1高三数学北师大理一轮教师用书：第章 第3节 二元一次不等式组与简单的线性规划问题 含解析

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[考纲传真](教师用书独具)1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(对应学生用书第97页)[基础知识填充]1．二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0；(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＞0；(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＜0.所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．2．线性规划相关概念3.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．[知识拓展] 1.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于Ax ＋By ＋C ＞0或Ax ＋By ＋C ＜0，则有(1)当B (Ax ＋By ＋C )＞0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； (2)当B (Ax ＋By ＋C )＜0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． 2．最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )(3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )(4)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．(教材改编)不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )C [x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方的平面区域，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.]3．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3D [根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z .作出直线y ＝－x ，并平移该直线，当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，目标函数取得最大值． 由图知A (3,0)， 故z max ＝3＋0＝3. 故选D.]4．若点(m,1)在不等式2x ＋3y －5＞0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是________．(1，＋∞) [∵点(m,1)在不等式2x ＋3y －5＞0所表示的平面区域内，∴2m ＋3－5＞0，即m ＞1.]5．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y ≤0，x －y －4≤0表示的平面区域的面积是__________.【导学号：79140199】1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，由x ＝1，x ＋y ＝0得A (1，－1)，由x ＝1，x －y －4＝0得B (1，－3)， 由x ＋y ＝0，x －y －4＝0得C (2，－2)， ∴|AB |＝2，∴S △ABC ＝12×2×1＝1.](对应学生用书第98页)(1)(2018·北京西城区二模)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0表示的平面区域的面积是( )A.32 B.3 C ．2 D ．2 3(2)若满足条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0(1)B (2)C [(1)作出不等式组表示的平面区域是以点O (0,0)，B (－2,0)和A (1，3)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为12×2×3＝3，故选B.(2)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，当a ＝0时，平面区域内只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点，故选C.][跟踪训练]若平面区域⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.355 B.2 C.322 D.5B [根据约束条件作出可行域如图中阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎨⎧ x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎨⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B.]◎角度1 求线性目标函数的最值(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y的最小值是( ) A ．－15 B ．－9 C ．1D ．9A [不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x 并平移，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 取最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15.故选A.]◎角度2 求非线性目标函数的最值(2018·济南一模)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则yx 的最大值为( ) A ．1B ．3 C.32 D ．5C [在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域是以(1,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界)(图略)，y x 表示平面区域内的点与原点的连线的斜率，由题意得点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32与原点的连线斜率最大，即y x 的最大值为321＝32，故选C.]◎角度3线性规划中的参数问题(2017·河南安阳一模)已知z＝2x＋y，其中实数x，y满足⎩⎨⎧y≥x，x＋y≤2，x≥a，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是()【导学号：79140200】A.211B．14C．4 D．112B[作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x，由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线的纵截距最大，此时z最大，由⎩⎨⎧x＋y＝2，y＝x解得⎩⎨⎧x＝1，y＝1，即A(1,1)，z max＝2×1＋1＝3，当直线y＝－2x＋z经过点B时，直线的纵截距最小，此时z最小，由⎩⎨⎧x＝a，y＝x解得⎩⎨⎧x＝a，y＝a，即B(a，a)，z min＝2×a＋a＝3a，∵z 的最大值是最小值的4倍， ∴3＝4×3a ，即a ＝14，故选B.][跟踪训练](1)(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( ) A ．[－3,0] B ．[－3,2] C ．[0,2]D ．[0,3](2)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12(3)(2017·石家庄质检(一))若x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≥1mx －y ≤03x －2y ＋2≥0，且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为( ) A.13 B ．23 C ．1D ．2(1)B (2)C (3)D [(1)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝x －z 过点A (2,0)时，z 取得最大值，即z max ＝2－0＝2；当直线y ＝x －z 过点B (0,3)时，z 取得最小值，即z min ＝0－3＝－3.所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]． 故选B.(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.(3)若z ＝3x －y 的最大值为2，则此时目标函数为y ＝3x －2，直线y ＝3x －2与3x －2y ＋2＝0和x ＋y ＝1分别交于A (2,4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，14，mx －y ＝0经过其中一点，所以m ＝2或m ＝13，当m ＝13时，经检验不符合题意，故m ＝2，选D.](2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 216 000 [设生产产品A x 件，产品B y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N ＋，y ≥0，y ∈N ＋.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 C ．17万元D ．18万元D [设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎨⎧ 3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.]。

