华东师大版：全等三角形的判定一

《全等三角形的判定――边角边》说课稿海南省海口市金盘实验学校龙清炉一、说教材1、教材的地位及作用说课内容：华东师大版实验教科书《数学》八年级（下）第十九章第二节《全等三角形的判定》中第二个课时——《全等三角形的判定―――边角边》.图形的全等是图形相似的一种特例，是今后学习图形相似的基础.本节课的内容是以前各章中数学说理与逻辑推理的继续，是理性思维的一次飞跃.因此，本节课的知识在初中数学中有着举足轻重的地位和作用.2、教学目标：（1）知识目标：①掌握“边角边”内容及运用“边角边”证明两个三角形全等.②在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理.（2）技能目标：经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.（3）情感目标：通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想，乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.3、教学重难点：重点：探究发现三角形全等的条件—边角边,并能运用边角边的判定方法证明两个三角形全等.难点：（1）构造三角形全等，解决实际问题；（2）“两边及其中一边的对应角相等的两个三角形是否全等”的辨析.二、说教法本节课主要是“边角边”这一基本规律的发现及应用，因此在课题教学中我将尽量为学生提供动手操作、合作探究的时间.引导学生自主探究，合作交流.在探究过程中渗透分类讨论和转化的数学思想，让学生自得知识，自寻方法，自觅规律，自悟原理.另外，课前让学生准备直尺、圆规、剪刀、卡纸等教学用具，同时我还在教学中充分利用现代信息技术，通过直观教学，有效的营造了学生探究问题的情境.三、说学法新课标的精神是要改进学生学习方式，让学生经历“做数学”的过程，注重与生活实际紧密联系。

