2017届高三七月周考数学(理科)试题 Word版含答案(已选)

数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数212ii +-的共轭复数为( ) A ．35i - B ．35i C ．i -D ．i2．“p q ∨是假命题”是“p ⌝为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．给定函数①12y x =②()12log 1y x =+③1y x =-④12x y +=，其中在区间()0,1上单调递减的函数序号是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4．,a b 是两个向量，1,2==a b 且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角为( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒5．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是( ) A ．22cmB ．33cmC ．333cmD ．33cm6．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且123410,26a a a a +=+=，则过点(),n P n a 和()()*21,n Q n a n N ++∈的直线的一个方向向向量是( )A ．1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()1,2--C ．12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是( ) A ．3-B ．0C ．3D ．33638．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有( ) A ．35种B ．24种C ．18种D ．9种9．设函数()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则( )A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 10．把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴，顶点()0,1A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长¼AM x =，直线AM 与x 轴交于点(),0N t ，则函数()t f x =的大致图像为( )A ．B ．C ．D ．11．设,x y满足约束条件2302340x yx yy-+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数z ax by=+（其中0,0a b>>）的最大值为3，则12a b+的最小值为()A．1 B．2 C．3 D．412．点(),0F c为双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的右焦点，点P为双曲线左支上一点，线段PF与圆22239c bx y⎛⎫-+=⎪⎝⎭相切于点Q，且2PQ QF=u u u r u u u r，则双曲线的( )A．2B．3C．5D．2二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13．已知偶函数()f x在[)0,+∞单调递减，()20f=，若()10f x->，则x的取值集合是______．14．已知60,a xx⎫>-⎪⎝⎭展开式的常数项为15，则()221aax x x dx-++-=⎰______．15．把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为______．16．已知函数()()lnf x x x ax=-有两个极值点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）17．（本小题满分12分）在ABC∆中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且满足22cos 22sin 2sin 23sin sin 1A B C B C ++-=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若3,4b c ==，求ABC ∆的外接圆的面积． 18．（本小题满分12分）下图为某校语言类专业N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知8090:分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N 和9095:分数段内的人数n ；（Ⅱ）现欲将9095:分数段内的6名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为35，求n 名毕业生中男、女各几人（男、女人数均至少两人）．（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，且AC BD =，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB P 平面AEC ；（Ⅱ）在PAD ∆中，2,23,4AP AD PD ===，三棱锥E ACD -的体积是3，求二面角D AE C --的大小．20．（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>右焦点为()2,0F ，M 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，且MOF ∆是等腰直角三角形． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M 分别作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设两直线的斜率分别为12,k k ，且128k k +=，证明：直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．21．（本小题满分12分） 设函数()()()ln 1,2ab x f x g x x a b x ==-++（其中e 为自然对数的底数，,a b R ∈且0a ≠），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()1y ae x =-． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）若对任意1,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()f x 与()g x 有且只有两个交点，求a 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l的参数方程为2242x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），l 与C 分别交于,M N ．（Ⅰ）写出C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程； （Ⅱ）若,,PM MN PN 成等比数列，求a 的值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()()40f x x x m m m=-++>． （Ⅰ）证明：()4f x ≥；f>，求m的取值范围．（Ⅱ）若()25江西省新余一中、宜春一中2017届高三7月联考数学（理）试题参考答案1-5．CABCB 6-10．DBCAD 11-12．CC 13．()1,3- 14．232π+ 15．41π-16．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭17．解：（Ⅰ）∵22cos 22sin 2sin 23sin sin 1A B C B C ++-=， ∴222sin sin sin 3sin sin B C A B C +-= 由正弦定理得2223b c a bc +-=由余弦定理得2223cos 22b c a A bc +-==，又∵0A π<<，∴6A π=………………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）∵22232cos 31623472a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=， ∴7a =由正弦定理得7227sin 2a R A===，18．解：（Ⅰ）8090:分数段的毕业生的频率为()10.040.0350.35P =+⨯=， 此分数段的学员总数为21人，所以毕业生的总人数21600.35N == ()210.010.040.050.040.030.0150.1P =-+++++⨯=，所以9095:分数段内的人数600.16n =⨯=．………………………………………………………………4分（Ⅱ）9095:分数段内共6名毕业生，设其中男生x 名，则女生6x -名． 设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件A ，则()2626315xC P A C -=-=，解得2x =或9（舍去）， 即6名毕业生中有男生2人，女生4人．………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）ξ表示n 名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数， 所以ξ的取值可以为：0,1,2．当0ξ=时，()3436105C P C ξ===；当1ξ=时，()122436315C C P C ξ===； 当2ξ=时，()212436125C C P C ξ===． 所以ξ的分布列为ξ0 1 2()P k ξ=1535 15所以随机变量ξ的数学期望为()1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=．…………………………………………12分19．解：（Ⅰ）连结BD 交AC 于点O ，连结EO ． 因为ABCD 是平行四边形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO PB P ．EO ⊂平面AEC，PB ⊄平面AEC，所以PB P 平面AEC ．……………………………………………5分（Ⅱ）因为在PAD ∆中，2,4AP AD PD ===，所以222AP AD PD +=，所以90PAD ∠=︒，∴PA AD ⊥． 又因为平面PAD ⊥平面ABC ，所以PA ⊥平面ABC ，在平行四边形ABCD 中，AC BD =，所以ABCD 为矩形，所以,,AB AD AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB u u u r的方向为x 轴的正方向，AP u u u r 为单位长，建立空间直角坐标系A xyz -，因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD -的高为12， 设()0AB m m =>，三棱锥E ACD -的体积11231332V m =⨯⨯⨯=，解得3m AB ==．则()()()()0,0,0,0,23,0,3,1,3,1A D E AE =u u u r，设()3,0,0B ，则()()3,23,0,3,23,0C AC =．设()1,,x y z =n 为平面ACE 的法向量，则110,0AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r n n ，即11113230,30,x z ⎧+=⎪+=可取1233=-⎝n 又()21,0,0=n 为平面DAE 的法向量，由题设1212122313cos ,243⋅===n n n n n n ， 即二面角D AE C--的大小是60︒．…………………………………………………………………………12分20．解：（Ⅰ）由MOF ∆是等腰直角三角形，得2224,8c b a ===，故椭圆方程为22184x y +=．……………………………………………………………………………………4分（Ⅱ）（1）若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y kx m =+，依题意2m ≠±． 设()()1122,,,A x y B x y ，由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222124280k x kmx m +++-=． 则2121222428,1212km m x x x x k k -+=-=++．由已知128k k +=，可得1212228y y x x --+=， 所以1212228kx m kx m x x +-+-+=．所以42mk k m -=+，整理得122m k =-．故直线AB 的方程为122y kx k =+-，即122y k x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．所以直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． （2）若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =， 设()()0000,,,A x y B x y -，由已知0000228y y x x ---+=，得012x =-， 此时AB 方程为12x =-，显然过点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 综上，直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）由()ln ab xf x x=，得()()21ln ab x f x x -'=，……………………………………………1分 由题意得()1f ab ae '==，……………………………………………………………………………………2分∵0a ≠，∴b e =；……………………………………………………………………………………………3分（Ⅱ）令()()()()()21ln 2h x x f x g x x a e x ae x =-=-++，则任意1,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()f x 与()g x 有且只有两个交点，等价于函数()h x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭有且只有两个零点，由()()21ln 2h x x a e x ae x =-++，得()()()x a x e h x x --'=，………………………………………………………………………………………5分 ①当1a e ≤时，由()0h x '>得x e >，由()0h x '<得1x e e<<， 此时()h x 在1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在(),e +∞上单调递增，∵()()2211ln 022h e e a e e ae e e =-++=-<， ()()()()()242221112ln 2220222h e e a e e ae e e e e a e e e e ⎛⎫=-++=---≥--> ⎪⎝⎭，（或当x →+∞时，()0h x >亦可），∴要使得()h x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有且只有两个零点，则只需()()22221221111ln 022e e e a a e h ae e e e e e --++⎛⎫=-+=≥ ⎪⎝⎭，即()221221e a e e -≤+，……………………7分②当1a e e <<时，由()0h x '>得1x a e<<或x e >，由()0h x '<得a x e <<，此时()h x 在(),a e 上单调递减，在1,a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(),e +∞上单调递增．此时()222111ln ln 0222h a a ae ae a a ae ae e a =---<--+=-<， ∴此时()h x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭至多只有一个零点，不合题意，……………………………………………………9分③当a e >时，由()0h x '>得1x e e<<或x a >，由()0h x '<得e x a <<，此时()h x 在1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(),a +∞上单调递增，在(),e a 上单调递减，且()2102h e e =-<， ∴()h x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭至多只有一个零点，不合题意，………………………………………………………11分综上所述，a 的取值范围为()2212,21e e e ⎛⎤- ⎥-∞ +⎥⎝⎦．……………………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为()220y ax a =>； 直线l 的普通方程为20x y --=．……………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得(()()224840t a a -+++=*()840a a ∆=+>．设点,M N 分别对应参数12,t t ，恰为上述方程的根． 则1212,,PM t PN t MN t t ===-．由题设得()21212t t t t -=，即()21212124t t t t t t +-=．由（*）得(()121224840t t a t t a +=+=+>，则有()()24540a a +-+=，得1a =，或4a =-． 因为0a >，所以1a =．………………………………………………………………………………………10分23．解：（Ⅰ）由0m >，有()4444f x x x m x x m m m m m ⎛⎫=-++≥--++=+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当4m m =，即2m =时取“=”．所以()4f x ≥．…………………………………………………4分（Ⅱ）()4222f m m =-++．当42m <，即2m >时，()424f m m =-+，由()25f >，得m >． 当42m ≥，即02m <≤时，()42f m m =+，由()25f >，得01m <<．综上，m 的取值范围是()10,1,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭U ．…………………………………………………………10分。

