2015成都一诊文科数学(含试卷答题卷及答案)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1.设集合A ={|12}x x －<<，集合B ＝{|13}x x <<，则A B ＝( )A. {|13}x x <－<B. {|11}x x <－<C. {|12}x x <<D. {|23}x x << 【参考答案】A【测量目标】考查集合的并集运算.【试题分析】集合(12)(13)A B =-，，=，，故(13)A B =-，，选A. 2.设向量(24)a =，与向量(6)b x =，共线，则实数x ＝( ) A.2 B.3 C.4 D.6 【参考答案】B【测量目标】考查向量平行的性质.【试题分析】 由向量平行的性质，有2:4＝x :6，解得x ＝3，选B.3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A.抽签法B.系统抽样法C.分层抽样法D.随机数法 【参考答案】C【测量目标】考查抽样方法的适用范围.【试题分析】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样.选C.4.设a b ，为正实数，则1a b “>>”是22log log 0a b “>>”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【参考答案】A【测量目标】考查充分、必要条件.【试题分析】1a b >>时，有22log log 0a b >>成立，反之也正确.选A. 5.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A.πsin(2)2y x =+B.πcos(2)2y x =+C.sin2cos2y x x =+D.sin cos y x x =+ 【参考答案】B【测量目标】考查三角函数的周期.【试题分析】A 、B 、C 的周期都是π，D 的周期是2π，但A 中,cos2y x =是偶函数，C 中π)4y x +是非奇非偶函数. 故正确答案为B.6.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )第6题图A. - C.12-D.12【参考答案】D【测量目标】考查算法的程序框图，求值运算能力. 【试题分析】第四次循环后，5k =，输出5π1sin62S ==，选D. 7.过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )B. C.6 D.【参考答案】D【测量目标】考查双曲线的交点、渐近线.【试题分析】由题意，1,a b ==2c =，渐近线方程为y =，将2x =代入渐近线方程，得y =±AB = D.8.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系e kx b y += (e 2.718= 为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )A.16小时B.20小时C.24小时D.21小时 【参考答案】C【测量目标】考查函数在实际问题中的应用.【试题分析】由题意，22192e 48ebk b+⎧=⎨=⎩得11192e 1e 2b k⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是当33x =时 ，()33311eee k bk by +==⋅=31192242⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭(小时).9.设实数x y ，满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 4<的最大值为( )A.252B.492C.12D.14【参考答案】A【测量目标】考查运用线性规划求最值. 【试题分析】画出可行域如图，第9题图在ABC △区域中结合图象可知， 当动点在线段AC 上时xy 取得最大， 此时210x y +=，()112522222x y xy x y +⎛⎫=⋅≤ ⎪⎝⎭22=，当且仅当552x y =，=时取等号，对应点落在线段AC 上， 故最大值为25.2选A. 10.设直线l 与抛物线24y x =相较于A ，B 两点，与圆C ：222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A.(1，3)B.(1，4)C.(2，3)D.(2，4) 【参考答案】D【测量目标】考查抛物线、圆、直线的综合问题. 【试题分析】不妨设直线:l x ty m =+, 代入抛物线方程有：2440y ty m --=， 则216160t m ∆=+>，又中点2(2,2)M t m t +，则1MC l k k =-，即232m t =-（当0t ≠时），代入21616t m ∆=+，可得230t ->，即203t <<. 又由圆心到直线的距离等于半径，可得2d r ====由203t <<，可得(2,4)r ∈.选D.二、填空题(每小题5分，共25分，将答案填在答题纸上) 11.设i 是虚数单位，则复数1i i-=_____________.【参考答案】2i【测量目标】考查复数的四则运算. 【试题分析】1i i i 2i i-=+=. 12.2lg0.01log 16=+ _____________.【参考答案】2【测量目标】考查对数函数的求值运算. 【试题分析】2lg0.01log 16242+=-+=.13.已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是______________.【参考答案】－1【测量目标】考查三角函数的求值运算. 【试题分析】由已知可得tan 2α=-，22sin cos cos ααα=-22222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141ααααααα---===-+++-. 14.在三棱柱111ABC A B C －中，90BAC ∠︒＝，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P AMN －的体积是______.【参考答案】124【测量目标】空间几何体的体积.【试题分析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的等腰直角三角形， 高为1的直三棱柱，底面积为12. 如图，三棱锥P AMN －底面积是三棱锥底面积的14，高为1， 故三棱锥P AMN －的体积为111132424⨯⨯=.第14题图15.已知函数()()22x f x g x x ax =，=+ (其中a ∈R ).对于不相等的实数12x x ，，设()()()()12121212,f x f x g x g x m n x x x x --=--=，现有如下命题：①对于任意不相等的实数12x x ，，都有0m >；②对于任意的a 及任意不相等的实数12x x ，，都有0n >； ③对于任意的a ，存在不相等的实数12x x ，，使得m n =； ④对于任意的a ，存在不相等的实数12x x ，，使得m n =-. 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).【参考答案】①④【测量目标】考查函数与命题判断相结合的问题.【试题分析】对于①，因为()xf x '=2l n2>0恒成立，故①正确.对于②，取8a =-，即()28g x x '=-，当12x x ，<4时，0n <，②错误.对于③，令()()f x g x ''=，即2ln22xx a =+，记()2ln 22x h x x =-，则()()22ln22xh x '=-，存在()00,1x ∈，使得()00h x =，可知函数()h x 先减后增，有最小值. 因此，对任意的a ,m n =不一定成立. ③错误. 对于④，由()()f x g x ''=-，即2ln 22xx a =--，令()2ln 22xh x x =+，则()()22ln 220xh x '=+>恒成立，即()h x 是单调递增函数， 当x →+∞时，()h x →+∞； 当x →-∞时，()h x →-∞.因此，对任意的a ,存在y a =与函数()h x 有交点. ④正确.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 16．(本小题满分12分)设数列{}(123)n a n ⋯=，，的前n 项和n S 满足12n n S a a ＝－，且1231a a a ，＋，成等差数列. (1)求数列的通项公式；(2)设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T . 【测量目标】(1)考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式；(2)考查等比数列前n 项和、运算求解能力. 【试题分析】 (1) 由已知12n n S a a =-， 有1122(2)n n n n n a S S a a n ≥--=-=-， 即12(2)n n a a n ≥-=. 从而21321224a a a a a =，==， 又因为1231a a a ，+，成等差数列， 即1322(1)a a a +=+.所以111+4=2(2+1)a a a ，解得1=2a .所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列 故=2.n n a (2)由(1)得112n n a =， 所以211122111111222212nn n nT ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++==-- .17.(本小题满分12分)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客12345,,,,P P P P P 的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客1P 因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.(1)若乘客1P 坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)；(2)若乘客1P 坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客1P 坐到5号座位的概率.【测量目标】(1)考查排列组合；(2)考查排列组合、古典概型.【试题分析】 (1)余下两种坐法如下表所示：做到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能坐法可用下表表示为于是，所有可能的坐法共8种.设“乘客5P 坐到5号座位”为事件A ，则事件A 中的基本事件的个数为4， 所以()4182P A ==. 答：乘客5P 坐到5号座位的概率为12. 18.(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (1)请按字母F ，G ，H 标记在正方体相应地顶点处 (不需要说明理由) ； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并说明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG .第18题图【测量目标】(1)考查简单空间图形的直观图，空间想象能力；(2)考查空间线面平行与面面平行的判定与性质，空间想象能力、推理论证能力；(3)考查空间线面垂直的判定与性质，空间想象能力、推理论证能力.【试题分析】(1)点F，G，H的位置如图所示第18题图(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH.于是BCEH为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.第18题图(3)连接FH，因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF ⊥BG , 又EG ∩BG ＝G ,所以DF ⊥平面BEG . 19.(本小题满分12分)已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tan A 、tan B 是关于方程x 2－p ＋1＝0(p ∈R )两个实根. (1)求C 的大小；(2)若AB ＝3，ACp 的值. 【测量目标】(1)考查韦达定理，解三角形； (2)考查正弦定理的应用,正切值的计算.【试题分析】 (1)由已知，方程210x p -+=的判别式22)4(1)3440p p p ∆≥=--+=+-， 所以2p ≤－或2.3p ≥由韦达定理，有tan tan tan tan 1A B A B p +=，=-， 于是1tan tan 1(1)0A B p p =≠-=--，从而tan()A B +=tan tan 1tan tan A B A B +==-所以tan tan()C A B =-+ 所以60.C ︒=(2)由正弦定理，得sin B =sin AC C AB ==解得45B ︒=或135B ︒=(舍去)， 于是18075,A B C ︒︒=--=则tan tan75tan(4530)A ︒︒︒==+=1tan 45tan 3021tan 45tan 303++==-所以tan )1p A B =-+=--20.(本小题满分13分)如图，椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率是2，点P (0，1)在短轴CD 上，且1PC PD ⋅=- . (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A 、B 两点.是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅ 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.第20题图【测量目标】(1)考查椭圆的标准方程，运算求解能力；(2)考查直线方程，推理论证能力、运算求解能力，数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.【试题分析】(1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0)(0),b b ，－，，又点P 的坐标为(01)，，且1PC PD ⋅=- ,于是2222112b c a a b c ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩，解得2a b =， 所以椭圆E 方程为22142x y +=. (2)当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为1y kx =+，A ，B 的坐标分别为1122()()x y x y ，，，. 联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(21)420k x kx ++-=， 其判别式()224+8(21)0k k ∆=+>. 所以12122242,,2121k x x x x k k +=-=-++ 从而OA OB PA PB λ⋅+⋅ 12121212[(1)(1)]x x y y x x y y λ=+++-- 21212(1)(1)()1k x x k x x λ=+++++()2224(21)21k k λλ--+--=+ 21221k λλ---+=-所以，当1λ=时，212321k λλ---=-+-，此时，OA OB PA PB λ⋅+⋅ 3=-为定值. 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅ 21=3=---.故存在常数1λ=，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅ 为定值3-.21.(本小题满分14分)已知函数()222ln 2+f x x x x ax a =-+-，其中0a >.(1)设()g x 为()f x 的导函数，讨论g (x )的单调性；(2)证明：存在(01)a ∈，，使得()0f x ≥在区间(0,)+∞内恒成立，且()0f x =在(1,)+∞内有唯一解. 【测量目标】(1)考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点；(2) 函数与方程，推理论证能力、运算求解能力、创新意识，数形结合、化归与转化等数学思想.(1)由已知，函数()f x 的定义域为(0)∞，＋，()()==2(1ln )g x f x x x a '---，所以()()2122x g x x x-'==-. 当(01)x ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(1)x ∈∞，＋时，()g x '>0，()g x 单调递增.(2)由()'2(1ln )0f x x x a =---=，解得1ln a x x =--.令()x ϕ2222ln 2(1ln )(1ln )(1+ln )2ln x x x x x x x x x x x =-+---+--=-， 则()()110e 2(2e)0ϕϕ<=>，=-，于是存在0(1e)x ∈，，使得()00x ϕ=.令()00001ln a x x u x =--=，其中()1ln (1)u x x x x ≥=--，由()110u x x'≥=-知，函数()u x 在区间(1)∞，＋上单调递增, 故()()0001()e e 21u a u x u <=<==-<，即0(01)a ∈，.当0a a =时，有()()()00000f x f x x ϕ'=，==.再由(1)知，()f x '在区间(1)∞，＋上单调递增，当0(1)x x ∈， 时，()0f x '<，从而()()00f x f x >=； 当0()x x ∈∞，＋时，()'0f x >，从而()()00f x f x >=；又当(01]x ∈，时，()20()2ln 0f x x a x x =-->， 故(0)x ∈∞，＋时，()0f x ≥.综上所述，存在(01)a ∈，，使得()0f x ≥，在区间(0+)∞，内恒成立，且()0f x =在区间(1)∞，＋内有唯一解.。

成都市2015届高中毕业班第一次诊断性检测数学试题（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{|0}=≥U x x，集合{1}=P，则UP=ð（A）[0,1)(1,)+∞（B）(,1)-∞（C）(,1)(1,)-∞+∞（D）(1,)+∞2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是（A）（B）（C）（D）3．命题“若22≥+x a b，则2≥x ab”的逆命题是（A）若22<+x a b，则2<x ab（B）若22≥+x a b，则2<x ab（C）若2<x ab，则22<+x a b（D）若2≥x ab，则22≥+x a b4．函数31,0()1(),03xx xf xx⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（A）（B）（C）（D）5．复数5i(2i)(2i)=-+z（i是虚数单位）的共轭复数为（A）5i3-（B）5i3（C）i-（D）i6．若关于x的方程240+-=x ax在区间[2,4]上有实数根，则实数a的取值范围是消费支出/元（A ）(3,)-+∞ （B ）[3,0]- （C ）(0,)+∞ （D ）[0,3] 7．已知53cos()25+=πα，02-<<πα，则sin 2α的值是 （A ）2425 （B ）1225 （C ）1225- （D ）2425-8．已知抛物线:C 28y x =，过点(2,0)P 的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为（A ）16- （B ）12- （C ）4 （D ）0 9．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n ⊂β，则下列叙述正确的是（A ）若//m n ，m ⊂α，则//αβ （B ）若//αβ，m ⊂α，则//m n （C ）若//m n ，m α⊥，则αβ⊥ （D ）若//αβ，m n ⊥，则m α⊥ 10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =．点E ，F 分别为棱11B C ，1C C 的中点，P 是侧面11BCC B 内一动点，且满足⊥PE PF .则当点P 运动时， 2HP 的最小值是 （A）7（B）27-（C）51-（D）14-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如右图所示.则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是________．12．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹ABCD1A 1B 1C 1D HPEF角的大小为__________．13．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4=B ．则边c 的长度为__________．14．已知关于x 的不等式()(2)0---≤x a x a 的解集为A ，集合{|22}=-≤≤B x x ．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________． 15．已知函数21()()2f x x a =+的图象在点n P (,())n f n （*n ∈N ）处的切线n l 的斜率为n k ，直线n l 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且11y =-．给出以下结论： ①1a =-；②记函数()=n g n x （*n ∈N ），则函数()g n 的单调性是先减后增，且最小值为1；③当*n ∈N 时，1ln(1)2n n n y k k++<+； ④当*n ∈N时，记数列的前n 项和为n S ，则1)n n S n -<． 其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）口袋中装有除编号外其余完全相同的5个小球，编号依次为1,2,3,4,5．现从中同时取出两个球，分别记录下其编号为,m n ． （Ⅰ）求“5+=m n ”的概率； （Ⅱ）求“5≥mn ”的概率．17．（本小题满分12分）如图，在多面体ECABD 中，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，ABC ∆为正三角形，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =．（Ⅰ）求证：DF //平面ABC ； （Ⅱ）求多面体ECABD 的体积． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122+=-n n S ；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+．*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n c a b =，*n ∈N .求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象． （Ⅰ）根据图象，求A ，ω，ϕ，B 的值； （Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:20．（本小题满分13分）已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且过点．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，且AB =点0(,2)P x 满足=PA PB ，求0x 的值．21．（本小题满分14分） 已知函数()ln 2mf x x x=+，()2g x x m =-，其中m ∈R ，e 2.71828= 为自然对数的底数．（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）对1[,1]e x ∀∈，是否存在1(,1)2m ∈，使得()()1>+f x g x 成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设()()()F x f x g x =，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，求证： 101ea b c <<<<<．数学（文科）参考答案及评分意见第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．A ； 2．C ； 3．D ；4．A ；5．C ；6．B ；7．D ；8．B ；9．C ；10．B ．第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．30 12．90︒ 13．4 14.[2,0]- 15．①②④ 三、解答题：（本大题共6个小题,共75分） 16．（本小题满分12分）解：同时取出两个球，得到的编号,m n 可能为： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5) (2,3)，(2,4)，(2,5) (3,4)，(3,5)(4,5)…………………………………………………………………………………6分（Ⅰ）记“5+=m n ”为事件A ，则 21()105==P A ．……………………………………………………………………………3分（Ⅱ）记“5≥mn ”为事件B ，则 37()11010=-=P B ．…………………………………………………………………… 3分 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：作AC 的中点O ，连结BO ．在∆AEC 中，//=FO 12EC ，又据题意知，//=BD 12EC ． ∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形． ∴//DF OB ，又⊄DF 面ABC ，⊂OB 平面ABC ．∴//DF 面ABC ．………………………6分 （Ⅱ）据题意知，多面体ECABD 为四棱锥-A ECBD ． 过点A 作⊥AH BC 于H ．∵⊥EC 平面ABC ，⊂EC 平面ECBD ， ∴平面⊥ECBD 平面ABC ．又⊥AH BC ，⊂AH 平面ABC ，平面 ECBD 平面=ABC BC ， ∴⊥AH 面ECBD ．∴在四棱锥-A ECBD 中，底面为直角梯形ECBD，高=AH ．∴1(21)232-+⨯=⨯=A ECBD V ∴多面体ECABD6分 18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵122+=-n n S ① 当2≥n 时，122-=-n n S ② ①-②得，2=n n a （2≥n ）．∵当2≥n 时，11222--==nn n n a a ，且12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n n n a ．………………………………………4分又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b ∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．……………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-n n c n ……………………………………………………1分 ∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅ n n n T n n 231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅ n n n n T n n n ④由 -④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅ n n n n T n (1)分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅ n nn n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n (1)分∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n ∴1(23)24+=-+n n T n∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n ………………………………………3分19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由图知12T =，6πω=．………………………………………………………1分2125.15.22m i n m a x =-=-=y y A ，225.15.22min max =+=+=y y B ．……………2分 ∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)．代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=．…………………………………2分综上，21=A ，6πω=，2πϕ=，21=B ． ………………………………………1分即2)26sin(21)(++=ππt t f ． （Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间． 由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ． 又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ． 又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ．又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分……………………………………………1分 ∴应该在11．625时停产．……………………………………………………………1分 （也可直接由)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）20.（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知得=a，又=c ∴2224=-=b a c ．∴椭圆Γ的方程为141222=+y x ．…………………………………………………4分 （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ， 得216<m ．设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321mx x -=+， 2123124-⋅=m x x ．∴12=-==AB x又由AB =231294-+=m ，解之2m =±．……………………………3分 据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点． 设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=， 当2m =时，31(,)22E -∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--． 令2=y ，得03x =-．…………………………………………………………………2分 当2m =-时，31(,)22E -∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+． 令2=y ，得01x =-．………………………………………………………………2分综上所述，0x 的值为3-或1-． 21.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）1m =时，1()ln ,02=+>f x x x x． ∴221121()22-'=-=x f x x x x ……………………………………………………………………1分由()0'>f x ，解得12>x ；由()0'<f x ，解得102<<x ； ∴()f x 在1(0,)2上单调递减，1(,)2+∞上单调递增． (2)分∴=极小值)(x f 11()ln 11ln 222f =+=-．…………………………………………………… 2分（II ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，其中1(,1)2m ∈由题意，()0h x >对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，∵2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ∵1(,1)2m ∈，∴在二次函数222=-+-y x x m 中，480∆=-<m ，∴2220-+-<x x m 对∈x R 恒成立∴()0'<h x 对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减． ∴min 5()(1)ln11212022==+-+-=->m h x h m m ，即45>m ．故存在4(,1)5∈m 使()()f x g x >对1,1⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦x e 恒成立．……………………………………4分（III ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x=+-∈+∞，易知2x m =为函数()F x 的一个零点， ∵12>m ，∴21>m ，因此据题意知，函数()F x 的最大的零点1>c ， 下面讨论()ln 2mf x x x=+的零点情况，∵2212()22m x m f x x x x -'=-=． 易知函数()f x 在(0,)2m上单调递减，在(,)2m +∞上单调递增．由题知()f x 必有两个零点，∴=极小值)(x f ()ln 1022=+<m mf ，解得20<<m e ，∴122<<m e ，即(,2)2∈eme ．…………………………………………………………3分 ∴11(1)ln10,()ln 11102222=+=>=+=-<-=m m em emf f e e ．…………………1分 又10101010101()ln 10100224---=+=->->m m f e e e e e ．101()0,()0,(1)0f e f f e -∴><>．10101e a b c e -∴<<<<<<．101a b c e∴<<<<<，得证．……………………………………………………………1分。

