个“二次”的关系[考情考向分析] 不等式是数学解题的重要工具，一元二次不等式是江苏考试说明中的C 级内容，高考会重点考查．主要考查方向是一元二次不等式的解法及恒成立问题，其次考查不等式与其他知识的综合运用．热点一 不等式解法例1 (1)(2018·江苏兴化一中模拟)已知定义在区间[－2,2]上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝12f (x )，当－2≤x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则不等式f (x )≤x 的解集为_________．答案 [1,2]解析 当－2≤x ＜0时，解f (x )≤x 即x 2－x ≤x 得0≤x ≤2，舍去； 当0≤x ＜2时，f (x )＝12f (x －2)＝12(x －2)2－12(x －2)，解f (x )≤x 得x 2－7x ＋6≤0, 所以1≤x ≤6 ，因此1≤x ＜2； 当x ＝2时，f (2)＝12f (0)＝14f (－2)＝32＜2.综上，不等式f (x )≤x 的解集为[]1，2. (2)解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)>0.解 当a ＝0时，原不等式可化为x －2<0，所以x <2.当a ≠0时，原不等式化为a (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －2a >0，①当a >1时，2a<2，原不等式化为(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a >0，所以x <2a或x >2.②当a ＝1时，2a＝2，原不等式化为(x －2)2>0，所以x ∈R 且x ≠2.③当0<a <1时，2a>2，原不等式化为(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a >0，则x <2或x >2a.④当a <0时，2a<2，原不等式化为(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a <0，所以2a<x <2.综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜2a 或x ＞2； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠2}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜2或x ＞2a ； 当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a ＜x ＜2. 思维升华 不等式的解法主要是两种：一种是直接利用其解法直接求解，含参数的一元二次不等式要讨论二次项系数，判别式符号及两根大小；另一种方法是利用函数图象及性质求解．跟踪演练1 (1) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，则不等式f (x )≥x 2的解集是________． 答案 [－1,1]解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x ＋2≥x 2⇒－1≤x ≤0或0＜x ≤1⇒－1≤x ≤1.(2)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则不等式x ⊙(x －2)＜0的解集是____________． 答案()－2，1解析 由题意得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2， 解x (x －2)＋2x ＋x －2<0，得－2<x <1. 热点二 三个“二次”之间的关系例2 已知函数f (x )＝x |x －a |，a ∈R ，g (x )＝x 2－1. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)记函数f (x )在区间[0,2]上的最大值为F (a )， 求F (a )的表达式．解 (1)由f (x )≥g (x )，当a ＝1时， 即解不等式x |x －1|≥x 2－1. 当x ≥1时，不等式为x 2－x ≥x 2－1， 解得x ≤1，所以x ＝1；当x <1时，不等式为x －x 2≥x 2－1， 解得－12≤x ≤1，所以－12≤x <1.综上，不等式f (x )≥g (x )的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.(2)因为x ∈[0,2]，当a ≤0时，f (x )＝x 2－ax ，则f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以F (a )＝f (2)＝4－2a .当0<a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋ax ，0≤x ＜a ，x 2－ax ，a ≤x ≤2，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 2上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤a2，a 上是减函数，在区间[a,2]上是增函数，所以F (a )＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，f (2)， 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24，f (2)＝4－2a ，令f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＜f (2)，即a 24＜4－2a ，解得－4－42＜a ＜－4＋42， 所以当0＜a ＜42－4时，F (a )＝4－2a ；令f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≥f (2)，即a 24≥4－2a ， 解得a ≤－4－42或a ≥－4＋42， 所以当42－4≤a <2时，F (a )＝a 24.当a ≥2时，f (x )＝－x 2＋ax ，当1≤a 2<2，即2≤a <4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a2，2上是减函数，则F (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24； 当a2≥2，即a ≥4时，f (x )在区间[0,2]上是增函数， 则F (a )＝f (2)＝2a －4.综上，F (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－2a ，a ＜42－4，a24，42－4≤a ＜4，2a －4，a ≥4.思维升华 三个“二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0的情况转化为a >0时的情形．跟踪演练2 (1)已知m ，n 为实数，若关于x 的不等式x 2＋mx ＋n ＜0的解集为(－1,3)，则m ＋n 的值为____________________________________________________________________． 答案 －5解析 由题意得，－1,3为方程x 2＋mx ＋n ＝0的两根，因此⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＋n ＝0，9－3m ＋n ＝0，解得m ＝－2，n ＝－3，m ＋n ＝－5.(2)(2018·江苏徐州三中月考)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b ()a ，b ∈R 的值域为(]－∞，0，若关于x 的不等式f (x )>c －1的解集为()m －4，m ＋1，则实数c 的值为________．答案 －214解析 由题意得Δ＝0，a 2＋4b ＝0，∴f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22 ，由f (x )>c －1有解得c <1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22<1－c ，a2－1－c <x <a2＋1－c ，因此a 2－1－c ＝m －4，a2＋1－c ＝m ＋1，∴21－c ＝5，c ＝－214.热点三 一元二次不等式的综合问题例3 (1)(2018·镇江期末)已知函数f (x )＝x 2－kx ＋4对任意的x ∈[]1，3，不等式f (x )≥0恒成立，则实数k 的最大值为________． 答案 4解析 ∵函数f (x )＝x 2－kx ＋4对任意的x ∈[]1，3，不等式f (x )≥0恒成立，∴x 2－kx ＋4≥0，化简可得k ≤x ＋4x.∵x ＋4x≥2x ×4x＝4，当且仅当x ＝2时取等号， ∴k ≤4，∴实数k 的最大值为4.(2)已知函数f (x )＝log a (x 2－a |x |＋3)(a >0，且a ≠1)．若对于－1≤x 1<x 2≤－12的任意实数x 1，x 2都有f (x 1)－f (x 2)<0成立，则实数a 的范围是________________________________________． 答案 (0,1)∪[2,4)解析 易知已知函数为偶函数，则当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时为减函数． 对于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0，且a ≠1)，设g (x )＝x 2－ax ＋3，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，1≤a2，g (1)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a 2≤12，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞0，则2≤a <4或0<a <1.思维升华 (1)二次不等式在R 上的恒成立问题，可以利用判别式的符号解决；在某个区间上的恒成立问题，可以利用最值或者参变量分离解决．(2)含多个变量的恒成立问题首先要清楚选谁为主元，一般地，求谁的范围，谁就是参数． 跟踪演练 3 (1)若不等式x 2－kx ＋k －1>0对x ∈(1,2)恒成立，则实数k 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]解析 不等式x 2－kx ＋k －1>0对x ∈(1,2)恒成立可化为(1－x )k >1－x 2对x ∈(1,2)恒成立， 即k <1＋x 对x ∈(1,2)恒成立，而函数y ＝1＋x 在(1,2)上为单调递增函数， 所以k ≤1＋1＝2，即实数k 的取值范围是(－∞，2]．(2)若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a <0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞ 解析 方法一 设f (x )＝a |x |2－|x |＋2a ，原不等式ax 2－|x |＋2a <0的解集为∅，即f (x )≥0恒成立，令t ＝|x |，即g (t )＝at 2－t ＋2a在[0，＋∞)上恒有g (t )≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a ＜0，g (0)≥0，解得a ≥24. 方法二 当a ＝0时，－|x |<0，不等式解集为{x |x ≠0}，不满足题意；当a ≠0时，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－8a 2≤0，解得a ≥24. 综上所述，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞.1．(2018·江苏)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 答案 {x |x ≥2}解析 由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2， 满足x ＞0，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．2．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析 作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 3．已知a ∈R ，关于x 的一元二次不等式2x 2－17x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则实数a 的取值范围为________． 答案 (30,33]解析 二次函数f (x )＝2x 2－17x ＋a 的对称轴为x ＝174，所以3个整数为3,4,5.所以⎩⎪⎨⎪⎧f (3)≤0，f (6)>0，解得30<a ≤33.4．已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )<f (3x －4)的解集是________．答案 (1,2)解析 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－2x －1－1，x ＜0，作出其图象如图所示．