2015年石家庄市一模文科数学试题及答案

—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————2015届石家庄高中毕业班第一次模拟考试试卷数学（理科）A 卷（时间 120分钟，满分 150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前。

考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则复数131ii-=+ A. 2i + B. 2i - C. 12i -- D. 12i -+2..已知集合{}0,1,2P =,{}|3x Q y y ==，则P Q =A. {}0,1B. {}1,2C. {}0,1,2D. ∅ 3.已知cos ,,,2k k R πααπ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭,则()sin πα+= A.21k -- B.21k - C. 21k ±- D. k -4.下列说法中，不．正确的是 A.已知,,a b m R ∈，命题“若22am bm <，则a b <”为真命题；B.命题“2000,0x R x x ∃∈->”的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”；C.命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题；D.“x >3”是“x >2”的充分不必要条件.—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————开始输入1234,,,a a a aS =1，i =1i ≤4？输出S结束()()11i ii S S a i-=⋅i =i +15.已知偶函数f(x)，当[0,2)x ∈时，f(x)=2sinx ，当[2,)x ∈+∞时，()2l o g fx x=，则()43f f π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭A.32-+B.1C.3D.32+6.执行下面的程序框图，如果输入的依次是1,2,4,8，则输出的S 为A.2B.22C.4D.67.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则1BB 与平面11AB C 所成的角的大小为A.6π B.4π C.3π D.2π8.已知O 、A 、B 三地在同一水平面内，A 地在O 地正东方向2km 处，B 地在O 地正北方向2km 处，某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘.O 地为一磁场，距离其不超过3km 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确.则该测绘队员能够得到准确数据的概率是 A.12B. 22C. 312-D. 212-1BBCA 1A1C9. 已知抛物线()220y px p =>的焦点F 恰好是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，两条曲线的交点的连线经过点F ，则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C. 12+ D.13+10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.64B.72C.80D.11211. 已知平面图形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB =2，BC =4，CD =5，DA =3，则四边形ABCD 面积S 的最大值为 A.30 B. 230 C. 430 D.63012.已知函数()20ln 041x x f x x x x >⎧=⎨≤++⎩，，，若关于x的方程()()20f x bf x c -+=(),b c R ∈有8个不同的实数根，则由点（b ，c ）确定的平面区域的面积为 A.16 B. 13 C. 12 D. 23第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.已知平面向量a ，b 的夹角为23π，|a |=2，|b |=1，则|a +b |= . 14.将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为 （用数字作答）.15.设过曲线()xf x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为 .16.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ,设P 为椭圆上一点，12F PF ∠的外角44 3正视图侧视图4俯视图平分线所在的直线为l ，过12,F F 分别作l 的垂线，垂足分别为R 、S ，当P 在椭圆上运动时，R 、S 所形成的图形的面积为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()11*,1n n a S n N λλ+=+∈≠-，且1a 、22a 、33a +为等差数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和.18. （本小题满分12分）集成电路E 由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为12、12、23，且每个电子元件能否正常工作相互独立.若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E 所需费用为100元. （1）求集成电路E 需要维修的概率；（2）若某电子设备共由2个集成电路E 组成，设X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X 的分布列和期望. 19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为梯形，∠ABC =∠BAD =90°，AP =AD =AB =2,BC =t ，∠P AB =∠P AD =α.（1）当32t =时，试在棱P A 上确定一个点E ，使得PC ∥平面BDE ，并求出此时AEEP的值； （2）当60α=时，若平面P AB ⊥平面PCD ，求此时棱BC 的长.20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭且与直线12x =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；ABCDP（2）设P 是曲线E 上的动点，点B 、C 在y 轴上，△PBC 的内切圆的方程为()2211x y -+=，求△PBC 面积的最小值. 21. （本小题满分12分） 已知函数()22ln f x x a x x=++. （1）若f （x ）在区间[2,3]上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）设f （x ）的导函数()'f x 的图象为曲线C ，曲线C 上的不同两点()11,A x y 、()22,B x y 所在直线的斜率为k ，求证：当a ≤4时，|k |>1.请考生在第22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知O 和M 相交于A 、B 两点，AD 为M 的直径，延长DB 交O 于C ，点G 为弧BD 的中点，连结AG 分别交O 、BD 于点E 、F ，连结CE . （1）求证：AG EF CE GD ⋅=⋅;（2）求证：22GF EF AG CE=.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2ρ=. （1）分别写出1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程.（2）已知M 、N 分别为曲线1C 的上、下顶点，点P 为曲线2C 上任意一点，求|PM |+|PN |的最大值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x m =++--的定义域为R .（1）求实数m 的取值范围.（2）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值. OMABCDEFG2015年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试 高三数学(理科答案) 一、选择题（A 卷）1-5 CBACD 6-10 BADCB 11-12BA一、选择题（B 卷）1-5 DBADC 6-10 BACDB 11-12BA 二、 填空题133 14 8 15[]1,2- 16 2a π三、解答题（阅卷时发现的正确解答，请教师参阅此评分标准酌情给分）17解：（1）解法1∵11(),n n a S n N λ*+=+∈ ∴11n n a S λ-=+(2)n ≥∴1n n n a a a λ+-=，即1(1)n n a a λ+=+(2),10n λ≥+≠，又1211,11,a a S λλ==+=+∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列，……………………2分∴23(1)a λ=+，∴24(1)1(1)3λλ+=+++，整理得2210λλ-+=，得1λ=………………4分∴12n na -=，13(1)32nb n n =+-=-………………………………………………6分解法2：∵111,1(),n n a a S n N λ*+==+∈∴2111,a S λλ=+=+2321(11)121,a S λλλλλ=+=+++=++∴24(1)1213λλλ+=++++，整理得2210λλ-+=，得1λ=………………………2分∴11(),n n a S n N *+=+∈∴11n n a S -=+(2)n ≥∴1n n n a a a +-=，即12n n a a +=(2)n ≥，又121,2a a ==∴数列{}n a 为以1为首项，公比为2的等比数列，………………………………………4分∴12n na -=，13(1)32nb n n =+-=-……………………………………………6分（2）1(32)2n n n a b n -=-∴121114272(32)2n nT n -=⋅+⋅+⋅++-⋅………………………①∴12312124272(35)2(32)2n n nT n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅………②…………8分 ① —②得12111323232(32)2n n nT n --=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅12(12)13(32)212n n n -⋅-=+⋅--⋅-…………………………………10分整理得：(35)25n nT n =-⋅+…………………………………………………………12分18解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件,,A B C ，则112(),(),()223p A p B p C ===.依题意，集成电路E 需要维修有两种情形： ①3个元件都不能正常工作，概率为11111()()()()22312p p ABC p A p B p C ===⨯⨯=；…………2分②3个元件中的2个不能正常工作，概率为2()()()()p p ABC ABC ABC p ABC p ABC p ABC =++=++11111111241223223223123=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯== ……………5分 所以,集成电路E 需要维修的概率为1211512312p p +=+=． ……………6分（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则5(2,)12B ξ，而100X ξ=，2257(100)()()(),0,1,2.1212k k kP X k P k C k ξ-=====…………9分X 的分布列为：………………10分4935252500100200144721443EX ∴=⨯+⨯+⨯=或52501001002123EX E ξ==⨯⨯=. …………12分 19解：证明一连接AC BD ，交于点F ,在平面PCA 中做EF ∥PC 交PA 于E , 因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDEPC ∥平面BDE ，---------2AD 因为∥,BC 1,3AF AD FC BC ==所以因为EF ∥PC ,1=.3AE AF EP FC =所以-------------4 证明二在棱PA 上取点E ，使得13AE EP =,------------2 连接AC BD ，交于点F ,AD 因为∥,BC1,2,AF AD FC BC AE AF EP FC ===所以所以 所以，EF ∥PC 因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE 所以PC ∥平面BDE -------------4X0 100 200p49144 3572 25144yz x F OGCABDP E(2)取BC 上一点G 使得2,BG =连结DG ,则ABGD 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD ,垂足为O .连结,,,OA OB OD OG .0,60AP AD AB PAB PAD ==∠=∠=，所以PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，因此PA PB PD ==, 所以OA OB OD ==,即点O 为正方形ABGD 对角线的交点,---------------7（或取BC 的中点G ,连结DG ,则ABGD 为正方形.连接,AG BD 交于点O ，连接PO ，0,60AP AD AB PAB PAD ==∠=∠=，00,,,90,90.PAB PAD PA PB PD OD OB POB POD POB POD POA POB POA PO ABCD ∆∆===∆≅∆∠=∠=∆≅∆∠=⊥所以和都是等边三角形，因此又因为所以得到，同理得，所以平面-----------7）,,OG OB OP 因为两两垂直，以O 坐标原点，分别以,,OG OB OP 的方向为x 轴，y轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.000001100010010100O P A B D G --则（，，），（，，），（，，），（，，），（，，）（，，）设棱BC 的长为t ，则 22(,1,0)22C t t -, 22(1,0,1),(0,1,1),(,1,1),(0,1,1)22t t PA PB PC PD =--=-=--=-- --------------9 ,111(,,),0,001,(1,1,1)PAB x y z PA x z y z PB x PAB =⎧=--=⎧⎪⎨⎨-==⎩⎪⎩=-=-设平面的法向量则即不妨令可得为平面的一个法向量.m m m m -----------10222(,,),220(1)0,2200221,(1,1,1)PCD x y z PC tx t y z PD y z y PCD t =⎧⎧=+--=⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩--=⎩==--设平面的法向量则即不妨令可得为平面的一个法向量.n n n n-----------110,=m n 解得t=222 2.BC 即棱的长为----------------1220解：（1）由题意可知圆心到1(,0)2的距离等于到直线12x =-的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：22y x =.………………………4分（2）设00(,)P x y ，(0,),(0,)B b C c ，直线PB 的方程为：000()0y b x x y x b --+=，又圆心（1，0）到PB 的距离为1，0022001()y b x by b x -+=-+，整理得：2000(2)20x b y b x -+-=， (6)分同理可得：2000(2)20x c y c x -+-=，所以，可知,b c 是方程2000(2)20x x y x x -+-=的两根，所以：00002,,22y x b c bc x x --+==--……………………8分依题意0bc <，即02x >，则22200020448()(2)x y x b c x +--=-，因为2002y x =，所以：022x b c x -=-，………………10分所以00014(2)482(2)S b c x x x =-=-++≥-，当04x =时上式取得等号，所以PBC ∆面积最小值为8.………………………12分解二：（2）设00(,)P x y ，直线PB ：00()y y k x x -=-与圆D 相切，则00211k y kx k +-=+，整理得：2220000(2)2(1)10x x k x y k y -+-+-=，……………6分20001212220002(1)1,22x y y k k k k x x x x--+=-=--,………………………8分 依题意02x >那么010020120()()B C y y y k x y k x k k x -=---=-，由韦达定理得：12022k k x -=-，则0022B Cx y y x -=-，…………………10分所以00014()(2)482(2)B C S y y x x x =-=-++≥-当04x =时上式取得等号，所以PBC ∆面积最小值为8.…………………12分21. 解： （1）由()22ln f x x a x x =++，得()'222a f x x x x=-+．因为()f x 在区间[]2,3上单调递增，则()'2220af x x x x=-+≥在[]2,3上恒成立，………………2分 即222a x x ≥-在[]2,3上恒成立，设22()2g x x x =-，则22()40g x x x '=--<，所以()g x 在[]2,3上单调递减，故max ()(2)7g x g ==-，所以7a ≥-．……………4分（2）解法一：12121212()()11()()f x f x k f x f x x x x x ''-''>⇔>⇔->--而()()12f x f x ''-＝122211222222a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x ax x x x x x +-⋅+-故欲证()()''1212f x f x x x ->- ，只需证()12221212221x x ax x x x ++->…………………6分 即证()1212122x x a x x x x +<+成立∵()121212121224x x x x x x x x x x ++>+…………………8分设12tx x =，()()240ut t t t =+>，则()242u t t t '=-令()0u t '=得32t =，列表如下：()33341084u t a ≥=>≥ ………………………10分∴()1212122x x x x a x x ++>∴()()''1212f x f x x x ->-， 即1212()()1f x f x x x ''->-∴当4a ≤时，1k >…………………12分t()30,232()32,+∞()'u t _+()u t极小值334解法二：对于任意两个不相等的正数1x 、2x 有()1212122x x x x x x ++>12124x x x x +＝12121222x x x x x x ++3121212223x x x x x x ≥⨯⨯⨯＝334 4.5a ⨯>> …8分∴()12221212221x x ax x x x ++->而()'222af x x x x=-+ ∴()()12f x f x ''-＝122211222222a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x ax x x x x x +-⋅+-12x x >-…10分 故：()()''1212f x f x x x ->- ， 即1212()()1f x f x x x ''->- ∴当4a ≤时，1k >………12分22. 证明：（1）连结AB ，AC ，∵AD 为M 的直径，∴090ABD ∠=，∴AC 为O 的直径, ∴0=90CEF AGD ∠=∠,∵DFG CFE ∠=∠，∴ECFGDF ∠=∠,∵G 为弧BD 中点，∴DAG GDF ∠=∠， ∴DAG ECF ∠=∠,ADG CFE ∠=∠ ∴CEF ∆∽AGD ∆，……………3分 ∴CE AG EF GD=， ∴GD CE EF AG ⋅=⋅。