2016-2017学年重庆市南开中学高三（上）7月月考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分．1．已知A={x|2x＜1}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．[﹣2，0）B．[﹣2，0] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）2．命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是（）A．若x＞0，则x2≤0 B．若x2＞0，则x＞0 C．若x≤0，则x2≤0 D．若x2≤0，则x≤0 3．抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=1 C．y=﹣1 D．y=14．已知正数x，y满足：x+2y=1，则+的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．95．已知f（1+）=x+1，则f（2）=（）A．1 B．2 C．3 D．46．以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（）A．f（x）=+g（x）=B．f（x）=g（x）=（）3C．f（x）=•g（x）=D．f（x）=g（x）=x07．已知变量x，y满足，则的取值范围为（）A．[0，]B．[0，+∞）C．（﹣∞，]D．[﹣，0]8．在区间[0，2]内任取两个实数a，b，则方程x2﹣ax+b=0有两根x1，x2，且x1＜1＜x2的概率为（）A．B．C．D．9．已知正实数x，y满足xy=x+2y+6，则+的最小值为（）A．B．C．D．10．已知关于x的方程ax2+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，﹣]B．[﹣，﹣]C．[﹣3，﹣2]D．（﹣3，﹣2]11．对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）12．已知函数f（x）=x3﹣3x2+（3﹣3a2）x+b（a≥1，b∈R）．当x∈[0，2]时，记|f（x）|的最大值为|f（x）|max，对任意的a≥1，b∈R，|f（x）|max≥k恒成立．则实数k的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知函数f（x）定义域为[0，8]，则函数g（x）=的定义域为[0，3）∪（3，4] ．14．已知函数f（x）=2x+1，若f1（x）=f（x），f n（x）=f[f n（x）]，n∈N*．则f5（x）+1的表达式为32x+31．15．变量x，y满足，若目标函数z=ax﹣y仅在（4，1）点处取得最大值，则实数a的取值范围是（1，+∞）．16．已知函数f（x）=x2+k．任取实数a，b，c∈[﹣1，1]，以f（a），f（b），f（c）为三边长可以构成三角形，则实数k的取值范围为（4﹣2，2）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=．（1）解关于x的不等式：f（x）＞1；（2）若x∈（1，3），求函数f（x）的值域．18．已知函数f（x）=lg（e x+﹣a）（1）若函数f（x）定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）值域为R，求实数a的取值范围．19．如图，四棱锥M﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，MD⊥平面ABCD，且MD=DA=1，E为MA中点．（1）求证：DE⊥MB；（2）若DC=2，求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，右焦点为F．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相切于点P（不为椭圆C的左、右顶点），直线l与直线x=2交于点A，直线l与直线x=﹣2交于点B，请问∠AFB是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明．21．已知函数f（x）=+b的图象在点P（0，f（0））处的切线为y=x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）=k有两个不等实根x1，x2，求实数k的取值范围；（3）在（2）的条件下，若x0=，求证：f'（x0）＜0．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．如图，圆C与圆D半径分别为r1，r2，相交于A，B两点，直线l1过点A，分别交圆C、圆D于点M、N（M、N在A的异侧），直线l2过点B，分别交圆C、圆D于点P，Q（P、Q在B的异侧），且l1平行于l2，点C，D在l1与l2之间．（1）求证：四边形MNQP为平行四边形；（2）若四边形MABP面积与四边形NABQ面积相等，求证：线段AB与线段IJ互相平分．23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=1．直线l与曲线C相交于点A，B．（1）求直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与y轴交于点P，求|PB|•|PA|．24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+1|．（1）若a=2，解不等式：f（x）＜5；（2）若f（x）≥4﹣|a﹣1|对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年重庆市南开中学高三（上）7月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分．1．已知A={x|2x＜1}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．[﹣2，0）B．[﹣2，0] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，B，根据集合的基本运算，即可得到结论．【解答】解：A={x|2x＜1}={x|x＜0}=（﹣∞，0），B={x|y=}=[﹣2，+∞）∴A∩B=[﹣2，0），故选：A．2．命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是（）A．若x＞0，则x2≤0 B．若x2＞0，则x＞0 C．若x≤0，则x2≤0 D．若x2≤0，则x≤0 【考点】四种命题．【分析】命题的否命题是否定题设又否定结论，从而得到答案．【解答】解：命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是：若x≤0，则x2≤0，故选：C．3．抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=1 C．y=﹣1 D．y=1【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的基本性质，能求出抛物线y2=4x的准线方程．【解答】解：∵y2=4x，2p=4，p=2，∴抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1．故选A．4．已知正数x，y满足：x+2y=1，则+的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵2x+y=1，x＞0，y＞0，∴+=（+）×（2x+y）=当且仅当x=y=时取等号．∴+的最小值是9故选：D ．5．已知f （1+）=x +1，则f （2）=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】函数的值．【分析】直接利用函数的解析式，求解函数值即可．【解答】解：f （1+）=x +1，则f （2）=f （1+）=1+1=2． 故选：B ．6．以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（ ）A ．f （x ）=+ g （x ）=B ．f （x ）=g （x ）=（）3C ．f （x ）=•g （x ）=D ．f （x ）= g （x ）=x 0【考点】判断两个函数是否为同一函数． 【分析】判断两个函数是否为同一函数，应判定它们的定义域、值域以及对应关系是否相同，三方面都相同时是同一函数．【解答】解：A 中f （x ）的定义域是{x |x=1}，g （x ）的定义域是{x |x=1}，且对应关系相同，∴是同一函数； B 中f （x ），h （x ）的定义域是R ，且对应关系相同，∴是同一函数；C 中f （x ）的定义域是{x |x ≥1}，g （x ）的定义域是{x |x ≥1，或x ≤﹣3}，∴不是同一函数；D 中f （x ）与g （x ）的定义域都是{x |x ≠0}，值域都是{1}，对应关系相同，∴是同一函数； 故选：C ．7．已知变量x ，y 满足，则的取值范围为（ ）A ．[0，]B ．[0，+∞）C ．（﹣∞，]D ．[﹣，0]【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用所求表达式的几何意义求解即可．【解答】解：不等式表示的平面区域为如图所示△ABC ，设Q （3，0）平面区域内动点P （x ，y ），则=kPQ ，当P 为点A 时斜率最大，A （0，0），C （0，2）．当P 为点C 时斜率最小，所以∈[﹣，0]．故选：D ．8．在区间[0，2]内任取两个实数a，b，则方程x2﹣ax+b=0有两根x1，x2，且x1＜1＜x2的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（a，b）对应图形的面积，及满足条件“方程x2﹣ax+b=0有两根x1，x2，且x1＜1＜x2”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：设f（x）=x2﹣ax+b，∵方程x2﹣ax+b=0有两根x1，x2，且x1＜1＜x2，∴f（1）=1﹣a+b＜0，∵在区间[0，2]内任取两个实数a，b，∴0≤a≤2，0≤b≤2，作出区域，如图所示．正方形的面积为4，阴影部分的面积为=，∴所求的概率为=，故选：C．9．已知正实数x，y满足xy=x+2y+6，则+的最小值为（）A．B．C．D．【考点】基本不等式．【分析】首先左边是xy的形式右边是2x+y和常数的和的形式，考虑把右边也转化成xy的形式，使形式统一．可以猜想到应用基本不等式，转化后变成关于xy的方程，可把xy看成整体换元后求最小值，再根据基本不等式即可求出+的最小值．【解答】解：由条件利用基本不等式可得xy=2x+y+6≥2+6，令xy=t2，即t=＞0，可得t2﹣2t﹣6≥0．即得到（t﹣3）（t+）≥0，可解得t≤﹣或t≥3．又注意到t＞0，故解为t≥3，∴≥3，∴+≥2=2•=，故选：C．10．已知关于x的方程ax2+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，﹣]B．[﹣，﹣]C．[﹣3，﹣2]D．（﹣3，﹣2]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】讨论方程类型和方程在（0，3]上的根的个数，利用二次函数的性质列出不等式解出．【解答】解：当a=0时，方程x+1=0的零点为﹣1，不符合题意，∴a≠0．（1）若方程在（0，3]有一个根，①若3为方程的根，则12a+4=0，解得a=﹣，②若3不是方程的根，则或．解得a=﹣或无解．（2）若方程在（0，3]上有两个根，则，解得：﹣＜x≤﹣，综上，a的范围是[﹣，﹣]．故选B．11．对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）【考点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系．【分析】根据定义求出f（x）解析式，画出图象，判断即可．【解答】解：∵a⊗b=，∴f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3）=，其图象如下图所示：由图可得：x1=﹣k，x2•x3=k，故x1•x2•x3=﹣k2，k∈（0，3），∴x1•x2•x3∈（﹣3，0），故选：D．12．已知函数f（x）=x3﹣3x2+（3﹣3a2）x+b（a≥1，b∈R）．当x∈[0，2]时，记|f（x）|的最大值为|f（x）|max，对任意的a≥1，b∈R，|f（x）|max≥k恒成立．则实数k的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数恒成立问题．【分析】求出f（x）的导数，分解因式，可得区间[0，2]为减区间，可得f（x）的最值，由绝对值不等式的性质，结合二次函数的最值求法，可得k的范围，进而得到k的最大值．【解答】解：函数f（x）=x3﹣3x2+（3﹣3a2）x+b的导数为f′（x）=3x2﹣6x+3﹣3a2=3（x﹣1+a）（x﹣1﹣a），由a≥1，可得1+a≥2，1﹣a≤0，则区间[0，2]为减区间，可得f（x）的最小值为f（0）=b，最大值为f（2）=b+2﹣6a2，对任意的a≥1，b∈R，|f（x）|max≥k恒成立，可得k≤|b|，k≤|b+2﹣6a2|，即为2k≤|b|+|b+2﹣6a2|，由|b|+|b+2﹣6a2|≥|b﹣b﹣2+6a2|=|6a2﹣2|≥4，可得2k≤4，即k≤2，则k的最大值为2．