第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组) Ax＋By＋C>0(＜0) Ax＋By＋C≥0(≤0)表示区域直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念名称约束条件线性约束条件目标函数线性目标函数可行解可行域最优解线性规划问题意义由变量x，y组成的不等式(组)由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)关于变量x，y的函数解析式，如z＝x＋2y关于变量x，y的一次解析式满足线性约束条件的解(x，y)所有可行解组成的集合使目标函数取得最大值或最小值的可行解在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题导师提醒1．记住一条规律当b＞0时，直线z＝ax＋by向上平移z变大，向下平移z变小；当b＜0时，直线z＝ax＋by向上平移z变小，向下平移z变大．2．掌握求解线性规划问题的三个步骤(1)作图，在平面直角坐标系中，画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)．(2)平移，平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最值的点．具体做法是：把z＝ax＋by(b≠0)变形为y＝－a x＋z，所以求z的最值可看成是求直线y＝－a x＋z在y轴上的截距z的最值，将直线y＝－a x＋z平移，在可行域中观察使z取得最值的点．⎩2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6＜0，解得t＞.答案：⎝3，＋∞⎭b b b bb b b b(3)求值，求出使z取得最值的点的坐标(解方程组)及z的最值．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．()(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×⎧⎪x－3y＋6＜0，不等式组⎨表示的平面区域是()⎪x－y＋2≥0解析：选C.x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方部分，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方部分，故不等式组表示的平面区域为选项C所示的阴影部分．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是__________．解析：因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6＜0表示，所以由点(－23⎛2⎫已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为________．解析：根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－7<a<24.答案：(－7，24)⎧⎪x＋y≤2，约束条件⎨x－y≥－2，表示的平面区域的面积为______．⎪⎩y≥0＝1×4×2＝4. 3 3A ⎝0，3⎭，B(1，1)，C(0，4)△，则ABC 的面积为 ×1× ＝ .故选 C.(1) 若不等式组 ⎨⎪⎩⎧⎪x ＋y －2≤0，(2)若不等式组 ⎨x ＋2y －2≥0，表示的平面区域为三角形，且其面积等于 ，则 m 的值为⎪⎩x －y ＋2m ≥0⎧x ＋y ≤2，解析：作出⎨x －y ≥－2，所表示的平面区域如图中阴影部分所示．⎩y ≥0则 A(0，2)，B(－2，0)，C(2，0)，所以 S 阴＝S △ABC答案：42二元一次不等式(组)表示的平面区域(多维探究)角度一 平面区域的面积⎧⎪x ≥0，不等式组⎨x ＋3y ≥4，所表示的平面区域的面积等于()⎪⎩3x ＋y ≤4A. 3 22 B.4 C.D. 3 4【解析 】 由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，⎛ 4⎫ 1 8 42 3 3【答案】 C角度二 平面区域的形状⎧⎪x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0， x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．43________．⎛2，2⎫；解⎨y＝0，得B(1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三⎝33⎭角形，则直线x＋y＝a中的a的取值范围是0<a≤1或a≥4.＝×(2＋2m)×(1＋m)－×(2＋2m)×＝＝4，【答案】(1)(0，1]∪⎣3，＋∞⎭(2)1【解析】⎧x－y≥0，(1)不等式组⎨2x＋y≤2，表示的平面区域如图所示(阴影部分)．⎩y≥0⎧y＝x，⎧解⎨得A⎩2x＋y＝2⎩2x＋y＝23(2)不等式组表示的平面区域如图阴影部分，则图中A点纵坐标yA＝1＋m，B点纵坐标yB＝2m＋23，C点横坐标xC＝－2m，所以S△ABD＝S ACD－S△BCD112m＋2（m＋1）222333所以m＝1或m＝－3，又因为当m＝－3时，不满足题意，应舍去，所以m＝1.⎡4⎫(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法①“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；阴影部分为直角三角形，当 k ＝0 时，此三角形的面积为1×3×3＝9≠1， 联立可行域边界所在直线方程，可得 A(－1，1)，B ⎛ ，－ ⎫，C(4，6)．因为直线 l ：y ＝②当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．(2)求平面区域面积的方法①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形 (如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．⎧⎪x ≥1，1．已知约束条件⎨x ＋y －4≤0，表示面积为 1 的直角三角形区域，则实数 k 的值为()⎪⎩kx －y ≤0A ．1C ．0B ．－1D ．－2解析：选 A.作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，要使2 2所以不成立，所以 k ＞0，则必有 BC ⊥AB ，因为 x ＋y －4＝0 的斜率为－1，所以直线 kx －y ＝0 的斜率为 1，即 k ＝1，满足题意，故选 A.⎧⎪x ＋y ≥0，2．(2019· 福建漳州调研 )若不等式组 ⎨x －y ＋2≥0，所表示的平面区域被直线 l ：mx －y ＋m⎪⎩2x －y －2≤0＋1＝0 分为面积相等的两部分，则 m ＝________．解析：由题意可画出可行域为△ABC 及其内部所表示的平面区域，如图所示．2 2⎝3 3⎭m (x ＋1)＋1 过定点 A(－1，1)，直线 l △将ABC 分为面积相等的两部分，所以直线 l 过边 BC 的中点 D ，易得 D ⎛ ， ⎫，代入 mx －y ＋m ＋1＝0，得 m ＝1. ⎧⎪x －y ＋1≤0，若实数 x ，y 满足⎨x ≥0，则 的取值范围为________． ⎪⎩y ≤2，z ＝ 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，7 8 ⎝3 3⎭ 2答案：12求目标函数的最值(多维探究)角度一 求线性目标函数的最值⎧⎪x －2y －2≤0(2018· 高考全国卷Ⅰ)若 x ，y 满足约束条件⎨x －y ＋1≥0 ，则 z ＝3x ＋2y 的最大值为⎪⎩y ≤0________．【解析】 作出可行域为如图所示的△ABC 所表示的阴影区域，作出直线 3x ＋2y ＝0，并平移该直线，当直线过点 A(2，0)时，目标函数 z ＝3x ＋2y 取得最大值，且 zmax＝3×2＋2×0＝6.【答案】 6[迁移探究 1] (变问法)在本例条件下，求 z ＝3x －2y 的最大值．解：借助图形可知，当直线过点 A(2，0)时，目标函数 z ＝3x －2y 取得最大值 6.[迁移探究 2] (变问法)在本例条件下，求 z ＝2y －3x 的最大值．解：借助图形可知，当直线过点 C(－4，－3)时，目标函数 z ＝2y －3x 取得最大值 6.角度二 求非线性目标函数的最值yx【解析】⎧x －y ＋1≤0，由⎨x ≥0，⎩y ≤2作出可行域，如图中阴影部分所示．yx因此y的范围为直线 OB 的斜率到直线 OA 的斜率(直线 OA 的斜率不存在，即 z xmax 不存在)．[迁移探究 1](变问法)保持本例条件不变，求目标函数 z ＝ y －1⎧x －y ＋1＝0， 由⎨ 得 B(1，2)， ⎩y ＝2，所以 k ＝2＝2，即 z OB 1min ＝2，所以 z 的取值范围是[2，＋∞)．【答案】 [2，＋∞)x －1的取值范围．y －1解：z ＝可以看作过点 P(1，1)及(x ，y)两点的直线的斜率．所以 z 的取值范围是(－∞， x －10]．[迁移探究 2] (变问法)保持本例条件不变，求目标函数 z ＝x 2＋y 2 的取值范围． 解：z ＝x 2＋y 2 表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方．因此 x 2＋y 2 的最小值为 OA 2，最大值为 OB 2.⎧x －y ＋1＝0， 由⎨ 得 A(0，1)， ⎩x ＝0，所以 OA 2＝( 02＋12)2＝1，OB 2＝( 12＋22)2＝5，所以 z 的取值范围是[1，5]．角度三 求参数值或取值范围⎧⎪x －y ≥0(2019· 惠州第三次调研考试)已知 x ，y 满足约束条件⎨x ＋y ≤2，若 z ＝ax ＋y 的最大值⎪⎩y ≥0为 4，则 a 等于()A ．3C ．－2【解析】B ．2D ．－3⎧x －y ≥0不等式组⎨x ＋y ≤2表示的平面区域如图中阴影部分所示．⎩y ≥0z＝y－b⎧x－y＝0易知A(2，0)，由⎨，得B(1，1)．由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z，所以当a＝－2或a ⎩x＋y＝2＝－3时，z＝ax＋y在点O(0，0)处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D；当a＝2或a＝3时，z＝ax＋y在点A(2，0)处取得最大值，所以2a＝4，所以a＝2，故选B.【答案】B线性规划两类问题的解决方法(1)求不含参数的目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有：①截距型：形如z＝ax＋by；②距离型：形如z＝（x－a）2＋（y－b）2；③斜率型：形如x－a.(2)含参数的线性规划问题：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中，求解步骤为：①注意对参数取值的讨论、将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解．[提醒]求目标函数的最值时，易弄错目标函数的几何意义而求错．如x2＋y2是距离的平方，易忽视平方而求错．⎧⎪x≥1，1．