高一下学期数学测试题

一、单选题1．已知集合，，那么集合（ ）{}52A x x =-<<{}33B x x =-<<A B = A ．B ． {}32x x -<<{}52x x -<<C ．D ． {}33x x -<<{}53x x -<<【答案】A【分析】由集合交集的定义直接运算即可得解.【详解】因为集合，，{}52A x x =-<<{}33B x x =-<<所以.{}|32B x x A -<=< 故选：A.2．设命题：，，则为（ ）p x ∀∈N x ∈Z p ⌝A ．，B ．， x ∀∈N x ∉Z x ∃∈N x ∉ZC ．，D ．， x ∀∉N x ∈Z x ∃∈N x ∈Z 【答案】B【分析】含有一个量词的命题的否定，既要否定结论，也要改变量词.【详解】命题：，，则为：，，故A ，C ，D 错误.p x ∀∈N x ∈Z p ⌝x ∃∈N x ∉Z 故选：B.3．设，，且，则的最小值为（ ）0x >0y >9xy =x y +A ．18B ．9C ．6D ．3 【答案】C【分析】根据基本不等式，即可求解.【详解】∵0,0x y >>∴，（当且仅当，取“=”）6x y +≥=3x y ==故选：C.4．若为第一象限角，则是（ ） α2αA ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角 【答案】D【解析】写出第一象限角，得到的范围，再讨论k 的取值即可.α2α【详解】因为为第一象限角， α所以， 22,2k k k Z ππαπ<<+∈所以，,24k k k Z απππ<<+∈当时，，属于第一象限角，排除B ； 0k =024απ<<当时，，属于第三象限角,排除AC ； 1k =524αππ<<所以是第一或第三象限角2α故选：D5．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是 ()26log f x x x =-()f x A ．B ．C ．D ．()0,1()1,2()2,4()4,+∞【答案】C【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C. (2)310f =->3(4)202f =-<【解析】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.6．sin 20cos 40cos 20sin140︒︒︒︒+=A ． BC ．D ．12-12【答案】B【详解】 sin 20cos 40cos 20sin140sin 20cos 40cos 20sin 40sin(2040)sin 60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B7．已知函数是定义在上的减函数，则当时，实数的取值范围为()f x [)0,+∞1(21)()3f a f ->a （ ） A ． B ． C ． D ． 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，1123⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】根据函数为定义域上的减函数及定义域建立不等式组即可求解.【详解】因为函数是定义在上的减函数，且， ()f x [)0,+∞1(21)(3f a f ->所以， 1213021a a ⎧-<⎪⎨⎪≤-⎩解得， 1223a ≤<故选：C8．已知是偶函数，且在区间上是增函数，则的大小关系是()f x ()0,∞+()()()0.5,1,0f f f --（ ）A ．B ． ()()()0.501f f f -<<-()()()10.50f f f -<-<C ．D ．()()()00.51f f f <-<-()()()100.5f f f -<<-【答案】C【分析】利用偶函数的性质化简要比较的三个数，再根据函数在上的单调性判断出三者的()0,∞+大小关系，从而确定正确选项.【详解】∵函数为偶函数，∴，又∵在区间上是增()f x ()()()0.50.5(11),f f f f -=-=()f x ()0,∞+函数，∴，即.()()()00.51f f f <<()()()00.51f f f <-<-故选C.【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.二、多选题9．函数的图象过（ ）()log (2)(01)a f x x a =+<<A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】BCD【分析】画出函数大致图象即可判断.【详解】的图象相当于是把的图象向左平移2个单()log (2)(01)a f x x a =+<<()log 01a y x a =<<位，作出函数的大致图象如图所示，则函数的图象过第二､三､四象限. ()()log 2a f x x =+()01a <<()f x 故选：BCD.10．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的函数的是（ ）(0,)+∞A ．B ．C ．D ． 3y x =||1y x =+21y x =-+1y x=-【答案】AD【分析】逐个分析各项可得结果.【详解】对于A 项，设，定义域为R ，则，所以是奇函数， 3()y f x x ==3()()f x x f x -=-=-3y x =由，在上单调递增可得在上单调递增，故选项A 正确；0α>y x α=(0,)+∞3y x =(0,)+∞对于B 项，设，定义域为R ，则，所以是偶()||1y f x x ==+()||1||1()f x x x f x -=-+=+=||1y x =+函数，故选项B 错误；对于C 项，设，定义域为R ，，所以是偶函数，2()1y f x x ==-+2()1()f x x f x -=-+=21y x =-+故选项C 错误； 对于D 项，，定义域为，，所以 1()y f x x ==-(,0)(0,)-∞+∞ 1()()f x f x x-==-是奇函数，由，在上单调递减可得在上单调递减， 1y x=-0α<y x α=(0,)+∞1y x -=(0,)+∞所以在上单调递增.故选项D 正确. 1y x=-(0,)+∞故选：AD.11．函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有（ ） 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èøy t =t A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】ABC 【分析】画出在的图像，即可根据图像得出. 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èø【详解】画出在的图像如下： 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èø则可得当或时，与的交点个数为0；0t <2t ≥1y cosx =+y t =当或时，与的交点个数为1； 0=t 322t ≤<1y cosx =+y t =当时，与的交点个数为2. 302t <<1y cosx =+y t =故选：ABC.12．设函数，则下列结论正确的是（ ）()cos2f x x x -A ．的一个周期为()f x π-B ．的图像关于直线对称 ()y f x =π6x =-C ．的图像关于点对称 ()y f x =π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．在有3个零点()y f x =[0,2π]【答案】ABC【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐个判断即可()f x【详解】， π()cos22sin 26f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对A ，最小周期为，故也为周期，故A 正确； 2ππ2T ==π-对B ，当时，为的对称轴，故B 正确； π6x =-ππ262x -=-sin y x =对C ，当时，，又为的对称点，故C 正确； π12x =26π0x -=()0,02sin y x =对D ，则， ()0f x =()ππ2sin 202π,Z 66x x k k ⎛⎫-=⇒-=∈ ⎪⎝⎭解得，故在内有共四个零点，故D 错误 ()ππ,Z 212k x k =+∈()f x [0,2π]π7π13π19π,,,12121212x =故选：ABC.三、双空题13．函数的振幅是________，初相是________． 1π3sin 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】 3 π6【分析】根据振幅和初相的定义可得答案.【详解】振幅，3A =令则初相. 0x =π6ϕ=故答案为:3, π6四、填空题14．函数（，且）的图象必经过点的坐标________．1x y a =+0a >1a ≠【答案】()0,2【分析】利用指数函数的性质即可求解.【详解】令，得，0x =012y a =+=所以函数（，且）的图象必经过点.1x y a =+0a >1a ≠()0,2故答案为：.()0,215．等于________．2222sin 1sin 2sin 3sin 89︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒【答案】44.5【分析】设，由平方关系得到2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒求解.2222cos cos 7cos c s 888o 981S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒【详解】解：设，2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒因为，22222222sin 1cos 89,sin 2cos 88,sin 3cos 87,...,sin 89cos 1︒=︒︒=︒︒=︒︒=︒所以，2222cos cos 7cos c s 888o 981S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒两式相加得：，2189S =⨯所以，44.5S =故答案为：44.516．已知，且，则________． ()1sin 535α︒-=27090α-︒<<-︒()sin 37α︒+=【答案】##【分析】设,,则,，从而将所求式子转化成求的53βα︒=-37γα︒=+90βγ︒+=90γβ︒=-cos β值，利用的范围确定的符号.αcos β【详解】设,,那么,从而.53βα︒=-37γα︒=+90βγ︒+=90γβ︒=-于是.因为,()sin sin 90cos γββ︒=-=27090α︒︒-<<-所以.由,得. 143323β︒︒<<1sin 05β=>143180β︒︒<<所以cos β===所以. ()sin 37sin αγ︒+==故答案为：五、解答题17．在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且角α的终边与单位圆交点为P ，，且β是第一象限角，求：和的cos 0.6β=sin()αβ-tan()αβ+值.【答案】 ，sin()αβ-=2tan()11αβ+=-【分析】先利用题给条件求得，，，再利sin αα==tan 2α=-4sin 5β=4tan 3β=用两角差的正弦公式和两角和的正切公式即可求得和的值.sin()αβ-tan()αβ+【详解】角α的终边与单位圆交点为P ，则 sin αα==tan 2α=-由，且β是第一象限角，可得， cos 0.6β=4sin 5β=4tan 3β=则 4sin()sin cos cos sin 0.65αβαβαβ-=-== ()42tan tan 23tan()41tan tan 11123αβαβαβ-+++===----⨯18．已知．求值：tan 2α=(1)； sin cos sin cos αααα+-(2)．2cos 2sin cos 1ααα--【答案】(1)3；(2) 85-【分析】（1）根据已知利用商数关系化弦为切即可得出答案；（2）利用平方关系和商数关系化弦为切即可得出答案.【详解】（1）∵，tan 2α=∴； sin cos tan 1213sin cos tan 121αααααα+++===---（2）. 22222cos 2sin cos 12tan cos 2sin cos 1111co 1s sin ta 4n 1558αααααααααα-----=-=-=-=-++19．已知，． 0πx <<1sin cos 5x x +=(1)求的值；sin cos x x -(2)若，试比较与的大小． sin cos 1sin cos 3θθθθ+=-tan x tan θ【答案】(1) 7sin cos 5x x -=(2)tan tan x θ> 【分析】（1）将已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系变形，求出的值，再利用完全平方公式即可求出的值； 242sin cos 25x x =-sin cos x x -（2）根据第一问求出的值，再利用已知等式求出的值，进行比较即可.tan x tan θ【详解】（1）对于，两边平方得， 1sin cos 5x x +=221sin cos 2sin cos 25x x x x ++=所以，∵，∴，，所以， 242sin cos 25x x =-0πx <<sin 0x >cos 0x <sin cos 0x x ->∴，∴； 249(sin cos )12sin cos 25x x x x --==7sin cos 5x x -=（2）联立，解得，所以， 1sin cos 57sin cos 5x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4sin 53cos 5x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩4tan 3x =-因为，且，所以分子分母同除以有：，解得． sin cos 1sin cos 3θθθθ+=-cos 0θ≠cos θtan 11tan 13θθ+=-tan 2θ=-∴.tan tan x θ>20．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．【答案】(1)(－1，1)；(2)奇函数，证明见解析；(3)(0，1)．【分析】（1）结合真数大于零得到关于的不等式组即可求得函数的定义域； x （2）结合（1）的结果和函数的解析式即可确定函数的奇偶性；（3）结合函数的单调性得到关于的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果．x 【详解】（1）要使函数有意义，则， 1010x x +>⎧⎨->⎩解得，即函数的定义域为；11x -<<()f x (1,1)-（2）函数的定义域关于坐标原点对称，()log (1)log (1)[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=- 是奇函数．()f x ∴（3）若时，由得，1a >()0f x >log (1)log (1)a a x x +>-则，求解关于实数的不等式可得， 1111x x x -<<⎧⎨+>-⎩x 01x <<故不等式的解集为．(0,1)21．已知函数．2()sin cos cos 2f x x x x x =+(1)求的单调递减区间；()f x (2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围． ()()g x f x a =-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦a 【答案】(1)； 2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z (2) 31,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【分析】（1）先由倍角公式及辅助角公式得，再由正弦函数的单调性求解即()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可；（2）将题设转化为在上有两个解，确定在上的单调性，即可求出实数()a f x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围．a【详解】（1）21cos211()sin cos cos22cos22cos2222xf x x x x x x x x x-=+=++=++，1sin262xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，解得，则的单调递减区间为3222,262k x k kπππππ+≤+≤+∈Z2,63k x k kππππ+≤≤+∈Z()f x；2,,63k k kππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z（2）函数在上有两个零点，可转化为在上有两个解，当()()g x f x a=-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()a f x=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，0,6xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单增，当时，，2,662xπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()1sin262f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭,62xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72,626xπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦单减，()1sin262f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭又，，，要使在上有()10sin162fπ=+=13sin6222fππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭71sin0262fππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭()a f x=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦两个解，则.31,2a⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭22．已知函数.1()1xf xx-=+（1）证明函数在上为减函数；()f x(1,)-+∞（2）求函数的定义域，并求其奇偶性；ln(tan)y f x=（3）若存在，使得不等式能成立，试求实数a的取值范围.(,42ππ(tan)tan0f x a x+≤【答案】（1）证明见解析；（2），奇函数；（3）.,,44k k k Zππππ⎛⎫-++∈⎪⎝⎭(,3-∞-【解析】（1）利用单调性定义证明即可.（2）根据条件可得，其解集即为函数的定义域，可判断定义域关于原点对称，再根据tan1tan1xx<⎧⎨>-⎩奇偶性定义可判断函数的奇偶性.（3）令，考虑在上有解即可，参变分离后利用基本不等式可求实数的tant x=11tatt-+<+()1,+∞a取值范围.【详解】（1），，，11x∀>-21x∀>-12x x<又，()()()122212121211()()11112x xx xf x f xx x x x----=-+-=+++因为，，，故，，，11x >-21x >-12x x <110x +>210x +>120x x -<故即，所以函数在上为减函数.12())0(f x f x ->12()()f x f x >()f x (1,)-+∞（2）的满足的不等关系有：即， ((ln t )n )a y f x =x 1tan 01tan x x->+()()1tan tan 10x x +-<故，解得， tan 1tan 1x x <⎧⎨>-⎩,44k x k k Z ππππ-+<<+∈故函数的定义域为，，该定义域关于原点对称. ,44k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭Z k ∈令()((ln ta )n )F x f x =又 ()()()tan tan tan()tan tan 11ln ln ln 11x x x x xF x f -+--===--+，()()()tan ln x f F x =-=-故为奇函数. ln (tan )y f x =（3）令，因为，故. tan t x =(,)42x ππ∈1u >故在上不等式能成立即为 (,)42ππ(tan )tan 0f x a x +≤存在，使得，所以在上能成立， 1t >101t at t-+≤+()11t a t t -≤+()1,+∞令，则且， 1s t =-0s >()21121323t s t t s s s s-==+++++由基本不等式有2s s+≥s 所以时等号成立， ()131t t t -≤=-+1t 故的最大值为a 的取值范围为. ()11t y t t -=+3-(,3-∞-【点睛】本题考查与正切函数、对数函数有关的复合函数的性质的讨论，此类问题常用换元法把复合函数性质的讨论归结为常见函数性质的讨论，本题较综合，为难题.。