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知函数f（x）定义域为[0，8]，则函数g（x）=的定义域为[0，3）∪（3，4] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】题目给出了函数y=f（x）的定义域，只要让2x在函数f（x）的定义域内，且x≠3，求解x的范围即可．【解答】解：f（x）定义域为[0，8]，∴0≤2x≤8，即0≤x≤4，∴f（2x）的定义域为[0，4]，∴g（x）=，∴3﹣x≠0，解得x≠3，故函数g（x）=的定义域为[0，3）∪（3，4]，故答案为：[0，3）∪（3，4]14．已知函数f（x）=2x+1，若f1（x）=f（x），f n（x）=f[f n（x）]，n∈N*．则f5（x）+1的表达式为32x+31．【考点】数列与函数的综合．【分析】由条件利用用代入法求得函数的解析式．【解答】解：由题意可得f1（x）=f（x）=2x+1，f2（x）=f[f1（x）]=2（2x+1）+1=4x+3，f3（x）=f[f2（x）]=2（4x+3）+1=8x+7，f4（x）=f[f3（x）]=2（8x+7）+1=16x+15，f5（x）=f[f4（x）]=2（16x+15）+1=32x+31，故答案为：32x+31．15．变量x，y满足，若目标函数z=ax﹣y仅在（4，1）点处取得最大值，则实数a的取值范围是（1，+∞）．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，平移关于目标函数的直线，结合图象求出a的范围即可．【解答】解：画出满足线性约束条件的平面区域，如图示：，由目标函数z=ax﹣y得：y=ax﹣z，而直线x﹣y﹣3=0的斜率是1，2x+y﹣9=0的斜率是﹣2，若直线仅在（4，1）处取得最大值，只需a＞1，则实数a的取值范围是（1，+∞），故答案为：（1，+∞）16．已知函数f（x）=x2+k．任取实数a，b，c∈[﹣1，1]，以f（a），f（b），f（c）为三边长可以构成三角形，则实数k的取值范围为（4﹣2，2）．【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．【分析】利用换元法求出f（x）的最值，令2f min（x）＞f max（x）解出a的范围．【解答】解：设f（x）的最小值为m，f（x）的最大值为M，∵取实数a，b，c∈[﹣1，1]，以f（a），f（b），f（c）为三边长可以构成三角形，∴2m＞M．令=t，则0≤t≤1，x2=1﹣t2．∴x2+k=﹣t2+kt+1，令g（t）=﹣t2+kt+1=﹣（t﹣）2++1，（1）若≤0即k≤0，则g（t）在[0，1]上单调递减，∴m=g（1）=k，M=g（0）=1，∴2k＞1，解得k，舍去．（2）若即k≥2，则g（t）在[0，1]上单调递增，∴m=g（0）=1，M=g（1）=k，∴2＞k，即k＜2，舍去．（3）若0＜，即0＜k≤1，则g（t）在[0，]上单调递增，在[，1]上单调递减，∴m=g（1）=k，M=g（）=，∴2k＞，解得4﹣2＜k＜4+2．∴4﹣2＜k≤1．（4）若＜1即1＜k＜2，则g（t）在[0，]上单调递增，在[，1]上单调递减，∴m=g（0）=1，M=g（）=．∴2＞，解得﹣2＜k＜2，∴1＜k＜2．综上，k的取值范围是（4﹣2，2）．故答案为（4﹣2，2）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=．（1）解关于x的不等式：f（x）＞1；（2）若x∈（1，3），求函数f（x）的值域．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）问题转化为（x2﹣3x+2）（x+1）＞0，解出即可；（2）设x+1=t∈（2，4），换元得到=t+﹣4，求出其范围即可．【解答】解：（1）∵＞1，∴＞0，即（x2﹣3x+2）（x+1）＞0，解得：﹣1＜x＜1或x＞2；（2）∵x∈（1，3），∴设x+1=t∈（2，4），则x=t﹣1，===t+﹣4∈[2﹣4，）．18．已知函数f（x）=lg（e x+﹣a）（1）若函数f（x）定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）值域为R，求实数a的取值范围．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）由e x+﹣a＞0，可得a＜e x+，求出右边的最小值，即可求实数a的取值范围；（2）函数f（x）值域为R，则e x+﹣a能取遍一切正实数，可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由e x+﹣a＞0，可得a＜e x+，∵x∈R，∴e x+≥2，∴a＜2；（2）函数f（x）值域为R，则e x+﹣a能取遍一切正实数，∴2﹣a≤0，∴a≥2．19．如图，四棱锥M﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，MD⊥平面ABCD，且MD=DA=1，E为MA中点．（1）求证：DE⊥MB；（2）若DC=2，求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）以D为原点距离坐标系，求出，的坐标，可通过计算=0得出DE ⊥BM；（2）分别求出两平面的法向量，计算法向量夹角，即可得出二面角的大小．【解答】证明：（1）以D为坐标原点，以DA，DC，DM为坐标轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz，如图所示：设DC=a，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，a，0），M（0，0，1），E（，0，），∴=（，0，），=（﹣1，﹣a，1）．∴=+0×（﹣a）+=0，∴DE⊥BM．（2）当DC=2时，=（﹣，﹣2，），=（，0，），=（0，2，0），设平面BDE的法向量为=（x1，y1，z1），平面CDE的法向量为=（x2，y2，z2），则，，即，．令x1=1得=（1，﹣，﹣1），令x2=1得=（1，0，﹣1）．∴cos＜＞===．∴二面角B﹣DE﹣C的余弦值为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，右焦点为F．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相切于点P（不为椭圆C的左、右顶点），直线l与直线x=2交于点A，直线l与直线x=﹣2交于点B，请问∠AFB是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由2a=4，离心率e==，b=即可求得a和b，即可求得椭圆C的方程；（2）l的斜率为0时，∠AFB为直角，则∠AFB为定值，当斜率不为0时，将切点代入椭圆方程，求得交点坐标，求得AF和BF的斜率k AF及k BF，即可求得k AF•k BF=﹣1，即可求得∠AFB为定值．【解答】解：（1）2a=4，即a=2，e==，∴c=，b==1，∴椭圆方程为：，（2）证明：当l的斜率为0时，∠AFB为直角，则∠AFB为定值，为，当斜率不为0时，设切点为P（x0，y0），则l：，∴A（2，），B（﹣2，），∴k AF•k BF=•==﹣1，∴∠AFB为定值．21．已知函数f（x）=+b的图象在点P（0，f（0））处的切线为y=x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）=k有两个不等实根x1，x2，求实数k的取值范围；（3）在（2）的条件下，若x0=，求证：f'（x0）＜0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，利用函数f（x）=+b的图象在点P（0，f（0））处的切线为y=x，求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；（2）确定函数f（x）的最大值为f（1）=，x→+∞，f（x）→0，x→﹣∞，x＜0，利用关于x的方程f（x）=k有两个不等实根x1，x2，即可求实数k的取值范围；（3）不妨设0＜x1＜1＜x2，先证明f（1+t）＞f（1﹣t），对t∈（0，1）恒成立，再利用x ＞1，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，即可证明结论．【解答】（1）解：由题意，f′（x）=，∵函数f（x）=+b的图象在点P（0，f（0））处的切线为y=x，∴f（0）=b=0，f′（0）=a=1，∴f（x）=；（2）解：由（1）f′（x）=，x＜1，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；x＞1，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴函数f（x）的最大值为f（1）=，∵x→+∞，f（x）→0，x→﹣∞，x＜0，关于x的方程f（x）=k有两个不等实根x1，x2，∴0＜k＜；（3）证明：不妨设0＜x1＜1＜x2，先证明f（1+t）＞f（1﹣t），对t∈（0，1）恒成立，只要证明（1+t）e﹣（1+t）＞（1﹣t）e﹣（1﹣t），只要证明ln（1+t）﹣ln（1﹣t）﹣2t＞0．令g（t）=ln（1+t）﹣ln（1﹣t）﹣2t，t∈（0，1）则g′（t）=＞0，∴g（t）在（0，1）上单调递增，∴g（t）＞g（0）=0．∵0＜x1＜1＜x2，∴2﹣x1＞1，∴f（x2）=f（x1）＜f（2﹣x1），∵x＞1，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴x2＞2﹣x1，∴x1+x2＞2，∴x0=＞1，∴f'（x0）＜0．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．如图，圆C与圆D半径分别为r1，r2，相交于A，B两点，直线l1过点A，分别交圆C、圆D于点M、N（M、N在A的异侧），直线l2过点B，分别交圆C、圆D于点P，Q（P、Q在B的异侧），且l1平行于l2，点C，D在l1与l2之间．（1）求证：四边形MNQP为平行四边形；（2）若四边形MABP面积与四边形NABQ面积相等，求证：线段AB与线段IJ互相平分．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明两组对边分别平行，即可证明四边形MNQP为平行四边形；（2）证明MB∥AQ，PA∥BN，可得四边形AIBJ为平行四边形，即可证明：线段AB与线段IJ互相平分．【解答】证明：（1）由题意可知四边形MABP，NABQ均为等腰梯形，∴∠PMA=∠ABQ=∠BQN，∴∠PMA+∠ANQ=∠BQN+∠ANQ=180°，∴PM∥QN，又∵MN∥PQ，∴四边形MNQP是平行四边形；（2）∵S MABP=S NABQ，∴PB+MA=BQ+AN，又∵MN=PQ，∴MA=BQ，MA∥BQ，∴四边形MAQB为平行四边形，∴MB∥AQ，同理可得PA∥BN，∴四边形AIBJ为平行四边形，∴线段AB与线段IJ互相平分．23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=1．直线l与曲线C相交于点A，B．（1）求直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与y轴交于点P，求|PB|•|PA|．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=1，展开为：ρ（sinθ+cosθ）=1，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），利用平方关系消去参数化为普通方程．把直线l的参数方程，代入椭圆方程可得：2t2+6t+3=0，利用|PB|•|PA|=|t1t2|即可得出．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=1，展开为：ρ（sinθ+cosθ）=1，可得直角坐标方程：x+y﹣=0．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数化为： +y2=1．直线l的参数方程为：，（t为参数）代入椭圆方程可得：2t2+6t+3=0，∴t1t2=．∴|PB|•|PA|=|t1t2|=．24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+1|．（1）若a=2，解不等式：f（x）＜5；（2）若f（x）≥4﹣|a﹣1|对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）若a=2，f（x）=|x﹣2|+|x+1|＜5，分类讨论求得它的解集．（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为|a+1|，可得|a+1|≥4﹣|a﹣1|，由此求得a的范围．【解答】解：（1）若a=2，f（x）=|x﹣2|+|x+1|＜5．∴或或，解得x∈（﹣2，3）；（2）∵f（x）≥4﹣|a﹣1|对任意的实数x恒成立，∴f（x）=|x﹣a|+|x+1|≥|x﹣a﹣x﹣1|=|a+1|≥4﹣|a﹣1|∴或或∴a≤﹣2或a≥2∴a∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．2016年10月10日。