∵f (x 2－2x )<f (3x －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＜0，x 2－2x ＜3x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜2，1＜x ＜4，∴1<x <2.5．(2018·江苏省南京市金陵中学月考)已知0≤x ≤2时，不等式－1≤tx 2－2x ≤1恒成立，则t 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54 解析 当x ＝0时， －1<0<1成立；当0<x ≤2时，有2x －1x 2≤t ≤2x ＋1x2在(0,2]上恒成立，因为2x －1x2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12＋1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2max ＝1，则t ≥1；①因为2x ＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋12－1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增， 所以⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 2min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12－1＝54，则t ≤54；② 由①②可得， 1≤t ≤54.A 组 专题通关1．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1的定义域为A,2∉A ，则a 的取值范围是________． 答案 (1,3)解析 ∵2∉A ，∴4－4a ＋a 2－1<0， 即a 2－4a ＋3<0，解得1<a <3.2．若a <0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是________． 答案 (－∞，5a )∪(－a ，＋∞)解析 由x 2－4ax －5a 2>0，得(x －5a )(x ＋a )>0， 因为a <0，所以x <5a 或x >－a .3．函数y ＝kx 2＋4kx ＋(k ＋3)的定义域是R ，则实数k 的取值范围为________． 答案 [0,1]解析 由题意知，kx 2＋4kx ＋(k ＋3)≥0的解集为R . (1)当k ＝0时，不等式为3≥0，成立．(2)当k ≠0时，kx 2＋4kx ＋(k ＋3)≥0的解集为R 等价于函数y ＝kx 2＋4kx ＋(k ＋3)的图象与x 轴至多有一个公共点，且图象上的其他点总在x 轴上方，所以⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝16k 2－4k (k ＋3)≤0，解得0<k ≤1.综上，实数k 的取值范围是[0,1]．4．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是________． 答案 [80,125) 解析 由5x 2－a ≤0，得－a5≤x ≤a5， 而正整数解是1,2,3,4， 则4≤a5＜5，∴80≤a ＜125. 5．若存在实数x ∈[1,2]满足2x 2－ax ＋2>0，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，5)解析 令f (x )＝2x 2－ax ＋2，若存在实数x ∈[1,2]满足2x 2－ax ＋2>0，则f (1)＞0或f (2)＞0，即4－a ＞0或10－2a ＞0，即a ＜4或a ＜5，故a ＜5，即实数a 的取值范围是(－∞，5)．6．已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (f (x ))≤3的解集为________．答案 (－∞，3]解析 由题意得f (f (x ))≤3⇒f (x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＜0，f 2(x )＋2f (x )≤3⇒f (x )≥－3⇒x ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，－x 2≥－3⇒x ≤ 3.7．关于x 的不等式x 2－4ax ＋4a 2＋a ＋1a －1≤0对任意x ∈R 都不成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 由题意，不等式x 2－4ax ＋4a 2＋a ＋1a －1≤0的解集为∅， 则x 2－4ax ＋4a 2＋a ＋1a －1>0对任意x ∈R 恒成立， ∴Δ＝16a 2－4⎝⎛⎭⎪⎫4a 2＋a ＋1a －1<0， 即a ＋1a －1>0，∴a 2－a ＋1a －1>0.又∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0恒成立，∴a －1>0，即a >1.8．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,5]解析 令f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，则当Δ＝4(a －2)2－4a <0，即1<a <4时，f (x )>0在R 上恒成立，符合题意；当Δ≥0，即a ≤1或a ≥4时，函数f (x )的两个零点都在[1,5]上，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1或a ≥4，1≤a －2≤5，f (1)＝1－2(a －2)＋a ≥0，f (5)＝25－10(a －2)＋a ≥0，解得4≤a ≤5.综上，实数a 的取值范围是(1,5]．9．已知集合A ＝{x |(x －6)(x －2a －5)＞0}，集合B ＝{x |[(a 2＋2)－x ]·(2a －x )＜0}． (1)若a ＝5，求集合A ∩B ；(2)已知a >12，且“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 (1)由集合A 中的不等式(x －6)(x －15)＞0， 解得x ＜6或x ＞15，即A ＝(－∞，6)∪(15，＋∞)，集合B 中的不等式为(27－x )·(10－x )＜0， 即(x －27)(x －10)＜0，解得10＜x ＜27， 即B ＝(10,27)，∴A ∩B ＝(15,27)． (2)当a ＞12时，2a ＋5＞6，∴A ＝(－∞，6)∪(2a ＋5，＋∞)，a 2＋2＞2a ，∴B ＝(2a ，a 2＋2)，∵x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，∴B ⊆A ， ∴a 2＋2≤6，∴12＜a ≤2.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.10．解关于x 的不等式：x 2－(3a ＋1)x ＋3a >0(a ∈R )．解 x 2－(3a ＋1)x ＋3a ＞0(a ∈R )等价于(x －3a )(x －1)＞0(a ∈R )． (1)当a ＜13时，3a ＜1，∴x ＜3a 或x ＞1；(2)当a ＝13时，3a ＝1，∴x ≠1；(3)当a ＞13时，3a ＞1，∴x ＜1或x ＞3a ；综上，原不等式的解集(1)当a ＜13时为(－∞，3a )∪(1，＋∞)； (2)当a ＝13时为(－∞，1)∪(1，＋∞)； (3)当a ＞13时为(－∞，1)∪(3a ，＋∞)． B 组 能力提高11．对任意x ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则a 的取值范围为________．答案 (－∞，1)解析 函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的对称轴为 x ＝－a －42＝4－a 2. ①当4－a 2<－1，即a >6时，f (x )在[－1,1]上单调递增， f (x )的值恒大于零等价于f (－1)＝1＋(a －4)×(－1)＋4－2a >0，解得a <3，故有a ∈∅；②当－1≤4－a 2≤1，即2≤a ≤6时，f (x )在[－1,1]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2， 只要f ⎝⎛⎭⎪⎫4－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 22＋(a －4)×4－a 2＋4－2a >0， 即a 2<0，故有a ∈∅；③当4－a 2>1，即a <2时，f (x )在[－1,1]上单调递减， 只要f (1)＝1＋(a －4)＋4－2a >0，即a <1，故有a <1.综上，a 的取值范围是(－∞，1)．12．已知函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2－x ＋12(a >0且a ≠1)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上恒为正，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，89∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析 设g (x )＝ax 2－x ＋12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，需满足g (x )＝ax 2－x ＋12>0，即a >1x －12x 2，设h (x )＝1x －12x 2，则h ′(x )＝1x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，∴h ′(x )≤0，h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递减，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12x 2max ＝12， 从而a >12，可得函数g (x )＝ax 2－x ＋12的对称轴为 x ＝12a<1， 从而函数g (x )＝ax 2－x ＋12在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递增， 当a >1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递增， ∴f (1)＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋12>0⇒a >32， 当12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递减， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·94－32＋12>0⇒49<a <89， 即12<a <89， 故答案为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，89∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 13．已知函数f (x )＝|x |＋|x －4|，则不等式f (x 2＋2)＞f (x )的解集用区间表示为________． 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 函数f (x )的图象如图，可知图象关于直线x ＝2对称．因为x 2＋2＞0且f (x 2＋2)＞f (x )，则必有 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2＞4，x ≥0，x 2＋2＞x 或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2＞4，x ＜0，(x 2＋2)＋x ＞4，解得x ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．14．设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在区间[－1,1]上的最小值g (a )的表达式； (2)已知函数f (x )在区间[－1,1]上存在零点，且0≤b －2a ≤1，求实数b 的取值范围． 解 (1)当b ＝a 24＋1时，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1，故其图象的对称轴为直线x ＝－a 2. 当－a 2≥1，即a ≤－2时，f (x )在[－1,1]上单调减， g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2； 当－1≤－a 2＜1，即－2<a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1； 当－a 2＜－1，即a >2时，f (x )在[－1,1]上单调增， g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2. 综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2＜a ≤2，a 24－a ＋2，a ＞2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ s ＋t ＝－a ，st ＝b .因为0≤b －2a ≤1，所以－2t t ＋2≤s ≤1－2t t ＋2(－1≤t ≤1)． 当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2， 设g (t )＝－2t 2t ＋2，则g ′(t )＝－2t (t ＋4)(t ＋2)2，当t ∈[0,1]时，g ′(t )≤0，设h (t )＝t －2t 2t ＋2，则h ′(t )＝－2t 2－8t ＋2(t ＋2)2， 当t ∈[0，5－2)时，h ′(t )＞0，当t ∈(5－2,1]时，h ′(t )＜0.所以－23≤－2t 2t ＋2≤0，－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45， 所以－23≤b ≤9－4 5. 当－1≤t ＜0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t 2t ＋2， 因为当t ∈[－1,0)时，g ′(t )＞0，h ′(t )＞0，所以－2≤－2t 2t ＋2＜0和－3≤t －2t 2t ＋2＜0， 所以－3≤b ＜0.故b 的取值范围是[－3,9－45]．。