试卷第1页，共6页哈尔滨市第六中学2021级高一下学期期末考试数学试题一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设()21i 2z -=，则z =（）A．2BC ．1D ．22．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（）A ．154.5cm B ．158cm C ．160.5cm D ．159cm 3．如图，四面体ABCD中，BD =，2AC =，M 、N 分别为BC 、AD 的中点，1MN =，则异面直线AC 与BD ）A ．3πB ．2πC ．6πD ．4π4．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：75百分位数是7，正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 中心，,E F 分别是11,BB DD 的中点，则下列结论正确的是（）A ．1AO //EFB ．1A O EF ⊥C ．1AO //平面1EFB D ．1A O ⊥平面1EFB 6．甲、乙两名同学均打算高中毕业后去A ，B ，C 三个景区中的一个景区旅游，甲、乙到A ，B ，C 三个景区旅游的概率分别如表，则甲、乙去不同景区旅游的概率为（）去A 景区旅游去B 景区旅游去C 景区旅游甲0.40.2乙0.30.6A ．0.66B ．0.58C ．0.54D ．0.52试卷第2页，共6页7．四棱锥P ABCD -的外接球O 的半径为2，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2AB =，则平面PAD 截球O 所得的截面面积为（）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π8．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，1PA AB BC ===，90ABC ∠= ，120PAB ∠= ，AB //DC ，2DC PC ==，则点P 到平面ABCD 的距离为（）ABC ．2D ．13二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，漏选得2分，错选得0分．）9．新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如图所示．根据该图数据判断，下列选项中正确的是（）A ．乡村人口数均高于城镇人口数B ．城镇人口比重的极差是50.63%C ．城镇人口数达到最高峰是第7次D ．和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第6次10．已知复数1z ，2z 满足1225i z z +=-，1223i z z -=，则（）A．1z B ．22i z =+C ．123iz z ⋅=+D ．22023iz在复平面内对应的点位于第一象限试卷第3页，共6页11．已知向量)a = ，()()cos ,sin 0b θθθπ=≤≤，则下列命题不正确的是（）A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a，则a 与b 夹角为23πC ．与a共线的单位向量只有一个为33⎛ ⎝⎭D ．存在θ，使得a b a b+=-12．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，π3BAD ∠=，将ABD ∆沿BD 折起，使A 到A '，且点A '不落在底面BCD 内，若点M 为线段A C '的中点，则在ABD ∆翻折过程中，以下命题中正确的是（）A ．四面体A BCD '-的体积的最大值为1B ．存在某一位置，使得BM CD⊥C ．异面直线BM 与A D '所成的角为定值D ．当二面角A BD C '--的余弦值为13时，2A C '=三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．为迎接创卫考核，现从高二（11）班随机选取两名学生参加问卷调查．已知选中的两名学生都是男生的概率是352，选中的两名学生都是女生的概率是2952，则选中的两名学生是一男一女的概率是；14．有一组样本数据1x ，2x ，…，6x 如右表：由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，6y ，其中2(1,2,,6)3i i y x c i =+= ，c 为常数，则数据1y ，2y ，…，6y 的方差为；15．嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得30BCD ∠= ，45BDC ∠=，CD =，在C 点测得塔顶A 的仰角为60 ，则塔的总高度为m ；16．在ABC ∆中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知2a =，222sin 3sin 2sin A B a C +=，则cos C 的最小值为．1x 2x 3x 4x 5x 6x 567576试卷第4页，共6页四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题10分）某高中学校为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需要了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生的认可系数（认可系数=100认可程度平均分）不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中x 的值和中位数；(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用比例分配的分层随机抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在[60,70)的学生人数；(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由．18．（本小题12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面11ADD A 为矩形，22AB AD ==，160D DB ∠=︒，1BD AA ==(1)证明：平面ABCD ⊥平面11BDD B ；(2)求三棱锥11D BCB -的体积．试卷第5页，共6页19．（本小题12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：消费次数第1次第2次第3次第4次消费5次及以上收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：消费次数第1次第2次第3次第4次消费5次及以上频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这100位里消费二次和三次的顾客中按消费次数用分层随机抽样方法抽出6人，再从这6人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费二次的概率．20．（本小题12分）在如图所示的几何体中，ABE ∆、BCE ∆、DCE ∆都是等腰直角三角形，AB AE DE DC ===，且平面ABE ⊥平面BCE ，平面DCE ⊥平面BCE ．(1)求证：AD ∥平面BCE ；(2)求直线AB 与平面EAD 所成角的正弦值．试卷第6页，共6页21．（本小题12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C的对边，且cos sin a C C b c -=-．(1)求角A (2)若2c =，角B 的平分线BD 交AC 于点D，且BD =ABC ∆的面积．22．（本小题12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠= ，点,M N 分别是边,BC CD 的中点，1AC BD O = ，AC MN G = ．沿MN 将CMN ∆翻折到PMN ∆的位置，连接PA 、PB 、PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)当四棱锥P MNDB -体积最大时，在线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QMN 与平面PMNQ的位置；若不存在，请说明理由．1-4.CADB 5-8.BABB 9.BC10.ACD 11.BCD 12.ABD13.51314.82715.64316.3417.(1)由图可知：10.0150.020.030.025,0.0110x x ++++=∴=，中位数：()0.50.10.150.252458010800.333-+++⨯=+=.(2)低于80分的学生中三组学生的人数比例为0.1:0.15:0.22:3:4=，则应选取评分在[)60,70的学生人数为：33010234⨯=++（人）.(3)由图可知，认可程度平均分为：550.1650.15750.2850.3950.2579.50.8510085⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=<⨯=，∴“美食"工作需要进一步整改.18.(1)证明：ABD △中，因为2AB =，1AD =，3BD =所以222AB AD BD =+.所以AD BD ⊥，又侧面11ADD A 为矩形，所以1AD DD ⊥，又1BD DD D = ，BD ，1DD ⊂平面11BDD B .所以AD ⊥平面11BDD B ，又AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面11BDD B .(2)解：因为AD BC ∥，AD ⊥平面11BDD B ，所以BC ⊥平面11BDD B ，易得1BC =，113B D =13B B =，1160D B B ∠=︒，所以11BB D △的面积11133333224BB D S ==△.三棱锥11D BCB -的体积1111111133313344D BCB C BB D BB D V V S BC --==⋅=⨯⨯=△19.(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为400.4100=.(2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为20015050-=（元），第2次消费时，公司获得的利润为2000.9515040⨯-=（元），所以公司获得的平均利润为5040452+=（元）.(3)因为20:10=2:1，所以用分层随机抽样方法抽出的6人中，消费2次的有4人，分别设为1234,,,A A A A ，消费3次的有2人，分别设为12,B B ，从中抽出2人，总的抽取方法有121314A A A A A A ，，，1112,A B A B ，23242122A A A A A B A B ，，，,343132414212A A A B A B A B A B B B ，，，，，，共15种，其中恰有1人消费两次的抽取方法有1112,A B A B ，2122A B A B ，，3132A B A B ，，4142A B A B ，，，共8种，所以抽出的2人中恰有1人消费两次的概率为815P =20.(1)证明：分别取,EB EC 的中点,O H ，连接,,AO DH OH ，设1AB AE DE DC ====，则2EB EC ==，,,AB AE BO OE AO BE ==∴⊥ ，又平面ABE ⊥平面BCE ，平面ABE 平面,BCE BE AO =⊂平面ABE ，AO ∴⊥平面BCE ，同理可证DH ⊥平面BCE ，//AO DH ∴，又因为22AO DH ==，所以四边形AOHD 是平行四边形，//AD OH ∴，又AD ⊄Q 平面,BCE OH ⊂平面BCE ，//AD ∴平面BCE ；(2)如图，取BC 的中点为F ，则OF BE ⊥，以点O 为坐标原点，,,OB OF OA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则2222220,0,,,,,,,0,0222222A B D E ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2222BA ⎛=-⎝⎭ ，则2222,0,,AE DE ⎛⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面ADE 的一个法向量为(),,n a b c =，则2200022022a c b c ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪-=⎪⎩，令1a =，得平面ADE 的一个法向量为()1,1,1n=-，设直线BA 与平面EAD 夹角为θ，则6sin |cos ,|3B BA n BA n A nθ⋅=<>== ，所以直线BA 与平面EAD 夹角的正弦值为6321.(1)在 中，由正弦定理及cos 3sin a C a C b c =-得：()sin cos 3sin sin sin sin A C A C A C C =+-，整理得cos sin 3sin sin A C A C C =，而0πC <<，则cos 31A A =，即π1sin()62A +=，又0πA <<，有ππ7π666A <+<，解得π5π66A +=，所以2π3A =.(2)如图，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AB AD AB AD A BD +-⋅=，即2230AD AD +-=，解得1AD =，因BD 平分ABC ∠，11sin sin 2211sin sin(π)22ABD CBD AB BD ABD AD BD ADBS AB AD BC S CDBC BD CBD CD BD ADB ⋅∠⋅∠====⋅∠⋅-∠ ，即2BC AB CD AD ==，在BDC 中，2222cos 227CD BD BC BDC CD BD CD +-∠=⋅又22227cos cos 27AD BD AB BDC BDA BD AD +-∠=-∠=-=-⋅22727CD =，即23470CD CD --=，而0CD >，解得：73CD =，有103AC AD CD =+=，所以ABC 的面积1110353sin 222323AB AC A S =⋅=⨯⨯⨯.22.(1)在翻折过程中总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明：∵点M ，N 分别是边CD ，CB 的中点，又60DAB ∠=︒，∴BD MN ∥，且PMN 是等边三角形，∵G 是MN 的中点，∴MN PG ⊥，∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥，∴MN AC ⊥，∵AC PG G ⋂=，AC ⊂平面PAG ，PG ⊂平面PAG ，∴MN ⊥平面PAG ，∴BD ⊥平面PAG ，∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAG ．(2)要使得四棱锥P MNDB -体积最大，只要点P 到平面MNDB ∴当PG ⊥平面MNDB 时，点P 到平面MNDB 3假设符合题意的点Q 存在．以G 为坐标原点，GA ，GM ，GP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()33,0,0A ，()0,1,0M ，()0,1,0N -，(3P ，AG PG ⊥，又AG MN ⊥，且MN PG G ⋂=，MN ⊂平面PMN ，PG ⊂平面PMN ，AG ⊥平面PMN ，故平面PMN 的一个法向量为()11,0,0n =u r，设AQ AP λ=（01λ≤≤），∵(33,0,3AP =- ，()333AQ λλ=-，故)()3313λλ-，∴()0,2,0NM =，)()331,1,3QM λλ=- ，平面QMN 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则20n NM ⋅= ，20n QM ⋅=，即)222220,33130,y x y z λλ=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩令21z =，所以()220,31y x λλ=⎧⎪⎨=⎪-⎩()()()()211,0,1,0,313131n λλλλ⎛⎫==- ⎪ ⎪--⎝⎭，则平面QMN 的一个法向量()(),0,31n λλ=-，设两平面夹角为θ，则()122110cos 1091n n n n λθλλ⋅==+- 12λ=，故符合题意的点Q 存在且Q 为线段PA 的中点．。

武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。

2022-2023学年高一下学期期中考前必刷卷数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：必修第二册第6、7、8章。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，第1~8题只有一项符合题目要求，第9~12题有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

一、单选题1．在ABC 中，20,10,32a b B ===︒，则此三角形的解的情况是（）A ．有两解B ．有一解C ．有无数个解D ．无解2．设a ，b是两个非零向量，下列四个条件中，使a a bb = 成立的充分条件是（）A ．a b =r r 且//a br r B ．a b =-r r C ．//a br r D ．4a b= 3．已知正四面体S ABC -的外接球表面积为6π，则正四面体S ABC -的体积为（）A B C ．23D 4．一个正四棱锥的侧棱长为10，底面边长为台，正四棱台的侧棱长为5，则正四棱台的高为（）A ．5B ．4C ．3D ．25．设1e ，2e是平面内不共线的两个向量，则以下各组向量中不能作为基底的是（）A ．122e e + 与212e e +u r u rB ．2e 与12e e - C ．122e e -与2142e e - D ．12e e - 与12e e +6．如图四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC == ，若AF AC DE λμ=+，则λμ-的值为A ．12B ．23C ．13D ．17．三棱锥-P ABC 的侧棱,,PA PB PC 上分别有E ，F ，G ，且111,,324PE PF PG PA PB PC ===，则三棱锥P EFG -的体积与三棱锥-P ABC 的体积之比是（）A ．124B ．112C ．16D ．188．已知△ABC 的三边为3，4，5，其外心为O ，则OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅的值为（）A ．-25B ．52-C ．0D ．67二、多选题9．已知复数12z =，则下列结论正确的有（）A ．1z z ⋅=B ．2z z=C ．31z =-D ．2020122z i=-+10．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（）A ．若AB >，则sin cos A B>B ．若30A = ，4b =，3a =，则ABC 有两解C ．若ABC 为锐角三角形，则222a b c +>D ．若60A = ，2a =，则ABC11．给出下列四个命题，其中正确的选项有（）A ．()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅r r r r r r B ．若a c c b ⋅=⋅ ，则a b=C ．若()()0AB AC AB AC +⋅-= ，则ABC 为等腰三角形D ．非零向量a ，b 满足a b a b ==- ，则a 与a b +的夹角是30︒12．引入平面向量之间的一种新运算“⊗”如下：对任意的向量()11,m x y =u r，()22,n x y =r，规定1212m n x x y y ⊗=- ，则对于任意的向量a ，b ，c，下列说法正确的有（）A ．a b b a⊗=⊗ B ．()()a b a b λλ⊗=⊗ C ．()()a b c a b c⋅⊗=⊗⋅ D ．||||||a b a b ⋅≥⊗ 二、填空题：本题共4小题，共20分。