【2017年高三数学优质试卷原创精品】第二周 函数与导数(一)试题特点：本套试卷重点考查函数的概念、函数的基本性质、函数与导数的综合运用等。

在命题时，注重考查基础知识如第1-9，13-15及17-20题等；注重考查知识的交汇，如第4题考查简单对数不等式、分式不等式的解法及集合的运算；注重数形结合能力和运算能力的考查，如第6,7,10,14,19,20题等。

讲评建议：评讲试卷时应注重对函数概念和基本性质的本质的理解、导数与函数的单调性及极值的关系，常用的解法有定义法（如第1题）、图解法（如第7，19题）以及导数法（如13题）。

判断和利用函数的奇偶性\单调性的方法等可以灵活采用定义法（如第2,4,6,12,18题）以及等价转换法（如2, ,18题）等。

试卷中第5，7，11，12，19各题易错，评讲时应重视。

一、填空题（每题5分,共70分）1.已知幂函数()f x 的图像过点12⎛ ⎝，则()4f =__________.【答案】2【解析】设αx x f =)(,由题设22)21(=α,则21=α,所以21)(x x f =,故()4f =2421=.2.函数 f(x)=e x 可以表示成一个奇函数 g(x) 与一个偶函数h(x) 之和，则g(x) ． 【答案】1()2x xe e --3. 函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为__________.【答案】()()0,11,2【解析】由题设可得⎩⎨⎧≠>-1022x x x 可得⎩⎨⎧≠<<120x x ,即()()0,11,2 ,故答案为()()0,11,2 .4．已知()y f x =为定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()22x f x =-，则方程()0f x =的解集是 .【答案】{}1,0,1-【解析】当()0,x ∈+∞时，由()220x f x =-=，解得1x =，又()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()()()()110,0000f f f f f -=-==-⇒=，所以()0f x =的解集是{}1,0,1-. 5．已知函数()1231234x x x x f x x x x x +++=+++++++，则()()50f f -+= . 【答案】8 【解析】()()012355152530,5123451525354f f --+-+-+=+++-=+++-+-+-+-+，倒叙相加得8.6．定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+4)= f(x)，且在[0,2] 上f(x)= (1),(01,sin ,(12x x x x x π-≤≤⎧⎨<≤⎩则2941()()46f f +=_______. 【答案】516【解析】由题设可知)(x f 是周期为4的奇函数，则163)43()43()4344()429(-=-=-=-+=f f f f ，2167sin )67()67()6744()641(=-=-=-=-+=πf f f f ， 故2941()()46f f +=16516321=-. 7．已知函数()2f x +=，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间(1,1]-内，()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是 .【答案】1(0,]28．[]12,1,2x R x ∀∈∃∈，使得2211221233x x x x x mx ++≥+-成立，则实数m 的取值范围 . 【答案】278m ≤【解析】由2211221233x x x x x mx ++≥+-得()22121221330,x x x x mx x R +-+-+≥∀∈，所以0∆≤，即()()[]222223430,1,2x x mx x ---+≤∃∈整理得[]2223463,1,2m x x x -≤+∃∈，所以利用对勾函数的单调性得22max33154633222m x x ⎛⎫-≤+=⨯+= ⎪⎝⎭，所以278m ≤. 9．已知函数()()2,4f x x a x f x x =++-≤-的解集为A ，若[]1,2A ⊆，则a 的取值范围为_______． 【答案】[]3,0-10．将边长为4正三角形薄片，用平行于底边的两条直线剪成三块（如图所示），这两条平行线间ABCD ，记()2ABCD S ABCD=梯形的周长梯形，则S 的最小值为___________．11．对任意实数x ，总存在[]1,2y ∈，使得2223x xy y x my ++≥++成立，则m 的取值范围是__________． 【答案】]21,(-∞【解析】由2223x xy y x my ++≥++得03)2(22≥--+-+my y x y x ,由题设可得0)3(4)2(22≤----my y y ,即016)1(432≤+-+-y m y ,也即yy m 143)1(4-≤-,而yy 163-的最大值为286-=-,故211-≤-m ，故应填]21,(-∞.12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间[)0,+∞上是增函数，若()()1ln ln 12f x f x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭<，则x 的取值范围是 .【答案】1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因x xln 1ln-=,故)(ln 2)1(ln )(ln x f x f x f =-，所以不等式()()1ln ln 12f x f x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭<可化为)1(|)(ln |f x f <，即)1()(ln )1(f x f f <<-，也即)1()(ln )1(f x f f <<-，所以1ln 1<<-x ，故e x e<<1.13.已知函数()321f x x ax =++的对称中心的横坐标为()000x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是 .【答案】,⎛-∞⎝14.已知函数()21,0,log ,0,kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩下列是关于函数()()1y f f x =+的零点个数的四种判断：①当0k >时，有3个零点；②当0k <时．有2个零点；③当0k >时，有4个零点；④当0k <时，有1个零点．则正确的判断是 (只填序号). 【答案】③④【解析】若x x f x 2log )(,0=>.当0log 2>x ,即1>x 时,01)(log log ))((22=+=x x f f ,解得2=x ；当0log 2≤x ,即10≤<x 时,011)(log ))((2=++=x k x f f ,当0>k ,解得122<=-kx 适合；当0<k ,解得122>=-kx 不适合.若1)(,0+=≤kx x f x ,若01<+kx ,则011))((2=+++=k x k x f f ,即022=++k x k ,当22,0k k x k +-=>合适,0<k 时不合适；若01>+kx ,则01)1(log ))((2=++=kx x f f ,即211=+kx 也即kx 21-=,当0>k 时适合；当0<k 不合适.因此当0>k 时有四个根k k k k21,2,2,222-+--；当0<k 只有一个根2=x ,应填③④.二、解答题15．为了优化城市环境，方便民众出行，我市在某路段开设了一条仅供车身长为10m 的BRT 行驶的专用车道.据数据分析发现，该车道上行驶中前、后两辆BRT 公交车间的安全距离()d m 与车速()/v km h 之间满足二次函数关系()d f v =.现已知车速为15/km h 时，安全距离为8m ；车速为45/km h 时，安全距离为38m ；出行堵车状况时，两车安全距离为2m .(1)试确定d 关于v 的函数关系()d f v =；(2)车速()/v km h 为多少时，单位时段内通过这条车道的公共汽车数量最多，最多是多少辆？【答案】(1) ()2112755d f v v v ==++;(2) 30/v km h =时通过的汽车数量最多，最多为1000辆.【解析】(1)设()()20d f v av bv c a ==++≠，将点()()()0,2,15,8,45,38分别代入得22112251528,,27554545238c a b a b c b ⎧=⎪++=⇒===⎨⎪++=⎩.所以()2112755d f v v v ==++.……6分 (2)设单位时间内通过的汽车数量为Q，则100012111000/1000/1000107555v v Q d v ⎛⎫⎛⎫==++≤+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭（辆），当且仅当275v v=，即30/v km h =时等号成立. 答：当30/v km h =时通过的汽车数量最多，最多为1000辆.………………14分 16．已知函数()()21f x x ax a R =++∈．（1）若()f x 在[]0,2上的最小值为1，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()0f x ≥； （3）若关于x 的方程()()()10ff x f x -+=无实数解，求实数a 的取值范围．【答案】(1)0≥a ；(2)当22a -≤≤时，x R ∈，当2a >或2a <-时，x ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；(3) 12a --<<. 【解析】（1）因为()01f =，所以()211f x x ax =++≥在(]0,2上恒成立，所以20,,0x ax a x a +≥≥-≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）()210f x x ax =++≥，当0∆≥，即22a -≤≤，x R ∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分当0∆<，即2a >或2a <-，x ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．8分 （3）()()()10ff x f x -+=，即()()()()()222222211120x ax a x ax x ax x ax a x ax +++++++=+++++=，当()2180a ∆=+-<，即11a --<<-，成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分当()2180a ∆=+->，即1,1a a ≤--≥-，2212404a a a f ⎧+-<-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩，所以4321144320a a a a ⎧-≤<⎪⎨--+>⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 令()()4324432,h 20h a a a a =--+=，()()3224128432h a a a a a a a '=--=--，所以()()()()()()(2141131241100h '=----=--< ((((()(214113124110h '+=++-+-=+-<，所以()0h a '<在11a <<+恒成立，所以()h a 单调递减，所以12a -≤<，综上，12a --<<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分 17．已知函数()2ln f x x x x =-+．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若在y 轴右侧，函数()()2121h x a x ax =-+-的图像都在函数()f x 图像的上方，求整数a 的最小 值．【答案】(1)()1,+∞；(2)1.【解析】（1）解：()()2121210x x f x x x x x-++'=-+=>，由()0f x '<，得2210x x -->，又0x >，所以1x >．所以()f x 的单调递减区间为()1,+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）解：令()()()()2ln 121g x f x h x x ax a x =-=-+-+，所以()()()221211212ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>， 所以()g x 在()0,+∞上是递增函数，又因为()()21ln11121320g a a a =-⨯+-+=-+>，所以关于x 的不等式()()2121f x a x ax ≤-+-不能恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分当0a >时，()()()212121212a x x ax a x a g x x x⎛⎫-+ ⎪-+-+⎝⎭'==-， 令()0g x '=，得12x a=， 所以当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 因此函数()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是增函数，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是减函数． 故函数()g x 的最大值为11ln 224g a a a⎛⎫=- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 令()1ln 24F a a a=-， 因为()1110,1ln 20224F F ⎛⎫=>=-<⎪⎝⎭， 又()F a 在()0,a ∈+∞是减函数． 所以当1a ≥时，()0F a <，所以整数a 的最小值为1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．已知函数()42x xng x -=是奇函数，函数()()4log 41x f x mx =++是偶函数. （1）求m n +的值； （2）设()()12h x f x x =+，若()()()4log 21g x h a >+对任意x ≥1恒成立，求实数a 的取值集 合. 【答案】(1)21；(2)1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）由（1）知，()()41log 412x f x x =+-，则()()()41log 412x h x f x x =+=+ ∴()()()44log 21=log 22h a a ++又由（1）知()411=222x x x x g x -=-，∵函数2xy =在[)1+∞，上是增函数，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[)1+∞，上是减函数，∴函数()122x xg x =-在[)1+∞，上是增函数. ∴当1x ≥时，()()min 312g x g ==. ………………………………………10分 ∵()()()4log 21g x h a >+对任意x ≥1恒成立，∴()43log 222210a a ⎧+<⎪⎨⎪+>⎩，解得132a -<<.∴实数a 的取值集合是1,32⎛⎫-⎪⎝⎭. ……………………………………… 14分 19．如图，某水域的两直线型岸边12,l l 成定角120o ，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A 相距1公里的D 处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC （,B C 分别在1l 和2l 上），围出三角形ABC 养殖区，且AB 和AC 都不超过5公里．设AB x =公里，AC y=公里．（1）将y 表示成x 的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？【答案】(1) )545(1≤≤-=x x x y ；(2)3．(2)设△ABC 的面积为S ，则结合（1）易得方法一：S ＝12xy sin A ＝12x ·1x x -·sin120º，(54≤x ≤5) ()()()221211114111x x x x x x x -+-+==-+≥--- …………………………………10分 当仅当x －1＝11x -，x ＝2时取等号.故当x =y =2时，面积S …………………………… 12分方法二：S ＝S ΔABD ＋S ΔACD ＝12x sin60º＋12y sin60º(x ＋1x x -)(x ＋111x x -+-)(x ＋11x -＋1)[(x －1)＋11x -＋ ……………10分当且仅当x －1＝11x -，即x ＝2时取等号．故当x =y =2时，面积S ……………………………12分………………………………14分20．设[][]1122A B =-=-，，，,函数()221f x x mx =+-． （1）设不等式()0f x ≤的解集为C ，当()C A B ⊆⋂时，求实数m 的取值范围；（2）若对任意x R ∈，都有()()11f x f x -=+成立，试求x B ∈时，函数()f x 的值域；（3）设()()22g x x a x mx a R =---∈，求()()f x g x +的最小值. 【答案】(1)]1,1[-；(2)[]3,15-；(3)当1a ≤-时，()min 22f x a =--，当11a -<<时，()2min 1f x a =-，当1a ≥时，()min 22f x a =-．（2）对任意x R ∈，都有()()11f x f x -=+成立，所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称，所以14m -=，解得4m =-，所以函数()()2213f x x =--，其在区间[]2,1-是减函数，在区间[]1,2上是增函数，所以()()min 13f x f ==-，又()()21521f f -=>=-，所以()max 15f x =，所以函数()f x 在区间B 上的值域为[]3,15-； (8)分（3）令()()()h x f x g x =+，则()222221,21221,x x a x a h x x x a x x a x a⎧+--≥⎪=+--=⎨-+-≤⎪⎩ ........................9分 ①当1a ≤-时，函数()f x 在区间(),1-∞-是减函数，()1,-+∞是增函数，此时 ()min 22f x a =-- (11)分②当11a -<<时，函数()f x 在区间(),a -∞是减函数，(),a +∞是增函数，此时 ()2min 1f x a =-……………………13分③当1a ≥时，函数()f x 在区间(),1-∞是减函数，()1,+∞是增函数， 此时()min 22f x a =- (15)分综上：当1a ≤-时，()min 22f x a =--，当11a -<<时()2min 1f x a =-， 当1a ≥时()min 22f x a =- ……………………16分。

