2015-2016年山东省九年级中考数学一轮复习导学案：第16课时二次函数解析式的求法及其简单应用

第16课时二次函数解析式的求法及其简单应用【基础知识梳理】在二次函数的问题中，经常会遇到求二次函数解析式的问题。

用待定系数法求二次函数的解析式有三种常用的方法：1．顶点式，即设2．一般式，即设3．交点式：即设同学们自己思考一下，分别在什么情况下设哪种解析式？【注意】求二次函数解析式，要根据具体图象特征灵活设不同的关系式，除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设；以y轴为对称轴，可设；顶点在x轴上，可设；抛物线过原点可设等。

【基础诊断】1．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为．2．抛物线与x 轴的交点横坐标为1和5，并且经过点（0，5），这个函数解析式为_________ ___．3．一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y= - 2x2相同，这个函数解析式为____________．4．对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（－2，－6）的抛物线的解析式为．5．如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为____ __，小孩将球抛出了约____ __米(精确到0.1 m) ．y x bx c经过点A（3，0），B（－1，0）．6. 已知抛物线2（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．【精典例题】例1. 如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距83米．请你判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．例1题图例2．（2014?浙江宁波）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．例3．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．【自测训练】一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）1. 已知抛物线y=ax2+bx+c，经过A(4，－2)，B(12,－2)两点，那么它的对称轴是（）A.直线x=7B.直线x=8C.直线x=9D.无法确定2. 已知函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么函数解析式为（）A. y=－x2+2x+3B. y=x2－2x－3C. y=－x2－2x+3D. y=－x2－2x－33．把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是( )．A. y=(x+2)2+2 B. y=(x+2)2-2 C. y=x2+2 D. y=x2-24. 抛物线y=x 2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，则b、c的值为（）A．b=2，c=﹣6 B．b=2，c=0 C．b=﹣6，c=8 D．b=﹣6，c=2二、填空题1. 有一个抛物线拱桥形，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在平面直角坐标系中（如图），则此抛物线解析式为。

二次函数的应用一、知识梳理二次函数的应用二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题．建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的解析式是解题关键．二、题型、技巧归纳考点1利用二次函数解决抛物线形问题例1 如图排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.(1)当h＝时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当h＝时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．技巧归纳：利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．考点2二次函数在营销问题方面的应用例2国家和地方政府为了提高农民种粮的积极性，每亩地每年发放种粮补贴120元．种粮大户老王今年种了150亩地，计划明年再承租50～150亩土地种粮以增加收入．考虑各种因素，预计明年每亩种粮成本y(元)与种粮面积x(亩)之间的函数关系如图16－2所示：(1)今年老王种粮可获得补贴多少元？(2)根据图象，求y与x之间的函数关系式；(3)若明年每亩的售粮收入能达到2140元，求老王明年种粮总利润W(元)与种粮面积x(亩)之间的函数关系式．当种粮面积为多少亩时，总利润最高？并求出最高总利润．技巧归纳：二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利润最大问题．考点3数在几何图形中的应用例3 如图在边长为24 cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝BF＝x cm.(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)积S最大，试问x应取何值？技巧归纳：二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思想的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分运用三角函数解直角三角形，相似、全等、圆等来解决问题，充分运用几何知识求解析式是关键．二次函数与三角形、圆等几何知识结合时，往往涉及最大面积，最小距离等问题，解决的过程中需要建立函数关系，运用函数的性质求解．三、随堂检测1、某商场购进一批单价为16元的日用品．若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件；若按每件25元的价格销售．每月能卖出210件．假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数．(1)试求y与x之间的函数关系式；(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的毛利润w最大？每月的最大毛利润是多少？2、某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件．调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件．(1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价x(元)间的函数关系式；(2)单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利润为多少？参考答案例1、（1）把x=0 ，y=2 ，及h=代入到y=a （x-6）2+h 即2=a （0－6）2+， ∴160a =- ∴y=（x-6）2+；（2）当h=时，y= （x-6）2+当x=9时，y= （9－6）2+=＞∴球能越过网 当y=0 时，()216 2.6060x --+=， 解得：12623918,6239(x x =+>=-舍去） 故会出界；（3）当球正好过点（18 ，0 ）时，y=a （x-6 ）2+h 还过点（0 ，2）点，代入解析式得： 2=36a+h0=144ha ⎧⎨+⎩，解得：，此时二次函数解析式为：218(6)543y x =--+， 此时球若不出边界，当球刚能过网，此时函数解析式过（9 ， ），y=a （x-6 ）2+h 还过点（0 ，2 ）点，代入解析式得：222.43(96)2(06)a ha h⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩， 解得：43270019375a h ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时球要过网h ≥，∵8193375， ∴h ≥，故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围是：。

