《用配方法解一元二次方程》优秀教学设计(教案)

人教版九年级数学上册《解一元二次方程—配方法》优秀教学设计设计一. 教材分析人教版九年级数学上册《解一元二次方程—配方法》这一节，主要让学生掌握利用配方法解一元二次方程的方法。

教材通过引入具体的一元二次方程，引导学生发现解方程的规律，从而总结出配方法解一元二次方程的一般步骤。

教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握解题技巧，培养学生的逻辑思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程有了初步的了解。

但在解一元二次方程方面，部分学生可能还停留在试错阶段，没有形成系统的解题方法。

因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，引导他们发现解题规律，提高解题效率。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握配方法解一元二次方程的基本步骤和方法。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳，培养学生发现解题规律的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：配方法解一元二次方程的步骤及应用。

2.难点：如何引导学生发现配方法的解题规律。

五. 教学方法1.引导发现法：通过设置问题，引导学生观察、分析、归纳，发现解题规律。

2.案例教学法：以具体的一元二次方程为例，演示配方法解题过程。

3.小组合作学习：鼓励学生分组讨论，共同探索解题方法。

六. 教学准备1.准备相关的一元二次方程案例。

2.制作课件，展示解题过程。

3.准备练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个简单的一元二次方程，引导学生回顾已知的解题方法，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）展示一个具体的一元二次方程，让学生尝试利用已知的解题方法进行求解。