根据教学内容特点，以及新课标的要求，学生主要采用“探究式和应用式”的学习方法.四、说教学程序（一） 创设情境，引入新课在生活中我们经常可以看到工人师傅把两根钢条的中点连在一起，做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）.如图，要测量工具内槽宽，只要测量什么？为什么？[设计意图] 多媒体演示生活中与全等三角形相关的生活实例，有效地营造了学生研究问题的情境，从而激发学生的学习兴趣，为本节课的学习做了很好的铺垫.（二） 探索归纳，发现规律（三） 探索归纳，发现规律-----理清思路、明确方向探索归纳、发现规律 借助图形 探究规律 回到引例 解决问题活动1：探究同一个三角形中两边一角的位置关系.提问：三角形中的两条边与这个三角形中的一角有哪几种位置关系？（两边及其夹角）（两边及其中一边的对角）（四）探索归纳，发现规律-----借助图形、探究规律活动2：已知两条线段和一个角，以这两条线段为边，以这个角为这两条边的夹角，画一个三角形.（１）（２）步骤：1、画一线段AB，使它等于4cm；2、画∠MAB＝45°；3、在射线AM上截取AC＝3cm；4、连结BC.△ABC即为所求.把你画的三角形剪下来与其他同学所画的三角形相比较，它们全等吗？[设计意图] 让学生动手画图、独立思考、合作探究，得出边角边可判定三角形三全都的初步结论，锻炼了学生动手操作、分析归纳与解决问题能力.用运动变换方法给同学们演示（flash演示）.[设计意图] 此环节是本节课的中心环节，用运动变换的方法证实全等三角形“边角边”判定方法，通过学生操作感知、教师引导探究，学生尝试总结概括，媒体辅助攻破难点，成功地实现了由具体形象向抽象思维的过渡，使本节课的重难点得到突破.提问由此你得出什么结论？具备什么样的条件两个三角形一定全等？ 由此可得到判定三角形全等的一种简便方法：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么这两个三角形全等，简写成“S.A.S.”或(边角边).条件：两个三角形有两边及其夹角分别对应相等. 结论：这两个三角形全等.∵ AB=DE ,∠B=∠BC=EF ,∴ △ABC ≌△注意：在书写过程中注意对应点写在对应的位置上.（五） 探索归纳，发现规律-----借助图形、探究规律填一填1、如图1，AC ＝DF ， BC ＝EF ，（请补充一个条件）________，使△ABC ≌△DEF ；2、如图2， BC ＝BD ，∠ABC ＝∠ABD 图中全等的三角形是_______≌ _______.3、在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：证明：在△AOB 和△DOC 中∵ AO=DO (已知)______=________ ( )BO=CO (已知)∴△AOB≌△DOC（）[设计意图] 设计不同系列的图形变换类型的题目，包括旋转变换和翻折变换，让学生在学习中总结，在练习中提高，在应用中让不同的学生得到不同的发展.题目由学生独立分析解答，运用课件验证学生的结论，使学生体验到成功的喜悦.（六）探索归纳，发现规律----回到引例、解决问题已知：△ABO，A＇、B＇分别在AO、BO的延长线上，且OA=OA＇，OB= OB＇. 求证：AB=AB＇.分析：要证AB=AB＇△ABO≌△A＇B＇O＇S A S证两线段（或是两角）相等可以通过证明它们所在的三角形全等.[设计意图] 通过联系生活中的实际问题，引导学生学会用数学的眼光，从数学的角度发现问题、解释生活、阐释现象，进而应用所学解决问题.（七） 掌握运用，强化训练----解析例题例1 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，求证：△ABD ≌△ACD . 证明： ∵ AD 平分∠BAC ,∴ ∠BAD ＝∠CAD .在△ABD 与△ACD 中 ,∵AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ， AD ＝AD ，∴△ABD≌△ACD （S.A.S.）