第五讲 数列综合题
例题讲解
例1、在公差为(0)d d ≠的等差数列{}n a 和公比为q 的等比数列{}n b 中，已知
11221,a b a b ===，83a b =.
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
（2）是否存在常数,a b ，使得对于一切正整数n ，都有log n a n a b b =+成立？若存在，
求出常数a 和b ，若不存在，说明理由.
2、已知：f(x)＝4
12
-x （x <—2），,点An(1
1+-
n a ,n a )在曲线y ＝f(x)上(n ∈N +)，且a 1
＝1.
（1）证明数列{
21
n
a }为等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式； （3）设n
b ＝
1
111++n n a a ,记S n ＝b 1＋b 2＋……＋n b ，求n s .
（4）数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足
3816221
21--+=++n n a T a T n n
n n ，设定1b 的值，使得数列{}n b 是等差数列；
例3、已知数列{}n a 中，n s 是其前n 项和，并且)(24*
1N n a s n n ∈+=+且11=a .
(1) 设)(2*1N n a a b n n n ∈-=+,求证数列{}n b 成等比数列. (2) 设)(2
*
N n a c n n n ∈=
,求证：数列{}n c 是等差数列. (3) 求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和.
例4、已知数列{}n a ，3654=a ，且1331-+=-n n n a a )2(≥n .
（1） 求1a ，2a ，3a ； （2） 若存在一个实数λ使得?
??
??
?+n
n a 3λ为等差数列，求λ； （3） 求数列{}n a 的前n 项的和.
随堂练习
已知函数)(x f 对任意实数p 、q 都满足)()()(q f p f q p f ?=+且3
1)1(=f 。
（1）、当+∈N n 时求)(n f 的表达式
（2）、设k n
k n a N n n nf a 1
*
),)((=∑∈=求。
变式
1、若将题目中的条件“)()()(q f p f q p f ?=+”改为
“2)()()(+?=+q f p f q p f ”
变式2、在题目条件不变下，加条件：若)(x f 在R 上为减函数，数列{}n b 满足11=b 且)()
1(31
)(*1N n b f b f n n ∈--=
+。
（1）、求数列{}n b 的通项公式；
（2）、设{}n b 中的部分项 n k k k k b b b b 、、、321恰好成等比数列，其中14231=k k 、＝求n k k k k ++++ 321的值。