在学生解题过程中，教师引导学生观察、分析，发现解题规律。

3.操练（15分钟）让学生分组合作，运用配方法解一元二次方程。

教师巡回指导，解答学生遇到的问题。

4.巩固（10分钟）呈现一组类似的一元二次方程，让学生独立运用配方法进行解答。

《用配方法解一元二次方程》教案一、素质教育目标（一）知识储备点理解并掌握一元二次方程的配方法，能正确、熟练地运用配方法解一元二次方程，并使学生真正理解配方法的整个过程．在理解的基础上，牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”．（二）能力培养点通过配方法的整个过程的理解培养学生按规循律分析问题、解决问题的能力，培养学生观察、类比、归纳思维的能力，切实提高学生解方程的能力．（三）情感体验点使学生按照配方法的步骤一步一步地解方程让学生形成有条不紊的学习习惯，按照规律办事的思想观念，养成良好的品德修养，为将来的人生打下扎实的基础．二、教学设想1．重点：用配方法解一元二次方程．2．难点：真正理解配方法的整个过程．3．疑点：为什么要用配方法解一元二次方程．4．课型与基本教学思路：新授课．本节课通过将一元二次方程变形，•运用直接开平方的方法解方程，形成解一元二次方程的一个重要方法──配方法，并能运用配方法解一元二次方程．三、媒体平台1．教具、学具准备：自制投影胶片．2．多媒体课件撷英：【注意】课件要根据实际需要进行适当修改．四、课时安排１课时五、教学步骤（一）教学流程1．情境导入解方程：①x2+2x=5；②x2-4x+3=0．能否经过适当的变形，将它们转化为（ •）2＝a的形式，应用直接开平方法求解？2．课前热身提问：（1）什么是一元二次方程的一般形式？（2）什么是一元二次方程的直接开平方法？（3）什么是一元二次方程的因式分解法？3．合作探究（1）整体感知：学生按照要求解．①原方程转化为x 2+2x+1=6，（x+1）2=6，x+1=，解得，． ②x 2-4x+4=-3+4，（x-2）2=1，所以x-2=±1，解得x 1=3，x 2=1．教师归纳概括：上面我们把方程x 2-4x+3=0变形为（x-2）2=1，•它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，这样能应用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．（2）师生互动互动1提出配方时方程两边同时加上的常数是如何确定的？你能发现什么规律？明确 配方时，化二次项系数为1，通过变形，•方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成一个完全平方式，是配方法整个过程的重点．互动2配方法是一个重要的数学方法，它在很多地方有重要的应用，我们能总结出配方法的步骤吗？明确 配方法的一般步骤是：（1）方程两边同除以二次项系数，•将二次项系数化为1；（2）移项，使方程左边为二次项、一次项，右边为常数项；（3）配方，•方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边为一个完全平方式，右边是一个常数的形式；（4）如果右边是非负数，两边直接开平方解这个一元二次方程．互动3我们能否对x 2+px+q=0用配方法进行因式分解？让学生自己完成，看谁又快又正确．明确 对于含有字母已知数的因式分解，移项得x 2+px=-q ， 配方得（x+2p ）2=244p q -，x+2p x+2p ，所以，x 1=-2p ，x 2=-2p ， 为下节课ax 2+bx+c=0（a ≠0）•通过配方法推出一元二次方程的根，打下知识基础．4．达标反馈（1）填空题：①x 2-2x+（ 1 ）=[x+（ -1 ）]2；②x 2+6x+（ 9 ）=[x-（ -3 ）]2；③x 2-5x+254 =（x- 52 ）2； ④x 2+2mx+ m 2 =（x+ m ）2；⑤x-3mx+94m 2 =（x- 32m ）2． ⑥用配方法解一元二次方程2x 2+3x+1=0，变形为（x+m ）2=k ，则m=34，k=116． （2）解答题：①用配方法解下列方程：⑴x 2-2x-5=0； ⑵x 2+x-1=0；⑶x 2+16x-13=0； ⑷x 2；【答案】 ⑴x 1，x 2 ⑵x 1=-12+2，x=-12-2 ⑶x 1=-23，x 2=12⑷x 1，x 2②用配方法将下列各式化成a （x+h ）2+k 的形式．⑴-3x 2-2x+1； ⑵x 2-12x+1； ⑶23y 2+13y-2； ⑷ax 2+bx+c （a ≠0）； 【答案】 ⑴-3（x+13）2+43 ⑵（x-14）2+1516 ⑶23（y+14）2-4924 ⑷a （x+2b a）2+244ac b a -5．学习小结（1）引导学生作知识总结：本节课学习了什么叫配方法，•怎样运用配方法解一元二次方程，按照配方法的四个步骤正确、熟练地求一元二次方程的解．（2）•教师扩展：（方法归纳）用配方法解一元二次方程的关键是：方程两边都加上一次项系数一半的平方，但前提是二次项系数化为1，•配方法的理论根据是直接开平方法．（二）拓展延伸1．链接生活链接一：如果一个一元二次方程有两个不相等的实数根，应当怎样表示？解答：这两个根的值分别为m、n（m≠n），那么可以表示为以下三种形式：（1）x1=m，x2=n；（2）x=m，或x=n（逗号可以省去）；（3）x=m，和x=n．注意不要用“x1=m，或x2=n”这种形式，不能用“x1=m，且x2=n”这种形式．链接二：在什么情况下，解方程会出现增根？解答：我们知道，在方程两边可以加上（或减去）同一个数或整式，也可以乘以（或除以）同一个非零数；从方程的每一项（不管是否为整式），都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边．对于方程进行以上三种变形后，都不会出现增根．