九年级上册《二次函数应用》导学案《二次函数应用》导学案学习目标1．掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题2．将实际问题转化为数学问题，并运用二次函数的知识解决实际问题。

学习重点和难点运用二次函数的知识解决实际问题课前准备：学习过程：一、自主尝试1.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A． B． C． D．2．九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的线路为抛物线，建立如图的平面直角坐标系，设篮球出手后离地的水平距离为xm，高度为ym，求y关于x的函数解析式。

二、互动探究例1 如图，某喷灌设备的喷头B高出地面1.2m，如果喷出的抛物线形水流的水平距离x(m)与高度y(m)之间的关系为二次函数y=a(x-4)2+2.求：（1）二次函数的解析式（2）水流落地点D与喷头底部A的距离（精确到0.1）例2：某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面（1）建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？练习：小明是学校田径队的运动员，根据测试资料分析，他掷铅球的出手高度为2米，如果出手后铅球在空中飞行的水平距离与高度之间的关系式为，那么小明掷铅球的出手点与铅球落地点之间的水平距离大约是多少？2.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米. 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； (2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？三、反馈检测：评价手册四、课外作业：同步练习。

九年级数学《二次函数》单元复习（导学案）复习目标:1.体会二次函数的意义,理解二次函数的有关概念.2.会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴,并会确定最值.3.会运用待定系数法求二次函数的解析式.4.能根据图象判断二次函数a、b、c的符号及一些特殊方程或不等式是否成立.5.会将实际问题转化为函数问题,并利用函数的性质进行决策.一、基础知识归类和整理1.二次函数的概念及图象特征:(1)二次函数:如果 ,那么y叫做x的二次函数,图象是线(2)二次函数顶点式:通过配方y=ax²+bx+c可写成 ,它的图象是以直线为对称轴，以为顶点的一条抛物线。

a值函数的图象及性质a>0 （1）开口向上，并向上无限伸展；（2）当时，函数有最小值当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.a<0 （1）开口向下，并向下无限伸展；（2）当时，函数有最大值当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.3.二次函数图象的平移规律:y=ax²⟺y=ax²+k ⟺y=a(x+h)²+k,抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)可由抛物线y=ax²(a≠0)平移得到.由于平移时,抛物线上所有的点的移动规律都相同,所以只需研究其顶点移动的情况,因此有关抛物线的平移问题,需要利用二次函数的顶点式来讨论。

4.二次函数解析式的确定:用待定系数法可求出二次函数的解析式,确定二次函数一般需要三个独立的条件,根据不同的条件选择不同的设法:(1)设一般形式: ；(2)设顶点形式: ；(3)设交点式: 。

a 的作用决定开口方向a>0开口 ；a<0开口 决定开口的大小 ︳a| 越大，抛物线的开口b 的作用b 与a 同号ab2-＜0，顶点在y 轴的 侧 b 与a 异号ab2-＞0，顶点在y 轴的 侧 顶点在y 轴上c 的作用 c>0抛物线与y 轴的交点在y 轴的 c<0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的c=0 抛物线过 点 b ²-4ac b ²-4ac>0抛物线与x 轴有 交点 b ²-4ac<0 抛物线与x 轴有 交点 b ²-4ac=0抛物线与x 轴有 交点解决实际应用问题的关键是选准变量,建立好二次函数模型,同时还要注意符合实际情景。

课题22.1 二次函数（1）导学目标知识点：1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式；3、通过解决实际问题的过程总结建立数学模型的方法，培养与他人交流的意识和提取合理见解的能力。

课时：1课时导学方法：实验、整理、分析、归纳法导学过程：一、课前导学1、填表一次函数正比例函数表达式图形形状2、探究（1）．正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为x ，表面积为y ，则y 关于x 的关系式为是什么？①（2）．多边形的对角线数d 与边数n 有什么关系？②n边形有个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作条对角线。

因此，n边形的对角线总数d = 。

（3）．某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20件，一年后的产量是件，再经过一年后的产量是件，即两年后的产量为。