2015 年第二学期高二文科答案一、 1-5CCAAB 6-10BDCCD 11-12AC二、填空13.i14. ab15. 33.2 米 16. ①②③三、解答17.假 z a bi （ 数 a, b 不全 0） 足等式，因此 (a 2b 2 )2 (a bi )2( a bi) i ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分22abibai ，依据复数相等的条件可得：2b 2 b，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分即 2b2aba解得b1b 01i 足条件 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分2或（舍），因此存在复数 z a 0a218.（ I ）均匀油耗低于 8 均匀油耗低于 8升 /百公里升 /百公里使用增添 24 16 40 未使用增添1228 40364480⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（ II ）将数据代入公式K 280 (24 28 12 16)2 7.273 6.635 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分36 44 40 40有 99 的掌握 “均匀油耗与能否使用 燃油增添 相关”. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分19.（ I ）求得 x8.5, y 81，因此获得以下表格：x x0.40.20 0.2 0.4 yy75237⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分?( 0.4) 7 (0.2 5) 0 0.2 ( 3)0.4 ( 7)18 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分代入公式 b( 0.4) 2 ( 0.2) 202(0.2) 2 (0.4) 2又 ???y b x234 ，因此日 量对于 价的回 直 方程分a y 18 x 234 ， ⋯⋯⋯7（ II ）依据（ I ）求得的回 直 方程可得利z ( x 4) ( 18x234)18x 2 306x 93618( x 8.5)2 364.5 ， ⋯⋯⋯10 分因此 价定8.5 元 每日的利 最大. ⋯⋯⋯12 分20. （ 1）几何 明解：（ I ）由弦切角定理可得EAB ACB ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分又因 点 B 均分弧 AC , CAB ACBEAB CAB , AB 均分 CAE .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（ II ）因 点 B 均分弧 AC ，因此 BC AB 5 ,因此 CE 9 ,由弦切 定理可得 EA 2 EB EC 36 ,因此 EA 6 ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9分又因EAB ∽ ECA ,ABBEAB AE15 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 2 分CA,解得 ACBE2AE（ 2）坐 系和参数方程解：（ I ）依据cos61 得：( 3 cos1sin )1， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分22由xcos 3x y 2 0 ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分ysin 得（ II ）由勾股定理可得弦心距dr 2 ( l ) 21 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分2 2由 的参数方程可得x 2 ( y a)21 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分因此 心 (0, a) 到直 l的距离|3 0 a 2 | | a 2 | 1 ，( 3) 21222解得 a 1或 3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分（ 3）不等式 （I ）由已知不等式的解集可得1,3 是方程 x 2bx c 0 的两根，由根与系数的关系可得b1 3 c1 3 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分b 2 ，故 f (x) x 2 2x3 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分c 3（ II ）当 x2,2 ， f ( x) 4,5 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分不等式 形f x2t 3 ，要使对于 x 的不等式 f x 2t 3 有解，只要fxmax2t 3 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分即2t 3 5，解得1 t 4 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分21.（ 1）几何明解：（ I）∵ OC=OD ，∴∠ OCD=∠ ODC ，∴∠ OCA=∠ ODB ，∵∠ BOD=∠ A，∴△ OBD ∽△ AOC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分∴BD OD，OC AC∵ OC=OD=6， AC=4，∴BD 6，∴BD= 9．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分6 4（II ）明：∵ OC=OE， CE⊥ OD．∴∠ COD=∠ BOD =∠ A．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分∴∠ AOD=180o–∠ A–∠ODC= 180o–∠COD –∠OCD= ∠ ADO．∴AD=AO ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分（ 2）坐系和参数方程解：（ I）曲 C 的极坐方程是sin 22cos，化 2 sin22cos，可得曲C 2的直角坐方程y =2x．⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分x 3t m21（II）把2（ t 参数），代入方程：23t 2m 0，⋯⋯7分1y=2x 化：ty4t2上述方程的两根分t1t243⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分t1, t2，可得t 28mt1由点 P 是段 AB 的三均分点，可得t12t2，代入上述方程解得 m12 ，0 ，因此点P的坐（12， 0）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分（ 3）不等式解：（ I）由不等式可得f（x） =|x-2|+|x a| ≥|（x 2）（ x a） |=|a 2|，⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分再由不等式 f（ x）≥a 在 R 上恒建立，可得 |a 2| ≥a，⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分∴a 2≥a，或 a 2≤ a，解得 a≤1，故 a 的最大 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（ II ）∵正数 x， y， z足 x+y =1，∴ 14＝（ x+y）（14） 1 4y4x52y4x9 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分x y x y x y x y当且当y4x 即x1, y2，等号建立，∴14的最小9．⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分x y33x y22.（ I ）几何明解：明：（I）接BE，OE，∵AB 是直径，∴∠ AEB=90°，∵∠ ABC=90° =∠ AEB ，∠ A= ∠ A ，∴△ AEB ∽△ ABC ，∴∠ ABE= ∠ C，∵ BE ⊥ AC ， DBC 的中点，∴ DE=BD=DC ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分∴∠ DEC= ∠ DCE= ∠ ABE= ∠ BEO ，∠ DBE= ∠ DEB ，∴∠ BEO+ ∠DEB= ∠DCE+ ∠CBE=90°，∴∠ OEE=90°，∴ DE 是 O 的切．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（ II ）明：∵ O、D 分 AB 、 BC 的中点，∴ DM=OD OM=（AC AB ），⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分∴ DM?AC+DM?AB=DM? （ AC+AB ）=（AC AB ）?（ AC+AB ） =（ AC 2AB 2）2= BC =DE?BC ．∴ DE?BC=DM?AC+DM?AB ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分（ 2）坐 系和参数方程解：（ I ）依据 称关系可得 A,B 所 的极角分3和2， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯23分代入极坐 方程可得A,B 的极坐 ( 3,) 和( 3, 2) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分3 3（ II ） A,B 所 的极角分,，3因此OA 12sin， OB2 2sin()3AB因OAB 内接于 C,由正弦定理2R 得： AB 3 ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分sin AOB因此周l 2sin2sin() 3 3sin3cos3 2 3 sin() 3 ， ⋯⋯⋯⋯10 分36由 意知(0,2) ，6( , 5 ), l (2 3,3 3] ，36 6因此周 的取 范 是 (2 3,3 3] .⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分（ 3）不等式 解：(1)由 x12 5 得 x 13 ，3 x 13 ，不等式的解集x 2 x4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2) 因 随意 x 1 R ，都有 x 2 R ，使得 f ( x 1) g ( x 2 ) 建立，因此 { y | y f ( x)} { y | yg (x)} ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分又 f ( x)2x a 2x 3 | (2 x a) (2 x 3) | | a3| ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分g( x) | x1| 2 2，因此 | a3| 2 ，解得 a1 或 a 5 ，因此 数 a 的取 范 a1 或 a 5 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分。

XX市2015届高三第一次质量检测数学文科答案一、选择题：1-5ACCDA 6-10 DDBDB 11-12 BB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．310x y --=14．15 15．3π 16．283π 三、解答题17. 解：(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得2(12)1(18)d d +=+，得1d =或0d =(舍)，…………2分所以{}n a 的通项公式为1(1)1n a n n =+-=．……………………4分(2) (1)2n n n S +=，12(1)n S n n =+，……………………6分 ∴2222122334(1)11111112(1)223341122(1)11n T n n n n n n n =++++⨯⨯⨯+=-+-+-++-+=-=++……………………8分 ……………………10分18. 因为c=2,不合题意舍去，所以52c =.....................................12分222222,............2sin sin sin 3cos .............62sin 2494cos ................82629100.............1052c= (2)==∴===+-+-==-+==a b A B A BA aB B b a c b c B ac cc c c 解：分sinA=sin2B=2sinBcosB.........4分分分分解得或..11分19．解：(1) 15816216316816817017117918210a x +++++++++=……………2分170=………………4分解得a =179 所以污损处是9.………………6分(2)设“身高为176 cm 的同学被抽中”的事件为A ，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件，………………8分而事件A 含有4个基本事件，………………10分∴P (A )＝410＝25………………12分 20、(1)分别取PA 和AB 中点M 、N ，连接MN 、ME 、NF ，则=NF ∥12AD ,=ME ∥12AD ,所以=NF ∥ME ,∴四边形MEFN 为平行四边形. -------------2 ∴EF MN∥,又,EF PAB ⊄平面,MN PAB ⊂平面∴EF ∥PAB 平面.-------------4 (2)在平面PAD 内作EH AD H ⊥于,因为侧棱PA ⊥底面ABCD ,所以平面PAD ⊥底面ABCD ,且平面PAD ⋂底面ABCD =AD ,所以EH ADC ⊥平面,所以EH PA ∥. -------------6E 为PD 的中点,12EH =,1111224ABF S =⨯⨯= 11111334224E ABF ABF V S EH -==⨯⨯= -------------8 设点F 到平面ABE 的距离为h,E ABF F ABE V V --=11122ABE SAB AE =⨯⨯=⨯=-------------10 1133ABF ABE S EH S h =, h =.-------------12解法2,APD PA AD E PD =中，为中点，所以AE PD ⊥侧棱PA ⊥底面ABCD ,所以PA AB ⊥,又因为AD AB ⊥,所以,AB PAD AB PD ⊥⊥平面所以所以PD ⊥平面ABE -----------------8设点F 到平面ABE 的距离为h ,F 为AC 的中点且底面ABCD 为正方形， 所以F 为BD 的中点.则1=2h DE = -------------12 21.解：（1）设A （0x ，0），B （0，0y ），P （,x y ），由2BP PA =得，00(,)2(,)x y y x x y -=--，即000032()223x x x x x y y y y y⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎩，————————————————————2分 又因为22009x y +=，所以223()(3)92x y +=，化简得：2214x y +=，这就是点P 的轨迹方程。

石家庄市2015届高三复习教学质量检测（一）高三数学（文科）（时间120分钟，满分150分）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、复数21i=-（ ） A ．1i + B ．1i - C ．i D ．12i - 2、抛物线212y x =的焦点为（ ）A ．()6,0B ．()0,6C ．()3,0D ．()0,3 3、已知集合2{|230},{1,0,1,2,3}A x x x B =--≤=-，则AB =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1,2,3C ．{}1,0,1,2,3-D ．{}0,1,2 4、命题“00,20xx R ∃∈≤”的否定为（ ） A ．00,20x x R ∀∈≤ B ．00,20xx R ∀∈≥ C ．00,20x x R ∀∈< D ．00,20xx R ∀∈>5、若圆C 的半径为1，点C 与点()2,0关于点()1,0对称，则圆C 的标准方程为（ ） A ．221x y += B ．22(3)1x y -+= C ．22(1)1x y -+= D ．22(3)1x y +-= 6、已知向量(2,6),10,10a b a b =--=⋅=，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．150 B ．30- C ．120 D ．60-7、设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[]2,1x ∈-时，()2422001x x f x xx ⎧--≤≤=⎨<<⎩，则5()2f =（ ）A ．1-B ．1C ．12D ．0 8、实数,x y 满足条件402200,0x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则z x y =-的最小值为（ ）A ．1B ．1-C ．12D ．2 9、已知函数()3sin34(,)f x a x bx a R b R =++∈∈，()f x '为()f x 的导函数， 则()()2014(2014)2015(2015)f f f f ''+-+--=（ ） A ．8 B ．2014 C ．2015 D ．010、阅读如下的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．1111、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的虚轴端点到直线2y a x =的距离为1，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3 B．212、设函数()2(,xf x e x a a R e =+-∈为自然对数的底数)，若存在[]0,1b ∈，使得(())f f b b =，则a 的取值范围是（ ）A ．[]1,eB ．[]1,1e +C ．[],1e e +D ．[]0,1第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

2015年第二学期高二文科答案一、选择题1-5CCAAB 6-10BDCCD 11-12AC二、填空题13.i 14.a b < 15. 33.2米 16.①②③三、解答题17.假设z a bi =+（实数,a b 不全为0）满足等式，所以22()()a bi a bi i -+=-⋅， …………………3分即222b abi b ai -=+，根据复数相等的条件可得：222b b ab a ⎧=⎨-=⎩，…………………7分 解得120b a ⎧=⎪⎨⎪=⎩或00b a =⎧⎨=⎩（舍），所以存在复数12z i =满足条件. …………………10分 18.（I ）………………5分（II ）将数据代入公式2280(24281216)7.273 6.63536444040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，………………9分 有99﹪的把握认为“平均油耗与是否使用该燃油添加剂有关”. ………………12分19.（I ）求得8.5,81x y ==，所以得到如下表格：x x - 0.4-0.2- 0 0.2 0.4 y y -7 5 2- 3- 7-………………2分 代入公式22222(0.4)7(0.25)00.2(3)0.4(7)ˆ18(0.4)(0.2)0(0.2)(0.4)b -⨯+-⨯++⨯-+⨯-==--+-+++，………………5分 又ˆˆ234ay b x =-⋅=，所以日销量关于单价的回归直线方程为ˆ18234y x =-+，………7分 （II ）根据（I ）求得的回归直线方程可得利润22(4)(18234)1830693618(8.5)364.5z x x x x x =-⋅-+=-+-=--+，………10分所以单价定为8.5元时每天的利润最大. ………12分20. （1）几何证明解：（I ）由弦切角定理可得EAB ACB ∠=∠,………………3分又因为点B 平分弧AC ,CAB ACB ∠=∠EAB CAB ∴∠=∠,∴AB 平分CAE ∠.………………6分（II ）因为点B 平分弧AC ，所以5BC AB ==,所以9CE =,由弦切线定理可得236EA EB EC =⋅=,所以6EA =,………………9分又因为EAB ∆∽ECA ∆,AB BE CA AE ∴=,解得152AB AE AC BE ⋅==.……………………12分 （2）坐标系和参数方程解：（I ）根据cos 16πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得：1sin )12ρθθ+=，………………3分 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩20y +-=；………………5分（II）由勾股定理可得弦心距12d ==，………………7分 由圆的参数方程可得22()1x y a +-=，………………9分所以圆心(0,)a 到直线l|2|122a -==， 解得1a =或3. ………………12分（3）不等式选讲（I ）由已知不等式的解集可得1,3-是方程20x bx c ++=的两根，由根与系数的关系可得1313b c -=-+⎧⎨=-⨯⎩，………………3分23b c =-⎧∴⎨=-⎩，故2()23f x x x =--，………………5分 （II ）当[]2,2x ∈-时，[]()4,5f x ∈-，………………7分不等式变形为()23f x t ≥-，要使关于x 的不等式()23f x t ≥-有解，只需()max 23f x t ≥-，………………10分 即235t -≤，解得14t -≤≤.………………12分21. （1）几何证明解：（I ）∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，∴∠OCA =∠ODB ，∵∠BOD =∠A ，∴△OBD ∽△AOC ．………………3分 ∴ACOD OC BD =，∵OC =OD =6，AC =4，∴466=BD ，∴BD=9．…………………6分 （II ）证明：∵OC =OE ，CE ⊥OD ．∴∠COD =∠BOD =∠A ．………………9分∴∠AOD =180º–∠A –∠ODC=180º–∠COD –∠OCD=∠ADO ．∴AD =AO ……………………12分（2）坐标系和参数方程解：（I ）曲线C 的极坐标方程是2sin 2cos ρθθ=，化为22sin 2cos ρθρθ=，可得曲线C 的直角坐标方程为y 2=2x ．………………5分 （II）把12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入方程： y 2=2x化为：21204t m -=，……7分 设上述方程的两根分别为12,t t，可得12128t t t t m ⎧+=⎪⎨⋅=-⎪⎩9分 由点P 是线段AB 的三等分点，可得122t t =-，代入上述方程组解得12m =，经验证0∆>，所以点P 的坐标为（12，0）．………………12分（3）不等式选讲解：（I ）由绝对值不等式可得 f （x ）=|x -2|+|x ﹣a |≥|（x ﹣2）﹣（x ﹣a ）|=|a ﹣2|，………………3分再由不等式f （x ）≥a 在R 上恒成立，可得|a ﹣2|≥a ，………………5分∴a ﹣2≥a ，或a ﹣2≤﹣a ，解得a ≤1，故a 的最大值为1．………………7分（II ）∵正数x ，y ，z 满足x +y =1， ∴14x y +＝（x +y ）（14x y +）41459y x x y =+++≥+=，………………10分 当且仅当4y x x y =即12,33x y ==时，等号成立，∴14x y +的最小值为9．………………12分 22.（I ）几何证明解： 证明：（I ）连接BE ，OE ，∵AB 是直径，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=90°=∠AEB ，∠A=∠A ，∴△AEB ∽△ABC ，∴∠ABE=∠C ，∵BE ⊥AC ，D 为BC 的中点，∴DE=BD=DC ，………………3分∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO ，∠DBE=∠DEB ，∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°， ∴∠OEE=90°，∴DE 是圆O 的切线．………………6分（II ）证明：∵O 、D 分别为AB 、BC 的中点，∴DM=OD ﹣OM=（AC ﹣AB ），………………8分∴DM•AC+DM•AB=DM•（AC+AB ）=（AC ﹣AB ）•（AC+AB ）=（AC 2﹣AB 2） =BC 2=DE•BC ．∴DE•BC=DM•AC+DM•AB ．………………12分（2）坐标系和参数方程解：（I ）根据对称关系可得A ,B 所对应的极角分别为233ππ和，………………2分 代入极坐标方程可得A ,B 的极坐标为π3,)3和2π3,)3………………4分 （II ）设A ,B 所对应的极角分别为,3πθθ+，所以12sin OA ρθ==，22sin()3OB πρθ==+因为OAB ∆内接于圆C ,由正弦定理2sin AB R AOB=∠得：AB =………………6分所以周长2sin 2sin()3sin )36l ππθθθθθ=++==++…………10分由题意知2(0,)3πθ∈ ，5(,),666l πππθ∴+∈∴∈，所以周长的取值范围是.………………12分（3）不等式选讲解：(1)由125x -+<得13x -<，313x ∴-<-<，不等式的解集为{}24x x -<<……………………5分(2)因为任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，………………7分 又()223|(2)(23)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，………………9分()|1|22g x x =-+≥，所以|3|2a +≥，解得1a ≥-或5a ≤-，所以实数a 的取值范围为1a ≥-或5a ≤-.……………………12分。