专题03 相等关系与不等关系一、填空题1. 已知a >0，b >0，且1a +1b =1，则3a +2b +ba 的最小值等于______．【答案】11 【解析】 【分析】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．解法一：首先采用消元的思想，由条件得到a >1，且b =aa−1，然后将3a +2b +ba 化简成满足基本不等式的条件，再利用基本不等式求解最值即可．解法二：采用乘“1”法，将3a +2b +ba 化简成满足基本不等式的条件，再利用基本不等式求解最值即可． 【解答】解：解法一：由已知a >0,b >0，且1a +1b =1， 可知a >1，且b =aa−1， 则3a +2b +ba =3a +2aa−1+1a−1=3(a −1)+3a −1+5 ≥2√3(a −1)×3a−1+5=11，当且仅当3(a −1)=3a−1,a =2时等号成立． 则3a +2b +ba 的最小值等于11． 故答案为11．解法二：已知a >0，b >0，且1a +1b =1， 则3a +2b +ba =3a(1a +1b )+2b(1a +1b )+ba ， =5+3a b+3b a≥5+2√9abab =11，当且仅当3ab =3b a，即a =b =2时上式取等，故答案为：11．2.已知直线ax+by−8=0(a,b∈R)经过点(1,−2)，则2a+14b的最小值是．【答案】32【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．将(1,−2)代入直线方程，得a−2b=8，则2a+14b=2a+2−2b⩾2√2a·2−2b=2√28，即可求解．【解答】解：将(1,−2)代入直线方程，得a−2b=8，，2a+14b=2a+2−2b⩾2√2a·2−2b=2√28=32．当且仅当2a=2−2b，即a=−2b时，即a=4，b=−2时等号成立．故答案为32．3.若x>1，则2x+9x+1+1x−1的最小值是___ ．【答案】8.【解析】【分析】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．将原式化为(x+1)+9x+1+(x−1)+1x−1，利用基本不等式即可求出最小值．【解答】解：2x+9x+1+1x−1=(x+1)+(x−1)+9x+1+1x−1=(x+1)+9x+1+(x−1)+1x−1≥2√(x+1)×9x+1+2√(x−1)×1x−1≥2×3+2×1=8，当且仅当x=2时取等号．故2x+9x+1+1x−1的最小值为8．故答案为8．4. 已知函数f(x)=e x −1e x −2cos(π2−x)，其中e 为自然对数的底数，f(2a 2)+f(a −3)+f(0)<0，则实数a 的取值范围为______． 【答案】(−32,1) 【解析】 【分析】本题考查函数的奇偶性和利用导数研究函数的单调性，不等式求解，利用基本不等式求最值，余弦函数的性质，属中档题．判断f(x)为奇函数和增函数，则可化简原不等式，进而求出答案． 【解答】 解：因为，所以f(−x)=1e x −e x +2sinx =−f(x)，所以f(x)为奇函数， 且f(0)=e 0−1e 0−2sin0=0，所以f(2a 2)+f(a −3)+f(0)<0可化为f(2a 2)<f(3−a)， 又f ′(x)=e x +1e x −2cosx ≥2−2cosx ≥0， 当且仅当e x =1e x ，即x =0时，等号成立， 所以f(x)为增函数，所以f(2a 2)<f(3−a)可化为2a 2<3−a ， 解得−32<a <1，则a 的取值范围为(−32,1)． 故答案为(−32,1)．5. 在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2018=√22，则1a 2017+2a 2019的最小值为_________． 【答案】4 【解析】【分析】本题主要考查了均值不等式和等比数列的性质，属于中等题．先利用等比数列的性质得到a 2017a 2019=a 22018=12，然后利用基本不等式求最值即可．【解答】解：设公比为q(q >0)，因为a 2018=√22，所以a 2017=a 2018q=√22q，a 2019=a 2018q =√22q ，则有1a 2017+2a 2019=√2q √22q=√2q +2√2q≥2√2√q ×2q =4，当且仅当q 2=2，即q =√2时取等号，故所求最小值为4．6. 已知f(x)=|log 3x|，若a ，b 满足f(a −1)=f(2b −1)，且a ≠2b ，则a +b 的最小值为________． 【答案】32+√2 【解析】 【分析】本题考查对数的运算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 由题意得到a >1且b >12，1a +12b =1，利用基本不等式求最值即可． 【解答】解：f(x)=|log 3x|，若a ，b 满足f(a −1)=f(2b −1)， 则|log 3(a −1)|=|log 3(2b −1)|，且a −1>0，2b −1>0，所以log 3(a −1)=log 3(2b −1)或log 3(a −1)+log 3(2b −1)=0，a >1且b >12， 故a =2b(舍去)或(a −1)(2b −1)=1， 故2ab =a +2b ， 即1a +12b =1，故a +b =(a +b)(1a +12b )=32+ba +a2b ≥32+2√ba ·a2b =32+√2，当且仅当ba =a2b 且1a +12b =1时等号成立． 故a +b 的最小值为32+√2 ． 故答案为32+√2 ．7. 已知x >1，y >1，xy =10，则1lg x +4lg y 的最小值是________． 【答案】9 【解析】【分析】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题．根据xy=10，可得∴lgx+lgy=1，利用基本不等式乘“1”法求解即可．【解答】解：∵x>1，y>1，xy=10，∴lgx>0,lgy>0，lg(xy)=1，∴lgx+lgy=1∴1lg x+4lg y=(1lgx+4lgy)·(lgx+lgy)=5+lgylgx+4lgxlgy⩾5+2√lgylgx·4lgxlgy=9当且仅当lgylgx =4lgxlgy，即lgx=13,lgy=23时取等号，此时1lg x +4lg y取得最小值是9．故答案为9．8.已知0<a<1,0<b<1，且4ab−4a−4b+3 = 0，则1a +2b的最小值为·【答案】4+4√23【解析】【分析】本题考查基本不等式在求最值方面的应用，属于较难题．第一：利用a，b的等式，将1a 表示为b的式子，第二：代入1a+2b化为只有b的式子，第三，将分子7b−6设为t，利用基本不等式得出答案．【解答】解：因为4ab−4a−4b+3=0，所以4a(b−1)=4b−3,1a =4b−44b−3=1−14b−3，1 a +2b=1+2b−14b−3=1+7b−64b2−3b，设7b−6=t,b=t+67，t<0所以1a +2b=1+t4×(t+6)2−21(t+6)49=1+49t2=1+494t+18t+27≥14927−12√2=1+47(27+12√2)441=1+(27+12√2)9=4+4√23，当且仅当t2=184=92,t=−3√22,b=6−3√227=12−3√214时取等号，故答案为4+4√23．9.已知△ABC的面积等于1，若BC=1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA=______．【答案】817【解析】解：设△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且对应的高分别为m，n，t，△ABC的面积等于1，若BC=1，即S=1，a=1，由S=12am，S=12bn，S=12ct，可得S3=18abcmnt，则mnt=8abc =8bc又S=12bcsinA=1，可得bc=2sinA，则mnt=4sinA，cosA=b2+c2−a22bc ≥2bc−12bc=1−12bc，当且仅当b=c上式取得等号，可得2bc≤11−cosA，则4sinA ≤11−cosA，可得1−cosAsinA =2sin2A22sin A2cos A2=tan A2≤14，可得sinA=2tan A21+tan2A2≤2×141+116=817．当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA=817．故答案为：817．设△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且对应的高分别为m，n，t，运用三角形的面积公式和余弦定理，结合基本不等式和三角函数的性质可得所求值．本题考查三角形的面积公式和余弦定理的运用，考查化简变形能力和推理能力，属于难题．10.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx，若关于x的不等式f(x)<0的解集是(−∞,−1)∪(0,2)，则b+ca的值为______．【答案】−3【解析】解：因为函数f(x)=ax3+bx2+cx=x(ax2+bx+c)，∵关于x的不等式f(x)<0的解集是(−∞,−1)∪(0,2)，∴ax2+bx+c=0的两根为：−1和2；所以有：(−1)+2=−ba 且(−1)×2=ca；∴b=−a且c=−2a；∴b+ca =−a−2aa=−3；故答案为：−3根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax2+bx+c=0的两根分别为−1和2，由此建立关于a、b，c的方程组并解之，即可得到实数a、b，错之间的关系，进而求出结论．本题给出三次函数，讨论不等式不等式f(x)<0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．二、解答题11.已知△ABC内接于单位圆，且(1+tan A)(1+tan B)=2，(1)求角C；(2)求△ABC面积的最大值．【答案】解：(1)∵(1+tanA)(1+tanB)=2∴tanA+tanB=1−tanA⋅tanB，∴tanC=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanAtanB=−1，∵C∈(0,π)，∴C=3π4．(2)∵△ABC的外接圆为单位圆，∴其半径R=1由正弦定理可得c=2RsinC=√2，由余弦定理可得c2=a2+b2−2abcosC，代入数据可得2=a2+b2+√2ab≥2ab+√2ab=(2+√2)ab，当且仅当a=b时，“=”成立，∴ab≤2+2，∴△ABC的面积S=12absinC≤2+√2⋅√22=√2−12，∴△ABC面积的最大值为：√2−12【解析】本题考查两角和的正切公式，正余弦定理的应用，基本不等式和三角形的面积公式，属中档题．(1)变形已知条件可得tanA+tanB=1−tanA⋅tanB，代入可得tanC=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanAtanB=−1，可得C值；(2)由正弦定理可得c，由余弦定理和基本不等式可得ab的取值范围，进而可得面积的最值．12.已知x，y>0，且xy=4，证明：yx2+4+xy2+4≥12．【答案】解：∵x，y>0且xy=4，∴yx2+4+xy2+4=yx2+xy+xy2+xy=yx(x+y)+xy(x+y)=1−1+1−1=1+1−2≥2√1xy −2√xy=12，当且仅当x=y=2时等号成立，∴yx2+4+xy2+4≥12．【解析】根据x，y>0且xy=4，由yx2+4+xy2+4=1x+1y−2x+y，利用基本不等式求出yx2+4+xy2+4的最小值即可．本题考查了基本不等式和利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．13.已知函数f(x)=|x−a|+|x+b|(a>0,b>0)．(1)当ab =1时，证明：f (x )≥2；(2)若f(x)的值域为[2,+∞)，且f (3)=5，解不等式f (x )≥4．【答案】(1)证明：|x −a |+|x −b |≥|x +b −(x −a )|=|a +b |=|a +1a |≥2， 当且仅当a =b =1时，取等号，(2)解：f (x )=|x −a |+|x −b |≥|a +b |=a +b ， ∴a +b =2，又∵f (3)=|3−a |+|3+b |=|3−a |+3+b =5， ∴a =32,b =12，由题意可得{x ≥32x −32+x +12≥4或{−12<x <32x +12+32−x ≥4或{x ≤−1232−x −x −12≥4, 故原不等式的解集为{x |x ≥52或x ≤−32}．