③二、合作探究探究：函数①②③有什么共同特点？你能举例说明吗？一般地，形如的函数，叫做二次函数其中，是自变量，a为，b为，c为，做一做：1、下列函数中，哪些是二次函数？分别说出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。

(1)(2) (3) (4))1(xxy-=(5))1)(1()1(2-+--=xxxy(6) 23712y x x=+-－2、函数2y ax bx c=++，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？三、展示点评学习知识最好的途径就是自我发现四、课堂检测1.下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x.2.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数(1)、长方形的长是宽的2倍，写出长方形的周长C 与宽a 之间的函数关系 ， 是 的 函数。

二次函数（基础复习）★二次函数知识点汇总★1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①2axy =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位臵.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位臵不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位臵.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=,故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab (即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位臵.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab .10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2ax y =当0>a 时 开口向上 当0<a 时 开口向下0=x (y 轴) (0,0) k ax y +=20=x (y 轴)(0, k ) ()2h x a y -=h x =(h ,0) ()kh x a y +-=2h x = (h ,k )c bx ax y ++=2ab x 2-=(ab ac a b 4422--，) 11.用待定系数法求二次函数的解析式根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。

中考数学压轴题第一部分函数图象中点的存在性问题1 因动点产生的相似三角形问题2 因动点产生的等腰三角形问题3 因动点产生的直角三角形问题4 因动点产生的平行四边形问题5 因动点产生的梯形问题6 因动点产生与线段和最小，线段差最大以及面积最大（最小）值问题第二部分图形的平移、翻折与旋转7 图形的平移8 图形的翻折9 图形的旋转中考数学压轴题五大类型一、函数图像中的存在性问题（1）动点与相似三角形问题例题1：（2014?温州，第21题10分）如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNE的面积之比．练习：（2013?莱芜压轴题）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）动点与等腰三角形问题例题2：6. 2014?广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，14）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM 平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．20.（2014?邵阳，第26题10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m ＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．。

15.二次函数的图象与性质➢题组练习一（问题习题化）1.已知二次函数223y x x=--.（1）函数图象是_________，它的开口方向是________.（2）函数的对称轴是_________，顶点坐标是________.（3）函数图形与x轴的交点坐标是_______，与y轴的交点坐标是__________.（4）画出此抛物线的图象.（5）观察图形回答：①当x______时，y随x的增大而增大；②当x_____时，y＞0；当_____时，y＜0；③当x_____时，函数有最______值为________；④若自变量x分别取x1.x2.x3，且0＜x1＜1，2＜x2＜＜x3，则对应的函数的值y1，y2，y3的大小关系是__________.（6）将函数图象向_______平移______个单位，再向____平移______个单位，可得到函数y=x2. （7）试确定223=--的图象关于y轴对称的抛物线的解析式为_____________________.y x x（8）若223=--的图象与x.y轴分别交于点A.B.C（A在B的左边），在抛物线上是否存在一点y x xP，使得△ABP的面积等于6？◆知识梳理内容知识技能要求二次函数的意义；用描点法画二次函数的图象；从图象上认掌握识二次函数的性质；根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向及对称轴➢题组练习二（知识网络化）1.在平面直角坐标系中，二次函数2()y a x h=-（0a≠）的图象可能是（）5.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线222y x x=-+上运动，过点A作AC x⊥轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为．CBDAOyx4. 某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=___________．2.如图是二次函数2y ax bx c=++（0a≠）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②240b ac->；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a=0；⑤方程20ax bx+=的两个根为1x=，24x=-，其中正确的结论有（）A．①③④B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤4．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：x …﹣1 0 1 3 …y …﹣1 3 5 3 …下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，抛物线y=13x2-43x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点M的坐标为（23，1）．以M为圆心，2为半径作⊙M．则下列说法正确的是（填序号）．①tan∠OAC=3；②直线AC是⊙M的切线；③⊙M过抛物线的顶点；④点C到⊙M的最远距离为6；⑤连接MC，MA，则△AOC与△AMC关于直线AC对称．➢题组练习三（中考考点链接）9.如图，抛物线与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．18．如图，在平面直角坐标系内，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线y=x2+kx+k ﹣1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B，（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．答案：1. （1）抛物线；向上；（2）x=1；（1，-4）；（3）（-1,0），（3,0），（0，-3）；（4）图略；（5）x>1；x<-1或x>3,-1<x<3 ；x=-1,小，-4；y1＜y2＜y3.（6）左，1，上，4；（7）y=x+2x-3；（8）P(0,-3)或（2，-3）或（3,71-）；1+）或（3,72.D；3.1;4. a（1+x）2；5.B;6.C.7.①②③④9.（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3．∴抛物线的解析式为y=ax2+bx+3．把点A（1，0）.点B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1，b=﹣2∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△BCD是直角三角形．理由如下：解法一：过点D分别作x轴.y轴的垂线，垂足分别为E，F．∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC2=OB2+OC2=18在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，∴CD2=DF2+CF2=2在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，∴BD2=DE2+BE2=20∴BC2+CD2=BD2∴△BCD为直角三角形．解法二：过点D作DF⊥y轴于点F．在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3，∴OB=OC∴∠OCB=45°.∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，∴DF=CF.∴∠DCF=45°.∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°.∴△BCD为直角三角形．10. 解：（1）由x=0得y=0+4=4，则点C的坐标为（0，4）；由y=0得x+4=0，解得x=﹣4，则点A的坐标为（﹣4，0）；把点C（0，4）代入y=x2+kx+k﹣1，得k﹣1=4，解得：k=5，∴此抛物线的解析式为y=x2+5x+4，∴此抛物线的对称轴为x=﹣=﹣．令y=0得x2+5x+4=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣4，∴点B的坐标为（﹣1，0）．（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），∴OA=OC=4，∴∠OCA=∠OAC．∵∠AOC=90°，OB=1，OC=OA=4，∴AC==4，AB=OA﹣OB=4﹣1=3．∵点D在y轴负半轴上，∴∠ADC＜∠AOC，即∠ADC＜90°．又∵∠ABC＞∠BOC，即∠ABC＞90°，∴∠ABC＞∠ADC．∴由条件“以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似”可得△CAD∽△ABC，∴=，即=，解得：CD=，∴OD=CD﹣CO=﹣4=，∴点D的坐标为（0，﹣）．。