(2019·郑州第一次质量预测)设变量x，y满足约束条件⎨x＋y－4≤0，则目标函数z＝2x⎪⎩x－3y＋4≤0，－y的最小值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线y＝2x，平移该直线，易知当直线经过A(1，3)时，z最小，z＝2×1－3＝－1.min答案：－1⎧⎪x－y＋4≥0，2．(2019·黄冈模拟)已知x，y满足约束条件⎨x≤2，且z＝x＋3y的最小值为2，则常⎪⎩x＋y＋k≥0，部分所示．由z＝x＋3y得y＝－1x＋z，结合图形可知当直线y＝－1x＋z＝2＋3(－2－k)＝2，数k＝________．⎧⎪x－y＋4≥0，解析：作出不等式组⎨x≤2，⎪⎩x＋y＋k≥0所表示的平面区域，如图中阴影3333⎧x＝2，过点A时，z最小，联立方程，得⎨得A(2，－2－k)，此时z⎩x＋y＋k＝0，解得k＝－2.答案：－2线性规划的实际应用(师生共研)(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为()A/吨B/吨甲31乙22原料限量128A.16万元C．18万元B．17万元D．19万元【解析】设该企业每天生产x吨甲产品，y吨乙产品，可获得利润为z万元，则z＝3x＋4y，且x，y满足不等式组⎧⎪3x＋2y≤12，⎨x＋2y≤8，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作⎪⎩x≥0，y≥0，出直线3x＋4y＝0并平移，可知当直线经过点(2，3)时，z取得最大值，z18(万元)．故选C.max＝3×2＋4×3＝【答案】C利用线性规划解决实际问题的五步曲某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为________元．解析：设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1600x＋2400y，则约束条件为⎧⎪36x＋60y≥900，⎨x＋y≤21，⎪⎩y－x≤7，x，y∈N，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A(5，12)时，有最小值z800(元)．答案：36800min＝36图象法求目标函数的最值问题⎧⎪x＋4y－13≤0，已知变量x，y满足约束条件⎨2y－x＋1≥0，且有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝x⎪⎩x＋y－4≥0，＋my取得最小值，则m＝________．【解析】作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．11z 若m≠0，则目标函数z＝x＋my可看作斜率为－的动直线y＝－x＋，解析：作出可行域如图，其中A(，0)，B(3，0)，C(，－)．zmax＝0－ln＝ln6.设y＝ln x＋z的图象与直线y＝x－36x x7＝若m＝0，则z＝x，目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．m m m若m＜0，则－1＞0，数形结合知使目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解不可能有无穷m多个；若m＞0，则－1＜0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)在m线段AB上，使目标函数z＝x＋my取得最小值，即－1＝－1，则m＝1.m综上可知，m＝1.【答案】1直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程．主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；探索解决问题的思路．本例借助直线z＝x＋my的移动，直观观摩直线与平面区域公共点的个数，从而求得问题的答案．⎧⎪6x＋y－1≥0，已知实数x，y满足⎨x－y－3≤0，则z＝y－ln x的取值范围为________．⎪⎩y≤0，1417677由图可知，当y＝ln x＋z过点A(1，0)时z取得最大值，61切于点M(x，y)，由y＝ln x＋z得y′1，令1＝1得x＝1∈(4，0003)，＝2×1＋1＝3，故选A.平移该直线，易知当直线过点⎛，⎫时，zmin作出直线y＝3x，平移该直线，当直线经过点C(1，0)时，在y轴上的截故y＝ln x＋z与y＝x－3切于点M(1，－2)时z取得最小值，zmin＝－2－ln1＝－2.所以z＝y－ln x的取值范围为[－2，ln6]．答案：[－2，ln6][基础题组练]⎧⎪x＋y≥1，1．(2019·唐山五校联考)设变量x，y满足⎨x－y≥0，则目标函数z＝2x＋y的最小值为⎪⎩2x－y－2≤0，()A.32B．2C．4D．6解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，11⎝22⎭222⎧⎪x＋y－1≥0，2．(2019·南昌调研)设变量x，y满足约束条件⎨x－2y＋2≥0，则z＝3x－2y的最大值为⎪⎩2x－y－2≤0，()A．－2C．3B．2D．4解析：选C.作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，2距最小，z最大，此时z＝3×1－0＝3，故选C.⎧⎪x≥0，3．不等式组⎨x＋y≤3，表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区⎪⎩y≥x＋1域Ω有公共点，则实数k的取值范围为()1－0＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞)．故选D.24⎧x＋y＝1，⎧x＝－2，⎩y＝2D⎝－2，2⎭，所以区域的面积S阴影＝S△ACD－S△OEC＝×3×－×1×1＝，故选D.A．(0，3]C．(－∞，3]B．[－1，1]D．[3，＋∞)解析：选D.直线y＝kx－1过定点M(0，－1)，由图可知，当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1与直线x＋y＝3的交点C(1，2)时，k最小，此时k＝2－（－1）CM⎧⎪x≤0，4．(2019·湖北黄冈模拟)若A为不等式组⎨y≥0，表示的平面区域，则a从－2连续变化到⎪⎩y－x≤21时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为()A．913B．31377C. D.⎧⎪x≤0，解析：选D.如图，不等式组⎨y≥0，表示的平面区域是△AOB，⎪⎩y－x≤2由动直线x＋y＝a(即y＝－x＋a)在y轴上的截距从－2变化到1，知△ACD是斜边为3的等腰直角三角形，△OEC是直角边为1的等腰直角三角形，联立⎨解得⎨⎩y－x＝2，3，所以⎛13⎫13172224⎧⎪x≥a，5．实数x，y满足⎨y≥x，(a<1)，且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a的值是()⎪⎩x＋y≤2A.2B.24行域中的点A(a，a)时有最小值3a，由3＝4×3a，得a＝1.⎛1⎫x－2y的最大值是＝1－2×3＝－5，此时z＝⎛⎫＝⎛⎫＝32.⎛1⎫x－2y的最大值在区域的顶点处取得，只需求出顶点A，B，C的坐标分别代入z＝⎛⎫⎧x＝1，⎧x＝1，得⎨解得A(1，3)，代入可得z＝32；联立得⎨解得B⎛1，－⎫，代入1；联立得x－y＋2＝0，解得C(－2，0)，代入可得z＝4.通过比较可知，在点A(1，⎨x＋2y＋2＝0，⎩111413C. D.解析：选B.在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点B(1，1)时有最大值3，当目标函数z＝2x＋y经过可4⎧⎪x－y＋2≥0，6．(2019·开封模拟)已知实数x，y满足约束条件⎨x＋2y＋2≥0，则z＝⎝2⎭⎪⎩x≤1，________．解析：法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u＝x－2y，由图知，当u＝x－2y经过点A(1，3)时取得最小值，即u1－5大值，即zmax⎝2⎭1x－2ymin⎝2⎭取得最法二：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知z＝⎝2⎭1x－2y⎝2⎭，即可求得最大值．联立3⎝2⎭⎩x－y＋2＝0，⎩x＋2y＋2＝0，可得z＝16⎧⎛1⎫x －2y 取得最大值 32.⎧⎪x ＋y ≥1，8．已知实数 x ，y 满足约束条件⎨x －y ≥－1，则目标函数 z ＝ 的最大值为________．⎪⎩2x －y ≤2，x －5 表示过点 Q(5，－2)与点(x ，y)的直线的斜率，且点(x ，y)在△ABC 平面区＝－1.1－523)处，z ＝⎝2⎭答案：32⎧⎪x －y ＋1≤0，7．若变量 x ，y 满足约束条件⎨y ≤1，则(x －2)2＋y 2 的最小值为________．⎪⎩x >－1，解析：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示，设 z ＝(x －2)2＋y 2，则 z 的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，由图知 C ，D 间的距离最小，此时 z 最小．⎧y ＝1， ⎧x ＝0， 由⎨ 得⎨ 即 C(0，1)， ⎩x －y ＋1＝0 ⎩y ＝1，此时 z min ＝(0－2)2＋12＝4＋1＝5.答案：5y ＋2x －5解析：作出约束条件所表示的平面区域，其中 A(0，1)，B(1，0)，C(3，4)．目标函数 z ＝ y ＋2域内(含边界)．显然过 B ，Q 两点的直线的斜率 z 最大，最大值为0＋2 21答案：－9.如图所示，已知 D 是以点 A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三(1)设z＝y＋1x＋3知z的值即是定点P(－3，－1)与区域内的点Q(x，y)连接的直线的斜率，当直线过C(－1，0)时，z＝1.故z的取值范围是(－∞，－4)∪⎛，＋∞⎫.角形区域(包括边界与内部)．(1)写出表示区域D的不等式组；(2)设点B(－1，－6)，C(－3，2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0，4x＋y＋10＝0.原⎧⎪7x－5y－23≤0，点(0，0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为⎨x＋7y－11≤0，⎪⎩4x＋y＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a]·[4×(－3)－3×2－a]<0，即(14－a)(－18－a)<0，解得－18<a<14.故a的取值范围是(－18，14)．⎧⎪y＞010．已知x，y满足⎨x＋y＋1＜0，记点(x，y)对应的平面区域为P.⎪⎩3x＋y＋9＞0x＋3，求z的取值范围；(2)过点(－5，1)的一束光线，射到x轴被反射后经过区域P，当反射光线所在直线l经过区域P内的整点(即横纵坐标均是整数的点)时，求直线l的方程．解：平面区域如图所示，易得A，B，C三点坐标分别为A(－4，3)，B(－3，0)，C(－1，0)．