【解析】本题主要考查了基本不等式和绝对值不等式，属于中档题．(1)|x −a |+|x −b |≥|x +b −(x −a )|=|a +b |=|a +1a |≥2，当且仅当a =b =1时，取等号； (2)求出a +b =2，由f (3)=|3−a |+|3+b |=|3−a |+3+b =5即可求得a ，b 的值，由题意可得方程组{x ≥32x −32+x +12≥4或{−12<x <32x +12+32−x ≥4或{x ≤−1232−x −x −12≥4，即可求出不等式f (x )≥4的解集．14. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(n ∈N ∗)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a −3x500)万元(a >0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x ％．(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？【答案】解：(1)由题意得：10(1000−x)(1+0.2x ％)≥10×1000， 即x 2−500x ≤0， 又x >0，所以．即最多调整500名员工从事第三产业；(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a−3x500)x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000−x)(1+0.2％x)万元，则10(a−3x500)x≤10(1000−x)(1+0.2x％)所以ax−3x2500≤1000+2x−x−1500x2，所以ax≤x2250+1000+x，即a≤x250+1000x+1恒成立，因为x250+1000x≥2√x250·1000x=4，当且仅当x250=1000x，即x=500时等号成立．所以a≤5，又a>0，所以0<a≤5，即a的取值范围为(0,5]．【解析】本题主要考查了函数模型的应用、基本不等式在求最值问题中的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．(1)根据题意可列出10(1000−x)(1+0.2x％)≥10×1000，进而解不等式求得x的范围，确定问题的答案；(2)根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a的范围．15.如图，在宽为14m的路边安装路灯，灯柱OA高为8m，灯杆PA是半径为rm的圆C的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P到路面的距离为10m，到灯柱所在直线的距离为2m.设Q为灯罩轴线与路面的交点，圆心C在线段PQ上．(1)当r为何值时，点Q恰好在路面中线上？(2)记圆心C在路面上的射影为H，且H在线段OQ上，求HQ的最大值．【答案】解：(1)以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A(0,8)，P(2,10)，Q(7,0)，∴直线PQ 的方程为2x +y −14=0．设C(a,b)，则{(a −2)2+(b −10)2=r 2a 2+(b −8)2=r 2，两式相减得：a +b −10=0， 又2a +b −14=0，解得a =4，b =6，∴r =√42+(6−8)2=2√5．∴当r =2√5时，点Q 恰好在路面中线上．(2)由(1)知a +b −10=0，当a =2时，灯罩轴线所在直线方程为x =2，此时HQ =0．当a ≠2时，灯罩轴线所在方程为：y −10=−a a−2(x −2)，令y =0可得x =12−20a，即Q(12−20a ,0)， ∵H 在线段OQ 上，∴12−20a ≥a ，解得2≤a ≤10． ∴|HQ|=12−20a −a =12−(20a +a)≤12−2√20=12−4√5， 当且仅当20a =a 即a =2√5时取等号．∴|HQ|的最大值为(12−4√5)m ．【解析】(1)求出PQ 的方程，设C(a,b)，根据CA =CP =r 列方程组可得出a ，b 的值，从而求出r 的值；(2)用a 表示出直线PQ 的斜率，得出PQ 的方程，求出Q 的坐标，从而可得出|HQ|关于a 的函数，根据a 的范围和基本不等式得出|HQ|的最大值．本题考查了直线方程，直线与圆的位置关系，考查基本不等式与函数最值的计算，属于中档题．16. 如图，河的两岸，分别有生活小区ABC 和DEF ，其中AB ⊥BC ，EF ⊥DF ，DF ⊥AB ，C ，E ，F 三点共线，FD 与BA 的延长线交于点O ，测得AB =3km ，BC =4km ，DF =94km ，FE =3km ，EC =32km.若以OA ，OD 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系xoy ，则河岸DE 可看成是曲线y =x+bx+a(其中a ，b 为常数)的一部分，河岸AC 可看成是直线y =kx +m(其中k ，m 为常数)的一部分．(1)求a ，b ，k ，m 的值；(2)现准备建一座桥MN ，其中M ，N 分别在DE ，AC 上，且MN ⊥AC ，设点M 的横坐标为t ．①请写出桥MN 的长l 关于t 的函数关系式l =f(t)，并注明定义域；②当t 为何值时，l 取得最小值？最小值是多少？【答案】解：(1)由题意得：OD =BC =4，OB =FC ，∴D(0,74)，E(3,4)，A(32,0)，C(92,4)，把D(0,74)，E(3,4)代入y =x+bx+a得：{b a =743+b 3+a =4，解得：a =−4，b =−7，把A(32,0)，C(92,4)代入y =kx +m得：{32k +m =092k +m =4，解得：k =43，m =−2；(2)由(1)得：M 点在y =x−7x−4上，∴M(t,t−7t−4)，t ∈[0,3]，①桥MN 的长l 为MN 到直线y =43x −2的距离，故l =f(x)=|4t−3(t−7)t−4−6|√32+42=15|4t +9t−4−9|，t ∈[0,3]；②由①得：f(t)=15|4t +9t−4−9|=15|4(t −4)+9t−4+7|，而t −4<0，9t−4<0， ∴4(t −4)+9t−4≤−2√4(t −4)⋅9t−4=−12， 当且仅当4(t −4)=9t−4时即t =52“=”成立，∴f(t)min =15|−12+7|=1． 【解析】(1)先求出D 、E 、A 、C 点的坐标，代入函数的解析式，从而求出a ，b ，k ，m 的值即可；(2)①先表示出M 点的坐标，问题转化为求M 到直线AC 的距离即可；②由基本不等式的性质求出最小值即可．本题考查了待定系数法求函数的解析式问题，考查点到直线的距离公式，考查基本不等式的性质，是一道中档题．17. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆C 上一点，以PF 1为直径的圆E ：x 2+(y −√22)2=92过点F 2． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点P 且斜率大于0的直线l 1与C 的另一个交点为A ，与直线x =4的交点为B ，过点(3,√2)且与l 1垂直的直线l 2与直线x =4交于点D ，求△ABD 面积的最小值．【答案】解：(Ⅰ)在圆E 的方程中，令y =0，得到：x 2=4，所以F 1(−2,0)，F 2(2,0)， 又因为，所以P 点坐标为(2,√2)， 所以2a =|PF 1|+|PF 2|=4√2，则a =2√2，b =2，因此椭圆的方程为x 28+y 24=1；(Ⅱ)设直线l 1：y −√2=k(x −2)(k >0)，所以点B 的坐标为(4,√2+2k)，设A(x A ,y A )，D(x D ,y D )，将直线l 1代入椭圆方程得：(1+2k 2)x 2+(4√2k −8k 2)x +8k 2−8√2k −4=0， 所以x P x A =8k 2−8√2k−41+2k 2，所以x A =4k 2−4√2k−21+2k 2，直线l2的方程为y−√2=−1k (x−3)，所以点D坐标为(4,√2−1k)，所以S△ABD=12(4−x A)|y B−y D|=12⋅4k2+4√2k+62k2+1⋅|2k+1k|=2k+3k+2√2≥2√6+2√2，当且仅当2k=3k ，即k=√62时取等号，综上，△ABD面积的最小值2√6+2√2．【解析】(Ⅰ)根据题意求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义求得a和b的值，即可求得椭圆方程；(Ⅱ)设直线l1的方程，代入涂鸦方程，利用韦达定理求得A的横坐标，求得直线l2方程，求得D点坐标，利用三角形的面积公式及基本不等式即可求得△ABD面积的最小值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．18.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过点F2的动直线与椭圆交于点P，Q，过点F2与PQ垂直的直线与椭圆C交于A、B两点．当直线AB过原点时，PF1=3PF2．(1)求椭圆的标准方程；(2)若点H(3,0)，记直线PH，QH，AH，BH的斜率依次为k1，k2，k3，k4.①若k1+k2=215，求直线PQ的斜率；②求(k1+k2)(k3+k4)的最小值．【答案】解：(1)因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，所以b=1，当直线AB过原点时，PQ⊥x轴，所以ΔPF 1F 2为直角三角形，由定义知PF 1+PF 2=2a ，而PF 1=3PF 2，故PF 1=32a ，PF 2=12a ，由PF 12=PF 22+F 1F 22，得94a 2=14a 2+4c 2=14a 2+4(a 2−1)，化简得a 2=2， 故椭圆的方程为x 22+y 2=1；(2)①设直线PQ:y =k(x −1)，代入到椭圆方程得：(1+2k 2)x 2−4k 2x +(2k 2−2)=0，设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，则x 1+x 2=4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−21+2k 2， 所以k 1+k 2=y 1x 1−3+y 2x 2−3=k[(x 1−1)(x 2−3)+(x 2−1)(x 1−3)](x 1−3)(x 2−3)， 化简可得k 1+k 2=2k 8k 2+7=215，解得：k =1或k =78，即为直线PQ 的斜率．②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，(k 1+k 2)(k 3+k 4)=0，当两条直线与坐标轴都不垂直时，由①知k 1+k 2=2k 8k 2+7，同理可得k 3+k 4=−2k 8+7k 2，故(k 1+k 2)(k 3+k 4)=−4k 256k 4+56+113k 2=−456(k 2+1k 2)+113≥56×2√k ×1k 2+113=−4225， 当且仅当k 2=1k 即k =±1时取等号．综上，(k 1+k 2)(k 3+k 4)的最小值为−4225．【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的最值问题，直线的斜率问题，韦达定理的应用，涉及基本不等式的应用，属于较难题．(1)由题可知b =1，当直线AB 过原点时，PQ ⊥x 轴，可知ΔPF 1F 2为直角三角形，根据椭圆的定义有PF 1+PF 2=2a ，结合PF 1=3PF 2，即可得到PF 1=32a ，PF 2=12a ，再根据PF 12=PF 22+F 1F 22，求得a 2=2，即可得到椭圆的方程；(2)①设直线PQ:y =k(x −1)，联立椭圆方程整理，设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，根据韦达定理得到x 1+x 2和x 1x 2，即可得到k 1+k 2=2k 8k 2+7=215，求出k 的值，即为直线PQ 的斜率；②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，(k1+k2)(k3+k4)=0，当两条直线与坐标轴都不垂直时，由①知k1+k2=2k8k2+7，同理得k3+k4=−2k8+7k2，即可得到(k1+k2)(k3+k4)=−456(k2+1k2)+113，利用基本不等式即可得到(k1+k2)(k3+k4)的最小值．。

