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专题七概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数第二讲概率、随机变量及其分布列1．若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．若事件A与事件B互为对立事件，则P(A∪B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝P（AB）P（A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．特别地，对于古典概型，由于组成事件A的各个基本事件发生的概率相等，因此其条件概率也可表示为：P(B|A)＝n（AB）n（A）.1．事件A与事件B相互独立．设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．2．独立重复试验．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(√)(2)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(×)(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(×)(4)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X 服从两点分布．(×) (5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(×)1．(2014·新课标Ⅰ卷)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(D )A.18B.38C.58D.78解析：由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有24＝16种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：①一天一人，另一天三人，有C 14A 22＝8种不同的结果；②周六、周日各2人，有C 24＝6种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有8＋6＝14种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1416＝78.故选D.2．甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组(每组两个队)进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为(D )A.16B.14C.13D.12解析：所有可能的比赛分组情况共有4×C 24C 222！＝12种，甲、乙相遇的分组情况恰好有6种．故选D.3．(2015·广东卷)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(B )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1解析：记3件合格品为a 1，a 2，a 3，2件次品为b 1，b 2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，共10个元素．记“恰有1件次品”为事件A ，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)}，共6个元素．故其概率为P(A)＝610＝0.6.4．(2015·新课标Ⅰ卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(A )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312解析：3次投篮投中2次的概率为P(k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k ＝2)＋P(k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.5．已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示：若E(X)＝0，D(X)＝1，则a ＝512，b ＝14．解析：由题知a ＋b ＋c ＝1112，－a ＋c ＋16＝0，12×a ＋12×c ＋22×112＝1，解得a ＝512，b＝14.一、选择题 1．若x∈A ，且1x∈A ，则称A 是“伙伴关系集合”，在集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中任选一集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为(A )A.117 B.151 C.7255 D.42552．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为(C )A.1180 B.1288 C.1360 D.1480解析：四个数字之和为23的情况有：09：59，18：59，19：58，19：49四种，基本事件总数为60×24＝1 440，故所求概率为P ＝41 440＝1360.3．(2014·陕西卷)设样本数据x 1，x 2，…， x 10的均值和方差分别为1和4，若 y i ＝x i＋a(a 为非零常数，i ＝1，2，…，10)，则y 1，y 2，…， y 10的均值和方差分别为(A )A ．1＋a ，4B ．1＋a ，4＋aC ．1，4D ．1，4＋a解析：由题得：x 1＋x 2＋…＋x 10＝10×1＝10；(x 1－1)2＋(x 2－1)2＋…＋(x 10－1)2＝10×4＝40.y 1，y 2，…y 10的均值和方差分别为： 均值y －＝110(y 1＋y 2＋…＋ y 10)＝110[(x 1＋a)＋(x 2＋a)＋…＋(x 10＋a)] ＝110[(x 1＋x 2＋…＋x 10)＋10a] ＝10＋10a10＝1＋a. 方差＝110[(y 1－y －)2＋(y 2－y －)2＋…＋(y 10－y －)2]＝110[(x 1＋a)－(1＋a)]2＋[(x 2＋a)－(1＋a)]2＋…＋[(x 10＋a)－(1＋a)]＝110[(x 1－1)2＋(x 2－1)2＋…＋(x 10－1)2]＝4010＝4.故选A.4．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为(C )A.16B.112C.18D.110解析：设事件A 表示“任选一名同学是男生”，事件B 表示“任选一名同学为三好学生”，则所求概率为P(B|A)．依题意得P(A)＝4060＝23，P(AB)＝560＝112.