石家庄市2015届高三第一次质量检测数学文科答案一、选择题：1-5ACCDA 6-10 DDBDB 11-12 BB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．310x y --= 14．15 15．3π 16．283π 三、解答题17. 解：(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得2(12)1(18)d d +=+，得1d =或0d =(舍)，…………2分所以{}n a 的通项公式为1(1)1n a n n =+-=．……………………4分(2) (1)2n n n S +=，12(1)n S n n =+，……………………6分 ∴2222122334(1)11111112(1)223341122(1)11n T n n n n n n n =++++⨯⨯⨯+=-+-+-++-+=-=++……………………8分 ……………………10分18.222222,............2sin sin sin 3cos .............62sin 2494cos ................82629100.............1052c=..................2==∴===+-+-==-+==a b A B A BA aB B b a c b c B ac cc c c 解：分sinA=sin2B=2sinBcosB.........4分分分分解得或..11分因为c=2,不合题意舍去，所以52c =.....................................12分19．解：(1) 15816216316816817017117918210a x +++++++++= ……………2分170=………………4分解得a =179 所以污损处是9.………………6分(2)设“身高为176 cm 的同学被抽中”的事件为A ，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件，………………8分而事件A 含有4个基本事件，………………10分∴P (A )＝410＝25………………12分 20、(1)分别取PA 和AB 中点M 、N ，连接MN 、ME 、NF ，则=NF ∥12AD ,=ME ∥12AD ,所以=NF ∥ME ,∴四边形MEFN 为平行四边形. -------------2 ∴EF MN ∥,又,EF PAB ⊄平面,MN PAB ⊂平面∴EF ∥PAB 平面. -------------4(2)在平面PAD 内作EH AD H ⊥于,因为侧棱PA ⊥底面ABCD ,所以平面PAD ⊥底面ABCD ,且平面PAD ⋂底面ABCD =AD ,所以EH ADC ⊥平面,所以EH PA ∥. -------------6E 为PD 的中点,12EH =,1111224ABF S =⨯⨯= 11111334224E ABF ABF V S EH -==⨯⨯= -------------8 设点F 到平面ABE 的距离为h,E ABF F ABE V V --=11122ABE SAB AE =⨯⨯=⨯=-------------10 1133ABF ABE S EH S h =,h = -------------12 解法2:,APD PA AD E PD =中，为中点，所以AE PD ⊥侧棱PA ⊥底面ABCD ,所以PA AB ⊥,又因为AD AB ⊥,所以,AB PAD AB PD ⊥⊥平面所以所以PD ⊥平面ABE -----------------8设点F 到平面ABE 的距离为h ,F 为AC 的中点且底面ABCD 为正方形， 所以F 为BD 的中点.则1=24h DE = -------------12 21.解：（1）设A （0x ，0），B （0，0y ），P （,x y ），由2BP PA =得，00(,)2(,)x y y x x y -=--，即000032()223x x x x x y y y y y⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎩，————————————————————2分 又因为22009x y +=，所以223()(3)92x y +=，化简得：2214x y +=，这就是点P 的轨迹方程。

河北省石家庄市正定中学2015届高三数学文1月月考试卷1．定义{}|,A B z z xy x A ⨯==∈∈且y B ，若{}{}|12,1,2A x x B =-<<=-，则A B ⨯=（ ）A.{}|12x x -<<B.{}1,2-C.{}|22x x -<<D. {}|24x x -<< 2．下列命题中，真命题是（ ）A.00,0x R x ∃∈≤B.,xex R e x ∀∈>C.0a b -=的充要条件是1ab= D. 若p q ∧为假，则p q ∨为假3．设,a b 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面（ ） A.若α∥,,,a b βαβ⊂⊂则a ∥b B.若α⊥,a β∥β，则a α⊥ C.若,,a a b a α⊥⊥∥,β则b ∥β D.若α⊥,,,a b βαβ⊥⊥则a b ⊥ 4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（ ） A. 6 B. 5 C. 8 D.75. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 （ ） A.16643π-B.32643π-C.6416π-D.64643π-6． 将函数()2sin(2)4h x x π=+的图象向右平移4π个单位，再向上平移2个单位，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的图象（ ）A. 关于直线0x =对称 B.关于直线8x π=对称C.关于点3(,2)8π对称D.关于点(,2)8π对称7.已知函数0(),x f x xe =10()'(),f x f x =21()'(),,f x f x =⋅⋅⋅1()()()n n f x f x n N *-'=∈ 则2014'(0)f =（ ）A.2013B.2014C.2 015D.2 016 8.已知数列{}n a 为等比数列，则123:p a a a <<是45:q a a <的（ ）俯视图侧视图正视图第（5）题(第4题)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.在平面直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以x 轴的正半轴为始边，若终边经过点P 00(,)x y 且(0)OP r r =>，定义：00cos y x si rθ-=，称“cos si θ”为“正余弦函数”对于正余弦函数y=sicosx ，有同学得到以下性质：①该函数的值域为⎡⎣；②该函数图象关于原点对称；③该函数图象关于直线34x π=对称；④该函数的单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,则这些性质中正确的个数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个10.已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比q 是正整数，前n项和为n T ，若211,a d b d ==，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则298S T 等于（ ）A.4517 B. 13517 C. 9017 D.2701711.如图，过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A,B 两点，交其准线于 点C，且4AF =+，则p =（ ）A.1B.2C.52D. 3 12.对于函数()f x ，若存在区间[]m,n ()m n <，使得()f x 在区间[]m,n 上的值域为[]m,n λλ，则称()f x 为“λ倍函数”，若()(1)xf x a a =>为“1倍函数”，则a 的取值范围为（ ）A.B.)eC.1(1,)ee D.1(,)ee e 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.已知函数1()ln2x f x x -=-，则78()()55f f +=__________ 14.若向量a,b 是单位向量，则向量a b -在向量a b +方向上的投影是________15.已知变量,x y 满足约束条件121x y x ≤+≤⎧⎨≤-⎩，则xy 的取值范围是_________16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，线段EF ,GH 分别在AB ，1CC 上移动，且12EF GH +=，则三棱锥EFGH 的体积最大值为__________ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答时写出证明过程或演算步骤．) 17. (本小题满分10分)等比数列 {}n a 中， 130(),4n a n N a a *>∈=，且 31a +是 2a 和 4a 的等差中项，若21log n n b a +=.(1)求数列 {}n b 的通项公式； (2)若数列 {}n c 满足 121211n n n n c a b b +-+=+⋅，求数列{}n c 的前n 项和;18. (本小题满分12分)已知向量)3,cos 2(2x a =→-，)2sin ,1(x b =→-，函数→-→-⋅=b a x f )(． (1)求函数()f x 的对称中心；(2)在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,的值．19. (本小题满分12分)如图, 四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形,O 为底面中心, 1A O ⊥平面ABCD.1AB AA ==(1) 证明: 1A C ⊥平面11BB D D ； (2) 求三棱柱111ABD A B D -的体积.20. (本小题满分12分)已知函数 3()sin ,()6x f x x g x x ==-(1)求曲线 ()y f x =在点 (,())44P f ππ处的切线方程； (2)证明：当0x >时， ()()x f x g x >>．1A21. (本小题满分12分)如图，已知点A 是离心率为的椭圆C ：的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合． （1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线AB ，AD 的斜率之和为定值．22. (本小题满分12分) 已知函数1()ln f x x x=+. （1）求函数()f x 在(2,(2))f 处的切线方程；（2）若mx x f x g +=)()(在[)1,+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围； （3）若在],[e 1上至少存在一个0x ，使得0002x ex f kx>-)(成立，求实数k 的取值范围.\18．解：（Ⅰ） x x x x b a x f 2sin 3cos 2)2sin ,1()3,cos 2()(22+=⋅=⋅=→-→- 1)62sin(22sin 312cos ++=++=πx x x对称中心为(,1)212k ππ-（k ∈z ）………………6分 （Ⅱ） 31)62sin(2)(=++=πC C f ∴1)62sin(=+πCC 是三角形内角 ∴)613,6(62πππ∈+C ， ∴262ππ=+C 即：6π=C ∴232cos 222=-+=ab c a b C 即：722=+b a 将32=ab 代入k 式可得：71222=+aa 解之得：432或=a ∴23或=a ∴32或=bb a > ∴2=a 3=b ……………………12分19.(1)证明1,,A AO ABCD BD C ABCD ⊥∈平面平面 11,AO BD AO AC ∴⊥⊥BD AC BD AC O ⊥⋂=又，11,BD A AC BD AC ∴⊥∴⊥平面111RT AOA A =在中,11RT AOC A =在中2221111A A A C AC A A A C∴+=∴⊥1111111//,,,,A A B B AC B B B B BD B B B BD B BBD ∴⊥⋂=⊂又平面 111AC BD D ⊥平面B ………8分（2）10A ABCD ⊥平面11111=12ABD A B D V -∴=….12分，又222a b c =+， ….1分解得∴0m ≠，设11(,)D x y ，的斜率之和为定值0. …… 12分22．（1）ln 24y x =+ ……4分（2）2221111x x mx m x x x g mx x x mx x f x g -+=++-='⇒++=+=)(ln )()( ∵)(x g 在其定义域内为单调函数，∴012≥-+x mx 或者012≤-+x mx 在[1，＋∞）恒成立．…………7分21x x m -≥∴或者21x xm -≤∴在[1，＋∞）恒成立． 01412≤-≤-xx∴m 的取值范围是1,04m m ≤-≥或。

