黑龙江省哈尔滨市三中2017届高三第四次模拟考试数学(理)试卷

2017年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知集合(){}{}2|ln 2,|340M x y x N x x x ==-=--≤，则=N MA.)2,1[-B.]2,1[-C.]1,4[- D. ]4,1[-2.()211i i-+的虚部为A ．iB ．1-C ．i -D ．13. 已知向量,a b 满足1,2,3,⋅===a b ab 则a b -=A .B . 6C .D . 54. 已知,x y 满足：020x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+取最大值时的最优解有无数多个，则实数a 的值是A. 0B.1- C. 1±D. 15. 椭圆22:143x y C +=与双曲线2222:1(,0)x y E a b a b-=>有相同的焦点，且两曲线的离 心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为A ．21 BCD6. 一个几何体的三视图如右图所示， 则该几何体的体积为A ．323B ．503 C ．643D ．8037.《孙子算经》是我国古代的数学著作,其卷下中 有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一 匝有四十枚，问积几何？”如右图是解决该问 题的程序框图，若设每层外周枚数为a ，则输 出的结果为A ． 81B ．74C ．121D ．1698. 已知函数2()2(2)55f x f x x x =--+-,则曲线y =程为A. y x =B. 23y x =-+C. 34y x=-+D. 2y x =-9. 一条光线从点(1,1)-射出，经y 轴反射后与圆22(2)1-+=x y 相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为A .3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B . 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C . 3,04⎛⎫-⎪⎝⎭D . 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 在拍毕业照时，六个同学排成一排照相，要求其中一对好友甲和乙相邻，且同学丙 不能和甲相邻的概率为A .115B .215C .415D .1511. 正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面 直线BM 与AO 所成角的余弦值为A ．6B.3C.4 D ．512. 定义在R 上的可导函数()f x ，其导函数记为()f x '，满足()()()221f x f x x +-=-，且当1x ≤时，恒有()2f x x '+<．若()()3132f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是 A .(],1-∞B .1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦C .[)1,+∞D .1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2017年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 知()()()()234401234(21)1111x a a x a x a x a x +=++++++++，则1234a a a a +++的值是 ．14. 函数2cos2y x x -的图象可由函数2sin(2)6y x π=+的图象至少向右平移 个单位长度得到． 15. 下列共有四个命题：（1）命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“x x R x 31,2<+∈∀”；（2）在回归分析中，相关指数2R 为0.96的模型比2R 为0.84的模型拟合效果好；（3）,,a b R ∈11:,:0,p a b q b a<<<则p 是q 的充分不必要条件； （4）已知幂函数2()(33)m f x m m x =-+为偶函数，则(2)4f -=.其中正确的序号为 .（写出所有正确命题的序号） 16. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对应边分别为,,c a b ,且2ABC S ∆=. 则使得 22sin sin sin sin B C m B C +=成立的实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()1121,2,nn n SS a n n N *--=++≥∈，且13a =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：121111 (1112)n a a a +++<+++.18.（本小题满分12分）为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后，得到如下的22⨯列联表：（Ⅰ）请完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；（Ⅱ）（i ） 按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足 120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）； （ii ） 若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这 些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（本小题满分12分）如图所示的几何体是由棱台111ABC A B C -和棱锥11D AAC C -拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，1BB ⊥平面ABCD ，11122BB A B ==．（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面1BB D ； （Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．20．（本小题满分12分） 已知抛物线)0(2:2>=p px y G ，过焦点F 的动直线l 与抛物线交于,A B 两点，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）当直线l 的倾斜角为4π时，||16AB =．求抛物线G 的方程； （Ⅱ） 对于（Ⅰ）问中的抛物线G ，是否存在x 轴上一定点N，使得||2||AB MN -为定值，若存在求出点N 的坐标及定值，若不存在说明理由.21（0a >且1a ≠）为定义域上的增函数，()'f x 是函数()f x 的导数，且()'f x 的最小值小于等于0.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设函数32()()4ln 63g x f x x x x =--+，且12()()0g x gx +=， 求证：122x x +≥请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）已知曲线C 的参数方程为12x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）设 12:,:63l l ππθθ==，若12l l 、与曲线C 相交于异于原点的两点A B 、，求AOB ∆的面积. .23.（本小题满分10分）设函数4()1,(0)f x x a x a a=+++->. （Ⅰ）证明：()5f x ≥；（Ⅱ）若(1)6f <成立，求实数a 的取值范围.2017年哈三中第三次高考模拟考试答案1.A2.B3.C4.D5.D6.D7.C8.A9.C 10.C 11.B 12.D 13.0 14.6π 15.(2)(4) 16.