简单的轴对称图形

简单的轴对称图形知识点1 等腰三角形的相关概念---分类讨论求边角的值1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.2.直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半.【典例】1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求此三角形的底角.【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，以及含特殊角的直角三角形，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系（三角形内部，三角形的外部，三角形的边上），解题时注意需要分类讨论．2.如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，求这个等腰三角形的腰长.【方法总结】已知等腰三角形的周长和两边之差来求等腰三角形的底或腰时，我们需要分类讨论，分为两种情况：一种是“腰-底=某个值”，第二种是“底-腰=某个值”，可将底或腰设为未知数，再根据等腰三角形的周长列出方程，求出三边以后根据三角形的三边关系进行验证，选择合理的数值.【随堂练习】1．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角为______．2．已知等腰三角形周长为12，一边长为5，则它另外两边差的绝对值是______．3．如图，在△ABC中，AB=AC=24厘米，BC=16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA 上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．4．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为____．5．等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，则这个三角形的底角为______．知识点2 等腰三角形的性质---边角关系等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”），即在△ABC，AB=AC，可得∠B=∠C.【典例】1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的大小.【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是建立起各角之间的关系，结合图形列出方程进行解答．2.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC 与△EBC的周长分别是40，24，求AB的长.【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线上的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得出相等的线段，把三角形的周长表示出来，再利用相等的线段进行转化求解. 【随堂练习】一．填空题（共1小题）1．如图，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中各角的度数．2．如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，求∠B的度数．知识点3 等腰三角形的性质---三线合一等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，①AD⊥BC ②BD=CD ③AD平分∠BAC,上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.即①⇒②，③；②⇒①，③；③⇒①，②.【典例】1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．【方法总结】本题主要是利用等腰三角形的三线合一，根据三线合一的性质可知，等腰三角形底边上的中线也是底边的高线.注：等腰三角形常作的辅助线是，过顶角的顶点向底边作垂线，再利用三线合一得到一些相等的关系式，当题目中给出等腰三角形底边上的中点时，常常将等腰三角形的顶角顶点和它直接相连.【随堂练习】1．如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC．（1）求∠APO+∠DCO的度数；（2）求证：点P在OC的垂直平分线上．2．在△ABC中，AB=AC．（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=____（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=____（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：_________（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．知识点4 等腰三角形的判定与性质1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.2.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.3. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.【典例】1.如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有_______ 个．【方法总结】本题考查的等腰三角形的判定，利用的是数形结合思想，当已知两个格点找寻第三个格点时，需要分类讨论，将这条边作为底和作为腰时可以构建的等腰三角形的个数之和，即为所求的点的个数.2.如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=_____________s时，△POQ是等腰三角形．【方法总结】本题主要考查了等腰三角形的性质，由等腰三角形的两个腰相等得出方程是解决问题的关键，注意本题分类讨论时，由于∠POQ=60°，可得出△POQ是等边三角形，再根据PO=QO进行求解．3.如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE=CE．（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．知识点5线段的垂直平分线1.定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.2.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.3.判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.【典例】1.关于线段的垂直平分线有以下说法：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴；④线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；⑤到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.其中，正确的说法有（）A.3个B. 4个C. 5个D. 2个【方法总结】1.本题考查了垂直平分线的定义，该直线需要满足两个条件：条件1，直线和线段垂直；条件2，直线经过线段的中点.2.本题还需要熟练掌握线段垂直平分线的性质和判定.2.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，若△PAB的周长为14，PA=4，则线段AB的长为______．【方法总结】本题考查了垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出相等的线段，再将题中给出的三角形周长表示出来，建立线段之间的关系，进而求解出待求的线段长.【随堂练习】1．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF=___．2．如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A=66°，∠ABC=90°，BC=AD，求∠C的度数．3．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．。

简单的轴对称图形 ------线段学习目标：1、掌握线段垂直平分线的性质； 2、掌握用尺规做线段的垂直平分线。

学习重点：线段垂直平分线的性质的应用 一、 知识链接;1、 角是轴对称图形，它的对称轴是2、 角角平分线的性质 （1） 文字语言描述: （2） 几何语言描述：二、 学习过程： （一）学法指导： 1、动手操作课本第7页的“做一做”；2从课本7—9页中找出线段中垂线的定义及性质（并用3分钟记忆）； 3、 完成下列导学案。

（二）线段的垂直平分线1、线段是轴对称图形，它有 条对称轴，在下图中画出对称轴2、线段的垂直平分线的性质（1（2∵ OC 垂直平分∴ AC=BC3、若 OC 上有任意一点D ，则可知 =4、巩固练习：(1)如图（1）∠ABC=80°, ∠A=40°,AB 的垂直平分线交AC 于点D.则∠DBC= （2）如图(2)中，△ABC 中，DE 垂直平分AC ，AE=3，△ABC 的周长为13，则△ABC 的周长为（三）阅读课本第8页”做一做”，用尺规做线段的垂直平分线 1、已知：线段AB求做: 线段AB 的垂直平分线做法：(1)分别以点 和点 为圆心，以 为半径画弧，两弧相交于点 和点(2)连接 ，则直线 就是AB 的垂直平分线 2、练习巩固如图，分别作出线段AB 和BC 的垂直平分线，相交于点P ，哪些线段是相等的写出来三、 当堂练习1、在△ABC 中，AB=6,CD 垂直平分EO2、如图，在△ABC 中，ED 是BC 边上的中垂线，交AB 于E 交BC 于点D ， 若∠A=73°，∠ACE=24°.求∠B 的度数3、求作一点P ，使PC=PD,并且使点P 到∠AOB 的两边的距离相等，并说明理由BO。