故P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝11223＝18.5．(2015·福建卷改编)如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(A)A.57B.79C.512D.713 解析：由题意知，阴影部分的面积 S ＝⎠⎛12(4－x 2)dx ＝(4x －13x 3)|21＝53，∴ 所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(A )A.13B.12C.23D.34 二、填空题7．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动5次后位于点(2，3)的概率是516．解析：点P 移动5次后到达点(2，3)可看作是5次移动中选择2次右移、3次上移，故有C 25种不同的移动方法，而所有的移动方法有25种，故所求的概率为P ＝C 2525＝516.8．(2015·江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为56．解析：由古典概型概率公式，得所求事件的概率为P ＝C 24－C 22C 24＝56.三、解答题9．(2014·全国大纲卷)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．分析：(1)首先用字母表示有关的事件，A i 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．将D 分解为互斥事件的和；D ＝A 1·B ·C ＋A 2·B ·C －＋A 2·B －·C ＋A 2·B ·C ，再利用互斥事件的概率加法公式计算P(D)；(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，先用分解策略分别求P(X ＝i)(i ＝0，1，2，3，4)，最后利用离散型随机变量数学期望公式求E(X)的值．解析：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)D ＝A 1·B ·C ＋A 2·B ·C －＋A 2·B －·C ＋A 2·B ·C ，又P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i )＝C i2×0.52，i ＝0，1，2，∴P(D)＝P(A 1·B ·C ＋A 2·B ·C －＋A 2·B －·C ＋A 2·B ·C)＝P(A 1·B ·C)＋P(A 2·B ·C －)＋P(A 2·B －·C)＋P(A 2·B ·C)＝P(A 1)P(B)P(C)＋P(A 2)P(B)P(C －)＋P(A 2)P(B －)P(C))＋P(A 2)P(B)·P(C)＝0.31.(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4.P(X ＝0)＝P(B －·A 0·C －)＝P(B －)P(A 0)P(C －)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06， P(X ＝1)＝P(B·A 0·C －＋B －·A 0·C ＋B －·A 1·C －)＝P(B)P(A 0)P(C －)＋P(B －)P(A 0)P(C)＋P(B －)P(A 1)P(C －)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X ＝4)＝P(A 2·B ·C)＝P(A 2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P(X ＝3)＝P(D)－P(X ＝4)＝0.25，P(X ＝2)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝1)－P(X ＝3)－P(X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38.∴数学期望E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.10．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立，求：(1)打满3局比赛还未停止的概率；(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E(ξ)． 解析：令A k ，B k ，C k 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜．(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为P(A 1C 2B 3)＋P(B 1C 2A 3)＝123＋123＝14.(2)ξ的所有可能值有2，3，4，5，6，且 P(ξ＝2)＝P(A 1A 2)＋P(B 1B 2)＝122＋122＝12，P(ξ＝3)＝P(A 1C 2C 3)＋P(B 1C 2C 3)＝123＋123＝14，P(ξ＝4)＝P(A 1C 2B 3B 4)＋P(B 1C 2A 3A 4)＝124＋124＝18，P(ξ＝5)＝P(A 1C 2B 3A 4A 5)＋P(B 1C 2A 3B 4B 5)＝125＋125＝116，P(ξ＝6)＝P(A 1C 2B 3A 4C 5)＋P(B 1C 2A 3B 4C 5)＝125＋125＝116.故ξ的分布列为：从而E(ξ)＝2×2＋3×4＋4×8＋5×16＋6×16＝16.11。
2020届高考数学命题猜想算法、推理证明【考向解读】1.以客观题形式考查算法的基本逻辑结构，会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题．2.以客观题形式考查复数的运算、复数的相等、共轭复数和复数及其代数运算的几何意义，与其他知识较少结合，应注意和三角函数结合的练习．3.推理与证明在选择、填空、解答题中都有体现，但很少单独命题，若单独命题，一般以客观题形式考查归纳与类比．4.通常是以数列、三角、函数、解析几何、立体几何等知识为载体，考查对推理与证明的掌握情况，把推理思路的探求、推理过程的严谨，推理方法的合理作为考查重点．【命题热点突破一】程序框图例1、（2018年北京卷）执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循环结束，输出，故选B.【变式探究】(1)观察下列各式： C01＝40； C03＋C13＝41； C05＋C15＋C25＝42； C07＋C17＋C27＋C37＝43； ……照此规律，当n ∈N*时，C02n －1＋C12n －1＋C22n －1＋…＋Cn －12n －1＝________．(2)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法可以求出过点A(－2，3)，且法向量为n ＝(－1，2)的直线方程为(－1)×(x ＋2)＋2×(y －3)＝0，化简得x －2y ＋8＝0.