2024 年深圳市普通高中高一年级调研考试数学2024. 7本试卷共 4 页， 19 小题， 淌分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项:1. 答题前， 考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型 (A) 填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角 “条形码粘贴处”.2. 作答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案值息点涂黑: 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案， 答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上: 如需改动， 先划掉原来的答案， 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后， 将试卷和答题卡一并交回.一、选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 {}{}11,3,0,1,3A B =−=,，则 A B ∪=（ ）A. {}1,3B. {}1,1,3−C. {}0,1,3D. {}1,0,1,3−【答案】D 【解析】【分析】根据并集含义即可得到答案. 【详解】根据并集含义知{}1,0,1,3A B =− ，故选：D.2. 函数 ()ln 2f x x x =+− 的零点所在的区间为（ ） A. ()0,1 B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4【答案】B 【解析】的【分析】根据零点的存在性定理进行判断区间端点处的符合即可．【详解】函数()ln 2f x x x =+−的定义域为()0,+∞， 函数()f x 在()0,+∞上单调递增，又()1ln11210f =+−=−< ，()2ln 222ln 20f =+−=>， 根据零点的存在性定理可知函数零点所在区间为()1,2． 故选：B .3. 已知幂函数()f x x α=，则“0α>”是“()f x 在()0,∞+上单调递增”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数单调性和充要条件的判定即可得到答案.【详解】当“ 0α> ”时，根据幂函数性质知()f x x α=在()0,∞+上单调递增，则充分性成立；反之，若“()f x x α=在()0,∞+上单调递增”则“0α>”，必要性也成立，故“0α>”是“()f x 在()0,∞+上单调递增”的充分必要条件， 故选：C .4. 已知向量 ()()20,12ab =，，，若 ()a b a λ+⊥，则 λ=（ ） A. 1− B. 12−C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】根据向量坐标化运算和向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】()()()201221,2a bλλλ+=+=+，，,因为()a b a λ+⊥ ，则()0a b a λ+⋅=，即()2210λ+=，于是 12λ=−. 故选：B.5. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若//,m n αα⊂，则//m nB. 若//,//m ααβ ，则//m βC. 若,m m n α⊥⊥，则//?n αD. 若,//m m αβ⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】在正方体中，通过取平面和直线，即可判断出选项A ，B ，C 的正误；对于选项D ，根据条件，利用线面平行的性质及面面垂直的判定定理，即可判断出选项D 的正误.【详解】对于选项A ，如图，在正方体中，取面ABCD 为平面α，直线11A B 为直线m ， 直线BC 为直线n ，显然有//,m n αα⊂，但m 不平行n ，所以选项A 错误， 对于选项B ，如图，在正方体中，取面ABCD 为平面α，直线11A B 为直线m ， 面1111D C B A 为平面β，有//,//m ααβ，但m β⊂，所以选项B 错误， 对于选项C ，取面ABCD 为平面α，直线1A A 为直线m ，直线BC 为直线n ， 因为n ⊂α，显然有,m m n α⊥⊥，但n ⊂α，所以选项C 错误，对于选项D ，因为//m β，在β内任取一点P ，过直线m 与点P 确定平面γ， 则l βγ= ，由线面平行的性质知//m l ，又m α⊥，所以l α⊥，又l β⊂， 所以αβ⊥，所以选项D 正确，故选：D.6. 已知 ABC 中， 22AE AB BM MC == ，，若 AF xAC =，且 E M F ，， 三点共线， 则 x =（ ） A.23B.34C.45D.56【答案】C 【解析】【分析】先应用平面向量基本定理，再根据三点共线的性质列式求参即可.【详解】因为2,BM MC =所以1233AM AB AC =+ ， 2,AE AB AF x AC == ,因为,,E M F 三点共线，所以,1AM AE AF λµλµ=++=,12233AB AC AB x AC λµ+=+, 所以112,,36λλ== 524,,635x µµµ===. 故选：C.7. 已知正实数 ,a b 满足 4a b ab +=，则 a b + 的最小值为（ ） A. 4 B. 9C. 10D. 20【答案】B 【解析】【分析】方程4a b ab +=两边同时除以ab 得141b a+=，利用“1代换”即可求解. 【详解】,a b 为正实数，方程4a b ab +=两边同时除以ab 得141b a+=， ()1444159a b b a bb a a b a ∴++++++ ≥ + =，当且仅当14b a =即82a b == 时等号成立， 故a b + 的最小值为9. 故选：B .8. 已知函数()()()(sin ,π,2,f x x x a f b f c f =−===−，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. b c a >>D. b a c >>【答案】 A的【解析】【分析】得出函数奇偶性后，利用正弦函数的单调性可得()f x 的单调性，即可得解.【详解】由R x ∈，()()()sin sin f x x x x x f x −=−−−=−+=−，故()f x 为奇函数，则(c f f =−=，π2π2<<<， 函数sin y x =在π,π2 上单调递减，故()sin f x x x =−在π,π2上单调递增，则()()2πff f <<，即a b c >>.故选：A.二、选择题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分.9. 若复数z 满足i 1i z =−，下列说法正确的是（） A. z 的虚部为i − B. 1i z =−+C.z =D. 2z z z ⋅=【答案】BC 【解析】. 【详解】()2i 1i 1i 1i ii z −−−===−−−，则其虚部为1−，故A 错误；||z =1i z =−+，故BC 正确；()()1i 1i 2z z ⋅=−−−+=，而()221i 2i z =−−=，则两者不等，故D 错误.故选：BC.10. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下每次朝上的点数，设事件 A = “第一次的点数不大于3 ”， B =“第二次的点数不小于4 ”， C = “两次的点数之和为3的倍数”，则下列结论正确的是（ ）A. 事件A 发生的概率 ()12P A = B. 事件A 与事件B 相互独立 C. 事件 C 发生的概率 ()13P C =D. 事件AB 与事件C 对立【答案】ABC 【解析】【分析】列举所有的基本事件，由古典概型公式即可求解选项A ，C ，由相互独立事件的定义即可求解选项B ，由对立事件的定义分析选项D.【详解】根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，则有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)， (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)， (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)， (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)， (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共36不同结果，即()36n Ω=，对于A ，事件A 包含的样本点有18种，故()181()()362n A P An ===Ω，故A 正确； 对于B ，事件B 包含的样本点有18种，故()181()()362n B P Bn ===Ω， 事件AB 包含的样本点有9种，故()91()()364n AB P ABn ===Ω， 因为()()()P A P B P AB =，所以事件,A B 相互独立，故B 正确；对于C ，事件C 包含的样本点有12种，故()121()()363n C P Cn ===Ω，故C 正确； 对于D ，事件C 与事件AB 有重复的样本点(1,5),(2,4),(3,6)， 故事件AB 与事件C 不对立，故D 错误. 故选：ABC.11. 已知正方体 1111ABCD A B C D − 的棱长为2E ，是正方形11ABB A 的中心， F 是棱 CD (包含顶点) 上的动点， 则以下结论正确的是（ ）A. EFB. 不存在点F ，使EF 与 11A D 所成角等于30C. 二面角E AF B −−正切值的取值范围为1D. 当F 为CD 中点时，三棱锥F ABE −的外接球表面积为25π4【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，直接找出最近距离为F 为CD 中点，计算即可；对于B ，找出最大，最小的临界状态值即可解决；对于C ，找出二面角的平面角，再用锐角三角函数即可；对于D ，设出球心和半径，结合图形，构造方程，求出半径即可．【详解】对于A ， EF 最小值时，F 为CD 中点.作个草图，取AB 中点M ，连接FM ．此时EF A 正确．设EF 与11A D 所成的角为θ，当F 与C 重合时，()maxtan BE BC θ==， 当F CD 中点时，()min1tan 2EM FM θ==．则存在点 F，使tan θ=. 即存在点F ，使EF 与 11A D 所成角等于 30 .故B 错误．如图，过AB 中点M 作MH AF ⊥于H ，则EHM ∠为二面角E AF B −−的平面角，因此1tan EM EHM HM HM∠==∈ ，故C 正确．在设三棱锥F ABE −的外接球的球心为O ，显然FM ⊥平面ABE ，ABE 为等腰直角三角形，外心为M ， 则O 可以由M 沿着MF 方向移动即可,O 一定在MF 上．F 为CD 中点时，半径OFOA R ==，于是2OM R =−． 在OMA 中有()22221R R −+=，解得54R =， 于是球O 表面积为2254ππ4S R =.故D 正确． 故选：ACD.【点睛】知识点点睛：本题考查了正方体性质，点线面的位置关系辨别，空间两点间的距离最值，异面直线夹角，二面角的问题，三棱锥的外接球问题．同时考查空间想象、逻辑推理、数形结合、转化计算能力.综合性较强，属于难题.三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.12. 已知 1sin ,3α=则cos 2πα+=___________【答案】13−【解析】【分析】由诱导公式求解即可. 【详解】由诱导公式可得：1cos sin 23παα+=−=−， 故答案为：13−.13. 若 1,22x ∀∈，不等式 210x ax −+≤恒成立，则a 的取值范围为______________.【答案】5[,)2+∞ 【解析】【分析】分离参数得1a x x ≥+，令1()f x x x =+，求出函数在1,22上的最大值即可求解. 【详解】1,22x ∀∈，不等式 210x ax −+≤恒成立，则21x ax +≤，即1,22x∀∈，1a x x ≥+恒成立，令1()f x x x =+，由图知()f x 在1,12上单调递减，在[]1,2上单调递增， 又115()(2)2222f f ==+=，故max 5()2f x =，则52a ≥. 故答案为： 5[,)2+∞.14. 已知圆O 为ABC的外接圆，π,3A BC==，则()AO AB AC ⋅+的最大值为______________.【答案】3 【解析】【分析】先利用正弦定理求出外接圆半径，取BC 的中点D ，连接OD ，则12OD =，变形得到()22AO AB AC AO OD ⋅+=⋅+ ，当,,A O D 三点共线时，AO OD ⋅取得最大值，求出答案.【详解】设圆O 的半径为R，则22sin BC RA ==，解得1R =，因为π,3A BC ==2π3BOC ∠=，取BC 的中点D ，连接OD ，则3BOD COD π∠=∠=， 故12OD =， ()()()2AO AB AC AO OB OA OC OA AO OB OC OA ⋅+=⋅−+−=⋅+−()2222AO OB OC OA AO OD =⋅++=⋅+，当,,A O D 三点共线时，AO OD ⋅ 取得最大值，最大值为11122×=，故()22AO AB AC AO OD ⋅+=⋅+的最大值为123+=.故答案为：3四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin cos 0c A C =. （1）求C ;（2）若4a ABC = ，，求b 和c . 【答案】（1）2π3（2）1b =，c =【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边换角得到tan C =，则2π3C =； （2）根据三角形面积公式即可得b 值，再利用余弦定理即可得到c 值.【小问1详解】由正弦定理：sin sin sin a b cA B C==，那么sin sin cos 0C A A C =，由于sin 0A >，则sin 0C C +=，则tan C =(0,π)C ∈，故2π3C =. 【小问2详解】由于11sin 422ABC S ab C b ==×= ，则1b =，根据余弦定理：2222212cos 41241212c a b ab C=+−=+−×××−=，那么c =.16. 已知函数()()πsin 02f x x ωϕωϕ=+><，，函数()f x 的最小正周期为π，且π06f=（1）求函数()f x 的解析式:（2）求使()210f x −≥成立的x 的取值范围.【答案】（1）()πsin 23f x x=−（2）π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈【解析】【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期性与零点计算即可得；（2）借助正弦函数图象性质计算即可得.【小问1详解】 由2ππT ω==，0ω>，则2=ω， 又π06f= ，即π2π,Z 6k k ϕ×+=∈，即ππ,Z 3k k ϕ=−+∈， 又π2ϕ<，则π3ϕ=−，即()πsin 23f x x=− ；【小问2详解】若()210f x −≥，即π1sin 232x−≥ ， 即有ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤−≤+∈， 即π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈，故x 的取值范围为π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈.17. 如图， AB 是 O 直径， 2AB =，点 C 是 O 上的动点，PA ⊥ 平面 ABC ，过点 A 作AE PC ⊥，过点 E 作 EF PB ⊥，连接 AF .的（1）求证：BC AE ⊥ ；（2）求证：平面 AEF ⊥ 平面 PAB ；（3）当 C 为弧 AB 的中点时，直线 PA 与平面 PBC 所成角为 45 ，求四棱锥 A EFBC − 的体积.【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析；（3【解析】【分析】（1）由线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直即可；（2）由线线垂直到线面垂直，再证明面面垂直；（3）图中有线面垂直，可以利用两个三棱锥的差，来计算所求的四棱锥的体积即可.【小问1详解】由于AB 为圆O 的直径，所以BC AC ⊥，因PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，又因为,PA AC A ∩=PA AC ⊂，平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，又因为AE ⊂平面PAC ，所以BC AE ⊥;【小问2详解】 由（1）得，BC AE ⊥，PC AE ⊥，且,PC BC C ∩=PC BC ⊂，平面PBC ， 所以⊥AE 平面PBC ，又由于PB ⊂平面PBC ，那么AE PB ⊥，又因为EF PB ⊥，AE EF E ∩=，AE EF ⊂，平面AEF ，所以PB ⊥平面AEF ，又由于PB ⊂平面PAB ，那么平面PAB ⊥平面AEF ；【小问3详解】由（2）可知：⊥AE 平面PBC ，而直线PA 与平面PBC 所成角为45°，那么45APE °∠=，且90CAP AEP °∠=∠=，所以45PCA PAE CAE °∠=∠=∠=且AC BC ==那么1,PA AC AE PE EC PB ======在PAB 中，1122AF PB PA AB ⋅⋅=⋅⋅，得AF = 为所以PF EF ====那么1111332P AEF A PEF PEF V V AE S −−==⋅⋅=××= ，1132P ABC V −=，则A EFBC V −==18. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.（1）由频率分布直方图，求出图中t 的值，并估计考核得分的第60百分位数:（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在[)70,90内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[)70,80和[)80,90的概率:（3）现已知直方图中考核得分在[)70,80内的平均数为75，方差为6.25，在[)80,90内的平均数为85，方差为0.5，求得分在[)70,90内的平均数和方差.【答案】（1）0.030t =，85（2）35（3）得分在[70,90)内的平均数为81，方差为26.8.【解析】【分析】（1）首先根据频率和为1求出0.03t =，再根据百分数公式即可得到答案；（2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可；（3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可.【小问1详解】由题意得:10(0.010.0150.0200.025)1t ×++++=，解得0.03t =， 设第60百分位数为x ，则0.01100.015100.02100.03(80)0.6x ×+×+×+×−=， 解得85x =，第60百分位数为85.【小问2详解】由题意知，抽出的5位同学中，得分在[70,80)的有85220×=人，设为A 、B ，在[80,90)的有125320×=人，设为a 、b 、c . 则样本空间为{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)},()10A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c n ΩΩ=. 设事件M =“两人分别来自[70,80)和[80,90)，则{(,),(,),(,),(,),(,),(,)},()6M A a A b A c B a B b B c n M =， 因此()63()()105n M P M n ===Ω， 所以两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率为35. 【小问3详解】由题意知，落在区间[70,80)内的数据有40100.028××=个，落在区间[80,90)内的数据有40100.0312××=个.记在区间[70,80)的数据分别为128,,,x x x ，平均分为x ，方差为2x s ；在区间[80,90)的数据分别为为1212,,,y y y ，平均分为y ，方差为2y s ；这20个数据的平均数为z ，方差为2s . 由题意，2275,85, 6.25,0.5x yx y s s ====，且8121111,812i j i j x x y y ===∑∑，则8128751285812020x y z +×+×==. 根据方差的定义，()()()()812812222221111112020i j i j i j i j s x z y z x x x z y y y z ==== =−+−=−+−+−+− ∑∑∑∑ ()()()()88812121222221111111()2()()2()20i i j j i i i j j j x x x z x z x x y y y z x z y x ====== −+−+−−+−+−+−−∑∑∑∑∑∑由()()881212111180,120i i j j i i j y x x x x y y y y ===−=−=−=−=∑∑∑∑， 可得()()8812122222211111()()20i j i i j j s x x x z y y y z ==== =−+−+−+−∑∑∑∑ 2222188()1212()20x y s x z s y z +−++−222223()()55x y s x z s y z =+−++− 22236.25(7581)0.5(8581)26.855+−++−= 故得分在[70,90)内的平均数为81，方差为26.8.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分利用方差定义，推导出分层抽样的方差计算公式即可. 19. 已知函数()y f x =为R 上的奇函数.当01x ≤≤时，()23f x ax x c =++(a c ，为常数)，()11f =. （1）当1122x −≤≤时，求函数()2f x y =的值域: （2）若函数()y f x =的图像关于点()1,1中心对称.①设函数()()g x f x x x =−∈R ，，求证:函数()g x 为周期函数; ②若()94188f x −≤≤对任意[],x m n ∈恒成立，求n m −的最大值. 【答案】（1）1,22（2【解析】【分析】（1）代入(0)0f =，(1)1f =，得到2()23,01f x x x x =−+≤≤，再二次性质求出当1122x −≤≤时，()[1,1]f x ∈−，最后根据复合函数单调性得1,22； （2）①运算得(2)()2f x f x +−=，则可证明(2)()g x g x +=；②求出11(),,[21,21],22f x x x k k k −∈−∈−+∈Z ，然后转化为求n 最大，m 最小即可. 【小问1详解】由于函数()f x 为R 上奇函数，那么(0)0f =，且(1)1f =，则(0)0(1)31f c f a c == =++= ，则02c a = =− ，则2()23,01f x x x x =−+≤≤； 那么239()248f x x =−−+，由10,2x ∈ ，则()[0,1]f x ∈， 而函数()f x 为奇函数，那么1,02x ∈−时，()[1,0)f x ∈−， 综上所述:当1122x −≤≤时，()[1,1]f x ∈−， 由复合函数单调性可知:则()12,22f x y =∈. 【小问2详解】 ①由于()()f x f x −=−，且()(2)2f x f x −=−++， 由于()(2)2f x f x −=−++，则(2)()2f x f x +−=， 那么(2)(2)(2)()2(2)()()g x f x x f x x f x x g x +=+−+=+−+=−=，则()g x 为R 上周期为2的函数.②由（1）可知，当[0,1]x ∈时，22111()2220,222g x x x x =−+=−−+∈ ，[1,0)x ∈−时，1(),02g x ∈−， 那么[21,2),x k k k ∈−∈Z 时，1(),02f x x −∈−； [2,21],x k k k ∈+∈Z 时，1()0,2f x x −∈； 那么11(),,[21,21],22f x x x k k k −∈−∈−+∈Z ； 若n m −要最大，仅需n 最大，m 最小， 从而考虑如下临界：由于941()88f x −≤≤，令1928x +=−， 则138x =−，此时(2,1)x ∈−−； 14145,,(5,6)288x x x −==∈；当(2,1)x ∈−−时，2(0,1)x +∈，2(2)(2)(2)2(2)3(2)(2)()()g x f x x x x x g x f x x +=+−+=−+++−+==−， 那么2()254,(2,1)f x x x x =−−−∈−−，令29254,8x x x −−−=−x =；同理，(5,6)x ∈时，6(1,0)x −∈−，2(6)(6)(6)2(6)3(6)(6)()()g x f x x x x x g x f x x −−−−−+−−−−， 那么2()22160,(5,6)f x x x x =−+∈，令24122160,8x x x −+==x =舍去）；从而n m ≤≥那么n m −=. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问的关键是求出11(),,[21,21],22f x x x k k k −∈−∈−+∈Z ，再求出,m n 的临界值即可.。