七年级数学·下新课标[北师]5.3简单的轴对称图形第课时1.探索等腰三角形和等边三角形的对称性质。

2.探索等腰三角形顶角的平分线、底边的中线和底边上的高所在直线的特征，并能简单的应用。

3.通过画图、对折等活动培养探究轴对称图形的思想方法【重点】探索等腰三角形的对称性。

【难点】等腰三角形顶角的平分线、底边的中线和底边上的高所在直线的特征。

【教师准备】多媒体课件,三角尺.【学生准备】等腰三角形纸片、等边三角形纸片.导入一:温故:1.轴对称的性质是什么?2.下列图形是轴对称图形吗?如果是,指出对称轴.3.画一画,把下列轴对称图形补充完整,并根据你画图的过程回忆一下轴对称图形的性质.4.欣赏——发现.这节课我们就从最简单、最常见的等腰三角形入手来研究.导入二:【活动内容1】展示等腰三角形在实际生活中的应用.问题1欣赏图片,找出熟悉的图形.问题2找出你身边含有的上述图形.【活动内容2】复习等腰三角形的相关内容.问题1什么是等腰三角形?请说出各部分的名称.问题2什么是等边三角形?它与等腰三角形有什么关系?先让学生回答等腰三角形的概念及各部分名称,,老师要注意及时纠正,同时课件展示图形并出示各名称,之后老师再强调“两边相等的三角形是等腰三角形”.之后出示活动内容2,让学生欣赏并说明等腰三角形在生活中的广泛应用,“它还有哪些性质呢”?然后老师引入课题——今天我们继续研究《简单的轴对称图形》.探究活动1利用折纸活动探索等腰三角形的性质【问题】请同学们结合课本P121问题,将自己准备的等腰三角形折叠,使得两腰重合.(1)等腰三角形是轴对称图形吗?找出对称轴.(2)等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴吗?(3)等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗?底边上的高所在的直线呢?(4)沿对称轴对折,折叠以后,你有什么新的发现?(除了两腰重合外,还有重合的部分吗?等腰三角形是轴对称图形吗?对称轴是什么?)你能发现等腰三角形的哪些特征?说说你的理由.师：问题(1),有些学生可能凭借直观感觉想象出它的对称轴,对于这部分学生老师要鼓励他们再通过操作进行验证;有些学生可能会直接动手折叠寻找对称轴,这时老师要提示他们如何解释这个结果;对于对称轴的描述,很多学生会说“中线,高或角平分线”,最后老师再组织学生展示答案,在学生展示的时候老师追问怎样解释等腰三角形是轴对称图形,然后教师借助多媒体演示,引导学生用语言叙述自己得出的结论,即等腰三角形是轴对称图形.有了第(1)题的操作、演示和老师的追问,对于问题(2)(3)学生可能会正确描述,若有些学生表述不准确,老师再追问对称轴是哪条直线,再次让学生独立叙述对称轴,即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”),它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.这时老师要再次强调对称轴是直线.问题(4)先让学生自己总结,老师再问“除了上述性质外,对折后还有哪些重合部分”,学生能得出等腰三角形的两个底角相等.再展示等腰三角形的性质,根据师生的共同总结再以填空的形式展示几何语言的应用.符号语言:如图所示,在△ABC中,AB=AC时,(1)因为AD⊥BC,所以∠=∠,=.(2)因为AD是中线,所以⊥,∠=∠.(3)因为AD是角平分线,所以⊥,=.跟踪练习:1.已知:△ABC中,AB=AC.小明想作∠BAC的平分线,但他没有量角器,只有刻度尺,他如何作出∠BAC的平分线?2.若等腰三角形的一个内角为50°,则它的另外两个内角为.〔答案〕1.BC边上的中线即为∠BAC的平分线2.65°,65°或50°,80°师：第1题在学生独立思考的过程中老师巡视,如果有同学会做,可让他们小组内交流,如果多数学生有困难,此时老师可提示刻度尺的作用是什么,然后让学生全班展示.第2题先让学生独立做,一定会有学生求出一种结果,这时可由做对的学生讲解,然后老师追问“若内角为100°呢”,等学生完成后老师继续追问这类题有什么规律,最后老师总结,“在等腰三角形中,我们只要知道任意一个角,就可以求出另外两个角!当所给角为锐角时,有两种情况,若为直角或钝角则只有一种情况.”探究活动2探究等边三角形的特征师:我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形,下面请同学们拿出准备好的等边三角形纸片再来探究等边三角形还有哪些性质.问题1等边三角形有几条对称轴?对称轴是什么?问题2你能发现它的哪些特征?学生手中有等边三角形纸片,可能有部分学生仍喜欢动手折叠,这样他们很容易得出“等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴”;同时也可以发现“三个角都能重合,三边互相重合”;也会有学生依照等腰三角形的性质进行推理,能详细解释“等边三角形三角相等,都等于60°,三条边相等”.这时老师可建议折叠的同学也尝试进行理论说明,仍然要强调“三线合一”.探究活动3探究如何得到一个等腰三角形问题1你能用折叠的方法得到一个等腰三角形吗?问题2你能借助刻度尺或圆规画出等腰三角形吗?让学生先用折纸的方法作出三角形,这样比较简单,先将长方形纸对折,再沿折痕折出一个直角三角形,然后沿第二次的折痕剪下,展开后得一个等腰三角形,学生小学时学过,然后让学生结合过程说明,再次巩固等腰三角形的轴对称性;解决完问题1再出示问题2,这时给学生留出充分的时间交流、合作,学生先说作法,老师再边说边演示,用圆规画一段弧,在圆弧上取两点,将圆心和所取两点依次连接就组成一个等腰三角形.[知识拓展]等腰三角形中的分类讨论思想:(1)遇角需讨论.对于一个等腰三角形,若条件中并没有确定顶角或底角时,应注意分情况讨论,先确定这个已知角是顶角还是底角,再运用三角形内角和定理求解.(2)遇边需讨论.对于底和腰不等的等腰三角形,若条件中没有明确哪是底哪是腰时,应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.(3)遇到中线、高线、中垂线、角平分线等需要讨论.等腰三角形没有明确底和腰时,提及到上述线段应该分类讨论.1.等腰三角形的性质:(1)等腰三角形是轴对称图形.(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”),它们所在的直线是等腰三角形的对称轴.(3)等腰三角形的两个底角相等.2.等边三角形的性质:(1)等边三角形是轴对称图形.(2)等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合(三线合一),它们所在的直线都是等边三角形的对称轴.等边三角形共有三条对称轴.(3)等边三角形的各角都相等,都等于60°.3.等腰三角形的画法.1.等腰三角形两边长分别为4和8,则这个等腰三角形的周长为()A.16B.18C.20D.16或202.等腰三角形的顶角为80°,则它的底角是()A.20°B.50°C.60°D.80°3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BC=6,AD⊥BC于D,则BD=.答案：1.C 2.B 3 .35.3 简单的轴对称图形第1课时探究活动1利用折纸活动探索等腰三角形的性质探究活动2探究等边三角形的特征探究活动3探究如何得到一个等腰三角形一、教材作业【必做题】教材第122页习题5.3知识技能第1,2题.【选做题】教材第123页习题5.3数学理解第3题.二、课后作业【基础巩固】1.等腰三角形中,若底角是65°,则顶角的度数是.2.等腰三角形的周长为10 cm,一边长为3 cm,则其他两边长分别为.3.等腰三角形一个角为40°,则其他两个角分别是.【能力提升】4.如图所示,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=32°,则∠BAC=.5.如图所示,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,则∠BAC=.。