河北省石家庄市2015届高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．已知i为虚数单位，则复数=( ) A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i 2．已知集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}，则P∩Q=( ) A．{0，1，2} B．{0，1} C．{1，2} D．? 3．命题p：若sinx＞siny，则x＞y；命题q：x2+y2≥2xy，下列命题为假命题的是( ) A．p或q B．p且q C．q D．￢p 4．设函数f（x）为偶函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，则f（﹣）=( ) A．﹣B．C．2 D．﹣2 5．已知cosα=k，k∈R，α∈（，π），则sin（π+α）=( ) A．﹣B．C．±D．﹣k 6．函数f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为，则f（）的值是( ) A．﹣B．C．1 D． 7．执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S为( ) A．2 B．2 C．4 D．6 8．在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M﹣PBC的体积为( ) A．1 B． C．D．与M点的位置有关 9．已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km 处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( ) A．1﹣B．C．1﹣D． 10．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为( ) A．B．C．1+ D．1+ 11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A．64 B．72 C．80 D．112 12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则b+c的取值范围为( ) A．（﹣∞，3）B．（0，3] C．[0，3] D．（0，3） 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．已知平面向量，的夹角为，||=2，||=1，则|+|=__________． 14．已知等差数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和，若a2，a4是方程x2﹣6x+5=0的两个根，则S6的值为__________． 15．若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的范围是__________． 16．设过曲线f（x）=﹣ex﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为__________． 三、解答题（共8小题，满分70分） 17．设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=λSn+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3为等差数列{bn}的前三项． （Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{anbn}的前n项和． 18．某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元 （1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式 （2）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件）整理得表： 日需求量 8 9 10 11 12 频数9 11 15 10 5 若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[400，500]的概率． 19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2，AP=AD=AB=，∠PAB=∠PAD=α． （1）试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值； （2）当α=60°时，求证：CD⊥平面PBD． 20．在平面直角坐标系xOy中，以动圆经过点（1，0）且与直线x=﹣1相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线E． （1）求曲线E的方程； （2）已知点A（5，0），倾斜角为的直线l与线段OA相交（不经过点O或点A）且与曲线E 交于M、N两点，求△AMN面积的最大值，及此时直线l的方程． 21．已知函数f（x）=2（a+1）lnx﹣ax，g（x）=x2﹣x． （1）若函数f（x）在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围； （2）证明：若﹣1＜a＜7，则对于任意x1、x2∈（1，+∞），x1≠x2，有＞﹣1． 22．如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE． （1）求证：AG?EF=CE?GD； （2）求证：． 23．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2． （Ⅰ）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程． （Ⅱ）已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值． 24．已知函数f（x）=的定义域为R． （Ⅰ）求实数m的取值范围． （Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+=n时，求7a+4b的最小值． 河北省石家庄市2015届高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．已知i为虚数单位，则复数=( ) A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i 考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数． 分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值． 解答：解：=， 故选：C． 点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念，是基础题． 2．已知集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}，则P∩Q=( ) A．{0，1，2} B．{0，1} C．{1，2} D．? 考点：交集及其运算． 专题：集合． 分析：求出Q中y的范围确定出Q，找出P与Q的交集即可． 解答：解：∵集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}={y|y＞0}， ∴P∩Q={1，2}， 故选：C． 点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 3．命题p：若sinx＞siny，则x＞y；命题q：x2+y2≥2xy，下列命题为假命题的是( ) A．p或q B．p且q C．q D．￢p 考点：复合命题的真假． 专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑． 分析：根据正弦函数的图象即可判断出sinx＞siny时，不一定得到x＞y，所以说命题p 是假命题，而根据基本不等式即可判断出命题q为真命题，然后根据￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系即可找出正确选项． 解答：解：x=，y=π，满足sinx＞siny，但x＜y； ∴命题p是假命题； x2+y2≥2xy，这是基本不等式； ∴命题q是真命题； ∴p或q为真命题，p且q为假命题，q是真命题，￢p是真命题； ∴是假命题的是B． 故选B． 点评：考查正弦函数的图象，能够取特殊角以说明命题p是假命题，熟悉基本不等式：a2+b2≥2ab，a=b时取“=”，以及￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系． 4．设函数f（x）为偶函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，则f（﹣）=( ) A．﹣B．C．2 D．﹣2 考点：函数奇偶性的性质；函数的值． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据f（x）为偶函数，以及x＞0时f（x）的解析式即可得到f（﹣）=． 解答：解：f（x）为偶函数； ∴f（）=f（） 又x＞0时，f（x）=log2x； ∴=； 即f（﹣）=． 故选B． 点评：考查偶函数的定义：f（﹣x）=f（x），以及对数的运算． 5．已知cosα=k，k∈R，α∈（，π），则sin（π+α）=( ) A．﹣B．C．±D．﹣k 考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值． 专题：三角函数的求值． 分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解． 解答：解：∵cosα=k，k∈R，α∈（，π）， ∴sinα==， ∴sin（π+α）=﹣sinα=﹣． 故选：A． 点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查． 6．函数f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为，则f（）的值是( ) A．﹣B．C．1 D． 考点：正切函数的图象． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：根据条件求出函数的周期和ω，即可得到结论． 解答：解：∵f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为， ∴函数的周期T=， 即=，则ω=2，则f（x）=tan2x 则f（）=tan（2×）=tan=， 故选：D 点评：本题主要考查三角函数值的求解，根据条件求出函数的周期和ω是解决本题的关键． 7．执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S为( ) A．2 B．2 C．4 D．6 考点：程序框图． 专题：图表型；算法和程序框图． 分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=5时，不满足条件i ≤4，退出循环，输出S的值为2． 解答：解：模拟执行程序框图，可得 S=1，i=1 满足条件i≤4，S=1，i=2 满足条件i≤4，S=，i=3 满足条件i≤4，S=2，i=4 满足条件i≤4，S=2，i=5 不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为2． 故选：B． 点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的S的值是解题的关键，属于基本知识的考查． 8．在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M﹣PBC的体积为( ) A．1 B． C．D．与M点的位置有关 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：如图所示，连接BC1，取=，可得PN∥D1C1，=1，由于D1C1⊥平面BCC1B1，可得PN ⊥平面BCC1B1，利用三棱锥M﹣PBC的体积=V三棱锥P﹣BCM=即可得出． 解答：解：如图所示，连接BC1，取=， 则PN∥D1C1，，PN=1， ∵D1C1⊥平面BCC1B1， ∴PN⊥平面BCC1B1， 即PN是三棱锥P﹣BCM的高． ∴V三棱锥M﹣PBC=V三棱锥P﹣BCM===． 故选：B． 点评：本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km 处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( ) A．1﹣B．C．1﹣D． 考点：解三角形的实际应用． 专题：应用题；概率与统计． 分析：作出图形，以长度为测度，即可求出概率． 解答：解：由题意，△AOB是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2， O地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与AB相交于C，D两点，作OE⊥AB，则OE=，所以CD=2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1﹣=1﹣． 故选：A． 点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查概率的计算，正确确定CD是关键． 10．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为( ) A．B．C．1+ D．1+ 考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把=c代入整理得c4﹣6a2c2+a4=0等式两边同除以a4，得到关于离心率e的方程，进而可求得e． 解答：解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F ∴两条曲线交点为（，p）， 代入双曲线方程得， 又=c 代入化简得 c4﹣6a2c2+a4=0 ∴e4﹣6e2+1=0 ∴e2=3+2=（1+）2 ∴e=+1 故选：C． 点评：本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系：c2=a2+b2注意与椭圆的区别． 11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A．64 B．72 C．80 D．112 考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题． 分析：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3．分别求体积，再相加即可 解答：解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43=64 上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积× 故该几何体的体积是64+8=72 故选B 点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题． 12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则b+c的取值范围为( ) A．（﹣∞，3）B．（0，3] C．[0，3] D．（0，3） 考点：分段函数的应用． 专题：综合题；函数的性质及应用． 分析：题中原方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数K，有2个不同的K，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有满足条件的K在开区间（0，1）时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案． 解答：解：根据题意作出f（x）的简图： 由图象可得当f（x）∈（0，1]时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中“方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解”， 可以分解为形如关于k的方程k2﹣bk+c=0有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于等于1的实数． 列式如下：，化简得， 此不等式组表示的区域如图： 令z=b+c，则z=b+c在（2，1）处z=3，在（0，0）处z=0， 所以b+c的取值范围为（0，3）， 故选：D． 点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，同时考查线性规划等知识，较为综合；采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．已知平面向量，的夹角为，||=2，||=1，则|+|=． 考点：平面向量数量积的运算． 专题：平面向量及应用． 分析：运用数量积的定义求解得出=||?||cos，结合向量的运算，与模的运算转化：|+|2=（）2=||2+||2+2，代入数据求解即可． 解答：解：∵平面向量，的夹角为，||=2，||=1， ∴=||?||cos=2×=﹣1， ∴|+|2=（）2=||2+||2+2=4+1﹣2=3， 即|+|=． 故答案为：． 点评：本题考查了平面向量的数量积的运用，应用求解向量的模，计算简单，属于容易题． 14．已知等差数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和，若a2，a4是方程x2﹣6x+5=0的两个根，则S6的值为24． 考点：等差数列的性质． 专题：等差数列与等比数列． 分析：由一元二次方程的根与系数关系求得a2，a4，进一步求出公差和首项，则答案可求． 解答：解：由a2，a4是方程x2﹣6x+5=0的两个根，得 ，由已知得a4＞a2，∴解得a2=1，a4=5， ∴d=， 则a1=a2﹣d=1﹣2=﹣1， ∴． 故答案为：24． 点评：本题考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了等差数列的通项公式和前n项和，是基础的计算题． 15．若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的范围是（0，1）． 考点：简单线性规划． 专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用． 分析：由题意作出其平面区域，求出k的临界值，从而结合图象写出实数k的取值范围． 解答：解：由题意作出其平面区域， 当直线y=kx+3与AB重合时，k=0，是直角三角形， 当直线y=kx+3与AD重合时，k=1，是直角三角形； 故若区域为一个锐角三角形及其内部， 则0＜k＜1； 故答案为：（0，1）． 点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，利用临界值求取值范围，属于中档题． 16．设过曲线f（x）=﹣ex﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为[﹣1，2]． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：导数的概念及应用；不等式的解法及应用；直线与圆． 分析：求出函数f（x）=﹣ex﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx 上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解． 解答：解：由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1， ∵ex+1＞1，∴∈（0，1）， 由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx， 又﹣2sinx∈[﹣2，2]， ∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]， 要使过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1， 总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2， 则，解得﹣1≤a≤2． 即a的取值范围为﹣1≤a≤2． 故答案为：[﹣1，2]． 点评：本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题． 三、解答题（共8小题，满分70分） 17．设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=λSn+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3为等差数列{bn}的前三项． （Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{anbn}的前n项和． 考点：数列的求和；数列递推式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（1）由an+1=λSn+1（n∈N*，λ≠﹣1），当n≥2时，an=λSn﹣1+1，可得an+1=（1+λ）an，利用等比数列的通项公式可得a3，再利用等差数列的通项公式即可得出； （2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出． 解答：解：（1）∵an+1=λSn+1（n∈N*，λ≠﹣1），∴当n≥2时，an=λSn﹣1+1， ∴an+1﹣an=λan，即an+1=（1+λ）an， 又a1=1，a2=λa1+1=λ+1， ∴数列{an}为以1为首项，公比为λ+1的等比数列， ∴a3=（λ+1）2， ∵a1、2a2、a3+3为等差数列{bn}的前三项． ∴4（λ+1）=1+（λ+1）2+3， 整理得（λ﹣1）2=0，解得λ=1． ∴an=2n﹣1，bn=1+3（n﹣1）=3n﹣2． （2）anbn=（3n﹣2）?2n﹣1， ∴数列{anbn}的前n项和Tn=1+4×2+7×22+…+（3n﹣2）?2n﹣1， 2Tn=2+4×22+7×23+…+（3n﹣5）×2n﹣1+（3n﹣2）×2n， ∴﹣Tn=1+3×2+3×22+…+3×2n﹣1﹣（3n﹣2）×2n=﹣（3n﹣2）×2n=（5﹣3n）×2n﹣5， ∴Tn=（3n﹣5）×2n+5． 点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元 （1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式 （2）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件）整理得表： 日需求量 8 9 10 11 12 频数9 11 15 10 5 若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[400，500]的概率． 考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表． 专题：概率与统计． 分析：（1）根据题意分段求解得出当1≤n≤10时，y利润，当n＞10时，y利润， （2）运用表格的数据求解：频数9天，380；频数11天，440；频数9，500；频数5，560，得出当天的利润在区间[400，500]有20天，即可求解概率． 解答：解：（1）当1≤n≤10时，y利润=50n+（10﹣n）×（﹣10）=60n﹣100， 当n＞10时，y利润=50×10+（10﹣n）×30=800﹣30n， 所以函数解析式y利润=， （2）∵日需求量为8，频数9天，利润为50×8﹣10×2=380， 日需求量为9，频数11天，利润为50×9﹣10×=440， 日需求量为10，频数9，利润为50×10=500， 日需求量为12，频数5，利润为50×10+30×2=560， ∴当天的利润在区间[400，500]有11+9=20天， 故当天的利润在区间[400，500]的概率为=． 点评：本题考查了运用概率知识求解实际问题的利润问题，仔细阅读题意，得出有用的数据，理清关系，正确代入数据即可． 19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2，AP=AD=AB=，∠PAB=∠PAD=α． （1）试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值； （2）当α=60°时，求证：CD⊥平面PBD． 考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题：空间位置关系与距离． 分析：（1）连接AC，BD，相交于O，过O作OE∥PC，与PA交于E，如图1，则PC∥平面BDE； （2）当α=60°时，△PAD和△PAB都是等边三角形，PB=PD，过A作AF⊥BD，则F为BD 的中点， 利用勾股定理可以判断线线垂直，进一步判断线面垂直． 解答：解：（1）连接AC，BD，相交于O，过O作OE∥PC，与PA交于E，如图1，则PC ∥平面BDE， 此时AE：EP=AO：OC=AD：BC=：=1：2； （2）当α=60°时，△PAD和△PAB都是等边三角形，PB=PD， 过A作AF⊥BD，则F为BD的中点， 所以PF⊥BD，BD=2，所以AF=PF=BD=1，所以PF2+AF2=PA2，所以PF⊥AF， 所以PF⊥平面ABCD， 所以PF⊥CD， 过D作DH⊥BC，则DH=AB=，HC=，所以CD=2，所以CD2+BD2=BC2，所以CD⊥BD， BD∩PF=F， 所以CD⊥平面PBD． 点评：本题考查了线面平行的判定以及线面垂直的判定定理和性质定理的运用；关键是适当作辅助线，将问题转化为线线关系解答． 20．在平面直角坐标系xOy中，以动圆经过点（1，0）且与直线x=﹣1相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线E． （1）求曲线E的方程； （2）已知点A（5，0），倾斜角为的直线l与线段OA相交（不经过点O或点A）且与曲线E 交于M、N两点，求△AMN面积的最大值，及此时直线l的方程． 考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（1）由抛物线的定义求得抛物线方程． （2）直线和圆锥曲线联立方程组，构造关于m的函数，利用导数求得最大值． 解答：解：（1）由题意得圆心到（1，0）的距离等于直线x=﹣1的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程为：y2=4x． （2）由题意，可设l的方程为y=x﹣m，其中，0＜m＜5． 由方程组，消去y，得x2﹣（2m+4）x+m2=0，① 当0＜m＜5时，方程①的判别式△=（2m+4）2﹣4m2=16（1+m）＞0成立． 设M（x1，y1），N（x2，y2），则， ∴ 又∵点A到直线l的距离为 ∴ 令f（m）=m3﹣9m2+15m+25，（0＜m＜5） f'（m）=3m2﹣18m+15=3（m﹣1）（m﹣5），（0＜m＜5） ∴函数f（m）在（0，1）上单调递增，在（1，5）上单调递减． 当m=1时，f（m）有最大值32， 故当直线l的方程为y=x﹣1时，△AMN的最大面积为 点评：本题主要考查抛物线定义的应用以及直线与抛物线的综合应用，属中档题，在2015届高考中属于常考题型． 21．已知函数f（x）=2（a+1）lnx﹣ax，g（x）=x2﹣x． （1）若函数f（x）在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围； （2）证明：若﹣1＜a＜7，则对于任意x1、x2∈（1，+∞），x1≠x2，有＞﹣1． 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：计算题；证明题；导数的综合应用． 分析：（1）先求f（x）=2（a+1）lnx﹣ax的定义域，再求导f′（x）=2（a+1）﹣a=，从而由题意知f′（x）=≥0在（0，+∞）上恒成立，从而化为最值问题； （2）由二次函数的性质易知g（x）=x2﹣x在（1，+∞）上是增函数，从而不妨设x1＞x2，从而可得g（x1）＞g（x2）；故＞﹣1可化为f（x1）﹣f（x2）＞﹣（g（x1）﹣g（x2）），即证f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2）， 令H（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x，从而利用导数证明H（x）=f（x）+g （x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x在（1，+∞）上是增函数即可． 解答：解：（1）f（x）=2（a+1）lnx﹣ax的定义域为（0，+∞）， f′（x）=2（a+1）﹣a=， ∵f′（2）=1，又∵函数f（x）在定义域内为单调函数， ∴f′（x）=≥0在（0，+∞）上恒成立， ∴a（2﹣x）+2≥0在（0，+∞）上恒成立， 即﹣ax+2a+2≥0在（0，+∞）上恒成立， 故， 解得，﹣1≤a≤0； （2）证明：∵g（x）=x2﹣x在（1，+∞）上是增函数， ∴对于任意x1、x2∈（1，+∞），x1≠x2，不妨设x1＞x2， 则g（x1）＞g（x2）； 则＞﹣1可化为f（x1）﹣f（x2）＞﹣（g（x1）﹣g（x2））， 即证f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2）， 令H（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x， H′（x）=2（a+1）﹣a+x﹣1=， 令M（x）=x2﹣（a+1）x+2（a+1）， ①﹣1＜a≤1时，0＜a+1≤2， 故M（x）=x2﹣（a+1）x+2（a+1）在（1，+∞）上是增函数， 故M（x）＞M（1）=1﹣a﹣1+2a+2=a+2＞0， ②1＜a＜7时，M（x）=x2﹣（a+1）x+2（a+1）的对称轴x=∈（1，+∞）， 故M（x）≥（）2﹣（a+1）+2（a+1）=（a+1）（7﹣a）＞0， 故﹣1＜a＜7时，M（x）＞0在（1，+∞）上恒成立， 即H′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立， 故H（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x在（1，+∞）上是增函数， 故f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2）， 故原式成立． 点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了二次函数的性质应用及分类讨论的思想应用，属于难题． 22．如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE． （1）求证：AG?EF=CE?GD； （2）求证：． 考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段． 专题：证明题；压轴题． 分析：（1）要证明AG?EF=CE?GD我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题． （2）由（1）的推理过程，我们易得∠DAG=∠GDF，又由公共角∠G，故△DFG∽△AGD，易得DG2=AG?GF，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论． 解答：证明：（1）连接AB，AC， ∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD=90°， ∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF=∠AGD， ∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF， ∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GDF， ∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF， ∴△CEF∽△AGD， ∴， ∴AG?EF=CE?GD （2）由（1）知∠DAG=∠GDF， ∠G=∠G， ∴△DFG∽△AGD， ∴DG2=AG?GF， 由（1）知， ∴． 点评：证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程． 23．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2． （Ⅰ）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程． （Ⅱ）已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值． 考点：参数方程化成普通方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（1）根据题意和平方关系求出曲线C1的普通方程，由ρ2=x2+y2和题意求出C2的直角坐标方程； （2）法一：求出曲线C2参数方程，设P点的参数坐标，求出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式求出|PM|+|PN|并化简，再化简（|PM|+|PN|）2，利用正弦函数的最值求出（|PM|+|PN|）2的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值； 法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2=4，求出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式求出|PM|+|PN|并化简，再化简（|PM|+|PN|）2，再求出（|PM|+|PN|）2的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值． 解答：解：（1）因为曲线C1的参数方程为（θ为参数）， 所以曲线C1的普通方程为，… 由曲线C2的极坐标方程为ρ=2得， 曲线C2的普通方程为x2+y2=4；… （2）法一：由曲线C2：x2+y2=4，可得其参数方程为， 所以P点坐标为（2cosα，2sinα）， 由题意可知M（0，），N（0，）． 因此|PM|+|PN|==+… 则（|PM|+|PN|）2=14+2． 所以当sinα=0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，… 因此|PM|+|PN|的最大值为．… 法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2=4， 由题意可知M（0，），N（0，）． 因此|PM|+|PN|=+=+… 则（|PM|+|PN|）2=14+2． 所以当y=0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，… 因此|PM|+|PN|的最大值为．… 点评：本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，两点间的距离公式，以及求最值问题，考查化简、计算能力． 24．已知函数f（x）=的定义域为R． （Ⅰ）求实数m的取值范围． （Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+=n时，求7a+4b的最小值． 考点：基本不等式；函数的定义域及其求法． 专题：不等式的解法及应用． 分析：（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x ﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可； （2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出． 解答：解：（1）∵函数定义域为R， ∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立， 设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值， 又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|=4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4． （2）由（1）知n=4， ∴7a+4b===， 当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时取等号． ∴7a+4b的最小值为． 点评：本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2015年河北省初中毕业生升学文化课模拟考试一数 学 试 卷本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．卷Ⅰ（选择题，共24分）注意事项：1．答卷I 前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上，考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共16个小题，1~6小题，每小题2分；7~16小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．21-的相反数是 【 】 A ．﹣2 B ．2 C ．21 D ．21- 2．∠A 是锐角，且sin A =cos A ，则∠A 的度数是 【 】 A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°3．下列几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的几何体是 【 】A ．B ．C ．D ．4．在一个不透明的布袋中装有5个白球和3个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 【 】 A ．51 B ．31 C ．85D ． 835．数据 9、9、6、3、6、2、6 的众数是 【 】 A ． 2 B ．3 C ．6 D ．96．下列运算正确的是 【 】A ．623a a a ÷= B ．()32628xx = C ．222326a a a ⨯= D ．01a a -⨯=-7．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上， 如果∠1=32o ，那么∠2的度数是 【 】（第11题图）_1 _ A _1__B （第10题图）A ．32oB ．68oC ．58oD ．60o 8．一元二次方程x 2﹣4x +5=0的根的情况是 【 】 A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根9．观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是 【 】A ．31B ．41C ．51D ．66 10．如图，将三角尺ABC （其中∠ABC ＝60°，∠C ＝90°）绕B 点按顺时针方向转动一个角度到△A 1BC 1的位置，使得 点A ，B ，C 1在同一条直线上，那么这个角度等于【 】 A ．120° B ．90° C ．60°D ．30°11．如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线x =1，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为 【 】 A ．0 B ．－1 C ．1 D ．212．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BE 平分∠ABC 交CD 于E ，且BE ⊥CD ，CE ︰ED =2︰1．如果△BEC 的面积为2，那么四边形ABED 的面积是 【 】 A ．47 B ．25 C ．34 D ．32 13．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB =30°，⊙O 的半径为3cm ，则弦CD 的长为【 】 A B ．3cm C ．23cm D ．9cm （第12题图）ABDE C（第13题图）CABOE D14．如图所示，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆与对角线AC 交于点E ，则图中阴影部分的面积为 【 】 A ．π-10 B ．π-8 C ．π-12 D .π-615．如图所示，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y =xk在第一象限的图象经过点B ，若2218OA AB -=，则k 的值为【 】 A ．12 B ．9 C ．8 D ．616．如图，在△ABC 中，已知∠C =90°，AC ＝BC ＝4，D 是AB 的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 边上运动（点E 不与点A 、C 重合），且保持AE ＝CF ，连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，有下列结论：①四边形CEDF 有可能成为正方形 ②△DFE 是等腰直角三角形 ③四边形CEDF 的面积是定值 ④点C 到线段EF其中正确的结论是 【 】 A ．①④ B ．②③ C ．①②④ D ．①②③④ 2015年河北省初中毕业生升学文化课考试数 学 试 卷卷II （非选择题，共78分）注意事项：1．答卷II 前，将密封线左侧的项目填写清楚．2．答卷II 时，将答案用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上．（第14题图）（第15题图）（第16题图）二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上）17．分解因式：2a 2－8b 2 =______________________． 18．已知，直线y ＝x 绕原点O 顺时针旋转90°得到直线l ，直线l 与反比例函数y ＝kx的图象的一个交点为A （3，m ），则k ＝ ． 19．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =37°，BC =32，则AC = ．（参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）20．如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =1，且AC 边在直线a 上，将△ABC 绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P 1，此时AP 1=2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2=1+2；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3=2+2；…，按此规律继续旋转，直至得到点P 2014为止．则AP 2014=____________．三、解答题（本大题共6个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（本小题满分10分）观察下列关于自然数的等式： 32﹣4×12=5 ① 52﹣4×22=9 ② 72﹣4×32=13 ③ ……根据上述规律解决下列问题：（19题图）（1）完成第四个等式：92﹣4×_____2=______；（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并验证其正确性．22．（本小题满分10分）为了降低能源消耗，减少环境污染，国务院办公厅下发了“关于限制生产销售使用塑料购物袋的通知”（简称“限塑令”），并从2008年6月1日起正式实施.小宇同学为了了解“限塑令”后使用购物袋的情况，6月8日到某集贸市场对部分购物者进行了调查，据了解该市场按塑料购物袋的承重能力提供了0.1元，0.2元，0.3元三种质量不同的塑料袋.下面两幅图是这次调查得到的不完整的统计图（若每人每次只使用一个购物袋），请你根据图中的信息，回答下列问题：（1）这次调查的购物者总人数是 ；（2）请补全条形统计图，并说明扇形统计图中0.2元部分所对应的圆心角是_____ 度，0.3元部分所对应的圆心角是 度；（3）若6月8日到该市场购物的人数有3000人次，则该市场需销售塑料购物袋多少个？并根据调查情况，谈谈你的看法．23．（本小题满分11分）如图，在锐角三角形纸片ABC 中，AC ＞BC ，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上．（1）已知：DE ∥AC ，DF ∥BC ．①判断四边形DECF 一定是什么形状？ ②裁剪当AC =24cm ，BC =20cm ，∠ACB =45°时，请你探索：如何剪四边形DECF ，能使它的面积最大，并证明你的结论； （2）折叠请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D ，E ，C ，F ，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．A DFECBABC备用图已知二次函数y＝x2＋bx＋c图像的顶点坐标为（1，－4），与y轴交点为A．（1）求该二次函数的关系式及点A坐标；（2）将该二次函数的图像沿x轴翻折后对应的函数关系式是_____________；（3）若坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在该二次函数图像上，求m ＋n的值．（4）若该二次函数与x轴负半轴交于点B，C为函数图像上的一点，D为x轴上一点，当以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出该平行四边形的面积．某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨．．．．），月销售利润为y元．．．了x元时（x．为正整数（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．（2）每件玩具的售价．．定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价．．定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？26．（本小题满分13分）在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O 放在斜边AC上，将三角板绕点O 旋转． （1）当点O 为AC 中点时：①如图1，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，连接EF ，猜想线段AE 、CF 与EF 之间存在的等量关系（无需证明）；②如图2，三角板的两直角边分别交AB ，BC 延长线于E 、F 两点，连接EF ，判断①中的结论是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）当点O 不是AC 中点时，如图3，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，若15AO AC ，则OE OF = ．图1BA OCEF CB A OEF图2图3OA BCE F2015年河北省初中毕业生升学文化课模拟考试数学试题参考答案二、填空题（每小题3分，共12分） 17．2(a +2b ) (a －2b )； 18．－9； 19．24；20．1342+672． 三、解答题21．解：（1）32﹣4×12=5 ①52﹣4×22=9 ② 72﹣4×32=13 ③ …所以第四个等式：92﹣4×42=17；………………5分 （2）第n 个等式为：（2n +1）2﹣4n 2=2（2n +1）﹣1， 左边=（2n +1）2﹣4n 2=4n 2+4n +1﹣4n 2=4n +1， 右边=2（2n +1）﹣1=4n +2﹣1=4n +1． 左边=右边∴（2n +1）2﹣4n 2=2（2n +1）﹣1．………………10分 22．解：（1）120………………2分（2）条形统计图，如图所示，0.2元的圆心角是99°，……………4分0.3元的圆心角是36°……………6分 （3）该市场需销售塑料购物袋的个数是1875120753000=⨯……………8分类别只要谈的看法涉及环保、节能等方面，且观念积极向上，即可给分……10分23．解：（1）①∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形．………………………………2分②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，∵∠ACB=45°，AC=24cm∴AG==12，………………………………4分设DF=EC=x，平行四边形的高为h，则AH=12h，∵DF∥BC，∴=，∵BC=20cm，………………………………6分即：=∴x=×20，∵S=xh=x•×20=20h﹣h2．∴﹣=﹣=6，∵AH=12，∴AF=FC，∴在AC中点处剪四边形DECF，能使它的面积最大．…………………………8分（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．…………………11分24．y =(x －1)2－4 A (0,3) ……………………………………………3分y =－(x －1)2+4………………………………………………………6分m +n =1……………………………………………………………8分6 37+9 9－37…………………………………………11分25．（1）依题意得2y (30x 20)(23010x)10x 130x 2300=+--=-++自变量x 的取值范围是：0＜x ≤10且x 为正整数．…………………………………………………3分（2）当y =2520时，得210x 130x 23002520-++=，解得x 1=2，x 2=11（不合题意，舍去）． 当x =2时，30+x =32．∴每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．………………………………………………………………………………8分（3）22y 10x 130x 230010(x 6.5)2722.5=-++=--+∵a =－10＜0∴当x =6．5时，y 有最大值为2722．5 ．∵0＜x ≤10且x 为正整数，∴当x =6时，30+x =36，y =2720， 当x =7时，30+x =37，y =2720．∴每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润．最大的月利润是2720元．………………………………11分26．（1）①猜想：222AE CF EF +=…………2分②成立. …………………………4分证明：连结OB.∵AB =BC , ∠ABC =90°,O 点为AC 的中点， ∴12OB AC OC ==,∠BOC =90°,∠ABO =∠BCO =45°. ∵∠EOF =90°，∴∠EOB =∠FOC . 又∵∠EBO =∠FCO ，∴△OEB ≌△OFC （ASA ）.∴BE =CF ………………………………………………8分 又∵BA=BC , ∴AE =BF .在RtΔEBF 中，∵∠EBF =90°,222BF BE EF ∴+=.222AE CF EF ∴+=……………………………………………11分（2）14OE OF =. ………………………………………………………………13分C BA O F。