类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n＝(－1，2，－3)的平面的方程为________．【答案】（1）4n－1 （2）x－2y＋3z－6＝0【感悟提升】由特殊结论得出一般结论的推理是归纳推理，归纳出的一般性结论要包含已知的特殊结论；根据已有结论推断相似对象具有相应结论的推理就是类比推理．归纳和类比得出的结论未必正确，其正确性需要通过演绎推理进行证明．合情推理和演绎推理在解决数学问题中是相辅相成的．【变式探究】已知cos π3＝12，cosπ5cos2π5＝14，cosπ7cos2π7·cos3π7＝18，……根据以上等式，可猜想的一般结论是________________．【答案】cosπ2n＋1cos2π2n＋1…cosnπ2n＋1＝12n（n∈N*）【解析】从已知等式的左边来看，3，5，7，…是通项为2n＋1的等差数列，等式的右边是通项为12n的等比数列.由以上分析可以猜想出一般结论为cosπ2n＋1cos2π2n＋1…cosnπ2n＋1＝12n（n∈N*）.4. （2018年天津卷）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B1. 【2017山东，文6】执行右侧的程序框图,当输入的x 值为4时,输出的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为A.3x >B.4x >C.4x ≤D.5x ≤【答案】Bx 时判断框中的条件应为不满足，所以选B.【解析】由题意得4【考点】程序框图2.【2017课标1，文10】如图是为了求出满足的最小偶数nA．A>1000和n=n+1 B．A>1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2【答案】D3.【2017课标3，文8】执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】若2N =,第一次进入循环，12≤成立，，2i =2≤成立，第二次进入循环，此时，3i =2≤不成立，所以输出9091S =<成立，所以输入的正整数N 的最小值是2，故选D.7.【2017北京，文14】某学习小组由学生和 【答案】C4．(2015·新课标全国Ⅱ，8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．14【答案】B5．(2015·山东，13)执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为________.【解析】当n ＝1时，T ＝1＋⎠⎜⎛01x1dx ＝1＋21102x ＝1＋12＝32；当n ＝2时，T ＝32＋⎠⎜⎛01x2dx ＝32＋31103x ＝32＋13＝116；当n ＝3时，结束循环，输出T ＝116.【答案】116专题练习1．请仔细观察1,1,2,3,5，( )，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是( ) A．8 B．9C．10 D．11【解析】选A.观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括号中的数为8.故选A.2．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的y的值为( )A．2 B．5C．11 D．233．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)【解析】选D.由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．∴g(－x)＝－g(x)．8．按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则M处的条件为( )A．k≥16B．k＜8C．k＜16D．k≥89．如图所示的程序框图中，输出S＝( )A．45 B．－55C．－66 D．66【解析】选B.由程序框图知，第一次运行T＝(－1)2·12＝1，S＝0＋1＝1，n＝1＋1＝2；第二次运行T ＝(－1)3·22＝－4，S ＝1－4＝－3，n ＝2＋1＝3；第三次运行T ＝(－1)4·32＝9，S ＝－3＋9＝6，n ＝3＋1＝4…直到n ＝9＋1＝10时，满足条件n ＞9，运行终止，此时T ＝(－1)10·92，S ＝1－4＋9－16＋…＋92－102＝1＋(2＋3)＋(4＋5)＋(6＋7)＋(8＋9)－100＝1＋92×9－100＝－55.故选B.10．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n ＋k|n ∈Z}，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 018∈[3]； ②－2∈[2]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”． 其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．411．请仔细观察1,1,2,3,5，( )，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【解析】选A.观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括号中的数为8.故选A.12．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数【解析】选B.对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，均为大前提错误，故选B.13．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的i的值为( )A．3 B．4C．5 D．614．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的y的值为( )A．2 B．5C．11 D．23【解析】选D.x＝2，y＝5，|2－5|＝3＜8；x＝5，y＝11，|5－11|＝6＜8；x＝11，y＝23，|11－23|＝12＞8.满足条件，输出的y的值为23，故选D.15．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)【解析】选D.由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．∴g(－x)＝－g(x)．16．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c.类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R等于( )A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S417．