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3,自由电子气体的热容量定量计算 ∞ 4πV 电子总数N满足 N = ( 2m) 3 2 ∫ h3 0 此式确定电子气的化学势 . 电子气的内能U 为
ε12
ε
dε
e
∞
kT
+1
上两个积分可以统一写成
4πV U = 3 ( 2m) 3 2 ∫ h 0
ε
e
32
ε
kT
dε
+1
I =C
∫
∞
η (ε ) d ε
2, > 0 K 情况下的热容量 T 在低温下电子气体的分布与绝对零度时的分布差异不大, 在低温下电子气体的分布与绝对零度时 2 ) ] 非常接近: 非常接近: = (0)[1 ( 12 (0)
π2
在 kT << (0) ,即 T << TF 的情形下恒有
(4) T = 0 K 时每个电子的平均能量
4πV U (0) = 3 ( 2m) 3 2 h
(0)
∫
0
ε dε =
32
3N (0) 5
U (0) 3 ε0 = = ( 0) N 5 对一般导电金属 ε 0 ≈ 10 18 ~ 10 19 J
从而电子速度约为 这个能量所对应的电子速度是很大的. 这个能量所对应的电子速度是很大的.
定义费米速度 v F =
2,几点说明 (1)T = 0 K 时,电子气体的化学势是 0 K 时电子的最大能 的大小作一数值估计. 量.下面以铜为例对 (0)的大小作一数值估计.已知铜 的 18 28 3 ,代入下式得 (0) = 1.1×10 J ≈ 7.0eV , 代入下 n = N / V = 8.5 ×10 / m 相比较, 与室温(300 K)下的热运动能量 kT = 4 .1 .4 × 10 21 J 相比较,约 2 N 270倍 高270倍,即 kT 1 ε F = ( 0) = (3π 2 ) 2 3 ≈ 2m V (0) 270 的数值是很大的. 可见 ( 0 ) 的数值是很大的.一般温度室温范围下的电子气的 ) 具有相同的数量级, 化学势 与(0具有相同的数量级,所以 kT << ( ≈ 0 ) .
再取 η ( ε ) = ε
0
3/2
,有
I = ∫ ε 3 / 2 dε +
π2
6
( kT ) 2 1 / 2
2
可得
2 5/ 2 π 2 + ≈ + ( kT ) 2 1 / 2 5 4
2 2
2 5π U = C 5 / 2 1 + 5 8
2 5π ( ) = C 5 / 2 1 + 5 8 kT
取 η (ε ) = ε
I =∫
,则
1 1/ 2 2 3/ 2 π 2 ε 1/ 2 dε + (kT ) 2 + ≈ + ( kT ) 2 1/ 2 6 2 3 12
2 π 2 kT 2 N = C 3 / 2 1 + ( ) 3 8
π2
可得 或
= (
3N ) 2C
2/3
3 2 N 2 N 23 U (0) = (3π ) = AV 3 10m V
2
F U F = U TS = U , p = ( )T = ( )T V V
p ( 0) =
2 U ( 0) 2 = n ( 0) 3 V 5
电子气体的压强常称为简并压强, 电子气体的压强常称为简并压强,这是一种与热运动无关的压 为费米系统所特有. 强,为费米系统所特有. 10 利用上面铜的数据, 利用上面铜的数据,铜的电子气体压强 p (0) = 3.8 × 10 Pa 这是一个很大的数值. 这是一个很大的数值.它是泡利不相容原理和电子气体具 有高密度的结果. 有高密度的结果.这巨大的简并压在金属中被电子与离子的 静电吸力所补偿. 静电吸力所补偿.
附近, 附近,
kT 范围内电子对热容量有贡献的有效电子数
N 有效 ≈
kT
3 将能均分定理用于有效电子, 将能均分定理用于有效电子,每一个有效电子对热容量的贡献为2 kT
N
那么金属中自由电子对热熔量的贡献为
3 kT 3 T CV = Nk = Nk 2 2 TF
所以在室温范围,对于铜, 所以在室温范围,对于铜,T TF ≈ 1 260 与离子振动的热容量相比,电子的热容量可以忽略不计. 与离子振动的热容量相比,电子的热容量可以忽略不计.