那么，什么情况下会出现增根呢？在初中代数里遇到的以下情况时，就有可能产生增根：（1）在方程两边都乘以0，所得的新方程必然有无限多个根．（2）在方程两边乘以同一个含未知数的整式．例如在方程x-1=0•的两边都乘以（x-2），所得的新方程就产生一个增根x=2．（3）将方程两边乘同次方，例如将方程x+1=2两边平方，所得的新方程（x+1）2=•4就产生一个增根x=-3．2．巩固练习（1）选择题：的值等于（C）A．-3 B． C．1 D．3（2）填空题：①x2-bx+24b=（x-2b）2；②x 2-（m+n ）x+2()4m n +=（x-2m n +）2； ③y 2+14y+164=（y+18）2； ④当a= -4 时，二次三项式ax 2+ax-1是一个完全平方式．（3）解答题：①已知关于x 的方程（ax+b ）2=c 有实数解．⑴a 、b 、c 应各取怎样的实数？⑵求方程的两个实数根？【答案】 ⑴a ≠0，b 为一切实数，c ≥0 ⑵x 1x 2 ②用配方法解下列方程：⑴x 2-10x+24=0； ⑵x 2-8x+15=0；⑶x 2+2x-99=0； ⑷y 2+5y+2=0；⑸2x 2x-30=0； ⑹x 2+px+q=0（p 2-4q>0）； ⑺-x 2+2x+3=0； ⑻ax 2+x-2=0（a>0）；⑼ax 2+ax-2=0（a>0）．【答案】 ⑴x 1=4，x 2=6 ⑵x 1=5，x 2=3 ⑶x 1=9，x 2=-11 ⑷x 1=2-52，x 2=-2-52⑸x 1=2，x 2 •⑹x 12p ，x 2-2p ⑺x 1=3，x 2=-1⑻x 1=12a，x 2 ⑼ 3．用配方法证明：无论x 为何实数，代数式x 2-4x+4.5的值恒大于零．（三）板书设计§22．2 一元二次方程的解法2．一元二次方程的解法配方法：__________________ 例题讲解：__________配方法的步骤：____________ 学生练习：__________配方法的注意事项：______________六、资料下载配方法在解题中的应用配方法是数学中的一个重要方法，在解题中有广泛的应用．本文通过例题谈谈它的一些应用．一、应用于因式分解例1 分解因式x 4+4．解 配方，得原式＝x 4+4x 2+4-4x 2=（x 2+2）2-（2x ）2 ＝（x 2+2x+2）（x 2-2x+2）．例2 分解因式a 2-4ab+3b 2-2bc-c 2．解 原式＝（a 2-4ab+4b 2）-（b 2+2bc+c 2）＝（a-2b ）2-（b+c ）2 ＝（a-b+c ）（a-3b-c ）．二、应用于解方程例3 解方程3x 2+4y 2-12x-8y+16=0．解 分别对x 、y 配方，得3（x 2-4x+4）+4（y 2-2y+1）=0，3（x-2）2+4（y-1）2=0．由非负数的性质，得202101x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ 例4 解方程（x 2+2）（y 2+4）（z 2+8）=64xyz （x 、y 、z 均是正实数）．解 原方程变形，得x 2y 2z 2+4x 2z 2+2y 2z 2+8z 2+8x 2y 2+32x 2+16y 2+64-64xyz=0各自配方，得（xyz-8）2+2（4x-yz ）2+4（2y-xz ）2+8（z-xy ）2=0由非负数的性质，得842xyz x yz y xz z xy=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩解得2,x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩运用配方法可为应用非负数的性质创造条件，解题中应注意掌握．三、应用于求二次函数的最值例5 已知x 是实数，求y=x 2-4x+5的最小值．解 由配方，得y=x 2-4x+4-4+5=（x-2）2+1∵x 是实数，∴（x-2）2≥0，当x-2=0，即x=2时，y 最小，y 最小=1．例6 已知二次函数y=x 2-6x+c 的图象的顶点与坐标原点的距离等于5，求c 的值． 解 因为y=x 2-6x+c=x 2-6x+9-9+c=（x-3）2+c-9，所以这个二次函数的顶点坐标为（3，c-9），它与坐标原点的距离是＝5，由此解得c=5或c=13．四、应用于求代数式的值 例7 已知21x x x ++＝a （a ≠0），求2421x x x ++的值． 解 因为21x x x ++＝a （a ≠0），所以21x x x ++=1a ，即x+1x +1=1a， ∴x+1x =1a -1． ∵x 2+21x =（x+1x ）2-2， ∴4221x x x ++=x 2+21x +1=（x+1x ）2+1-2 =（1a -1）2-1=212a a- 本题联合应用了倒数法和配方法使问题得解．倒数法是一种解题技巧，解题时注意应用． 例8 如果a 2+b 2-4a-2a+5=0的值．解 由已知条件，分别对a 、b 配方，得（a 2-4a+4）+（b 2-2b+1）=0，（a-2）2+（b-1）2=0．由非负数的性质，得a-2=0，b-1=0．∴a=2，b=1．∴=21)1五、判定几何图形的形状例9 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca=0，判定△ABC 是正三角形．证明 由已知等式两边乘以2，得2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ca=0，拆项、配方，得（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2=0．由非负数的性质，得a-b=0，b-c=0，c-a=0，∴a=b ，b=c ，c=a ，a=b=c ．故△ABC 是等边三角形．。