四川省成都市青羊区2015届中考数学一诊试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．4的平方根是（）A．±2B．2 C．±D．2．已知点P（3，﹣2）与点Q关于x轴对称，则Q点的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣3，﹣2） C．（3，2） D．（3，﹣2）3．今年3月5日，温家宝总理在《政府工作报告》中，讲述了六大民生新亮点，其中之一就是全部免除了细部地区和部分中部地区农村义务教育阶段约52 000 000名学生的学杂费．这个数据保留三个有效数字用科学记数法表示为（）A．5.2×107B．52×108C．5.2×108D．5.20×1074．如图所示的几何体是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．5．如图，已知a∥b，∠1=40°，则∠2=（）A．140°B．120°C．40° D．50°6．若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．87．不等式组的解集的情况为（）A．x＜﹣1 B．x＜C．﹣1＜x＜D．无解8．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=4，则cosA=（）A．B．C．D．9．如图，图中正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为（）A．16﹣4πB．32﹣8πC．8π﹣16 D．无法确定|10．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A．4.75 B．4.8 C．5 D．4二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）11．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD∥BC，若OD=1，则BC的长为．12．某班开展为班上捐书活动．共捐得科技、文学、教辅、传记四类图书，分别用A、B、C、D表示，如图是未制作完的捐书数量y（单位：百本）与种类x（单位：类）关系的条形统计图，若D类图书占全部捐书的10%，则D类图书的数量（单位：百本）是．13．写出一个图象位于二、四象限的反比例函数的表达式，y= ．14．如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E．当SR=BC 时，则DE= ．三、解答题（本大题共6个小题，共54分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（1）计算：（2）解方程：．16．先化简，后求值：，其中x=﹣．17．过原点的直线交反比例函数y=图象于A、B两点，BD⊥x轴于点D，AE⊥y轴于点E．问：（1）直线AB与直线ED的位置关系是什么？并说明理由．（2）四边形ABDE的面积等于多少？18．某市今年的信息技术结业考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容．规定：每位考生先在三个笔试题（题签分别用代码B1、B2、B3表示）中抽取一个，再在三个上机题（题签分别用代码J1、J2、J3表示）中抽取一个进行考试．小亮在看不到题签的情况下，分别从笔试题和上机题中随机地抽取一个题签．（1）用树状图或列表法表示出所有可能的结果；（2）求小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标（例如“B1”的下标为“1”）为一个奇数一个偶数的概率．19．如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=8m．（1）求∠CAE的度数；（2）求这棵大树折断前的高度？（结果精确到个位，参考数据： =1.4， =1.7， =2.4）．20．在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，∠PMQ是直角，且直角顶点M是BC边的中点，MN⊥BC交AC 于点N．PM边上动点P从点B出发沿射线BA以每秒2cm的速度运动，同时，MQ边上动点Q从点N 出发沿射线NC运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）求证：△PBM∽△QNM；（2）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，并说明理由．（3）若∠ABC=60°，BC=8cm．①求动点Q的运动速度；②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；一、填空（本大题5个小题，每小题4分，共20分．）21．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．22．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED 的最小值是．23．如图，已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点C，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1，则AC的长为（保留根号）．24．如图，已知A（2，0）、B（0，5），⊙C的圆心坐标为C（﹣1，0），半径为1，若D是⊙C上一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是．25．用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第2015个图形需根火柴棒．二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）26．据我们调查，成都市某家电商场今年一月至六月份销售型号为“JSQ20﹣H”的海尔牌热水器的（2）由于此型号的海尔牌热水器的价格适中，消费者满意度很高，商场计划八月份销售此型号的热水器72台，与上半年平均月销售量相比，七、八月销售此型号的热水器平均每月的增长率是多少？27．如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，过C点作CG∥AD交AB的延长线于点G，连接CO 并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）试问：CG是⊙O的切线吗？说明理由；（2）求证：E为OB的中点；（3）若AB=10，求CD的长．28．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OB=6，tan∠ABO=，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，若△CEF∽△COD，求t的值；②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．2015年四川省成都市青羊区中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．4的平方根是（）A．±2B．2 C．±D．【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2．故选：A．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．已知点P（3，﹣2）与点Q关于x轴对称，则Q点的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣3，﹣2） C．（3，2） D．（3，﹣2）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】利用关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数的性质来求解．【解答】解：根据轴对称的性质，得点P（3，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为（3，2）．故选：C．【点评】熟记关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标均互为相反数．3．今年3月5日，温家宝总理在《政府工作报告》中，讲述了六大民生新亮点，其中之一就是全部免除了细部地区和部分中部地区农村义务教育阶段约52 000 000名学生的学杂费．这个数据保留三个有效数字用科学记数法表示为（）A．5.2×107B．52×108C．5.2×108D．5.20×107【考点】科学记数法与有效数字．【专题】应用题．【分析】科学记数法就是将一个数字表示成a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|＜10，n表示整数．n 为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．而保留三个有效数字，要观察第4个有效数字，四舍五入，不足的补0．【解答】解：52 000 000=5.20×107．故选D．【点评】本题考查学生对科学记数法的掌握．科学记数法要求前面的部分是大于或等于1，而小于10，小数点向左移动7位，应该为5.20×107．4．如图所示的几何体是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】俯视图是从上面看到的图形．【解答】解：从上面看，左边和中间都是2个正方形，右上角是1个正方形，故选D．【点评】本题考查了三视图的知识，关键是找准俯视图所看的方向．5．如图，已知a∥b，∠1=40°，则∠2=（）A．140°B．120°C．40° D．50°【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角．【专题】计算题．【分析】如图：由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，可得∠1=∠3；又根据邻补角的定义，可得∠2+∠3=180°，所以可以求得∠2的度数．【解答】解：∵a∥b，∴∠1=∠3=40°；∵∠2+∠3=180°，∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣40°=140°．故选A．【点评】此题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等以及邻补角互补．6．若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°=900°，解得n=7．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．7．不等式组的解集的情况为（）A．x＜﹣1 B．x＜C．﹣1＜x＜D．无解【考点】解一元一次不等式组．【分析】由题意分别解出不等式组中的两个不等式，再根据求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）来求出不等式的解集．【解答】解：由移项整理，得x＜﹣1，由3x﹣2＜0移项，得3x＜2，∴x＜，∴不等式的解集：x＜﹣1，故选A．【点评】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，考不等式组解集的口诀，还考查学生的计算能力．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=4，则cosA=（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理求出AC，根据余弦的定义计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，BC=2，AB=4，∴AC==2，∴cosA===，故选：D．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．9．如图，图中正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为（）A．16﹣4πB．32﹣8πC．8π﹣16 D．无法确定|【考点】扇形面积的计算．【专题】压轴题．【分析】根据图形，知阴影部分的面积即为直径为4的圆面积的2倍减去边长为4的正方形的面积．【解答】解：根据图形，得阴影部分的面积=2×π×22﹣4×4=8π﹣16．故选C．【点评】此题关键是能够看出阴影部分的面积的整体计算方法．10．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A．4.75 B．4.8 C．5 D．4【考点】切线的性质．【专题】压轴题．【分析】设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形，FC+FD=PQ，由三角形的三边关系知，FC+FD＞CD；只有当点F 在CD上时，FC+FD=PQ有最小值，最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD 上时，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC•AC÷AB=4.8．【解答】解：如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则FD⊥AB．∵AB=10，AC=8，BC=6，∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ，∴F C+FD＞CD，∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，∴CD=BC•AC÷AB=4.8．故选：B．【点评】本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）11．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD∥BC，若OD=1，则BC的长为 2 ．【考点】三角形中位线定理；圆的认识．【分析】首先证明OD是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理即可求解．【解答】解：∵OD∥BC，且O是AB的中点．∴OD是△ABC的中位线．∴BC=2OD=2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，正确证明OD是中位线是解题的关键．12．某班开展为班上捐书活动．共捐得科技、文学、教辅、传记四类图书，分别用A、B、C、D表示，如图是未制作完的捐书数量y（单位：百本）与种类x（单位：类）关系的条形统计图，若D类图书占全部捐书的10%，则D类图书的数量（单位：百本）是10本．【考点】条形统计图．【分析】首先设D地车票有x张，根据去D地的车票占全部车票的10%列方程即可求得去D地的车票的数量．【解答】解：设D类图书数量为x，则x=（x+20+40+30）×10%，解得x=10．即D类书有10本．故答案为：10本．【点评】此题考查条形统计图，关键是读懂统计图，会分析数据进行解答问题．13．写出一个图象位于二、四象限的反比例函数的表达式，y= 答案不唯一，如y=﹣x等．【考点】正比例函数的性质．【专题】开放型．【分析】根据正比例函数的系数与图象所过象限的关系，易得答案．【解答】解：根据正比例函数的性质，其图象位于第二、四象限，则其系数k＜0；故只要给出k小于0的正比例函数即可；答案不唯一，如y=﹣x等．【点评】解题关键是掌握正比例函数的图象特点．14．如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E．当SR=BC时，则DE= h ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据AD⊥BC，SR⊥AD可得出SR∥BC，故△ASR∽△ABC，再由相似三角形的性质可得出AE 的长，进而可得出结论．【解答】解：∵AD⊥BC，SR⊥AD，SR=BC，AD=h，∴SR∥BC，∴△ASR∽△ABC，∴=，即=，解得AE=h，∴DE=AD﹣AE=h﹣h=h．故答案为： h．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形对应高的比等于相似比是解答此题的关键．三、解答题（本大题共6个小题，共54分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（1）计算：（2）解方程：．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解分式方程；特殊角的三角函数值．【专题】实数；分式方程及应用．【分析】（1）原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用二次根式性质化简，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式=4﹣3+1﹣2×=4﹣3+1﹣2=0；（2）原方程可化为： =+，去分母得：1=3x﹣1+43x﹣1=﹣3，解得：x=﹣，经检验x=﹣是原方程的解．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．先化简，后求值：，其中x=﹣．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=+•=+•=+=，当x=﹣时原式==﹣=﹣．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．过原点的直线交反比例函数y=图象于A、B两点，BD⊥x轴于点D，AE⊥y轴于点E．问：（1）直线AB与直线ED的位置关系是什么？并说明理由．（2）四边形ABDE的面积等于多少？【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）根据题意得出A、B关于原点对称，得出AE=OD，AE∥OD，从而证得四边形OAED是平行四边形，即可证得AB∥ED．（2）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得．【解答】解：（1）AB∥ED；理由如下：∵过原点的直线交反比例函数y=图象于A、B两点，∴A、B关于原点对称，∴AE=OD，∵AE⊥y轴于点E．∴AE∥x轴，∴AE∥OD，∴四边形OAED是平行四边形，∴AB∥ED．（2）∵四边形OAED是平行四边形，∴S△AOE=S△EOD，根据反比例函数系数k的几何意义：S△AOE=S△BOD=×12=6，∴四边形ABDE的面积=3×6=18．【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质以及反比例函数系数k的几何意义．18．某市今年的信息技术结业考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容．规定：每位考生先在三个笔试题（题签分别用代码B1、B2、B3表示）中抽取一个，再在三个上机题（题签分别用代码J1、J2、J3表示）中抽取一个进行考试．小亮在看不到题签的情况下，分别从笔试题和上机题中随机地抽取一个题签．（1）用树状图或列表法表示出所有可能的结果；（2）求小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标（例如“B1”的下标为“1”）为一个奇数一个偶数的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）中的树状图可求得小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标（例如“B1”的下标为“1”）为一个奇数一个偶数的情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图：则共有9种等可能的结果；（2）∵由树状图或表可知，所有可能的结果共有9种，其中笔试题和上机题的题签代码下标为一奇一偶的有4种，∴题签代码下标为一奇一偶的概率是．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=8m．（1）求∠CAE的度数；（2）求这棵大树折断前的高度？（结果精确到个位，参考数据： =1.4， =1.7， =2.4）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】（1）延长BA交EF于点G．根据三角形内角和定理求出∠CAE的度数；（2）过点A作AE⊥CD，根据余弦和正弦的概念分别求出DH和AH的长，根据等腰直角三角形的性质计算即可．【解答】解：（1）延长BA交EF于点G．在Rt△AGE中，∠E=23°，∴∠GAE=67°，又∵∠BAC=38°，∴∠CAE=180°﹣67°﹣38°=75°．（2）过点A作AE⊥CD，垂足为H．在△ADH中，∠ADC=60°，AD=8，cos∠ADC=，∴DH=4，sin∠ADC=，∴．在Rt△ACH中，∠C=180°﹣75°﹣60°=45°，∴，．∴（米）．答：这棵大树折断前高约20米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确标注坡角、倾斜角、灵活运用锐角三角函数的概念是解题的关键，注意特殊角的三角函数值的应用．20．在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，∠PMQ是直角，且直角顶点M是BC边的中点，MN⊥BC交AC 于点N．PM边上动点P从点B出发沿射线BA以每秒2cm的速度运动，同时，MQ边上动点Q从点N 出发沿射线NC运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）求证：△PBM∽△QNM；（2）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，并说明理由．（3）若∠ABC=60°，BC=8cm．①求动点Q的运动速度；②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；【考点】相似形综合题．【专题】综合题；图形的相似．【分析】（1）根据MQ垂直于MP，MN垂直于BC，利用等式的性质得到一对角相等，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；（2）PQ2=BP2+CQ2，理由如下：如图1，延长QM至D，使MD=MQ，连结BD、PD，利用SAS得到三角形BDM与三角形CQM全等，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等得到一对内错角相等，进而确定出BD与CQ平行且相等，利用两直线平行同旁内角互补，得到∠PBD为直角，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可得证；（3）由M为BC中点，求出CM的长，在直角三角形MNC中，利用锐角三角函数定义求出MN的长，①设Q点的运动速度为vcm/s，如图1，当0≤t＜2时，由（1）知△PBM∽△QNM，由相似得比例求出Q速度，如图2，易知当t≥2时，Q的速度；②由AC﹣NC表示出AN，如图1，当0≤t＜2时，根据AP，AQ，表示出S；如图2，当t≥2时，同理表示出AP，AQ，进而表示出S即可．【解答】（1）证明：如图1，∵MQ⊥MP，MN⊥BC，∴∠PMB+∠PMN=90°，∠QMN+∠PMN=90°，∴∠PMB=QMN，∵∠PBM+∠C=90°，∠QNM+∠C=90°，∴∠PBM=∠QNM，∴△PBM∽△QNM；（2）解：PQ2=BP2+CQ2，理由如下：如图1，延长QM至D，使MD=MQ，连结BD、PD，∵BC、DQ互相平分，∴BM=CM，DM=QM，在△BDM和△CQM中，，∴△BDM≌△CQM（SAS），∴∠CQM=∠BDM，BD=CQ，∴BD∥CQ，∵∠BAC=90°，∴∠PBD=90°，∴PD2=BP2+BD2=BP2+CQ2，∵PM垂直平分DQ，∴PQ=PD，则PQ2=BP2+CQ2；（3）解：∵BC=8c m，M为BC的中点，∴BM=CM=4cm，∵∠ABC=60°，∠C=30°，∴MN=CM=cm；①设Q点的运动速度为vcm/s，如图1，当0≤t＜2cm时，由（1）知△PBM∽△QNM，∴=，即=，∴v=cm/s；如图2，易知当t≥2时，v=cm/s，综上所述，Q点运动速度为cm/s；②∵BC=8cm，AB=4cm，AC=4cm，NC=cm，∴AN=AC﹣NC=4﹣=cm，∴如图1，当0≤t＜2cm时，AP=（4﹣2t）cm，AQ=AN+NQ=（+t）cm，∴S=AP•AQ=（4﹣2t）（+t）=（﹣t2+）cm2；如图2，当t≥2cm时，AP=（2t﹣4）cm，AQ=AN+NQ=（+t）cm，∴S=AP•AQ=（2t﹣4）（+t）=（t2﹣）cm2．【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．一、填空（本大题5个小题，每小题4分，共20分．）21．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＜．【考点】根的判别式．【分析】根据题意一元二次方程有两不相等实根，则有△=b2﹣4ac=16﹣12m＞0，然后解得m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即△=16﹣12m＞0，∴m＜，故答案为：m＜．【点评】本题主要考查了利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．22．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是．【考点】轴对称-最短路线问题．【专题】压轴题；动点型．【分析】首先确定DC′=DE+EC′=DE+CE的值最小．然后根据勾股定理计算．【解答】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=2，∵D是BC边的中点，∴BD=1，根据勾股定理可得DC′==．故答案为：．【点评】此题考查了线路最短的问题，确定动点E何位置时，使EC+ED的值最小是关键．23．如图，已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点C，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1，则AC的长为（保留根号）．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】由于△AOB的面积为1，根据反比例函数的比例系数k的几何意义可知k=2，解由y=x+1与联立起来的方程组，得出A点坐标，又易求点C的坐标，从而利用勾股定理求出AC的长．【解答】解：∵点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1，∴k=2．解方程组，得，．∴A（1，2）；在y=x+1中，令y=0，得x=﹣1．∴C（﹣1，0）．∴AB=2，BC=2，∴AC==2．【点评】本题考查函数图象交点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．24．如图，已知A（2，0）、B（0，5），⊙C的圆心坐标为C（﹣1，0），半径为1，若D是⊙C上一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是5﹣．【考点】一次函数综合题．【分析】△ABE的BE边上高为OA=2，当AD与⊙C相切时，BE最短，此时，△ABE的面积最小，由勾股定理求相切时，AD的长，利用三角形相似求OE，再求BE，由三角形面积公式求面积的最小值．【解答】解：如图，当AD与⊙C相切于D点时，△ABE的面积最小，连接CD，则△ACD为直角三角形，由勾股定理，得AD===2，∵∠CDA=∠EOA=90°，∠CAD=∠EAO，∴△CAD∽△EAO，∴=，即=，解得OE=，BE=OB﹣OE=5﹣，S△ABE=×（5﹣）×2=5﹣．故答案为：5﹣．【点评】本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据动点的变化情况，找出使△ABE的面积最小时，D点的位置，利用相似比求OE．25．用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第2015个图形需12096 根火柴棒．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由图可知：第一个图形用了12根火柴；即12=6×（1+1）；第二个图形用了18根火柴；即18=6（2+1）；…由此得出搭第n个图形需6n+6根火柴．进一步代入求得答案即可．【解答】解：∵搭第1个图形需12根火柴；搭第2个图形需12+6×1=18根；搭第3个图形需12+6×2=24根；…∴搭第n个图形需12+6（n﹣1）=6n+6根；∴搭第2015个图形需2015×6+6=12096根火柴棒．故答案为：12096．【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形的变化规律：后面的图形总比前面的图形多6根火柴棒，由此规律解决问题．二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）26．据我们调查，成都市某家电商场今年一月至六月份销售型号为“JSQ20﹣H”的海尔牌热水器的（2）由于此型号的海尔牌热水器的价格适中，消费者满意度很高，商场计划八月份销售此型号的热水器72台，与上半年平均月销售量相比，七、八月销售此型号的热水器平均每月的增长率是多少？【考点】一元二次方程的应用；算术平均数；中位数；众数．【专题】增长率问题．【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的概念求解；（2）根据增长率问题的公式：6月份生产台数×（1+增长率）n=72，列方程求解．【解答】解：（1），中位数为：，众数为：50；（2）设七、八月份销售量的平均增长率为x，依题意，得：50（1+x）2=72，解得：x1=0.2，x2=﹣（不合题意，舍去）．答：七、八月销售此型号的热水器平均每月的增长率是20%．【点评】考查了一元二次方程的应用及有关统计量的意义，解题的关键是能够了解增长率问题的解法，难度不大．27．如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，过C点作CG∥AD交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）试问：CG是⊙O的切线吗？说明理由；（2）求证：E为OB的中点；（3）若AB=10，求CD的长．【考点】切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由CG∥AD，CF⊥AD，易得CF⊥CG，即可证得CG是⊙O的切线；（2）首先连接BD，易证得△BDE∽△OCE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得E为OB的中点；（3）首先由E为OB的中点，AB=10，求得OE的长，然后由勾股定理求得CE的长，继而求得答案．【解答】（1）解：CG是⊙O的切线．理由：∵CG∥AD，∴∠FCG+∠CFD=180°，∵CF⊥AD，∴∠CFD=90°，∴∠FCG=90°，即OC⊥CG，又∵OC为⊙O的半径，∴CG是⊙O的切线；（2）证明：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠AFO=90°，∴∠ADB=∠AFO，∴CF∥BD，∴△BDE∽△OCE，∴，∵AE⊥CD，且AE过圆心O，∴CE=DE，∴BE=OE，∴点E为OB的中点；（3）解：∵AB=10，∴OC=AB=5，又∵BE=OE，∴OE=，∵AB⊥CD，∴CE=，∴CD=2CE=．【点评】此题考查了切线的性质与判定、勾股定理、垂径定理以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．28．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OB=6，tan∠ABO=，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，若△CEF∽△COD，求t的值；②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题．。