山东省潍坊市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在正方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 异面的棱有( ) A ．8条B ．6条C ．4条D ．2条〖解 析〗如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 异面的棱有：BC ，CD ，11C D ，11B C ． 〖答 案〗C2．下列命题正确的是( ) A ．若向量//a b ，//b c ，则//a c B ．模相等的两个平行向量是相等向量C ．方向不同的两个向量不可能是共线向量D ．若向量(3,6)a =--，则a 分别在x 轴，y 轴上的投影的数量之和为9-〖解 析〗A ．若a 与c 不共线，0b =，满足//a b ，//b c ，则得不出//a c ，A 错误； B ．模相等方向相反时，这两个向量不相等，B 错误； C ．方向相反的两个向量共线，C 错误；D.(3,6)a =--在x 轴上的投影为3-，在y 轴上的投影为6-，D 正确．〖答 案〗D3．下列各式化简结果为12的是( ) A ．212cos 75-︒ B ．sin15cos15︒︒C ．sin14cos16sin76cos74︒︒+︒︒D ．tan20tan25tan20tan25︒+︒+︒︒〖解 析〗对于A ，原式1(1cos150)cos150cos30=-+︒=-︒=︒=，故错误； 对于B ，原式1111sin302224=︒=⨯=，故错误；对于C ，原式1sin14cos16cos14sin16sin(1416)sin302=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=，故正确； 对于D ，原式tan(2025)(1tan20tan25)tan20tan25=︒+︒-︒︒+︒︒tan45(1tan20tan25)tan20tan251tan20tan25tan20tan251=︒-︒︒+︒︒=-︒︒+︒︒=，故错误．〖答 案〗C4．定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，2()f z z =就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数()f z 之后，对任意一个复数0z ，通过计算公式1()n n z f z +=，n N ∈，可以得到一列值0z ，1z ，2z ，⋯，n z ，⋯．若2()f z z =，01z i =-，当3n 时，(n z = ) A ．122n -B ．22nC ．122n +D ．14n -〖解 析〗依题意，21(1)2z i i =-=-，22(2)4z i =-=-，243(4)2z =-=， 当3n 时，0n z >，由21n n z z +=，得：212log 2log n n z z +=，而23log 4z =，则2122n nlog z log z +=，当4n 时，252622422323242521n n n log z log z log z log z log z log z log z log z log z log z -=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯31422n n --=⨯=， 23log 4z =满足上式，∴当3n 时，12log 2n n z -=，122n n z -=．〖答 案〗A5．在ABC ∆中，若3AB =，4BC =，30C =︒，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定〖解 析〗3AB =，4BC =，AB BC <，C A ∴<，A ∴必为大于30︒的角，故A 可以为锐角，也可以是钝角，∴此三角形有二解．〖答 案〗B 6．若tan 2θ=-，则sin cos2(sin cos θθθθ=- )A ．65-B ．25-C ．25D ．65〖解 析〗因为tan 2θ=-，所以sin cos2sin cos θθθθ-22sin ()sin cos cos sin θθθθθ-=-sin (cos sin )(cos sin )sin cos θθθθθθθ+-=-2sin cos sin θθθ=--222sin cos sin sin cos θθθθθ--=+22tan 1tan tan θθθ--=+2441-=+25=-． 〖答 案〗B7．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，且AF CE G =，则( )A ．12AF AD AB =-B ．2133AG AD AB =- C ．1()2EF AD AB =+D ．3BG GD =〖解 析〗E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，∴12EF AC =， AC AD AB =+，∴1()2EF AD AB =+，故选项C 正确； 12AF AD DF AD AB =+=+，故选项A 错误； 221333AG AF AD AB ==+，故选项B 错误； 2BG GD =，故选项D 错误．〖答 案〗C8．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=>，若()f x 的图像在区间(0,)π上有且只有2个最低点，则实数ω的取值范围为( ) A ．137(,]62B ．725(,]26C ．814(,]33D ．28(,]33〖解 析〗函数()cos (0)2cos()3f x x x x πωωωω=>=+，若()f x 的图像在区间(0,)π上有且只有2个最低点，(33x ππω+∈，)3πωπ+， 353ππωππ∴<+，求得81433ω<． 〖答 案〗C二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9．已知正四棱台上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，则( )A ．正四棱台的高为2BC ．正四棱台的表面积为20+D〖解 析〗对于A ，正四棱台上下底面对角线长为，∴正四棱台的高h ==错误；对于B ，正四棱台的斜高h '==B 正确；对于C ，正四棱台侧面积为14(24)2⨯⨯+4，16，∴正四棱台的表面积41620S =++=+C 正确；对于D ，正四棱台的体积1(416)3V =D 正确．〖答 案〗BCD10．设1z ，2z ，3z 为复数，且30z ≠，则下列命题正确的是( ) A ．若12||||z z =，则12z z =± B ．若1323z z z z =，则12z z = C ．若2313||z z z =，则13z z =D ．若21z z =，则1323||||z z z z =〖解 析〗当11z =，2z i =时，12||||z z =，但12z z ≠±，故选项A 错误；1323z z z z =，且30z ≠，12z z ∴=，故选项B 正确；当1z i =，3z i =-时，2313||z z z =，但13z z ≠，故选项C 错误； 若21z z =，则1313||||||z z z z =⋅，23231313||||||||||||||z z z z z z z z =⋅=⋅=⋅， 故选项D 正确． 〖答 案〗BD11．已知函数()cos(2)12f x x π=+，则下列说法正确的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图像关于直线1124x π=对称C ．函数()f x 的图像关于点7(,0)24π-对称D ．函数()f x 在(0,)4π上单调递减〖解 析〗对于函数()cos(2)12f x x π=+，对于A ：函数的最小正周期为22ππ=，故A 错误； 对于B ：当1124x π=时，1124()cos 12424f ππ==-，故B 正确； 对于C ：当724x π=-时，7142()cos()cos()02424242f ππππ--=+=-=，故C 正确； 对于D ：当(0,)4x π∈时，72(,)121212x πππ+∈，故函数在该区间上单调递减，故D 正确．〖答 案〗BCD12．在ABC ∆中，P ，Q 分别为边AC ，BC 上一点，BP ，AQ 交于点D ，且满足AP tPC =，BQ QC λ=，BD DP μ=，AD mDQ =，则下列结论正确的为( )A ．若12t =且3λ=时，则23m =，9μ=B ．若2μ=且1m =时，则13λ=，12t =C ．若121tλ-=时，则121t μ-=D ．(1)(1)(1)(1)t mt m μλμλ=++++ 〖解 析〗由题意得：1t AC AP t +=，1m AQ AD m+=，BQ QC λ=， ()AQ AB AC AQ λ-=-，即111AQ AC AB λλλ=⋅+⋅++， 即11111m t AD AP AB m t λλλ++=⋅⋅+⋅++， 所以111111t m mAD AP AB t m m λλλ+=⋅⋅+⋅++++，因为B ，D ，P 三点共线，所以1111111t m mt m m λλλ+⋅⋅+⋅=++++，当12t =，且3λ=时，11312111311312m m m m +⋅⋅+⋅=++++，解得23m =，1BP BD μμ+=，1BC BQ λλ+=，AP tPC =， ∴()BP BA t BC BP -=-，即111t BP BC BA t t=⋅+⋅++， 即11111t BD BC BA t t μλμλ++=⋅⋅+⋅++，所以111111t BD BC BA t t λλλλλλ+++=⋅⋅+⋅++，因为A ，D ，Q 三点共线，所以1111111t t t λμμλμμ+⋅⋅+⋅=++++， 当12t =，且3λ=时，131121113111122μμμμ+⋅⋅+⋅=++++，解得9μ=，故A 正确； 若2μ=且1m =时，11211t t λλλ+⋅+=++，，113112t t t λλ+⋅+=++，解得12λ=，13t =，故B 错误； 1111111t t t λμμλμμ+⋅⋅+⋅=++++，变形为1111t t t t λλλμ++=+++①， 若121t λ-=时，则2t t λλ-=，代入①式得1111t μ-=+， 假设1111t μ-=+成立，则121t t=+，解得2t =-，此时10λ=，显然无解，故假设不成立，故C 错，同理可得1111111m m m λμμλμμ++⋅⋅+⋅=+++，1111111m t m m t m μμμ++⋅⋅+⋅=+++，所以111111(1)(1)t m m t m m μμμμμ-⋅=-=++++++，111111(1)(1)m m m m m λμμλμμ-⋅=-=++++++， 所以(1)(1)(1)(1)t mt m μλμλ=++++．故D 正确． 〖答 案〗AD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答 案〗填在答题卡的相应位置． 13．记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若222sin a c b B +-=，则B = ．〖解析〗因为222sin a c b B +-=，所以由余弦定理可得2cos sin ac B B =，所以可得tan B =， 又(0,)B π∈，则3B π=．〖答 案〗3π14．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，侧棱长为2，则其外接球的表面积为 ． 〖解 析〗如图，设正三棱柱111ABC A B C -的上下底面中心分别为E ，F ，则由正三棱柱与球的对称性可知EF 的中点O 即为正三棱柱111ABC A B C -的外接球心， OA ∴即为外接球的半径R ，设正三角形ABC 的截面小圆半径为r ，又正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，∴由正弦定理可得12sin 60r =︒，∴r =，又12EF AA ==，1OF ∴=，在Rt AOF ∆中由勾股定理可得222r OF R +=，∴2113R +=，∴243R =，∴正三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为24164433R πππ=⨯⨯=． 〖答 案〗163π 15．如图所示，为测算某自然水域的最大宽度（即A ，B 两点间的距离），现取与A ，B 两点在同一平面内的两点C ，D ，测得C ，D 间的距离为1500米，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为 米．〖解 析〗由题意可知在ADC ∆中，13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 则1801501515DAC ∠=︒-︒-︒=︒，故1500AD DC ==， 在BDC ∆中，15120135DCB ACD ACB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 故1801351530DBC ∠=︒-︒-︒=︒，故由sin sin BD CDDCB DBC=∠∠得1500sin 21sin 2CD DCB BD DBC ∠===∠，在ADB ∆中，2222cos135AB AD BD AD BD =+-⋅⋅︒，22215002150051500=++⨯⨯=⨯，故AB =)． 〖答案〗16．在平面直角坐标系xOy 中，给定1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，假设O ，A ，B 不在同一直线上，利用向量的数量积可以方便的求出OAB ∆的面积为12211||2S x y x y =-．已知三点(1,1)A ，(3,4)B -，2(,8)1tC t +，则ABC ∆面积的最大值为 ． 〖解 析〗依题意，在ABC ∆中，1(OA x =，1)y ，2(OB x =，2)y ， 则ABC ∆的面积为12211||2S x y x y =-， 当(1,1)A ，(3,4)B -，2(1t C t +，8)时，(4,3)AB =-，2(11t AC t =-+，7) 则ABC ∆面积22113|3(1)28||25|2121ABC t t S t t ∆=-+=+++， 显然ABC ∆面积取最大值时，必有0t >，因此，当0t >时，213131353(25)(25)(25)1212242ABC t S t t t t ∆=+=+=++⨯， 当且仅当1t =时取“=”， 所以ABC ∆面积的最大值为534． 〖答 案〗534四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知(3,)A m ，(2,1)B ，(2,1)C -，(,2)D n -是复平面内的四个点，其中m ，n R ∈，且向量AC ，BD 对应的复数分别为1z ，2z ，且1262z z i -=-+． （1）求1z ，2z ； （2）若复数12z tz z +=，t R ∈，在复平面内对应的点Z 在第四象限，求实数t 的取值范围． 解：（1）由已知可得(5,1)AC m =--，(2BD n =-，3)-， 则15(1)z m i =-+-，223z n i =--，所以123(4)62z z n m i i -=--+-=-+，则3642n m -=-⎧⎨-=⎩，解得2m =，9n =，所以15z i =--，273z i =-， （2）因为125(5)(73)(327)(223)73(73)(73)58z t i t t i i t t iz z i i i +--+-+-+-++-+====--+ 在复平面内对应的点在第四象限，则32702230t t -+>⎧⎨-+<⎩，解得322273t <<，即实数t 的范围为3222(,)73． 18．（12分）已知向量(1,2)a =，(2,5)b =-，2()c a tb t R =+∈． （1）若c b ⊥，求t 的值；（2）若c 与a 的夹角为锐角，求t 的取值范围． 解：（1）c b ⊥，(22,45)c t t =-+，∴2(22)5(45)0c b t t ⋅=--++=，∴1629t =-； （2）c 与a 的夹角为锐角，∴0c a ⋅>，且c 与a 不共线，∴222(45)0452(22)0t t t t -++>⎧⎨+--≠⎩，解得54t >-且0t ≠，t ∴的取值范围为：504t t t ⎧⎫-≠⎨⎬⎩⎭且．19．（12分）在ABC ∆中，点P 在边BC 上，3C π=，4AP =，记AC 的长为m ，PC 的长为n ，且16mn =． （1）求APB ∠；（2）若ABC ∆的面积为sin PAB ∠． 解：（1）在APC ∆中，由于3C π=，AC m =，PC n =，16AC PC mn ⋅==，所以利用余弦定理2222cos3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅，整理得：22216()3m n mn m n mn =+-=+-，解得8m n +=，故4m n ==， 则：AC PC AP ==，所以APC ∆为等边三角形，所以23APB π∠=． （2）由ABC S ∆=，所以1sin 2AC BC ⋅⋅⋅=7BC =，则3BP =；如图所示：作AD BC ⊥交BC 于点D ，由（1）可知：在等边三角形APC 中，AD =2PD =，在Rt ABD ∆中，AB = 在ABP ∆中，利用正弦定理：sin sin AB PBAPB PAB=∠∠，整理得：3sin74PAB ∠==．20．（12分）某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1)．现测量其中一个屋顶，得到圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m （如图2)．（1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花50朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（参考数据： 3.14)π≈；（2）若C 是母线SA 的一个三等分点（靠近点)S ，从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度．解：（1）圆锥的侧面展开图的面积为：618339.12S rl ππ==⨯⨯≈， 需要的鲜花为：339.125016956⨯=（朵)； （2）圆锥的侧面展开图如图：122183ASC ππ∠==，18SA =，6SC =，在SAC ∆中，AC ==即灯光带的最小长度为米．21．（12分）已知函数5()sin(2)2cos()sin()644f x x x x πππ=--++． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()y f x k =-在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个零点，求实数k 的取值范围． 解：（1）5()sin(2)2cos()sin()644f x x x x πππ=--++ sin 2cos cos2sin 2cos()sin()6644x x x x ππππ=-+++12cos2sin(2)22x x x π=-++12cos2cos22x x x =-+12cos22x x =+sin(2)6x π=+， 令222262k x k πππππ-+++，k Z ∈，所以36k x k ππππ-++，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为：[3k ππ-+，]6k ππ+，k Z ∈．（2）函数()y f x k =-在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个零点， 即曲线sin(2)6y x π=+与直线y k =在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个交点， 由11[,]612x ππ∈-，可得2[66x ππ+∈-，2]π， 当11[,]612x ππ∈-时，()sin(2)[16f x x π=+∈-，1]， 设26t x π=+，则sin y t =，[6t π∈-，2]π，当(1k ∈-，1)(02-⋃，1)时，曲线sin y t =与直线y k =区间[6t π∈-，2]π上有且仅有两个交点．22．（12分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)ϕπ<，()f x 图像上相邻的最高点与最低点的横坐标相差2π，3x π=-是()f x 的一条对称轴，且()(1)6f f π>． （1）求()f x 的〖解 析〗式；（2）将函数()f x 的图像向右平移12π个单位得到函数()t x 的图像，若存在1x ，2x ，⋯，m x 满足1205m x x x π<<⋯<，且1223|()()||()()|t x t x t x t x -+-+⋯+1|()()|20(2m m t x t x m --=，*)m N ∈，求m 的最小值；（3）令()()cos2h x f x x =-，()[()]g x h h x =，若存在[,]123x ππ∈使得2()(2)()30g x a g x a +-+-成立，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意，周期22T ππ=⨯=，故22,()sin(2)f x x πωϕπ===+， 且2()()32k k Z ππϕπ⨯-+=+∈，即7()6k k Z πϕπ=+∈， 因为||ϕπ<，故766ππϕπ=-=或75266ππϕπ=-=-， 故()sin(2)6f x x π=+或5()sin(2)6f x x π=-．当()sin(2)6f x x π=+时，()sin(2)1,(1)sin(2)16666f f ππππ=⨯+==+<， 故()sin(2)6f x x π=+成立；当5()sin(2)6f x x π=-时， 55()sin(2)1,(1)sin(2)16666f f ππππ=⨯-=-=->-．综上有()sin(2)6f x x π=+； （2）由题意，()sin[2()]sin 2126t x x x ππ=-+=，根据题意，要使m 的值尽量小， 则1|()()|m m t x t x --要尽量大．又1|()()|2m m t x t x --，结合()sin 2t x x =的图象可得，当12345673579110,,,,,,444444x x x x x x x ππππππ=======， 8910111213151719,,,,54444x x x x x πππππ=====时， m 的取值最小为12，（3）由（1）()2sin(2)6f x x π=+，所以1()()cos2sin(2)cos2cos2cos262h x f x x x x x x x π=-=+-=+-12cos2sin(2)26x x x π=-=-， 当[,]123x ππ∈时，0262x ππ-， 0()1h x ∴，所以，2()2666h x πππ---，所以，1()[()]sin[2()][,sin(2)]626g x h h x h x ππ==-∈--， ∴1()1[,1sin(2)]26g x π+∈+-，2223ππ<<，∴2362πππ<-<sin(2)16π<-<， 由2()(2)()30g x a g x a +-+-，可得2()2()3[()1]g x g x a g x +++，所以，22()2()3[()1]22()1()1()1()1g x g x g x a g x g x g x g x ++++==+++++，由基本不等式可得2()12[()()1g x g x g x ++++，当且仅当1()1[,1sin(2)]26g x π++-时，等号成立，所以，22a ．即a ∈)+∞．。