2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）2．（5分）（2015•新课标Ⅱ）若为a实数，且＝3+i，则a＝（）A．﹣4B．﹣3C．3D．43．（5分）（2015•新课标Ⅱ）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）（2015•新课标Ⅱ）＝（1，﹣1），＝（﹣1，2）则（2+）＝（）A．﹣1B．0C．1D．25．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5＝3，则S5＝（）A．5B．7C．9D．116．（5分）（2015•新课标Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．8．（5分）（2015•新课标Ⅱ）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a＝（）A．0B．2C．4D．149．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知等比数列{a n}满足a1＝，a3a5＝4（a4﹣1），则a2＝（）A．2B．1C．D．10．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π11．（5分）（2015•新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x ﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）二、填空题13．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a＝．14．（3分）（2015•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．15．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知双曲线过点且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是．16．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知曲线y＝x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，则a＝．三．解答题17．（2015•新课标Ⅱ）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC （Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC＝60°，求∠B．18．（2015•新课标Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．19．（12分）（2015•新课标Ⅱ）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．20．（2015•新课标Ⅱ）椭圆C：＝1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C 上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．21．（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015•新课标Ⅱ）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）（2015•新课标Ⅱ）设a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）（2015•新课标Ⅱ）若为a实数，且＝3+i，则a＝（）A．﹣4B．﹣3C．3D．4【分析】根据复数相等的条件进行求解即可．【解答】解：由，得2+ai＝（1+i）（3+i）＝2+4i，则a＝4，故选：D．【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础．3．（5分）（2015•新课标Ⅱ）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）（2015•新课标Ⅱ）＝（1，﹣1），＝（﹣1，2）则（2+）＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．【解答】解：因为＝（1，﹣1），＝（﹣1，2）则（2+）＝（1，0）•（1，﹣1）＝1；故选：C．【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．5．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5＝3，则S5＝（）A．5B．7C．9D．11【分析】由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5＝3＝3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5＝3＝3a3，解得a3＝1．则S5＝＝5a3＝5．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）（2015•新课标Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1＝，∴剩余部分体积为1﹣＝，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x＝1上，可设圆心P（1，p），由PA＝PB得|p|＝，得p＝圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|＝＝＝，故选：B．【点评】本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键．8．（5分）（2015•新课标Ⅱ）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a＝（）A．0B．2C．4D．14【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a＝b＝2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a＝14，b＝18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b＝4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b＝2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题．9．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知等比数列{a n}满足a1＝，a3a5＝4（a4﹣1），则a2＝（）A．2B．1C．D．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5＝4（a4﹣1），∴＝4，化为q3＝8，解得q＝2则a2＝＝．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．10．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体＝V C﹣AOB＝＝＝36，故积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABCR＝6，则球O的表面积为4πR2＝144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．11．（5分）（2015•新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP＝tan x，AP＝＝，此时f（x）＝+tan x，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB＝tan（π﹣∠POQ）＝tan x＝﹣tan∠POQ＝﹣＝﹣，∴OQ＝﹣，∴PD＝AO﹣OQ＝1+，PC＝BO+OQ＝1﹣，∴PA+PB＝，当x＝时，PA+PB＝2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB＝﹣tan x，由对称性可知函数f（x）关于x＝对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．12．（5分）（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x ﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣为偶函数，且在x≥0时，f（x）＝ln（1+x）﹣，导数为f′（x）＝+＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，所求x的取值范围是（，1）．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．二、填空题13．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a＝﹣2．【分析】f（x）是图象过点（﹣1，4），从而该点坐标满足函数f（x）解析式，从而将点（﹣1，4）带入函数f（x）解析式即可求出a．【解答】解：根据条件得：4＝﹣a+2；∴a＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．（3分）（2015•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为8．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z＝2x+y，得z＝2×3+2＝8．即z＝2x+y的最大值为8．故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知双曲线过点且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2＝1．【分析】设双曲线方程为y2﹣x2＝λ，代入点，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2＝λ，代入点，可得3﹣＝λ，∴λ＝﹣1，∴双曲线的标准方程是x2﹣y2＝1．故答案为：x2﹣y2＝1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．16．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知曲线y＝x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，则a＝8．【分析】求出y＝x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y ＝ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△＝0得到a的值．【解答】解：y＝x+lnx的导数为y′＝1+，曲线y＝x+lnx在x＝1处的切线斜率为k＝2，则曲线y＝x+lnx在x＝1处的切线方程为y﹣1＝2x﹣2，即y＝2x﹣1．由于切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，故y＝ax2+（a+2）x+1可联立y＝2x﹣1，得ax2+ax+2＝0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△＝a2﹣8a＝0，解得a＝8．故答案为：8．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．三．解答题17．（2015•新课标Ⅱ）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC （Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC＝60°，求∠B．【分析】（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；（Ⅱ）由∠C＝180°﹣（∠BAC+∠B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合（Ⅰ）中的结论得答案．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD＝2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C＝180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC＝60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B＝sin∠C，∴tan∠B＝，即∠B＝30°．【点评】本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题．18．（2015•新课标Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．【分析】（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可．（II）计算得出∁A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，∁B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，P（∁A），P（∁B），即可判断不满意的情况．【解答】解：（Ⅰ）通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记∁A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，∁B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，由直方图得P（∁A）＝（0.01+0.02+0.03）×10＝0.6得P（∁B）＝（0.005+0.02）×10＝0.25∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．【点评】本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档题．19．（12分）（2015•新课标Ⅱ）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【分析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；（Ⅱ）求出MH＝＝6，AH＝10，HB＝6，即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值．【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8．因为EFGH为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10，于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6．因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为．【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．20．（2015•新课标Ⅱ）椭圆C：＝1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C 上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．（2）设直线l：y＝kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K OM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解答】解：（1）椭圆C：＝1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2＝8，b2＝4，所求椭圆C方程为：．（2）设直线l：y＝kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），把直线y＝kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8＝0，故x M＝＝，y M＝kx M+b＝，于是在OM的斜率为：K OM＝＝，即K OM•k＝．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）＝lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）＝﹣a＝，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x＝取得最大值，最大值为f（）＝﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）＝lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）＝0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015•新课标Ⅱ）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；﹣S （2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC计算即可．△AEF【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE＝AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE＝AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO＝2OE，∴∠OAE＝30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE＝2，∴AO＝4，OE＝2，∵OM＝OE＝2，DM＝MN＝，∴OD＝1，∴AD＝5，AB＝，∴四边形EBCF的面积为×﹣××＝．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【分析】（I）由曲线C2：ρ＝2sinθ，化为ρ2＝2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ＝2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y＝x tanα，其中0≤α≤π，α≠；α＝时，为x＝0（y≠0）．其极坐标方程为：θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|＝即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ＝2sinθ，化为ρ2＝2ρsinθ，∴x2+y2＝2y．同理由C3：ρ＝2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y＝x tanα，其中0≤α≤π，α≠；α＝时，为x＝0（y≠0）．其极坐标方程为：θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|＝＝4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）（2015•新课标Ⅱ）设a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2＝a+b+2，（+）2＝c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b＝c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2＝（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b＝c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。