[]2,417. （本小题满分12分） （Ⅰ）由题意121nn a a -=+()2,n n N *≥∈()1121n n a a -∴+=+ …………………………………..3分又114a +=1142n n a -∴+=⨯………………………………………………5分 121n n a +∴=-……………………………………………………6分（Ⅱ）112n na ++=，∴111n a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项为14，公比为12的等比数列，因此1211111142 (111112)n n a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++=+++-…………………………………9分11122n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………..11分 12<…………………………………………………………………………………………….12分 18. （本小题满分12分） （Ⅰ）…………………………………………………………………………………………………………………………………….2分2245(1516104)7.287 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关” ………..……..4分 （Ⅱ）（i ）由分层抽样知大于等于120分的有5人，不足120分的有4人……….5分 X 的可能取值为0,1,2,3,4………………………………………………………………………6分()4164200C P X C ==，()134164201C C P X C ⋅==，()224164202C C P X C ⋅==， ()314164203C C P X C ⋅==，()444204C P X C ==…………………………8分 （ii ）设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y ，……………………………………..9分 由题意可知()20,0.6Y B ，……………………………………………..10分故()12,EY =………………………………………………………………………11分() 4.8D Y =………………………………………………………………………..12分19．（本小题满分12分）（Ⅰ）∵1BB ⊥平面ABCD ∴1BB ⊥AC在菱形ABCD 中，BD ⊥AC 又1BD BB B ⋂= ∴AC ⊥平面1BB D………………………………2分∵AC ⊂平面1AB C ∴平面1AB C ⊥平面1BB D ………………4分（Ⅱ）连接BD 、AC 交于点O ，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OD 为y 轴，如图建立空间直角坐标系. …… ……5分1(0,1,0),(0,1,0),(0,1,2),B D B A --11111,2)22B A BA A =⇒-，同理11(,2C -131(,2)2BA =,(0,2,0)BD =,11(,2BC =-设平面1A BD 的法向量),,(z y x =∴10BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则(n =- …… …… ……8分 设平面DCF 的法向量),,(z y x =10BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则m = ………………11分 设二面角11A BD C --为θ，13cos 19m n m nθ⋅==……… ……12分 20．（本小题满分12分） （Ⅰ）由题意知(,0)2p F 设直线l 的方程为()2px ty t R =+∈ ，221212(,),(,)22y y A y B y p p ……………………..1分由 222y pxp x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 得：2220y pty p --=222440p t p ∆=+> 212122,y y pt y y p +==-…………………… 2分2||2(1)AB p t ==+ …………….4分当直线l 倾斜角为4π时，1t =， ||416AB p == ，得4p = ， 所以抛物线G 的方程为28y x =. …………………………….6分（2）假设在x 轴上存在点(,0)N a 使得||2||AB MN -为定值. 由（1）知2||8(1)AB t=+ …………………………………………7分212()2422M tx y y t =++=+ ，4M y t = ，即2(42,4)M t t +………….8分 若满足题意22||2(4)MN t k ==+ ………10分,即222403282(2)t k a k a k ⎧+≥⎪-=⎨⎪-=⎩解得3,1a k == ，此时||2||6AB MN -= 综上在x 轴上存在点(3,0)N 使得||2||AB MN -为定值6………………….12分 注:其它做法酌情给分21．（本小题满分12分）（Ⅰ）21()23ln f x x x x a '=-+，……………………………………………………1分由()f x 为增函数可得，()0f x '≥恒成立，则由2321123023ln ln x x x x x a a -+≥⇒-≥-，设32()23m x x x =-，则2()66m x x x '=-，若由()()610m x x x '=->和()()610m x x x '=-<可知,()m x 在()0,1上减，在()1,+∞上增，在1处取得极小值即最小值，所以min ()=(1)1m x m =-，所以11ln a -≥-，11ln a ≤，当1a >时，易知a e ≤，当01a <<时，则10ln a <，这与11ln a ≤矛盾，从而不能使得()0f x '≥恒成立，所以a e ≤………………………………………3分 由min ()0f x '≤可得，21230ln x x x a -+≤，即32123ln x x a -≤-，由之前讨论可知，11ln a -≤-，当10a >>时，11ln a -≤-恒成立，当1a >时，11ln 1ln ln ln a a e a e a ≥⇒≥⇒≥⇒≥，综上a e =...................................................................................................................6分 （II ）32322323()ln 4ln 6=3ln 63232g x x x x x x x x x x =-+--+--+，因为12()()0g x g x +=，所以22111222333ln 6+3ln 6=022x x x x x x ⎛⎫--+--+ ⎪⎝⎭，所以()()2212121233ln()602x x x x x x -+-++=()()21212121212ln()202x x x x x x x x ⎡⎤-+--++=⎢⎥⎣⎦()()2121212121ln()202x x x x x x x x -++-++=所以()()21212121212ln()2x x x x x x x x -+++=-，…………………………………………………..9分令12=x x t ，()ln g t t t =-，11()1tg t t t -'=-=，()g t 在()0,1上增，在()1,+∞上减，()(1)1g t g ≤=-，所以()()212121212x x x x -+++≤-，整理得()()21212420x x x x +-+-≥，解得122x x +≥122x x +≤（舍），所以122x x +≥……………………………………………………………………………………….. 12分22.选做题（本小题满分10分）( Ⅰ)曲线C 的普通方程为5)2(122=-+-y x ）（， ……………………………… 2分将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得：θθρsin 4cos 2+= ………………………4分4358sin 21+=∠=∆AOB OB OA SAOB …………………………………… 10分23. 选做题（本小题满分10分）514241)(,0=+⋅≥++≥∴>a a a a x f a …………………………………. 5分①②……………………………………………………………………………………………9分综上，实数a的取值范围是)4,1(………………………… 10分。

