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全等三角形的判定一1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”；2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.一、全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果''A B＝AB，''A C＝AC，''B C＝BC，则△ABC△△'''A B C.二、全等三角形判定2——“边角边”1.全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：如图，如果AB ＝''A B，△A＝△'A，AC ＝''A C，则△ABC△△'''A B C. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，△B＝△B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.教学目标学习内容知识梳理类型一、全等三角形的判定1——“边边边”例1、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：△BAD ＝△CAE.【答案与解析】证明：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩△△ABD△△ACE （SSS ）△△BAD ＝△CAE （全等三角形对应角相等）.【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：△CAD ＝△DBC.证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边 △△ACD△△BDC （SSS ）△△CAD ＝△DBC （全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定2——“边角边”例2、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．证明：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．在△ABD 和△ECD 中，AD ＝DE ，△ADB ＝△EDC ，BD ＝CD ．△△ABD△△ECD ．△AB ＝CE ．△AC ＋CE ＞AE ，△AC ＋AB ＞AE ＝2AD ．即AC ＋AB ＞2AD ．例3、已知，如图：在△ABC 中，△B ＝2△C ，AD△BC ，求证：AB ＝CD －BD ． 证明：在DC 上取一点E ，使BD ＝DE例题讲解△ AD△BC ，△△ADB ＝△ADE在△ABD 和△AED 中， BD ＝DE ，AD ＝AD ．△△ABD△△AED （SAS ）．△AB ＝AE ，△B ＝△AED ．又△△B ＝2△C ＝△AED ＝△C ＋△EAC ．△△C ＝△EAC ．△AE ＝EC ．△AB ＝AE ＝EC ＝CD—DE ＝CD—BD ． 【变式】已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分△BAD ，CE△AB 于E ，并且AE ＝21（AB ＋AD ），求证：△B ＋△D ＝180°.证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，△CE△AB ，△△CEB ＝△CEF ＝90°在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩△△CBE△△CFE （SAS ）△△B ＝△CFE△AE ＝21（AB ＋AD ），△2AE ＝ AB ＋AD △AD ＝2AE －AB△AE ＝AF ＋EF ，△AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）△△AFC△△ADC （SAS ）△△AFC ＝△D△△AFC ＋△CFE ＝180°，△B ＝△CFE.A E D CB△△AFC ＋△B ＝180°，△B ＋△D ＝180°.类型三、全等三角形判定的实际应用例4、如图，公园里有一条“Z 字形道路ABCD ，其中AB△CD ，在AB ，BC ，CD 三段路旁各有一个小石凳E ，M ，F ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点.试判断三个石凳E ，M ，F 是否恰好在一条直线上？为什么？证明：△AB 平行CD （已知）∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等）∵M 在BC 的中点（已知）∴BM ＝CM （中点定义）在△BME 和△CMF 中BE CF B C BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BME ≌△CMF （SAS ）∴∠EMB ＝∠FMC （全等三角形的对应角相等）∴∠EMF ＝∠EMB ＋∠BMF ＝∠FMC ＋∠BMF ＝∠BMC ＝180°（等式的性质）∴E ，M ，F 在同一直线上 一、选择题 1. 如图，已知AB ＝AC ，D 为BC 的中点，结论：△AD△BC ；△AD 平分△BAC ；△△B ＝△C ；△△ABC 是等边三角形.其中正确的是（ ）.A.△△B. △△C. △△△D. △△2．如图，是的中线，、分别是和延长线上的点，且，连接、，下列说法：△；△ 和的面积相等；△；△ △，其中正确的有（ ）．A.1个B.2个AD ABC ∆E F AD AD DE DF =BF CE CE BF =ABD ∆ACD ∆//BF CE BDF ∆CDE ∆综合题库C.3个D.4个3. AD为△ABC中BC边上的中线, 若AB＝2, AC＝4, 则AD的范围是( )A .AD＜6 B. AD＞2 C. 2＜AD＜6 D. 1＜AD＜34．如图，AB＝DC，AD＝BC，E、F是DB上两点，且BF＝DE，若△AEB＝120°，△ADB＝30°，则△BCF ＝（）．A.150°B.40°C.80°D.90°5. 根据下列条件能唯一画出△ABC的是（）A.AB＝3，BC＝4，AC＝8B.AB＝4，BC＝3，△A＝30°C.AB＝5，AC＝6，△A＝45°D. △A＝30°，△B＝60°，△C＝90°6. 如图，在△ABC中，△A＝50°，△B＝△C，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，并且BD＝CE，BE＝CF，则△DEF等于（）A.50°B.60°C. 65°D. 70°二、填空题7. 如图，AB＝CD，AC＝DB，△ABD＝25°，△AOB＝82°，则△DCB＝_________.8. 如图，△ABC是三边均不等的三角形，DE＝BC，以D、E为两个顶点画位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画个.9. 如图，已知AE＝AF，AB＝AC，若用“SAS”证明△AEC△AFB，还需要条件.10. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，则图中全等三角形共有_____对.11. 如图所示，BE△AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若△ABC＝54°，则△E＝°.AA BB的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），如图，若测得12. 把两根钢条','AB＝5厘米，则槽宽为厘米．三、解答题13. 如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，△ABC＝△EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．14. 如图, ∠B ＝∠C, BD ＝CE, CD ＝BF 。
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