按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则M处的条件为( )A．k≥16 B．k＜8C．k＜16 D．k≥8【解析】选A.根据框图的循环结构依次可得S＝0＋1＝1，k＝2×1＝2；S＝1＋2＝3，k ＝2×2＝4；S＝3＋4＝7，k＝2×4＝8；S＝7＋8＝15，k＝2×8＝16，根据题意此时跳出循环，输出S＝15.所以M处的条件应为k≥16.故A正确．18．执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x的值的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】选C.由题意，知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－1，x ≤2，log2x ，x ＞2.当x ≤2时，由x2－1＝3，得x2＝4，解得x ＝±2.当x ＞2时，由log2x ＝3，得x ＝8.所以可输入的实数x 的值的个数为3.19．如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．i ＞10B ．i ＜10C ．i ＞20D ．i ＜2020．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n ＋k|n ∈Z}，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 018∈[3]； ②－2∈[2]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”． 其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】选C.因为2 018＝403×5＋3，所以2 018∈[3]，①正确；－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确；因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类，所以③正确；整数a，b属于同一“类”，因为整数a，b被5除的余数相同，从而a－b被5除的余数为0，反之也成立，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”，故④正确．所以正确的结论有3个，故选C.21．如图(1)是某县参加2016年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10(如A2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数)．图(2)是统计图(1)中身高在一定范围内学生人数的一个程序框图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm，不含180 cm)的学生人数，则在流程图中的判断框内应填写( )A．i＜6? B．i＜7?C．i＜8? D．i＜9?【解析】选C.统计身高在160～180 cm的学生人数，即求A4＋A5＋A6＋A7的值．当4≤i≤7时，符合要求．22．对于函数f(x)，若存在非零常数a，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x)＝f(2a －x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )A．f(x)＝x B．f(x)＝x2C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)23．观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，根据上述规律，第n个不等式应该为________．【解析】不等式的左边为连续自然数的平方的倒数和，即1＋122＋…＋1n＋12，不等式的右边为2n＋1 n＋1.【答案】1＋122＋…＋1n＋12＜2n＋1n＋124．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为________．【答案】425．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果S＝________.【解析】由程序框图知，S可看成一个数列{an}的前2 015项和，其中an＝1n n＋1(n ∈N*，n≤2 015)，∴S＝11×2＋12×3＋…＋12 015×2 016＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫12 015－12 016＝1－12 016＝2 0152 016.故输出的是2 0152 016.【答案】2 0152 01626．观察下列等式：1＝1,1＋2＋1＝4,1＋2＋3＋2＋1＝9,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16，……，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*,1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.【解析】∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，……，∴归纳可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.【答案】n227．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是________．28．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．”乙说：“我们四人中有人考得好．”丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了．【解析】甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．。
高中数学知识点：概率统计知识点总结概括高中数学知识点：概率统计知识点总结概括一．算法，概率和统计1.算法初步(约12课时)(1)算法的含义、程序框图①通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如，二元一次方程组求解等问题)，体会算法的思想，了解算法的含义。
②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。
在具体问题的解决过程中(如，三元一次方程组求解等问题)，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