四川省成都市2015届高中毕业班摸底测试数学(文科)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、 已知向量a ＝(5,－3),b ＝(－6,4),则a b +＝A 、(1,1)B 、(－1,－1)C 、(1,－1)D 、(－1,1) 【答案】D【解析】根据向量坐标运算法则,a b +＝(5,－3)＋(－6,4)＝(－1,1),选D 2、 设全集U ＝{1,2,3,4},集合S ＝{1,3},T ＝{4},则()U S T ð等于A 、{2,4}B 、{4}C 、ΦD 、{1,3,4}【答案】A【解析】因为全集U ＝{1,2,3,4},集合S ＝{1,3},故U S ð＝{2,4},于是()U S T ð＝{2,4},选A3、 已知命题:,25xp x R ∀∈=,则p ⌝为A 、,25xx R ∀∉=B 、,25xx R ∀∈≠C 、00,25x x R ∃∈=D 、00,25x x R ∃∈≠【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题,以及否命题的特征,可知选D 4、 计算662log 3log 4+的结果是A 、6log 2B 、2C 、6log 3D 、3【答案】B【解析】666662log 3log 4log 9log 4log 362+=+==,选B5、 已知实数x ,y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则z ＝4x ＋y 的最大值为A 、10B 、8C 、2D 、0 【答案】B【解析】画出可行域,根据图形可知,当目标函数经过A(2,0)点时,z ＝4x ＋y 取得最大值为8 6、 已知,a b 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列说法正确的是A 、若//,a b b α⊂,则//a αB 、若//,a b αα⊂,则//a bC 、若,a b αα⊥⊥,则//a bD 、若,a b b α⊥⊥,则//a α【答案】C【解析】对于A,当//,a b b α⊂时,可能有a α⊂,故A 错误；对于B,//a α时,不能保证a 与α内任意的直线平行,故B 错误； 对于C,垂直于同意平面的两条直线相互平行,故C 正确； 对于D,当,a b b α⊥⊥时,可能有a α⊂,故D 错误7、 PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,一般情况下PM 2.5的浓度越大,大气环境质量越差.右边的茎叶图表示的是成都市区甲乙两个监测站某10日内每天的PM 2.5浓度读数(单位：3/g m μ),则下列说法正确的是A 、这10日内甲、乙监测站读数的极差相等B 、这10日内甲、乙监测站读数的中位数中,乙的较大C 、这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等D 、这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等 【答案】C【解析】甲的极差是98－43＝55,乙的极差是94－37＝57,两者不相等,A 错误； 甲的中位数是73752+＝74,乙的中位数是68,甲的中位数较大,B 错误；乙的众数为68,与中位数相同,C 正确；甲的平均数是(43＋63＋65＋72＋73＋75＋78＋81＋86＋98)×110＝73.4乙的平均数是(37＋58＋61＋65＋68＋68＋71＋77＋82＋94)×110＝68.1,可知D 错误8、 已知函数()cos f x x x ωω+(ω＞0)的图象与直线y ＝－2的两个相邻公共点之间的距离等于π,则()f x 的单调递减区间是 A 、2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦B 、,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎣⎦C 、42,2,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦D 、52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎣⎦【答案】A【解析】因为()cos 2sin()6f x x x x πωωω+=+最小值为－2,可知y ＝－2与f(x)两个相邻公共点之间的距离就是一个周期,于是2T ππω==,即ω＝2,即()2sin(2)6f x x π=+令322,2622x k k πππππ⎡⎤+∈++⎣⎦,k ∈Z,解得x ∈2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦,选A9、 已知双曲线22221y x a b-=(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线与圆22(3)9x y -+=相交于A,B 两点,若|AB|=2,则该双曲线的离心率为A 、8B 、C 、3D 、32【答案】C【解析】双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=,因为圆心为(3,0),半径为3,由|AB|＝2,可知圆心到直线AB 的距离为解得228b a =于是3c a所以,3c e a==,选C10、已知定义在R 上的函数f (x )的周期为4,且当x ∈(－1,3]时,f (x )＝2,(1,1]1cos ,(1,3]2x x x x π⎧∈-⎪⎨+∈⎪⎩,则函数6()()log g x f x x =-的零点个数是A 、4B 、5C 、6【答案】B【解析】由函数的周期为4画出f(x)的草图如图,其中函数y ＝log 6x 递增且经过(6,1)点 函数g(x)的零点,即为y ＝f(x)与y ＝log 6x 的交点 结合图象可知,它们共有5个交点,选B二、填空题：本大题共5个小题,每小题5分,共25分. 11、已知(0,)2πα∈,4cos 5α=,则sin()πα-=_____________.【答案】35【解析】因为α是锐角所以sin(π－α)＝sin α3512、如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是____________【答案】12【解析】该几何体是一个直三棱柱,底面是等腰直角三角形体积为12262V =⨯⨯⨯＝1213、当1x >时,函数11y x x =+-的最小值是_______________.【答案】3【解析】因为1x >,11(1)11311y x x x x =+=-++≥=--,当且仅当111x x -=-,且x ＞1,即x ＝2时等号成立,故函数y 的最小值为314、运行如图所示的程序框图,则输出的运算结果是_____________【答案】45【解析】因为211(1)i i i i =++第一次进入循环,运算后S ＝12,i ＝1＜4第二次进入循环,运算后S ＝111223+⨯⨯,i ＝2＜4第三次进入循环,运算后S ＝111122334++⨯⨯⨯,i ＝3＜4第四次进入循环,运算后S ＝111112233445+++⨯⨯⨯⨯,i ＝4≥4跳出循环输出S ＝11111411223344555+++=-=⨯⨯⨯⨯15、已知x y a =(a ＞0且a ≠1)是定义在R 上的单调递减函数,记a 的所有可能取值构成集合A ；P (x ,y )是椭圆221169y x +=上一动点,111(,)P x y 与点P 关于直线y ＝x ＋1对称,记114y -的所有可能取值构成集合B ,若随机的从集合A ,B 中分别抽出一个元素12,λλ,则12λλ>的概率是___________【答案】34【解析】由x y a =(a ＞0且a ≠1)是定义在R 上的单调递减函数,知A ＝(0,1)对于椭圆221169y x +=,由于原点关于y ＝x ＋1的对称点为(－1,1) 所以,椭圆关于y ＝x ＋1的对称椭圆为22(1)(1)1169y x -++=,111(,)P x y 在改椭圆上,可知y 1－1∈[－4,4] 于是114y -∈[－1,1],即B ＝[－1,1]【方法一】由12,A B λλ∈∈,分别以12,λλ为横坐标和纵坐标, 可知点(12,λλ)构成一个面积为2的矩形 其中满足12λλ>的是图中阴影部分,面积为32所以,满足12λλ>的概率是34【方法二】当12,[1,0]A λλ∈∈-时,此事件发生的概率为12,此时必有12λλ>当12,(0,1]A λλ∈∈时,此事件发生的概率为12,此时12λλ>与12λλ≤概率相等,各占12,于是此时满足12λλ>的概率为14以上两事件互斥,且[－1,0]与(0,1]的区间长度相等,故满足12λλ>的概率为311244+=三、解答题：本大题共6个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16、(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且*273,49,a S n N ==∈ (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1(1)2n n n a b n -+⋅=,求数列{}n b 的前n 项和T n .【答案】(1)21n a n =-;(2)122n n T +=-1【解析】(1)设公差为d ,则113767492a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ……3分解得：{112a d == ∴*1(1)21()n a a n d n n N =+-=-∈所以数列{}n a 的通项公式为*21()n a n n N =-∈;……6分 (2)由(1)得11(1)2(211)22n n n n n a n b n n --+⋅-+⋅===……9分 ∴11*(1)2(12)22()112n n n n b q T n N q +--===-∈--……12分17、(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知向量(,)m a b c a =--,(,)n a b c =+,且0m n ⋅=(1)求角B 的大小；(2)求函数()sin()6f x A π=+的值域.【答案】(1)3B π=；(2)1(,1]2【解析】(1)由0m n ⋅=,得222a c b ac +=+根据余弦定理,有2221cos 22a cb B ac +-== ……4分 又因为(0,)2B π∈,所以3B π=；……6分(2)由(1)得2(0,)33A C πππ=--∈∴5(,)666A πππ+∈……8分∴1sin()(,1]62A π+∈∴函数()sin()6f x A π=+的值域为1(,1]2……12分18、(本小题满分12分)某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况,对该地区内所有高二学生采用随机抽样的方法,得到一个容量为200的样本.统计数据如下：(1)已知该地区共有高二学生42500名,根据该样本估计总体,其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？(2)在A ,B ,C ,D ,E ,F 六名学生中,仅有A ,B 两名学生认为作业多.如果从这六名学生中随机抽取两名,求至少有一名学生认为作业多的概率. 【答案】(1)7650名；(2)35【解析】(1)36425007650200⨯=(名)……5分(2)【方法一】从这六名学生中随机抽取两名的基本事件有：{A ,B },{A ,C },{A ,D },{A ,E },{A ,F },{B ,C },{B ,D },{B ,E },{B ,F },{C ,D },{C ,E },{C ,F },{D ,E },{D ,F },{E ,F }共15个 ……7分其中至少有一个学生认为作业多的事件有{A ,B },{A ,C },{A ,D },{A ,E },{A ,F },{B ,C },{B ,D },{B ,E },{B ,F }共9个 ……9分 ∴93155P ==即至少有一名学生认为作业多的概率为35.……12分 【方法二】6名学生中随机抽取2名的选法有2615C =种, ……7分 其中至少有一名学生认为作业多的选法有112242C C C +＝9种,……9分∴93155P ==即至少有一名学生认为作业多的概率为35.……12分 【方法三】6名学生中随机抽取2名的选法有2615C =种, ……7分 其中没有人认为作业多的选法有246C =种……9分∴693115155P =-==即至少有一名学生认为作业多的概率为35.……12分19、(本小题满分12分)如图,已知O 的直径AB ＝3,点C 为O 上异于A ,B 的一点,VC ⊥平面ABC ,且VC ＝2,点M 为线段VB 的中点. (1)求证：BC ⊥平面VAC ；(2)若AC ＝1,求直线AM 与平面V AC 所成角的大小.【答案】(1)略；(2)4π【解析】(1)∵VC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ∴VC BC ⊥……2分 ∵点C 为O 上一点,且AB 为直径 ∴AC BC ⊥……4分又,VC AC ⊂平面VAC ,VC AC C =∴BC ⊥平面VAC ； ……6分 (2)如图,取VC 的中点N,连接MN,AN,则MN ∥BC 由(1)得,BC ⊥平面V AC ∴MN ⊥平面V AC∴∠MAN 为直线AM 与平面V AC 所成的角 ……9分∵12MN BC ===A N∴tan 1MAN ∠= ∴4MAN π∠=∴直线AM 与平面V AC 所成角的大小为4π……12分20、(本小题满分13分)已知椭圆Γ：22221yx a b+=(a ＞b ＞0)经过)两点.(1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线:l y kx m =+与椭圆Γ交于不同两点A ,B ,点G 是线段AB 中点,点O 是坐标原点,设射线OG 交Γ于点Q ,且2OQ OG =. ①证明：22441m k =+ ②求△AOB 的面积.【答案】(1)2214x y +=；【解析】(1)由题意,得222411314a ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得21a b =⎧⎨=⎩∴轨迹Γ的方程为2214x y +=；……5分(2)①令1122(,),(,)A x y B x y 由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=……6分∴2221222122(8)4(14)(44)08144414km k m km x x k m x x k ⎧⎪=-+->⎪⎪-+=⎨+⎪-⎪=⎪⎩+△,即221222122148144414m k km x x k m x x k ⎧⎪<+⎪⎪-+=⎨+⎪-⎪=⎪⎩+……(1) ∴121222(8)2()221414k km m y y k x x m m k k -+=++=+=++ 又由中点坐标公式,得224(,)1414km m G k k-++ 将2282(,)1414kmm Q k k -++代入椭圆方程,有22222221641(14)(14)k m m k k +=++ 化简得：22414m k =+……(2) ……9分②由(1)(2)得0m ≠且12||x x -(3)在△AOB 中,121||||2AOB S m x x =-△ (4)……12分∴由(2)(3)(4)可得AOB S △∴△AOB……13分21、(本小题满分14分)已知函数21()ln 3f x ax bx x =--,其中a ,b ∈R(1)当a ＝3,b ＝－1时,求函数f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为2x －3y －e ＝0(e ＝2.71828…为自然对数的底数),求a,b 的值；(3)当a ＞0,且a 为常数时,若函数h (x )＝x [f (x )＋lnx]对任意的x 1＞x 2≥4,总有1212()()1h x h x x x ->--成立,试用a 表示出b 的取值范围.【答案】(1)3ln 24+；(2)11,a b e e==-；(3)1016a <<时,(b ∈-∞,116a ≥时,1(,2]8b a ∈-∞+【解析】(1)当a ＝3,b ＝－1时,2()ln ,(0,)f x x x x x =+-∈+∞∴1(21)(1)'()21x x f x x x x -+=+-=∵x ＞0,∴0＜x ＜12时f '(x)＜0,x ＞12时,f '(x)＞0即()f x 在1(0,)2上单调递减,在1(,)2+∞上单调递增∴()f x 在12x =处取得最小值即[]min 13()()ln 224f x f ==+……4分(2)∵21'()3f x ax b x =--∴212'()33f e ae b e =--= (1)又切点(e,f(e))在直线2x －3y －e ＝0上 ∴切点为(,)3e e∴21()133ef e ae be =--=……(2) 联立(1)(2),解得11,a b e e==-.……8分(3)由题意,对任意的x 1＞x 2≥4,总有112212[()][()]0h x x h x x x x +-+>-成立令321()(),[4,)3p x h x x ax bx x x =+=-+∈+∞则函数p(x)在[4,)x ∈+∞上单调递增∴2'()210p x ax bx =-+≥在[4,)x ∈+∞上恒成立∴2112ax b ax x x+≤=+在[4,)x ∈+∞上恒成立 ……10分构造函数1()(0),(0,)F x ax a x x=+>∈+∞则22211'()ax F x a x x-=-=∴F (x )在(0,上单调递减,在,)+∞上单调递增(i )4>,即1016a <<时,F (x )在[4,上单调递减,在,)+∞上单调递增∴[]min ()F x F ==∴[]min 2()b F x ≤,从而(b ∈-∞……12分(ii )4,即116a ≥时,F (x )在(4,＋∞)上单调递增12(4)44b F a ≤=+,从而1(,2]8b a ∈-∞+……13分综上,当1016a <<时,(,b ∈-∞,116a ≥时,1(,2]8b a ∈-∞+……14分。