.提问：由△ABD 与△ACD 全等，还能证得∠Ｂ＝∠Ｃ，即证得等腰三角形两个底角相等这条定理，你还能证得那些结论？例题推广① 例1 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，求证：∠B ＝∠C . 证明： ∵ AD 平分∠BAC ,∴ ∠BAD ＝∠CAD .在△ABD 与△ACD 中 ,∵ AB ＝AC ,∠BAD ＝∠CAD ,AD ＝AD ,∴△ABD ≌△ACD （S.A.S.）.∴∠B ＝∠C （全等三角形对应角相等）若题目的已知条件不变，你还能证得哪些结论？② 例1 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，求证：BD=CD. ③ 例1 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，求证：AD ⊥BC.[设计意图] 通过例题变换，培养学生思维发散能力，达到了目标要求，并培养应用意识和解决问题能力.（八）掌握运用，强化训练----学以致用1、如图,AD∥BC,AD=CB,AE=CF .求证: △AFD≌△CEB .2、如图2，两车从路段AB的一端A出发，分别向东，向西行进相同的距离，到达C、D两地，此时C、D到B的距离相等吗？为什么？[设计意图] “学数学而不练，犹如入宝山而空返”（华罗庚语）. 放手练习，学生通过充分思考，合作探究，自己动手书写证明过程，做到知识内化，培养学生应用新知和解决问题能力.（九）掌握运用，强化训练----操作验证活动3：（角不夹在两边的中间，形成两边一对角 .）请同学们动手画一画，并与小组讨论一下这种情况一定能判定两个三角形全等吗？课件演示(ppt)结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等.[设计意图] 通过让学生动手画和直观的多媒体演示，引导学生深入思考，得出两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等.（十）归纳小结，提高认识----学习小结（1）知识层面：三角形全等的条件----边角边；（2）方法层面：①证明两线段（或是两角）相等可转化为证明它们所在的三角形全等；②构造三角形全等，解决实际问题.；（3）学习反思：本节课主要重视学生的动手实践的过程，让学生在参与过程中进一步充分理解判定方法的合理性，然后结合相关的例题和练习巩固对知识的应用.（十一） 归纳小结，提高认识----布置作业必做题：课本 P79 习题19.2 第2题，学习指导P45选做题：如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC, ∠C=600，AD=CD.E 、F 分别在AD 、CD 上，DE=CF,AF 、BE 交于点P.求∠BPF 的度数.[设计意图] 采取分层式作业，即面向全体学生，同时也关注到了学生的个体差异，让学有余力的学生在能力上可以有进一步的提升.（十二） 归纳小结，提高认识----板书设计[设计意图] 通过清楚明了、简单有序的板书，辅助知识的呈现与回顾. 三角形全等的判定方法（１）由此可得到判定三角形全等的一种简便方法：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么这两个三角形全等，简写成“S.A.S.”或(边角边).ＡＢＣＥＦＤ 例题： 在△ABC 和△ DEF 中 ，∵ AB=DE , 证明：∠B=∠E ,BC=EF ,∴ △ABC ≌△DEF (S.A.S.) .投影五、教学评价本节课通过信息技术的有效运用，将图形间的变化联系生动、形象、直观地展示给学生，为课堂教学提供了丰富的感知和表象，为学生实现由具体感知到抽象思维的飞跃架设了桥梁，不仅充分调动起学生的积极性，更化解了本节课的难点，使学生更顺利地掌握重点，让学生经历了真正的学数学用数学的过程.。