高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．用抽签的方法产生随机数C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（ ） A ．a 平行于α内的有限条直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 成90°角3．设a ，b ，l 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，下列四个命题中错误的是（ ） A ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥C ．若a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβD ．若αβ⊥，l αβ=，A α∈，AB l ⊥，则AB β⊥4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ） A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同 B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍 C ．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍 D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点PD ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B二、单选题6．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，⋂=c αβ，a α⊂，b β⊂，则“a ，b 相交“是“a ，c 相交”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（ ） A ．154.5cmB ．158cmC ．160.5cmD ．159cm8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（ ） A ．互为余角B ．相等C ．其和为周角D ．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A ．73.3，75，72B ．72，75，73.3C ．75，72，73.3D ．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（ ） A ．325B ．15C ．310 D ．3512．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A．2BCD ．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1A P ∥平面GEF ，则下面的4个判断∶点P∶线段1A P ；∶11A P AC ⊥；∶1A P 与1B C 一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14、15，获得二等奖的概率分别为12、35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为___________.15．数据1x ，2x ，…，8x 平均数为6，标准差为2，则数据126x -，226x -，…，826x -的方差为________. 16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AA AB ⊥=，G 是棱11A C 的中点．(1)证明：1BC AB ⊥；(2)证明：平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0；乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0． （1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)2030，，[)3040，，，[]8090，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)4050，内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为113224，，，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为311422，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为2132，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为4354，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为X ，求(3)P X =的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面,ABC AB AC =，,M N 分别为,BC AB 的中点，(1)求证：MN //平面P AC (2)求证：平面PBC ⊥平面P AM22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，其对角线AC 与BD 相交于点O ，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，13AA =，2AB =.(1)证明：1A O ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥11C A BD -的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简单随机抽样；对于D ，此为系统抽样. 故选：BC. 2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a 平行于平面α，所以a 与平面α内的直线平行或异面，选项A 错误；选项B ，C ，D 正确.故选：BCD. 3．ACD【分析】选项ACD ，可借助正方体构造反例；选项B ，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥，可证明l m ⊥，l n ⊥，即得证.【详解】A 选项：取11//A C 平面ABCD ，1111AC B D ⊥，但是11B D 不垂直于平面ABCD ，命题A 错误． B 选项：设a αγ⋂=，b βγ=，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥．因为αγ⊥，βγ⊥，所以m α⊥，n β⊥，又l α⊆，l β⊆，所以l m ⊥，l n ⊥，所以l γ⊥．命题B 正确． C 选项：11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，但平面ABCD 与平面11ABB A 不平行，命题C 错误． D 选项：平面ABCD ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，1B ∈平面11ABB A ，1B C AB ⊥，但1B C 与平面ABCD 不垂直，命题D 错误． 故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A ，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∶小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A 错误；对于B ，设2018年收入为a ，∶相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∶2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用为1.512%0.18a a ⨯=，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为0.06a ，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B 正确；对于C ，设2018年收入为a ，则2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，故C 错误； 对于D ，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D 正确． 故选：BD ． 5．ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN =D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB 1,所以1A P 与平面11BCC B=所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于∶1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，MN ==P 选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB1,所以1A P 与平面11BCC B 所=所以该选项正确.故选：ACD 6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：∶若a ，b 相交，a α⊂，b β⊂，则其交点在交线c 上，故a ，c 相交， ∶若a ，c 相交，可能a ，b 为相交直线或异面直线．综上所述：a ，b 相交是a ，c 相交的充分不必要条件． 故选：C ． 7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答. 【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人， 设被抽取到的女生平均身高为cm x ，则6017240165100x⨯+=，解得154.5cm x =，所以被抽取的女生平均身高为154.5cm . 故选：A 8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A 为二面角--l αβ内任意一点，AB α⊥，AC β⊥，过B 作BD l ⊥于D ， 连接CD ，因为AB α⊥，l α⊂，所以AB l ⊥因为AC β⊥，l β⊂，所以AC l ⊥，且AB AC A ⋂=， 所以l ⊥平面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，所以⊥l CD 则BDC ∠为二面角l αβ--的平面角，90ABD ACD ∠∠︒＝＝，BAC ∠为两条垂线AB 与AC 所成角，所以180A BDC ∠∠︒＋＝， 所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角. 故选：D. 9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项 故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解. 【详解】解：平均数为2683346858+++++++=，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：2,3,3,4,6,6,8,8， 则中位数为4652+=，故丙错误； 875%6⨯=，则第75百分位数为6872+=，故丁正确， 所以正确的个数为2个. 故选：B. 11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得11111223232E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯在BDE 中，BE DE BD ===BD边上的高2==，所以122BDE S =⨯=所以1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 13⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离 13．∶∶【分析】先证明平面1A BD ∥平面GEF ，可判断P 的轨迹是线段BD ，结合选项和几何性质一一判断即可． 【详解】分别连接11,,BD A B A D ，所以11BD B D ∥，又因为11B D ∥EG ，则BD EG ∥， 同理1A D EF ∥，1,BDA D D EGEF E ==，故平面1A BD ∥平面GEF ，又因为1A P ∥平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，所以点P 在BD 上．所以点P 的轨迹是一段长度为BD =，故∶正确；当P 为BD 中点时1A P BD ⊥，线段1A P ，故∶错； 因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ，又1A P ⊂平面1A BD ， 则11A P AC ⊥，故∶正确；当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，则∶错． 故答案为：∶∶14．1920【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为1111424--=，乙不中奖的概率为1311555--=，因此，甲、乙两人至少有1人获奖的概率为111914520-⨯=.故答案为：1920. 15．16【详解】试题分析：由题意知12868x x x x +++==，(862s x +-=，则12848x x x +++=，24s =，而()()()12826262624886688x x x y -+-++-⨯-⨯===，所以所求方差为()()()2222212812122122124168s x x x s ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎣⎦'．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据{}12,,,n x x x 与{}12,,,n y y y 中若有i i y ax b =+时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：y x =，222y x s a s =或是y x s as =，掌握此关系会给我们计算带来很大方便． 16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角. 【详解】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，则11,22ON CD MN AB ∥∥，所以ONM ∠或其补角即为所求的角.因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，平面ABC平面ACD AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面ACD ，又因为OD ⊂平面ACD ，所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2，OB OD ==2BD =，则112OM BD ==. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN 是等边三角形，60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒． 故答案为： 60° 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，从而求出BC ⊥平面11ABB A ，得到1BC AB ⊥；（2）根据正方形得到11BA AB ⊥，结合第一问求出的1BC AB ⊥，得到1AB ⊥平面1A BC ，从而证明面面垂直. （1）∶1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， ∶1AA BC ⊥． 又因为1,BC AB AA AB A ⊥=，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ． ∶1AB ⊂平面11ABB A ， ∶1BC AB ⊥． （2）∶1AA AB =，易知矩形11ABB A 为正方形， ∶11BA AB ⊥．由（1）知1BC AB ⊥，又由于11,,A B BC B A B BC =⊂平面1A BC ，∶1AB ⊥平面1A BC ． 又∶1AB ⊂平面1AB G ， ∶平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．（1）甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1 （2）甲的平均数等于0012003040110+++++++++=乙的平均数等于2020202020110+++++++++=甲的方差等于2222222222(01)(01)(11)(21)(01)(01)(31)(01)(41)(01)210-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙的方差等于2222222222(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型. 19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【分析】（1）根据频率=组距⨯高，可得分数小于70的概率为：1(0.040.02)10-+⨯；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1(0.040.020.020.01)100.050.05-+++⨯-=， 估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为4000.0520⨯=人， （3）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等． 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为0.610060⨯=， 即女生的频率为：0.4，则女生人数为0.410040⨯=， 所以总体中男生和女生人数的比例约为：3:2． 20．(1)38；(2)13(3)80P X ==；(3)分布列见解析；期望为712． 【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析3X =时，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件A =“甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节， 故1131131133()(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2242242248P A =---+⨯--⨯+--⨯=；(2)当3X =时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试都未通过， 3113114343(3)[(1)(1)2][(1)(1)]4224225454P X ==-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-+-⨯3114313(1)(1)4225480+⨯⨯⨯--=；(3)甲应聘成功的概率为1113113113215[(1)2(1)]2242242243224P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=， 乙应聘成功的概率为2113113113433[(1)2(1)]224224224548P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，Y 的取值可能为0，1，2， 5395(0)(1)(1)248192P Y ==--=， 535341(1)(1)(1)24824896P Y ==⨯-+-⨯=535(2)24864P Y ==⨯=， 所以Y 的分布列如下表：所以数学期望7()12E Y =. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得//MN AC ,结合线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABC ，证得PA BC ⊥，再由AB AC =，证得AM BC ⊥，根据线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAM ，进而得到平面PBC ⊥平面PAM . （1）证明：在ABC 中，因为,M N 分别为,BC AB 中点，可得//MN AC , 又因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//MN 平面PAC . （2）证明：因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，可得PA BC ⊥， 又因为AB AC =，且M 为BC 中点，可得AM BC ⊥，又由PA AM A =且,PA AM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ， 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM . 22．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接1A B ，1A D ，可证明1AO BD ⊥，再证明1A O OA ⊥，从而可证明结论. （2）由线面垂直的判断定理得AC ⊥平面1A BD ，由11//AC A C 得11A C ⊥平面1A BD ，再由棱锥的体积可得答案. （1）连接11,A D A B ，111,,AD AB A AB A AD A A =∠=∠为公共边，1111,∴≅∴=A AB A AD A D A B ，又O 为BD 的中点，1A O BD ∴⊥，在1A AB 中，由余弦定理可知1A B在1Rt AOB 中1AO =13,A A AO = 满足22211A O AO A A +=1A O OA ∴⊥，又AO BD O ⋂=，1A O ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1A O AC ∴⊥且1BD AC BD AO O ⊥⋂=，， AC ∴⊥平面1A BD ，且11//AC A C ， 11A C ∴⊥平面1A BD ，1111232C A BD V -=⨯⨯。

33高一下学期期末数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知α是第二限角，则下列结论正确的是A ．sinα•cosα＞0B ．sinα•tanα＜0C ．cosα•tanα＜0D ．以上都有可能（ ）2．化简 AB + BD - AC - CD =（）A ． 0B ． ADC ． BCD ． DA3．若 P (-3,4) 为角α终边上一点，则 cos α=（）A. -B. 455 C. - D. - 44 34. 若 a = 1, b = 2, 且 a , b 的夹角为120 则 a + b 的值（）A ．1B ． 3C ． 2D ． 2π5. 下列函数中，最小正周期是A. y = tan 2x的偶函数为（） 2B. y = cos(4x + πC. y = 2 cos 22x -1 2D. y = cos 2x6. 将函数 y = sin(3x + π 的图象向左平移π) 个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原 6 61来的 倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为（ ）2A. y =sin( 3 x + 2π2 3B. y = sin(6x + π3C. y = sin 6xD. y = sin(6x +2π37. 如右图，该程序运行后的输出结果为（）A ．0B ．3C ．12D ．－2))) )8. 函数 y ＝cos(π π－2x )的单调递增区间是4（）5π 5A ．[k π＋ 8 ，k π＋ 8 π]B ．[2k π＋ 8 ，2k π＋ π]83 C ．[k π－ 8 π，k π＋ π3]D ．[2k π－ 8 8 π，2k π＋ π]（以上 k ∈Z ）89. 已知直线 y = x + b,b ∈[﹣2,3]，则直线在 y 轴上的截距大于 1 的概率是（）1 234A.B ．C ．D ．555510. 右面是一个算法的程序．如果输入的 x 的值是 20，则输出的 y 的值是（）A ．100B ．50C ．25D ．150第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）二、填空题（本题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分）11．若 a = (2,3) 与b = (-4, y ) 共线，则 y ＝.12. 某工厂生产 A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2∶3∶5．现用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号的产品有 16 件，那么此样本的容量 n ＝.13. 设扇形的周长为8cm ，面积为 4cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是 .14. 若tan α= 1，则2sin α+ cos α 2 s in α- 3cos α= .15. 函数 y=Asin(ωx+φ)( A ＞0，ω＞0，|φ|＜π ) ，在同一个周期内，当 x= π时， y 有最大值 2,3当 x=0 时,y 有最小值－2,则这个函数的解析式为.三、解答题（本大题共 6 小题,满分 75 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．(本小题满分 12 分)某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的 学生中抽出 60 名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：(1) 求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2) 估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分.-α 17．(本小题满分 12 分)已知函数 f (x ) = 2sin 1 x + 2 3 cos 1x .2 2（1） 求函数 f (x ) 的最小正周期及值域； （2） 求函数 f (x ) 的单调递增区间.18．(本小题满分 12 分)已知|a |＝3，|b |＝2，a 与 b 的夹角为 60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b .(1) 当 m 为何值时，c 与 d 垂直？ (2) 当 m 为何值时，c 与 d 共线？19．(本小题满分 12 分)设函数 f (x )＝a ·b ，其中向量 a ＝(m ，cos2x )，b ＝(1＋sin2x,1)，x ∈R ，且⎡π ⎤ 函数 y ＝f (x )的图象经过点 ⎢⎣ 4 , 2⎥⎦. (1) 求实数 m 的值；(2) 求函数 f (x )的最小值及此时x 值的集合．20．(本小题满分 13 分)已知π < α< π，且sin(π-α) = 4；25sin(2π+α) tan(π-α) cos(-π-α)（1） 求 sin(3π 2 π) cos( 2+α)的值；（2） 求 sin 2α- cos 2α 5π 的值.tan(α- )421．(本小题满分 14 分)某班数学兴趣小组有男生三名,分别记为 a 1 , a 2 , a 3 ,女生两名，分别记为b 1 , b 2 ,现从中任选 2 名学生去参加校数学竞赛.（1） 写出这种选法的样本空间； （2） 求参赛学生中恰有一名男生的概率； （3） 求参赛学生中至少有一名男生的概率.) 数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。