四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}，则∁U A=（）A．（一∞，﹣1）∪（2，+∞） B．[﹣l，2]C．（一∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（一1，2）2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c3．双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．4．已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（）A．一B．C．﹣D．5．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l6．已知x与y之间的一组数据：x1234y m 3.2 4.87.5若y关于x的线性回归方程为=2.1x﹣1.25，则m的值为（）A．l B．0.85 C．0.7 D．0.57．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），且当x∈[0，）时，f（x）=一x3．则f（）=（）A．﹣B．C．﹣D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（）A．B．C．5 D．39．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（，0）10．在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③11．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣312．已知曲线C1：y2=tx （y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+l﹣1也相切，则t的值为（）A．4e2B．4e C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z=（i为虚数单位）的虚部为．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为．15．若实数x，y满足约束条件，则3x﹣y的最大值为．16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某省高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．18．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．20．已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．（I）若直线l1的倾斜角为，|AB|的值；（Ⅱ）设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l．21．已知函数f（x）=xlnx+（l﹣k）x+k，k∈R．（I）当k=l时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，求使不等式f（x）＞0恒成立的最大整数k的值．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}，则∁U A=（）A．（一∞，﹣1）∪（2，+∞） B．[﹣l，2]C．（一∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（一1，2）【考点】补集及其运算．【分析】解不等式求出集合A，根据补集的定义写出∁U A．【解答】解：集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}={x|﹣1＜x＜2}，则∁U A={x|x≤﹣1或x≥2}=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．故选：C．2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c【考点】四种命题．【分析】根据命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，写出即可．【解答】解：命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是“若a+c＞b+c，则a＞b”．故选：C．3．双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可．【解答】解：因为双曲线，所以a=，b=2，所以c=3，所以双曲线的离心率为：e==．故选B．4．已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（）A．一B．C．﹣D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据α为锐角，且sinα=，可得cosα=，利用诱导公式化简cos（π+α）=﹣cosα可得答案．【解答】解：∵α为锐角，sinα=，∴cosα=，那么cos（π+α）=﹣cosα=﹣．故选A．5．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的结果为0，得出输入的x．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，x≤0，y=﹣x2+1=0，∴x=﹣1，x＞0，y=3x+2=0，无解，故选：C．6．已知x与y之间的一组数据：x1234y m 3.2 4.87.5若y关于x的线性回归方程为=2.1x﹣1.25，则m的值为（）A．l B．0.85 C．0.7 D．0.5【考点】线性回归方程．【分析】根据回归直线经过样本数据中心点，求出y的平均数，进而可求出m 值．【解答】解：∵=2.5，=2.1x﹣1.25，∴=4，∴m+3.2+4.8+7.5=16，解得m=0.5，故选：D．7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），且当x∈[0，）时，f（x）=一x3．则f（）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性和条件求出函数是周期为3的周期函数，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化即可得到结论．【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），∴函数f（x）是周期为3的函数，∵当x∈[0，）时，f（x）=﹣x3，∴f（）=f（﹣6）=f（﹣）=﹣f（）=，故选：B．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（）A．B．C．5 D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面是边长为3的正方形，高PA=4．可得最长的棱长为PC．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面是边长为3的正方形，高PA=4．连接AC，则最长的棱长为PC===．故选：B．9．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（，0）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得g（x）图象的一个对称中心．【解答】解：将函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+sin2x）=2sin（2x+）图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）=2sin2x的图象，令2x=kπ，求得x=，k∈Z，令k=1，可得g（x）图象的一个对称中心为（，0），故选：D．10．在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】棱柱的结构特征．【分析】在①中，由AA1EH GF，知四边形EFGH是平行四边形；在②中，平面α与平面BCC1B1平行或相交；在③中，EH⊥平面BCEF，从而平面α⊥平面BCFE．【解答】解：如图，∵在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．∴AA1EH GF，∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确；∵EF与BC不一定平行，∴平面α与平面BCC1B1平行或相交，故②错误；∵AA1EH GF，且AA1⊥平面BCEF，∴EH⊥平面BCEF，∵EH⊂平面α，∴平面α⊥平面BCFE，故③正确．故选：C．11．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，得到与的夹角为，再根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可．【解答】解：A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，∴与的夹角为，∴•=||•||•cos=2×2×=2，∵M是线段AB的中点，∴=（+），∵=﹣，∴•=（+）•（﹣）=（5||2+3••﹣2||2）=（20+6﹣8）=3，故选：A12．已知曲线C1：y2=tx （y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+l﹣1也相切，则t的值为（）A．4e2B．4e C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=的导数，求出斜率，由点斜式方程可得切线的方程，设切点为（m，n），求出y=e x+1﹣1的导数，可得切线的斜率，得到t的方程，解方程可得．【解答】解：曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0），即有y=，y′=•，在点M（，2）处的切线斜率为•=，可得切线方程为y﹣2=（x﹣），即y=x+1，设切点为（m，n），则曲线C2：y=e x+1﹣1，y′=e x+1，e m+1=，∴m=ln﹣1，n=m•﹣1，n=e m+1﹣1，可得（ln﹣1）•﹣1=e﹣1，即有（ln﹣1）•=，可得=e2，即有t=4e2．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z=（i为虚数单位）的虚部为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：z==i+1的虚部为1．故答案为：1．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为8．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】根据祖暅原理，可得图1的面积=矩形的面积，即可得出结论．【解答】解：根据祖暅原理，可得图1的面积为4×2=8．故答案为8．15．若实数x，y满足约束条件，则3x﹣y的最大值为6．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x可得结论．【解答】解：作出约束条件，所对应的可行域如图，变形目标函数可得y=3x﹣z，平移直线y=3x可知当直线经过点A（2，0）时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得z=3x﹣y的最大值为6，故答案为：616．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求sin∠ACB=，从而可求∠ACB=，在△ABC中，由余弦定理可得AB，进而可求∠B，在△BCD中，由正弦定理可得CD的值．【解答】解：∵AC=，BC=，△ABC的面积为=AC•BC•sin∠ACB=sin∠ACB，∴sin∠ACB=，∴∠ACB=，或，∵若∠ACB=，∠BDC=＜∠BAC，可得：∠BAC+∠ACB＞+＞π，与三角形内角和定理矛盾，∴∠ACB=，∴在△ABC中，由余弦定理可得：AB===，∴∠B=，∴在△BCD中，由正弦定理可得：CD===．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某省高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出x=0.004，从而得到甲学校的合格率，由此能求出结果．（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，由此利用列举法能求出随机抽取2名学生，抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意知10x+0.012×10+0.056×10+0.018×10+0.010×10=1，解得x=0.004，∴甲学校的合格率为1﹣10×0.004=0.96，而乙学校的合格率为：1﹣=0.96，故甲乙两校的合格率相同．（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，则随机抽取2名学生的基本事件有：{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共15个，其中“抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D”包含的基本事件有9个，∴抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率p=．18．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，a4=8a1，可得=8a1，解得q．又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）=a1+a3，当然解得a1，利用等比数列的通项公式即可得出．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，可得S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4），再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a4=8a1，∴=8a1，a1≠0，解得q=2．又a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1（1+22），解得a1=2．∴a n=2n．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，∴S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．∴数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4）=2+22+23+…+2n﹣4（n﹣1）=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．∴S n=．19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．【考点】球的体积和表面积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出PD⊥平面PEF，RG∥PD，由此能证明GR⊥平面PEF．（Ⅱ）设三棱锥P﹣DEF的内切球半径为r，由三棱锥的体积V=，能求出棱锥P﹣DEF的内切球的半径．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均为直角，∴在三棱锥P﹣DEF中，PE，PF，PD三条线段两两垂直，∴PD ⊥平面PEF ， ∵=，即，∴在△PDH 中，RG ∥PD ，∴GR ⊥平面PEF ．解：（Ⅱ）正方形ABCD 边长为4， 由题意PE=PF=2，PD=4，EF=2，DF=2，∴S △PDF =2，S △DEF =S △DPE =4，=6，设三棱锥P ﹣DEF 的内切球半径为r ， 则三棱锥的体积：=，解得r=，∴三棱锥P ﹣DEF 的内切球的半径为．20．已知椭圆的右焦点为F ，设直线l ：x=5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点． （I ）若直线l 1的倾斜角为，|AB |的值；（Ⅱ）设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l ．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（I ）设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|AB |的值；（Ⅱ）设直线l 1的方程为y=k （x ﹣1），代入椭圆方程，由A ，M ，N 三点共线，求得N点坐标，y0﹣y2=﹣y2=﹣k（x2﹣1），代入，利用韦达定理即可求得y0=y2，则直线BN⊥l．【解答】解：（I）由题意可知：椭圆，a=，b=2，c=1，则F（1，0），E（5，0），M（3，0），由直线l1的倾斜角为，则k=1，直线l的方程y=x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：9x2﹣10x﹣15=0，则x1+x2=，x1x2=﹣，则丨AB丨=•=，|AB|的值；（Ⅱ）设直线l1的方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20=0，则x1+x2=，x1x2=，设N（5，y0），由A，M，N三点共线，有=，则y0=，由y0﹣y2=﹣y2=﹣k（x2﹣1）=，==0，∴直线BN∥x轴，∴BN⊥l．21．已知函数f（x）=xlnx+（l﹣k）x+k，k∈R．（I）当k=l时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，求使不等式f（x）＞0恒成立的最大整数k的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当k=1时，f（x）=xlnx+1，f′（x）=lnx+1，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．（Ⅱ）由f（x）＞0恒成立，得xlnx+（1﹣k）x+k＞0，推导出k＜恒成立，设g（x）=，则g′（x）=，令μ（x）=﹣lnx+x﹣2，则，由此利用导数秘技能求出k的最大整数值．【解答】解：（Ⅰ）当k=1时，f（x）=xlnx+1，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x）＞0，得x＞；由f′（x）＜0，得0＜x＜，∴f（x）的单调递增区间为（，+∞），单调减区间为（0，）．（Ⅱ）由f（x）＞0恒成立，得xlnx+（1﹣k）x+k＞0，∴（x﹣1）k＜xlnx+x，∵x＞1，∴k＜恒成立，设g（x）=，则g′（x）=，令μ（x）=﹣lnx+x﹣2，则，∵x＞0，∴μ′（x）＞0，μ（x）在（1，+∞）上单调递增，而μ（3）=1﹣ln3＜0，μ（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4），使μ（x0）=0，即x0﹣2=lnx0，∴当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，g′（x0）＞0，此时函数g（x）单调递增，∴g（x）在x=x0处有极小值（也是最小值），∴==x0∈（3，4），又由k＜g（x）恒成立，即k＜g（x）min=x0，∴k的最大整数值为3．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）求出点M的直角坐标为（0，1），从而直线l的倾斜角为，由此能求出直线l的参数方程，代入x2=4y，得，由此利用韦达定理和两点间距离公式能求出|PQ|．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．∴直线l的普通方程为y=tanα•（x﹣1），由曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0，得ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，∴x2﹣4y=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y．（Ⅱ）∵点M的极坐标为（1，），∴点M的直角坐标为（0，1），∴tanα=﹣1，直线l的倾斜角为，∴直线l的参数方程为，代入x2=4y，得，设A，B两点对应的参数为t1，t2，∵Q为线段AB的中点，∴点Q对应的参数值为，又P（1，0），则|PQ|=||=3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据题意，由绝对值的性质可以将f（x）≤6转化可得或，解可得x的范围，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；进而可得正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，将2a+b变形可得2a+b=（++5），由基本不等式的性质可得2a+b的最小值，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．若f（x）≤6，则有或，解可得﹣1≤x≤4，故原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤4}；（Ⅱ）函数f（x）=x+1+|3﹣x|=，分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；则正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，2a+b=（+）（2a+b）=（++5）≥（5+2）=；即2a+b的最小值为．4月5日。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（文科）（四川卷）第I 卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1. 设集合A ＝{x|－1＜x ＜2}，集合B ＝{x|1＜x ＜3}，则A ∪B ＝ A. {x|－1＜x ＜3}B. {x|－1＜x ＜1}C. {x|1＜x ＜2}D. {x|2＜x ＜3}2. 设向量a ＝（2,4）与向量b ＝（x,6）共线，则实数x ＝A. 2B. 3C. 4D. 63. 某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽 样方法是A. 抽签法B. 系统抽样法C. 分层抽样法D. 随机数法 4. 设a,b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 5. 下列函数中，最小正周期为π的奇函数是 A. y ＝sin （2x ＋2π） B . y ＝cos （2x ＋2π） C. y ＝sin2x ＋cos2x D. y ＝sinx ＋cosx 6. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为A.－2B.2C. －12D.127. 过双曲线2213yx-=的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝A.C. 68. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e ＝2.718…为自然对数的底数，k,b为常数）。

若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是A. 16小时B. 20小时C. 24小时D. 28小时9. 设实数x,y满足2102146x yx yx y+≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy的最大值为A. 252B.492C. 12D. 1410. 设直线l与抛物线y2＝4x相交于A,B两点，与圆（x－5）2＋y2＝r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是A. （1,3）B. （1,4）C. （2,3）D. （2,4）第II 卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

一诊复习试题（一）一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合{}0232=+-=x x x A ，{}log 42x B x ==，则A B ⋂=（ ）A ．{}2,1,2-B ．{}2,1C ．{}2,2-D ．{}2 2．已知R a ∈，则“3=a ”是“复数i a z +-=32为纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，函数)(x f y =的图像在点P （5，)5(f ）处的切线方程为8+-=x y ，则(5)(5)f f '+=（ ）A ．21B ．1C ．2D ．04．设函数⎩⎨⎧<≥=0),(0,)(x x g x x x f ，若函数)(x f 是奇函数，则)4(-g 的值是（ ）A ．2-，B ．21-C ．41- D ．2 5．已知向量)4,3(-=OA ，)3,6(-=OB ，)1,(+=m m OC ，若AB ∥OC ，则实数m 的值为（ ） A ．23-B ．41- C ．21 D ．236．某圆柱被一平面所截得到的几何体如图所示，若该几何的正视 图是等腰直角三角形，俯视图是圆，则它的侧视图是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数))(42sin()42sin(2)(R x x x x f ∈+⋅-=ππ，下面结论错误的是（ ） A ．函数)(x f 的最小正周期为π2 B ．函数)(x f 在区间[0,]2π上是增函数C ．函数)(x f 的图像关于直线0=x 对称D ．函数)(x f 是奇函数8．圆C ：822=+y x 上有两个相异的点到直线5-=x y 的距离都为d ，则d 的取值范围是（ ）A ．)29,21(B ．19[,]22C ．)229,22(D ．9．（理科做．．．）直线l与双曲线C：)0,0(12222>>=-babyax交于A、B两点，M是线段AB 的中点，若l与OM（O为坐标原点）的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为（）A．2 B．2C．3 D．3（文．科做．．）若a、b表示不同的直线，α、β表示两个不同的平面，给出如下四个命题：①“a、b不相交”是直线a、b是异面直线“的必要不充分条件”；②“α⊥a”的充要条件是“直线a垂直于平面α内的无数条直线”；③“a∥α”的充分不必要条件是“a 上存在两点到平面α的距离相等”；④“α∥β”的必要不充分条件是“存在aα⊂，bα⊂且a∥β，b∥β”．其中真命题是（）A．①B．③④C．②D．①②10．给出四幅图像，则函数21()ln2f x x x=-的部分图像大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

成都市2015届高三毕业班第一次诊断性考试试题【各学科带答案】②＠①⑤届成都一诊成都市2015届高中毕业班第一次诊断性检测语文第I卷（单项选择题，共27分）一、(12分，每小题3分)1．下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一项是A．招募．／蓦．然轧．钢／倾轧．星辰．／妊娠．应．许／应．接不暇B．粗犷．／旷．野经纶．／纶．巾隽．永／镌．刻接种．／刀耕火种．C．颓圮．／枸杞．勉强．／强．求刍．议／胡诌．畜．牧／六畜．兴旺D．舷．梯／弦．歌复辟．／辟．谣寺．庙／仗恃．解．数／解．甲归田2．下列词语中，没有错别字的一项是A．临摹忙不迭事必躬亲立椎之地B．频律并蒂莲见风使舵德高望重C．禀赋众生相寥若晨星相辅相成D．惊诧一遛烟文过饰非剑拔弩张3．下列各句中，加点词语使用恰当的一项是A．尽管．．时代多么浮躁，社会总是需要沉潜下去努力拼搏的人，也总会认可他们凭真才实学和不懈努力而取得的成功。

B．每天坚持慢跑十分钟，可以有效缓解因紧张学习而产生的神志．．恍惚的症状，能让我们以更好的状态备战高考。

C．七夕本足我国古代女子的“乞巧节”，但不知曾几何时．．．．，它竞变成了谈情说爱的节日，被称为了“中国情人节”。

D．羊肉汤锅是成都人冬季暖身补气的首选佳肴，冬至前后，小关庙等地的羊肉汤馆人满为患．．．．，洋溢着温馨热闹的气氛. 4．下列各句中，没有语病的一项是A首届世界互联网大会不仅是盛况空前的世界互联网领域的一次高峰会议，也是我国信息技术产业界规模最大、层次最高的盛会。