(1)由z＝y＋1当直线过A(－4，3)时，z＝－4；21⎝2⎭(2)过点(－5，1)的光线被x轴反射后的光线所在直线必经过点(－5，－1)，由题设可得区域内坐标为整数点仅有点(－3，1)，（－1）－1＝故直线l的方程是y－1（x＋3）（－5）＋3，即x－y＋4＝0.[综合题组练]⎧⎪x－y≥0，1．(应用型)(2019·浙江杭州模拟)若存在实数x，y，m使不等式组⎨x－3y＋2≤0，与不等式⎪⎩x＋y－6≤0x－2y＋m≤0都成立，则实数m的取值范围是()A．m≥0C．m≥1B．m≤3D．m≥3⎧⎪x－y≥0，解析：选B.作出不等式组⎨x－3y＋2≤0，表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中⎪⎩x＋y－6≤0A(4，2)，B(1，1)，C(3，3)．设z＝x－2y，将直线l：z＝x－2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，可得z＝4－2×2＝0，当l经过点C时，目标函数z达到最小值，可得zmax＝3－2×3＝－3，因min此z＝x－2y的取值范围为[－3，0]．因为存在实数m，使不等式x－2y＋m≤0成立，即存在实数m，使x－2y≤－m成立，所以－m大于或等于z的最小值，即－3≤－m，解得m≤3，故选B.⎧⎪x－2y＋2≥0，2．(创新型)(2019·江西上饶模拟)已知P(x，y)为不等式组⎨x－y－1≤0，所确定的平面区域⎪⎩x＋y－1≥0→→上的动点，若点M(2，1)，O(0，0)，则z＝OP·OM的最大值为()A．1C．10B．2D．11解析：选D.画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，⎧x －2y ＋2＝0，联立⎨ 解得 A(4，3)．由点 M (2，1)，O(0，0)，得 z ＝OP OM ＝2x ＋y ，则 y ＝ A.⎝－∞，3⎭ B.⎝－∞，3⎭C.⎝－∞，－3⎭D.⎝－∞，－3⎭m )，直线 x －2y ＝2 的斜率为 ，斜截式方程为 y ＝ x －1，要使平面区域内存在点 P(x ，y )满足 x －2y ＝2，则点 C(－m ，m )必在直线 x －2y ＝2 的下方，即 m＜－1m －1，解得 m ＜－2，所以 m 的取值范围是⎛－∞，－ ⎫，故选 C.→ →⎩x －y －1＝0，－2x ＋z ，显然直线 y ＝－2x ＋z 过 A(4，3)时，z 最大，此时 z ＝2×4＋3＝11.故选 D.⎧⎪2x －y ＋1＞0，3．(应用型)设关于 x ，y 的不等式组⎨x ＋m ＜0，表示的平面区域内存在点 P(x 0，y 0)，满⎪⎩y －m ＞0足 x 0－2y 0＝2，则 m 的取值范围是()⎛ 4⎫ ⎛ 2⎫ ⎛ 1⎫⎛ 5⎫解析：选 C.作出不等式组对应的平面区域如图，交点 C 的坐标为(－m ，1 12 20 0 0 022 3 ⎝ 3⎭⎧⎪x －y ＋2≥0，4．(应用型)实数 x ，y 满足不等式组⎨2x －y －5≤0，则 z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．⎪⎩x ＋y －4≥0，解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示． z ＝|x ＋2y －4||x ＋2y －4|＝5，其几何含义为阴影区域内的点到直线 x ＋2y5⎧x －y ＋2＝0，－4＝0 的距离的 5倍．由⎨ 得点 B 坐标为(7，9)，显然⎩2x －y －5＝0，点 B 到直线 x ＋2y －4＝0 的距离最大，此时 z答案：21max ＝21.＝20，解得α＝或.当α＝时，1＝tan，得m＝－ 3.⎧⎪x≤my＋n5．已知点A(53，5)，直线l：x＝my＋n(n＞0)过点A.若可行域⎨x－3y≥0的外接圆的直径⎪⎩y≥0为20，求n的值．解：注意到直线l′：x－3y＝0也经过点A，所以点A为直线l与l′的交点．画出不等式组⎧x≤my＋n⎨x－3y≥0表示的可行域，如图中阴影部分所示．⎩y≥0设直线l的倾斜角为α，则∠ABO＝π－α.△在OAB中，OA＝（53）2＋52＝10.根据正弦定理，得10sin（π－α）5ππ665π5π6m6又直线l过点A(53，5)，所以53＝－3×5＋n，解得n＝103.π当α＝时，同理可得m＝3，n＝0(舍去)．6综上，n＝103.6．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料甲乙A45B85C310现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．考虑 z ＝2x ＋3y ，将它变形为 y ＝－2x ＋z ， 这是斜率为－2，随 z 变化的一族平行直线.z为＝解：(1)由已知得，x ，y 满足的数学关系式为⎧4x ＋5y ≤200， ⎪8x ＋5y ≤360，⎨3x ＋10y ≤300，⎪⎩x ≥0，y ≥0.设二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分．(2)设利润为 z 万元，则目标函数为 z ＝2x ＋3y .33 3 3直线在 y 轴上的截距，当 z取最大值时，z 的值最大．又因为 x ，y 满足约束条件，所以由图 2 可3知，当直线 z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点 M 时，截距 z最大，即 z 最大．3⎧4x ＋5y ＝200，解方程组⎨ 得点 M 的坐标为(20，24)．⎩3x ＋10y ＝300，所以 z max 2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料 20 车皮、乙种肥料 24 车皮时利润最大，且最大利润为 112 万元．。

第3讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By ＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线．不等式Ax＋By ＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合续表最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值划问题 的问题诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )(4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )(5)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( )解析 (1)不等式x －y ＋1>0表示的平面区域在直线x －y ＋1＝0的下方． (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是zb . 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√2．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3) 解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C. 答案 C3．(教材改编)不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B. 答案 B4．(2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3,4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5. 答案 －55．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z .易知当直线y ＝－2x ＋z 过点A (k ，k )时，z ＝2x ＋y 取得最小值，即3k ＝－6，所以k ＝－2.答案 －2考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 【例1】 (1)(2017·郑州预测)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎨⎧x－y≥0，x＋y≥0，y≥2x－6表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________．(2)(2015·重庆卷)若不等式组⎩⎨⎧x＋y－2≤0，x＋2y－2≥0，x－y＋2m≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m的值为()A．－3 B．1 C.43D．3解析(1)作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示，平面区域N的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P＝π212＝π24.(2)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m＜2，则m＞－1，由⎩⎨⎧x＋y－2＝0，x－y＋2m＝0，解得⎩⎨⎧x＝1－m，y＝1＋m，即A(1－m,1＋m)．由⎩⎨⎧x＋2y－2＝0，x－y＋2m＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝23－43m，y＝23＋23m，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－43m ，23＋23m ，所围成的区域为△ABC ，则S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )(1＋m )－12(2＋2m )·23(1＋m )＝13(1＋m )2＝43， 解得m ＝－3(舍去)或m ＝1.故选B. 答案 (1)π24 (2)B规律方法 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．【训练1】 若不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. 答案 A考点二 线性规划相关问题(多维探究)命题角度一 求目标函数的最值【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．(2)(2015·全国Ⅰ卷)若x ，y满足约束条件⎩⎨⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx 的最大值为________． 解析 (1)画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.(2)作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1,3)与原点连线的斜率最大，故yx 的最大值为3. 