数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数212ii+-的共轭复数为( ) A ．35i -B ．35iC ．i -D ．i2．“p q ∨是假命题”是“p ⌝为真命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．给定函数①12y x =②()12log 1y x =+③1y x =-④12x y +=，其中在区间()0,1上单调递减的函数序号是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4．,a b 是两个向量，1,2==a b 且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角为( )A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒5．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是( )A ．22cmB 3C ．3D ．33cm6．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且123410,26a a a a +=+=，则过点(),n P n a 和()()*21,n Q n a n N ++∈的直线的一个方向向向量是( )A ．1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()1,2--C ．12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是( )A ．B ．0C ．D ．8．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有( ) A ．35种B ．24种C ．18种D ．9种9．设函数()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则( )A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 10．把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴，顶点()0,1A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长 AM x =，直线AM 与x 轴交于点(),0N t ，则函数()t f x =的大致图像为( )A． B ． C．D．11．设,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数z ax by =+（其中0,0a b >>）的最大值为3，则12a b+的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．412．点(),0F c 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，点P 为双曲线左支上一点，线段PF 与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且2PQ QF = ，则双曲线的( )A．BC．D ．2二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则x 的取值集合是______．14．已知60,a x⎫>-⎪⎭展开式的常数项为15，则(2a ax x dx -+=⎰______． 15．把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为______．16．已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且满足22cos22sin 2sin sin 1A B C B C ++-=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4b c ==，求ABC ∆的外接圆的面积．18．（本小题满分12分）下图为某校语言类专业N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知8090 分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N 和9095 分数段内的人数n ；（Ⅱ）现欲将9095 分数段内的6名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为35，求n 名毕业生中男、女各几人（男、女人数均至少两人）．（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求ξ的分布列和数学期望()Eξ．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，且AC BD =，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB平面AEC ；（Ⅱ）在PAD ∆中，2,4AP AD PD ===，三棱锥E ACD -D AE C --的大小．20．（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点为()2,0F ，M 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，且MOF ∆是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M 分别作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设两直线的斜率分别为12,k k ，且128k k +=，证明：直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．21．（本小题满分12分） 设函数()()()ln 1,2ab x f x g x x a b x ==-++（其中e 为自然对数的底数，,a b R ∈且0a ≠），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()1y ae x =-．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）若对任意1,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()f x 与()g x 有且只有两个交点，求a 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l的参数方程为2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），l 与C 分别交于,M N ．（Ⅰ）写出C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程； （Ⅱ）若,,PM MN PN 成等比数列，求a 的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()()40f x x x m m m=-++>． （Ⅰ）证明：()4f x ≥；（Ⅱ）若()25f >，求m 的取值范围．江西省新余一中、宜春一中2017届高三7月联考数学（理）试题参考答案1-5．CABCB 6-10．DBCAD 11-12．CC 13．()1,3- 14．232π+ 15．41π- 16．10,2⎛⎫⎪⎝⎭17．解：（Ⅰ）∵22cos22sin 2sin sin 1A B C B C ++-=，∴222sinsin sin sin B C A B C +-=由正弦定理得222bc a +-=由余弦定理得222cos 22b c a A bc +-==， 又∵0A π<<，∴6A π=………………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）∵2222cos 316247a b c bc A =+-=+-=，∴a =由正弦定理得2sin 2a R A===18．解：（Ⅰ）8090 分数段的毕业生的频率为()10.040.0350.35P =+⨯=，此分数段的学员总数为21人，所以毕业生的总人数21600.35N == ()210.010.040.050.040.030.0150.1P =-+++++⨯=，所以9095 分数段内的人数600.16n =⨯=．………………………………………………………………4分（Ⅱ）9095 分数段内共6名毕业生，设其中男生x 名，则女生6x -名．设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件A ，则()2626315xC P A C -=-=，解得2x =或9（舍去）， 即6名毕业生中有男生2人，女生4人．………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）ξ表示n 名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数， 所以ξ的取值可以为：0,1,2．当0ξ=时，()3436105C P C ξ===；当1ξ=时，()122436315C C P C ξ===； 当2ξ=时，()212436125C C P C ξ===． 所以ξ的分布列为ξ0 1 2()P k ξ=15 35 15所以随机变量ξ的数学期望为()1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=．…………………………………………12分19．解：（Ⅰ）连结BD 交AC 于点O ，连结EO ． 因为ABCD 是平行四边形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO PB ．EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB 平面AEC ．……………………………………………5分（Ⅱ）因为在PAD ∆中，2,4AP AD PD ===，所以222AP AD PD +=，所以90PAD ∠=︒，∴PA AD ⊥． 又因为平面PAD ⊥平面ABC ，所以PA ⊥平面ABC ，在平行四边形ABCD 中，AC BD =，所以ABCD 为矩形，所以,,AB AD AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB的方向为x 轴的正方向，AP 为单位长，建立空间直角坐标系A xyz -，因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD -的高为12， 设()0AB mm =>，三棱锥E ACD -的体积11132V m =⨯⨯⨯=3m AB ==．则()()()()0,0,0,,,A D E AE =，设()3,0,0B，则()()3,,3,C AC =．设()1,,x y z =n 为平面ACE 的法向量， 则110,0AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即111130,0,x z ⎧+=⎪+=可取1=-⎝n 又()21,0,0=n 为平面DAE 的法向量，由题设1212121cos ,2⋅===n n n n n n ， 即二面角D AE C --的大小是60︒．…………………………………………………………………………12分20．解：（Ⅰ）由MOF ∆是等腰直角三角形，得2224,8c b a ===，故椭圆方程为22184x y +=．……………………………………………………………………………………4分（Ⅱ）（1）若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y kx m =+，依题意2m ≠±． 设()()1122,,,Ax y B x y ，由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222124280k x kmx m +++-=． 则2121222428,1212km m x x x x k k -+=-=++．由已知128k k +=，可得1212228y y x x --+=， 所以1212228kx m kx m x x +-+-+=．所以42mk k m -=+，整理得122m k =-． 故直线AB 的方程为122y kx k =+-，即122y k x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 所以直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． （2）若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =， 设()()0000,,,Ax y B x y -，由已知0000228y y x x ---+=，得012x =-，此时AB 方程为12x =-，显然过点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 综上，直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）由()ln ab xf x x=，得()()21ln ab x f x x -'=，……………………………………………1分由题意得()1f ab ae '==，……………………………………………………………………………………2分∵0a ≠，∴b e =；……………………………………………………………………………………………3分（Ⅱ）令()()()()()21ln 2h x x f x g x x a e x ae x =-=-++，则任意1,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()f x 与()g x 有且只有两个交点，等价于函数()h x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭有且只有两个零点，由()()21ln 2h x x a e x ae x =-++，得()()()x a x e h x x--'=，………………………………………………………………………………………5分 ①当1a e ≤时，由()0h x '>得x e >，由()0h x '<得1x e e <<， 此时()h x 在1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在(),e +∞上单调递增， ∵()()2211ln 022h e e a e e ae e e =-++=-<， ()()()()()242221112ln 2220222h e e a e e ae e e e e a e e e e ⎛⎫=-++=---≥--> ⎪⎝⎭，（或当x →+∞时，()0h x >亦可），∴要使得()h x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有且只有两个零点，则只需()()22221221111ln 022e e e a a e h ae e ee e e --++⎛⎫=-+=≥ ⎪⎝⎭，即()221221e a e e -≤+，……………………7分 ②当1a e e <<时，由()0h x '>得1x a e<<或x e >，由()0h x '<得a x e <<，此时()h x 在(),a e 上单调递减，在1,a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(),e +∞上单调递增． 此时()222111ln ln 0222h a a ae ae a a ae ae e a =---<--+=-<， ∴此时()h x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭至多只有一个零点，不合题意，……………………………………………………9分③当a e >时，由()0h x '>得1x e e <<或x a >，由()0h x '<得e x a <<，此时()h x 在1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(),a +∞上单调递增，在(),e a 上单调递减，且()2102h e e =-<， ∴()h x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭至多只有一个零点，不合题意，………………………………………………………11分综上所述，a 的取值范围为()2212,21e e e ⎛⎤- ⎥-∞ +⎥⎝⎦．……………………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为()220y ax a =>；直线l 的普通方程为20x y --=．……………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得(()()224840t a a -+++=*()840a a ∆=+>．设点,M N 分别对应参数12,t t ，恰为上述方程的根． 则1212,,PM t PN t MN t t ===-．由题设得()21212t t t t -=，即()21212124t t t t t t +-=．由（*）得(()121224840t t a t t a +=+=+>，则有()()24540a a +-+=，得1a =，或4a =-．因为0a >，所以1a =．………………………………………………………………………………………10分23．解：（Ⅰ）由0m >，有()4444f x x x m x x m m m m m ⎛⎫=-++≥--++=+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当4m m=，即2m =时取“=”．所以()4f x ≥．…………………………………………………4分（Ⅱ）()4222f m m=-++．当42m <，即2m >时，()424f m m =-+，由()25f >，得m > 当42m ≥，即02m <≤时，()42f m m=+，由()25f >，得01m <<． 综上，m 的取值范围是()0,1⎫+∞⎪⎪⎝⎭．…………………………………………………………10分。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）选择题部分（共50分）1.(2017年浙江)已知集合P={x|-1＜x ＜1}，Q={0＜x ＜2}，那么P ∪Q=（ ） A ．（1，2）B ．（0，1）C ．（-1，0）D ．（1，2）1.A 【解析】利用数轴，取P ，Q 所有元素，得P ∪Q=（-1，2）.2. (2017年浙江)椭圆x 29+y 24=1的离心率是（ ）A ．133B ．53C ．23D ．592.B 【解析】e=9-43=53.故选B ．3. (2017年浙江)某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）（第3题图） A ．12π+ B ．32π+ C ．312π+ D ．332π+ 3. A 【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为V=13×3×（π×122+12×2×1）=π2+1.故选A.4. (2017年浙江)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x+y-3≥0，x-2y≤0，则z=x+2y 的取值范围是（ ）A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，+∞）D ．[4，+∞）4. D 【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D ．5. (2017年浙江)若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m （ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关5. B 【解析】因为最值f （0）=b ，f （1）=1+a+b ，f （-a 2）=b-a 24中取，所以最值之差一定与b 无关.故选B.6. (2017年浙江)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. C 【解析】由S 4 + S 6-2S 5=10a 1+21d-2（5a 1+10d ）=d ，可知当d ＞0时，有S 4+S 6-2S 5＞0，即S 4 + S 6>2S 5，反之，若S 4 + S 6>2S 5，则d ＞0，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．7. (2017年浙江)函数y=f (x )的导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（ ）（第7题图）7. D 【解析】原函数先减再增，再减再增，且x=0位于增区间内.故选D.8. (2017年浙江)已知随机变量ξi 满足P （ξi =1）=p i ，P （ξi =0）=1–p i ，i =1，2． 若0<p 1<p 2<12，则（ ）A ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)B ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)C ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)D ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)8. A 【解析】∵E (ξ1)=p 1，E (ξ2)=p 2，∴E (ξ1)＜E (ξ2)，∵D (ξ1)=p 1(1-p 1)，D (ξ2)=p 2(1-p 2)，∴D (ξ1)- D (ξ2)=(p 1-p 2)(1-p 1-p 2)＜0.故选A ．9. (2017年浙江)如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，BQ QC =CRRA =2，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P的平面角为α，β，γ，则（ ）（第9题图） A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α9. B 【解析】设O 为三角形ABC 中心，则O 到PQ 距离最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，而高相等，因此α<γ<β.故选B.10. (2017年浙江)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=→OA ·→OB ，I 2=→OB ·→OC ，I 3=→OC ·→OD，则（ ）（第10题图） A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 310. C 【解析】因为∠AOB=∠COD ＞90°，OA ＜OC ，OB ＜OD ，所以→OB ·→OC ＞0＞→OA ·→OB ＞→OC ·→OD .故选C.非选择题部分（共100分）11. (2017年浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6= ． 11. 332 【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，则S 6=6×（12×1×1×sin 60°）=332．12. (2017年浙江)已知a ，b ∈R ，（a+bi ）2=3+4i （i 是虚数单位）则a 2+b 2=___________，ab =___________.12.5 2 【解析】由题意可得a 2-b 2+2abi=3+4i ，则⎩⎨⎧a 2-b 2=3，ab=2，解得⎩⎨⎧a 2=4，b 2=1，则a 2+b 2=5，ab=2.13. (2017年浙江)已知多项式（x+1）3（x+2）2=x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x+a 5，，则a 4=________，a 5=________．13. 16 4 【解析】由二项式展开式可得通项公式为Cr 3x r Cm 2·22-m = Cr 3·Cm 2·22-m ·x r+m ，分别取r=0，m=1和r=1，m=0可得a 4=4+12=16，取r=m ，可得a 5=1×22=4．14. (2017年浙江)已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是___________，cos∠BDC=___________.14. 152104【解析】取BC中点E，由题意，AE⊥BC，△ABE中，cos∠ABE=BEAB=14，∴cos ∠DBC=-14，sin∠DBC=1-116=154，∴S△BCD=12×BD×BC×sin∠DBC=152.∵∠ABC=2∠BDC，∴cos∠ABC=cos 2∠BDC=2cos2∠BDC-1=14，解得cos∠BDC=104或cos∠BDC=-104（舍去）.综上可得，△BCD面积为152，cos∠BDC=10 4.15. (2017年浙江)已知向量a，b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是________，最大值是_______．15. 4，2 5 【解析】设向量a，b的夹角为θ，由余弦定理有|a-b|=12+22-2×1×2×cos θ=5-4cos θ，|a+b|=12+22-2×1×2×cos (π-θ)=5+4cos θ，则|a+b|+|a-b|=5+4cos θ+5-4c os θ，令y=5+4cos θ+5-4cos θ，则y2=10+225-16cos2θ∈[16,20]，据此可得(|a+b|+|a-b|)max=20 =25,(|a+b|+|a-b|)min=16=4，即|a+b|+|a-b|的最小值是4，最大值是25．16. (2017年浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．（用数字作答）16. 660 【解析】由题意可得，“从8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队”中的选择方法为C4 8×C1 4×C1 3（种）方法，其中“服务队中没有女生”的选法有C4 6×C1 4×C1 3（种）方法，则满足题意的选法有C4 8×C1 4×C1 3- C4 6×C1 4×C1 3=660（种）.17. (2017年浙江)已知a ∈R ，函数f （x ）=|x+4x -a|+a 在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是___________．17.（-∞，92]【解析】x ∈[1,4],x+4x ∈[4,5]，分类讨论：①当a≥5时，f （x ）=a-x-4x +a=2a-x-4x ，函数的最大值2a-4=5，∴a=92，舍去；②当a≤4时，f （x ）=x+4x -a+a=x+4x≤5，此时命题成立；③当4＜a ＜5时，[f(x)]max =max{|4-a|+a,|5-a|+a}，则⎩⎨⎧|4-a|+a≥|5-a|+a ，|4-a|+a=5或⎩⎨⎧|4-a|+a ＜|5-a|+a ，|4-a|+a=5解得a=92或a ＜92.综上可得，实数a 的取值范围是（-∞，92]．18. (2017年浙江)已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –23sin x cos x （x ∈R ）． （1）求f （2π3）的值．（2）求f （x ）的最小正周期及单调递增区间． 18.解：（1）由sin2π3=32，cos 2π3=-12， f （2π3）=（32）2-（-12）2-23×32×（-12）．得f （2π3）=2．（2）由cos 2x=cos 2x-sin 2x 与sin 2x=2sin xcos x ， 得f(x)=-cos 2x-3sin 2x=-2sin(2x+π6)．所以f(x)的最小正周期是π．由正弦函数的性质得π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k ∈Z ，解得π6+kπ≤x≤3π2+2kπ，k ∈Z ，所以，f （x ）的单调递增区间是[π6+kπ，3π2+2kπ]，k ∈Z ．19. (2017年浙江)如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．（第19题图）（1）证明：CE ∥平面PAB ；（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值． 19.解：（1）如图，设P A 中点为F ，连接EF ，FB ． 因为E ，F 分别为PD ，P A 中点， 所以EF ∥AD 且EF=12AD ，又因为BC ∥AD ，BC=12AD ，所以EF ∥BC 且EF=BC ， 即四边形BCEF 为平行四边形， 所以CE ∥BF ， 因此CE ∥平面P AB ．（2）分别取BC ，AD 的中点为M ，N ，连接PN 交EF 于点Q ，连接MQ. 因为E ，F ，N 分别是PD ，PA ，AD 的中点，所以Q 为EF 中点， 在平行四边形BCEF 中，MQ ∥CE. 由△PAD 为等腰直角三角形得PN ⊥AD.PAB CDE由DC ⊥AD ，N 是AD 的中点得BN ⊥AD ． 所以AD ⊥平面PBN ， 由BC //AD 得BC ⊥平面PBN ， 那么平面PBC ⊥平面PBN ．过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，连接MH ．MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角． 设CD =1．在△PCD 中，由PC =2，CD =1，PD=2得CE =2， 在△PBN 中，由PN =BN =1，PB =3得QH =14，在Rt △MQH 中，QH=14，MQ =2，所以sin ∠QMH =28， 所以直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是28． 20. (2017年浙江)已知函数f (x )=（x –2x-1）e -x （x≥12）．（1）求f (x )的导函数；（2）求f (x )在区间[12，+∞)上的取值范围．20.解：（1）因为（x –2x-1）′=1-12x-1，（e -x ）′=-e -x ， 所以f （x ）=（1-12x-1）e -x -（x –2x-1）e -x =(1-x)(2x-1-2)e -x 2x-1(x ＞12).（2）由f′(x )=(1-x)(2x-1-2)e -x2x-1=0解得x=1或x=52．因为又f （x ）=12（2x-1-1）2e -x ≥0，所以f （x ）在区间[12，+∞)上的取值范围是[0，12e -12]．21. (2017年浙江)如图，已知抛物线x 2=y ，点A （-12，14），B （32，94），抛物线上的点p(x,y)(-12＜x ＜32)．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（第19题图）（1）求直线AP 斜率的取值范围； （2）求|PA|·|PQ|的最大值． 21. 解：（1）设直线AP 的斜率为k ， k=x 2-14x+12=x-12，因为-12＜x ＜32，所以直线AP 斜率的取值范围是（-1，1）．（2）联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧kx-y+12k+14=0，x+ky-94k-32=0，解得点Q 的横坐标是x Q =-k 2+4k+32(k 2+1)．因为|P A |=1+k 2(x+12)=1+k 2(k+1)，|PQ |=1+k 2(xQ -x)=-(k-1)(k+1)2k 2+1， 所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3． 令f(k)=-(k-1)(k+1)3， 因为f′(k)=-(4k-2)(k+1)2，所以f (k )在区间(-1,12)上单调递增，(12,1)上单调递减，因此当k =12时，|PA|·|PQ|取得最大值2716．22. (2017年浙江) 已知数列{x n }满足x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n ∈N *）． 证明：当n ∈N *时， （1）0＜x n +1＜x n ； （2）2x n +1− x n ≤x n x n +12；（3）12n-1≤x n ≤12n-2．22.解：（1）用数学归纳法证明x n ＞0． 当n =1时，x 1=1>0． 假设n =k 时，x k >0，那么n =k +1时，若x k+1≤0，则0＜x k = x k +1+ln （1+ x k +1）≤0，矛盾，故x k +1＞0． 因此x n ＞0（n ∈N *）．所以x n =x n+1+ln （1+x n+1）＞x n+1， 因此0＜x n+1＜x n （n ∈N *）． （2）由x n =x n+1+ln （1+x n+1），得x n x n+1-4x n+1+2x n =x n+12-2x n+1+（x n+1+2）ln （1+x n+1）. 记函数f （x ）=x2-2x+（x+2）ln （1+x ）（x≥0）， f′（x ）=2x 2+x x+1+ln （1+x ）＞0（x ＞0），函数f （x ）在[0，+∞]上单调递增，所以f （x ）≥f （0）=0， 因此x n+12-2x n+1+（x n+1+2）ln （1+x n+1）=f （x n+1）≥0， 故2x n+1-x n ≤x n x n +12（n ∈N *）． （3）因为x n =x n+1+ln （1+x n+1）≤x n+1+x n+1=2x n+1， 所以x n ≥12n-1，由x n x n +12≥2x n+1-x n ，得1x n+1-12≥2（1x n -12）＞0， 所以1x n -12≥2（1x n-1-12）≥…≥2n-1（1x 1-12）=2n-2，故x n ≤12n-2．1 2n-1≤x n≤12n-2（n∈N*）．综上，。