B近年来，部分中国游客在海外不讲卫生、乱涂乱画的不文明举止，遭到了当地人的批评指责，落下了素质低下、缺乏教养的坏名声。

C这款高清机顶盒采用了最新技术，具有收看电视、点播视频、高速上网、可视通话和运行稳定等功能，深受消费者喜爱。

D我省将建立和完善学生体质健康监测与评价的科学体系，规范记录每名学生的体质健康测试成绩，并将之作为升学的重要依据。

二、（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成5-7题。

2015年四川省成都市邛崃市中考数学一诊试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．2 B．﹣2 C．D．2．（3分）2014年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出：2013年全国城镇新增就业人数约13100000人，创历史新高，将数字13100000用科学记数法表示为（）A．13.1×106B．1.31×107C．1.31×108D．0.131×1083．（3分）由5个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠25．（3分）下列计算正确的是（）A．a+3a=4a2B．a4•a4=2a4C．（a2）3=a5D．（﹣a）3÷（﹣a）=a2 6．（3分）为了解某小区家庭使用垃圾袋的情况，小亮随机调查了该小区10户家庭一周垃圾袋的使用量，结果如下：7，9，11，8，7，14，10，8，9，7（单位：个），关于这组数据下列结论正确的是（）A．极差是6 B．众数是7 C．中位数是8 D．平均数是107．（3分）用扇形统计图反应地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是108°，当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.58．（3分）如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=40°，则∠EOD等于（）A．10°B．20°C．40°D．80°9．（3分）如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD=6，则菱形ABCD的面积是（）A．6 B．12 C．24 D．4810．（3分）某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为（）A．x（x﹣10）=200 B．2x+2（x﹣10）=200 C．2x+2（x+10）=200 D．x（x+10）=200二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）11．（4分）不等式x+3＜﹣1的解集是．12．（4分）如图，添加一个条件：，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）13．（4分）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是．14．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC=2，BC=1，那么cos ∠ABD的值是．三、解答题（本大题共6个小题，共54分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）（1）计算：+||﹣（π﹣3）0+3tan30°=（2）解不等式组：．并写出该不等式组的最大整数解．16．（6分）先化简，再求值：÷（﹣x﹣2），其中x为﹣1≤x≤3的整数．17．（8分）如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶至达C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向．求该军舰行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值）18．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知A（2，0），B（0，1），点C（﹣2，m）在直线AB上，反比例函数y=的图象经过点C．（1）求一次函数及反比例函数的解析式；（2）结合图象直接写出：当x＜0时，不等式的解集．19．（10分）在一副扑克牌中，拿出红桃2、红桃3、红桃4、红桃5四张牌，洗匀后，小明从中随机摸出一张，记下牌面上的数字为x，然后放回并洗匀，再由小华随机摸出一张，记下牌面上的数字为y，组成一对数（x，y）．（1）用列表法或树形图表示出（x，y）的所用可能出现的结果；（2）求小明、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是方程x+y=5的解的概率．20．（10分）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．易证：CE=CF．（1）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°．试猜想GE，BE，GD三线段之间的数量关系，并证明你的结论．（2）运用（1）中解答所积累的经验和知识，完成下面两题：①如图2，在四边形ABCD中∠B=∠D=90°，BC=CD，点E，点G分别是AB边，AD边上的动点．若∠BCD=α，∠ECG=β，试探索当α和β满足什么关系时，图1中GE，BE，GD三线段之间的关系仍然成立，并说明理由．②在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A，C分别在y轴、x 轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图3）．设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？若不变，请直接写出结论．一、填空（本大题5个小题，每小题4分，共20分．）21．（4分）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，则代数式的值为．22．（4分）在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=．23．（4分）如图，点A为直线y=﹣x上一点，过A作OA的垂线交双曲线y=（x ＜0）于点B，若OA2﹣AB2=12，则k的值为．24．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB 的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S=5S△BDF，其中正确的结论序号是．△ABC25．（4分）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△A n B n C n 的顶点B n、C n在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a1=；如图2，当n=2时，正三角形的边长a2=；如图3，正三角形的边长a n=（用含n的代数式表示）．二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）26．（8分）某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元．已知绿茶成本50元/千克，在第一个月的试销时间内发现，销量w（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：w=﹣2x+240．（1）设该绿茶的月销售利润为y（元），求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出x为何值时，y的值最大？（销售利润=单价×销售量﹣成本﹣投资）（2）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？27．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．（1）求证：BC=CF；（2）若AD=6，DE=8，求BE的长；（3）求证：AF+2DF=AB．28．（12分）如图，二次函数y=﹣x2+mx+m+的图象与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点D在第一象限．过点D作x轴的垂线，垂足为H．（1）当m=时，求tan∠ADH的值；（2）当60°≤∠ADB≤90°时，求m的变化范围；（3）设△BCD和△ABC的面积分别为S1、S2，且满足S1=S2，求点D到直线BC 的距离．2015年四川省成都市邛崃市中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．2 B．﹣2 C．D．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．【解答】解：﹣2的绝对值是2，即|﹣2|=2．故选：A．2．（3分）2014年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出：2013年全国城镇新增就业人数约13100000人，创历史新高，将数字13100000用科学记数法表示为（）A．13.1×106B．1.31×107C．1.31×108D．0.131×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：13100000=1.31×1073．（3分）由5个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】细心观察图中几何体摆放的位置，根据主视图是从正面看到的图象判定则可．【解答】解：从正面可看到从左往右三列小正方形的个数为：1，1，2．故选：C．4．（3分）函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2【分析】二次根式的被开方数大于等于零．【解答】解：依题意，得2﹣x≥0，解得x≤2．故选：C．5．（3分）下列计算正确的是（）A．a+3a=4a2B．a4•a4=2a4C．（a2）3=a5D．（﹣a）3÷（﹣a）=a2【分析】计算出选项中各个式子的正确结果，即可判断哪个选项是正确的．【解答】解：a+3a=4a，a4•a4=a8 ，（a2）3=a6，（﹣a）3÷（﹣a）=（﹣a）2=a2，故选：D．6．（3分）为了解某小区家庭使用垃圾袋的情况，小亮随机调查了该小区10户家庭一周垃圾袋的使用量，结果如下：7，9，11，8，7，14，10，8，9，7（单位：个），关于这组数据下列结论正确的是（）A．极差是6 B．众数是7 C．中位数是8 D．平均数是10【分析】根据极差、众数、中位数及平均数的定义，依次计算各选项即可作出判断．【解答】解：A．极差=14﹣7=7，结论错误，故A不符合题意；B．众数为7，结论正确，故B符合题意；C．中位数为8.5，结论错误，故C不符合题意；D．平均数是9，结论错误，故D不符合题意；故选：B．7．（3分）用扇形统计图反应地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是108°，当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【分析】根据扇形统计图可以得出“陆地”部分占地球总面积的比例，根据这个比例即可求出落在陆地的概率．【解答】解：∵“陆地”部分对应的圆心角是108°，∴“陆地”部分占地球总面积的比例为：108÷360=，∴宇宙中一块陨石落在地球上，落在陆地的概率是=0.3，故选：B．8．（3分）如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=40°，则∠EOD等于（）A．10°B．20°C．40°D．80°【分析】由垂径定理得出，再由圆周角定理即可得出结果．【解答】解：∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∴，∴∠EOD=2∠DCF=80°；故选：D．9．（3分）如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD=6，则菱形ABCD的面积是（）A．6 B．12 C．24 D．48【分析】由菱形ABCD的周长是20，即可求得AB=5，然后由股定理即可求得OA 的长，继而求得AC的长，则可求得菱形ABCD的面积．【解答】解：∵菱形ABCD的周长是20，∴AB=20÷4=5，AC⊥BD，OB=BD=3，∴OA==4，∴AC=2OA=8，∴菱形ABCD的面积是：AC•BD=×8×6=24．故选：C．10．（3分）某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为（）A．x（x﹣10）=200 B．2x+2（x﹣10）=200 C．2x+2（x+10）=200 D．x（x+10）=200【分析】根据花圃的面积为200列出方程即可．【解答】解：∵花圃的长比宽多10米，花圃的宽为x米，∴长为（x+10）米，∵花圃的面积为200，∴可列方程为x（x+10）=200．故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）11．（4分）不等式x+3＜﹣1的解集是x＜﹣4．【分析】移项、合并同类项即可求解．【解答】解：移项，得：x＜﹣1﹣3，合并同类项，得：x＜﹣4．故答案是：x＜﹣4．12．（4分）如图，添加一个条件：∠ADE=∠ACB，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）【分析】相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．由此可得出可添加的条件．【解答】解：由题意得，∠A=∠A（公共角），则可添加：∠ADE=∠ACB，利用两角法可判定△ADE∽△ACB．故答案可为：∠ADE=∠ACB（答案不唯一）．13．（4分）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是50°．【分析】根据平行线性质由AB∥CD得到∠1=∠BCD=40°，再根据垂直的定义得∠CBD=90°，然后利用三角形内角和定理计算∠2的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠BCD=40°，∵DB⊥BC，∴∠CBD=90°，∴∠2=90°﹣40°=50°．故答案为50°．14．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC=2，BC=1，那么cos∠ABD的值是．【分析】由圆周角定理得出∠ACB=90°，∠ABD=∠ABC，由勾股定理求出AB，因而求sin∠ABD的值的问题，就可以转化为求∠ABC的三角函数的值的问题．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==3，∵CD⊥AB，∴，∴∠ABD=∠ABC，∴cos∠ABD=cos∠ABC==，故答案为：．三、解答题（本大题共6个小题，共54分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）（1）计算：+||﹣（π﹣3）0+3tan30°=3+2（2）解不等式组：．并写出该不等式组的最大整数解．【分析】（1）将=4，||=，（π﹣3）0=1，tan30°=代入到原式，再利用实数的运算法则即可得出结论；（2）解不等式组得出3≤x＜5，从而得出结论．【解答】解：（1）原式=4+﹣1+3×，=4+﹣1+，=3+2．故答案为：3+2．（2）解，得，即3≤x＜5．故该不等式组的最大整数解是4．16．（6分）先化简，再求值：÷（﹣x﹣2），其中x为﹣1≤x≤3的整数．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=÷=•=，∵x为2时，原代数式无意义，∴x=﹣1或0或1或3，当x=﹣1时，原式=﹣．17．（8分）如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶至达C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向．求该军舰行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值）【分析】易得∠A的度数为60°，利用60°正切值可得BC的值．【解答】解：∵CE∥AB，∴∠ECB=90°∴∠A=∠ECA=60°，∴BC=AB×tan60°=500×=500m．答：该军舰行驶的路程为500m．18．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知A（2，0），B（0，1），点C（﹣2，m）在直线AB上，反比例函数y=的图象经过点C．（1）求一次函数及反比例函数的解析式；（2）结合图象直接写出：当x＜0时，不等式的解集．【分析】（1）将A，B的坐标代入一次函数解析式中，求出a，b的值，得出一次函数解析式；把点C的坐标代入一次函数解析式求出m的值，确定出反比例函数式；（2）结合图象可得出当x＜﹣2时，不等式．【解答】解：（1）依题意，得解得∴一次函数的解析式为．∵点C（﹣2，m）在直线AB上，∴，把C（﹣2，2）代入反比例函数y=中，得k=﹣4．∴反比例函数的解析式为．（2）如图，结合图象可知：当x＜0时，不等式的解集为x＜﹣2．19．（10分）在一副扑克牌中，拿出红桃2、红桃3、红桃4、红桃5四张牌，洗匀后，小明从中随机摸出一张，记下牌面上的数字为x，然后放回并洗匀，再由小华随机摸出一张，记下牌面上的数字为y，组成一对数（x，y）．（1）用列表法或树形图表示出（x，y）的所用可能出现的结果；（2）求小明、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是方程x+y=5的解的概率．【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果即可．（2）从数对中找出方程x+y=5的解，然后根据概率公式求出该事件的概率即可解答．【解答】解：（1）出现的情况如下：一共有16种．（2）数对（2，3），（3，2）是方程x+y=5的解，所以P（和等于5）==．20．（10分）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．易证：CE=CF．（1）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°．试猜想GE，BE，GD三线段之间的数量关系，并证明你的结论．（2）运用（1）中解答所积累的经验和知识，完成下面两题：①如图2，在四边形ABCD中∠B=∠D=90°，BC=CD，点E，点G分别是AB边，AD边上的动点．若∠BCD=α，∠ECG=β，试探索当α和β满足什么关系时，图1中GE，BE，GD三线段之间的关系仍然成立，并说明理由．②在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A，C分别在y轴、x 轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图3）．设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？若不变，请直接写出结论．【分析】（1）由SAS证得△EBC≌△FDC，再由SAS证得△ECG≌△FCG，可得到EG=FG，即可得出结果；（2）①延长AD到F点，使DF=BE，连接CF，可证△EBC≌△FDC，结合条件可证得△ECG≌△FCG，故EG=GF，可得出结论；②延长BA交y轴于E点，可证得△OAE≌△OCN，进一步可证得△OME≌△OMN，可求得MN=AM+AE【解答】解：（1）GE=BE+GD，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，F是AD延长线上一点，∴BC=DC，∠FDC=∠EBC=90°，在△EBC和△FDC中，，∴△EBC≌△FDC（SAS），∴∠DCF=∠BCE，CE=CF，∵∠GCE=45°，∴∠BCE+∠DCG=90°﹣45°=45°，∴∠DCG+∠DCF=45°，∴∠ECG=∠FCG，在△ECG和△FCG中，，∴△ECG≌△FCG（SAS），∴EG=GF，∴GE=BE+GD；（2）①α=2β时，GE=BE+GD；理由如下：延长AD到F点，使DF=BE，连接CF，如图（2）所示：∵∠B=∠D=90°，∴∠B=∠FDC=90°，在△EBC和△FDC中，，∴△EBC≌△FDC（SAS），∴∠DCF=∠BCE，CE=CF，∴∠BCE+∠DCG=∠GCF，当α=2β时，∠ECG=∠FCG，在△ECG和△FCG中，，∴△ECG≌△FCG（SAS），∴EG=GF，∴GE=BE+GD；②在旋转正方形OABC的过程中，P值无变化；延长BA交y轴于E点，如图（3）所示：则∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM，∴∠AOE=∠CON．又∵OA=OC，∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN．在△OAE和△OCN中，∴△OAE≌△OCN（ASA）．∴OE=ON，AE=CN．在△OME和△OMN中，．∴△OME≌△OMN（SAS）．∴MN=ME=AM+AE．∴MN=AM+CN，∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．∴在旋转正方形OABC的过程中，P值无变化．一、填空（本大题5个小题，每小题4分，共20分．）21．（4分）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，则代数式的值为4．【分析】先把所求的分式变形得到（m2﹣m）（m﹣+1）=（m2﹣m）•，再根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣m﹣2=0，变形得到m2﹣m=2和m2﹣2=m，然后把它们整体代入所求的代数式中即可得到代数式的值．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，∴m2﹣m﹣2=0，∴m2﹣m=2，m2﹣2=m，∴（m2﹣m）（m﹣+1）=（m2﹣m）•=2×=2×2=4．故答案为4．22．（4分）在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=．【分析】根据∠NMB=∠MBC，延长MN，BC相交于T，得到等腰△TBM，连接点T和MB的中点，得到相似三角形，然后由相似三角形的性质进行计算，求出∠ABM的正切．【解答】解：如图：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则OT⊥BM，∵∠ABM+∠MBT=90°，∠OTB+∠MBT=90°，∴∠ABM=∠OTB，则△BAM∽△TOB，∴=，即=，即MB2=2AM•BT ①令DN=1，CT=MD=K，则：AM=2﹣K，BM=，BT=2+K，代入①中得：4+（2﹣K）2=2（2﹣K）（2+K），解方程得：K1=0（舍去），K2=．∴AM=2﹣=．tan∠ABM===．故答案是：．23．（4分）如图，点A为直线y=﹣x上一点，过A作OA的垂线交双曲线y=（x ＜0）于点B，若OA2﹣AB2=12，则k的值为﹣6．【分析】延长AB交x轴于C点，作AF⊥x轴于F点，BE⊥x轴于E点，由于直线y=﹣x为第二、四象限的角平分线，则△AOB、△BEC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得AC=AO=AF，BC=BE=CE，AF=OC，可得到AB=AC﹣BC=（AF﹣BE），利用OA2﹣AB2=12变形得2AF•BE﹣BE2=6，即BE（2AF ﹣BE）=6，由于OC=2AF，BE=EC，所以BE•OE=6，则得到B点的横纵坐标之积为﹣6，从而得到k的值为﹣6．【解答】解：延长AB交x轴于C点，作AF⊥x轴于F点，BE⊥x轴于E点，如图，∵点A为直线y=﹣x上一点，∴∠AOC=90°，∵AB⊥直线y=﹣x，∴△AOC、△BEC为等腰直角三角形，∴AC=AO=AF，BC=BE=CE，AF=OC，∴AB=AC﹣BC=（AF﹣BE），∵OA2﹣AB2=12，∴（AF）2﹣[（AF﹣BE）]2=12，整理得2AF•BE﹣BE2=6，∴BE（2AF﹣BE）=6，∴BE（OC﹣CE）=6，即BE•OE=6，设B点坐标为（x，y），则BE=y，OE=﹣x，∴BE•OE=﹣xy=6，∴xy=﹣6，∴k=﹣6．故答案为﹣6．24．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB 的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S=5S△BDF，其中正确的结论序号是①③．△ABC【分析】首先根据题意易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC，继而证得正确；由点D是AB的中点，易证得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，继而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=AB，即可求得AF=AB；=6S△BDF．则可得S△ABC【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，AG⊥AB，∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，∴，∵BA=BC，∴，故①正确；∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，∴∠DBE=∠BCD，在△ABG和△BCD中，故△ABG≌△BCD（ASA），则AG=BD，∵AB=CB，点D是AB的中点，∴BD=AB=CB，∵tan∠BCD==，∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，∵=，∴FG=FB，∵GE≠BF，∴点F不是GE的中点．故②错误；∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2，∴AF=AC，∵AC=AB，∴AF=AB，故③正确；∵BD=AB，AF=AC，∴S=6S△BDF，△ABC故④错误．故答案为：①③．25．（4分）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△A n B n C n的顶点B n、C n在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a1=；如图2，当n=2时，正三角形的边长a2=；如图3，正三角形的边长a n=（用含n的代数式表示）．【分析】（1）设PQ与B1C1交于点D，连接OB1，由特殊角的三角函数值可得，OD=A1D﹣OA1=a1﹣1，再由勾股定理即可求出a1的值；（2）设PQ与B2C2交于点E，连接OB2，由特殊角的三角函数值可得OE=2A1A2﹣OA1=a2﹣1，再由Rt△OB2E勾股定理即可求出a2的值；（3）设PQ与B n C n交于点F，连接OBn，则OF=na n﹣1，在Rt△OB n F中利用勾股定理可得，a n=．【解答】解：（1）设PQ与B1C1交于点D，连接OB1，则OD=A1D﹣OA1=a1﹣1，在Rt△OB1D中，OB12=B1D2+OD2，即12=（a1）2+（a1﹣1）2，解得，a1=；（2）设PQ与B2C2交于点E，连接OB2，则OE=2A1A2﹣OA1=a2﹣1，在Rt△OB2E中，OB22=B2E2+OE2，即12=（a2）2+（a2﹣1）2，解得，a2=；（3）设PQ与B n C n交于点F，连接OBn，则OF=na n﹣1，在Rt△OB n F中，OB n2=B n F2+OF2，即12=（a n）2+（na n﹣1）2，解得，a n=．故答案为：，，．二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）26．（8分）某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元．已知绿茶成本50元/千克，在第一个月的试销时间内发现，销量w（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：w=﹣2x+240．（1）设该绿茶的月销售利润为y（元），求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出x为何值时，y的值最大？（销售利润=单价×销售量﹣成本﹣投资）（2）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？【分析】（1）根据题意可以得到y与x之间的函数关系式，然后将函数关系式化为顶点式，即可得到y的最大值；（2）根据第一问可以得到第一个月获得的最大利润，然后根据题意，即可得到相应的方程，从而可以得到第二个月里应该将销售单价定为多少．【解答】解：（1）由题意可得，y与x的函数关系式为：y=（x﹣50）•w=（x﹣50）•（﹣2x+240）=﹣2x2+340x ﹣12000；∵y=﹣2x2+340x﹣12000=﹣2（x﹣85）2+2450，∴当x=85时，y的值最大为2450元．（2）∵在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售所获利润为2450元，∴第1个月还有3000﹣2450=550元的投资成本没有收回．∴要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y=2250才可以，∴﹣2（x﹣85）2+2450=2250，解得，x1=75，x2=95．根据题意，x2=95不合题意应舍去．答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元．27．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．（1）求证：BC=CF；（2）若AD=6，DE=8，求BE的长；（3）求证：AF+2DF=AB．【分析】（1）根据切线的性质首先得出CO⊥ED，再利用平行线的判定得出CO ∥AD，进而利用圆周角、圆心角定理得出BC=CF；（2）首先求出△EOC∽△EAD，进而得出r的长，即可求出BE的长；（3）利用全等三角形的判定得出Rt△AGC≌Rt△ADC，进而得出Rt△CGB≌Rt△CDF，即可求出AD+DF=AB得出答案即可．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵ED切⊙O于点C，∴CO⊥ED，∴CO∥AD，∴∠OCA=∠CAD，∵∠OCA=∠OAC，∴∠OAC=∠CAD，∴=，∴BC=CF；（2）解：在Rt△ADE中，∵AD=6，DE=8，根据勾股定理得AE=10，∵CO∥AD，∴△EOC∽△EAD，∴=，设⊙O的半径为r，∴OE=10﹣r，∴=，∴r=，∴BE=10﹣2r=；（3）证明：过C作CG⊥AB于G，∵∠OAC=∠CAD，AD⊥EC，∴CG=CD，在Rt△AGC和Rt△ADC中，∵，∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL），∴AG=AD，在Rt△CGB和Rt△CDF中，∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL），∴GB=DF，∵AG+GB=AB，∴AD+DF=AB，AF+DF+DF=AB，∴AF+2DF=AB．28．（12分）如图，二次函数y=﹣x2+mx+m+的图象与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点D在第一象限．过点D作x轴的垂线，垂足为H．（1）当m=时，求tan∠ADH的值；（2）当60°≤∠ADB≤90°时，求m的变化范围；（3）设△BCD和△ABC的面积分别为S1、S2，且满足S1=S2，求点D到直线BC 的距离．【分析】（1）先将m=代入y=﹣x2+mx+m+，运用配方法改写成顶点式，求出顶点D，与x轴的交点A与B的坐标，得到DH，AH的长度，再根据正切函数的定义即可求出tan∠ADH的值；（2）先将y=﹣x2+mx+m+运用配方法改写成顶点式，求出顶点D，与x轴的交点A与B的坐标，得到DH，AH的长度，再由抛物线的对称性可知当60°≤∠ADB≤90°时，30°≤∠ADH≤45°，然后根据30°，45°角的正切函数值及锐角三角函数的增减性即可求出m的变化范围；（3）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m．先运用待定系数法求出直=S△ABC求线BC的解析式，则可用含m的代数式表示点M的坐标，再根据S△DBC=×6×=．设出m的值，从而得出A（﹣1，0），B（5，0），C（0，），S△ABC点D到直线BC的距离为d，根据S=BC•d=，即可求出d的值．△DBC【解答】解：（1）∵当m=时，y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴顶点D（，），与x轴的交点A（﹣1，0），B（4，0），∴DH=，AH=﹣（﹣1）=，∴tan∠ADH===；（2）y=﹣x2+mx+m+=﹣（x﹣m）2+，∴顶点D（m，），令y=﹣x2+mx+m+=0，解得：x=﹣1或2m+1则与x轴的交点A（﹣1，0），B（2m+1，0），∴DH=，AH=m﹣（﹣1）=m+1，∴tan∠ADH==．当60°≤∠ADB≤90°时，由对称性得30°≤∠ADH≤45°，∴当∠ADH=30°时，=，∴m=2﹣1，当∠ADH=45°时，=1，∴m=1，∴1≤m≤2﹣1；（3）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m．设过点B（2m+1，0），C（0，m+）的直线解析式为；y=kx+b，则，解得，即y=﹣x+m+．当x=m时，y=﹣m+m+=，∴M（m，）．∴DM=﹣=，AB=（2m+1）﹣（﹣1）=2m+2，=S△ABC，又，∵S△DBC∴•（2m+1）=（2m+2）•（m+），又∵抛物线的顶点D在第一象限，∴m＞0，解得m=2．当m=2时，A（﹣1，0），B（5，0），C（0，），∴BC==，=×6×=．∴S△ABC设点D到直线BC的距离为d．=BC•d，∵S△DBC∴וd=，∴d=．答：点D到直线BC的距离为．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形； （3）求AE －CE 的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。