2015年河北省石家庄市新乐市中考数学一模试卷一、选择题：共16小题，1～6小题，每小题2分，7′16小题，每小题2分，共42分2015年初中毕业生升学文化课模拟考试1．（2分）和﹣2的相反数相等的是（）A．﹣2的平方B．﹣2的倒数C．﹣2的绝对值D．4的平方根2．（2分）如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，∠2＝55°，则∠3的度数是（）A．50°B．53°C．55°D．58°3．（2分）下列各式成立的是（）A．4＜＜5B．（x+1）（x+2）＝x2+3x+2C．2﹣3＝3﹣2D．x3•x2＝x3﹣x24．（2分）下面四个图形是多面体的展开图，其中不是棱柱的展开图的是（）A．B．C．D．5．（2分）a、b在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是（）A．a﹣b＜0B．ab＞0C．﹣a＜b D．|a|＜|b|6．（2分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．（3分）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2B．2x2﹣2＝2（x+1）（x﹣1）C．x2y﹣xy＝y（x2﹣x）D．x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+18．（3分）一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．9．（3分）已知二次函数y＝﹣（x+k）2+h，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（）A．k≥﹣2B．k≤﹣2C．k≥2D．k≤210．（3分）如图，点O是△ABC内一点、分别连接OA、OB、OC并延长到点D、E、F，使AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积是3，则阴影部分的面积是（）A．6B．15C．24D．2711．（3分）如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD＝22.5°，若CD＝6cm，则AB的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．2cm 12．（3分）△ABC中，AB＝AC，在△ABC内求作一点O，使点O到三边的距离相等．甲同学的作法是（1）以B为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB、BC于E，D，再分别以E，D为圆心，大于ED的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线BF；（2）分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧交于点G，H，作直线GH，直线GH与射线BF交于O．点O即为所求的点．（作图痕迹如图1）乙同学的作法是：（1）以B为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，BC于D，E，再分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧交于F，作射线BF；（2）以C为圆心，以任意长为半径作弧分别交AC，BC于H，G再分别以G，H为圆心，以大于GH的长为半径作弧，两弧交于点M，作射线CM，射线CM与射线BF交于点O．点O即为所求的点（作图痕迹如图2），对于两人的作法，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．乙对，甲不对13．（3分）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象相交于A，B两点，其中A（﹣1，3），直线y＝kx﹣k+2与坐标轴分别交于C，D两点，下列说法：①k＜0；②点B的坐标为（3，﹣1）；③当x ＜﹣1时，＜kx﹣k+2；④tan∠OCD＝﹣，其中正确的是（）A．①③B．①②④C．①③④D．①②③④14．（3分）一个盒子里有完全相同的四个小球，球上分别标有﹣2，0，1，2，随机从盒子里摸出两个小球，上面的数字之和不为0的概率为（）A．B．C．D．15．（3分）如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN＝6，PN＝4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为（）A．4B．2C．7D．816．（3分）如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm 的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（s），y ＝PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题：（共4小题，每小题3分，共12分）17．（3分）4﹣＝．18．（3分）如果（x﹣）3＝ax3+bx2+cx+d，则a+b+c+d＝．19．（3分）对于x，y定义一种新运算“*”：x*y＝3x﹣2y，等式右边是通常的减法和乘法运算，如2*5＝3×2﹣2×5＝﹣4，那么（x+1）*（x﹣1）≥5的解集是．20．（3分）图1，是一个由边长为1的小正方形木块摆放在地上而成的图形，图2，图3也是由边长为1的小正方体木块叠放在地上而成，要给露在外面的小正方体表面涂上油漆（底面不涂），按照这样的规律继续叠放下去，到第7个叠放的图形中，涂到油漆部分的面积是．三、解答题（本题共6题，共66分）21．（10分）已知，m是不等式组的最小整数解，求•（m﹣）﹣3m的值．22．（10分）已知，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于A，与y轴交于C，以O，A，C为顶点在第一象限作矩形OABC．（1）求点B的坐标，并在坐标系中画出函数y＝﹣x+6的图象和矩形OABC．（2）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△OAC有公共点，求k的取值范围．（3）在线段AC上存在点P，以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出P点的坐标．23．（11分）如图1，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）如图2，若∠ABC＝60°，连接CF，并将△EFC绕点E顺时针旋转，使点F落在BC的延长线上点F′处，点C落在点C′处，求证：点C′和点F之间的距离等于平行四边形ABCD较短对角线的长．（3）在（2）的基础上，若AB＝6，AD＝8，求点C′和点F之间的距离．24．（11分）2015年某企业有4000名职工，为了了解职工本年度第一季度网上购物的情况，该企业从中随机抽取了350名职工，按年龄分布和对网上购物情况进行了调查统计，并将统计结果绘成了频数分布直方图（每个组距包含左边的数，但不包含右边的数）和扇形图．（1）这次调查中，如果被调查职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是哪一段？（2）你估计这个企业的4000名职工中，从不网购的有多少人？（3）统计显示，买同样的商品，经常网购的人比在一般商店购买能节省20%，偶尔网购的人比在一般商店购买能节省15%，样本中，职工第一季度网购商品共消费24500元，这些商品若在一般商店购买需要30000元，请问，经常网购的一组和偶尔网购的一组本季度网购商品各消费多少元？（4）如果在样本中，本季度网购情况如下表：请你计算该样本中，本季度进行网购的人平均每人网上购物几次？25．（12分）如图1，AB是⊙O的直径，AB＝10，C是⊙O上的一点，将弧BC 沿弦BC翻折，交AB于点D，连接CD并延长，交⊙O于点E，连接BE．（1）当AD＝2时，BE的长是．（2）当点D位于线段OA上时（不与点A重合），设∠ABC＝a，则a的取值范围是．（3）当∠ABC＝15°时，点D和点O的距离是．（4）如图2，设所在圆的圆心是O′，当BE与⊙O相切时，求BE的长．26．（12分）近年来，国家大力提倡大学生创业，2015年小王就要毕业了，因为他学的是市场营销专业，所以毕业后想开一个商店，经过市场调研发现，若投资一个面积为x（单位：m2）的商铺，所需购买费用（单位：万元）与x+2成正比例，装修费用（单位：万元）与x2成正比例，并在调查过程中得到了表格中的数据：（1）如果小王用从银行贷款30万元、父亲资助20万元、自己大学期间勤工俭学的收入1.6万元，共51.6万元投资一个商铺，请计算小王投资的这个商铺的面积为多少平方米；（总费用＝购买费用+装修费用）（2）购买商铺后，小王准备经营童鞋专卖店，已知专卖店代理的某品牌童鞋的进价为每双40元，该品牌童鞋日销售量y（双）与销售单价x（元/双）之间的关系式为：y＝①求他的销售利润w（元）与销售单价x（元/双）之间的函数关系式．②小王每月需向银行还贷2075元，另童鞋店每月需缴纳水电费、营业税等固定费用3000元，通过计算判断，小王每月（按30天计算）能否有盈余？如果有，最多盈余多少元？（盈余＝销售利润﹣固定费用﹣银行贷款）2015年河北省石家庄市新乐市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：共16小题，1～6小题，每小题2分，7′16小题，每小题2分，共42分2015年初中毕业生升学文化课模拟考试1．（2分）和﹣2的相反数相等的是（）A．﹣2的平方B．﹣2的倒数C．﹣2的绝对值D．4的平方根【解答】解：∵﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，|﹣2|＝2，故选：C．2．（2分）如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，∠2＝55°，则∠3的度数是（）A．50°B．53°C．55°D．58°【解答】解：∵DE∥AC，∠2＝55°，∴∠BAC＝55°．∵AF∥BC，∠1＝70°，∴∠3+∠BAC＝180°﹣70°＝110°．∴∠3＝110°﹣55°＝55°．故选：C．3．（2分）下列各式成立的是（）A．4＜＜5B．（x+1）（x+2）＝x2+3x+2C．2﹣3＝3﹣2D．x3•x2＝x3﹣x2【解答】解：A、∵9＜11＜16，∴3＜＜4，本选项错误；B、原式＝x2+2x+x+2＝x2+3x+2，正确；C、2﹣3＝＝，3﹣2＝＝，两者不相等，错误；D、原式＝x5，错误．故选：B．4．（2分）下面四个图形是多面体的展开图，其中不是棱柱的展开图的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、6个正方形能围成一个正方体，所以，这是正方体的展开图；故本选项错误；B、6个长方形可以围成长方体．所以，这是长方体的展开图；故本选项错误；C、三个长方形和两个三角形能围成一个三棱柱，所以，这是三棱柱的展开图；故本选项错误．D、一个四边形和四个三角形能围成四棱锥，所以，这是四棱锥的展开图；故本选项正确；故选：D．5．（2分）a、b在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是（）A．a﹣b＜0B．ab＞0C．﹣a＜b D．|a|＜|b|【解答】解：A、∵a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0，故正确；B、ab＜0，故错误；C、﹣a＞b，故错误；D、|a|＞|b|，故错误；故选：A．6．（2分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．7．（3分）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2B．2x2﹣2＝2（x+1）（x﹣1）C．x2y﹣xy＝y（x2﹣x）D．x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1【解答】解：A、原式不能分解，错误；B、原式＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1），正确；C、原式＝xy（x﹣1），错误；D、原式不能分解，错误．故选：B．8．（3分）一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，△＝4﹣4m≥0，∴m≤1故选：D．9．（3分）已知二次函数y＝﹣（x+k）2+h，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（）A．k≥﹣2B．k≤﹣2C．k≥2D．k≤2【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣k，因为a＝﹣1＜0，所以抛物线开口向下，所以当x＞﹣k时，y的值随x值的增大而减小，而x＞﹣2时，y的值随x值的增大而减小，所以﹣k≤﹣2，所以k≥2．故选：C．10．（3分）如图，点O是△ABC内一点、分别连接OA、OB、OC并延长到点D、E、F，使AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积是3，则阴影部分的面积是（）A．6B．15C．24D．27【解答】解：∵AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，∴＝＝＝，∴△ABC∽△DEF，∴＝＝，∵△ABC的面积是3，∴S△DEF＝27，∴S阴影＝S△DEF﹣S△ABC＝24．故选：C．11．（3分）如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD＝22.5°，若CD＝6cm，则AB的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．2cm【解答】解：连结OA，如图，∵∠ACD＝22.5°，∴∠AOD＝2∠ACD＝45°，∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，∴AE＝BE，△OAE为等腰直角三角形，∴AE＝OA，∵CD＝6，∴OA＝3，∴AE＝，∴AB＝2AE＝3（cm）．故选：B．12．（3分）△ABC中，AB＝AC，在△ABC内求作一点O，使点O到三边的距离相等．甲同学的作法是（1）以B为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB、BC于E，D，再分别以E，D为圆心，大于ED的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线BF；（2）分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧交于点G，H，作直线GH，直线GH与射线BF交于O．点O即为所求的点．（作图痕迹如图1）乙同学的作法是：（1）以B为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，BC于D，E，再分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧交于F，作射线BF；（2）以C为圆心，以任意长为半径作弧分别交AC，BC于H，G再分别以G，H为圆心，以大于GH的长为半径作弧，两弧交于点M，作射线CM，射线CM与射线BF交于点O．点O即为所求的点（作图痕迹如图2），对于两人的作法，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．乙对，甲不对【解答】解：对于甲同学的作法：连结OC，如图1，BF平分∠ABC，GH垂直平分BC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵GH垂直平分BC，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，而∠OBC＝∠ABC，∴∠OCB＝∠ACB，∴OC平分∠ACB，∴点O即为所求的点；所以甲同学的作法正确；对于乙同学的作法：BF平分∠ABC，CM平分∠ACB，则点O为△ABC两内角的角平分线，所以点O即为所求的点；所以乙同学的作法正确．故选：A．13．（3分）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象相交于A，B两点，其中A（﹣1，3），直线y＝kx﹣k+2与坐标轴分别交于C，D两点，下列说法：①k＜0；②点B的坐标为（3，﹣1）；③当x ＜﹣1时，＜kx﹣k+2；④tan∠OCD＝﹣，其中正确的是（）A．①③B．①②④C．①③④D．①②③④【解答】解：∵反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k+2的图象都过点A（﹣1，3），∴3＝，3＝﹣k﹣k+2，∴k＝﹣3，k＝﹣，①k＜0正确；∵反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+在同一直角坐标系中的图象相交于A，B两点，可得点B的坐标为（6，﹣），∴②点B的坐标为（3，﹣1）错误；③由图象可得，当x＜﹣1时，＜kx﹣k+2，正确；④tan∠OCD＝＝，正确；故选：C．14．（3分）一个盒子里有完全相同的四个小球，球上分别标有﹣2，0，1，2，随机从盒子里摸出两个小球，上面的数字之和不为0的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：列树状图得，，数字之和不为0的有10种情况，P＝＝．15．（3分）如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN＝6，PN＝4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为（）A．4B．2C．7D．8【解答】解：如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，在Rt△PNE中，PN＝4，NE＝MN＝3，根据勾股定理得：PE＝＝5，在Rt△AMN中，AE为斜边MN上的中线，∴AE＝MN＝3，则AP的最大值为AE+EP＝5+3＝8．故选：D．16．（3分）如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm 的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（s），y ＝PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵正△ABC的边长为3cm，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AC＝3cm．①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP＝xcm（0≤x≤3）；根据余弦定理知cos A＝，即＝，解得，y＝x2﹣3x+9（0≤x≤3）；该函数图象是开口向上的抛物线；解法二：过C作CD⊥AB，则AD＝1.5cm，CD＝cm，点P在AB上时，AP＝xcm，PD＝|1.5﹣x|cm，∴y＝PC2＝（）2+（1.5﹣x）2＝x2﹣3x+9（0≤x≤3）该函数图象是开口向上的抛物线；②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC＝（6﹣x）cm（3＜x≤6）；则y＝（6﹣x）2＝（x﹣6）2（3＜x≤6），∴该函数的图象是在3＜x≤6上的抛物线；故选：C．二、填空题：（共4小题，每小题3分，共12分）17．（3分）4﹣＝0．【解答】解：4﹣＝4×﹣2＝0．故答案为：0．18．（3分）如果（x﹣）3＝ax3+bx2+cx+d，则a+b+c+d＝．【解答】解：令x＝1，则ax3+bx2+cx+d＝a+b+c+d，∴a+b+c+d＝（1﹣）3＝＝故答案为：．19．（3分）对于x，y定义一种新运算“*”：x*y＝3x﹣2y，等式右边是通常的减法和乘法运算，如2*5＝3×2﹣2×5＝﹣4，那么（x+1）*（x﹣1）≥5的解集是x≥0．【解答】解：∵（x+1）*（x﹣1）≥5，∴3（x+1）﹣2（x﹣1）≥5，∴3x+3﹣2x+2≥5，x≥0，故答案为：x≥0．20．（3分）图1，是一个由边长为1的小正方形木块摆放在地上而成的图形，图2，图3也是由边长为1的小正方体木块叠放在地上而成，要给露在外面的小正方体表面涂上油漆（底面不涂），按照这样的规律继续叠放下去，到第7个叠放的图形中，涂到油漆部分的面积是281．【解答】解：由图形可知：从正面看，需涂色的面有：1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2，所以，从前、后、左、右看，需涂色的面有4n2，从上面看，需涂色的面有：1+3+5+…+（2n﹣1）+…5+3+1＝2n2﹣2n+1，所以，第n个叠放的图形中，涂上颜色的面有：6n2﹣2n+1；因此第7个叠放的图形中，涂到油漆部分的面积是6×72﹣2×7+1＝281．故答案为：281．三、解答题（本题共6题，共66分）21．（10分）已知，m是不等式组的最小整数解，求•（m﹣）﹣3m的值．【解答】解：，由①得：x≥，由②得：x＞3，∴不等式组的解集是x＞3，由m是不等式组的最小整数解，得到m＝4，原式＝•﹣3m＝m+1﹣3m＝﹣2m+1，当m＝4时，原式＝﹣8+1＝﹣7．22．（10分）已知，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于A，与y轴交于C，以O，A，C为顶点在第一象限作矩形OABC．（1）求点B的坐标，并在坐标系中画出函数y＝﹣x+6的图象和矩形OABC．（2）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△OAC有公共点，求k的取值范围．（3）在线段AC上存在点P，以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出P点的坐标．【解答】解：（1）由＝0，得x＝8，∴A（8，0），当x＝0时，＝6，∴C（0，6），∵四边形ABCD是矩形，∴∠AOC＝∠OAB＝∠ABC＝∠OCB＝90°，AB＝OC＝6，OA＝BD＝8，∴B（8，6），函数的图象和矩形OABC如图1所示：（2）反比例函数（x＞0）的图象与△OAC有公共点，也就是与线段AC有公共点，∴k＞0且方程有实数解，即方程﹣x2+6x﹣k＝0有实数解，∴△＝62﹣4×（﹣）×（﹣k）≥0，解得：k≤12，又∵k＞0，∴k的取值范围是0＜k≤12；（3）分两种情况：①当PB＝PC时，点P在BC的垂直平分线上，∴点P的坐标为：（4，3）；②当PC＝BC时，PC＝BC＝8，∵AC＝＝＝10，∴P A＝AC﹣PC＝2，作PD⊥OA于D，如图2所示：则PD∥OC，∴△ADP∽△AOC，∴，即，∴PD＝，AD＝，∴OD＝8﹣＝，∴点P的坐标为：（，）；综上所述：点P的坐标是（4，3）或（）．23．（11分）如图1，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）如图2，若∠ABC＝60°，连接CF，并将△EFC绕点E顺时针旋转，使点F落在BC的延长线上点F′处，点C落在点C′处，求证：点C′和点F之间的距离等于平行四边形ABCD较短对角线的长．（3）在（2）的基础上，若AB＝6，AD＝8，求点C′和点F之间的距离．【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠5∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠5∴AB＝BE，同理，AB＝AF，∴AF＝BE又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，又∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形，（2）如图2，连接CA，C'F，∵∠ABC＝60°，四边形ABEF是菱形．∴∠AEB＝∠AEF＝∠FEC＝∠F'EC'＝60°，∴∠AEC＝∠FEC'＝120在△AEC和△FEC'∴△AEC≌△FEC'，∴AC＝FC'；（3）如图2，由∠F'EC'＝60°，∠AEC＝∠FEC′＝120°，可知点A，E，C 三点在同一条直线上，∵∠ABC＝60°，四边形ABEF是菱形，∴BF⊥AE，PF＝BP，△ABE是等边三角形，∴PE＝BE＝3，PF＝BP＝BE•cos30°＝3，∵EC'＝EC＝8﹣6＝2，∴在Rt△C'PF中，C′F＝＝＝2．24．（11分）2015年某企业有4000名职工，为了了解职工本年度第一季度网上购物的情况，该企业从中随机抽取了350名职工，按年龄分布和对网上购物情况进行了调查统计，并将统计结果绘成了频数分布直方图（每个组距包含左边的数，但不包含右边的数）和扇形图．（1）这次调查中，如果被调查职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是哪一段？（2）你估计这个企业的4000名职工中，从不网购的有多少人？（3）统计显示，买同样的商品，经常网购的人比在一般商店购买能节省20%，偶尔网购的人比在一般商店购买能节省15%，样本中，职工第一季度网购商品共消费24500元，这些商品若在一般商店购买需要30000元，请问，经常网购的一组和偶尔网购的一组本季度网购商品各消费多少元？（4）如果在样本中，本季度网购情况如下表：请你计算该样本中，本季度进行网购的人平均每人网上购物几次？【解答】解：（1）这次调查中，如果职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是25﹣35之间；（2）4000×（1﹣40%﹣22%）＝1520（人）；（3）设经常网购的一组网购共消费m元，偶尔网购的一组网购共消费n元．由题意得，解得．所以经常网购的一组网购共消费16000元，偶尔网购的一组网购共消费8500元；（4）．25．（12分）如图1，AB是⊙O的直径，AB＝10，C是⊙O上的一点，将弧BC 沿弦BC翻折，交AB于点D，连接CD并延长，交⊙O于点E，连接BE．（1）当AD＝2时，BE的长是8．（2）当点D位于线段OA上时（不与点A重合），设∠ABC＝a，则a的取值范围是0＜a≤30°．（3）当∠ABC＝15°时，点D和点O的距离是5﹣5．（4）如图2，设所在圆的圆心是O′，当BE与⊙O相切时，求BE的长．【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠DBC，∴．∴AC＝DC．∴∠CAD＝∠CDA∵∠CAD＝∠DEB，∠CDA＝∠BDE，∴∠BDE＝∠BED．∴BE＝BD．∴BE＝AB﹣AD＝10﹣2＝8；（2）当点D与点A重合时，点C与点A重合，此时，∠ABC＝a＝0°，如图1，当点D与点O重合时．则DC＝DA．由（1）可知：AC＝DC，又∵DC＝AD，∴AC＝DC＝AD．∴∠ADC＝60°．∴∠ABC＝30°．∴0°＜α≤30°（3）如图2所示：过点C作CF⊥AB，垂足为F，连接OC．∵∠ABC＝15°，∴∠COF＝30°．在Rt△CFO中，cos∠COF＝，∴OF＝．∵AC＝DC，CF⊥AD，∴AF＝DF．∴AD＝2AF＝2（OA﹣OF）＝2（5﹣）＝10﹣5．∴OD＝OA﹣AD＝5﹣（10﹣5）＝5﹣5；（4）如图3，作⊙O'的直径BF，连接FD、OE．∵BE与⊙O'相切，∴BE⊥BF．∴∠FBD+DBE＝90°．∵BF是⊙O'的直径，∴∠FDB＝90°．∴∠FBD+∠DFB＝90°．∴∠DBE＝∠DFB．∵∠DFB＝∠DCB，∠DBE＝∠ACE，∴∠DBE＝∠DFB＝∠DCB＝∠ACE．∵∠ACB＝90°，∴∠DBE＝∠DFB＝∠DCB＝∠ACE＝45°．∵OB＝OE，∠ABE＝45°，∴∠OEB＝45°．∴∠BOE＝90°．在Rt△OBE中，BE＝＝5．26．（12分）近年来，国家大力提倡大学生创业，2015年小王就要毕业了，因为他学的是市场营销专业，所以毕业后想开一个商店，经过市场调研发现，若投资一个面积为x（单位：m2）的商铺，所需购买费用（单位：万元）与x+2成正比例，装修费用（单位：万元）与x2成正比例，并在调查过程中得到了表格中的数据：（1）如果小王用从银行贷款30万元、父亲资助20万元、自己大学期间勤工俭学的收入1.6万元，共51.6万元投资一个商铺，请计算小王投资的这个商铺的面积为多少平方米；（总费用＝购买费用+装修费用）（2）购买商铺后，小王准备经营童鞋专卖店，已知专卖店代理的某品牌童鞋的进价为每双40元，该品牌童鞋日销售量y（双）与销售单价x（元/双）之间的关系式为：y＝①求他的销售利润w（元）与销售单价x（元/双）之间的函数关系式．②小王每月需向银行还贷2075元，另童鞋店每月需缴纳水电费、营业税等固定费用3000元，通过计算判断，小王每月（按30天计算）能否有盈余？如果有，最多盈余多少元？（盈余＝销售利润﹣固定费用﹣银行贷款）【解答】解：（1）由条件：投资一个面积为x（单位：m2）的商铺，所需购买费用（单位：万元）与x+2成正比例，装修费用（单位：万元）与x2成正比例，和表格中的数据可得，商铺面积是x平方米时购买费用是（0.6x+1.2）万元、装修费用是0.3x2万元，由题意列方程，0.3x2+0.6x+1.2＝51.6即（x+1）2＝169，解得x1＝12，x2＝﹣14（舍去）所以，小王投资的这个商铺的面积为12平方米；（2）①当40≤x≤58时，w＝（x﹣40）（﹣2x+140）＝﹣2x2+220x﹣5600，当58＜x≤71时，w＝（x﹣40）（﹣x+82）＝﹣x2+122x﹣3280，所以，w（元）与销售单价x（元/双）之间的函数关系式为：，②当40≤x≤58x＝55时，w＝﹣2x2+220x﹣5600＝﹣2（x﹣55）2+450所以，当时，日最大销售利润为450元，月最大销售利润是13500元，月最大盈余：13500﹣2075﹣3000＝8420元，当58＜x≤71时，w＝﹣x2+122x﹣3280＝﹣（x﹣61）2+441，当x＝61时，日最大利润是441元，月最大销售利润是13230元，月最大盈余：13230﹣2075﹣3000＝8155元，答：小王每月（按30天计算）能有盈余，最多盈余8420元．。