二,金属中自由电子气体是强简并的费米量子系统
1,金属中自由电子气体是强简并的
2,德布罗意假设——电子具有波粒二象性 德布罗意假设——电子具有波粒二象性
3,电子的自旋为1/2,且电子间库仑相互作 电子的自旋为1/2,
三, = 0 K 情况下费米分布 T
ε
T 四, = 0 K 情况下费米系统的性质 考虑到电子自旋在动量方向有两个可能值, 考虑到电子自旋在动量方向有两个可能值,故在体积 V 内,在 的能量范围内,电子可能的微观状态数(P226), 到 ε + dε 的能量范围内,电子可能的微观状态数(P226), 即简并度 为 l
(3) T = 0 K情况下电子气体的内能,压强 情况下电子气体的内能, (0) 4πV 在T = 0 K时,电子气体的内能 U (0) = 3 (2m)3 2 ∫ ε dε = 3N (0)
32
h
0
5
2 2 N 23 ε F = (0) = (3π ) 2m V
电子气体的压强为 T = 0 K ,电子气体的压强为
ε12
ε
dε = N
e
kT
+1
2 N ε F = (0) = (3π 2 ) 2 3 解出费米能级 2m V 2 pF p F = (3π 2 n)1 3 定义费米动量 ε F = 2m
pF v F = (3π 2 n)1 3 / m m 定义费米温度 kTF = (0) TF = (0) k
kT 2 π 1+ ( ) 8
2
2/3
上式右方第二项很小,且 ≈ 0 .将 用 0 代替,得 代替, 上式右方第二项很小,
3N =( ) 2C
2/3
π kT 2 ( ) 1 + 8 0
2
2 / 3
3N 2 / 3 π 2 kT 2 = ( ) [1 ( ) ] 2C 12 0
§8.5 金属中的自由电子气 一,物理模型 金属的自由电子模型认为, 金属的自由电子模型认为,组成金属的原子都分 解为原子实 原子核加上核外的内壳层电子) 原子实( 解为原子实(原子核加上核外的内壳层电子)及价 电子,原子实处于一定的空间点阵的结点上形成金 电子,原子实处于一定的空间点阵的结点上形成金 属骨架,而价电子则已脱离原来所属的原子实 原子实的束 属骨架,而价电子则已脱离原来所属的原子实的束 缚在空间点阵内自由运动. 缚在空间点阵内自由运动. 如果认为原子实所形成的势场是均匀的, 如果认为原子实所形成的势场是均匀的,并且 忽略电子之间的库仑相互作用, 忽略电子之间的库仑相互作用,则自由电子就象 装在容器中的气体一样作无规则运动, 装在容器中的气体一样作无规则运动,这些自由 电子的集合就称为电子气. 电子的集合就称为电子气. 金属的高导电率和高热导率说明金属中自由电子的存在! 金属的高导电率和高热导率说明金属中自由电子的存在!
e
kT
+1
∑
s
由此可见,化学势 由此可见 化学势 是温度
e
kT
+1
h
0
e
kT
+1
的函数. T 和电子密度N / V 的函数.
0k时电子的最大能量 称作费米能级. (0) 是0k时电子的最大能量 ε F ,称作费米能级.
4πV 由此时的守恒条件 ( 2m) 3 2 ∫ h3 0
∞
1, = 0 K 情况下的费米能级 T
e α = e
kT
= e TF
T
<< 1
因此费米气体的强简并条件等价于 因此费米气体的强简并条件等价于 T << TF
附近, 由此可见, 由此可见,只有能量在 附近,数量级为 kT 范围内的电子对热容量有贡献. 范围内的电子对热容量有贡献.由此可以粗略估计电子气 体的热容量. 体的热容量.
以 N 有效 表示能量在
ε
ω
根据费米分布 f =
1
ε
4πV 3 2 12 D (ε )dε = 3 (2m) ε dε h
在体积
V 内,在 ε 到
e
kT
4πV fD(ε )dε = 3 (2m) 3 2 h
ε + dε 的能量范围内,平均电子数为 的能量范围内,
ε1 2
ε
+1
dε
温度T 在给定电子数N ,温度T和体积V 时,化学势 由下面的条件确定 1 ∞ ε12 N= 4πV (2m) 3 2 ε 3 ∫ ε dε = N
结论: 结论:
1)在常温范围电子的热容量远小于离子振动的热容量; 在常温范围电子的热容量远小于离子振动的热容量; 2)在低温范围,离子振动的热容量按随温度T 3 而减少;电子热 在低温范围,离子振动的热容量按随温度 而减少; 成正比,减少比较缓慢.所以, 容量与 T 成正比,减少比较缓慢.所以,在足够低的温度下电子 热容量将大于离子振动的热容量而成为对金属热容量的主要贡献. 热容量将大于离子振动的热容量而成为对金属热容量的主要贡献. 3)计及电子和离子振动的热熔量,低温下金属的热熔量可以 计及电子和离子振动的热熔量, 表示为 CV = γ T + AT
称为费米— e ( ε ) / kT + 1 称为费米—狄拉克 积分. 积分.
0
4πV 32 C = 3 ( 2 m) h