C D OBE'AH成都七中2015级高三“一诊”模拟考试数学试题参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） BAADB ACBAD 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 180 12.12 13. - 14. (－7, 3) 15. ①②③⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、(本小题满分12分)【解析】（I ）由已知条件得：cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=，解得1cos 2A =，角60A =︒ （II ）1sin 2S bc A ==4c ⇒=，由余弦定理得：221a =，()222228sin a R A ==25sin sin 47bc B C R ∴==.17、(本小题满分12分) 解答：（1）331328()327p C ==，22232128()33327p C =⋅=，222342114()()33227p C =⋅=（2）由题意可知X 的可能取值为：0, 1, 2, 3. 乙队得分X 的分布列为：乙队得分X 的数学期望：1644170123.27272799EX =⨯+⨯+⨯+⨯=18、(本小题满分12分)【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,OD OE,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O = ,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.3210X P2742742719结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而A H '==所以cos 5OH A HO A H '∠==',所以二面角A CD B '--的平面角的余弦值为5.向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示, 则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '= ,(1,DA '=-设(),,n x y z = 为平面A CD '的法向量,则 00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =,得(1,n =-由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--的平面角的余弦19、(本小题满分12分)（1）解：由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=，得2[()](1)0.n n S n n S -++=由于{a n }是正项数列，所以20,.n n S S n n >=+于是112,2a S n ==≥时，221(1)(1)2.n n n a S S n n n n n -=-=+----= 综上，数列{a n }的通项2.n a n = （2）证明：由于2,n a n =221(2)n nn b n a +=+， 则22221111[4(2)16(2)n n b n n n n +==-++.2222222221111111111[11632435(1)(1)(2)n T n n n n =-+-+-++-+--++ 2221111[1]162(1)(2)n n =+--++2115(1).16264<+=【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >, 解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==), 则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.。

成都市2015年高中阶段教育学校统一招生考试数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）A卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．－3的倒数是（）A．B．C．－3 D．3答案：A 【解析】本题考查倒数的定义，难度较小．根据互为倒数的两数的乘积是1，得－3的倒数是，故选A．2．如图所示的三棱柱的主视图是（）A B C D答案：B 【解析】本题考查三视图，难度较小．主视图是从物体的正面看得到的视图，找到从正面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在主视图中，从正面看易得三棱柱的一条棱位于三棱柱的主视图内，故选B．3．2015年5月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相．新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市．按照远期规划，新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万平方米．用科学记数法表示126万为（）A．126×104B．1.26×105C．1.26×106D．1.26×107答案：C 【解析】本题考查用科学记数法表示较大的数，难度较小．科学记数法是将一个数写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数的绝对值大于等于10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．即126万＝1260000＝1.26×106，故选C．4．下列计算正确的是（）A．a2＋a2＝2a4B．a2·a3＝a6C．(－a2)2＝a4D．(a＋1)2＝a2＋1答案：C 【解析】本题考查幂的运算，难度较小．a2与a2是同类项，能合并，a2＋a2＝2a2，故A错误；a2与a3是同底数幂，根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，a2·a3＝a2＋3＝a5，故B错误；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，(－a2)2＝a2×2＝a4，故C正确；根据完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，得(a＋1)2＝a2＋2a＋1，故D错误，综上，故选C．5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为（）A．1 B．2C．3 D．4答案：B 【解析】本题考查平行线分线段成比例，难度较小．根据平行线段的比例关系，，即，解得EC＝2，故选B．6．一次函数y＝2x＋1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D 【解析】本题考查一次函数的图象与性质，难度较小．∵k＝2＞0，b＝1＞0，根据一次函数的图象即可判断函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故选D．7．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a－b|的结果为（）A．a＋b B．a－bC．b－a D．－a－b答案：C 【解析】本题考查绝对值的化简，难度较小．根据数轴上两数的特点判断出a，b 的符号及绝对值的大小，再对|a－b|进行分析即可．由图可知a＜0，b＞0，所以a－b＜0，|a－b|为a－b的相反数，故选C．8．关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞－1 B．k≥－1C．k≠0 D．k＞－1且k≠0答案：D 【解析】本题考查一元二次方程根的判别式，难度中等．因为方程是一元二次方程，则二次项系数k≠0，又方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0，即Δ＝22－4×(－1)k＞0，解得k＞－1，所以k＞－1且k≠0，故选D．9．将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝(x＋2)2－3 B．y＝(x＋2)2＋3C．y＝(x－2)2＋3 D．y＝(x－2)2－3答案：A 【解析】本题考查抛物线的平移，难度中等．根据函数的平移原则“左加右减，上加下减”即可作答．向左平移2个单位得y＝(x＋2)2，再向下平移3个单位得y＝(x＋2)2－3，故选A．10．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2，B．，πC．，D．，答案：D 【解析】本题考查正多边形的性质、弧长公式，难度中等．在正六边形中，连接OB，OC，可以得到△OBC为等边三角形，边长等于半径4．因为OM为边心距，所以OM⊥BC，所以在边长为4的等边三角形中，边上的高．弧BC所对的圆心角为60°，由弧长计算公式知的长为，故选D．第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中的横线上）11．因式分解：x2－9＝_________．答案：(x＋3)(x－3) 【解析】本题考查分解因式，难度较小．根据平方差公式a2－b2＝(a ＋b)(a－b)，得x2－9＝(x＋3)(x－3)．12．如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则∠1＝_______度．答案：45 【解析】本题考查平行线的性质、等腰三角形性质，难度较小．因为△ABC为等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°，又m∥n，根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠1＝∠ABC＝45°．13．为响应“书香成都”建设的号召，在全校形成良好的人文阅读风尚，成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如图所示，则在本次调查中，阅读时间的中位数是_________小时．答案：1 【解析】本题考查中位数计算，难度中等．把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，最中间的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数．此题由条形统计图可知40个数据按从小到大顺序排列，最中间有两个数，分别是第20和第21个数，它们都是1，故中位数是1（小时）．14．如图，在□ABCD中，，AD＝4，将□ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为_________．答案：3 【解析】本题考查折叠的性质、勾股定理，难度中等．点B恰好与点C重合，且四边形ABCD是平行四边形，根据折叠的性质，则AE⊥BC，BE＝CE＝2，在Rt△ABE中，由勾股定理得．三、解答题（本大题共6小题，共54分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分12分，每题6分）（1）计算：．（2）解方程组：答案：（1）本题考查实数的计算，难度较小．涉及知识点有二次根式、特殊角三角函数值、0次幂、平方计算等．解：（4分）＝8．（6分）（2）本题考查解二元一次方程组，难度较小．解：①＋②得4x＝4，x＝1．（3分）将x＝1代入①得1＋2y＝5，y＝2．（5分）所以原方程组的解是（6分）16．（本小题满分6分）化简：．答案：本题考查分式的化简，难度较小．解：（3分）（5分）．（6分）17．（本小题满分8分）如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C．其中AB段与BC段的运行路程均为200 m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）答案：本题考查解直角三角形的应用，难度中等．解：根据题意可知∠BAD＝30°，∠CBE＝42°，AB＝BC＝200 m．在Rt△ABD中，．（3分）在Rt△BCE中，CE＝BC·sin42°≈200×0.67＝134（m），（6分）∴BD＋CE≈100＋134＝234(m)，因此，缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234 m．（8分）18．（本小题满分8分）国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革．为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛活动，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：（1）求获得一等奖的学生人数；（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛．请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．答案：本题考查扇形统计图的运用、列表法或画树状图求概率，难度中等．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．解：（1）获奖学生总人数为（名），（1分）获一等奖学生人数为200×(1－20%－25%－40%)＝30（名）．（3分）（2）列表如下：或画树状图如下：（6分）由表（或树状图）可知，共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中选到A，B两所学校的结果有2种：(A，B)，(B，A)，所以P（选到A，B两所学校）．（8分）19．（本小题满分10分）如图，一次函数y＝－x＋4的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象交于A(1，a)，B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．答案：本题考查待定系数法求反比例函数解析式、求点的坐标、最值问题、三角形面积等，难度中等．解：（1）∵点A(1，a)在一次函数y＝－x＋4的图象上，∴a＝－1＋4＝3，∴点A的坐标为(1，3)．（1分）将点A(1，3)代入中，得k＝3，∴反比例函数的表达式为．（2分）由解得∴点B的坐标为(3，1)．（4分）（2）如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，则点P即为所求的点．由B(3，1)得点B′的坐标为(3，－1)．（5分）设直线AB′的函数表达式为y＝k′x＋b，则有解得∴直线AB′的函数表达式为y＝－2x＋5．（7分）令y＝0，得，∴点P的坐标为，（8分）∴S△PAB＝S△ABB′－S△BPB′．（10分）20．（本小题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF＝BC．⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．（1）求证：△ABC≌△EBF；（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB＝1，求HG·HB的值．答案：本题是几何综合题，难度较大．考查的知识点有全等三角形的判定、圆的切线的判定、相似三角形的运用等，主要考查考生的逻辑推理能力．解：（1）证明：∵Rt△ABC中，∠ACB＋∠A＝90°，Rt△ADF中，∠AFD＋∠A＝90°，∴∠ACB＝∠AFD．（1分）又∵BC＝BF，∠ABC＝∠EBF＝90°，∴△ABC≌△EBF．（3分）（2）BD与⊙O相切．（4分）理由如下：连接OB．∵⊙O是Rt△EBF的外接圆，∴O是EF的中点，OB＝OF，∴∠OBF＝∠OFB．又∵∠C＝∠OFB，∴∠C＝∠OBF．∵∠ABC＝90°，D是AC的中点，∴DB＝DC，∴∠DBC＝∠C，∴∠DBC＝∠OBF，（5分）∴∠OBD＝∠OBE＋∠DBC＝∠OBE＋∠OBF＝∠EBF＝90°，∴BD与⊙O相切．（6分）（3）连接AE，OH．∵△EBF≌△ABC，∴BE＝AB＝1，∴Rt△ABE中，．∵DF垂直平分AC，∴，（7分）∴．在Rt△BEF中，．（8分）∵BH平分∠EBF，∴∠EBH＝∠HBF＝45°，∠HOF＝2∠HBF＝90°．又∵∠HFE＝∠EBH，∴∠HFE＝∠HBF．而∠FHG＝∠BHF，∴△FHG∽△BHF，∴，即HG·HB＝HF2．（9分）∵Rt△HOF中，，∴，∴．（10分）B卷（共50分）一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请把答案填在题中的横线上）21．比较大小：_________（填“＞”“＜”或“＝”）．答案：＜【解析】本题考查实数的大小比较，难度中等．比较方法（1）取近似值比较：为黄金分割比，约等于0.618，，显然前者小于后者；（2）作差比较：，所以前者小于后者．22．有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为_________．答案：【解析】本题考查解不等式组的应用、概率计算，难度中等．不等式组即解不等式①得x≥3，解不等式②得，若不等式组有解，则解为，那么必须满足，∴满足条件的a的值为6，7，8，9，∴有解的概率为．23．已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O．以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，……，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A n的坐标为_________．答案：(3n－1，0) 【解析】本题考查菱形的性质、求点的坐标、规律探究，难度较大．由题意得OA1＝1，点A1的坐标为(1，0)，，，点A2的坐标为(3，0)，即(32－1，0)，，点A3的坐标为(9，0)，即(33－1，0)，同理点A4的坐标为(27，0)，即(34－1，0)，…，∴点A n的坐标为(3n－1，0)．24．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C．当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为_________．答案：8或或【解析】本题考查圆的有关性质及计算、等腰三角形的判定和性质，难度较大．解题时应注意分情况讨论：（1）当AB＝AP＝8时，如图1，作OH⊥AB于点H，则，由勾股定理得OH＝3，延长AO交PB于点G，连接BO，易知，由射影定理知；（2）当PA＝PB时，如图2，连接PO并延长交AB于点K，易知OK＝3，PK＝8，，易证△APC∽△KOA，故，即，解得，所以；（3）当BA＝BP＝8时，如图3，由∠C＝90°－∠P＝90°－∠PAB＝∠CAB BC＝AB ＝8．综上，BC＝8或或．25．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是_________（写出所有正确说法的序号）．①方程x2－x－2＝0是倍根方程；②若(x－2)(mx＋n)＝0是倍根方程，则4m2＋5mn＋n2＝0；③若点(p，q)在反比例函数的图象上，则关于x的方程px2＋3x＋q＝0是倍根方程；④若方程ax2＋bx＋c＝0是倍根方程，且相异两点M(1＋t，s)，N(4－t，s)都在抛物线y ＝ax2＋bx＋c上，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为．答案：②③【解析】本题考查新定义的理解和运用、一元二次方程的解法、反比例函数及二次函数的图象和性质，难度较大．研究一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是倍根方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax2＋bx＋c＝a(x－t)(x－2t)＝ax2－3atx ＋2t2a，所以，记，即K＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0为倍根方程．下面我们根据此结论来解决问题：对于①，，因此①错误；对于②，mx2＋(n－2m)x－2n＝0，令，因此②正确；对于③，显然pq＝2，且，因此③正确；对于④，由M(1＋t，s)，N(4－t，s)知，由倍根方程的结论知，则，原方程可变形为，因此④错误．综上可知，正确的选项有②③．【关键点】根据方程两根之间的两倍关系设ax2＋bx＋c＝a(x－t)(x－2t)＝ax2－3atx＋2t2a，从而得出是解决本题的关键．二、解答题（本大题共3小题，共30分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）26．（本小题满分8分）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出．如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？答案：本题考查分式方程及不等式在实际生活中的应用，难度中等．解：（1）设该商家购进的第一批衬衫为x件，由题意得，（2分）解这个方程得：x＝120，经检验，x＝120是所列方程的根．所以，该商家购进的第一批衬衫是120件．（4分）（2）设每件衬衫的标价是y元，由题意得(3×120－50)·y＋50·0.8y≥(13200＋28800)(1＋25%)，（6分）解这个不等式得y≥150，因此，每件衬衫的标价至少是150元．（8分）27．（本小题满分10分）已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE ＝90°．（1）如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．（ⅰ）求证：△CAE∽△CBF；（ⅱ）若BE＝1，AE＝2，求CE的长；（2）如图2，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且时，若BE＝1，AE＝2，CE＝3，求k的值；（3）如图3，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°时，设BE ＝m，AE＝n，CE＝p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）答案：本题是四边形的综合题，难度较大．考查特殊平行四边形性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等．解：（1）（ⅰ）证明：∵正方形ABCD中，，∠ACB＝45°，正方形EFCG中，，∠ECF＝45°，∴，∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF．（2分）（ⅱ）∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，，∴∠EBF＝∠CBE＋∠CBF＝∠CBE＋∠CAE＝90°，，∴，∴．（4分）（2）连接BF．∵，∠ABC＝∠EFC＝90°，∴△CAB∽△CEF，∴，∠ACB＝∠ECF，∴∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，，∴∠EBF＝∠CBE＋∠CBF＝∠CBE＋∠CAE＝90°．（5分）∵Rt△ABC中，，∴，∴，则．由△CEF∽△CAB得，则．（6分）在Rt△EBF中，由勾股定理得，（7分）∴．（8分）（3）．（10分）28．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．答案：本题是二次函数的综合题，难度较大．考查待定系数法求解析式、三角形的面积、动点问题、二次函数最值问题、点的存在性等，综合性较强．解题时注意数形结合、逻辑推理及分类讨论等数学方法．解：（1）点A的坐标为(－1，0)．（1分）过点D作DH⊥x轴于点H，则DH∥y轴．于是，，即OH＝4AO＝4，∴点D的横坐标为4．又∵点D在抛物线y＝ax2－2ax－3a上，∴点D的坐标为(4，5a)．（2分）把A(－1，0)，D(4，5a)代入l：y＝kx＋b，得解得∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a．（3分）（2）过点E作y轴的平行线交x轴于点F，交直线l于点G，再作CK⊥EG于点K，则设E(x，ax2－2ax－3a)，则G(x，ax＋a)，∴EG＝ax2－3ax－4a．又AO＝1，∴∴当时，．（6分）∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得．（7分）（3）分类讨论如下：①当AD为矩形的一边时，显然点P只能在直线l的下方．此时，设四边形ADP1Q1为矩形，过点D作抛物线的对称轴的垂线，垂足为L，则有△P1DL∽△ADH，，即，∴点P1的坐标为．由P1Q1AD，可得点Q1的坐标为．把代入抛物线的表达式得，∴，此时，点P1的坐标为．（9分）②当AD为矩形的一条对角线时，显然点P只能在直线l下方．此时，设四边形AP2DQ2为矩形，分别过A，D两点作过点P2且平行于x轴的直线的垂线，垂足为M，N．设点P2的坐标为(1，m)，＝6．①又由AD，P2Q2互相平分得点Q2的坐标为(2，5a－m)．把Q2(2，5a－m)代入抛物线的表达式得4a－4a－3a＝5a－m，即m＝8a．②由①②得，m＝－4，此时，点P2的坐标为(1，－4)．综上所述，以点A，D，P，Q为顶点的四边形可能成为矩形，当该四边形为矩形时，点P的坐标为或(1，－4)．（12分）综评：本套试卷难度较大，对考生思维能力的训练有所突破，既考查了大多数考生解决数学问题的基本能力，也对优秀考生的选拔有较明显的区分．如第25题知识点的融合度较高，第27，28题，考生在解答过程中，不仅要经历推理、猜想的过程，而且还需要对结论进行证明，强调了对演绎推理能力的考查，使考生经历了数学发现的全过程，体会到了合情推理的重要性和证明的必要性．。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学（文科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|12}A x x =-<<，集合{|13}B x x =<<，则AB = （ ）A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x << 2．设向量a ()2,4=与向量b (),6x =共线，则实数x =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）A ．抽签法B ．系统抽样法C ．分层抽样法D ．随机数法4．设,a b 为正实数，则“1a b >>”是“22log log 0a b >>”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）A ．sin(2)2πy x =+ B ．πcos(2)2y x =+ C ．sin 2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+6．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．32-B ．32C ．12-D ．127．过双曲线2213yx -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线 的两条渐近线于A ，B 两点，则||=AB（ ） A ．433B ．23C ．6D ．438．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃） 满足函数关系ekx by +=（e 2.718=…为自然对数的底数，k ，b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保 鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ） A ．16小时 B ．20小时 C ．24小时D ．28小时9．设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤，≤，≥，则xy 的最大值为（ ）A ．252B ．492C ．12D ．1610．设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4) 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.11．设i 是虚数单位，则复数1i i-＝__________. 12．2lg0.01log 16+的值是___________.13．已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是___________.14．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，11B C 的中点，则三棱锥1P A MN -的体积是__________.15．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a ∈R ）.对于不相等的实数1x ，2x ，设1212()()f x f x m x x -=-，1212()()g x g x n x x -=-，现有如下命题：①对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；②对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >； ③对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =； ④对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-. 其中的真命题有__________（写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设数列{}n a (1,2,3,)n =⋅⋅⋅的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列1{}na 的前n 项和为n T ，求n T .-------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________17．（本小题满分12分）一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5.乘客1P ，2P ，3P ，4P ，5P 的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车.乘客1P 因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.（Ⅰ）若乘客1P 坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就座的座位号填入表中空格处）；乘客1P 2P 3P 4P 5P座位号3 2 145 32 451（Ⅱ）若乘客1P 坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，求乘客5P 坐到5号座位的概率.18．（本小题满分12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.（Ⅰ）请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （Ⅱ）判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论. （Ⅲ）证明：直线DF ⊥平面BEG19．（本小题满分12分）已知A ，B ，C 为ABC △的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程2310x px p +-+= （p ∈R ）的两个实根. （Ⅰ）求C 的大小.（Ⅱ）若3AB =，6AC =，求p 的值.20．（本小题满分13分）如图，椭圆2222:+1(0)x y E a b a b =>>的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且1PC PD =-.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使得 OA OB PA PB λ+为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数22()2ln 2f x x x x ax a =-+-+，其中0a ＞.（Ⅰ）设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解.2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】A【解析】集合(12)(13)A B =-，，=，，故(13)A B =-，，选A ． 【提示】直接利用并集求解法则求解即可. 【考点】集合的并集运算. 2.【答案】B【解析】由向量平行的性质，有2:4:6x =，解得3x =，选B ． 【提示】利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x . 【考点】向量平行的性质. 3.【答案】C【解析】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样，选C ．【提示】若总体由差异明显的几部分组成时，一般采用分层抽样的方法进行抽样. 【考点】抽样方法的适用范围. 4.【答案】A【解析】1a b >>时，有22log log 0a b >>成立，反之也正确，选A ．【提示】先求出22log log 0a b >>的充要条件，再和1a b >>比较，从而求出答案. 【考点】充分、必要条件. 5.【答案】B【解析】AB C ，，的周期都是π，D 的周期是2π，但选项A 中，cos2y x =是偶函数，选项C 中π2sin 24y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+是非奇非偶函数.【提示】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可. 【考点】三角函数的周期. 6.【答案】D331e 1922b ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【提示】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出的值，运用指数幂的运算性质求解【考点】函数在实际问题中的应用【解析】画出可行域如图，区域中结合图像可知，当动点在线段1)2x x y ⎛≤ ⎝2故最大值为25.2【提示】画出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可.第Ⅱ卷32424【提示】判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥12n++=，求得数列{a 成等差数列，求得首项的值，可得数列项和公式求得数列55 5 5 1 1 5 1 【解析】（Ⅰ）点F G H ，，的位置如图所示（Ⅱ）平面BEG ∥平面ACH ，证明如下：CH ⊂平面ACH BE BG B ＝，所以平面（Ⅲ）连接FH ，因为EFGH ，所以DH FH H ＝，所以BFHD ，所以DF EG ⊥同理DH BG ⊥，又EG BG G ＝，所以DF ⊥平面BEG .6022=75︒，31tan 45tan303tan75tan(4530)1tan 45tan3013++=--=+=1(tan tan )(23+1)=133A B +=-+--. tan75，从而可求【考点】韦达定理，解三角形，正弦定理，正切值【答案】（Ⅰ），且1PC PD =-，21=.存在时，设直线所以1212221x x x x k +=-+，从而1212OA OB PA PB x x y y λ+=+21212)(1)()1k x x k x x λ++++ 2224)(21)21k k λλ-+--+ 2121k λλ---+，此时，3OA OB PA PB λ+=-为定值当直线AB 斜率不存在时，直AB 即为直线CD 21=3OA OB PA PB OC OD PC PD λ+=+=---故存在常数1λ=，使得OA OB PA PB λ+为定值3-【提示】（Ⅰ）通过1PC PD =-，计算即得22a =，=，进而可得结论. （Ⅱ）分情况对直线AB 斜率的存在性进行讨论：①当直线AB 的斜率存在时，与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当1λ=时3OA OB PA PB λ+=-；②当直线率不存在时，3OA OB PA PB λ+=-【考点】椭圆的标准方程，分类与整合的数学思想. （Ⅰ）见解析. . （Ⅰ）由已知，函数()f x 的定义域为(0)∞，+，()=()=2(g x f x x '-2(1)x x-. ()0x '<()g x 得出.【考点】导数的运算，导数在研究函数中的应用，函数的零点.。