2022-2023学年河北省石家庄市高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知向量,，且，则实数（ ）(4,1)m =- (5,2)n =- ()()//m n xm n +- x =A ．B ．C ．D ．11-7575-【答案】B【分析】分别求和的坐标，再根据向量平行，列式求解.m n +xm n - 【详解】，，()1,1m n +=-()45,2xm n x x -=+--因为，所以，()()//m n xm n +-()()()12450x x -⨯---+=解得：.=1x -故选：B【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型.2．已知点，则与向量同方向的单位向量是113(2,),(,)222A B -AB A ．B ．C ．D ．3455-（，）4355-（，）3455-（，）43,55-（）【答案】C【详解】试题分析：与向量同方向的单位向量是.3(,2)2AB =- 2334(,2)5255AB AB⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭ ，【解析】单位向量的求法.3．在△中，为边上的中线，为的中点，则ABC AD BC E AD EB =A ．B ．3144AB AC-1344AB AC-C ．D ．3144+AB AC1344+AB AC【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后1122BE BA BD=+应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到BC BA AC =+，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.3144BE BA AC=+3144EB AB AC =- 【详解】根据向量的运算法则，可得，()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+所以，故选A.3144EB AB AC=- 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.4．对任意向量，下列关系式中不恒成立的是,a bA ．a b a b⋅≤ B ．||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B 【详解】因为，所以选项A 正确；当与方向相反时，cos ,a b a b a b a b⋅=〈〉≤ a b 不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；a b a b-≤- ，所以选项D 正确．故选B ．()()22a b a b a b+-=- 【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积．5．已知中角、、对边分别为、、，若，，则的最大值为（ ）ABC A B C a b c 4a =π3A =b c +A ．B ．C ．D ．以上都不对468【答案】C【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值.b c +【详解】由余弦定理可得()222222162cos 3a b c bc A b c bc b c bc==+-=+-=+-，()()()222344b c b c b c ++≥+-=所以，，即，()264b c +≤8b c +≤当且仅当时，等号成立，故的最大值为.4b c ==b c +8故选：C.6．已知三个向量，，共面，且均为单位向量，，则的取值范围是a b c0a b ⋅= ||a b c +-A ．B ．C ．D ．1⎤⎦⎡⎣1,1⎤⎦【答案】A【详解】因为，所以，所以＝0a b ⋅= 222||22a b a a b b +=+⋅+= ||a b += 2||a b c +- ＝，则当与同向时最大，22222()a b c a b a b c +++⋅-+⋅ 32()a b c -+⋅ c ()a b +()a b c +⋅最小，此时＝2||a b c +- ()cos 0a b c a b c +⋅=+︒= 2||3a b c +-=- min ||a b c +-；当与反向时最小，最大，此时 1-c ()a b + ()a b c +⋅ 2||a b c +- ()a b c +⋅＝，所以的取值范cos a b c π+= 2||3a b c +-=+ max ||1a b c +-= ||a b c +-围为，故选A ．1]-7．如图所示，等边的边长为2，位边上的一点，且，也是等边三角ABC D AC AD AC λ=ADE 形，若，则的值是（ ）449BE BD ⋅=λA ．B 23C ．D ．3413【答案】A【解析】根据向量表示以及向量数量积定义化简条件，解得结果.【详解】()()BE BD BA AE BA AE ED ⋅=+⋅++22BA BA AE BA ED AE BA AE AE ED =+⋅+⋅+⋅++⋅ 2222222cos 2222cos44cos333πππλλλλλ=+⋅-⋅+⋅++224λ=+则因为，所以.2244424,99λλ+=⇒=0λ>23λ=故选：A.【点睛】本题考查向量表示以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属中档题.8．在中，角、、所对的边分别为、、，，，是内切圆的ABC A B C a b c 5a b ==8c =I ABC 圆心，若，则的值为（ ）AI xAB y AC =+x y +A ．B ．C ．D ．203103321318【答案】D【分析】计算出的内切圆半径，以直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐ABC AB x AB y 标系，利用平面向量的坐标运算可求得、的值，即可得解.x y 【详解】，，所以，内切圆的圆心在边高线上（也是边上的中线）5a b == 8c =ABC I ABOC AB ，，，4OA OB ∴==3OC ==以直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，AB xAB y 则、、，()4,0A -()4,0B ()0,3C 设的内切圆的半径为，根据等面积法可得：，ABC r ()1122a OC a b c r⋅=++解得，即点，则，，，3848553r ⨯==++40,3I ⎛⎫ ⎪⎝⎭()8,0AB = ()4,3AC = 44,3AI ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 因为，则，解得，则.AI xAB y AC =+ 844433x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩51849x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1318x y +=故选：D.二、多选题9．已知向量是同一平面内的两个向量，则下列结论正确的是（ ）,a b αA ．若存在实数，使得，则与共线λb a λ=a b B ．若与共线，则存在实数，使得a b λb aλ= C ．若与不共线，则对平面内的任一向量，均存在实数，使得a b αc,λμc a b λμ=+ D ．若对平面内的任一向量，均存在实数，使得，则与不共线αc,λμc a b λμ=+ a b 【答案】ACD【解析】根据平面向量共线、平面向量的基本定理判断出正确选项.【详解】根据平面向量共线的知识可知A 选项正确.对于B 选项，若与共线，可能，当为非零向量时，不存在实数，使得，所以Ba b 0a = b λb a λ=选项错误.根据平面向量的基本定理可知C 、D 选项正确.故选：ACD【点睛】本小题主要考查平面向量共线、平面向量的基本定理，属于基础题.10．已知两个单位向量，的夹角为θ，则下列结论正确的是（ ）1e 2eA ．不存在θ，使B ．12e e ⋅=121222e e e e -=-C ．当时，D ．在方向上的投影数量为120θ=°121213(2)(2)2e e e e -⋅-=1e 2e sin θ【答案】ABC 【分析】根据条件知，再利用数量积的定义及运算逐一对各个选项分析判断即可得出结121==e e 果.【详解】因为两个单位向量，的夹角为，所以，1e 2eθ121== e e 选项A ，因为，又，所以，故选项A 正确；1212cos cos e e e e θθ⋅== []0,πθ∈121e e ⋅≤ 选项B ，因为，222121122122445454cos e e e e e e e e θ-=-⋅+=-⋅=-，所以，即222121122122445454cos e e e e e e e e θ-=-⋅+=-⋅=- 22121222e e e e -=- ，故选项B 正确；121222e e e e -=-选项C ，因为，221212112212(2)(2)2524545cos e e e e e e e e e e θ-⋅-=-⋅+=-⋅=-又，所以，故选项C 正确；120θ=°1212113(2)(2)45(22e e e e -⋅-=-⨯-=选项D ，因为在方向上的投影数量为，故选项D 错误.1e 2e1212cos cos e e e e θθ⋅== 故选：ABC.11．已知为坐标原点，点，O ()1cos ,sin P αα，，，则（ ）()2cos ,sin P ββ-()()()3cos ,sin P αβαβ++()1,0A A ．B ．12OP OP = 12AP AP = C ．D ．312OA OP OP OP ⋅=⋅123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC【分析】A 、B 写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根1OP2OP 1AP2AP 据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：，，所以，1(cos ,sin )OP αα=2(cos ,sin )OP ββ=- 1||1OP == ，故，正确；2||1OP ==12||||OP OP = B ：，，所以1(cos 1,sin )AP αα=-2(cos 1,sin)AP ββ=--，同理1||2|sin |2AP α===== ，故不一定相等，错误；2||2|sin |2AP β== 12||,||APAP C ：由题意得：，31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，正确；12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ D ：由题意得：，11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+，故一般来说故错误；()()()cos βαβcos α2β=++=+123OA OP OP OP ⋅≠⋅ 故选：AC12．定义一种向量运算“”：，（，是任意的两个向量）对于同一⊗,,,,a b a b a b a b a b ⎧⋅⎪⊗=⎨-⎪⎩当不共线时当共线时a b平面内的向量，，，，给出下列结论，其中正确的选项是（ ）a b c eA ．B ．；a b b a⊗=⊗ ()()()a b a b λλλ⊗=⊗∈RC ．；D ．若是单位向量，则()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗ e ||1a e a ⊗≤+ 【答案】AD【分析】AD 可根据定义及向量运算法则计算得到；BC 可举出反例.【详解】A 选项，因为，，故，A 正确；a b b a ⋅=⋅ a b b a -=- a b b a ⊗=⊗ B 选项，当不共线时，，，,a b()a b a b λλ⊗=⋅ ()a b a b λλ⊗=⋅ 当共线时，，，,a b()a b a b λλ⊗=- ()a b a b λλ⊗=- 不妨设，，则，，故B 错误；2λ=()()1,0,2,0a b ==2a b λ-=00a b λ-==C 选项，不妨设，满足共线，与均不共线，()()()0,1,2,0,2,1a b c ===,a b c + ,a c ,b c 当共线时，，,a b c +()0a b c a b c +⊗=+-= 与均不共线时，，,a c ,b c 145a c b c a c b c ⊗+⊗=⋅+⋅=+=此时两者不相等，故C 错误；D 选项，是单位向量，当不共线时，，e ,a e cos ||||1a e a e a a a θ⊗=⋅=≤<+ 当共线时，，,a e||1a e a e a e a ⊗=-≤+≤+ 故若是单位向量，则，D 正确.e ||1a e a ⊗≤+ 故选：AD三、填空题13．是边长为的正方形，、分别是、的中点，则_____.ABCD 1E F BC CD AE AF ⋅=【答案】1【分析】建立平面直角坐标系，得出点坐标，向量的坐标，再由向量的数量积的坐标运算可得答案.【详解】建立平面直角坐标系，如图所示；则、、、，()0,0A ()10B ,()1,1C ()0,1D 因为、分别是、的中点，则、，E F BC CD 11,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭F 所以，，故.11,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1,12AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1111122AE AF ⋅=⨯+⨯= 故答案为：.1【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，向量的数量积的坐标运算，属于基础题.14．已知中角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，若，则中最大角的余弦ABC::3:2a b c =ABC 值为_______．【答案】【分析】根据大边对大角，结合余弦定理求解即可.【详解】因为，::3:2ab c =3,2,(0)a k b k c k ===>在三角形中，大边对大角，所以最大角为，A 根据余弦定理，222cos 2b c a A bc +-====故答案为：15．如图，在中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点.若ABC O ，则的值是_____.6AB AC AO EC ⋅=⋅AB AC【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD.()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE=-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭得2213,22AB AC =AB AC =【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.16．已知， 的取值范围为_________.2a ba b ==⋅= a -b c ⋅ 【答案】22⎡-+⎣【分析】设，根据，得到，设，根据()2,0a =2a b a b ==⋅=(b =(),c x y =a -，再由，利用直线与圆的位置关系求解.()2223x y -+=t b c x =⋅= 【详解】设，,a b α=因为，2a b a b ==⋅= 所以 ，1cos 2α=因为，[]0,απ∈所以，3πα=设，则，设，()2,0a =(b =(),c x y =因为a -所以，表示以（2，0()2223x y -+=则，表示一条直线在y 轴上的截距，t b c x =⋅=+ 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即22td r -===解得或2=+t 2t =-所以的取值范围为，b c ⋅ 22⎡-+⎣故答案为：22⎡-+⎣四、解答题17．已知、，、、是正实数，证明：（并说明式子左边与右1x 2x 1y 2y 1212x x y y +≤边相等时的条件）【答案】证明见解析【分析】利用向量数量积的定义和坐标运算可得答案.【详解】设，，()11,a x y =()22,b x y =∵，a b a b ⋅≤∴，当且仅当时取等号.1212x x y y +≤1221x y x y =18．如图，在△OBC 中，点A 是BC 的中点，点D 是OB 上靠近点B 的一个三等分点，DC 和OA交于点E .设.,OA a OB b ==(1)用向量表示，,a b,OC DC (2)若＝λ，求实数λ的值．OEOA 【答案】(1)52,23OC a b DC a b=-=- (2)4=5λ【分析】（1）根据平面向量的线性运算求解；（2）根据三点共线结合平面向量基本定理运算求解.【详解】（1）∵点A 是BC 的中点，则，即，1122OA OC OB =+ 1122a OC b =+ 整理得，2OC a b =- 可得，22522333DC OC OD OC OB a b b a b =-=-=--=- 故.52,23OC a b DC a b =-=- （2）由题意可得：，OE OA a λλ== ∵三点共线，则，且，,,C D E OE mOC nOD =+ 1m n +=则，()222233OE mOC nOD m a b n b ma n m b a λ⎛⎫⎛⎫=+=-+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 可得，解得，22031m n m m n λ=⎧⎪⎪-=⎨⎪+=⎪⎩253545m n λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩故.4=5λ19．已知向量，，向量.()cos ,sin a θθ→=[]0,θπ∈)1b →=-（1）若，求的值；a b →→⊥θ（2）若恒成立，求实数m 的取值范围.2a b m →→-<【答案】（1）；（2）.3π4m >【解析】（1）根据向量垂直的坐标表示得，再结合得；tan θ=[]0,θπ∈3πθ=（2）先根据坐标运算得，再根据模的坐标表示得()22cos 2sin 1a b θθ→→-=+，故的最大值为16，，进而得的最大值为4，故.288si 2n 3a b πθ→→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-22a b →→-2a b →→-4m >【详解】解：（1）.∵，a b ⊥ ，即：，sin 0θθ-=tan θ=又，∴[]0,θπ∈3πθ=（2）∵，()22cos 2sin 1a b θθ→→-=+∴(()22212cos 2sin 188sin 22a b θθθθ→→⎛⎫=++=+ ⎪ -⎪⎝⎭，88sin 3πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭又∵，[]0,θπ∈∴，2,333πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴，sin 3πθ⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∴的最大值为16，22a b→→-∴的最大值为4，又恒成立，2a b →→-2a b m →→-<∴.4m >【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，向量模的计算，三角函数求最值，考查运算能力，是中档题.20．如图，O 是内一点，，，向量的模分别为ABC 150AOB ∠=︒120AOC ∠=︒,,OA OB OC24．(1)求；||OA OB OC ++ (2)若，求实数m ，n 的值．OC mOA nOB =+ 【答案】(1)3(2)4m n ==-【分析】（1）应用向量数量积定义，及其运算律求；||OA OB OC ++ （2）由已知，应用向量数量积的运算律、，2OA OC mOA nOA OB ⋅=+⋅ 2OB OC mOB OA nOB ⋅=⋅+ 列方程组求参数.【详解】（1）由已知，，，||||cos 3OA OB OA OB AOB ∠⋅==- ||||cos 4OA OC OA OC AOC ∠⋅==- 又，故， 36090BOC AOB AOC ∠=︒-∠-∠=︒0OB OC ⋅= ∴，2222||2()9OA OB OC OA OB OC OA OB OA OC OB OC ++=+++⋅+⋅+⋅=∴.||3OA OB OC ++= （2）由得：，，OC mOA nOB =+2OA OC mOA nOA OB ⋅=+⋅ 2OB OC mOB OA nOB ⋅=⋅+ ∴ ，可得．434330m n m n -=-⎧⎨-+=⎩4m n ==-21．在中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，向量与平ABC(sin )m A B = (cos ,sin )n A B = 行．(1)求角A ；(2)若，点D 满足，，求a ．3b =2CD DB =||AD = 【答案】(1)3A π=(2)a =【分析】（1）根据平行的数量积公式，结合三角函数的性质求解即可；（2）过点D 作交AB 于点E ，根据三角形中平行线的性质可得与，再在∥DE A C 4ED =6AB =中由余弦定理求解即可.ABC 【详解】（1）∵m n∥∴sin sin sin A B A B =∵，()0,π,sin 0B B ∈∴≠∴sin A A=∴tan A =∵，0πA <<∴π3A =（2）过点D 作交AB 于点E ，∥DE A C又，，所以，． 2CD DB =π3BAC ∠=113AE AC ==2π3DEA ∠=由余弦定理可知，，得2222π2cos 3AD AE ED AE ED =+-⋅2200ED ED +-=解得(负值舍)，则．4ED =6AB =又，，所以在中，由余弦定理3AC =π3BAC ∠=ABC，得222π2cos36918273BC AB AC AB AC =+-⋅=+-=a BC ==22．已知中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，，且．ABC sin sin 2A C B +=1a =(1)求B ；(2)若，在的边AB ，AC 上分别取D ，E 两点，使沿线段DE 折叠到平面BCE AC BC =ABC ADE 后，顶点A 正好落在边BC （设为点P ）上，求此情况下AD 的最小值．【答案】(1)π3B =(2)3【分析】（1）根据条件，利用诱导公式和正弦的二倍角公式即可得到结果；（2）设，利用余弦定理，用表示出，再利用基本不等式即可求出结果.AD m =BP AD 【详解】（1）因为，得到，所以,又因为πA B C ++=πA C B +=-πsin sin cos 222A C B B +-==，得到，sin sin 2A C B +=cos sin 2B B =所以， 因为，所以，，cos 2sin cos 222B B B =(0,π)B ∈π0,22B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 02B ≠所以，得到，即.1sin 22B =π26B =π3B =（2）因为，，所以为等边三角形，即，AC BC =3B π=ABC 1AC BC AB ===如图，设，则，，AD m =1BD m =-PD m =所以在中，由余弦定理得，BPD △222222(1)1cos 22(1)2BP BD PD BP m m B BP BD BP m +-+--===⋅⋅-整理得，设，，222(1)(1)BP m m BP m +--=⋅-BP x =01x ≤≤所以，221(2)3(2)3323222x x x x m x x x x -+---+===-+----由于，故01x ≤≤122x ≤-≤所以，当且仅当时，等号成立，所以32332m x x =-+-≥--322x x -==-2x =AD 的最小值为3。