第1讲 三个“二次”的问题1.“三个二次”在历年高考中都有考查，体现出二次函数、二次方程和二次不等式之间有密不可分的联系，即函数的研究离不开方程和不等式；方程和不等式的解的讨论同样要结合函数的图象和性质．2.主要涉及的题型有：一是求二次函数的解析式；二是求二次函数的值域或最值，考查二次函数和一元二次方程、一元二次不等式的综合应用；三是考查一元二次不等式的解法及“三个二次”间的关系问题；四是从实际情景中抽象出一元二次不等式模型；五是以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题．1.不等式(1＋x)(1－x)>0的解集是________． 答案：{x|－1<x<1}解析：原式可化为(x ＋1)(x －1)<0，所以不等式的解集为－1<x<1.2. (2018·海安第一次学业质量测试)关于x 的不等式x ＋ax＋b≤0(a，b ∈R )的解集为{x |3≤x ≤4}，则a ＋b 的值为________．答案：5解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3＋a3＋b ＝0，4＋a 4＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－7，所以a ＋b ＝5.3. (2018·镇江期末)已知函数f(x)＝x 2－kx ＋4，对任意的x∈[1，3]，不等式f(x)≥0恒成立，则实数k 的最大值为________．答案：4解析：由题意知x 2－kx ＋4≥0，x ∈[1，3]，所以k≤x ＋4x对任意的x∈[1，3]恒成立．因为x ＋4x≥4(当且仅当x ＝2时取等号)，所以k≤4，故实数k 的最大值为4.4. (2018·昆山中学月考)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案：[－1，4]解析：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a≤4.,一)一元二次不等式的求解,1)已知f(x)＝－3x 2＋a(6－a)x ＋b.(1)解关于a 的不等式f(1)＞0；(2)当不等式f(x)＞0的解集为(－1，3)时，求实数a ，b 的值．解：(1) f(1)＝－3＋a(6－a)＋b ＝－a 2＋6a ＋b －3.因为f(1)＞0，所以a 2－6a ＋3－b ＜0.Δ＝24＋4b ，当Δ≤0，即b≤－6时，f(1)＞0的解集为∅；当Δ＞0，即b ＞－6时，3－b ＋6＜a ＜3＋b ＋6，所以b ＞－6时，f(1)＞0的解集为{a|3－b ＋6＜a ＜3＋b ＋6}．(2)因为不等式－3x 2＋a(6－a)x ＋b ＞0的解集为(－1，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝a （6－a ）3，－3＝b －3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝9.(2018·苏北四市一模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x ＋1|，x≤1，（x －1）2，x ＞1.若函数g(x)＝f(x)＋f(－x)，则不等式g(x)≤2的解集为________.答案：[－2，2] 解析：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ，x ＜－1，－x ＋1，－1≤x≤1，（x －1）2，x>1， 所以f(－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x<－1，x ＋1，－1≤x≤1，－x ＋3，x ＞1，所以g(x)＝f(x)＋f(－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋3x ＋4，x<－1 ①，2，－1≤x≤1 ②，x2－3x ＋4，x>1 ③.由不等式g(x)≤2，解得①⎩⎪⎨⎪⎧x<－1，x2＋3x ＋4≤2⇒－2≤x<－1；②⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤1，2≤2⇒－1≤x≤1；③⎩⎪⎨⎪⎧x>1，x2－3x ＋4≤2⇒1<x ≤2.综上所述，不等式g(x)≤2的解集为[－2，2]．,二)二次函数与二次不等式,2)(2018·北京朝阳统考)已知函数f(x)＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R .(1)若a ＝2，试求函数y ＝f （x ）x(x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0，2]，不等式f (x )≤a 恒成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f （x ）x ＝x2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f （x ）x的最小值为－2.(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0，2]，不等式f (x )≤a 恒成立”，只要“x 2－2ax －1≤0在[0，2]上恒成立”． 不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0，2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g （0）≤0，g （2）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34，则a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f (x )＝g (|x |)．(1)求实数a ，b 的值；(2)若不等式f (log 2k )>f (2)成立，求实数k 的取值范围；(3)定义在[p ，q ]上的一个函数m (x )，用分法T ：p ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝q 将区间[p ，q ]任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数M >0，使得和式错误!f(x i )＝f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x n ))解：(1) g(x)＝a(x －1)2＋1＋b －a ，因为a>0，所以g(x)在区间[2，3]上是增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧g （2）＝1，g （3）＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.(2)由已知可得f(x)＝g(|x|)＝x 2－2|x|＋1为偶函数，所以不等式f(log 2k )>f (2)可化为|log 2k |>2，解得k >4或0<k <14，故实数k 的取值范围是(0，14)∪(4，＋∞)．(3)设函数f (x )为[1，3]上的有界变差函数．因为函数f (x )为[1，3]上的单调递增函数， 且对任意划分T ：1＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝3， 有f (1)＝f (x 0)<f (x 1)<…<f (x n －1)<f (x n )＝f (3)，所以错误!|m(x i )－m(x i －1)|≤M 恒成立，所以M 的最小值为4.,三)二次方程与二次不等式,3)对于函数f(x)，若f(x 0)＝x 0，则称x 0为函数f(x)的“不动点”；若f(f(x 0))＝x 0，则称x 0为函数f(x)的“稳定点”．如果f(x)＝x 2＋a(a∈R )的“稳定点”恰是它的“不动点”，求实数a 的取值范围．解：(解法1)因为函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，由f (f (x ))＝x ，可得(x 2＋a )2＋a ＝x .方程可化为(x 2－x ＋a )(x 2＋x ＋a ＋1)＝0，所以方程x 2－x ＋a ＝0有解，且方程x 2＋x ＋a ＋1＝0无解或其解都是x 2－x ＋a ＝0的解，由方程x 2－x ＋a ＝0有解，得Δ1＝1－4a ≥0，解得a ≤14.由方程x 2＋x ＋a ＋1＝0无解，得Δ2＝1－4(a ＋1)<0，解得a >－34.若方程x 2＋x ＋a ＋1＝0有解且都是x 2－x ＋a ＝0的解．因为方程x 2－x ＋a ＝0与方程x 2＋x ＋a ＋1＝0不可能同解， 所以方程x 2＋x ＋a ＋1＝0必有两个相等的实根且是方程x 2－x ＋a ＝0的解，此时，Δ2＝1－4(a ＋1)＝0，解得a ＝－34，经检验，符合题意．综上，a 的取值范围是[－34，14]．(解法2)显然，函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，所以f (x )＝x 有解，但方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （x1）＝x2，f （x2）＝x1(x 1≠x 2)无解．由f (x )＝x ，得x 2－x ＋a ＝0有解，所以1－4a ≥0，解得a ≤14.由⎩⎪⎨⎪⎧f （x1）＝x2，f （x2）＝x1，得⎩⎪⎨⎪⎧x21＋a ＝x 2，x 2＋a ＝x 1，两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝x 2－x 1.因为x 1≠x 2，所以x 2＝－x 1－1，两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝x 2－x 1.因为x 1≠x 2，所以x 2＝－x 1－1， 代入消去x 2，得x 21＋x 1＋a ＋1＝0.因为方程x 21＋x 1＋a ＋1＝0无解或仅有两个相等的实根，所以1－4(a ＋1)≤0，解得a ≥－34，故a 的取值范围是[－34，14]．定义：关于x 的两个不等式f (x )<0和g (x )<0的解集分别为(a ，b )和(1b ，1a)，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式x 2－43x cos θ＋2<0与不等式x 2＋2x sin θ＋1<0为对偶不等式，且θ∈(π2，π)，则θ＝________．答案：2π3解析：由题意知不等式x 2－43x cos θ＋2<0的解集为(a ，b )，所以a ＋b ＝43cos θ，ab ＝2.又不等式x 2＋2x sin θ＋1<0的解集为(1b ，1a)，所以1b ＋1a＝－2sin θ.又1b ＋1a ＝a ＋b ab ＝43cos θ2＝－2sin θ，所以tan θ＝－3. 又θ∈(π2，π)，所以θ＝2π3.,四)三个“二次”的综合问题,4)设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R )，且f (1)＝－a2，3a >2c >2b ，求证：(1) a >0且－3<b a <－34；(2)函数f (x )在区间(0，2)内至少有一个零点；(3)若x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，则2≤|x 1－x 2|＜574.证明：(1)因为f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a2，所以3a ＋2b ＋2c ＝0.又3a >2c >2b ，所以3a >0，2b <0，所以a >0，b <0. 又2c ＝－3a －2b ，3a >2c >2b ，所以3a >－3a －2b >2b .因为a >0，所以－3<b a <－34.(2)因为f (0)＝c ，f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝a －c ，①当c >0时，因为a >0，所以f (1)＝－a2<0，且f (0)＝c >0，所以函数f (x )在区间(0，1)内至少有一个零点；②当c ≤0时，因为a >0，所以f (1)＝－a2<0，且f (2)＝a －c >0，所以函数f (x )在区间(1，2)内至少有一个零点． 综合①②得函数f (x )在区间(0，2)内至少有一个零点．(3)因为x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根．所以|x 1－x 2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（－b a ）2－4（－32－ba）＝（ba＋2）2＋2.因为－3<b a <－34，所以2≤|x 1－x 2|＜574.已知函数f (x )＝2x 2＋ax －1，g (log 2x )＝x 2－x2a －2.(1)求函数g (x )的解析式，并写出当a ＝1时，不等式g (x )＜8的解集；(2)若f (x )，g (x )同时满足下列两个条件：①∃t ∈[1，4]，使f (－t 2－3)＝f (4t )；②∀x ∈(－∞，a ]，使g (x )<8.求实数a 的取值范围．解：(1)令t ＝log 2x ，则x ＝2t，由g (log 2x )＝x 2－x 2a －2，可得g (t )＝22t －2t ＋2－a，即g (x )＝22x －2x ＋2－a，当a ＝1时，不等式g (x )<8⇔22x－2x ＋1<8⇔(2x ＋2)(2x－4)<0，即2x<4，所以x <2，即不等式g (x )＜8的解集为(－∞，2)．(2)因为f (x )＝2x 2＋ax －1，所以由①∃t ∈[1，4]，使f (－t 2－3)＝f (4t )，得∃t ∈[1，4]，(－t 2－3)＋4t ＝－a 2，即∃t ∈[1，4]，a ＝2(t －2)2－2，所以a ∈[－2，6]；由②∀x ∈(－∞，a ]，使g (x )<8得∀x ∈(－∞，a ]，42a >2x －82x，令μ＝2x ，x ∈(－∞，a ]，则y ＝2x－82x ＝μ－8μ，μ∈(0，2a]，易知函数y ＝μ－8μ在(0，2a ]上是增函数，y max ＝2a－82a，所以42a>2a－82a，所以2a<23，所以a <1＋12log 23.综上，实数a 的取值范围是[－2，1＋12log 23)．1.函数y ＝3－2x －x2的定义域是 ________．答案：[－3，1]解析：要使函数有意义，必须有3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，所以－3≤x≤1.2.设集合A ＝{x|x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x|2x －3>0}，则A∩B＝________．答案：(32，3)解析：集合A ＝(1，3)，B ＝(32，＋∞)，所以A∩B＝(32，3)．。