《三角形全等的判定——边角边》教学设计一、教学内容分析本节内容是华东师大版实验教科书《数学》八年级下册第19章《全等三角形》第2节第二课时内容。

“边角边”是本节三角形全等的判定方法中的第一个判定方法，通过学习掌握了“边角边”，为后续学习探究三角形全等的其它判定方法和相似形的判定条件奠定了基础，因此，本节课的知识具有承上启下的作用。

利用全等三角形可以证明线段相等、角相等，是初中数学的重要内容。

二、教学对象分析在学习本节课内容之前，学生已经了解全等图形和全等三角形以及通过三条边、三个角6个元素判断两个三角形全等。

在此基础上，学习再来探究两边和一角三个条件判断两个三角形全等的情况，此时出现“边边角”不能判定两个三角形一定全等，学生很难理解。

因此，在教学过程中，通过作图、互相交流、对比，通过学生之间的质疑对抗，发现此定理中角必为夹角，从而得出三角形全等的判定方法——边角边。

三、教学目标1．知识技能：理解三角形全等的“边角边“判定定理，并会运用“边角边”来识别和证明两个三角形全等。

2．数学思考：学生经历探究三角形全等“边角边“的过程中，通过观察、对比、猜想、证明、综合实践等活动，发展合情推理和演绎推理能力。

在探讨运用的思路中，挖掘隐含条件，体验“转化”的数学思想方法。

3．问题解决：会运用“边角边”条件解决具体问题，能利用全等三角形解决线段相等和角相等问题。

4．情感态度：通过实验探究，使学生体验获取数学知识的感受，养成尊重客观事实和形成质疑的习惯，培养学生乐于合作交流、勇于用实验的方法来验证数学猜想和创新精神，培养多方位审视问题的创造技巧,以及认真观察、对比、发现问题的能力。