河北省衡水中学2017届高三年级七调考试数学（理科）本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 已知i 为虚数单位，设复数i a z -=1，bi z +=22，R b a ∈,，若221=+z z ，则=-b a(A)0(B)2-(C)1(D)1-(2) 设集合}3|1||{≤+=x x P ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-∈⎪⎭⎫⎝⎛==)1,2(,31|x y y Q x，则=Q P(A)⎪⎭⎫ ⎝⎛-91,4(B)⎥⎦⎤ ⎝⎛2,91(C)⎥⎦⎤ ⎝⎛2,31(D)⎪⎭⎫⎝⎛2,31(3) 已知ABC ∆三边c b a ,,上的高分别为1,22,21，则A cos 等于 (A)23(B)22-(C)42-(D)43-(4) 给出四个函数，分别满足①)()()(y f x f y x f +=+；②)()()(y g x g y x g ⋅=+；③)()()(y x y x ϕϕϕ+=⋅；④)()()(y x y x ωωω⋅=⋅，又给出四个函数的图象如下：则正确的配匹方案是(A)①—M ②—N ③—P ④—Q (B)①—N ②—P ③—M ④—Q (C)①—P ②—M ③—N ④—Q(D)①—Q ②—M ③—N ④—P(5) 正方体1111D C B A ABCD -中E 为棱1BB 的中点（如图），用过点1,,C E A 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为(6) 已知圆12:22=+y x C ，直线2534:=+y x l ，则圆C 上任取一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 (A)21(B)31 (C)41 (D)61 (7) 如图所示，正弦曲线x y sin =，余弦曲线x y cos =与两直线0=x ，π=x 所围成的阴影部分的面积为(A)1(B)2(C)2(D)22(8) 在直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱为直三棱柱）111C B A ABC -中，侧棱长为32，在底面ABC ∆中，︒=∠60C ，3=AB ，则此直三棱柱的外接球的表面积为(A)π34 (B)316π(C)π16(D)332π(9) 如果执行如图程序框图，输入正整数)2(≥N N 和实数N a a a ,,,21 ，输出B A ,，则(A)B A +为N a a a ,,,21 的和(B)2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 (C)A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数 (D)A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数(10) 数列}{n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若11=a ，111++=+n n n a S S ，则=50a (A)625-(B)725-(C)62(D)25(11) 设椭圆1121622=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，且满足921=⋅PF PF ，则||||21PF PF ⋅的值为 (A)8(B) 10(C)12( D)15(12) 若函数)(x f 为定义在R 上的连续奇函数且0)()(3>'+x f x x f 对0>x 恒成立，则方程1)(3-=x f x 的实根个数为(A)0(B)1(C)2(D)3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则{|0}A B x x =<I A B =R U {|1}A B x x =>U A B =∅I 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是14π812π4设有下面四个命题1:p 若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为13,p p 14,p p 23,p p 24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，48S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3] 6.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入 >1000和n =n +1 >1000和n =n +2≤和n =n +1≤和n =n +29.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin(2x +2π3)，则下面结正确的是 A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π12个单位长度，得到曲线C 210.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16B．14C．12D．1011.设xyz为正数，且235x y z==，则A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们退出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是26，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题及答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故A B I 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B I 元素的个数为2，故选B.2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（） A ．12B 2C 2D ．2【答案】C【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-，则22112z =+ C.3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．2014年 2015年 2016年根据该折线图，下列结论错误的是（） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，故选A.4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）A ．-80B ．-40C ．40D ．80 【答案】C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()2332233355C 2C 240x x y y x y x y ⋅-+⋅-=，则33x y 的系数为40，故选C.5．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为5y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为5y x =，则5b a =又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==② 由①②解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22145x y -=，故选B.6．设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π23π53-π36πg x y O 7．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示：S M初始状态0 100 1 第1次循环结束100 10- 2 第2次循环结束90 1 3 此时9091S =<首次满足条件，程序需在3t =时跳出循环，即2N =为满足条件的最小值，故选D.8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π4C ．π２D ．π4【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径221312r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B.9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）A ．24-B ．3-C ．3D ．8 【答案】A【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为. 则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++ 又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A.10．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（） ABCD ．13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离等于半径，∴d a == 又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =∵222b ac =-，可得()2223a a c =-，即2223c a =∴c e a == A11．已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）A ．1-２B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )2(e e )x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，解得12a =．12．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为（） A ．3 B． CD ．2【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C e 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为轴正半轴， AB 为轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD = ∵BD 切C e 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C e． ∵P 在C e 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=． 设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：0021x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 而00(,)AP x y =u u u r ，(0,1)AB =u u u r ，(2,0)AD =u u u r． ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=u u u r u u u r u u u r∴0112x μθ==+，01y λθ==． 两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+=++≤(其中sin ϕ=，cos ϕ当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．()A O DxyB P gCE二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x ，y 满足约束条件0,20,0,-⎧⎪+-⎨⎪⎩x y x y y ≥≤≥则34z x y =-的最小值为________．【答案】1-【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为34z x y =-，则直线344zy x =-纵截距越大，值越小． 由图可知：在()1,1A 处取最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．14．设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =________． 【答案】8-【解析】{}n a Q 为等比数列，设公比为．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②， 显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =， ()3341128a a q ∴==⨯-=-．15．设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________． 【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩Q x x x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：1)2-)由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16．，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与，都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与成60︒角时，AB 与成30︒角； ②当直线AB 与成60︒角时，AB 与成60︒角； ③直线AB 与所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与所成角的最大值为60︒．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1， 故||1AC =，2AB =，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD u u u r 为轴正方向，CB u u u r为轴正方向， CA u u u r为轴正方向建立空间直角坐标系． 则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线的方向单位向量(0,1,0)a =r ，||1a =r． B 点起始坐标为(0,1,0)，直线的方向单位向量(1,0,0)b =r，||1b =r ．设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'， 其中为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--u u u r ，||2AB '=u u u r ．设AB 'u u u r 与所成夹角为π[0,]2α∈，则(cos ,sin ,1)(0,1,0)22cos |sin |[0,]a AB θθαθ--⋅==∈'r u u u r． 故ππ[,]42α∈，所以③正确，④错误．设AB 'u u u r 与所成夹角为π[0,]2β∈，cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)2|cos |AB bb AB b AB βθθθ'⋅='-⋅='=u u u r r r u u u rr u u u r .当AB 'u u u r 与夹角为60︒时，即π3α=，12sin 2cos 2cos 232πθα====． ∵22cos sin 1θθ+=，∴|cos |θ．∴1cos |cos |2βθ=．∵π[0,]2β∈．∴π=3β，此时AB 'u u u r 与夹角为60︒．∴②正确，①错误．三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分． 17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =由勾股定理AD =又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 26ABDS AD AB =⋅⋅△18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 【解析】⑴易知需求量可取200,300,500()21612003035P X +===⨯()3623003035P X ===⨯()257425003035P X ++===⨯.⑵①当200n ≤时：，此时max 400Y =，当200n =时取到.②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦ 880026800555n n n -+=+= 此时max 520Y =，当300n =时取到. ③当300500n <≤时，()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 320025n -=此时520Y <.④当500n ≥时，易知一定小于③的情况. 综上所述：当300n =时，取到最大值为520.19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．ABD CBD ??，AB BD =．（1）证明：平面ACD ^平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C --的余弦值．【解析】⑴取AC 中点为O ，连接BO ，DO ； ABC ∆Q 为等边三角形 ∴BO AC ⊥ ∴AB BC =AB BC BD BDABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD CBD ∴∆≅∆. ∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形，ADC ∠ 为直角又O 为底边AC 中点DA B C ED A BC EO∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ====易得：2OD a =，OB = ∴222OD OB BD +=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥ OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩I 平面平面OD ABC ∴⊥平面 又∵OD ADC ⊂平面由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面 ⑵由题意可知V V D ACE B ACE --= 即B ,D 到平面ACE 的距离相等 即E 为BD 中点以O 为原点，OA u u u r 为轴正方向，OB u u u r为轴正方向，OD u u u r为轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,4a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭易得：,24a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面AED 的法向量为1n u u r ，平面AEC 的法向量为2n u u r，则1100AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r，解得1n =u u r 2200AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r，解得(20,1,n =u u r 若二面角D AE C --为，易知为锐角，则1212cos n n n n θ⋅==⋅u u r u u r uu r u u r20．（12分）已知抛物线2:2C y x =，过点（2，0）的直线交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2-），求直线与圆M 的方程．【解析】⑴显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y xx my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于，122y y m +=，124y y =-． 1212OA OB x x y y ⋅=+uu r uu u r12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++24(1)2(2)4m m m =-+++0= ∴OA OB ⊥u u r u u u r，即O 在圆M 上．⑵若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅=uu u r uu r1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=化简得2210m m --=解得12m =-或①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ =则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径||r OQ ==则圆22:(3)(1)10M x y -+-=21．（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数，2111(1)(1)(1)222nm ++鬃?<，求m 的最小值． 【解析】⑴ ()1ln f x x a x =--，0x >则()1a x af x x x-'=-=，且(1)0f =当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调增，所以01x <<时，()0f x <，不满足题意； 当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减； 当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增．①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意综上所述1a =．⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立∴11ln(1)22k k+<，*k ∈N 一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1) (112222222)n n n ++++++<+++=-<，即2111(1)(1)...(1)e 222n +++<．另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=>当3n ≥时，2111(1)(1)...(1)(2,e)222n +++∈∵*m ∈N ，2111(1)(1)...(1)222n m +++<，∴m 的最小值为．22．选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为,,x m my k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )l ρθθ3+0，M 为与C 的交点，求M 的极径． 【解析】⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ……①()21:2l y x k=+ ……②①②消可得：224x y -=即P 的轨迹方程为224x y -=； ⑵将参数方程转化为一般方程3:0l x y +-= ……③ 联立曲线C和224x y x y ⎧+⎪⎨-=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得ρ即M．23．选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()||||f x x x =+1--2． （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【解析】⑴()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪=--<<⎨⎪⎩x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得：①当1-x ≤时显然不满足题意；②当12x -<<时，211-x ≥，解得1x ≥；③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上，()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥.⑵不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥，令()()2g x f x x x =-+，则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m ≥.而()2223,131,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩x x x g x x x x x x x ≤≥.①当1-x ≤时，()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦；②当12x -<<时，()2max3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭； ③当2x ≥时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦. 综上，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m ≤.。