第13课一元二次不等式及其解法[最新考纲]一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式ax2＋x－1>0一定是一元二次不等式．()(2)不等式x－2x＋1≤0⇔(x－2)(x＋1)≤0.()(3)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) (－4,1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.]3．(教材改编)若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________．(－1,1) [令f (x )＝x 2＋ax ＋a 2－1，由题意可知f (0)＝a 2－1<0，即－1<a <1.] 4．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为__________．32 [原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立， x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.]5．(2017·宿迁模拟)已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是________．(2,3) [由不等式ax 2－bx －1≥0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13可知 ，a <0且－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个实数根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.∴由x 2－5x ＋6<0得2<x <3.即不等式x 2－bx －a <0的解集为(2,3)．](1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0.[解] (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0， 当a >1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a <1时，原不等式的解集为(a,1)．[迁移探究] 将(2)中不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集． [解] 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a . 综上所述：当a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. [规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： (1)使一端为0且把二次项系数化为正数．(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法． (3)写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[变式训练1] 解关于x 的不等式kx 2－2x ＋k ＜0(k ∈R ). 【导学号：62172074】 [解] ①当k ＝0时，不等式的解为x ＞0.②当k ＞0时，若Δ＝4－4k 2＞0，即0＜k ＜1时，不等式的解为1－1－k 2k＜x ＜1＋1－k 2k；若Δ≤0，即k ≥1时，不等式无解．③当k ＜0时，若Δ＝4－4k 2＞0，即－1＜k ＜0时，x ＜1＋1－k 2k 或x ＞1－1－k 2k； 若Δ＜0，即k ＜－1时，不等式的解集为R ； 若Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解为x ≠－1.综上所述，k ≥1时，不等式的解集为∅； 0＜k ＜1时，不等式的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－1－k 2k ＜x ＜1＋1－k 2k ； k ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞0}； 当－1＜k ＜0时，不等式的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1＋1－k 2k 或x ＞1－1－k 2k ； k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}； k ＜－1时，不等式的解集为R .角度1 形如f (x )≥0(x ∈R )求参数的范围不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是__________．(－2,2] [当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立， 当a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，－2<a <2，∴－2<a <2. 综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．] ☞角度2 形如f (x )≥0()x ∈[a ，b ]求参数的范围设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围. 【导学号：62172075】[解] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. ☞角度3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])求x 的范围对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是__________．{x |x <1或x >3} [x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立， 即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.][规律方法] 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．[思想与方法]1．不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.2．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0时的情形转化为a >0时的情形．3．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．[易错与防范]1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论． 4．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．课时分层训练(十三)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为__________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 [－2x 2＋x ＋1>0，即2x 2－x －1<0，(2x ＋1)(x －1)<0，解得－12<x <1，∴不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.]2．若集合A ＝{}x |ax 2－ax ＋1<0＝∅，则实数a 的值的集合是________.【导学号：62172076】{a |0≤a ≤4} [由题意知a ＝0时，满足条件， a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.]3．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >－12，则实数a ＝________.－2 [不等式ax －1x ＋1<0等价于(ax －1)(x ＋1)<0，由题意可知x ＝－1及x ＝－12是方程(ax －1)(x ＋1)＝0的两个实数根，∴1a ＝－12，即a ＝－2.]4．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.52[由x 2－2ax －8a 2<0， 得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0， 所以不等式的解集为(－2a,4a )， 即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15， 得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.]5．不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．[－1,4] [令f (x )＝x 2－2x ＋5，则f (x )＝(x －1)2＋4≥4， 由a 2－3a ≤4得－1≤a ≤4.]6．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________． [0,1) [①当m ＝0时，1>0显然成立；②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1，由①②知0≤m <1.]7．(2016·苏北四市摸底考试)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，则不等式f (log 2x )<f (2)的解集为________．(0,1)∪(4，＋∞) [由f (log 2x )<f (2)可得 －(log 2x )2＋2log 2x <－4＋4， ∴log 2x (2－log 2x )<0， ∴log 2x >2或log 2x <0， ∴x >4或0<x <1，即不等式f (log 2x )2<f (2)的解集为(0,1)∪(4，＋∞)．]8．(2017·南京、盐城二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1， x ≤0，－(x －1)2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是__________. 【导学号：62172077】[－4,2] [不等式f (x )≥－1⇔⎩⎨⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0<x ≤2，故不等式f (x )≥－1的解集是[－4,2]．]9．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，则f (e x )>0的解集为________．{x |x <－ln 3} [设－1和13是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根， ∴a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋13＝23，b ＝－1×13＝－13.∵一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13， ∴f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋23x －13＝－x 2－23x ＋13， ∴f (x )>0的解集为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13. 不等式f (e x )>0可化为－1<e x <13.解得x <ln 13，∴x <－ln 3，即f (e x )>0的解集为{x |x <－ln 3}．]10．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________．b <－1或b >2 [由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a 2＝1，故a ＝2.由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∵x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.]二、解答题11．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .(1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0.【导学号：62172078】[解] (1)由题意可知ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立．①当a ＝0时，符合题意，②当a ≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，即0<a ≤1. 