课题 2.3 简单的轴对称图形（4） 课型 新授课 授课班级 七（1）七（3） 授课时间 9.26 教 学目标 1、知识与技能 学会比较等腰三角形性质定理和判定定理的联系与区别 2、过程与方法 学会应用含30°锐角直角三角形的性质解决线段之间倍半关系的问题 3、情感态度价值观 经历综合应用等腰三角形性质定理和判定定理的过程，体验数学的应用价值 教学重点： 含30°锐角直角三角形的性质的应用 教学难点： 等腰三角形的判定与性质的区别． 教具、学具： 每位学生准备两块含30°锐角直角三角板． 教学内容

教学过程

创设情境，提出问题 出示课本议一议． 学生思考、回答后教师设问：在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系? 注：以实际问题展开数学思考，突出数学与现实的联系． 学生猜想它们所对的边相等． 即：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形所对的两条边也相等． 注：引导学生类比等腰三角形性质定理进行猜测、叙述． 如何验证? 学生根据命题画出图形，并写出已知、求证． 已知：如图在△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC 学生寻求证明途径．

注：引发学生思考，寻求验证途径． 探索分析,解决问题 1．分析思路：引导学生类比等腰三角形性质的证明，添加辅助线，构造以AB，AC为边的两三角形，并证明它们全等． 注：让学生体验分析的重要性，逐步培养在几何证题中的分析能力． 在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形． 观察与讨论：如图，把等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论? 类似地，你又能得到哪些等边三角形的判定方法?

注：明确等边三角形是特殊的等腰三角形，引发学生探寻其更多的性质． 探索分析,解决问题 学生先独立思考，在合作交流，归纳结论如下： 1．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴． 2．等边三角形每一个角相等，都等于60°． 3．三个角都相等的三角形是等边三角形． 4．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 其中1、2是等边三角形的性质；3、4的等边三角形的判断方法． 注：合作讨论,培养归纳、表达能力． 创设情境,提出问题将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找出Rt△ABC的直角边BD与斜边AB之间的数量关系吗?