答案 (1)－10 (2)3命题角度二 求参数的值或范围【例2－2】 (2015·福建卷)变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x－y 的最大值为2，则实数m 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析如图所示，目标函数z ＝2x －y 取最大值2，即y ＝2x －2时，画出⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0表示的区域，由于mx －y ≤0过定点(0,0)，要使z ＝2x －y 取最大值2，则目标函数必过两直线x －2y ＋2＝0与y ＝2x －2的交点A (2,2)，因此直线mx －y ＝0过点A (2,2)，故有2m －2＝0，解得m ＝1. 答案 C规律方法 线性规划两类问题的解决方法(1)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有：①截距型：形如z ＝ax ＋by ；②距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2.③斜率型：形如z ＝y －bx －a. (2)求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中．求解步骤为：①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解．【训练2】 (1)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( ) A ．－5 B ．3C ．－5或3D ．5或－3(2)(2017·西安检测)已知变量x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________．解析 (1)二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12.由z＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za .由图可知当－1≤－1a ≤1时，z 可取得最小值，此时a ≥1或a ≤－1.又直线y ＝－1a x ＋za 过A 点时，z 取得最小值，因此a －12＋a ×a ＋12＝7，化简得a 2＋2a －15＝0，解得a ＝3或a ＝－5，当a ＝3时，经检验知满足题意；当a ＝－5时，目标函数z ＝x ＋ay 过点A 时取得最大值，不满足题意，故选B. (2)作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示．令m ＝2x ＋y ，由图像可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的纵截距最大，此时m 最大，故z 最大．由⎩⎨⎧ 2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)．代入目标函数z ＝(2)2x ＋y 得，z ＝(2)2×1＋2＝4. 答案 (1)B (2)4考点三实际生活中的线性规划问题【例3】(2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．解析设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x≥0，x∈N＋，y≥0，y∈N＋，目标函数z＝2 100x＋900y.作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，z max＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．答案216 000规律方法解线性规划应用问题的一般步骤：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．【训练3】(2015·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元 B ．16C ．17万元 D ．18万元解析 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎨⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值． 由⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)． 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)． 答案 D[思想方法]1．求最值：求二元一次目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题． 3．利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题．[易错防范]1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化． 2．在通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )解析 法一 不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0等价于⎩⎨⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0或⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，画出对应的平面区域，可知C 正确． 法二 结合图形，由于点(0,0)和(0,4)都适合原不等式，所以点(0,0)和(0,4)必在区域内，故选C. 答案 C2．(2016·泰安模拟)不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1 B.12 C.13 D.14 解析作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14. 答案 D3．(2017·广州二测)不等式组⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≥－2，x －2y ≥－2的解集记为D ，若(a ，b )∈D ，则z＝2a －3b 的最小值是( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．4解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当a ＝－2，b ＝0，z ＝2a －3b 取得最小值－4. 答案 A4．(2017·南昌质量监测)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤－x ＋1，y ≤x ＋1，y ≥0，则3x ＋5y 的取值范围是( )A ．[－5,3]B ．[3,5]C ．[－3,3]D ．[－3,5]解析 作出如图所示的可行域及l 0：3x ＋5y ＝0，平行移动l 0到l 1过点A (0,1)时，3x ＋5y 有最大值5，平行移动l 0至l 2过点B (－1,0)时，3x ＋5y 有最小值－3，故选D.答案 D5．x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1 解析如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a ＞0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a ＜0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 答案 D6．若函数y ＝2x 图像上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m的最大值为( )A.12B．1 C.32D．2解析在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图像及⎩⎨⎧x＋y－3≤0，x－2y－3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m≤1时，函数y＝2x的图像上存在点(x，y)满足约束条件，故m 的最大值为1.答案 B7．(2017·石家庄质检)已知x，y满足约束条件⎩⎨⎧x≥1，y≥－1，4x＋y≤9，x＋y≤3，若目标函数z＝y －mx(m>0)的最大值为1，则m的值是()A．－209B．1 C．2 D．5解析作出可行域，如图所示的阴影部分．化目标函数z＝y－mx(m＞0)为y＝mx＋z，由图可知，当直线y＝mx＋z过A点时，直线在y轴的截距最大，由⎩⎨⎧x＝1，x＋y＝3，解得⎩⎨⎧x＝1，y＝2，即A(1,2)，∴2－m＝1，解得m＝1.故选B.8．(2016·贵州黔东南模拟)若变量x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( ) A.322 B. 5 C.92 D ．5解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方，由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎨⎧ y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选D. 答案 D 二、填空题9．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z 最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1,1)时，z 最小，最小值为3.10．(2017·合肥模拟)已知O是坐标原点，点M的坐标为(2,1)，若点N(x，y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤2，x≥12，y≥x上的一个动点，则OM→·ON→的最大值是________．解析依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A⎝⎛⎭⎪⎫12，12，B⎝⎛⎭⎪⎫12，32，C(1,1)．设z＝OM→·ON→＝2x＋y，当目标函数z＝2x＋y过点C(1,1)时，z＝2x＋y取得最大值3.答案 311．已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是________(答案用区间表示)．