综上所述，实数a 的取值范围是[0,1]．(2)∵f (x )min ＝22，∴ax 2＋2ax ＋1的最小值为12.即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －4a 24a ＝12，a >0，解得a ＝12. ∴不等式x 2－x －34<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <32. 12．(2017·启东中学高三第一次月考)已知命题∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围．[解] (1)由x 2－x －m ＝0可得m ＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14. ∵－1<x <1，∴－14≤m <2，∴M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ －14≤m <2. (2)若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，则M ⊆N ，①当a >2－a ，即a >1时，N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a <－14，a ≥2，a >1，即a >94.②当a <2－a ，即a <1时，N ＝{x |a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧ a <1，a <－14，即a <－14，2－a ≥2，③当a ＝2－a ，即a ＝1时，N ＝∅，不合题意．综上可得a <－14或a >94.B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－2) [不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.]2．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是__________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 [由题意知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.]3．(2017·南通第一次学情检测)已知二次函数f (x )＝ax 2－bx ＋2.(1)若不等式f (x )>0的解集为{x |x >2或x <1}，求a 和b 的值；(2)若b ＝2a ＋1，对任意a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，f (x )>0恒成立，求x 的取值范围． [解] (1)因为不等式f (x )>0的解集为{x |x >2或x <1}，所以与之对应的二次方程ax 2－bx ＋2＝0的两个根为1和2，由韦达定理，得a ＝1，b ＝3.(2)令g (a )＝a ()x 2－2x －x ＋2，则⎩⎨⎧ g (1)>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，解得x >2或x <1. 故实数x 的取值范围为(－∞，1)∪(2，＋∞)．4．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R .(1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．[解] (1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立，所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2.(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可，所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34，则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。

专项强化练(三) 选修4－5：不等式选讲(理独)题型一 含绝对值不等式1．解不等式：|x －2|＋x |x ＋2|＞2.解：当x ≤－2时，不等式化为(2－x )＋x (－x －2)＞2，即－x 2－3x >0，解得－3＜x ≤－2；当－2＜x ＜2时，不等式化为(2－x )＋x (x ＋2)＞2， 即x 2＋x >0，解得－2＜x ＜－1或0＜x ＜2； 当x ≥2时，不等式化为(x －2)＋x (x ＋2)＞2， 即x 2＋3x －4>0，解得x ≥2.所以原不等式的解集为{x |－3＜x ＜－1或x ＞0}． 2．解不等式：|x ＋2|－|x －1|≤1. 解：令f (x )＝|x ＋2|－|x －1|.当x ≤－2时，f (x )＝－(x ＋2)－(1－x )＝－3， 此时f (x )＝|x ＋2|－|x －1|≤1恒成立； 当－2<x <1时，f (x )＝(x ＋2)－(1－x )＝2x ＋1，令f (x )≤1，即2x ＋1≤1，解得x ≤0，由于－2<x <1，则有－2<x ≤0； 当x ≥1时，f (x )＝(x ＋2)－(x －1)＝3，此时f (x )≤1不成立． 综上所述，不等式|x ＋2|－|x －1|≤1的解集为(－∞，0]． 3．已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：因为|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. 由绝对值不等式性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1. 即|x ＋5y |≤1. [临门一脚]1．形如|x ＋a |±|x －b |≥c (≤c )不等式的解法常用零点分段讨论法，其步骤为：(1)求零点；(2)划分区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．2．绝对值不等式也可用|x －a 1|±|x －a 2|的几何意义求解集．3．应用绝对值不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |求最值，一定要写出等号成立的条件．题型二 基本不等式的应用1．已知a ，b 是正数，求证：a 2＋4b 2＋1ab≥4.证明：因为a ，b 是正数， 所以a 2＋4b 2≥4ab .所以a 2＋4b 2＋1ab ≥4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当a ＝2b ，且ab ＝12时取等号．即a 2＋4b 2＋1ab≥4.2．已知a ，b ，c 均为正数，求证：a 2＋b 2＋c 2＋1a ＋1b ＋1c2≥6 3.证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23，又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，所以原不等式成立．法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ca.所以a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ca ＋3ab ＋3bc ＋3ca≥63，当且仅当a ＝b ＝c ＝43时取等号．所以原不等式成立．[临门一脚]1．基本不等式应用于证明关键是和积转化，所以进行证明前一定要观察不等式两边式子结构的特征系数、方次．2．要根据条件特征选择使用三元还是两元的基本不等式，等号成立条件一定要写． 3．多次使用基本不等式时要关注多个等号成立条件是否能够同时成立． 题型三 柯西不等式的应用1．求函数y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x 的最大值． 解：y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x ＝3sin x ＋4cos 2x ， 由柯西不等式得y 2＝(3sin x ＋4cos 2x )2≤(32＋42)(sin 2x ＋cos 2x )＝25，当且仅当4sin x ＝3|cos x |，即sin x ＝35，|cos x |＝45时等号成立，所以y max ＝5.所以函数y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x 的最大值为5.2．已知a ，b ，c ∈R,4a 2＋b 2＋2c 2＝4，求2a ＋b ＋c 的最大值． 解：由柯西不等式，得[(2a )2＋b 2＋(2c )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122≥(2a ＋b ＋c )2. 因为4a 2＋b 2＋2c 2＝4，所以(2a ＋b ＋c )2≤10. 所以－10≤2a ＋b ＋c ≤10，所以2a ＋b ＋c 的最大值为10，当且仅当a ＝105，b ＝2105，c ＝105时等号成立． 3．设x ，y ，z 均为正实数，且xyz ＝1，求证：1x 3y ＋1y 3z ＋1z 3x≥xy ＋yz ＋zx .证明：∵x ，y ，z 均为正实数，且xyz ＝1， ∴1x 3y ＋1y 3z ＋1z 3x ＝zx2＋x y 2＋y z2，∴由柯西不等式可得⎝ ⎛⎭⎪⎫zx 2＋xy 2＋y z 2(xy ＋yz ＋zx )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫xyzx＋xyzy ＋xyz z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫xyz x ＋xyz y ＋xyz z 2＝(xy ＋yz ＋zx )2.∴1x 3y ＋1y 3z ＋1z 3x≥xy ＋yz ＋zx .4．设a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝92. 求证： 1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1≥1.证明：法一：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1[(a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3)＋(a 3＋a 1)]≥331a 1＋a 2·1a 2＋a 3·1a 3＋a 1· 33a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＋a 1＝9，当且仅当a 1＝a 2＝a 3时等号成立．又a 1＋a 2＋a 3＝92.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1·2×92≥9，所以1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1≥1. 法二：由柯西不等式得⎝⎛⎭⎪⎫1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1·9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1[(a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3)＋(a 3＋a 1)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋a 12·[(a 1＋a 2)2＋(a 2＋a 3)2＋(a 3＋a 1)2]≥1a 1＋a 2·a 1＋a 2＋1a 2＋a 3·a 2＋a 3＋1a 3＋a 1·a 3＋a 12＝9，当且仅当(a 1＋a 2)2＝(a 2＋a 3)2＝(a 3＋a 1)2， 即a 1＝a 2＝a 3＝32时取等号，所以1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1≥1. [临门一脚]1．二元柯西不等式：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，a ，b ，c ，d ∈R ，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．2．三元柯西不等式可以用向量形式记忆：即|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，得α＝k β时，等号成立．3．利用柯西不等式来证明不等式和基本不等式一样也要关注式子结构特点、系数、方次、等号成立条件，如果不能够直接使用，要对所给条件进行变形后才能使用．4．利用柯西不等式求最值等问题， 也要关注式子结构特点、系数、方次，最后一定要写出等号成立条件.。