九江一中7月测试卷数学（理）试卷满分：150分 时间：120分钟命题：高三数学备课组 审题：高三数学备课组第Ⅰ卷（选择题50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．采用系统抽样方法，从我校初中全体900名学生中抽50名做健康检查．现将900名学生从1到900进行编号，在1~18中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从37~ 54这18个数中应取的数是A ． 44B ．43C ．42D ．41 2． 若(1,1),(1,1),a b ka b a b ==-+-与垂直，则k 的值是A ．2B ．1C ．0D ．1- 3.在对两个变量x 、y 进行线性回归分析时一般有下列步骤： ①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(,),1,2,,i i x y i n =[③求线性回归方程； ④根据所搜集的数据绘制散点图．若根据实际情况能够判定变量x 、y 具有线性相关性，则在下列操作顺序中正确的是 A ．①②④③ B ．③②④①C ．②③①④D ．②④③①4.A ．2sin15cos15B ．22sin 151-C ．22cos 15sin 15-D ．22sin 30cos 30+5．如图所示的程序框图所表示的算法是A ．22221000642++++ B ．22221000121110++++ C ．22221000302010++++ D ．22221000321++++6.在中，1=a ，3=c ,A b B a cos cos =,则 A ． B ．C ．D ． 23-21-2321AC CB ⋅=ABC ∆7.已知某算法的算法框图如图所示,若将输出的),(y x 值依次记为),(11y x ,),(22y x ，),,(,n n y x .则程序结束时,共输出),(y x 的组数为A.1006B.1007C.1008D.1009 8.函数)232sin(log )(31x x f -=π的一个单调递减区间是 A ． (,)612ππ-B ． (,)126ππ-C ． (,)63ππD ． 25(,)36ππ 9.在平面直角坐标系中，点)3,4(),0,0(P O ，将向量OP →绕点O 按顺．时针方向．．．．旋转32π后得向量OQ →，则点Q 的坐标是A ．)2334,2343(+-+- B ．)2334,2343(--+- C ．)2343,2334(--+- D ．)2343,2334(+--- 10.如图，圆22:(1)1C x y +-=与y 轴的上交点为A ，动点P 从A 点出发沿圆C 按逆时针方向运动，设旋转的角度ACP x ∠=（02x π≤≤），向量OP 在(0,1)a =方向的射影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数()y f x =的图像是第II 卷（选择题100分）二、填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中横线上）11.学校为了解同学的上学的距离，随机抽取50名同学，调查他们的居住地与学校的距离d (单位:千米)．若样本数据分 组为[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]， (8,10]， (10,12]，由数 据绘制的频率分布直方图如图所示，则样本中同学与学校的距离不超过4千米的人数为 人．12．函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的部分图像 如图所示，则=+++)2014()2()1(f f f ．13. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ,3,1200==∠c A 7=a ，则ABC ∆的面积=S .14.如右图，半圆的直径为4=AB ，O 为圆心，C 为半圆上不同于B A , 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则PC PB PA ⋅+)(的最小值为 ．15.有下列五个命题：①函数]10,10[,2cos 4ππ-∈=x x y 不是周期函数；②已知定义域为R 的奇函数)(x f ，满足)()3(x f x f =+，当)23,0(∈x 时，x x f πsin )(=，则函数)(x f 在区间]6,0[上的零点．．个数是9； ③为了得到函数x y 2cos -=的图像，可以将函数)62sin(π-=x y 的图像向左．．平移6π； ④已知函数()s i n fx x x =-,若12,,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且()()120f x f x +>,则120x x +>；⑤设曲线x b x a x f s i n c o s)(+=的一条对称轴为5π=x ，则点⎪⎭⎫⎝⎛0,52π为曲线)10(x f y -=π的一个对 称中心.其中正确命题．．．．的序号是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤） 16．（本题满分12分）已知向量)23,(sin x a = ，)1,(cos -=x b .（Ⅰ）当a ∥b时，求x tan 的值；（Ⅱ）求b b a x f ⋅+=)()(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2π上的零点.17．（本题满分12分）江西电信新推出A B C D 、、、四款资费套餐，某一天四款资费套餐销售情况的条形图如下.为了了解客户对新推出的四款资费套餐的评价，对每位客户都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：（Ⅰ）若客户甲选择的是A 款资费套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的客户中再选出2人进行回访，求这两人中至少有一人选择的是D 款资费套餐的概率.18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,,C B A 所对的边分别为c b a ,,，且5=a ，25222=-+bc c b .（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）设53cos =B ，求边c 的大小.19．（本小题满分12分）已知函数a bx ax x f +-=2)(2（,a b R ∈ ）（Ⅰ）若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，求方程()0f x =有．实根的概率； （Ⅱ）若b 从区间[0,2]中任取一个数，a 从区间[0,3]中任取一个数，求方程()0f x =没．有．实根的概率．20.（本小题满分13分）已知函数()sin()1(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=++>><,图象上有一个最低点是(,1)6P π--，对于3)(,1)(21==x f x f ,21x x -的最小值为4π． （Ⅰ）若11()128f πα+=，且α为第三象限的角，求sin cos αα+的值； （Ⅱ）讨论()y f x m =+在区间[0,]2π上零点的情况．21．（本小题满分14分）已知)3,2(-=,)2cos ),4((sin 2x x +=π.令R x b a x f ∈-⋅=,1)(,函数)()(ϕ+=x f x g ,)2,0(πϕ∈的图象关于(,0)6π-对称.（Ⅰ） 求)(x f 的解析式，并求ϕ的值；（Ⅱ）在ABC ∆中2sin 21cos sin CC C -=+，求()g B 的取值范围.参考答案第Ⅰ卷（选择题50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1-10. BB DCC A BACB二、填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中横线上）11. 24． 1213. 4315 .14. 2- ．15.①②④⑤．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤） 16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵a ∥b ，∴0sin cos 23=+x x ，……………3分∴23tan -=x ， ……………5分 （Ⅱ）∵)21,cos (sin x x b a +=+ ，……………6分∴)42sin(22)()(π+=⋅+=x b b a x f，……………9分 ∵02≤≤-x π，∴44243πππ≤+≤-x ， 0)42sin(22)(=+=πx x f 8,042ππ-==+∴x x∴函数)(x f 的零点为8π-.……………12分 17．（本小题共12分）解：（Ⅰ）由条形图可得，选择A ，B ，C ，D 四款资费套餐的客户共有200人，其中选A 款资费套餐的客户为40人， 由分层抽样可得从A 款资费套餐问卷中抽取了 42004020=⨯份. ………3分 设事件M =“客户甲被选中进行问卷调查”，则.10404)(==M P 答：若甲选择的是A 款资费套餐，甲被选中调查的概率是0.1. ………5分（Ⅱ） 由图表可知，选A ，B ，C ，D 四款套餐的客户分别接受调查的人数为4，5，6，5. 其中不满意的人数分别为1，1，0，2个 . ……7分 记对A 款资费套餐不满意的客户是a ；对B 款资费套餐不满意的客户是b ；对D 款资费套餐不满意的客户是d c ,设事件N=“从填写不满意的客户中选出2人，至少有一人选择的是D 款资费套餐”从填写不满意的客户中选出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件， …………………9分而事件N 有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件， ……………11分 则65)(=N P . 答：这两人中至少有一人选择的是D 款资费套餐的概率是65. ……………12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）5=a 由 25222=-+bc c b 得：,2222bc a c b =-+………3分,222cos 222=-+=∴bc a c b A 045=∴A ………………6分（Ⅱ）由053cos >=B 知B 为锐角，所以54sin =B 102754225322sin cos cos sin )sin(sin =⨯+⨯=+=+=∴B A B A B A C ……9分 由正弦定理得：7sin sin ==ACa c ………………………………………12分21．（本小题满分12分） 解：（1） b a ,取值情况是：)3,3(),2,3(),1,3(),0,3)(3,3(),2,2(),1,2(),0,2()3,1(),2,1(),1,1(),0,1)(3,0(),2,0(),1,0(),0,0(其中第一数表示a 的取值，第二数表示b 的取值．即基本事件总数为16．………2分 设“方程()0f x =恰有两个不相等实根”为事件A ，当0,0≥≥b a 时，“方程()0f x =恰有两个不相等实根”即为“a b ≥或0=a ” 于是此时b a ,取值情况：)3,3(),2,2(),1,1(),3,2(),3,1(),2,1(),3,0(),2,0(),1,0(),0,0(即A 包含的基本事件数为10．……4分∴“方程()0f x =恰有两个不相等实根”的概率851610)(==A P ．………………6分 （2） b 从区间]2,0[中任取一个数，a 从区间]3,0[中任取一个数，则试验的全部结果构成区域{}20,30),(≤≤≤≤b a b a这是一个长方形区域，其面积632=⨯=ΩS ………………………8分 设“方程()0f x =没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的区域为{}b a b a b a >≤≤≤≤,20,30),(其面积422216=⨯⨯-=MS． (10)分由几何概型的概率计算公式可得：“方程()0f x =没有实根”的概率3264)(==B P ．………………………12分 21.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知：11,2A A -+=-∴=44T π=, 得T π=，∴2ω= ······································································2分 又且过点(,1)6P π-- ∴sin(2)16πϕ-⨯+=- 6πϕ∴=- ···································4分∴()f x 2sin(2)16x π=-+ ···········································································5分由11()128f πα+=得 32s i n 28α= ································································7分α为第三象限的角，∴sin cos αα+= ·····························8分（Ⅱ）∵[0,]2x π∈，∴52,12sin(2)26666x x ππππ-≤-≤∴-≤-≤．02sin(2)136x π∴≤-+≤ ···········································································10分∴①当203m m -<≤=-或时，函数()y f x m =+在[0,]2π上只有一个零点；②当32m -<≤-时，函数()y f x m =+在[0,]2π上有两个零点；③当3-<m 或0>m 时，函数()y f x m =+在[0,]2π上没有零点． ………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ） 12cos 3)4(sin 2)(2--+=x x x f π)32sin(2π-=x ……… 2分∴ )322sin(2)()(πϕϕ-+=+=x x f x g ，∴)(x g 的图象的对称中心为Z k k ∈++-),0,62(ππϕ ………………… 4分又已知点(,0)6π-为)(x g 的图象的一个对称中心，∴)(32Z k k ∈+=ππϕ 而)2,0(πϕ∈，∴3πϕ=. …………………………………………6分（Ⅱ）由2sin 21cos sin C C C -=+得22sin cos 12sin 12222C C C C +-=，即sin(2cos 2sin 0222C C C-+=，因为sin02C ≠，所以sin cos 22C C -= 9分两边平方得1sin 2C =．………………… 10分由sin cos 222C C -= 得sincos 22C C >，所以422C ππ<<， 所以2C ππ<<，65π=C ………………… 12分又)32sin(2)(π+=B B g又20,2,6333B B ππππ<<∴<+<()g B ∴∈………………… 14分。

