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2007年高考“导数”题1．(全国Ⅰ) 设函数()e e x x f x -=-． （Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x x f x -'=+．由于e e 2x-x+=≥，故()2f x '≥．（当且仅当0x =时，等号成立）．（Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-， （ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x x g x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln2x =此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，．2．(全国II) 已知曲线23ln 4xy x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．12解：已知曲线23ln 4xy x =-的一条切线的斜率为12，13'2y x x =-=21，解得x=3或x=－2，由选择项知，只能选A 。
已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<． 解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-． 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--． 于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++= 有三个相异的实数根．记 32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=- 6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时， 方程()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302a t t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<．3．（北京卷）4．（天津卷）已知函数2221()(1ax a f x x x -+=∈+R )，其中a ∈R .(I)当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；(II)当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值.解：(I)当1a =时，224(),(2).51x f x f x ==+又2222222(1)2.2226'(),'(2).25(1)(1)x x xxf x f x x +--===-++所以，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为 46(2),525y x -=--即 625320.x y +-= (II)22222(1)2(21)'()(1)a x x ax a f x x +--+=+222()(1).(1)x a ax x --+=+由于0,a ≠以下分两种情况讨论. (1) 当0a >时，令'()0,f x =得到121,.x x a a=-=当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭(),,a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数.函数()f x 在11x a=-处取得极小值1,f a ⎛⎫-⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.函数()f x 在2x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.(2) 当0a <时，令'()0,f x =得到121,x a x a==-.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在区间(),a -∞1,,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数.函数()f x 在1x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.函数()f x 在21x a=-处取得极小值1,f a ⎛⎫-⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.5．(上海卷)6．（重庆卷）已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处 取得极值–3–c ，其中a,b,c 为常数。
2007年高考数学试题汇编──函数与导数（四）33、（四川理）设函数.(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。
考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。
（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（Ⅱ）证法一：因证法二：因而故只需对和进行比较。
令，有由，得因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值故当时，，从而有，亦即故有恒成立。
所以，原不等式成立。
（Ⅲ）对，且有又因，故∵，从而有成立，即存在，使得恒成立。
34、（陕西理）设函数f(x)=其中a为实数.(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.解：（Ⅰ）的定义域为，恒成立，，，即当时的定义域为．（Ⅱ），令，得．由，得或，又，时，由得；当时，；当时，由得，即当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为．35、（山东理）设函数，其中．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．解(I) 函数的定义域为.，令，则在上递增，在上递减，.当时，，在上恒成立.即当时,函数在定义域上单调递增。
（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.（2）当时，，时，时，时，函数在上无极值点。
（3）当时，解得两个不同解，.当时，，，此时在上有唯一的极小值点.当时，在都大于0 ，在上小于0 ，此时有一个极大值点和一个极小值点.综上可知，时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点。
（III）当时，令则在上恒正，在上单调递增，当时，恒有.即当时，有，对任意正整数，取得【试题点评】函数的单调性、导数的应用、不等式的证明方法。
从2007年高考试题谈2008年高三数学复习一、2007年高考数学山东卷回放1、数学试卷难度大幅降低。