用配方法求解一元二次方程（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：初二上学期，学生已经学习过开平方根的定义以及完全平方公式，在上节课学生初步学习了配方法解二次项系数为1的一元二次方程，这些为本节课学习解二次项系数不为1的方程打下较好的基础。

学生活动经验基础：上一课时，学生已经经历了二次项系数为1的方程的解的过程，已经体会到其中转化的思想方法，这些都成为完成本课任务的活动经验基础。

二、教学任务分析在课程安排上这节课的具体学习任务：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程以及利用一元二次方程解决实际问题。

这节课内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，为此，本节课的教学目标是：①经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能；②经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；③能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：探究析疑；第三环节：讲授新课；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小测；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业。

第一环节：复习回顾活动内容：1、将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答).（1）.x2+2x+________=(x+______)2（2）.x2-4x+________=(x-______)2（3）.x2+5x+________ =(x+______)2活动目的：回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤。

为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础。

实际效果：学生对口答题的积极抢答，调动了各自的思维，进入了积极学习的状态；教学中为了便于学生回顾，可以通过举例的形式，帮助学生回顾并整理步骤，例如，x2-6x-40=0移项，得x2-6x= 40方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得x2-6x+32=40+32即（x-3）2=49开平方，得x-3 =±7即x-3=7或x-3=-7所以x1=10,x2=-4学生一般都能整理出配方法解方程的基本步骤：移项，配方，开平方，求解及注意事项。

用配方法解一元二次方程李佼2课时一、教学目标1、通过对比、转化、总结得出配方法的一般过程，提高推理能力。

2、通过对一元二次方程二次项系数是否为1的分类处理，锻炼学生的抽象概括能力。

3、会用配方法解简单的一元二次方程。

4、发现不同方程的转化方式，运用已有的知识解决新问题。

5、理解配方法，会利用配方法对一元二次式进行配方。

6、通过配方法的探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨以及数学结论的确定性。

二、教学重点1.用配方法解简单的数字系数的一元二次方程；用配方法求解二次项系数不为一的一元二次方程2. 能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤三、教学难点1.如何对一元二次方程正确进行配方2. 理解配方法四、教学方法讲练结合法教学过程第一课时一、创设情境1.完全平方式是什么？2.你能解哪些一元二次方程？（复习旧知识为新知识做铺垫）【问题最佳解决方案】二、自主探究（1）解下列方程：（1）x2=9 （2）(x+2)2=16（2 ）利用公式计算：（1）(x+6)2（2）(x－2)2思考：它们的常数项和一次项系数有什么关系？（3）解方程：（梯子滑动问题）x2+12x－15=0（4）议一议：像上面第3题，我们解方程会有困难，是否将方程转化为第1题的方程的形式呢？将一个一元二次方程转化为﹙x+m﹚²=n（n为非负数）的形式，从而能够直接开平方求解的方法，叫做配方法。

【问题最佳解决方案】三、尝试应用2、用配方法解下列一元二次方程（1） x2+x+1=0 （2） x2―5x+4=0（3） x2+12x+25=0（4） x2+2x+2=8x+4 （5） x2―1=2x用配方法解一元二次方程的步骤:化1：把二次项系数化为1；移项：把常数项移到方程的右边配方：依据二次项和一次项配常数项（即方程两边都加上一次项系数的绝对值的一半的平方）整理：将上式写成﹙X+M ﹚² =a的形式开方：根据平方根意义,方程两边开平方求解：解两个一元一次方程定解：写出原方程的解.四、练习提高（随堂练习）五、作业布置第二课时一、回顾与复习1：我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法。