2017年普通高等学校招生全国统一考试试题汇编目录（理科）2017年普通高等学校招生全国统一考试（1） (1)2017年普通高等学校招生全国统一考试（2） (7)2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ） (12)2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） (18)2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） (22)2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） (29)2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷) (42)2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） (54)绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（1）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x<},则A. {|0}A B x x =<B. A B =RC. {|1}A B x x =>D. A B =∅2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A.14 B. π8 C. 12 D. π43.设有下面四个命题1:p 若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]6.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A.15 B.20 C.30 D.357.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A.10B.12C.14D.168.右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A.A >1000和n =n +1B.A >1000和n =n +2C.A ≤1000和n =n +1D.A ≤1000和n =n +29.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是 A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π12个单位长度，得到曲线C 210.已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．1011.设xyz 为正数，且235x y z==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们退出了―解数学题获取软件激活码‖的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A.440B.330C.220D.110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I >P ，则S I T =(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则41izz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量12(,)22BA =uu v ,31(,),22BC =uu u v 则∠ABC= (A)300(B) 450(C) 600(D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。

下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同(D) 平均气温高于200C 的月份有5个（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625（6）已知432a =，344b =，1325c =，则（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = （A ）310 （B ）10（C ）10-（D ）310- (9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18365+ （B ）54185+（C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是 （A ）4π （B ）92π（C ）6π（D ）323π（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有 （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若x ，y 满足约束条件错误!未找到引用源。

2017年高考全国Ⅲ卷理数试题（Word版含答案）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为A．3B．2C．1D．02．设复数z满足(1+i)z=2i，则OzO=A．B．C．D．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．(+)(2-)5的展开式中33的系数为A．-80B．-40C．40D．805．已知双曲线C：(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为A．B．C．D．6．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期为?2πB．y=f(x)的图像关于直线x=对称C．f(x+π)的一个零点为x=D．f(x)在(,π)单调递减7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为A．5B．4C．3D．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．B．C．D．9．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为A．-24B．-3C．3D．810．已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A．B．C．D．11．已知函数有唯一零点，则a=A．B．C．D．112．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为A．3B．2中/华-资*源%库C．D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

重庆市南开中学高2017级高三上7月考试数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

1、已知{}{21,x A x B x y =<==，则A B =A 、[)2,0-B 、[]2,0-C 、()0,+∞D 、[)2,-+∞ 2、命题“若0x >，则20x >”的否命题为A 、若0x >，则20x ≤B 、若0x ≤，则20x >C 、若0x <，则20x <D 、若0x ≤，则20x ≤3、抛物线2:4C y x =的准线方程为A 、1x =-B 、1x =C 、2x =-D 、2x = 4、已知正数,x y 满足：21x y +=，则21x y +的最小值为A 、6B 、7C 、8D 、95、已知(11f x =+，则()2f =A 、1B 、2C 、3D 、46、以下选项中的两个函数不是．．同一个函数的是 A 、()()f xg x ==B、()()3f x g x ==C、()()f x g x =D 、()()0xf xg x x x == 7、已知变量,x y 满足2010220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则3y x -的取值范围为 A 、20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B 、[)0,+∞ C 、2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D 、2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 8、在区间[]0,2内任取两个实数,a b ，则方程20x ax b -+=有两根12,x x ，且121x x <<的概率为A 、78 B 、34C 、18D 、116 9、已知正实数,x y 满足26xy x y =++，则112x y +的最小值为 A 、12 B 、14 C 、13 D 、1610、已知关于的方程2310ax x a +++=，在(]0,3上有根，则实数a 的取值范围为A 、11,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦B 、11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C 、[]3,2--D 、(]3,2--11、对于实数,a b ，定义运算“⊗”： 22,,b a a ba b b a a b -<⎧⊗=⎨-≥⎩，设()()()233f x x x =-⊗-，且关于x 的方程()()f x k k R =∈恰有三个互不相同的实根1x 、2x 、3x ，则123x x x ⋅⋅的取值范围为A 、()0,3B 、()1,0-C 、(),0-∞D 、()3,0-12、已知函数()()()3223331,f x x x a x b a b R =-+-+≥∈，当[]0,2x ∈时，记()f x 的最大值为()max f x ，对任意的()max 1,,a b R f x k ≥∈≥恒成立，则实数k 的最大值为A 、1B 、2C 、3D 、4二、填空题：本题共4小题，每小题5分。