四、教学重难点1．重点：理解并会运用“边角边”来判定两个三角形全等。

2．难点：探究“边角边”判定方法，锻炼学生的合情推理的能力。

五、教学方法与手段1．教学方法：实验探究和类比法。

2．教学手段：借助于多媒体课件演示及学生动手操作确认发现新知。

全等三角形判定一（SAS,ASA ，AAS ）（基础）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边角边”，判定方法2——“角边角”，判定方法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边角边”1. 全等三角形判定1——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.要点二、全等三角形判定2——“角边角”全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点三、全等三角形判定3——“角角边”1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边角边”1、（2016•泉州）如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB．【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，BC=AC，再利用全等三角形的判定证明即可．【答案与解析】证明：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CE=CD，BC=AC，∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，∴∠ECB=∠DCA，在△CDA与△CEB中，∴△CDA ≌△CEB ．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键，同时注意证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.2、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD 看作是由△ABE 绕着B 点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：【变式】已知：如图，PC ⊥AC ，PB ⊥AB ，AP 平分∠BAC ，且AB ＝AC ，点Q 在PA 上，求证：QC ＝QB【答案】证明：∵ AP 平分∠BAC∴∠BAP ＝∠CAP在△ABQ 与△ACQ 中∵∴△ABQ ≌△ACQ(SAS)∴ QC ＝QB类型二、全等三角形的判定2——“角边角”【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例5】3、已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．举一反三：【变式】如图，已知AE=CF ，∠AFD=∠CEB，AD∥BC，求证：△ADF≌△CBE．【答案】证明：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF ，即AF=CE ；∵AD∥BC，∴∠A=∠C；在△ADF 与△CBE 中，，∴△ADF≌△CB E （ASA ）．类型三、全等三角形的判定3——“角角边”【高清课堂：379110 全等三角形的判定二，例6】4、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【思路点拨】要证AC ＝AD ，就是证含有这两个线段的三角形△BAC ≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 的中线，过C 、B 分别作AD 及AD 的延长线的垂线CF 、BE.求证：BE ＝CF.【答案】证明：∵AD 为△ABC 的中线∴BD ＝CD∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，在△BED 和△CFD 中BED CFD BDE CDFBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等） ∴△BED ≌△CFD （AAS ）∴BE ＝CF5、已知：如图，AC 与BD 交于O 点，AB ∥DC ，AB ＝DC ．（1）求证：AC 与BD 互相平分；（2）若过O 点作直线l ，分别交AB 、DC 于E 、F 两点，求证：OE ＝OF.【思路点拨】（1）证△ABO ≌△CDO ，得AO ＝OC ，BO ＝DO （2）证△AEO ≌△CFO 或△BEO ≌△DFO【答案与解析】证明：∵AB ∥DC∴∠Ａ＝∠Ｃ在△ABO 与△CDO 中A C (AOB COD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝对顶角相等） AB=CD∴△ABO ≌△CDO （AAS ）∴AO ＝CO ，BO=DO在△AEO 和△CFO 中A C (AOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝AO=CO＝对顶角相等） ∴△AEO ≌△CFO （ASA ）∴OE ＝OF.【总结升华】证明线段相等，就是证明它们所在的两个三角形全等．利用平行线找角等是本题的关键.类型四、全等三角形判定的实际应用6、要测量河两岸相对两点A ，B 间的距离，先在过点B 的AB 的垂线上取两点C 、D ，使CD=BC ，再在过点D 的l 的垂线上取点E ，使A 、C 、E 三点在一条直线上，这时ED 的长就是A ，B 两点间的距离．你知道为什么吗？说说你的理由．【思路点拨】利用“角边角”证明△ABC 和△EDC 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=DE ，从而得解．【答案与解析】解：∵AB⊥l，CD⊥l，∴∠ABC=∠EDC=90°，在△ABC 和△EDC 中，，∴△ABC≌△EDC（ASA ），∴AB=DE，即ED 的长就是A ，B 两点间的距离．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系.。

华东师大版八年级上册数学教学设计《全等三角形、全等三角形的判定条件》一. 教材分析华东师大版八年级上册数学教材中关于全等三角形和全等三角形的判定条件是本学期的重要内容。

这部分内容主要让学生了解全等三角形的性质和判定方法，能够运用这些性质和判定方法解决实际问题。

本节课的内容是学生进一步学习几何的基础，对于培养学生的逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的观察和操作能力。

但部分学生对于抽象的几何概念理解不够深入，对于全等三角形的判定条件的运用还不够熟练。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习差异，引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，逐步掌握全等三角形的判定方法。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法，能够运用这些性质和判定方法解决实际问题。

2.过程与方法：培养学生的观察能力、操作能力、推理能力、交流与合作能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养学生的逻辑思维能力，感受数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.教学重点：全等三角形的性质和判定方法。

2.教学难点：全等三角形的判定条件的运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生认识全等三角形，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生观察、操作、思考，自主探索全等三角形的性质和判定方法。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的交流与合作能力。

4.巩固练习法：通过适量练习，使学生熟练掌握全等三角形的判定方法。

六. 教学准备1.教学课件：制作全等三角形的相关课件，包括图片、动画、实例等。

2.教学道具：准备一些三角形模型，用于学生的观察和操作。

3.练习题：准备一些有关全等三角形的练习题，包括判断题、解答题等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的实例，如拼图、建筑物的设计等，引导学生认识全等三角形，激发学生的学习兴趣。