第4练 再谈“三个二次”的转化策略题型一 函数与方程的转化例1 设概念域为R 的函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x|，x>0，－x2－2x ，x≤0，那么关于x 的函数y ＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为________．破题切入点 将函数的零点问题转化为对应方程根的问题． 答案 7解析 由y ＝2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝12或f(x)＝1，如图画出f(x)的图象，由f(x)＝12知有4个根，由f(x)＝1知有3个根，故函数y ＝2f2(x)－3f(x)＋1共有7个零点． 题型二 函数与不等式的转化例 2 已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>12}，那么f(10x)>0的解集为________．破题切入点 由题意，可得f(10x)>0等价于－1<10x<12，由指数函数的单调性即可求解．答案 {x|x<－lg 2}解析 由题意可知f(x)>0的解集为{x|－1<x<12}，故f(10x)>0等价于－1<10x<12，由指数函数的值域为(0，＋∞)，知必然有10x>－1，而10x<12可化为10x<101lg2，即10x<10－lg 2.由指数函数的单调性可知x<－lg 2. 题型三 方程与不等式的转化例3 已知关于x 的二次方程x2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)假设方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围； (2)假设方程两根均在区间(0,1)内，求m 的取值范围．破题切入点 将二次函数的特殊点依照题目要求固定到区间内，转化为不等式(组)进行求解． 解(1)由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点别离在区间(－1,0)和(1,2)内，如右图所示， 得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝2m ＋1<0f －1＝2>0f 1＝4m ＋2<0f2＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m<－12，m∈R ，m<－12，m>－56.即－56<m<－12，故m 的取值范围是(－56，－12)．(2)抛物线与x 轴交点的横坐标均在区间(0,1)内，如右图所示，列不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0f 1>0Δ≥00<－m<1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m>－12，m>－12，m≥1＋2或m≤1－2，－1<m<0.即－12<m≤1－ 2.故m 的取值范围是(－12，1－2]．总结提高 “三个二次”是一个整体，不可分割．有关“三个二次”问题的解决方法一般是利用转化与化归思想来将其转化，其顶用到的方式要紧有数形结合、分类讨论的思想，其最大体的理念能够说是严格依照一元二次不等式的解决步骤来处置．1．假设A ＝{x|x2＋(p ＋2)x ＋1＝0，x ∈R}，B ＝{x|x>0}，且A∩B＝∅，那么实数p 的取值范围是________． 答案 (－4，＋∞)解析 当A ＝∅时，Δ＝(p ＋2)2－4<0， ∴－4<p<0.当A≠∅时，方程x2＋(p ＋2)x ＋1＝0有一个或两个非正根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x1＋x2＝－p ＋2≤0，∴p≥0.综上所述，p>－4.2．已知函数f(x)＝x2－2x ＋3在闭区间[0，m]上的最大值为3，最小值为2，那么m 的取值范围为________． 答案 [1,2]解析 ∵f(x)＝(x －1)2＋2，其对称轴为x ＝1，当x ＝1时，f(x)min ＝2，故m≥1，又∵f(0)＝3，f(2)＝3，∴m≤2.综上可知1≤m≤2.3．方程x2－32x －m ＝0在x ∈[－1,1]上有实根，那么m 的取值范围是________．答案 [－916，52]解析 m ＝x2－32x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－916，x ∈[－1,1]．当x ＝－1时，m 取最大值为52，当x ＝34时，m 取最小值为－916，∴－916≤m≤52.4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x≤0，x2－2x ＋1，x>0，假设关于x 的方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的实数解，那么a 的取值范围是________． 答案 (0,1) 解析设t ＝f(x)，那么方程为t2－at ＝0， 解得t ＝0或t ＝a ， 即f(x)＝0或f(x)＝a. 如图，作出函数f(x)的图象，由函数图象，可知f(x)＝0的解有两个， 故要使方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的解， 那么方程f(x)＝a 的解必有三个，现在0<a<1. 因此a 的取值范围是(0,1)．5．(2021·重庆改编)假设a<b<c ，那么函数f(x)＝(x －a)(x －b)＋(x －b)(x －c)＋(x －c)(x －a)的两个零点别离位于以下哪个区间________．(填序号) ①(a ，b)和(b ，c)内 ②(－∞，a)和(a ，b)内 ③(b ，c)和(c ，＋∞)内 ④(－∞，a)和(c ，＋∞)内 答案 ①解析 由于a<b<c ，因此f(a)＝0＋(a －b)(a －c)＋0>0，f(b)＝(b －c)(b －a)<0，f(c)＝(c－a)(c －b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，又因f(x)是关于x 的二次函数，函数的图象是持续不断的曲线， 因此函数f(x)的两零点别离位于区间(a ，b)和(b ，c)内．6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋c 有两个极值点x1，x2.假设f(x1)＝x1<x2，那么关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的不同实根的个数为________． 答案 3解析 因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋c 有两个极值点x1，x2，可知关于导函数的方程f′(x)＝3x2＋2ax ＋b ＝0有两个不等的实根x1，x2.那么方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的根的个数确实是方程f(x)＝x1和f(x)＝x2的不等实根的个数之和，再结合图象可看出函数y ＝f(x)的图象与直线y ＝x1和直线y ＝x2共有3个不同的交点，故所求方程有3个不同的实根． 7．假设关于x 的不等式(2x －1)2<ax2的解集中整数恰好有3个，那么实数a 的取值范围是__________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤259，4916解析 因为不等式等价于(－a ＋4)x2－4x ＋1<0，其中(－a ＋4)x2－4x ＋1＝0中的Δ＝4a>0，且有4－a>0，故0<a<4，不等式的解集为12＋a <x<12－a ，14<12＋a <12，那么必然有{1,2,3}为所求的整数解集．因此3<12－a ≤4，解得a 的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤259，4916.8．已知函数f(x)＝x2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a 恒成立，那么a 的取值范围________． 答案 [－3,1]解析 因为f(x)＝(x －a)2＋2－a2， 因此此二次函数图象的对称轴为x ＝a.①当a ∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增， 因此f(x)min ＝f(－1)＝2a ＋3.要使f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a， 即2a ＋3≥a，解得a≥－3，即－3≤a<－1. ②当a ∈[－1，＋∞)时，f(x)min ＝f(a)＝2－a2. 要使f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a， 即2－a2≥a，解得－2≤a≤1，即－1≤a≤1. 综上，实数a 的取值范围为[－3,1]．9．已知函数f(x)＝2ax2＋2x －3.若是函数y ＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，那么实数a 的取值范围为______________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 假设a ＝0，那么f(x)＝2x －3， f(x)＝0⇒x ＝32∉[－1,1]，不合题意，故a≠0.下面就a≠0分两种情形讨论：①当f(－1)·f(1)≤0时，f(x)在[－1,1]上有一个零点，即(2a －5)(2a －1)≤0，解得12≤a≤52.②当f(－1)·f(1)>0时，f(x)在[－1,1]上有零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a f 1≤0，－1<－12a<1，f －1·f 1>0，解得a>52.综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 10．已知概念在R 上的单调递增奇函数f(x)，假设当0≤θ≤π2时，f(cos2θ＋2msin θ)＋f(－2m －2)<0恒成立，那么实数m 的取值范围是________． 答案 (－12，＋∞)解析 方式一 f(cos2θ＋2msin θ)＋f(－2m －2)<0⇒f(cos2θ＋2msin θ)<f(2m＋2)⇒cos2θ＋2msin θ<2m＋2⇒2m(1－sin θ)>－1－sin2θ. 当θ＝π2时，2m·0>－2，现在m ∈R ；当0≤θ<π2时，m>－1＋sin2θ21－sin θ，令t ＝1－sin θ，那么t ∈(0,1]，现在m>－12×1＋1－t 2t ＝－12(t ＋2t－2)．设φ(t)＝－12(t ＋2t－2)，而φ(t)在t ∈(0,1]上的值域是(－∞，－12]，故m>－12.方式二 同方式一，求得2m(1－sin θ)>－1－sin2θ，设sin θ＝t ，那么t2－2mt ＋2m ＋1>0关于t ∈[0,1]恒成立． 设g(t)＝t2－2mt ＋2m ＋1，其图象的对称轴方程为t ＝m. ①当m<0时，g(t)在[0,1]上单调递增， 从而g(0)＝2m ＋1>0，即m>－12，又m<0，因此－12<m<0.②当0≤m≤1时，g(t)在[0，m]上单调递减，在[m,1]上单调递增， 从而g(m)＝m2－2m2＋2m ＋1>0，即m2－2m －1<0， 因此1－2<m<1＋ 2. 又m ∈[0,1]，因此0≤m≤1.③当m>1时，g(t)在[0,1]上单调递减，从而g(1)＝1－2m ＋2m ＋1＝2>0恒成立，因此m>1. 综合①②③，可知m>－12.11．已知函数f(x)＝2asin2x －2 3asin xcos x ＋a ＋b(a≠0)的概念域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域是[－5,1]，求常数a ，b 的值．解 f(x)＝2a·12(1－cos 2x)－ 3asin 2x ＋a ＋b＝－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x ＋2a ＋b＝－2asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ， 又∵0≤x≤π2，∴π6≤2x＋π6≤76π，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.因此，由f(x)的值域为[－5,1] 可得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，－2a×－12＋2a ＋b ＝1，－2a×1＋2a ＋b ＝－5，或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－2a×1＋2a ＋b ＝1，－2a×－12＋2a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.12．已知函数f(x)＝ax2＋ax 和g(x)＝x －a ，其中a ∈R ，且a≠0.假设函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，试求△OAB 的面积S 的最大值． 解 依题意，f(x)＝g(x)，即ax2＋ax ＝x －a ， 整理得ax2＋(a －1)x ＋a ＝0，①∵a≠0，函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A 、B ， ∴Δ>0，即Δ＝(a －1)2－4a2＝－3a2－2a ＋1 ＝(3a －1)(－a －1)>0， ∴－1<a<13且a≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2， 由①得x1x2＝1>0，x1＋x2＝－a －1a .设点O 到直线g(x)＝x －a 的距离为d ， 那么d ＝|－a|2，∴S ＝121＋12|x1－x2|·|－a|2＝12－3a2－2a ＋1 ＝12－3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋132＋43. ∵－1<a<13且a≠0，∴当a ＝－13时，S 取得最大值33.。