2015年河北省石家庄市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知i为虚数单位，则复数＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i 2．（5分）已知集合P＝{0，1，2}，Q＝{y|y＝3x}，则P∩Q＝（）A．{0，1，2}B．{0，1}C．{1，2}D．∅3．（5分）命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q：x2+y2≥2xy，下列命题为假命题的是（）A．p或q B．p且q C．q D．￢p4．（5分）设函数f（x）为偶函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝log2x，则f（﹣）＝（）A．﹣B．C．2D．﹣25．（5分）已知cosα＝k，k∈R，α∈（，π），则sin（π+α）＝（）A．﹣B．C．±D．﹣k6．（5分）函数f（x）＝tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f（）的值是（）A．﹣B．C．1D．7．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S 为（）A．2B．2C．4D．68．（5分）在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M﹣PBC的体积为（）A．1B．C．D．与M点的位置有关9．（5分）已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B 地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A．1﹣B．C．1﹣D．10．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+11．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64B．72C．80D．11212．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c＝0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则b+c的取值范围为（）A．（﹣∞，3）B．（0，3]C．[0，3]D．（0，3）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知平面向量，的夹角为，||＝2，||＝1，则|+|＝．14．（5分）已知等差数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和，若a2，a4是方程x2﹣6x+5＝0的两个根，则S6的值为．15．（5分）若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的范围是．16．（5分）设过曲线f（x）＝﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）＝ax+2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n+1＝λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和．18．（12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式（2）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件）整理得表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[400，500]的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2，AP＝AD＝AB＝，∠P AB＝∠P AD＝α．（1）试在棱P A上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值；（2）当α＝60°时，求证：CD⊥平面PBD．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，以动圆经过点（1，0）且与直线x＝﹣1相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）已知点A（5，0），倾斜角为的直线l与线段OA相交（不经过点O或点A）且与曲线E交于M、N两点，求△AMN面积的最大值，及此时直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝2（a+1）lnx﹣ax，g（x）＝x2﹣x．（1）若函数f（x）在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；（2）证明：若﹣1＜a＜7，则对于任意x1、x2∈（1，+∞），x1≠x2，有＞﹣1．22．（10分）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F 连接CE．（1）求证：AG•EF＝CE•GD；（2）求证：．23．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2．（Ⅰ）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程．（Ⅱ）已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．24．已知函数f（x）＝的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+＝n时，求7a+4b的最小值．2015年河北省石家庄市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知i为虚数单位，则复数＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i【解答】解：＝，故选：C．2．（5分）已知集合P＝{0，1，2}，Q＝{y|y＝3x}，则P∩Q＝（）A．{0，1，2}B．{0，1}C．{1，2}D．∅【解答】解：∵集合P＝{0，1，2}，Q＝{y|y＝3x}＝{y|y＞0}，∴P∩Q＝{1，2}，故选：C．3．（5分）命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q：x2+y2≥2xy，下列命题为假命题的是（）A．p或q B．p且q C．q D．￢p【解答】解：x＝，y＝π，满足sin x＞sin y，但x＜y；∴命题p是假命题；x2+y2≥2xy，这是基本不等式；∴命题q是真命题；∴p或q为真命题，p且q为假命题，q是真命题，￢p是真命题；∴是假命题的是B．故选：B．4．（5分）设函数f（x）为偶函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝log2x，则f（﹣）＝（）A．﹣B．C．2D．﹣2【解答】解：f（x）为偶函数；∴f（）＝f（）又x＞0时，f（x）＝log2x；∴＝；即f（﹣）＝．故选：B．5．（5分）已知cosα＝k，k∈R，α∈（，π），则sin（π+α）＝（）A．﹣B．C．±D．﹣k【解答】解：∵cosα＝k，k∈R，α∈（，π），∴sinα＝＝，∴sin（π+α）＝﹣sinα＝﹣．故选：A．6．（5分）函数f（x）＝tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f（）的值是（）A．﹣B．C．1D．【解答】解：∵f（x）＝tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，∴函数的周期T＝，即＝，则ω＝2，则f（x）＝tan2x则f（）＝tan（2×）＝tan＝，故选：D．7．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S为（）A．2B．2C．4D．6【解答】解：模拟执行程序框图，可得S＝1，i＝1满足条件i≤4，S＝1，i＝2满足条件i≤4，S＝，i＝3满足条件i≤4，S＝2，i＝4满足条件i≤4，S＝2，i＝5不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为2．故选：B．8．（5分）在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M﹣PBC的体积为（）A．1B．C．D．与M点的位置有关【解答】解：如图所示，连接BC1，取＝，则PN∥D1C1，，PN＝1，∵D1C1⊥平面BCC1B1，∴PN⊥平面BCC1B1，即PN是三棱锥P﹣BCM的高．∴V三棱锥M﹣PBC ＝V三棱锥P﹣BCM＝＝＝．故选：B．9．（5分）已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B 地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A．1﹣B．C．1﹣D．【解答】解：由题意，△AOB是直角三角形，OA＝OB＝2，所以AB＝2，O地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与AB相交于C，D两点，作OE⊥AB，则OE＝，所以CD＝2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1﹣＝1﹣．故选：A．10．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+【解答】解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为（，p），代入双曲线方程得，又＝c代入化简得c4﹣6a2c2+a4＝0∴e4﹣6e2+1＝0∴e2＝3+2＝（1+）2∴e＝+1故选：C．11．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64B．72C．80D．112【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43＝64，上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积×，故该几何体的体积是64+8＝72．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c＝0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则b+c的取值范围为（）A．（﹣∞，3）B．（0，3]C．[0，3]D．（0，3）【解答】解：根据题意作出f（x）的简图：由图象可得当f（x）∈（0，1]时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中“方程f2（x）﹣bf（x）+c＝0有8个不同实数解”，可以分解为形如关于k的方程k2﹣bk+c＝0有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于等于1的实数．列式如下：，化简得，此不等式组表示的区域如图：令z＝b+c，则z＝b+c在（2，1）处z＝3，在（0，0）处z＝0，所以b+c的取值范围为（0，3），故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知平面向量，的夹角为，||＝2，||＝1，则|+|＝．【解答】解：∵平面向量，的夹角为，||＝2，||＝1，∴＝||•||cos＝2×＝﹣1，∴|+|2＝（）2＝||2+||2+2＝4+1﹣2＝3，即|+|＝．故答案为：．14．（5分）已知等差数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和，若a2，a4是方程x2﹣6x+5＝0的两个根，则S6的值为24．【解答】解：由a2，a4是方程x2﹣6x+5＝0的两个根，得，由已知得a4＞a2，∴解得a2＝1，a4＝5，∴d＝，则a1＝a2﹣d＝1﹣2＝﹣1，∴．故答案为：24．15．（5分）若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的范围是（0，1）．【解答】解：由题意作出其平面区域，当直线y＝kx+3与AB重合时，k＝0，是直角三角形，当直线y＝kx+3与AD重合时，k＝1，是直角三角形；故若区域为一个锐角三角形及其内部，则0＜k＜1；故答案为：（0，1）．16．（5分）设过曲线f（x）＝﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）＝ax+2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为[﹣1，2]．【解答】解：由f（x）＝﹣e x﹣x，得f′（x）＝﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，且k1k2＝﹣1，∴∈（0，1），由g（x）＝ax+2cos x，得g′（x）＝a﹣2sin x，又﹣2sin x∈[﹣2，2]，∴a﹣2sin x∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f（x）＝﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）＝ax+2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为﹣1≤a≤2．故答案为：[﹣1，2]．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n+1＝λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和．【解答】解：（1）∵a n+1＝λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），∴当n≥2时，a n＝λS n﹣1+1，∴a n+1﹣a n＝λa n，即a n+1＝（1+λ）a n，又a1＝1，a2＝λa1+1＝λ+1，∴数列{a n}为以1为首项，公比为λ+1的等比数列，∴a3＝（λ+1）2，∵a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．∴4（λ+1）＝1+（λ+1）2+3，整理得（λ﹣1）2＝0，解得λ＝1．∴a n＝2n﹣1，b n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2．（2）a n b n＝（3n﹣2）•2n﹣1，∴数列{a n b n}的前n项和T n＝1+4×2+7×22+…+（3n﹣2）•2n﹣1，2T n＝2+4×22+7×23+…+（3n﹣5）×2n﹣1+（3n﹣2）×2n，∴﹣T n＝1+3×2+3×22+…+3×2n﹣1﹣（3n﹣2）×2n＝﹣（3n ﹣2）×2n＝（5﹣3n）×2n﹣5，∴T n＝（3n﹣5）×2n+5．18．（12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式（2）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件）整理得表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[400，500]的概率．＝50n+（10﹣n）×（﹣10）＝60n﹣100，【解答】解：（1）当1≤n≤10时，y利润＝50×10+（n﹣10）×30＝200+30n，当n＞10时，y利润＝，所以函数解析式y利润（2）∵日需求量为8，频数9天，利润为50×8﹣10×2＝380，日需求量为9，频数11天，利润为50×9﹣10×1＝440，日需求量为10，频数15，利润为50×10＝500，日需求量为11，频数10，利润为50×10+30＝530，日需求量为12，频数5，利润为50×10+30×2＝560，∴当天的利润在区间[400，500]有11+15＝26天，故当天的利润在区间[400，500]的概率为．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2，AP＝AD＝AB＝，∠P AB＝∠P AD＝α．（1）试在棱P A上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值；（2）当α＝60°时，求证：CD⊥平面PBD．【解答】解：（1）连接AC，BD，相交于O，过O作OE∥PC，与P A交于E，如图1，则PC∥平面BDE，此时AE：EP＝AO：OC＝AD：BC＝：＝1：2；（2）当α＝60°时，△P AD和△P AB都是等边三角形，PB＝PD，过A作AF⊥BD，则F为BD的中点，所以PF⊥BD，BD＝2，所以AF＝PF＝BD＝1，所以PF2+AF2＝P A2，所以PF ⊥AF，所以PF⊥平面ABCD，所以PF⊥CD，过D作DH⊥BC，则DH＝AB＝，HC＝，所以CD＝2，所以CD2+BD2＝BC2，所以CD⊥BD，BD∩PF＝F，所以CD⊥平面PBD．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，以动圆经过点（1，0）且与直线x＝﹣1相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）已知点A（5，0），倾斜角为的直线l与线段OA相交（不经过点O或点A）且与曲线E交于M、N两点，求△AMN面积的最大值，及此时直线l的方程．【解答】解：（1）由题意得圆心到（1，0）的距离等于直线x＝﹣1的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程为：y2＝4x．（2）由题意，可设l的方程为y＝x﹣m，其中，0＜m＜5．由方程组，消去y，得x2﹣（2m+4）x+m2＝0，①当0＜m＜5时，方程①的判别式△＝（2m+4）2﹣4m2＝16（1+m）＞0成立．设M（x1，y1），N（x2，y2），则；x1+x2＝4+2m，x1x2＝m2，∴|MN|＝＝＝＝4又∵点A到直线l的距离为d＝∴S＝2（5﹣m）△令f（m）＝m3﹣9m2+15m+25，（0＜m＜5）f'（m）＝3m2﹣18m+15＝3（m﹣1）（m﹣5），（0＜m＜5）∴函数f（m）在（0，1）上单调递增，在（1，5）上单调递减．当m＝1时，f（m）有最大值32，故当直线l的方程为y＝x﹣1时，△AMN的最大面积为821．（12分）已知函数f（x）＝2（a+1）lnx﹣ax，g（x）＝x2﹣x．（1）若函数f（x）在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；（2）证明：若﹣1＜a＜7，则对于任意x1、x2∈（1，+∞），x1≠x2，有＞﹣1．【解答】解：（1）f（x）＝2（a+1）lnx﹣ax的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2（a+1）﹣a＝，∵f′（2）＝1，又∵函数f（x）在定义域内为单调函数，∴f′（x）＝≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a（2﹣x）+2≥0在（0，+∞）上恒成立，即﹣ax+2a+2≥0在（0，+∞）上恒成立，故，解得，﹣1≤a≤0；（2）证明：∵g（x）＝x2﹣x在（1，+∞）上是增函数，∴对于任意x1、x2∈（1，+∞），x1≠x2，不妨设x1＞x2，则g（x1）＞g（x2）；则＞﹣1可化为f（x1）﹣f（x2）＞﹣（g（x1）﹣g（x2）），即证f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），令H（x）＝f（x）+g（x）＝2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x，H′（x）＝2（a+1）﹣a+x﹣1＝，令M（x）＝x2﹣（a+1）x+2（a+1），①﹣1＜a≤1时，0＜a+1≤2，故M（x）＝x2﹣（a+1）x+2（a+1）在（1，+∞）上是增函数，故M（x）＞M（1）＝1﹣a﹣1+2a+2＝a+2＞0，②1＜a＜7时，M（x）＝x2﹣（a+1）x+2（a+1）的对称轴x＝∈（1，+∞），故M（x）≥（）2﹣（a+1）+2（a+1）＝（a+1）（7﹣a）＞0，故﹣1＜a＜7时，M（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，即H′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，故H（x）＝f（x）+g（x）＝2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x在（1，+∞）上是增函数，故f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），故原式成立．22．（10分）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F 连接CE．（1）求证：AG•EF＝CE•GD；（2）求证：．【解答】证明：（1）连接AB，AC，∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD＝90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF＝∠AGD，∵∠DFG＝∠CFE，∴∠ECF＝∠GDF，∵G为弧BD中点，∴∠DAG＝∠GDF，∴∠DAG＝∠ECF，∴△CEF∽△AGD，∴，∴AG•EF＝CE•GD（2）由（1）知∠DAG＝∠GDF，∠G＝∠G，∴△DFG∽△ADG，∴DG2＝AG•GF，由（1）知，∴．23．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2．（Ⅰ）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程．（Ⅱ）已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．【解答】解：（1）因为曲线C1的参数方程为（θ为参数），所以曲线C1的普通方程为，…（2分）由曲线C2的极坐标方程为ρ＝2得，曲线C2的普通方程为x2+y2＝4；…（4分）（2）法一：由曲线C2：x2+y2＝4，可得其参数方程为，所以P点坐标为（2cosα，2sinα），由题意可知M（0，），N（0，）．因此|PM|+|PN|＝＝+…（6分）则（|PM|+|PN|）2＝14+2．所以当sinα＝0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，…（8分）因此|PM|+|PN|的最大值为．…（10分）法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2＝4，由题意可知M（0，），N（0，）．因此|PM|+|PN|＝+＝+…（6分）则（|PM|+|PN|）2＝14+2．所以当y＝0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，…（8分）因此|PM|+|PN|的最大值为．…（10分）24．已知函数f（x）＝的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+＝n时，求7a+4b的最小值．【解答】解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）＝|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|＝4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n＝4，∴7a+4b＝＝＝，当且仅当a+2b＝3a+b，即b＝2a＝时取等号．∴7a+4b的最小值为．。