2015年高考四川卷文数试题解析（精编版）（解析版）一、选择题1、设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝( )(A){x|－1＜x＜3} (B){x|－1＜x＜1} (C){x|1＜x＜2} (D){x|2＜x＜3}【答案】A【考点定位】本题主要考查集合的概念，集合的表示方法和并集运算.【名师点睛】集合的运算通常作为试卷的第一小题，是因为概念较为简单，学生容易上手，可以让考生能够信心满满的尽快进入考试状态.另外，集合问题一般与函数、方程、不等式及其性质关联，也需要考生熟悉相关知识点和方法.本题最后求两个集合的并集，相对来说比较容易，与此相关的交集、补集等知识点也是常考点，应多加留意.属于简单题.2、设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)6【答案】B【考点定位】本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.【名师点睛】平面向量的共线、垂直以及夹角问题，我们通常有两条解决通道：一是几何法，可以结合正余弦定理来处理.二是代数法，特别是非零向量的平行与垂直，一般都直接根据坐标之间的关系，两个非零向量平行时，对应坐标成比例(坐标中有0时单独讨论)；两个向量垂直时，对应坐标乘积之和等于0，即通常所采用的“数量积”等于0.属于简单题.3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )(A)抽签法 (B)系统抽样法 (C)分层抽样法 (D)随机数法【答案】C【考点定位】本题考查几种抽样方法的概念、适用范围的判断，考查应用数学方法解决实际问题的能力.【名师点睛】样本抽样是现实生活中常见的事件，一般地，抽签法和随机数表法适用于样本总体较少的抽样，系统抽样法适用于要将样本总体均衡地分为n个部分，从每一部分中按规则抽取一个个体；分层抽样法则是当总体明显的分为几个层次时，在每一个层次中按照相同的比例抽取抽取样本.本题条件适合于分层抽样的条件，故应选用分层抽样法.属于简单题.4、设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的( )(A)充要条件 (B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A【考点定位】本题考查对数函数的概念和性质、充要条件等基本概念，考查学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力.【名师点睛】判断条件的充要性，必须从“充分性”和“必要性”两个方向分别判断，同时注意涉及的相关概念和方法.本题中涉及对数函数基本性质——单调性和函数值的符号，因此可以结合对数函数的图象进行判断，从而得出结论.属于简单题.5、下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )(A )y ＝sin (2x ＋2π) (B )y ＝cos (2x ＋2π) (C )y ＝sin 2x ＋cos 2x (D )y ＝sinx ＋cosx【答案】B【考点定位】本题考查三角函数的基本概念和性质，考查函数的周期性和奇偶性，考查简单的三角函数恒等变形能力.【名师点睛】讨论函数性质时，应该先注意定义域，在不改变定义域的前提下，将函数化简整理为标准形式，然后结合图象进行判断.本题中，C 、D 两个选项需要先利用辅助角公式整理，再结合三角函数的周期性和奇偶性(对称性)进行判断即可.属于中档题.6、执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )(A )B(C )－12 (D )12【答案】D【考点定位】本题考查循环结构形式的程序框图，考查特殊角的三角函数值，考查基本运算能力. 【名师点睛】在算法的考点上，四川省以程序框图的考查为主，而考查程序框图，必定是以循环结构形式出现，它可以包括程序框图的所有结构类型.本题只需对循环后的k 值进行判定，最后输出相应的三角函数值即可，属于简单题.7、过双曲线2213y x-=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )(A )43(B )23 (C )6 (D )43 【答案】D【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力.【名师点睛】本题跳出直线与圆锥曲线位置关系的常考点，进而考查直线与双曲线渐近线交点问题，考生在解题中要注意识别.本题需要首先求出双曲线的渐近线方程，然后联立方程组，接触线段AB 的端点坐标，即可求得|AB |的值.属于中档题.8、某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系kx by e+=( 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )(A )16小时 (B )20小时 (C )24小时 (D )21小时 【答案】C【考点定位】本题考查指数函数的概念及其性质，考查函数模型在现实生活中的应用，考查整体思想，考查学生应用函数思想解决实际问题的能力.【名师点睛】指数函数是现实生活中最常容易遇到的一种函数模型，如人口增长率、银行储蓄等等，与人们生活密切相关.本题已经建立好了函数模型，只需要考生将已知的两组数据代入，即可求出其中的待定常数.但本题需要注意的是：并不需要得到k 和b 的准确值，而只需求出e b 和e 11k，然后整体代入后面的算式，即可得到结论，否则将增加运算量.属于中档题.9、设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为( )(A )252(B )492 (C )12 (D )14【答案】A【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识，考查知识的整合与运用，考查学生综合运用知识解决问题的能力.【名师点睛】本题中，对可行域的处理并不是大问题，关键是“求xy最大值”中，xy已经不是“线性”问题了，如果直接设xy＝k，，则转化为反比例函数y＝的曲线与可行域有公共点问题，难度较大，且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中，用基本不等式的思想，通过系数的配凑，即可得到结论，当然，对于等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较难题.10、设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )(A)(1，3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)【答案】D【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线方程设为x＝ty＋m，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t＝0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r取值范围即可.属于难题.二、填空题11、设i是虚数单位，则复数1ii＝_____________.【答案】2i【考点定位】本题考查复数的概念，复数代数形式的四则运算等基础知识.【名师点睛】解决本题的关键取决于对复数运算的熟练程度，也就是＝－i的运算，容易误解为＝i，从而导致答案错误.一般地，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，而＝i－1＝－i.属于容易题12、lg0.01＋log216＝_____________.【答案】2【考点定位】本题考查对数的概念、对数运算的基础知识，考查基本运算能力.【名师点睛】对数的运算通常与指数运算相对应，即“若a b＝N，则log a N＝b”，因此，要求log a N的值，只需看a的多少次方等于N即可，由此可得结论.当然本题中还要注意的是：两个对数的底数是不相同的，对数符号的写法也有差异，要细心观察，避免过失性失误.属于简单题.13、已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.【答案】－1【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力.【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是：结合sin2α＋cos2α＝1，解出sinα与cosα的值，然后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想，先求出tanα的值，对所求式除以sin2α＋cos2α(＝1)是此类题的常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，转化为tanα的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题.14、在三棱住ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是______.【答案】124【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、图形分割与转换的能力，考查基本运算能力.【名师点睛】解决本题，首先要正确画出三棱柱的直观图，包括各个点的对应字母所在位置，结合条件，三棱锥P －A 1MN 的体积可以直接计算，但转换为三棱锥P －AMN 的体积，使得计算更为简便，基本上可以根据条件直接得出结论.属于中档偏难题.15、已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R ).对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).【答案】①④ 【解析】对于①，因为f '(x )＝2x ln 2＞0恒成立，故①正确对于②，取a ＝－8，即g '(x )＝2x －8，当x 1，x 2＜4时n ＜0，②错误 对于③，令f '(x )＝g '(x )，即2x ln 2＝2x ＋a 记h (x )＝2x ln 2－2x ，则h '(x )＝2x (ln 2)2－2【考点定位】本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.【名师点睛】本题首先要正确认识m ，n 的几何意义，它们分别是两个函数图象的某条弦的斜率，因此，借助导数研究两个函数的切线变化规律是本题的常规方法，解析中要注意“任意不相等的实数x 1，x 2”与切线斜率的关系与差别，以及“都有”与“存在”的区别，避免过失性失误.属于较难题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．(本小题满分12分)设数列{a n }(n ＝1，2，3…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 3，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列. (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)设数列1{}na 的前n 项和为T n ，求T n . 【解析】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和等基础知识，考查运算求解能力.(Ⅰ) 由已知S n ＝2a n －a 1，有 a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2) 即a n ＝2a n －1(n ≥2)从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1， 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列 即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列 故a n ＝2n .(Ⅱ)由(Ⅰ)得112n n a = 所以T n ＝211[1()]111122 (11222212)n n n-+++==--【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和等基础知识，考查运算求解能力.【名师点睛】数列问题放在解答题第一题，通常就考查基本概念和基本运算，对于已知条件是S n 与a n关系式的问题，基本处理方法是“变更序号作差”，这种方法中一定要注意首项a 1是否满足一般规律(代入检验即可，或者根据变换过程中n 的范围和递推关系中的表达式判断).数列求和时，一定要注意首项、公比和项数都不能出错.同时注意，对于较为简单的试题，解析步骤一定要详细具体，不可随意跳步.属于简单题.17、(本小题满分12分)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客P 1，P 2，P 3，P 4，P 5的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客P 1因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.(Ⅰ)若乘客P 1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法，请填11【解析】本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法分析和解决问题的能力，考查推理论证能力、应用意识. 1设“乘客P 5坐到5号座位”为事件A ，则事件A 中的基本事件的个数为4 所以P (A )＝4182答：乘客P 5坐到5号座位的概率为12.【考点定位】本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法分析和解决问题的能力，考查推理论证能力、应用意识.【名师点睛】概率统计问题，文科的考查重点是随机事件、古典概型以及列举法求概率，本题需要考生根据条件细致填写座位表，通常采取按照某种顺序，如本题中已经设定的P1，P2，P3，P4，P5的座位号顺序填写，只要能正确填写好表格，相应概率随之得到.属于简单题.18、(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(Ⅰ)请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)(Ⅱ)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论.(Ⅲ)证明：直线DF⊥平面BEG【解析】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力.(I)点F，G，H的位置如图所示(II)平面BEG∥平面ACH.证明如下因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH于是BCEH为平行四边形所以BE∥CH又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH同理BG∥平面ACH又BE∩BG＝B所以平面BEG∥平面ACH(Ⅲ)连接FH因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD又DF⊂平面BFDH，所以DF⊥EG同理DF⊥BG又EG∩BG＝G所以DF⊥平面BEG.【考点定位】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力.【名师点睛】本题引入了几何体表面的折展问题，对空间想象能力要求较高.立体几何的证明一定要详细写出所有步骤，列举(推证)出所有必备的条件，如在(Ⅱ)中证明两个平面平行时，除了找到两组平行线外，一定不能忘掉“相交”这个条件；同样，(Ⅲ)中证明线面垂直，也不能忘掉“EG∩BG＝G”这个条件.属于中档题.19、(本小题满分12分)已知A、B、C为△ABC的内角，tanA、tanB是关于方程x2－p＋1＝0(p∈R)两个实根.(Ⅰ)求C的大小(Ⅱ)若AB＝1，ACp的值【解析】(Ⅰ)由已知，方程x2－p＋1＝0的判别式△＝)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0所以p≤－2或p≥2 3由韦达定理，有tanA＋tanB，tanAtanB＝1－p于是1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0从而tan(A＋B)＝tan tan1tan tanA BA B+== -所以tanC＝－tan(A＋B)所以C＝60°(Ⅱ)由正弦定理，得sinB＝sin6032 AC CAB==解得B＝45°或B＝135°(舍去) 于是A＝180°－B－C＝75°则tanA＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝00001tan45tan302 1tan45tan303++==+ -所以p(tanA＋tanB)1)＝－1【考点定位】本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理、一元二次方程根与系数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题利用一元二次方程的韦达定理，给出三角形两个内角正切值的关系式，求解过程中要注意对判别式的判定，表面上看，判别式对结论没有什么影响，但这对考查学生思维习惯及其严谨性是很有必要的.第(Ⅰ)问得到C＝60°后，第(Ⅱ)问中要注意舍去B＝135°，否则造成失误.属于中档题.20、(本小题满分13分)如图，椭圆E ：22221x y a b +=(a >b >0)的离心率是2，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC PD ⋅＝－1 (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A 、B 两点.是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证呢过能留、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.(I )由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )又点P 的坐标为(0，1)，且PC PD ⋅＝－1于是222211b c aa b c ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩，解得a ＝2，b所以椭圆E 方程为22142x y +=. (II )当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2) 联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0 其判别式△＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0 所以12122242,2121k x x x x k k +=-=-++ 从而OA OB PA PB λ⋅+⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝22(24)(21)21k k λλ--+--+ ＝－21221k λλ---+ 所以，当λ＝1时，－21221k λλ---+＝－3 此时，OA OB PA PB λ⋅+⋅＝－3为定值当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD此时OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅＝－2－1＝－3故存在常数λ＝－1，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值－3.【考点定位】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.【名师点睛】本题属于解析几何的基本题型，第(Ⅰ)问根据“离心率是，且＝－1”建立方程组可以求出椭圆方程；第(Ⅱ)问设出直线方程后，代入椭圆方程，利用目标方程法，结合韦达定理，得到两交点横坐标的和与积，再代入中化简整理.要得到定值，只需判断有无合适的λ，使得结论与k无关即可，对考生代数式恒等变形能力要求较高.属于较难题.21、(本小题满分14分)已知函数f(x)＝－2lnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.(Ⅰ)设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(Ⅱ)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.(I)由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)g(x)＝f '(x)＝2(x－1－lnx－a)所以g'(x)＝2－22(1)xx x-=当x∈(0，1)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减当x∈(1，＋∞)时，g'(x)＞)，g(x)单调递增(II)由f '(x)＝2(x－1－lnx－a)＝0，解得a＝x－1－lnx令Φ(x)＝－2xlnx＋x2－2x(x－1－lnx)＋(x－1－lnx)2＝(1＋lnx)2－2xlnx 则Φ(1)＝1＞0，Φ(e)＝2(2－e)＜0于是存在x0∈(1，e)，使得Φ(x0)＝0令a0＝x0－1－lnx0＝u(x0)，其中u(x)＝x－1－lnx(x≥1)由u'(x)＝1－1x≥0知，函数u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增故0＝u(1)＜a0＝u(x0)＜u(e)＝e－2＜1即a0∈(0，1)当a＝a0时，有f '(x0)＝0，f(x0)＝Φ(x0)＝0再由(I)知，f '(x)在区间(1，＋∞)上单调递增当x∈(1，x0)时，f '(x)＜0，从而f(x)＞f(x0)＝0当x∈(x0，＋∞)时，f '(x)＞0，从而f(x)＞f(x0)＝0又当x∈(0，1]时，f(x)＝(x－a0)2－2xlnx＞0故x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0综上所述，存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题第(Ⅰ)问隐藏二阶导数知识点，由于连续两次求导后，参数a消失，故函数的单调性是确定的，讨论也相对简单.第(Ⅱ)问需要证明的是：对于某个a∈(0，1)，f(x)的最小值恰好是0，而且在(1，＋∞)上只有一个最小值.因此，本题仍然要先讨论f(x)的单调性，进一步说明对于找到的a，f(x)在(1，＋∞)上有且只有一个等于0的点，也就是在(1，＋∞)上有且只有一个最小值点.属于难题.。