黑龙江省哈尔滨市2017届高三数学下学期第四次模拟考试试题文（扫描版）2017 四模文科数学答案一、选择题BAABC CBDAD BC二、填空题13. 11 14. ②③④⇒①（或①②④⇒③） 15. 1316. 2三、解答题17、（12分）解：（1）在BCP ∆中，tan 2PCPBC BC BC ∠=⇒= 在ABC ∆中，由正弦定理得：002sin sin sin15sin 45BC AB ABBAC BCA =⇒=∠∠ 所以，2(31)AB =+船的航行速度是每小时6(31)+千米. ………………………………………6分 （2）在BCD ∆中，由余弦定理得：6CD =在BCD ∆中，由正弦定理得：CD 2sin sin sin 2BC CDB DBC CDB =⇒∠=∠∠所以，山顶位于D 处南偏东0135.………………………………………12分 18、（12分）（1）*()70()f n n n N =+∈**100(45,)()6170(45,)n n N g n n n n N ⎧≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩…………………………………………4分（2）()11545f n n >⇒>设在甲公司工作，日工资在115元以上的概率为1P ， 若视频率为概率， 则120101021005P ++== …………………………………………………7分()11547.548g n n n >⇒>⇒≥设在乙公司工作，日工资在115元以上的概率为2P ， 若视频率为概率， 则2401011002P +== …………………………………………………………10分12P P <，所以选择去乙公司应聘 ………………………………………………………………………12分19、（12分） （1）111111=A B ABC A B AC AB AC AC A ABB AC BB A B AB B ⊥⇒⊥⎫⎪⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎪⎭I 平面 平面 ………………………4分 .（2）设11A B 中的为N ，连MN ，又M 为11B C 的中点，111A B C V 中，中位线11//MN AC11ACC A Y 中11//AC A C ， 所以//MN AC由（1）知11AC A ABB ⊥平面，所以11MN A ABB ⊥平面，MN 为三棱锥1M A AB -的高 …………………………………………8分1111122MN AC AC ===， 1111122A AB A B ABC A B AB S A B AB ⊥⇒⊥⇒=⋅=V 平面 1111111111111122//A BMA B ABCA B A B C A B A M S A B A M ABC A B C ⊥⎫⇒⊥⇒⊥⇒=⋅=⎬⎭V 平面平面平面平面 111111()()233A A BM M ABA A BM A AB V V S d S MN d --=⇒⋅=⋅⇒=V V …………………………12分20、（12分） （1）根据题设,点在FO 的垂直平分线上，----------------------------1分所以点到准线的距离为32422p p p +=⇒=---------------------3分 2:4C x p ⇒=-------------------------------------4分（2）设()()1122,,,A x y B x y ，12KA KB y y λλ=⇒=u u u r u u u r，-------------------------------------5分设直线:1l x my =-代入到24y x =中得2440y my -+=，所以()1222122414y y m y y y y λλ+==+==-------------------------------------6分()2214m λλ+⇒=-------------------------------------8分19162,23λλ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦-------------------------------------9分 又AB 中点()221,2m m -，-------------------------------------10分所以直线AB 的垂直平分线为()2221y m m x m ⎡⎤-=---⎣⎦--------------------11分可得20131121,43x m ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦-------------------------------------12分 21、（12分）解: (1)()1a f x x'=- ()0100()010()010af x x a x af x x a x af x x ax '>⇒->⇒<<'<⇒-<⇒>'=⇒-=⇒=()f x 在()0,a 递增，()f x 在(,)a +∞递减，x a =为函数()f x 的极大值点1a =……………………………………………………………………………………………4分(2)由已知13ln ln x x m x x x+--=-的两解为12,x x ，即12ln 0x m x+-=的两解为12,x x 。

2017年黑龙江省哈尔滨市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，集合B={x|x＞0}，则集合（∁Z A）∩B的子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．82．已知复数z=﹣，则z=（）A． i B．C．﹣D．﹣ i3．若实数x，y满足不等式组，则x﹣2y的最大值为（）A．1 B．2 C．0 D．44．设函数f（x）=，则f（27）+f（﹣log43）的值为（）A．6 B．9 C．10 D．125．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，设S n是数列{a n}的前n项和，则S10的值为（）A．110 B．90 C．55 D．456．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，且右焦点到一条渐近线的距离为，双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．若函数则函数f（x）的图象关于（）A．原点轴对称B．x轴对称C．y轴对称D．y=x对8．执行如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的S值为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且对∀x∈R，有f（x）≤f（）成立，则关于函数f（x）的下列说法中正确的是（）①φ=②函数f（x）在区间[﹣π，π]上递减；③把g（x）=sin的图象向左平移得到f（x）的图象；④函数f（x+）是偶函数．A．①③ B．①② C．②③④D．①④10．已知甲，乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待．已知甲、乙两车装货物需要的时间都为30分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场，则至少有一辆车需要等待装货物的概率是（）A．B．C．D．11．已知菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=3，对角线AC与BD的交点为O，把菱形ABCD沿对角线BD折起，使得∠AOC=90°，则折得的几何体的外接球的表面积为（）A．15π B．C． D．7π12．已知函数f（x）在定义域R内是增函数，且f（x）＜0，则g（x）=x2f（x）的单调情况一定是（）A．在（﹣∞，0）上递增B．在（﹣∞，0）上递减C．在R上递减D．在R上递增二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．的展开式中，常数项为20，则实数a的值为．14．设满足且（+）⊥，则（﹣）•的值为．15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为16．已知以F为焦点的抛物线C：y2=2px（p＞0）上的两点A，B满足=3，若弦AB的中点到准线的距离为，则抛物线的方程为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a＞c．已知△ABC的面积为，，b=3．（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．