(2)基本算法语句经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。
(3)通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
3.概率(约8课时)(1)在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。
(2)通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。
(3)通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
④在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。
⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题;能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异。
⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
(3)变量的相关性①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。
②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。
知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
二．常用逻辑用语1。
命题及其关系①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。
②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。
2020届高三化学二轮复习——程序框图与推理证明1.(2019·绵阳诊断)执行如图的程序框图，其中输入的a ＝sin 7π6，b ＝cos 7π6，则输出a 的值为( )A.－1B.1C. 3D.－3 答案 B解析 由a ＝sin 7π6＝－12，b ＝cos 7π6＝－32，a ＞b ，则a 变为－12－3×⎝⎛⎭⎫－32＝1，则输出的a ＝1.2.(2019·成都外国语学校模拟)利用反证法证明：若x ＋y ＝0，则x ＝y ＝0，假设为( ) A.x ，y 都不为0B.x ，y 不都为0C.x ，y 都不为0，且x ≠yD.x ，y 至少有一个为0答案 B解析 根据反证法假设要否定结论，根据“且”的否定为“或”， 可知，x ＝y ＝0的否定为x ≠0或y ≠0，即x ，y 不都为0.3.(2019·内江模拟)设{x }表示不小于实数x 的最小整数，执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A.14B.15C.16D.17答案A解析模拟程序框图的运行过程，如下：i＝1，S＝0，不满足条件，执行循环体；S＝0＋{log21}＝0，i＝2，不满足条件i>7；S＝0＋{log22}＝1，i＝3，不满足条件i>7；S＝1＋{log23}＝3，i＝4，不满足条件i>7；S＝3＋{log24}＝5，i＝5，不满足条件i>7；S＝5＋{log25}＝8，i＝6，不满足条件i>7；S＝8＋{log26}＝11，i＝7，不满足条件i>7；S＝11＋{log27}＝14，i＝8，满足条件i>7，退出循环，输出S的值为14.4.执行如图所示的程序框图，若输出的S值为－20，在条件框内应填写()A.i>3?B.i<4?C.i>4?D.i<5?答案D解析模拟执行程序，可得i＝1，S＝10；满足判断框内的条件，第1次执行循环体，S＝10－21＝8，i＝2；满足判断框内的条件，第2次执行循环体，S＝8－22＝4，i＝3；满足判断框内的条件，第3次执行循环体，S＝4－23＝－4，i＝4；满足判断框内的条件，第4次执行循环体，S＝－4－24＝－20，i＝5，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S值为－20，则条件框内可填写i<5？.5.(2019·成都外国语学校模拟)平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，…，则平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为()A.16B.20C.21D.22答案D解析由题意得k条直线增加到k＋1条直线时增加k＋1个平面，所以平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为6＋5＋4＋3＋2＋2＝22.6.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图1所示的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和.现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图2所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为S n，如S1＝1，S2＝2，S4＝4，…，则S16等于()A.2B.4C.8D.16答案D解析根据题意，将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，除第1行外，可得第1次全行的数都为1的是第2行，第2次全行的数都为1的是第4行，…，由此可知第n 次全行的数都为1的是第2n 行， 24＝16，则第16行全部为1，则S 16＝16. 7.(2019·全国Ⅰ)如图是求12＋12＋12的程序框图，图中空白框中应填入( )A.A ＝12＋AB.A ＝2＋1AC.A ＝11＋2AD.A ＝1＋12A答案 A解析 A ＝12，k ＝1,1≤2成立，执行循环体；A ＝12＋12，k ＝2,2≤2成立，执行循环体；A ＝12＋12＋12，k ＝3,3≤2不成立，结束循环，输出A .故空白框中应填入A ＝12＋A .故选A. 8.请观察这些数的排列规律，数字1的位置在第一行第一列表示为(1,1)，数字14的位置在第四行第三列表示为(4,3)，根据特点推算出数字2 019的位置为( )A.(45,44)B.(45,43)C.(45,42)D.该数不会出现答案 C解析由所给数表可得，每一行最后一个数为12,22,32，…，由于442＝1 936,452＝2 025,442<2 019<452，所以2 019是第45行的倒数第4个数，所以数字2 019的位置为(45,42).9.沈老师告知高三数学(文)周考的附加题只有6名同学A，B，C，D，E，F尝试做了，并且这6人中只有1人答对了.同学甲猜测：D或E答对了；同学乙猜测：C不可能答对；同学丙猜测：A，B，F当中必有1人答对了；同学丁猜测：D，E，F都不可能答对.