2015年四川省成都市锦江区中考数学一诊试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列四个几何体中，已知某个几何体的主视图、左视图、俯视图分别为长方形、长方形、圆，则该几何体是（）A．球体 B．长方体C．圆锥体D．圆柱体2．已知，则的值为（）A．B．C．D．3．如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞14．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）A．B．C．D．5．如图，点D、E分别在线段AB、AC上且∠ABC=∠AED，若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为（）A．B．10 C．D．6．已知反比例函数图象经过点（1，﹣1），（m，1），则m等于（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣17．如图，圆O是△ACD的外接圆，AB是圆O的直径，∠BAD=60°，则∠C的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°8．一个布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是（）A．B．C．D．9．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=910．小智将如图两水平线L1、L2的其中一条当成x轴，且向右为正向；两铅直线L3、L4的其中一条当成y轴，且向上为正向，并在此坐标平面上画出二次函数y=ax2+2ax+1的图形．关于他选择x、y轴的叙述，下列何者正确？（）A．L1为x轴，L3为y轴B．L1为x轴，L4为y轴C．L2为x轴，L3为y轴D．L2为x轴，L4为y轴二、填空题（每小题4分，共16分）11．已知y=（a﹣1）是反比例函数，则a=．12．已知α是锐角，且tan（90°﹣α）=，则α=．13．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=6m，点P 到CD的距离是3m，则P到AB的距离是m．14．把二次函数y=x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，则平移后二次函数的解析式为．三、计算题（15小题每小题12分，16小题6分，共18分）15．（12分）（1）计算：（﹣）﹣1﹣3tan30°（1﹣）0+﹣|1﹣|（2）解方程：x（x+6）=16．16．（6分）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在圆O上且∠1=∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，BE=2，求CD的长．四、解答题（每小题8分，共32分）17．（8分）小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏，游戏规则如下：由小明和小颖玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同：（1）用树状图或列表法求出小凡获胜的概率；（2）你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？18．（8分）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．19．（8分）如图，经过点A（﹣2，0）的一次函数y=ax+b（a≠0）与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于P、Q两点，过点P作PB⊥x轴于点B．已知tan∠PAB=，点B的坐标为（4，0）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接BQ，求△PBQ的面积．20．（8分）如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC的中点，E是线段BA上一动点（与点B、A不重合），直线DE交CA的延长线于F点．（1）当DF=DC时，求AF的值；（2）设BE=x，AF=y．①求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；②当△AEF为以FA为腰的等腰三角形时，求x的值．B卷一、填空题（每小题4分，共20分）21．已知x2﹣2x﹣=0，则x3﹣2x2+（1﹣x）的值是．22．若线段AB=4cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为cm．23．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=．24．如图，M为双曲线y=（x＞0）上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=﹣x+m于点D、C两点．若直线y=﹣x+m与y轴交于点A，与x轴交于点B，则AD•BC的值为．25．已知：如图，Rt△ABC外切于圆O，切点分别为E、F、H，∠ABC=90°，直线FE、CB交于D点，连接AO、HE．现给出以下四个结论：①∠FEH=90°﹣∠C；②DE=AE；③AB2=AO•DF；④AE•CH=S△ABC ，其中正确结论的序号为．二、解答题（8分）26．（8分）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？27．（10分）如图，以BC为直径，以O为圆心的半圆交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC 于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，BC2=CF•AC，cos∠ABD=，AD=12．（1）求证：FB是圆O的切线；（2）求证：=；（3）连接AE，求AE•MN的值．28．（12分）己知二次函数（t＞1）的图象为抛物线C1．（1）求证：无论t取何值，抛物线C1与x轴总有两个交点；（2）已知抛物线C1与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），将抛物线C1作适当的平移，得抛物线C2：，平移后A、B的对应点分别为D（m，n），E（m+2，n），求n的值．（3）在（2）的条件下，将抛物线C2位于直线DE下方的部分沿直线DE向上翻折后，连同C2在DE上方的部分组成一个新图形，记为图形G，若直线（b＜3）与图形G有且只有两个公共点，请结合图象求b的取值范围．1．D．2．C．3．C．4．D．5．B．6．D．7．A．8．C．9．B．10．D．11．﹣1．12．30°．13．1．14．y=（x+1）2﹣2．15．（1）计算：（﹣）﹣1﹣3tan30°（1﹣）0+﹣|1﹣|（2）解方程：x（x+6）=16．解：（1）原式=﹣3××1+2﹣（﹣1）=﹣2﹣++1=﹣1；（2）方程可化为x2+6x=16，移项得，x2+6x﹣16=0，（x﹣2）（x+8）=0，解得x1=2，x2=﹣8．16．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在圆O上且∠1=∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，BE=2，求CD的长．（1）证明：如图，∵∠1=∠C，∠P=∠C，∴∠1=∠P，∴CB∥PD．（2）解：∵CE⊥BE，∴CE2=CB2﹣BE2，而CB=3，BE=2，∴CE=；而AB⊥CD，∴DE=CE，CD=2CE=2．17．小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏，游戏规则如下：由小明和小颖玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同：（1）用树状图或列表法求出小凡获胜的概率；（2）你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？则P（小凡获胜）==；∴P（小明获胜）=P（小颖获胜）==，则这个游戏对三人公平．18．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D 的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．解：如图，过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，∴AF=BE，EF=AB=3米，设DE=x，在Rt△CDE中，CE==x，在Rt△ABC中，∵=，AB=3，∴BC=3，在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣3，∴AF==（x﹣3），∵AF=BE=BC+CE，∴（x﹣3）=3+x，解得x=9（米）．答：树高为9米．19．如图，经过点A（﹣2，0）的一次函数y=ax+b（a≠0）与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于P、Q两点，过点P作PB⊥x轴于点B．已知tan∠PAB=，点B的坐标为（4，0）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；解：（1）∵BO=4，AO=2，∴AB=6，∵tan∠PAB==，∴PB=9，∴P点坐标为：（4，9），把P（4，9），代入反比例函数解析式y=，得k=36，∴反比例函数解析式为y=；把点A（﹣2，0），P（4，9），代入y=ax+b得：，解得：，故一次函数解析式为y=x+3．（2）过点Q作QM⊥y轴于点M，由，解得：或，∴Q点坐标为：（﹣6，﹣6），∴S△PQB=•PB•QM=×9×（6+4）=45．20．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC的中点，E是线段BA上一动点（与点B、A不重合），直线DE交CA的延长线于F点．（1）当DF=DC时，求AF的值；（2）设BE=x，AF=y．①求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；②当△AEF为以FA为腰的等腰三角形时，求x的值．解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DF=DC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠F，∴△ABC∽△DFC，∴=，∴=，∴CF=12.8，∴AF=CF﹣AC=12.8﹣10=2.8；（2）①取AB的中点M，连接DM，如图所示，∵D是边BC的中点，∴DM∥AC，DM=AC=5，∴△AFE∽△MDE，∴=，∴=，∴y=，函数定义域为5＜x＜10；②当点E位于线段AB上时，如图所示：若AF=AE，即=10﹣x，解得：x=10（舍去），若AF=EF，cos∠FAE=，则有5×=•（x﹣5），解得：x=，综上所述，当△AEF为以FA腰的等腰三角形时，x=．一、填空题（每小题4分，共20分）21．．22．2（﹣1）或6﹣2．23．3或﹣3．24．．25．已知：如图，Rt△ABC外切于圆O，切点分别为E、F、H，∠ABC=90°，直线FE、CB交于D点，连接AO、HE．现给出以下四个结论：①∠FEH=90°﹣∠C；②DE=AE；③AB2=AO•DF；④AE•CH=S△ABC ，其中正确结论的序号为①③④．解：①连接OE，OH，OF，则OE⊥AB，OH⊥BC，得出∠FOH=180°﹣∠C，根据圆周角定理得∠FEH=∠FOH=90∠C；故①正确；②由①得四边形OEBH是正方形，则圆的半径=BE，∴OF=BE，又∵∠DBE=∠AFO，∠BED=∠AEF=∠AFE，在△BDE与△FAO中，，∴△BDE≌△FAO（SAS），∴BD=AF，∵BD＜DE，∴DE≠AF，故②错误；③∵Rt△ABC外切于⊙O，切点分别为E、F、H，∴BE=BH，AF=AE，根据②得BD=AF，∴BD=AE（等量代换），∴AB=DH；连接OB、FH．∵∠D=∠BAO，∠EFH=∠OBA=45°，∴△DFH∽△ABO，则DH•AB=AO•DF，又AB=DH，所以AB2=AO•DF，故③正确；④设△ABC的三边分别为a，b，c，则AE=，CH=，AE•CH===S．△ABC故S△ABC=AB•BC=AE•CH；故④正确；故答案为：①③④．二、解答题（8分）26．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？解：（1）设平均增长率为a，根据题意得：64（1+a）2=100解得：a=0.25=25%或a=﹣2.25四月份的销量为：100•（1+25%）=125（辆）．答：四月份的销量为125辆．（2）设购进A型车x辆，则购进B型车辆，根据题意得：2×≤x≤2.8×解得：30≤x≤35利润W=（700﹣500）x+（1300﹣1000）=9000+50x．∵50＞0，∴W随着x的增大而增大．当x=35时，不是整数，故不符合题意，∴x=34，此时=13（辆）．答：为使利润最大，该商城应购进34辆A型车和13辆B型车．三、解答题（10分）27．如图，以BC为直径，以O为圆心的半圆交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，BC2=CF•AC，cos∠ABD=，AD=12．（1）求证：FB是圆O的切线；（2）求证：=；（3）连接AE，求AE•MN的值．解：（1）如图，∵BC2=CF•AC，∴，而∠C=∠C，∴△BCF∽△ACB，∴∠FBC=∠BAC；而BC为半⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∠FBC=90°，∴FB是圆O的切线．（2）由射影定理得：BF2=AF•CF，BC2=AC•CF，∴①；∵AD⊥BC，ME⊥BC，∴AD∥ME，∴②；由①②知：=．（3）如图，连接AE；∵BM平分∠ABE，且MA⊥AB，ME⊥BE，∴MA=ME，AN∥ME；设∠ABM=∠DBN=α，则∠AMN=90°﹣α，∠ANM=∠BND=90°﹣α，∴∠AMN=∠ANM，AM=AN，∴AN=ME；而AN∥ME，∴四边形AMEN为平行四边形；而AM=AN，∴四边形AMEN为菱形，AE⊥MN；∵cos∠ABD=，AD=12．∴；设BD=3λ，则AB=5λ；由勾股定理得：（5λ）2=（3λ）2+122，解得：λ=3，BD=9，AB=15；由勾股定理可证：BE=BA=15，∴DE=15﹣9=6；而BN平分∠ABD，∴，而BD=9，AB=15，AD=12，解得：AN=；由面积公式得：∴AE•MN=2××6=90．四、解答题（12分）28．己知二次函数（t＞1）的图象为抛物线C1．（1）求证：无论t取何值，抛物线C1与x轴总有两个交点；（2）已知抛物线C1与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），将抛物线C1作适当的平移，得抛物线C2：，平移后A、B的对应点分别为D（m，n），E（m+2，n），求n的值．（3）在（2）的条件下，将抛物线C2位于直线DE下方的部分沿直线DE向上翻折后，连同C2在DE上方的部分组成一个新图形，记为图形G，若直线（b＜3）与图形G有且只有两个公共点，请结合图象求b的取值范围．解：（1）令y1=0，得△=（﹣2t）2﹣4（2t﹣1）=4t2﹣8t+4=4（t﹣1）2，∵t＞1，∴△=4（t﹣1）2＞0，∴无论t取何值，方程x2﹣2tx+（2t﹣1）=0总有两个不相等的实数根，∴无论t取何值，抛物线C1与x轴总有两个交点．（2）解方程x2﹣2tx+（2t﹣1）=0得，x1=1，x2=2t﹣1，∵t＞1，∴2t﹣1＞1．得A（1，0），B（2t﹣1，0），∵D（m，n），E（m+2，n），∴DE=AB=2，即2t﹣1﹣1=2，解得t=2．∴二次函数为，显然将抛物线C1向上平移1个单位可得抛物线C2：，故n=1．（3）由（2）得抛物线C2：，D（1，1），E（3，1），翻折后，顶点F（2，0）的对应点为F'（2，2），如图，当直线经过点D（1，1）时，记为l3，此时，图形G与l3只有一个公共点；当直线经过点E（3，1）时，记为l2，此时，图形G与l2有三个公共点；当b＜3时，由图象可知，只有当直线l：位于l2与l3之间时，图形G与直线l有且只有两个公共点，∴符合题意的b的取值范围是．参与本试卷答题和审题的老师有：lanchong；137-hui；mmll852；MMCH；Liuzhx；郝老师；HJJ；知足长乐；守拙；zcl5287；lbz；sks；HLing；caicl；zhjh；zcx；dbz1018；CJX；sjw666；73zzx；心若在；sd2011；王学峰；sjzx（排名不分先后）菁优网2016年12月9日。