18．某厂每日生产一种大型产品2件，每件产品的投入成本为1000元．产品质量为一等品的概率为0.5，二等品的概率为0.4，每件一等品的出厂价为5000元，每件二等品的出厂价为4000元，若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，每生产1件产品还会带来1000元的损失．（Ⅰ）求在连续生产的3天中，恰有两天生产的2件产品都为一等品的概率；（Ⅱ）已知该厂某日生产的这种大型产品2件中有1件为一等品，求另1件也为一等品的概率；（Ⅲ）求该厂每日生产这种产品所获利润ξ（元）的分布列和期望．19．如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2正三角形，D是A1C1的中点，且AA1⊥平面ABC，AA1=3．（Ⅰ）求证：A1B∥平面B1DC；（Ⅱ）求二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值．20．椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点A（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△AMN面积为3，求直线MN的方程．21．已知函数f（x）=（x+a）lnx在x=1处的切线方程为y=x﹣1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上不同的两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得①x0=；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试证明：函数f（x）不存在“中值相依切线”．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线（t为参数），以原点为极点，以x正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线．（Ⅰ）写出曲线C1的普通方程，曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若M（1，0），且曲线C1与曲线C2交于两个不同的点A，B，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|3x﹣2|+|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤8；（Ⅱ）对任意的非零实数x，有f（x）≥（m2﹣m+2）•|x|恒成立，求实数m的取值范围．2017年黑龙江省哈尔滨六中高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，集合B={x|x＞0}，则集合（∁Z A）∩B的子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【考点】1E：交集及其运算．【分析】运用二次不等式的解法和补集的定义，化简集合∁Z A，再由交集的定义和集合子集的个数（n个元素的集合的子集为2n），即可得到所求．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，∁Z A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈Z}={x|﹣1≤x≤3，x∈Z}={﹣1，0，1，2，3}，集合B={x|x＞0}，则集合（∁Z A）∩B={1，2，3}，可得集合（∁Z A）∩B的子集个数为23=8，故选：D．2．已知复数z=﹣，则z=（）A． i B．C．﹣D．﹣ i【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】计算=，可得==．即可得出．【解答】解：∵ ==， ===．∴z=﹣=﹣=﹣．故选：C．3．若实数x，y满足不等式组，则x﹣2y的最大值为（）A．1 B．2 C．0 D．4【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最小，此时z最大，由，得，即A（4，0）代入目标函数z=x﹣2y，得z=4，∴目标函数z=x﹣2y的最大值是4．故选：D．4．设函数f（x）=，则f（27）+f（﹣log43）的值为（）A．6 B．9 C．10 D．12【考点】3T：函数的值．【分析】根据分段函数的表达式分别代入进行求解即可．【解答】解：f（27）=log927==，f（﹣log43）=+=3+，则f（27）+f（﹣log43）=+3+=6，故选：A5．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，设S n是数列{a n}的前n项和，则S10的值为（）A．110 B．90 C．55 D．45【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式和等比数列性质列出方程，求出首项，由此能求出S10．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a2，a4，a8成等比数列，∴，∴（a1+3×2）2=（a1+2）（a1+7×2），解得a1=2，设S n是数列{a n}的前n项和，则S10=10a1+=10×2+=110．故选：A．6．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，且右焦点到一条渐近线的距离为，双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的离心率公式可得e==2，即c=2a，又由双曲线的性质可得b=，结合c2=a2+b2，计算可得a2的值，将a2、b2的值代入双曲线方程即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则e==2，即c=2a，又由右焦点到一条渐近线的距离为，则有b=，又由c2=a2+b2，即4a2=a2+3，则有a2=1，则双曲线的方程为：x2﹣=1；故选：B．7．若函数则函数f（x）的图象关于（）A．原点轴对称B．x轴对称C．y轴对称D．y=x对【考点】3O：函数的图象．【分析】判断f（x）的奇偶性，即可得出结论．【解答】解：f（x）的定义域为R，f（x）=x（1﹣）=x•f（﹣x）=﹣x•=﹣x•=f（x），∴f（x）是偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故选：C．8．执行如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的S值为（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=5，S=1，i=1执行循环体，S=6，i=2不满足条件i＞5，执行循环体，S=，i=3不满足条件i＞5，执行循环体，S=4，i=4不满足条件i＞5，执行循环体，S=，i=5不满足条件i＞5，执行循环体，S=，i=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为．故选：C．9．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且对∀x∈R，有f（x）≤f（）成立，则关于函数f（x）的下列说法中正确的是（）①φ=②函数f（x）在区间[﹣π，π]上递减；③把g（x）=sin的图象向左平移得到f（x）的图象；④函数f（x+）是偶函数．A．①③ B．①② C．②③④D．①④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据题意，求出函数f（x）的解析式，再判断题目中的命题是否正确即可．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为4π，∴T==4π，∴ω=；又对∀x∈R，有f（x）≤f（）成立，∴x=时，函数f（x）取得最大值，∴×+φ=+2kπ，k∈Z，解得φ=+2kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=，①正确；∴f（x）=sin（x+），当x∈[﹣π，π]时， x∈[﹣，]，x+∈[﹣，]，函数f（x）不是单调递减函数，②错误；把g（x）=sin的图象向左平移，得y=sin（x+）=sin（x+）的图象，即为f（x）的图象，③正确；函数f（x+）=sin[（x+）+]=sin（x+），它不是偶函数，④错误．