二次函数复习导学案学习目标：1、理解二次函数的概念，掌握二次函数y＝ax2的图象与性质2、会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向学习重点、难点：1．重点：用配方法求二次函数的顶点、对称轴，根据图象概括二次函数y＝ax2图象的性质。

2．难点：二次函数图象的平移。

课前延伸整理本部分的知识网络图课内探究一、结合例题精析，强化练习，剖析知识点1．二次函数的概念，二次函数y＝ax2 (a≠0)的图象性质。

例：已知函数是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m值；(2)m为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x为何值时，y随x的增大而增大?2.用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律例：用配方法求出抛物线y＝－3x2－6x＋8的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象，说明通过怎样的平移，可得到抛物线y＝－3x2。

强化练习：(1)抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位。

再向上平移3个单位，得抛物线y＝x2－2x＋1，求：b与c的值。

(2)通过配方，求抛物线y＝x2－4x＋5的开口方向、对称轴及顶点坐标，再画出图象。

3．知识点串联，综合应用例：如图，已知直线AB经过x轴上的点A(2，0)，且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，已知B点坐标为(1，1)。

(1)求直线和抛物线的解析式；(2)如果D为抛物线上一点，使得△AOD与△OBC的面积相等，求D点坐标。

强化练习：函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3交于点A(1，b)，求：(1)a和b的值；(2)求抛物线y＝ax2的顶点和对称轴；(3)x取何值时，二次函数y＝ax2中的y随x的增大而增大，(4)求抛物线与直线y＝－2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。

二、课堂小结1．让学生反思本节学习过程，归纳本节课复习过的知识点及应用课后提升提升训练：已知抛物线y＝x2和直线y＝ax＋1(1)求证：不论a取何值，抛物线与直线必有两个不同舶交点。