解析法一设2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y)，则由待定系数法可得⎩⎨⎧a＋b＝2，a－b＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－12，b＝52，所以z＝－12(x＋y)＋52(x－y)．又⎩⎪⎨⎪⎧－2＜－12(x＋y)＜12，5＜52(x－y)＜152，所以两式相加可得z∈(3,8)．法二作出不等式组⎩⎨⎧－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3表示的可行域，如图中阴影部分所示．平移直线2x －3y ＝0，当相应直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，z 取得最小值，z min ＝2×3－3×1＝3；当相应直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈(3,8)． 答案 (3,8)12．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b的最大值为________． 解析作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示．作出直线l 0：x －2y ＝0， ∵y ＝x 2－b 2，∴当l 0平移至A 点处时b 有最小值，b min ＝－a ，又b min ＝－2，∴a ＝2，当l 0平移至B (a ，－2a )时，b 有最大值b max ＝a －2×(－2a )＝5a ＝10. 答案 10能力提升题组 (建议用时：15分钟)13．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A．1 800元B．2 400元C．2 800元D．3 100元解析设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，则根据题意得x、y的约束条件为⎩⎨⎧x≥0，x∈N，y≥0，y∈N，x＋2y≤12，2x＋y≤12.设获利z元，则z＝300x＋400y.画出可行域如图．画直线l：300x＋400y＝0，即3x＋4y＝0.平移直线l，从图中可知，当直线过点M时，目标函数取得最大值．由⎩⎨⎧x＋2y＝12，2x＋y＝12，解得⎩⎨⎧x＝4，y＝4，即M的坐标为(4,4)，∴z max＝300×4＋400×4＝2 800(元)，故选C.答案 C14．(2017·许昌监测)设实数x，y满足⎩⎨⎧2x＋y－2≤0，x－y＋1≥0，x－2y－1≤0，则y－1x－1的最小值是() A．－5 B．－12C.12D．5解析作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示，则w＝y－1x－1的几何意义是区域内的点P(x，y)与定点A(1,1)所在直线的斜率，由图像可知当P位于点⎝⎛⎭⎪⎫13，43时，直线AP的斜率最小，此时w＝y－1x－1的最小值为43－113－1＝－12，故选B.答案 B15．已知变量x，y满足约束条件⎩⎨⎧x＋2y－3≤0，x＋3y－3≥0，y－1≤0，若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是________．解析画出x、y满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线x＋2y－3＝0的斜率，即－a<－12，∴a>12.答案⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞16．(2015·浙江卷)若实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________．解析∵x2＋y2≤1，∴2x＋y－4＜0,6－x－3y＞0，∴|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝10－3x －4y . 令z ＝10－3x －4y ，如图，设OA 与直线－3x －4y ＝0垂直，∴直线OA 的方程为y ＝43x ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x ，x 2＋y 2＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，∴当z ＝10－3x －4y 过点A 时，z 取最大值， z max ＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝15.答案 15特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[考纲传真].会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．二元一次不等式(组)表示的平面区域.[确定二元一次不等式表示的平面区域的位置把二元一次不等式＋＋＞(＜)表示为＞＋或＜＋的形式．若＞＋，则平面区域为直线＋＋＝的上方，若＜＋，则平面区域为直线＋＋＝的下方．[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()不等式＋＋>表示的平面区域一定在直线＋＋＝的上方．( )()线性目标函数的最优解可能不唯一．( )()目标函数＝＋(≠)中，的几何意义是直线＋－＝在轴上的截距．( )()不等式－<表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有轴的两块区域．( )[答案]()×()√()×()√．(教材改编)不等式组(\\(－＋<，－＋≥))表示的平面区域是( )[－＋<表示直线－＋＝左上方的平面区域，－＋≥表示直线－＋＝及其右下方的平面区域，故选．]．(·全国卷Ⅰ)设，满足约束条件(\\(＋≤，－≥，≥，))则＝＋的最大值为( ) ．．．．[根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由＝＋得＝－＋.作出直线＝－，并平移该直线，当直线＝－＋过点时，目标函数取得最大值．由图知()，故＝＋＝.故选．]．(·保定调研)在平面直角坐标系中，若点()到直线－－＝的距离为，且点()在不等式＋≥表示的平面区域内，则＝. 【导学号：】。

北师大版高中教材目录第一章 集合§1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 3.1 交集与并集3.2 全集与补集第二章 函数§1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 2.1 函数概念2.2 函数的表示法 2.3 映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究4.1 二次函数的图像 4.2 二次函数的性质§5 简单的幂函数第三章 指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质2.1 指数概念的扩充 2.2 指数运算的性质§3 指数函数3.1 指数函数的概念3.2 指数函数x y 2= 和xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 的图像和 性质3.3 指数函数的图像和性质§4 对数4.1 对数及其运算 4.2 换底公式§5 对数函数5.1 对数函数的概念 5.2 对数函数x y 2log =的图像和性质5.3 对数函数的图像和性质 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章 函数应用 §1 函数与方程1.1 利用函数性质判断方程解的存在 1.2 利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模2.1 实际问题的函数刻画 2.2 用函数模型解决实际问题 2.3 函数建模案例第一章 立体几何初步 §1 简单几何体1.1 简单旋转体 1.2 简单多面体§2 直观图 §3 三视图3.1 简单组合体的三视图 3.2 由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理§5 平行关系5.1 平行关系的判定 5.2 平行关系的性质§6 垂直关系6.1 垂直关系的判定 6.2 垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积7.1 简单几何体的侧面积7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3 球的表面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用第二章 解析几何初步 §1 直线与直线的方程1.1 直线的倾斜角和斜率 1.2 直线的方程 1.3 两条直线的位置关系 1.4 两条直线的交点1.5 平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程 2.2 圆的一般方程2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系3.1 空间直角坐标系的建立3.2 空间直角坐标系中点的坐标3.3 空间两点间的距离公式第一章统计§1 从普查到抽样§2 抽样方法2.1 简单随机抽样2.2 分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的数字特征4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差 4.2 标准差§5 用样本估计总体5.1 估计总体的分别5.2 估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计第二章算法初步§1 算法的基本思想1.1 算法案例分析1.2 排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计2.1 顺序结构与选择结构2.2 变量与赋值2.3 循环结构§3 几种基本语句3.1 条件语句3.2 循环语句第三章概率§1 随机事件的概率1.1 频率与概率1.2 生活中的概率§2 古典概型2.1 古典概型的特征和概率计算公式2.2 建立概率模型2.3 互斥事件§3模拟方法——概率的应用第一章三角函数§1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性4.3 单位圆与诱导公式§5 余弦函数的性质与图像5.1 从单位圆看正弦函数的性质5.2 正弦函数的图像5.3 正弦函数的性质§6 余弦函数的图像与性质6.1 余弦函数的图像6.2 余弦函数的性质§7 正切函数7.1 正切函数的定义7.2 正切函数的图像和性质7.3 正切函数的诱导公式§8 函数)sin(ϕ+ω=xAy的图像§9 三角函数的简单应用第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量1.1 位移、速度和力1.2 向量的概念§2 从位移的合成到向量的加法2.1 