综上，正确的命题是①③．故选：A．10．已知甲，乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待．已知甲、乙两车装货物需要的时间都为30分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场，则至少有一辆车需要等待装货物的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】设现在时间是0，甲乙到场的时间分别是x y，那么就会有0≤x≤60，0≤y≤60，|x﹣y|如果小于20，就是等待事件，否则不用等待了．由此能求出至少有一辆车需要等待装货物的概率【解答】解：设现在时间是0，甲乙到场的时间分别是x y那么就会有：0≤x≤60，0≤y≤60，|x﹣y|＜30，就是等待事件，否则不用等待了．画出来坐标轴如下图两条斜直线间的面积是等待，外面的两个三角形面积是不等待，∴至少有一辆车需要等待装货物的概率p=；故选：D．11．已知菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=3，对角线AC与BD的交点为O，把菱形ABCD沿对角线BD折起，使得∠AOC=90°，则折得的几何体的外接球的表面积为（）A．15π B．C． D．7π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】利用几何体求出外接球的半径，然后求解几何体的表面积即可．【解答】解：菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=3，三角形ABD的外接圆的半径为：=，内切圆的半径为：，对角线AC与BD的交点为O，把菱形ABCD沿对角线BD折起，使得∠AOC=90°，则折得的几何体的外接球的半径为： =．外接球的表面积为：4=15π．故选：A．12．已知函数f（x）在定义域R内是增函数，且f（x）＜0，则g（x）=x2f（x）的单调情况一定是（）A．在（﹣∞，0）上递增B．在（﹣∞，0）上递减C．在R上递减D．在R上递增【考点】3E：函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数f（x）在定义域R内是增函数则f'（x）＞0在定义域R上恒成立，然后求出导函数g'（x），讨论x，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间．【解答】解：∵函数f（x）在定义域R内是增函数∴f'（x）＞0在定义域R上恒成立∵g（x）=x2f（x）∴g'（x）=2xf（x）+x2f'（x）当x＜0时，而f（x）＜0，则2xf（x）＞0，x2f'（x）＞0所以g'（x）＞0即g（x）=x2f（x）在（﹣∞，0）上递增当x＞0时，2xf（x）＜0，x2f'（x）＞0，则g'（x）的符号不确定，从而单调性不确定故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．的展开式中，常数项为20，则实数a的值为 1 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：的通项公式为：T r+1==a r x6﹣2r．令6﹣2r=0，或6﹣2r=﹣1，解得r=3，r=（舍去）．∴a3=20，解得a=1．故答案为：1．14．设满足且（+）⊥，则（﹣）•的值为﹣5 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积和向量模的计算即可【解答】解：∵，∴||=2∵（+）⊥，∴（+）•=+•=0，即•=﹣4，∴（﹣）•=•﹣=﹣4﹣1=﹣5，故答案为：﹣5．15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，代入体积计算公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，底面面积S=4×8=32，高h=4，故体积V==，故答案为：16．已知以F为焦点的抛物线C：y2=2px（p＞0）上的两点A，B满足=3，若弦AB的中点到准线的距离为，则抛物线的方程为y2=8x ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】设直线l的方程代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得k 的值，根据中点坐标公式求得M的横坐标，则M到准线的距离d=x+=，即可求得d的值，求得抛物线方程．【解答】解：抛物线C：y2=2px的焦点F（，0），由题意可知直线AB的斜率显然存在，且不为0，设直线AB的方程y=k（x﹣），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y），=（﹣x1，﹣y1），=（x2﹣，y2），由=3，则﹣x1=3（x2﹣），则3x2+x1=2p，①，整理得：k2x2﹣（k2+2）px+=0，由韦达定理可知：x1+x2=，②x1x2=，③由①②解得：x1=，x2=，代入③，解得：k2=3，则x==，M到准线的距离d=x+=，∴=，解得：p=4，∴抛物线的方程为y2=8x．故答案为：y2=8x．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a＞c．已知△ABC的面积为，，b=3．（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由，得sinAcosB﹣cosAsinB+sin（A+B）=，即．sinB=由余弦定理得：…①，又s△ABC=，∴ac=6…②，由①②解得a，c（Ⅱ）由余弦定理得cosC=，则sinC=．即可得sin（B﹣C）=sinBcosC ﹣cosBsinC的值．【解答】解：（Ⅰ）由，得sinAcosB﹣cosAsinB+sin（A+B）=即2sinAcosB=，∵sinA≠0，∴．sinB=由余弦定理得：⇒…①又∵s△ABC=，∴ac=6…②由①②解得∵a＞c，∴a=3，c=2（Ⅱ）由余弦定理得cosC=，则sinC=．∴sin（B﹣C）=sinBcosC﹣cosBsinC=．18．某厂每日生产一种大型产品2件，每件产品的投入成本为1000元．产品质量为一等品的概率为0.5，二等品的概率为0.4，每件一等品的出厂价为5000元，每件二等品的出厂价为4000元，若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，每生产1件产品还会带来1000元的损失．（Ⅰ）求在连续生产的3天中，恰有两天生产的2件产品都为一等品的概率；（Ⅱ）已知该厂某日生产的这种大型产品2件中有1件为一等品，求另1件也为一等品的概率；（Ⅲ）求该厂每日生产这种产品所获利润ξ（元）的分布列和期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用相互独立事件的概率公式计算；（II）使用条件概率公式计算；（III）列出ξ所有可能的取值及对应的概率，再计算数学期望．【解答】解：（I）设一天生产的2件产品都为一等品为事件A，则P（A）=0.52=0.25，∴在连续生产的3天中，恰有两天生产的2件产品都为一等品的概率P=0.25×0.25×0.75×=．（II）设一天中生产的2件产品中，有一件是一等品为事件B，另一件是一等品为事件C，则P（BC）=P（A）=0.25，P（B）=0.5×0.5+0.5×0.4×2+0.5×0.1×2=0.75，∴该厂某日生产的这种大型产品2件中有1件为一等品，另1件也为一等品的概率为P（C|B）==（III）ξ的可能取值为8000，7000，6000，2000，1000，﹣4000，ξ的分布列为：ξ8000 7000 6000 2000 1000 ﹣4000PE（ξ）=8000×+7000×+6000×+2000×+1000×+（﹣4000）×=6000．19．如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2正三角形，D是A1C1的中点，且AA1⊥平面ABC，AA1=3．（Ⅰ）求证：A1B∥平面B1DC；（Ⅱ）求二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结BC1，B1C，交于点O，连结OD，则OD∥A1B，由此能证明A1B∥平面B1DC．（2）以D为原点，DC1为x轴，DB1为y轴，过D作平面A1B1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值．