目录河北省石家庄市五校联合体2015届高三基础知识摸底考试语文试题河北省石家庄市五校联合体2015届高三基础知识摸底考试英语试题河北省石家庄市五校联合体2015届高三基础知识摸底考试理数试题河北省石家庄市五校联合体2015届高三基础知识摸底考试物理试题河北省石家庄市五校联合体2015届高三基础知识摸底考试化学试题河北省石家庄市五校联合体2015届高三基础知识摸底考试生物试题高三基础知识摸底考试语文试题注意事项：1．本试卷分第I卷（阅读题）和第II卷（表达题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时请认真阅读答题卡上的注意事项，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第I卷阅读题甲必考题一、现代文阅读（9分，每小题3分）阅读下面文字，完成1~3题。

文明是文化的内在价值，文化是文明的外在形式。

文明的内在价值通过文化的外在形式得以实现，文化的外在形式借助文明的内在价值而有意义。

文明是一元的，是以人类基本需求和全面发展的满足程度为共同尺度的；文化是多元的，是以不同民族、不同地域、不同时代的不同条件为依据的。

所谓“文明”，是指人类借助科学、技术等手段来改造客观世界，通过法律、道德等制度来协调群体关系，借助宗教、艺术等形式来调节自身情感，从而最大限度地满足基本需要、实现全面发展所达到的程度。

人类只有在对真、善、美的探索、追求、创造之中，才能最大限度地满足自身的基本需要、实现自身的全面发展。

在这一点上，任何时代、任何地域、任何种族的人类群体概莫能外。

从这一意义上讲，人类文明有着统一的价值标准。

所谓“文化”，是指人在改造客观世界、在协调群体关系、在调节自身情感的过程中所表现出来的时代特征、地域风格和民族样式。

由于人类文明是由不同的民族、在不同的时代和不同的地域中分别发展起来的，因而必然会表现出不同的特征、风格和样式。

考古学家对“文化”一词的经典使用方式，就是从不同地域的出土文物在建筑、工具、器皿的风格和样式上入手的。

2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{|32,}A x x n n N ==+∈, {6,8,12,14}B =, 则集合A B ⋂中元素的个数为 （A ）5（B ）4（C ）3（D ）2（2）已知点A （0,1），B （3,2），向量AC =（-4，-3），则向量BC =（A ）（-7，-4） （B ）（7,4） （C ）（-1,4） （D ）（1，4）（3）已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（A ）2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A ）103 （B ）15 （C ）110 （D ）120（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：28y x =的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|=（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）已知是公差为1的等差数列，=4，则=（A ） （B ） （C ）10 （D ）12（8）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（A ）13(,)()44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2)()44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,)()44k k k Z -+∈（D ）13(2,2)()44k k k Z -+∈（9）执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（10）已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩，且()3f a =-，则(6)f a -= （A ）-74 （B ）-54 （C ）-34 （D ）-14（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =（A ）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8（12）设函数()y f x =的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =第Ⅱ卷二.填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）在数列{}n a 中， 12a =, 12n n a a +=, n S 为{}n a 的前n 项和。