2007年高考数学抽样分析提供的数据显示：理科卷容易题有15道，占88分。
其中12个选择题全是容易题，难度系数分别为0.93、0.87、0.95、0.83、0.84、0.85、0.83、0.95、0.79、0.89、0.91、0.71，14题、19题、20题难度系数分别为0.77，0.79、0.75；中档题有6道，占48分，分别是13题、15题、16题、17题、18题、21题，难度系数分别为0.49、0.57、0.63、0.57、0.55、0.51；难题1道，占14分，即22题，难度系数0.34；理科整张试卷难度系数为接近0.7。
文科卷容易题10道，占54分，其中选择题的1题、2题、3题、4题、5题、7题、8题、10题、11题、12题，难度系数分别为0.92、0.76、0.87、0.73、0.80、0.77、0.90、0.75、0.71、0.77；中档题有8道，占76分，其中选择题的6题、9题，难度系数都是0.66；14题、17题、18题、19题、20题、22题的难度系数分别是0.67、0.66、0.62、0.56、0.60、0.42；难题有3导，占20分，分别是15题、16题、21题，难度系数分别为0.26、0.37、0.35；整张试卷的难度系数0.63。
2、07高考数学山东试卷支持新课程改革，呈现新课标的要求。
山东卷文科有四个题涉及新增内容，分值为19分，理科有五个题涉及新增内容，分值为24分。
3、体文理差异，减少了姊妹题的个数，增加了不同题目的数量。
文理科相同或相仿的题目共63分左右，4、重视双基落实，侧重通性通法。
与往年相同的一个特点是，常规题目仍占多数，无偏题怪题，学生做起来容易上手。
5、渗透数学思想，重视数学能力。
今年数学试卷的一个明显的特点是，“小综合”的题目比较多，突出考查学生综合运用知识的能力．同时，还侧重于考查学生正确地运用数学思想方法，分析问题和解决问题的能力，在保证多数考生得到基础分的同时，提高整张试卷的区分度．涉及到的数学思想有数形结合（理科3题、8题、10题、14题、15题）、函数与方程的思想（文9题、15题）、分类与整合的思想（文12题、）、或然与必然的思想（理12题）、特殊与一般的思想（理16题、文14题）转化与化归的思想（理6题）。
图42007、2008部分高考试题（解析几何部分）1、18．（2008广东理）（本小题满分14分）设0b >，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图4所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．解：（1）由28()x y b =-得218y x b =+， 当2y b =+得4x =±，∴G 点的坐标为(4,2)b +，1'4y x =， 4'|1x y ==，过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-即2y x b =+-， 令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(2,0)b -， 由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ，2b b ∴-=即1b =，即椭圆和抛物线的方程分别为2212x y +=和28(1)x y =-；（2）过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个，同理∴以PBA ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个。
若以APB ∠为直角，设P 点坐标为21(,1)8x x+，A 、B两点的坐标分别为(和，222421152(1)108644PA PB x x x x =-++=+-=。
关于2x 的二次方程有一大于零的解，x ∴有两解，即以APB ∠为直角的Rt ABP ∆有两个，因此抛物线上存在四个点使得ABP ∆为直角三角形。
2、已知椭圆C 的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=241x 的焦点，且c=a 552 (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于点M ，若为定值。
2007年高考“导数”题1.(全国Ⅰ)设函数()e e x x f x -=-. (Ⅰ)证明：()f x 的导数()2f x '≥；(Ⅱ)若对所有0x ≥都有()f x ax ≥,求a 的取值范围. 解：(Ⅰ)()f x 的导数()e e x x f x -'=+.由于e e 2x -x +=≥,故()2f x '≥. (当且仅当0x =时,等号成立).(Ⅱ)令()()g x f x ax =-,则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-, (ⅰ)若2a ≤,当0x >时,()e e 20x x g x a a -'=+->-≥,故()g x 在(0)+，∞上为增函数, 所以,0x ≥时,()(0)g x g ≥,即()f x ax ≥.(ⅱ)若2a >,方程()0g x '=的正根为1x =,此时,若1(0)x x ∈，,则()0g x '<,故()g x 在该区间为减函数.所以,1(0)x x ∈，时,()(0)0g x g <=,即()f x ax <,与题设()f x ax ≥相矛盾. 综上,满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，.2.(全国II)已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( ) A.3B.2C.1D.12解：已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12,13'2y x x =-=21, 解得x=3或x=－2,由选择项知,只能选A 。
已知函数3()f x x x =-.(1)求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；(2)设0a >,如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线,证明：()a b f a -<<. 解：(1)求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-. 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-,即 23(31)2y t x t =--.(2)如果有一条切线过点()a b ，,则存在t ,使23(31)2b t a t =--. 于是,若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线,则方程32230t at a b -++= 有三个相异的实数根.记 32()23g t t at a b =-++,则 2()66g t t at '=- 6()t t a =-.