【解答】证明：（1）连结BC1，B1C，交于点O，连结OD，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2正三角形，D是A1C1的中点，∴OD∥A1B，∵A1B⊄平面B1DC，OD⊂平面B1DC，∴A1B∥平面B1DC．（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2正三角形，D是A1C1的中点，且AA1⊥平面ABC，AA1=3．∴以D为原点，DC1为x轴，DB1为y轴，过D作平面A1B1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B1（0，，0），C（1，0，3），C1（1，0，0），=（﹣1，，﹣3），=（﹣1，0，﹣3），=（0，0，﹣3），设平面B1DC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（﹣3，0，1），设平面B1CC1的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（），设二面角D﹣B1C﹣C1的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值为．20．椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点A（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△AMN面积为3，求直线MN的方程．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意可得： =1， =，又a2=b2+c2，联立解得：a2，b2，c．可得椭圆C的方程．（2）F（2，0）．①若MN⊥x轴，把x=2代入椭圆方程可得： +=1，解得y．则S△AMN ≠3，舍去．②若MN与x轴重合时不符合题意，舍去．因此可设直线MN的方程为：my=x﹣2．把x=my+2代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+4my﹣2=0．可得|y1﹣y2|=．利用S△==3即可得出．AMN【解答】解：（1）由题意可得： =1， =，又a2=b2+c2，联立解得：a2=6，b2=2，c=2．∴椭圆C的方程为：．（2）F（2，0）．①若MN⊥x轴，把x=2代入椭圆方程可得： +=1，解得y=±．则S△AMN==2≠3，舍去．②若MN与x轴重合时不符合题意，舍去．因此可设直线MN的方程为：my=x﹣2．把x=my+2代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+4my﹣2=0．∴y1+y2=﹣，y1•y2=，∴|y1﹣y2|===．则S△AMN==3×=3，解得m=±1．∴直线MN的方程为：y=±（x﹣2）．21．已知函数f（x）=（x+a）lnx在x=1处的切线方程为y=x﹣1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上不同的两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得①x0=；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试证明：函数f（x）不存在“中值相依切线”．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到函数在x=1处的切线方程，结合已知切线方程求得a值，进一步求得函数的单调区间；（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则y1=x1lnx1，y2=x2lnx2．求出k AB及f′（）．由题意列等式可得1+ln==，整理得：，令（t＞1）换元，则．令g（t）=（t＞1），利用导数求得g（t）的最小值小于1﹣ln2，说明计算错误，函数f（x）不存在“中值相依切线”．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x+a）lnx，得f′（x）=lnx+．∴f′（1）=1+a，又f（1）=0，∴函数f（x）=（x+a）lnx在x=1处的切线方程为y=（1+a）（x﹣1）=（1+a）x﹣1﹣a．∴1+a=1，得a=0．则f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1．由f′（x）=lnx+1=0，得x=．∴当x∈时，f′（x）＜0，当x∈时，f′（x）＞0．∴f（x）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则y1=x1lnx1，y2=x2lnx2．．由f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，可得1+ln==，整理得：，令（t＞1），则．令g（t）=（t＞1），则g′（t）=，令h（t）=2t﹣2﹣tlnt﹣lnt，h′（t）=2﹣lnt﹣1﹣=1﹣lnt﹣，再令r（t）=1﹣lnt﹣，则r′（t）=＜0，∴r（t）单调递减，由r（1）=0，∴h′（t）＜0，得h（t）单调递减，又h（1）=0，∴h（t）＜0，即g′（t）＜0在（1，+∞）上恒成立．可得g（t）在（1，+∞）上单调递减，则g（t）＜g（1）=﹣ln2．∴不成立，故假设错误，函数f（x）不存在“中值相依切线”．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线（t为参数），以原点为极点，以x正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线．（Ⅰ）写出曲线C1的普通方程，曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若M（1，0），且曲线C1与曲线C2交于两个不同的点A，B，求的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）消去参数t，即可求得C1的普通方程，由，化简即可求得曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）将曲线C1代入曲线C2的方程，求得A和B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得的值．【解答】解：（Ⅰ）将y=t，代入x=1+t，整理得x﹣y﹣1=0，则曲线C1的普通方x ﹣y﹣1=0；曲线，则1=+ρ2sin2θ．由，则曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）由，整理得：3x2﹣4x=0，解得：x=0或x=，则A（0，﹣1），B（，），∴丨MA丨==，丨MB丨==，∴丨AB丨==，∴==，∴的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|3x﹣2|+|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤8；（Ⅱ）对任意的非零实数x，有f（x）≥（m2﹣m+2）•|x|恒成立，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）分情况将原不等式绝对值符号去掉，然后求解；（Ⅱ）两边同除以|x|，然后求出左边的最小值，解关于m的不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）当x≤时，原不等式可化为﹣（3x﹣2）﹣（x﹣2）≤8，解得x≥﹣1，故此时﹣1≤x≤；当＜x≤2时，原不等式可化为3x﹣2﹣（x﹣2）≤8，解得x≤4，故此时＜x≤2；当x＞2时，原不等式可化为3x﹣2+x﹣2≤8，即x≤3，故此时2＜x≤3．综上可得，原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（Ⅱ）对任意的非零实数x，有f（x）≥（m2﹣m+2）•|x|恒成立，则不等式可化为：m2﹣m+2≤|3﹣|+|1﹣|恒成立．因为|3﹣|+|1﹣|≥|3﹣+﹣1|=2，所以要使原式恒成立，只需m2﹣m+2≤2即可，即m2﹣m≤0．解得0≤m≤1．。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三第一次模拟考试数学(理)试题2017年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.