2023-2024学年北京市大兴区高一下学期期末检测数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则复数z的共轭复数()A. B. C. D.2.已知一组数据3，4，4，6，6，7，8，8，则这组数据的分位数是()A.6B.7C.D.83.正方体中，直线和直线所成的角为()A. B. C. D.4.一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都没中靶”的相互对立事件是()A.至多有一次中靶B.至少有一次中靶C.两次都中靶D.只有一次中靶5.某比例分配的分层随机抽样中，相关统计数据如下表．则此样本的平均数为()样本量平均数第1层2030第2层3020A.20B.24C.25D.306.已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，，则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，并测得，，在点C处测得塔顶A的仰角为，则塔高()A. B. C. D.8.甲，乙，丙三人独立破译同一份密码．已知甲，乙，丙各自独立破译出密码的概率分别为，且他们是否破译出密码互不影响，则至少有2人破译出密码的概率是()A. B. C. D.9.已知平面向量，则下列说法错误的是()A.B.在方向上的投影向量为C.与垂直的单位向量的坐标为或D.若向量与非零向量共线，则10.有下列说法：①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是；②数据的方差为0，则所有的都相同；③某运动员连续进行两次飞碟射击练习，事件“两次射击都命中”的概率为；④从3个红球和2个白球中任取两个球，记事件“取出的两球均为红球”，事件“取出的两个球颜色不同”，则事件A与B互斥但不对立．则上述说法中，所有正确说法的个数为()A.1B.2C.3D.4二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

2021-2022学年浙江省杭州市余杭第一中学年高一下学期阶段测试数学试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数()()3i 2i z =-+，则z 的虚部为（ ） A ．i B ．1C ．7iD ．7【答案】B【分析】由复数代数形式的乘法运算再结合复数虚部的概念，即可求解. 【详解】∵()()3i 2i 7i z =-+=+∴z 的虚部为1. 故选：B ．2．如图，一个水平放置的平面图形的直观图A B C D ''''是边长为2的菱形，且2O D ''=，则原平面图形的周长为（ ）A ．424+B ．464+C ．82D ．8【答案】B【分析】利用斜二测画法还原直观图即得. 【详解】由题可知2,45O D A D A O D '''''''==∠=， ∴22O A ''=，还原直观图可得原平面图形，如图，则24,2OD O D OA O A AB DC ''''======，∴AD =∴原平面图形的周长为4. 故选： B.3．已知平面向量a ，b 不共线，46AB a b =+，3BC a b =-+，3CD a b =+，则（ ） A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线【答案】D【分析】根据给定条件逐项计算对应三点确定的某两个向量，再判断是否共线作答. 【详解】平面向量a ，b 不共线，46AB a b =+，3BC a b =-+，3CD a b =+， 对于A ，3(3)6BD BC CD a b a b b =+=-+++=，与AB 不共线，A 不正确； 对于B ，因46AB a b =+，3BC a b =-+，则AB 与BC 不共线，B 不正确； 对于C ，因3BC a b =-+，3CD a b =+，则BC 与CD 不共线，C 不正确； 对于D ，46(3)393AC AB BC a b a b a b CD =+=++-+=+=，即//AC CD ， 又线段AC 与CD 有公共点C ，则A ，C ，D 三点共线，D 正确. 故选：D4．已知圆锥的侧面展开图为一个面积为2π的半圆，则该圆锥的高为（ ） AB ．1CD 【答案】D【分析】根据圆锥侧面展开图与本身圆锥的关系进行求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为l ，圆锥的底面半径为r ， 由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， 则21222l r l r ππππ=⎧⎪⎨⨯=⎪⎩，解得221,4r l ==，则圆锥的高h 故选：D.5．设m R ∈， 向量 ()()(),1,4,,1,2a m b m c ===-， 则 //a b 是 a c ⊥ 的 （ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B【分析】根据向量共线与垂直的坐标表示，求得m 的值，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，向量()()(),1,4,,1,2a m b m c ===-， 因为//a b ，可得240m -=，所以2m =±； 又因为a c ⊥，可得20m -=，所以2m =， 则//a b 是a c ⊥的必要不充分条件. 故选：B.6．若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A ．l 与1l ，2l 都相交B ．l 与1l ，2l 都不相交C ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交D ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交【答案】C【详解】l 与l 1，l 2可以都相交，可可能和其中一条平行，和其中一条相交，如图所以l 至少与1l ，2l 中的一条相交. 故选:C ．7．已知向量a e ≠，1e =，满足对任意t R ∈，恒有a te a e -≥-，则（ ） A ．0a e ⋅= B ．()0a a e ⋅-= C ．()0e a e ⋅-= D ．()()0a e a e +⋅-=【答案】C【分析】对a te a e -≥-两边平方，可得关于t 的一元二次不等式 22210t a et a e -⋅+⋅-≥对任意t R ∈恒成立，进而有0∆≤，即2(1)0a e ⋅-≤，从而即可求解.【详解】解：因为向量a e ≠，1e =，对任意t R ∈，恒有a te a e -≥-， 所以22||||a te a e -≥-，即22210t a et a e -⋅+⋅-≥对任意t R ∈恒成立， 所以2(2)4(21)0a e a e ∆=⋅-⋅-≤，即2(1)0a e ⋅-≤， 所以10a e ⋅-=，即20a e e ⋅-=， 所以()0e a e ⋅-=， 故选：C.8．已知一圆锥底面圆的直径为333a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（ ） A ．3 B 2C ．9322D 32【答案】B【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a 的最大值．【详解】依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球设球心为P ，球的半径为r ，下底面半径为R ，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q ，圆锥的轴截面如图：则32OA OB ==，因为332SO =， 故可得：223SA SB SO OB ==+=；所以SAB △为等边三角形，故P 是SAB △的中心， 连接BP ，则BP 平分SBA ∠， 所以30PBO ∠=︒； 所以tan 30r R︒=，即33333322r R ==⨯=， 即四面体的外接球的半径为32r =．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a 2， 而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球， 所以126233r AA =，所以2a =即a 2 故选：B ．【点睛】本题考查了正四面体的外接球，将正四面体的外接球转化为正方体的外接球，是一种比较好的方法，本题属于难题．二、多选题9．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列各组条件中使得ABC 有两个解的是（ ） A ．23a =4b =，1cos 4A =B ．23a =8b =，13cos A =C ．15a =，4b =，π3A = D ．23a =，4b =，π6A =【答案】CD【分析】根据题意先求出sin A 的值，根据正弦定理可推得sin sin b AB a=，当sin 1B <，且b a >时，B 有两个解，即ABC 有两个解.【详解】A 项：因为sin 0A >，所以215sin 1cos 4A A =-=. 由正弦定理sin sin a b A B=可得，154sin 54sin 1223b A B a ⨯===>，B 无解，A 错误； B 项：因为sin 0A >，所以23sin 1cos 4A A =-=. 由正弦定理sin sin a b A B=可得，38sin 4sin 123b A B a ⨯===，π2B =只有一个解，B 错误；C 项：因为π3sin sin 32A ==，由正弦定理sin sin a b A B =可得，34sin 252sin 1515b A B a ⨯===<. 又b a >，所以B A >，此时B 有两个解，即ABC 有两个解，C 正确；D 项：因为π1sin sin 62A ==，由正弦定理sin sin a bA B =可得，14sin 32sin 1323b A B a ⨯===<.又b a >，所以B A >，此时B 有两个解，即ABC 有两个解，D 正确. 故选：CD.10．如图，在三棱锥P -ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，AB ＝P A ＝6，BC ＝8，则（ ）A ．三棱锥D -BEF 的体积为6B ．直线PB 与直线DF 垂直C ．平面DEF 截三棱锥P -ABC 所得的截面面积为12D ．点P 与点A 到平面BDE 的距离相等 【答案】ACD【分析】A.根据P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，AB ＝P A ＝6，BC ＝8，先求得V 三棱锥P -A BC ，再根据D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，得到V 三棱锥D -BEF ；B. 假设直线PB 与直线DF 垂直，利用线面垂直的判定定理得到PB ⊥平面DEF ， 与AB ⊥平面DEF 矛盾；C.根据 D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，则截面与PB 相交，交点为中点，论证其形状再求解；D. 论证//PA 平面DEF 即可.【详解】A.因为P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，AB ＝P A ＝6，BC ＝8， 所以V 三棱锥P -A BC 111116864833232ABCSPA AB BC PA ==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 又因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点， 所以11111//,3,622222BEFDE PA DE PA S BF EF AB BC ===⨯=⨯⨯=， 所以V 三棱锥D -BEF 1163633BEFSDE =⨯⨯=⨯⨯=，故正确； B. 若直线PB 与直线DF 垂直，因为P A ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥， 又 ,BC AB PAAB A ⊥= ，所以BC ⊥平面PAB ，所以 BC PB ⊥， 又 //EF BC ，所以 EF ⊥平面PAB ， 所以 EF PB ⊥，所以 PB ⊥平面DEF ， 易知 AB ⊥平面DEF ，矛盾，故错误；C.如图所示：取PB 的中点G ，连接GD ，GF ， 则11//,,//,22GF PA GF PA DE PA DE PA ==， 所以//,DE GF DE GF ，所以平面DEF 截三棱锥P -ABC 所得的截面为矩形GFED ， 其面积为11222431222DEFSEF DE =⨯⨯=⨯⨯⨯=，故正确；D. 因为//DE PA ， DE ⊂平面DEF ，PA ⊄平面DEF ， 所以//PA 平面DEF ，所以点P 与点A 到平面BDE 的距离相等，故正确.故选：ACD【点睛】本题主要考查几何体体积的求法，线面垂直的判定，线面平行的判定以及截面的面积问题，还考查了逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.三、填空题11．若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则c =___________. 【答案】3【分析】由题知1与其共轭复数1均为方程的根，进而由韦达定理即可得答案. 【详解】∵实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个虚根为1， ∴其共轭复数1也是方程的根.由根与系数的关系知，()()()()1111b c ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩，∴ 2b =-，3c =. 故答案为：3【点睛】本题考查方程复数根的特点的应用，熟练掌握实系数方程的虚根成对原理（需明确两根为共轭复数）和根与系数的关系是解题的关键，属于基础题. 12．设正四面体的内切球半径为r ，外接球半径为R ，则rR=______． 【答案】13【分析】在正四面体PABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，连接AD ，BE 交于点F ，则点F 为正三角形ABC 的外心，连接PF ，则PF ⊥底面ABC ，且正四面体PABC 的外接球球心与内切球球心为同一点，应在线段PF 上，记作点O ，不妨设正四面体PABC 的棱长为a ，利用勾股定理求出外接球半径，进而得出内切球半径，可得答案．【详解】如图，在正四面体PABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，连接AD ，BE 交于点F ，则点F 为正三角形ABC 的外心，连接PF ，则PF ⊥底面ABC ，且正四面体PABC 的外接球球心与内切球球心为同一点，应在线段PF 上，记作点O ，如图所示．不妨设正四面体PABC 的棱长为a ，则在ABC 中，22233sin 60333AF AD AC ==⋅⋅︒==． ∵PF ⊥底面ABC ，AF ⊂底面ABC ，∴PF AF ⊥，∴2222363PF AP AF a a ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭． ∵正四面体PABC 的外接球、内切球球心均为O ， ∴OP OA R ==，OF r =．∵OF PF OP =-，且在Rt AFO 中有222AF OF OA +=． ∴22236R R ⎫⎫+-=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴6R =，666r ==， ∴611236r R a ==． 故答案为：1313．已知一个三棱锥-P ABC ，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==，则它的外接球的表面积为______. 【答案】412π 【分析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,4,3，则长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径，即可求出三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积．【详解】∵三棱锥P ﹣ABC 中，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==， ∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，4，3， 则长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径．设长方体的棱长分别为x ，y ，z ，则x 2+y 2＝16，y 2+z 2＝16，x 2+z 2＝9，∴x 2+y 2+z 2＝412∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径为2R ==∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为24142R． 故答案为412π． 【点睛】本题考查球内接多面体，考查学生的计算能力，构造长方体，利用长方体的对角线长等于四面体外接球的直径是关键．14．平面向量a ，b 满足2a =，2a b a b ⋅=-，向量a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为__________． 【答案】15【分析】根据题中的等式建立关于θ和b 的方程，用 b 表示θ，再运用函数思想求解出答案.【详解】222222?·cos 44?·cos a b a b a b a b a b θθ⋅=-∴=+-，且 cos 0θ> 设(0)b b b =>，又 2a =，所以上式可化简为：2224cos 168cos b b b θθ=+-，即， 222216cos cos 04b b b θθ++-=，同时cos 0θ>cos θ∴==令()f b =()f b '∴=()f b ∴在(0上单调递减，在()+∞上单调递增 ()(min f b f ∴==，即， cos θ2cos θ的最小值为：215=⎝⎭故答案为：15.四、双空题15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知222a c b +-=，1b =，a =则B ∠=___________；ABC 的面积为___________．【答案】 6π 【分析】利用余弦定理可求得cos B ，由此得到B ∠；将,a b 代入已知等式可求得c ，利用三角形面积公式可求得结果.【详解】222a cb +-=，222cos 2ac b B ac +-∴==()0,B π∈，6B π∴∠=；又2313c c +-=，1c ∴=或2c =，1sin 2ABC S ac B ∴==△故答案为：6π【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用，属于基础题.五、解答题16．已知2,1a b ==，(3)()3a b a b -⋅+= (1)求a b +的值；(2)求a 与2a b -的夹角.【答案】(2)6π【分析】（1）先由(3)()3a b a b -⋅+=化简求出a b ⋅，再由222a a a b b b +⋅++=可求得结果， （2）先求出(2)a a b ⋅-，2a b -，然后利用向量的夹角公式求解即可 【详解】（1）因为2,1a b ==，(3)()3a b a b -⋅+=，所以22233a a b b -⋅-=，4233a b -⋅-=，得1a b ⋅=-，所以2224a b a a b b +=+⋅+=-（2）因为2(2)2426a a b a a b ⋅-=-⋅=+=， 2224444a b a a b b -=-⋅+=+所以(2)6cos ,(2)222a a b a a b a a b ⋅--===⨯-， 因为,(2)[0,]a a b π-∈，所以,(2)6a a b π-=， 即a 与2a b -的夹角为6π17．在①ac ②sin 3cA =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin AB ，6C π=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理 由sin 3sin AB 可得：a b=(),0a b m m ==>，则：2222222cos 32c a b ab C m m m m =+-=+-⨯=，即c m =. 若选择条件①：据此可得：2ac m ⨯==，1m ∴=，此时1c m ==.若选择条件②：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A ==sin 3c A m==，则：c m ==若选择条件③： 可得1c m b m==，c b =，与条件=c 矛盾，则问题中的三角形不存在. ［方法二］：正弦定理由,6C A B C ππ=++=，得56A B π=-． 由sin 3sin AB ，得5sin 6B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1cos 2B B B +=， 得tan B =．由于0B π<<，得6B π=．所以2,3b c A π==． 若选择条件①：由sin sin a c A C =，得2sin sin 36a cππ=，得a =．解得1,3c b a ===．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =． 若选择条件②：由sin 3c A =，得2sin 33c π=，解得23c =，则23b c ==． 由sin sin a c A C =，得2sin sin 36a c ππ=，得36a c ==． 所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时23c =．若选择条件③：由于3=c b 与b c =矛盾，所以，问题中的三角形不存在．【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得,,a b c 的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解；方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角A ，可求出角B ，从而可得2,,36b c A B C ππ====，再根据选择条件即可解出． 18．如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，1DA DC ==，12AA =，点E 是1D C 的中点．（1）求证：1//AD 平面EBD ；（2）求三棱锥1D BDE -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）16. 【分析】（1）连接OE ，利用中位线的性质得出1//AD OE ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）计算出1DD E S △，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】（1）因为四边形ABCD 为矩形，且ACBD O =，则O 为AC 的中点，又因为E 为1CD 的中点，则1//OE AD ， 1AD ⊄平面EBD ，OE ⊂平面EBD ，因此，1//AD 平面EBD ；（2）因为1DD CD ⊥，1CD =，12DD =且E 为1CD 的中点， 所以，111111242DD E CDD S S CD DD ==⋅=△△，在长方体1111ABCD A B C D -中，BC ⊥平面11CDD C ，因此，1111136D BDE B DD E DD E V V S BC --==⋅=△. 【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：（1）通过面面平行得到线面平行；（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质. 19．如图所示，等腰梯形ABCD 中，2AB =，1BC CD ==，已知E ，F 分别为线段BC ，AB 上的动点（E ，F 可与线段的端点重合），且满足AF xAB =，BE yBC =.(1)求AE DF ⋅关于x ，y 的关系式并确定x ，y 的取值范围；(2)若AE DF ⊥，判断是否存在恰当的x 和y 使得y x 取得最大值?若存在，求出该最大值及对应的x 和y ；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)412⋅=-+--y AE DF xy x ，[]0,1x ∈，[]0,1y ∈ (2)存在最大值2，12x =，1y = 【分析】（1）法一：先计算出AB AD ⋅，再把AE DF ，用，AB AD 表示出来，再按照数量积运算即可； 法二：建立直角坐标系，表示出AE DF ，，按照数量积的坐标运算计算即可. （2）先通过AE DF ⊥得到()224y x y +=-，再换元后利用双勾函数的内容求出最值即可. 【详解】（1）法一：由等腰梯形的性质可知60BAD ∠=， 即cos 1AB AD AB AD BAD ⋅=⋅∠=，又DF AF AD xAB AD =-=-，1122y AE AB BE AB yBC AB y AB AD AB AB y AD ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()14122y y AE DF xAB AD AB yAD xy x ⎡⎤⎛⎫⋅=--+=-+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 由F ，F 分别为线段AB ，BC 上动点，故[]0,1x ∈，[]0,1y ∈.法二：以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，易得()0,0A ，()2,0B ，13,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，132,2DF xAB AD x ⎛=-=- ⎝⎭，322y AE AB yBC y ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭则1322412242y y AE DF x y xy x ⎛⎫⎛⎫⋅=---=-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 由E ，F 分别为线段AB ，BC 上动点，故[]0,1x ∈，[]0,1y ∈.（2）由AE DF ⊥可得4102y AE DF xy x ⋅=-+--=，则()224y x y +=-， 又0101y x ≤≤⎧⎨≤≤⎩解得11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]0,1y ∈. 故()242y y y x y -=+，令2y t +=，则2y t =-，即()1228y f t t x t ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭，[]2,3t ∈ 显然函数()f t 在[]2,3上单调递增，故当3t =即12x =且1y =时，y x取得最大值为2.。