【巩固练习】一、选择题1. 如图，AB＝DE，∠B＝∠E，∠A＝∠D，下列结论错误的是（）A.△ABC≌△DEFB. BF＝ECC.AC∥DED.AC＝DF2.（2016•黔西南州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．AC=DF C．∠A=∠D D．BF=EC3. 如图，AB＝BD，∠1＝∠2，添加一个条件可使△ABC≌△DBE，则这个条件不可能是（）A.AE＝ECB.∠D＝∠AC.BE＝BCD.∠1＝∠DEA）））二、填空题7. （2016•济宁）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使△AEH≌△CEB．AEHB CD8. 如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B＝∠C，在条件①AB＝AC，②AD＝AE，③ADC中，不能使△ABE≌△ACD的是_______.（填序号）BE＝CD，④∠AEB＝∠9. 如图，要判断△ABE≌△ACD，除去公共角∠A外，在下列横线上，写出还需的两个条件，并在括号内写出这些条件判定三角形全等的依据（1）∠B=∠C，AB=AC（ASA）；（2），（）；）．（3），（10. 如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有______对.11．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和2，则EF 的长是___________．12.图中的两个三角形全等，若∠D=25°，则∠3+∠4﹣∠2﹣∠1的值是．三、解答题13．如图，△ABC为等边三角形，D、E为AC和BC边上的两点，且CD=CE，连接ED并延长到F，使AD=DF，连接AF、BD、CF，（1）写出图中所有全等的三角形（不加字母和辅助线）；（2）从（1）中选一对全等三角形，说明全等的理由．14.已知：如图，∠AOD=∠BOC，∠A=∠C，O是AC的中点．求证：△AOB≌△COD．15. 如图，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的角平分线相交于E，过E的直线分别交DC、AB于C、B两点.求证：AD＝AB＋DC.【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C；2.【答案】C；【解析】解：解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项错误；选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项错误；选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．故选C．3. 【答案】A；【解析】D选项可证得∠D＝∠A，从而用ASA证全等.4. 【答案】A；【解析】△ABE≌△ACD；△BDF≌△CEF；△ADF≌△AEF；△BCD≌△CBE；△ABF ≌△ACF.5. 【答案】D；6. 【答案】C；【解析】可证∠BAC＝∠E，∠BCA＝∠DCE，所以△ABC≌△EDC，DE＝AB.二、填空题7.【答案】AH=CB；【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，∴∠BEC=∠AEC=90°，在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE，又∵∠EAH=∠BAD，∴∠BAD=90°﹣∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，∴∠EAH=∠DCH，∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB；根据ASA添加AE=CE．可证△AEH≌△CEB．故答案不唯一：AH=CB或EH=EB或AE=CE都可以．8. 【答案】④【解析】三个角对应相等不能判定三角形全等.9. 【答案】（2）AB=AC，AE=AD（SAS）；（3）AB=AC，∠AEB=∠ADC（ASA）．【解析】要证△ABE≌△ACD，已知公共角∠A，则根据全等三角形的判定方法，分别添加两边或一个角一个边利用SAS，ASA来判定三角形全等．此时注意运用SAS时，角应该是两边的夹角．10.【答案】6；【解析】△ABO ≌△CDO ，△AFO ≌△CEO ，△DFO ≌△BEO ，△AOD ≌△COB ，△ABD ≌△CDB ，△ABC ≌△CDA.11．【答案】3；【解析】由AAS 证△ABF ≌△CBE ，EF ＝FB ＋BE ＝CE ＋AF ＝2＋1＝3.12. 【答案】50°；【解析】∵∠3﹣∠1=∠D，∠4﹣∠2=∠C，∴∠3+∠4﹣∠2﹣∠1=∠C+∠D，∵△ABC≌△ABD，∠D=25°，∴∠C=∠D=25°，∴∠3+∠4﹣∠2﹣∠1=2∠D=2×25°=50°．三、解答题13.【解析】（1）解：△ABD≌△ACF，△CBD≌△ECF，△EBD≌△DCF；（2）证明△ABD≌△ACF；理由：∵△ABC 为等边三角形，CD=CE ，∴△CDE 为等边三角形，∴∠ADF=∠CDE=60°，又∵AD=DF，∴△ADF 为等边三角形，∴AD=AF，∠BAD=∠DAF=60°，又AB=AC ，∴△ABD≌△ACF（SAS ）．14.【解析】证明：∵∠AOD=∠BOC，∴∠AOD+∠DOB=∠BOC+∠BOD，即∠AOB=∠COD，∵O 是AC 的中点，∴AO=CO，在△AOB 与△COD 中，∴△AOB≌△COD．15.【解析】证明：延长DE 交AB 的延长线于F∴∠CDE＝∠F, ∠CDA＋∠BAD＝180º∵DE 平分∠CDA,AE 平分∠DAB ∴∠CDE＝∠ADE＝21∠CDA, ∠DAE＝∠EAF＝21∠BAD ∴∠ADE＝∠F,∠EDA＋∠DAE＝90º∴∠AED＝∠AEF＝90º在△ADE 与△AFE 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AE AE FEA DEA F ADE ∴△ADE≌△AFE （AAS ） ∴DE＝EF,AD ＝AF 在△DCE 与△FBE 中 ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FEB DEC FEDE FCDE ∴△DCE≌△FBE （ASA ） ∴DC＝BF∴AD＝AB ＋DC.。