若集合{}2|20A x x x =+-<，集合21|1B x x⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B =IA. ()1,2-B. ()(),11,-∞-+∞UC. ()1,1-D.()()1,00,1-U2.在复平面内，复数21ii--（i 是虚数单位）对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限 3.在等差数列{}na 中，2436aa +=，则数列{}na 的前5项和5S 的值为A. 108B. 90C. 72D. 244.执行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为A. 8B. 48C. 384D. 38405.若实数,x y 满足约束条件029y y xy x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-+⎩，则3z x y =+的最大值等于A. 0B. 92C. 12D.27 6. 已知函数()()()3sin cos 0,f x x x y f x ωωω=+>=的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是A.5,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. 511,.1212k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. 2,.63k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D.,.36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.23B.3C.3D.438.下列结论中正确的个数是①“3x π=”是“1sin 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭”的充分不必要条件； ②若a b >，则22am bm >；③命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是“,sin 1x R x ∀∈>”；④函数()cos f x x x=在[)0,+∞内有且仅有两个零点.A. 1B. 2C. 3D. 49.已知非零向量,a b r r 满足2,1a b a b a +=-==r r r r r，则a b +r r 与a b-r r的夹角为A. 6πB. 3πC. 23πD.56π10.将A,B,C,D,E 五名同学分到四个不同的班级，每班至少至少一名学生，则A,B 被分到同一个班级的概率为A. 35B. 25C. 15D.110 11.若PAD ∆所在平面与矩形ABCD 所在的平面相互垂直，2,60PA PD AB APD ===∠=o若点,,,PA B C D 都在同一个球面上，则此球的表面积为 A.253πB.283π C.282127πD.2127π12.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点(),A c b ，右焦点(),0F c ，椭圆上存在一点M ，使得OM OA OF OA⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r，且()OM OF tOA t R +=∈u u u u r u u u r u u u r，则该椭圆的离心率为A. 22B. 32C.33D. 23二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设等比数列{}na 中，141,8a a ==，则7a = .14.62x x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为 .15.进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的记数系统.”满几近一为就是几位制，不同进制之间可以相互转化，例如把十进制的89转化为二进制，根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89得商，然后取余数，具体计算方法如下：把以上各步所得的余数从下到上排列，得到89=1011001（2）这种算法叫做“除二取余法”，上述方法也可以推广为把十进制数化为k 进制数的方法，称为“除k 取余法”，那么用把“除k 取余法”化为七进制数为 .16. 当12a <时，关于x 的不等式()20xx e a e a --+<的解集中有且只有两个整数值，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分） 在ABC∆中，,,a b c分别为角,,A B C的对边，()-+=,其外接圆的半径为1.c a B b C2cos cos0（1）求角B的大小；（2）求ABC∆周长的取值范围.18.（本题满分12分）某电子元件厂对一批新产品的使用寿命进行检验，并且厂家规定使用寿命在[]300,500为合格品，适用寿命超过500小时为优质品，质检科抽取了一部分产品做样本，经检测统计后，绘制出来该产品使用寿命的频率分布直方图（如图）.（1）根据频率分布直方图估计该厂产品为合格品或优等品的概率，并估计该批产品的平均使用寿命；（2）从这批产品中，采取随机抽样的方法每次抽取一件产品，抽取4次，若以上述频率作为概率，记随机变量X为抽出的优质品的个数，列出X的分布列，并求出其数学期望.19.（本题满分12分）已知四边形ABCD为直角梯形，⊥===,F为BC的中点，//,,24,3AD BC AB BC BC AB ADEF//AB,EF与AD交于点E，沿EF将四边形EFCD折起，连接AD,BC,AC.（1）求证：BE//平面ACD;（2）若平面ABFE⊥平面EFCD（Ⅰ）求二面角B-AC-D的大小（Ⅱ）线段AC上是否存在点P，使FP⊥平面ACD，若存在，求出AP的值，若不存在，请说明理由..AC20.（本题满分12分）已知抛物线()2=>，其焦点为F,过F且斜率E x py p:20为1的直线被抛物线截得的弦长为8.（1）求抛物线E的方程；（2）设A为E上的一动点（异于原点），E在点A处的切线交x轴于点P，原点O关于直线PF的对称为点B，直线AB与y轴交与点C,求OBC∆面积的最大值.21.（本题满分12分）已知函数()()(),ln .f x ax g x x a R ==∈（1）若函数()y f x =与()y g x =的图象在()0,+∞上有两个不同的交点，求实数a 的取值范围；（2）若在[)1,+∞上不等式()()1xf x g x -≥恒成立，求实数a的取值范围（3）证明：对于[)1,x ∈+∞时，任意0t >，不等式22lnx t tx t t x++->恒成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分.22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为212212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为6cos .ρθ=（1）若直线l的参数方程中2t=的时，得到M点，求M的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点()1,1+.P，l和曲线C交于A,B两点，求11PA PB23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2 1.f x x x=++-（1）求不等式()5f x≥的解集；（2）若关于x的不等式()22≥-的解集为R,求实f x m m数m的取值范围.。