当t 变化时,()()g t g t '，变化情况如下表：由()g t 的单调性,当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时, 方程()0g t =最多有一个实数根； 当0a b +=时,解方程()0g t =得302at t ==，,即方程 ()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时,解方程()0g t =得2a t t a =-=，, 即方程()0g t =只有两个相异的实数根.综上,如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线,即()0g t =有三个相异的实数根,则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<.3.(北京卷)4.(天津卷)已知函数2221()(1ax a f x x x -+=∈+R ),其中a ∈R . (I)当1a =时,求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；(II)当0a ≠时,求函数()f x 的单调区间与极值.解：(I)当1a =时,224(),(2).51x f x f x ==+又2222222(1)2.2226'(),'(2).25(1)(1)x x x x f x f x x +--===-++所以,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为 46(2),525y x -=--即 625320.x y +-=(II)22222(1)2(21)'()(1)a x x ax a f x x +--+=+222()(1).(1)x a ax x --+=+由于0,a ≠以下分两种情况讨论.(1) 当0a >时,令'()0,f x =得到121,.x x a a=-=当x 变化时,'(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(),,a +∞内为减函数,在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数.函数()f x 在11x a =-处取得极小值1,f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.函数()f x 在2x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.(2) 当0a <时,令'()0,f x =得到121,x a x a==-.当x 变化时, '(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在区间(),a -∞1,,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内为减函数,在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数.函数()f x 在1x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.函数()f x 在21x a =-处取得极小值1,f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.5.(上海卷)6.(重庆卷)已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处 取得极值–3–c,其中a,b,c 为常数。
07、08高考试题分析及09高考试题展望一、集合与常用逻辑用语：文、理科考查的知识点分布情况文科和理科在这块内容中，都共学习2章，试卷中集合期望的分数应是5分 ，07年试卷中占了5分，08年试卷中占了5分，明显合理；简易逻辑期望的分数应是5分 ，07年试卷中占了10分，08年试卷中占了5分，07年明显偏多；集合部分07山东文理都是考查指数函数的性质、交集运算的知识交汇点， 08山东文理考查了子集的概念、交集的运算；简易逻辑07考查了全称量词的否定以及充要条件，08考查了幂函数性质与四种命题的交汇点 考点预测集合：必考内容，重视概念的学习，注意韦恩图的应用和创新题型的训练。
常用逻辑用语：高考命题以基本概念为考察对象，题型主要是选择题和填空题为主，本节知识主要是作为工具来考查三角、立体几何、解析几何等其它章节的知识 高考模拟预测题 1．定义集合运算：{}(),,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈设集合 {}{}0,1,2,3A B ==，则集合的所有元素之和为 （A ）0 （B ）6 （C ）12 （D ）18评析：本题主要考查新定义、新运算同时又注重基础知识和基本方法的考查，对学生的理解能力和运算能力要求较高。
2. 下列各组命题中，满足“‘p 或q ’为真、‘p 且q ’为假、‘非p ’为真”的是 ( )A . p ：φ=0； q ：φ∈0.B . p ：在△ABC 中，若B A 2cos 2cos =，则B A =；q ：x y sin =在第一象限是增函数. C . p ：),(2R b a ab b a ∈≥+；q ：不等式x x >||的解集是)0,(-∞.D . p ：圆1)2()1(22=-+-y x 的面积被直线1=x 平分；q ：椭圆13422=+y x 的一条准线方程是4=x . 评析：本题以常用逻辑用语为载体加强了对其他章节内容的考查，常用逻辑用语很容易与其他知识点交汇，同时对学生的要求较高，题目难度相对较大。
2007年高考数学试题分类详解函数与导数1、（全国1文理8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a = A．B ．2 C． D ．4解．设1a >，函数()l o g a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之分别为l o g 2,l o g aa a a =，它们的差为12，∴ 1log 22a =，a =4，选D 。
2、（全国1文理9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件解．()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，若“()f x ，()g x 均为偶函数”，则“()h x 为偶函数”，而反之若“()h x 为偶函数”，则“()f x ，()g x 不一定均为偶函数”，所以“()f x ，()g x 均为偶函数”，是“()h x 为偶函数”是充分而不必要的条件，选B 。
3、（山东文理6）给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A ．()3xf x =B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =【答案】:B 【分析】：依据指、对数函数的性质可以发现A 满足()()()f x y f x f y +=，C 满足()()()f xy f x f y =+，而D 满足()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，B 不满足其中任何一个等式.4、（山东文11）设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ） A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，【答案】B .【试题分析】令32()2x g x x -=-，可求得：(0)0,(1)0,(2)0,(3)0,g g g g <<>>(4)0g >。