若甲、乙、丙、丁中只有1人猜对，则此人是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案D解析若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错；若乙猜对，则甲和丙中必有一人猜对，与题意不符，故乙猜错；若丙猜对，则乙也猜对，与题意不符，故丙猜错；∵甲、乙、丙、丁四人只有1人猜对，∴丁猜对.10.数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的a，b分别为8,2，则输出的n等于()A.2B.3C.4D.5答案D解析输入的a，b分别为8,2，n＝1，第一次执行循环体后a＝12，b＝4，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后n＝2，a＝18，b＝8，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后n＝3，a＝27，b＝16，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后n ＝4，a ＝812，b ＝32，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后n ＝5，a ＝2434，b ＝64，满足退出循环的条件，故输出的n ＝5.11.定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和.如：1＝12＋13＋16，1＝12＋14＋16＋112，1＝12＋15＋16＋112＋120，依此类推1＝12＋16＋112＋1m ＋1n ＋130＋142＋156＋172＋190＋1110＋1132＋1156，其中m ，n ∈N *，且m <n ，设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 2m ，－m ≤x ≤m ，1，x >m则ʃn －m f (x )d x 等于( ) A.5 B.6 C.7 D.9 答案 C解析 ∵2＝1×2,6＝2×3,12＝3×4,30＝5×6,42＝6×7， 56＝7×8,72＝8×9,90＝9×10,110＝10×11,132＝11×12， 156＝12×13，∴1＝12＋16＋112＋1m ＋1n ＋130＋142＋156＋172＋190＋1110＋1132＋1156＝⎝⎛⎭⎫1－14＋1m ＋1n ＋⎝⎛⎭⎫15－112＋1156， ∴1m ＋1n ＝m ＋n mn ＝33260， ∴m ＝13，n ＝20，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 26，－13≤x ≤13，1，x >13，∴ʃn －m f (x )d x ＝ʃ13－13f (x )d x ＋ʃ2013f (x )d x ＝0＋7＝7.12.“军事五项”是衡量军队战斗力的一种标志，从1950年开始，国际军体理事会每年组织一届军事五项世界锦标赛.“军事五项”的五个项目分别为200米标准步枪射击、500米障碍赛跑、50米实用游泳、投弹、8公里越野跑.已知甲、乙、丙共三人参加“军事五项”.规定每一项运动队的前三名得分都分别为a ，b ，c (a >b >c 且a ，b ，c ∈N *)，选手最终得分为各项得分之和.已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的投弹比赛获得了第一名，则50米实用游泳比赛的第三名是( ) A.甲B.乙C.丙D.乙和丙都有可能答案 B解析 根据题中所给的三人的得分，可知5(a ＋b ＋c )＝40，所以有a ＋b ＋c ＝8，又因为a >b >c ，且a ，b ，c ∈N *，所以a ，b ，c 的值为5,2,1或4,3,1. 又因为乙投弹获得了第一名，且得分9分，所以4,3,1不合题意，所以得到乙的成绩为投弹第一，剩下的都是第三名.因为甲得分22分，所以甲投弹第二，其余四项都是第一.所以丙投弹第三，剩下四项都是第二，从而得到50米实用游泳比赛的第三名是乙.13.如图所示的茎叶图为高三某班30名学生的某次考试成绩，该班学生的学号依次为1,2,3，…，30.程序框图中输入的a n 为该班这次考试中学号为n 的学生的成绩，则输出的值为________.答案 15解析 由程序框图可知：该算法的功能是计算在30名学生的成绩中，成绩大于等于60且小于80的人数；由茎叶图可知：60,62,65,67,67,69,71,72,73,73,75,76,76,78,79，共15个在此范围内，因此输出值为15.14.在《九章算术》中记载着一道关于“持金出关”的题目，大意是：“在古代出关要交税.一天，某人拿钱若干出关，第1关交所拿钱数的12，第2关交所剩钱数的13，第3关交所剩钱数的14，……”.现以这则故事中蕴含的数学思想，设计如图所示的程序框图，则运行此程序，输出n 的值为________.答案 6解析 当S ＝0时，满足进行循环的条件，S ＝36，n ＝2； 当S ＝36时，满足进行循环的条件，S ＝48，n ＝3； 当S ＝48时，满足进行循环的条件，S ＝54，n ＝4； 当S ＝54时，满足进行循环的条件，S ＝57.6，n ＝5； 当S ＝57.6时，满足进行循环的条件，S ＝60，n ＝6； 当S ＝60时，不满足进行循环的条件，故输出的n ＝6.15.(2019·深圳耀华实验中学月考)设P 是边长为a 的正△ABC 内的一点，P 点到三边的距离分别为h 1，h 2，h 3，则h 1＋h 2＋h 3＝32a ；类比到空间，设P 是棱长为a 的空间正四面体ABCD 内的一点，则P 点到四个面的距离之和h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝________. 答案63a 解析 根据等边三角形面积公式S ＝34a 2，因为P 点到三边的距离分别为h 1，h 2，h 3，所以12×a ×(h 1＋h 2＋h 3)＝34a 2，即h 1＋h 2＋h 3＝32a . 正四面体的体积为V ＝212a 3，P 点到四个面的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4，所以13×34a 2×(h 1＋h2＋h3＋h4)＝2，12a3所以h1＋h2＋h3＋h4＝63a.16.现有n个小球，甲、乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球谁赢.如果甲先抓，那么下列推断正确的是________.(填序号)①若n＝4，则甲有必赢的策略；②若n＝6，则乙有必赢的策略；③若n＝9，则甲有必赢的策略；④若n＝11，则乙有必赢的策略.答案③解析现有n个小球，甲、乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球谁赢，n＝9，如果甲先抓，则甲有必赢的策略，必赢的策略为：(1)甲先抓1球，(2)当乙抓1球时，甲再抓3球；当乙抓2球时，甲再抓2球；当乙抓3球时，甲再抓1球.故之后乙无论如何抓，都会至少剩一个球，至多剩3个球，故甲有必赢的策略.。