向量的加法2.2 向量的减法§3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4 平面向量的坐标4.1 平面向量的坐标表示4.2 平面向量线性运算的坐标表述4.3 向量平行的坐标表示§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例7.1 点到直线的距离公式7.2 向量的应用举例第三章三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数2.1 两角差的余弦函数2.2 两角和与差的正弦、余弦函数2.3 两角和与差的正切函数§3 二倍角的三角函数第一章数列§1 数列1.1 数列的概念1.2 数列的函数特性§2 等差数列2.1 等差数列2.2 等差数列的前n项和§3 等比数列3.1 等比数列3.2 等比数列的前n项和§4 数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形§1 正弦定理与余弦定理1.1 正弦定理1.2 余弦定理§2 三角形中的几何计算§3 解三角形的实际应用举例第三章不等式§1 不等关系1.1 不等关系1.2 比较大小§2 一元二次不等式2.1 一元二次不等式的解法2.2 一元二次不等式的应用§3 基本不等式3.1 基本不等式3.2 基本不等式与最大（小）值§4 简单线性规划4.1 二元一次不等式（组）与平面区域 4.2 简单线性规划4.3 简单线性规划的应用第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件2.1 充分条件2.2 必要条件2.3 充要条件§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题3.3 全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”“或”“非”4.1 逻辑联结词“且”4.2 逻辑联结词“或”4.3 逻辑联结词“非”第二章空间向量与立体几何§1 从平面向量到空间向量§2 空间向量的运算§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示 3.2 空间向量基本定理3.3 空间向量运算的坐标表示§4 用向量讨论垂直与平行§5 夹角的计算5.1 直线间的夹角5.2 平面间的夹角5.3 直线与平面的夹角§6 距离的计算第三章圆锥曲线与方程§1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程1.2 椭圆的简单性质§2 抛物线2.1 抛物线及其标准方程2.2 抛物线的简单性质§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程3.2 双曲线的简单性质§4 曲线与方程4.1 曲线与方程4.2 圆锥曲线的共同特征4.3 直线与圆锥曲线的交点第一章推理与证明§1 归纳与类比1.1 归纳推理1.2 类比推理§2 综合法与分析法2.1 综合法2.2 分析法§3 反证法§4 数学归纳法第二章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念2.2 导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则4.1 导数的加法与减法法则4.2 导数的乘法与除法法则§5 简单复合函数的求导法则第三章导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性1.3 函数的极值§2 导数在实际问题中的应用2.1 实际问题中导数的应用2.2 最大值、最小值问题第四章定积分§1 定积分的概念1.1 定积分背景——面积和路程问题 1.2 定积分§2 微积分基本定理§3 定积分的简单应用3.1 平面图形的面积3.2 简单几何体的体积第五章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入1.1 数的概念的扩展1.2 复数的有关概念§2 复数的四则运算 2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法第一章计数原理§1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理1.1 分类加法计数原理1.2 分类乘法计数原理§2 排列§3 组合§4 简单计数问题§5 二项式定理5.1 二项式定理5.2 二项式系数的性质第二章概率§1 离散型随机变量及其分布列§2 超几何分布§3 条件概率与独立事件§4 二项分布§5 离散型随机变量的均值与方差§6 正态分布6.1 连续型随机变量6.2 正态分布第三章统计案例§1 回归分析1.1 回归分析1.2 相关系数1.3 可线性化的回归分析§2 独立性检验2.1 独立性检验2.2 独立性检验的基本思想2.3 独立性检验的应用第一章直线、多边形、圆§1 全等与相似§2 圆与直线§3 圆与四边形第二章圆锥曲线§1 截面欣赏§2 直线与球、平面与球的位置关系§3 柱面与平面的截面§4 平面截圆锥面§5 圆锥曲线的几何性质第一章平面向量与二阶方阵§1平面向量及向量的运算§2向量的坐标表示及直线的向量方程§3二阶方阵与平面向量的乘法第二章几何变换与矩阵§1几种特殊的矩阵变换§2矩阵变换的性质第三章变换的合成与矩阵乘法§1变换的合成与矩阵乘法§2矩阵乘法的性质第四章逆变换与逆矩阵§1逆变换与逆矩阵§2初等变换与逆矩阵§3二阶行列式与逆矩阵§4可逆矩阵与线性方程组第五章矩阵的特征值与特征向量§1矩阵变换的特征值与特征向量§2特征向量在生态模型中的简单应用第一章坐标系§1 平面直角坐标系§2 极坐标系§3 柱坐标系和球坐标系第二章参数方程§1 参数方程的概念§2 直线和圆锥曲线的参数方程§3 参数方程化成普通方程§4 平摆线和渐开线§5 圆锥曲线的几何性质第一章不等关系与基本不等式§1 不等式的性质§2 含有绝对值的不等式§3 平均值不等式§4 不等式的证明§5 不等式的应用第二章几个重要不等式§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 数学归纳法与贝努利不等式第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件2.1 充分条件2.2 必要条件2.3 充要条件§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题3.3 全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”“或”“非”4.1 逻辑联结词“且”4.2 逻辑联结词“或”4.3 逻辑联结词“非”第二章圆锥曲线与方程§1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程1.2 椭圆的简单性质§2 抛物线2.1 抛物线及其标准方程2.2 抛物线的简单性质§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程3.2 双曲线的简单性质第三章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念2.2 导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则4.1 导数的加法与减法法则4.2 导数的乘法与除法法则第四章导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性1.2 函数的极值§2 导数在实际问题中的应用2.1 实际问题中导数的应用2.2 最大值、最小值问题第一章统计案例§1 回归分析1.1 回归分析1.2 相关系数1.3 可线性化的回归分析§2 独立性检验2.1 条件概率与独立事件2.2 独立性检验2.3 独立性检验的基本思想2.4 独立性检验的应用第二章框图§1 流程图§2 结构图第三章推理与证明§1 归纳与类比1.1 归纳推理1.2 类比推理§2 数学证明§3 综合法与分析法3.1 综合法3.2 分析法§4 反证法第四章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入1.1 数的概念的扩展1.2 复数的有关概念§2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法。

辅导讲义――二元一次不等式（组）与简单的线性规划[例4] 若点A （1，1），B （2，-1）位于直线0=-+a y x 的两侧，则a 的取值范围是___________.)2,1([巩固] 若点A （1，a ）与原点在直线l ：01=-+y x 的同侧，则实数a 的取值范围是_________.)0,(-∞[例5] 如图所示的平面区域（阴影部分）用不等式表示为_________________.033<--x y[巩固] 能表示图中阴影区域的二元一次不等式组是__________________.⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y[例6] 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥>≤-+02042y y x y x 所表示的平面区域.[巩固] 画出不等式0)4)(12(<--++yxyx表示的平面区域.1．基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组目标函数关于x，y的解析式，如：22yxz+=线性目标函数关于x，y的一次解析式，如yxz+=2可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题注意：（1）对于实际背景的线性规划问题，可行域通常位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的定点；（2）对于线性规划问题，结果可能有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是无最优解.2．应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是（1）在平面直角坐标系内作出可行域．（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.