某某省某某市长安区第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学一、选择题：共12题1．不等式的解集为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查一元二次不等式的解法.,即,解得.即不等式的解集为.选C.2．数列,,,,,,,则是这个数列的A.第10项B.第11项C.第12项D.第21项【答案】B【解析】本题考查数列的通项.由题意得,令,解得.选B.3．在数列中，，，则的值为A.52B.51C.50D.49【答案】A【解析】本题考查等差数列的性质.由得,所以为等差数列,所以==,所以.选A.4．=A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查同角三角函数的诱导公式及两角和的正弦公式.====.选A.【备注】.5．已知角的终边经过点,则的值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的定义.由题意得所以=,=,所以=.选D.6．若数列是等差数列，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查等差数列的性质,诱导公式.因为是等差数列，所以=，又所以，,所以===.选B.【备注】若，等差数列中.7．设,若是与的等比中项，则的最小值为A.8B.4C.1D.【答案】B【解析】本题考查等比数列性质,基本不等式.因为是与的等比中项，所以,即.所以===4(当且仅当时等号成立),即的最小值为4.选B.【备注】若，等比数列中.8．已知是等比数列，，则=A.16()B.16()C.)D.)【答案】C【解析】本题考查等比数列的通项与求和.由题意得的公比=,所以=,所以,令,则是以8为首项,为公比的等比数列,所以的前n项和=).选C.【备注】等比数列中，.9．在△中，已知，，若点在斜边上，，则的值为A.48 B.24 C.12 D.6【答案】B【解析】本题考查平面向量的线性运算和数量积.因为，,所以==,所以==+0=24.选B.【备注】.10．函数,,的部分图象如图所示，则A. B.C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的性质和图象,解析式的求解.由图可得，,,即,即,所以,又过点,所以=2,由可得=.所以.选D.【备注】知图求式.11．已知向量,，且∥，则= A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查向量的坐标运算与线性运算,二倍角公式.因为∥，所以,即,即=-3,所以=====.选C.【备注】二倍角公式：，.12．设函数，若存在使得取得最值，且满足，则m的取值X围是A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质与最值,一元二次不等式.由题意得,且=,解得,(),所以转化为,而,所以,即,解得或.选C.二、填空题：共6题13．不等式的解集是 .【答案】【解析】本题考查分式不等式,一元二次不等式.由题意得且,所以或.所以不等式的解集是.【备注】一元高次不等式的解法:穿针引线法.14．已知，，则的值为_______.【答案】3【解析】本题考查两角和与差的正切角公式.由题意得=== 3.【备注】=是解题的关键.15．已知向量a=，b=, 若m a+n b=(),则的值为______. 【答案】-3【解析】本题考查平面向量的坐标运算.由题意得===,即,解得,,所以.16．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.【答案】【解析】本题考查解三角形的应用.画出图形,为炮台,为两船的位置;由题意得m,,,;在△中,=m.在Rt△中,,所以m;在△中,由余弦定理得=300.即,两条船相距m.【备注】余弦定理:.17．若将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.【答案】【解析】本题主要考查三角函数图象平移、函数奇偶性及三角运算.解法一f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位得函数y=sin(2x+-2φ)的图象,由函数y=sin(2x+-2φ)的图象关于y轴对称可知sin(-2φ)=±1,即sin(2φ-)=±1,故2φ-=kπ+,k∈Z,即φ=+,k∈Z,又φ>0,所以φmin=.解法二由f(x)=sin(2x+)=cos(2x-)的图象向右平移φ个单位所得图象关于y轴对称可知2φ+=kπ,k∈Z,故φ=-,又φ>0,故φmin=.【备注】解题关键:解决三角函数的性质问题,一般化为标准型后结合三角函数的图象求解,注意正余弦函数的对称轴过曲线的最低点或最高点是解题的关键所在.18．已知分别为△的三个内角的对边，，且，则△面积的最大值为 . 【答案】【解析】本题考查正、余弦定理,三角形的面积公式.由正弦定理得=,又所以,即,所以=,所以.而,所以;所以≤=(当且仅当时等号成立).即△面积的最大值为.【备注】余弦定理:.三、解答题：共5题19．在△中，已知,,.(1)求的长；(2)求的值.【答案】(1)由余弦定理知，==，所以.(2)由正弦定理知，所以，因为，所以为锐角，则，因此【解析】本题考查二倍角公式,正、余弦定理.(1)由余弦定理知.(2)由正弦定理知，，因此.20．设是公比为正数的等比数列，,.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)设q为等比数列{a n}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{a n}的通项为a n＝2·2n-1＝2n(n∈N*)(2)S n＝＋n×1＋×2＝2n+1＋n2－2.【解析】本题考查等差、等比数列的通项与求和.(1)求得q＝2,所以a n＝2n(n∈N*);(2)分组求和得S n＝2n+1＋n2－2.21．已知向量,，函数，且的图象过点.(1)求的值；(2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若图象上各最高点到点的距离的最小值为，求的单调递增区间.【答案】(1)已知，过点，解得(2)由(1)知,左移个单位后得到,设的图象上符合题意的最高点为，,解得,，解得,,由得,的单调增区间为【解析】本题考查平面向量的数量积,三角函数的图像与性质,三角恒等变换.(1)由向量的数量积求得，过点，解得;(2),求得,,其单调增区间为.22．某种汽车的购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费用第一年是0.2万元,第二年是0.4万元,第三年是0.6万元,……,以后逐年递增0.2万元. 汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的总和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用x(x∈N*)年的维修总费用为g(x),年平均费用为f(x).(1)求出函数g(x),f(x)的解析式;(2)这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多少?【答案】(1)由题意,知使用x年的维修总费用为g(x)==0.1x+0.1x2,依题意,得f(x)=[10+0.9x+(0.1x+0.1x2)]=(10+x+0.1x2).(2)f(x)=++1≥2+1=3,当且仅当,即x=10时取等号.所以x=10时,y取得最小值3.所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小,最小值是3万元.【解析】无23．把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数．(1)若，求，的值；(2)已知函数，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和.【答案】(1)三角形数表中前m行共有个数，所以第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第项．故第m行最后一个数是．因此，使得的m是不等式的最小正整数解．由得，, 于是，第45行第一个数是，(2)第n行最后一个数是，且有n个数，若将看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为的等差数列，故..故.因为，两式相减得.．【解析】本题考查数列的概念,数列的通项与求和.(1)找规律得第m行最后一个数是.可得，求出第45行第一个数是，(2).．错位相减可得.。

2023-2024学年四川省内江市高一下学期期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某高中生创新能力大赛中8位选手的面试得分分别为90,86,93,91,89,95,92,94，其中位数和极差分别为( )A. 90，8B. 91.5，9C. 91，9D. 91.5，82.若复数z 满足z =i1−2i ，则z 的虚部为( )A. i5B. −25C. −i5D. −153.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图､90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( )A. 互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比80后多B. 90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业从业人员中90后占一半以上4.已知函数g (x )=2sin 2x ，函数f (x )=A sin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，要得到f (x )的图象，只需将函数g (x )的图象( )A. 向左平移π6个单位B. 向右平移π6个单位C. 向右平移π3个单位D. 向左平移π3个单位5.内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔.它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年(公元1804年)得以重建，历时三年竣工.三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神.内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点C与D与塔底B在同一水平面，并测得CD=202米，∠BCD=15∘,∠BDC=120∘，在点C处测得塔顶A的仰角为60∘，则塔高AB=( )A. 106米B. 103米C. 203米D. 60米6.在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若AF=x AB+49AD，则x= ( )A. 45B. 23C. 79D. 587.暑假即将来临，某校为开展学生的社会实践活动，从甲､乙､丙､丁､戊5人中随机选3人去参加“敬老院志愿服务”活动，则乙和丙两人中只有1人入选的概率为( )A. 12B. 23C. 34D. 358.已知向量a，向量b的模长均为2，且|a−b|=|a|.若向量m=a−2c,n=c−b，且m⊥n，则|c|的最大值是( )A. 72+3 B. 52+3 C. 7+32D. 94二、多选题：本题共3小题，共15分。

2023-2024学年高一数学下学期第一次月考卷（测试范围：第9-10章）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量21,e e 是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．{}112,e e e - B ．{}1212,3e e e e +-C ．{}12122,36e e e e --+D ．{}121223,23e e e e +-2．“sin20θ>”是“θ为第一或第三象限角”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．对于任意的平面向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ）A ．若a b 且b c ∥，则a c ∥B ．若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，则b c =C ．()+⋅=⋅+⋅a b c a c b cD ．()()a b c a b c ⋅=⋅412=，则πtan 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭为（ ）A ．12-B ．12 C ．2- D ．25．如图所示，已知,,2,AOB BA AC OD DB DC ==和OA 交于点E ，若OE OA λ=，则实数λ的值为（）A ．12 B ．45 C ．34 D ．236．下列函数中，以π为周期且在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（ ）A ．()22cos sin f x x x =-B ．()2sin cos f x x x =C ．()sin f x x =D ．()cos2f x x =7．如图，在等腰ABC 中，已知2AB AC ==，120A ∠=，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且AE AB λ=，AF AC μ=，其中λ，R μ∈，且21λμ+=，若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则MN 的最小值是（ ）A B C D 8．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，点,,,O G P Q 分别为ABC 所在平面内一点，且有222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，0GA GB GC ++=，()()()0PA PB AB PB PC BC PC PA CA +⋅=+⋅=+⋅=，0aQA bQB cQC ++=，则点,,,O G P Q 分别为ABC 的（ ）A ．垂心，重心，外心，内心B ．垂心，重心，内心，外心C ．外心，重心，垂心，内心D ．外心，垂心，重心，内心 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分） 9．如图，在平行四边形ABCD 中，下列计算正确的是（ ）A ．AB AD AC +=B ．AB CD DO OA ++=C ．AB AD CD AD ++=uu u r uuu r uu u r uuu r D ．0AC BA DA ++=10．已知向量a b ，满足|2||||3|||，a b a a b a b +=+=-，且||2a =，则（ ） A ．||2b =r B ．0a b += C ．|2|4a b -= D ．4a b ⋅=-11．关于函数()cos 2cos 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中正确命题是（ ）A ．()y f x =B ．()y f x =是以π为最小正周期的周期函数C ．将函数2y x =的图像向左平24π个单位后，将与已知函数的图像重合 D ．()y f x =在区间13,2424ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 12．正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 中点，如图，点P 是以AB 为直径的半圆上任意点，AP AD AE λμ=+，则（ ）A ．μ最大值为1B ．λ最大值为2C ．存在P 使得1λμ+=D ．AP AD ⋅最大值是8三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知1cos 3α=，cos()αβ-=02πβα<<<，则cos β= .14．已知α为锐角且满足11cos α+=，则α= . 15．如图．在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，||1AD =，则AC AD ⋅= ．16．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，,E F 分别是边,AB BC 上的点，且AE EB =，2BF FC =，连接,ED AF ，交点为G ．设AG t AF =，则（1）t = ；（2）cos EGF ∠= ．四、解答题（本大题共6小题，第17-18题每小题10分，第19-21题每小题12分，第22题14分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知1πcos ,,072αα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭. (1)求πcos 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)若()πsin 0,2αββ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，求β的值. 18．已知向量(1,3)a =-，(1,2)b =．(1)求a b ⋅；(2)求2a b -及a 在b 上的投影向量的坐标；(3)()a mb a -⊥，求m 的值．19．如图，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，D 是边BC 上一点，2DC BD =.（1）求AD BC ⋅的值；（2）若()0AB tCD CD -⋅=，求实数t 的值.20．已知向量()sin ,1a x =，1,sin 3b x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x a b =⋅. （1）求函数()f x 的单调递增区间和最小正周期；（2）若当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的不等式()21f x m -≤有解，求实数m 的取值范围. 21．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角ABC ∆和以BC 为直径的半圆拼接而成，点P 为半圈上一点（异于B ，C ），点H 在线段AB 上，且满足CH AB ⊥.已知90ACB ∠=︒，1dm AB =，设ABC θ∠=.（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足ABC PCB ∠=∠，且CA CP +达到最大.当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足60PBA ∠=︒，且CH CP +达到最大.当θ为何值时，CH CP +取得最大值，并求该最大值.22．已知函数()(),f x g x 是定在R 上的函数，且满足关系()()π2g x f x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭． (1)若()sin cos f x x x =+，若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()y g x =的值域； (2)若()sin cos f x x x =+，存在12,R x x ∈，对任意x ∈R ，有()()()12g x g x g x ≤≤恒成立，求12x x -的最小值；(3)若()cos sin f x x x =+，要使得()()sin F x a x g x =+在()()*0,πN n n ∈内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的a 与n ．。