2007年四川高考理科数学试题分析及高2008届高考复习建议龙泉驿区高三数学中心组成都市龙泉中学王朝伦一、试题的知识考察与能力考察分析二、对试卷的整体认识与特点分析2.1．整体认识数学试题全面考查中学数学的基础知识，考查考生的思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新意识，同时也十分重视对函数与方程、数形结合、分类与整合、或然与必然等重要数学思想的考查。
2007年数学试题同去年相比较为稳定，难易程度随着试题的顺序由简入繁，选择、填空相对容易，考查内容多为基础知识，问答大题前两个为中等难度题，后四个题目对于考生来说都存在一定的障碍，难易程度与去年相持平。
而每一道题考生都能拿到一定的分数，但如果要拿满分则相对不容易。
试题知识点覆盖全今年的理科数学试题除“机械”的部分没有设置试题外，其余高中数学重点知识几乎全部覆盖。
函数中重点考查指数对数函数，解析几何中对直线、圆、抛物线、双曲线、椭圆全部进行考查，不等式、数列、立体几何、三角、排列组合二项式定理概率等基础知识点也一个没落。
注重基础知识的考查在更多注重考查学生对基础知识、基本技能和基本方法掌握情况的基础上，淡化了特殊的技巧和方法的考查，重在检测考生对中学数学中所蕴涵的基本技能和常用方法能否做到融会贯通。
如将立体几何中线线、线面、面面位置关系及角度和距离的考查融于一题之中。
重点考查重点知识点试题在对高中数学知识点进行全面覆盖的基础上，更加注重对高中重点知识的考查。
比如第17考题检测了考生对三角函数的全面掌握情况，而对于重点知识“不等式”的考查则融入到函数、数列及解析集合等的多道综合大题的考查当中。
数学方法渗透其中数学思想方法的考查是难点。
今年的数学试卷对数学思想方法的考查渗透到题目当中进行广度、深度的考查。
分类讨论、数形结合、等重要思维方法在考题中都有涉及。
但分类讨论容易被忽视，也是考生丢分所在。
总之，今年的数学试题，难度合理、试题低起点、广入口、高结尾。
对黎宁老师《椭圆及其标准方程》一课的点评北京 丁益祥北京市陈经纶中学黎宁老师这节课，通过“神舟六号”飞船运行轨道图片资料的展示、计算机模拟将圆“压扁”成椭圆的演示，到学生亲手画椭圆、给椭圆下定义、推导椭圆标准方程，直至椭圆概念的简单应用，一方面，使学生获得了椭圆的相关知识以及推导椭圆标准方程的技能，另一方面使学生亲历了椭圆知识的形成过程，切身体验了自行探索知识的艰辛与喜悦。
这节课主要有如下三个特点：1．设计新颖，准确适度(1)教学目标的确定首先，这节课是椭圆内容的起始课，在此之前，学生对椭圆的认识主要来自于生活经验，来自于直觉感受。
显然，这种认识是非常肤浅的。
因此，将椭圆的定义、标准方程及其推导作为这节课的知识与技能目标，是准确恰当的。
其次，给椭圆下定义、完成椭圆标准方程的推导及其结构形式的简化等，都需要有一个过程。
而这个过程的完成，对学生的抽象概括能力、逻辑思维能力、运算能力都有着较高的要求。
考虑到前面学生已经学习了曲线和方程、圆的方程等知识，据此制定教学目标2，即过程与方法目标是适度的，它既揭示了知识的形成过程，又体现了方法的运用、能力培养以及对数学美的追求。
第三，标准方程的自行推导，对初次学习椭圆的学生来说有着一定的难度。
然而，在课堂教学的实践中，怎样教育我们的学生不怕困难，勇于探索，体现了对学生的意志品质和拼搏精神的培养。
根据这一教学实际，将严谨的科学态度、良好的思维习惯、不怕困难和勇于探索的精神作为教学目标之3是合情合理的。
（2）教学重点的把握，教学难点的突破，教学手段的运用，教学方法的选择，学习方法的指导椭圆的标准方程是这一节课的核心内容，而要完成这一核心内容，又必须弄清什么样的图形是椭圆。
因此将椭圆的定义及其标准方程作为这一节课的重点是准确的。
同时如前所说，椭圆定义的自行概括以及标准方程的自行推导有着一定的难度，自然成了这一节课的难点。
为了突出重点，突破难点，黎宁老师选用了教师启发讲授与引导学生自主探索相结合的教学方法，并恰当、适时地辅以多媒体教学手段，既体现了对学生学习方法的指导，又使重点的突出、难点的突破得以很好的实现。
2007年高考数学试题汇编──函数与导数（三）29、(07上海)已知函数（1）判断函数的奇偶性；（2）若在区间是增函数，求实数的取值范围。
解：（1）当时，为偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.（2）设，，由得，要使在区间是增函数只需，即恒成立，则。
另解（导数法）：，要使在区间是增函数，只需当时，恒成立，即，则恒成立，故当时，在区间是增函数。
30、（重庆理）已知函数(x>0)在x = 1处取得极值，其中a,b,c为常数。
（1）试确定a,b的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间；（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。
解：（I）由题意知，因此，从而．又对求导得．由题意，因此，解得．（II）由（I）知（），令，解得．当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数．因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需．即，从而，解得或．所以的取值范围为．31、（浙江理）设，对任意实数，记．（I）求函数的单调区间；（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．（I）解：．由，得．因为当时，，当时，，当时，，故所求函数的单调递增区间是，；单调递减区间是．（II）证明：（i）方法一：令，则，当时，由，得，当时，，所以在内的最小值是．故当时，对任意正实数成立．方法二：对任意固定的，令，则，由，得．当时，．当时，，所以当时，取得最大值．因此当时，对任意正实数成立．（ii）方法一：．由（i）得，对任意正实数成立．即存在正实数，使得对任意正实数成立．下面证明的唯一性：当，，时，，，由（i）得，，再取，得，所以，即时，不满足对任意都成立．故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．方法二：对任意，，因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：，即，①又因为，不等式①成立的充分必要条件是，所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．32、（天津理）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．（Ⅰ）解：当时，，，又，．所以，曲线在点处的切线方程为，即．（Ⅱ）解：．由于，以下分两种情况讨论．（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：减函数所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且．（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．函数在处取得极大值，且．函数在处取得极小值，且．。