[例1] 设yxz-=2，其中x，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-221xyxyx，则z的取值范围是_________________.]4,21[-知识模块2简单的线性规划精典例题透析[例4] 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥++≤020220x y y x x 表示的平面区域的面积为__________.3[巩固1] 若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>>a y x x y x 11所确定的平面区域的面积为0，则实数a 的取值范围是____________.]3,(-∞[巩固2] 在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040（a 为常数）表示的平面区域的面积是9，则实数._____=a 1[巩固3] 在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎪⎨⎧≤-≥-+0101x y x （a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则.___=a[例5] 已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-+≥-18360202y x y x y x ，且y ax z +=取得最大值的最优解恰为)3,23(，则a 的取值范围是______.（-2，2）[巩固] 若直线4=+by ax 与不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0420420852y x y x y x 表示的平面区域无公共点，则b a +的取值范围是________.（-3，3）[例6] 某公司计划招聘男职工x 名，女职工y 名，要求女职工人数不能多于男职工，女职工的人数不得少于男职工的31，最少10名男职工，则该公司最少能招聘多少名职工.CO的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：[巩固] 铁矿石A和B的含铁率a，冶铁每万吨铁矿石的2a b（万吨）c（万吨）A50% 1 3B70% 5.0 6CO的排放量不超过2（万吨），求购买铁矿石的最少费用. 某冶铁厂至少要生产9.1（万吨）铁，若要求2知识模块3经典题型[例]（1）若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________.（2）如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_____________．答案 (1) 73 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析 (1)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. (2)两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． [巩固]（1）在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a=______.（2）如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式_______________．答案 (1) 7 (2)x ＋y －1>0解析 (1)直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)， 且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7.(2)边界对应直线方程为x ＋y －1＝0，且为虚线，区域中不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足x ＋y －1>0.题型二：求线性目标函数的最值（2）(2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 (1) 6 (2)12解析 (1)画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1， ∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12.[巩固]（1）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________.（2）(2014·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为_______.答案 (1) 4 (2) －12解析 (1)由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A (－2k，0)．∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k ＝－12，故选D.题型三：线性规划的实际应用[例] 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z 2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． [巩固] 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．答案 27解析 设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨， 则获得的利润为z ＝5x ＋3y .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．1．在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为_______.答案 1夯实基础训练解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)，故选C. 2．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为____________.答案 2或－1解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距， 故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 3．(2014·课标全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为_______.答案 8解析 画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值，可将直线y ＝2x 向下平移， 当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时， 即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5,2)，则z max ＝2×5－2＝8. 4．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积为________．答案 4解析 作出可行域为△ABC (如图)，则S △ABC ＝4.5．设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则k 的值为________，z 的最小值为________．答案 2 －2解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝z ，结合图形分析可知，要使z ＝2x ＋y 的最大值是6，直线y ＝k 必过直线2x ＋y ＝6与x －y ＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k ＝2；平移直线2x ＋y ＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值，最小值是z ＝2×(－2)＋2＝－2.6．在平面直角坐标系中画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |<1所表示的平面区域.解析 |x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域； |x |<1表示x ＝±1所夹含y 轴的带状区域．7．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)、Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．解 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，则点P 、Q 在同一区域内，于是，⎩⎪⎨⎪⎧ －1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以，m 的取值范围是m <－12.8．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； （2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6，且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是__________.答案 [8，10]解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义． 由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10.10．(2014·课标全国Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a=________.答案 3解析 当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)， 则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项． 当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值． z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.12．若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为________．答案 1解析 如图，作出函数的可行域，当函数y ＝log 2x 过点(2,1)时，实数m 有最大值1.能力提升训练13．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元．答案 30 000解析 设生产甲种肥料x 车皮，生产乙种肥料y 车皮， 则z ＝10 000x ＋5 000y ， ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0，画出图形可知，目标函数在D (2,2)处有最大值， 且z max ＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元)．。