全等三角形的判定1．理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”定理.2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.一、全等三角形判定1——“边角边”1.全等三角形判定1——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：如图，如果AB ＝''A B，∠A＝∠'A，AC ＝''A C，则∠ABC∠∠'''A B C. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，∠ABC与∠ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但∠ABC与∠ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.二、全等三角形判定2——“角边角”全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.教学目标学习内容知识梳理要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则∠ABC∠∠'''A B C .三、全等三角形判定3——“角角边”1.全等三角形判定3——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在∠ABC 和∠ADE 中，如果DE∠BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但∠ABC 和∠ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.四、全等三角形判定4——“边边边”全等三角形判定4——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则∠ABC∠∠'''A B C .五、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：两角对应相等ASA AAS 两边对应相等SAS SSS2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.类型一、全等三角形的判定1——“边角边”例1、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．证明： ∠∠1＝∠2∠∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在∠ABC 和∠ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABC∠∠ADE （SAS ）∠BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【变式】如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE∠CD证明：延长AE 交CD 于F ，∠∠ABC 和∠DBE 是等腰直角三角形∠AB ＝BC ，BD ＝BE在∠ABE 和∠CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩例题讲解∠∠ABE∠∠CBD （SAS ）∠AE ＝CD ，∠1＝∠2又∠∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∠∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∠AE∠CD类型二、全等三角形的判定2——“角边角”例2、已知：如图，E ，F 在AC 上，AD∠CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．证明：∠AD∠CB∠∠A ＝∠C在∠ADF 与∠CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠∠ADF∠∠CBE （ASA ）∠AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【变式】如图，AB∠CD ，AF∠DE ，BE ＝CF.求证：AB ＝CD.【答案】证明：∵AB∠CD ，∠∠B ＝∠C.∠AF∠DE ，，∠∠AFB ＝∠DEC.又∠BE ＝CF ，∠BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE.在∠ABF 和∠DCE 中，B C BF CEAFB DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠∠ABF∠∠DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）.类型三、全等三角形的判定3——“角角边”例3、已知：如图，AB∠AE ，AD∠AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．证明：∠AB∠AE ，AD∠AC ，∠∠CAD ＝∠BAE ＝90°∠∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在∠BAC 和∠EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∠∠BAC∠∠EAD （AAS ）∠AC ＝AD类型四、全等三角形的判定4——“边边边”例4、已知：如图，∠RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．证明：∠M 为PQ 的中点（已知），∠PM ＝QM在∠RPM 和∠RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边 ∠∠RPM∠∠RQM （SSS ）．∠ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.证明：连接DC ，在∠ACD 与∠BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边 ∠∠ACD∠∠BDC （SSS ）∠∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等） 一、选择题 综合题库1. ∠ABC 和∠'''A B C 中，若AB ＝''A B ，BC ＝''B C ，AC ＝''A C .则（ ）A.∠ABC∠∠'''A C BB. ∠ABC∠∠'''A B CC. ∠ABC∠∠'''C A BD. ∠ABC∠∠'''C B A2. 如图，已知AB ＝CD ，AD ＝BC ，则下列结论中错误的是（ ）A.AB∠DCB.∠B ＝∠DC.∠A ＝∠CD.AB ＝BC3. 下列判断正确的是（ ）A.两个等边三角形全等B.三个对应角相等的两个三角形全等C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等D.直角三角形与锐角三角形不全等4． 如图，已知MB ＝ND ，∠MBA ＝∠NDC ，下列条件不能判定∠ABM∠∠CDN 的是 （ ）A ．∠M ＝∠NB ．AB ＝CDC ．AM ＝CND ．AM∠CN5. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是( )A.带∠去B.带∠去C.带∠去D.∠∠∠都带去6．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（ ）A ．∠ADC∠∠BCDB ．∠ABD∠∠BAC C ．∠ABO∠∠CDOD ．∠AOD∠∠BOC 二、填空题7. 如图，AB ＝CD ，AC ＝DB ，∠ABD ＝25°，∠AOB ＝82°，则∠DCB ＝_________.8. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 互相平分，则图中全等三角形共有_____对.9. 已知，如图，AB∠CD，AF∠DE，AF＝DE，且BE＝2，BC＝10，则EF＝________.10. 如图，AB∠CD，AD∠BC，OE＝OF，图中全等三角形共有______对.11. 如图, 已知：∠1 ＝∠2 , ∠3 ＝∠4 , 要证BD ＝CD , 需先证∠AEB ∠∠AEC , 根据是，再证∠BDE ∠∠ ，根据是．12. 已知，如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌，△ADC≌.三、解答题13. 已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠ADC＝∠BCD，AD＝BC，求证：CO＝DO．14. 已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，求证：AC与BD互相平分.15. 如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证：AE＝DE.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B；【解析】注意对应顶点写在相应的位置.2. 【答案】D；【解析】连接AC或BD证全等.3. 【答案】D；4. 【答案】C；【解析】没有SSA定理判定全等.5. 【答案】C；【解析】由ASA定理，可以确定∠ABC.6. 【答案】C；【解析】∠ABO与∠CDO中，只能找出三对角相等，不能判定全等.二.填空题7. 【答案】66°；【解析】可由SSS证明△ABC≌△DCB，∠OBC＝∠OCB＝82412︒=︒，所以∠DCB＝∠ABC＝25°＋41°＝66°.8. 【答案】4；【解析】△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA.9. 【答案】6；【解析】∠ABF∠∠CDE，BE＝CF＝2，EF＝10－2－2＝6.10.【答案】5；【解析】∠ABO∠∠CDO，∠AFO∠∠CEO，∠DFO∠∠BEO，∠AOD∠∠COB，∠ABD∠∠CDB.11.【答案】ASA，CDE，SAS；【解析】∠AEB ∠∠AEC后可得BE＝CE.12.【答案】△DCB，△DAB；【解析】注意对应顶点写在相应的位置上.三.解答题13. 证明：在∠ADC与∠BCD中，,,,DC CD ADC BCD AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()...ADC BCD SAS ACD BDC OC OD ∠=∠=∴△≌△∴∴14.证明： ∵BF ＝DE ，∴BF －EF ＝DE －EF ，即BE ＝DF在△ABE 和△CDF 中， AB CD BE DF ,AE CF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABE ≌△CDF （SSS ）∴∠B ＝∠D ，在△ABO 和△CDO 中B D AOB COD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABO ≌△CDO （AAS ）∴AO ＝OC ，BO ＝DO ，AC 与BD 互相平分.15.证明：在△ABC 和△DCB 中AB DC AC DB BC =CB ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝∴△ABC ≌△DCB （SSS ） ∴∠ABC ＝∠DCB ，在△ABE 和△DCE 中ABC DCB AB DC BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCE （SAS ） ∴AE ＝DE.D C BA。