新人教版九年级数学上册导学稿16.1二次函数学习目标1．理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式；历描点法画函数图像的过程；学会观察、归纳、概括函数图像的特征；掌握型二次函数图像的特征；经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理．2．经历二次函数图像平移的过程；理解函数图像平移的意义；了解2ax y =与2ax y =+c 二次函数图像之间的关系；会从图像的平移变换的角度认识2ax y =+c 型二次函数的图像特征．（重难点）学生自主活动材料一．前置自学1．下列函数中，哪些是二次函数？是二次函数的写出二次项系数、一次项系数和常数项： (1)2x y = (2) 21xy -= (3) 122--=x x y （4）)1(x x y -= （5）)1)(1()1(2-+--=x x x y ．2．画函数图象利用描点法，其步骤为 、 、 .3．二次函数y ＝x 2的图象是一条____，它的开口向_____，对称轴是______，顶点坐标是_____；在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；当x ＝______时，y 取最______值，其最______值是______.4．若函数mmx m y --=2)1(2+6为二次函数，则m 的值为 .二．合作探究5．画二次函数y ＝ax 2＋k 的图象画出函数y ＝x 2 ，y ＝x 2＋1， y ＝x 2－1的图象. 并指出它们有何共同点？有何不同点？解：先列表：然后描点连线. 共同点： 不同点： 注意点：6．二次函数y ＝ax 2＋k 的性质观察所画图象，请回答：抛物线y ＝x 2＋1， y ＝x 2－1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？7．抛物线y ＝ax 2＋k 与抛物线y ＝ax 2的位置关系 （1）观察所列表格，请思考：当自变量x 取同一数值时，函数y ＝x 2＋1的函数值都比函数y ＝x 2 的函数值大 ；函数y ＝x 2－1的函数值都比函数y ＝x 2 的函数值小 . （2）观察所画图象，可发现：把抛物线y ＝x 2 向上平移1个单位，就得到抛物线 ；把抛物线y ＝x 2 向 平移 个单位，就得到抛物线y ＝x 2－1. （3）由此，你猜想到：把抛物线y ＝2x 2 向上平移5个单位，会得到抛物线 ；x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y=x 2y=x 2+1 … … y=x 2-1把抛物线y ＝2x 2 向下平移3.4个单位，会得到抛物线 . 预习疑难摘要三．拓展提升8．结合图象，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝12x 2得到抛物线y ＝12x 2＋2和y ＝12x 2－2?如何由抛物线y ＝12x 2＋2得到抛物线y ＝12x 2－2?9．一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线 运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m .1、球在空中运行的最大高度是多少米？2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度 为2.25m ， 则他离篮筐中心的水平距离AB 是多少？四．当堂反馈10.分别写出下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标：（1）y ＝－x 2＋1 （2）y ＝13x 2－1311.把抛物线y ＝－2x 2 向上平移3个单位，会得到抛物线 . 12.把抛物线y ＝－x 2 －2向下平移4个单位，会得到抛物线 .13. 在同一直角坐标系内，画出二次函数y ＝－x 2+3，y ＝－x 2－2的图象，并回答： (1)两条抛物线的位置关系；(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标.14.把抛物线y ＝3x 2向下平移4个单位，写出平移后抛物线的解析式、对称轴及顶点坐标.x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …y=-x 2+3 … …y=-x 2-2教学反思5.3512+-=x y。

课 题： 2.1二次函数所描述的关系【温故】1.函数的定义是怎样下的？2.大家还记得我们学过哪些函数吗？我们学过那些关于函数的生活实际问题呢？【互助】1. 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子． (1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？(2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式．（4）大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y 是否是x 的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？如果你是果园的负责人，你最关心的问题是什么?（在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？）你能根据表格中的数据作出猜测吗？2.设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．在这个关系式中，y 是x 的函数吗？一般地，形如 (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数(quadratic function)． 例题解析：例1．下列函数中，哪些是二次函数？（1）1)1(32+-=x y (2)xx y 1+= (3)223t s -= (4) x xy -=21 (5) 2r v ∏=例2、用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m ²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？Y/个1413 12 11 109 8 7 6 5 4321X/棵【达标】1.下列函数中,哪些是二次函数？(1）v=10πr ² (3) s=3+t ² (5) y=(x+3)²-x ² (6) y=2(x-1)²; 2.如果函数y= +kx+1是二次函数,求k 的值.4.如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,求k 的值.5.圆的半径是4cm,假设半径增加xcm 时,圆的面积增加ycm ².（1）写出y 与x 之间的函数关系表达式；（2）当圆的半径分别增加1cm, 2cm 时,圆的面积增加多少？课 题： 2.2结识抛物线【温故】1.二次函数的概念.2.画函数的图象的主要步骤，3.根据函数y=x 2列表 x y【互助】1. 用描点法画二次函数y=x 2的图象，并与同桌交流。