黑龙江省高三模拟考试数学（理）试卷附答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知复数2z ai =-+(,a R i ∈是虚数单位)对应的点在复平面内第二象限，且6z z ⋅=，则=a AB．C ．2D ．2-2．全集[]1,10U =，集合{|(1)(8)0}A x x x =--≤和[]2,10B =，则()UA B =（ ）A ．()2,8B ．[]2,8C ．[][]1,28,10⋃D ．[)(]1,28,10⋃3．平面直角坐标系中角α的终边经过点()3,4P -，则2cos +π=2α⎛⎫ ⎪⎝⎭（ ）A ．110B ．15C ．45D ．9104．二项式1()(0,0)nax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．105．下列命题正确的个数是（ ）①)0a b ab +≥>②若0a b >>，0c d << 则ac bd <；③不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是1x <-或1x >； ④若i a 、i b 和()1,2i c i =是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ==”是“不等式21110a x b x c ++>和22220a xb xc ++>解集相同”的充分不必要条件． A ．1B ．2C ．3D ．46．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收情况，则下列说法错误的是（ ）A ．2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2021年我国数字出版业营收超过2017年我国数字出版业营收的2倍C ．2021年我国新闻出版业营收超过2017年我国新闻出版业营收的3倍D ．2021年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一7．若函数()23f x x ax a =-++在[]1,2上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =则A ．112n n n S S ++-=B ．2n n a =C ．21n n S =-D ．121n n S -=-9．已知平面l αβ=，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是（ ） A ．若//m β，则//m l B ．若//m l ，则//m β C ．若m β⊥，则m l ⊥D ．若m l ⊥，则m β⊥10．古希腊阿基米德被称为“数学之神”.在他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球，这个球的直径恰好等于圆柱的高，则球的表面积与圆柱的表面积的比值为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．4511．已知向量,a b 满足1,a a b =⊥，则向量2a b -在向量a 方向上的投影向量为（ ） A ．a B ．1 C ．-1 D ．a -12．已知函数()()()()1ln ,0,0x x x f x xe x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程22()()0f x af x a a -+-=有四个不等实根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,1]B ．()[),11,-∞-⋃+∞C ．(,1){1}-∞-D ．(){}1,01-二、填空题13．已知(2,1),(,1)a b λ=-=-，若a 与b 夹角为钝角，则实数λ取值范围是___________.14．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布(0,4)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(2,4)内的概率为___________.（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，(22)0.9545P μσξμσ-<<+=） 15．过抛物线2:4C x y =的焦点Fl ，交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A ，B 处的两条切线交于点M ，则MF =______．三、双空题16．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深y 与时间x 之间的关系，该函数的表达式为__________________________．已知一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为_____________小时（保留整数）．四、解答题17．（1）已知数列{}n a 的前n 项和Sn =n 2+n ，求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的首项为a 1=1，递推公式为an=1+11n a - (2)n ≥，写出这个数列的前5项 18．如图，已知四棱锥V ABCD -的底面是矩形，VD ⊥平面,222,,,ABCD AB AD VD E F G ===分别是棱,,AB VC CD 的中点．(1)求证：EF ∥平面VAD ；(2)求平面AVE 与平面VEG 夹角的大小．19．甲乙丙三人进行竞技类比赛，每局比赛三人同时参加，有且只有一个人获胜，约定有人胜两局（不必连胜）则比赛结束，此人直接赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为14，丙获胜的概率为14，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）． 20．点(,)P x y 与定点(1,0)F 的距离和它到直线:4l x =距离的比是常数12. （1）求点P 的轨迹方程；（2）记点P 的轨迹为C ，过F 的直线l 与曲线C 交于点,M N ，与抛物线24y x =交于点,A B ，设(1,0)D -，记DMN 与DAB 面积分别是12,S S ，求21S S 的取值范围. 21．已知函数()2e ex xf x =和()221g x x x =-++. (1)求函数()f x 的单调区间和最值；(2)求证：当1x <时()()f x g x <；当1x >时()()f x g x >； (3)若存在12x x <，使得()()12f x f x =，证明122x x +>.22．已知双曲线C 的中心在原点，(1,0)D. (1)求双曲线C 的方程；(2)若过点(3,0)-任意作一条直线与双曲线C 交于A ，B 两点（A ，B 都不同于点D ），求证:DA DB ⋅为定值. 23．已知函数()2f x x =-.（1）解不等式()()242f x f x -+<；（2）若()()2133f x f x m m -++≥+对所有的x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案与解析1．A【详解】试题分析：2(2)(2)46z z ai ai a ⋅=-+--=+= 和 22a = ，z 对应点在第二象限，则0a >，所以a =A ．考点：复数的运算． 2．D【分析】解不等式确定集合A ，然后由集合的运算法则计算． 【详解】{|(1)(8)0}A x x x =--≤[1,8]=，[]2,10B = ∴[]2,8A B ⋂=. ∵[]1,10U =，∴()[)(]1,28,10UA B ⋂=⋃.故选：D ． 3．B【分析】首先根据三角函数定义得到3cos 5α=-，再根据余弦二倍角公式和诱导公式求解即可.【详解】角α的终边经过点()3,4P -，5r == 所以3cos 5α=-.()2311+cos +2π1+cos 15cos +π====22225-ααα⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B 4．C【分析】根据给定条件求出幂指数n 的值，再求出二项展开式的通项，利用给定关系式即可计算得解. 【详解】因为1()(0,0)nax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式共有11项，即10n =于是得101ax bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为1010102110101C ()()C r r r rr r r r a T ax x bx b ---+==⋅依题意得10210323101023C 3C a a b b--⋅=⋅⋅，化简得8ab =所以ab 的值为8. 故选：C 5．B【分析】利用基本不等式判断①，利用不等式的性质判断②，根据充分条件、必要条件的定义判断③④；【详解】解：对于①，当0a >，0b >时a b +≥当且仅当a b =时取等号，若1a =-、1b 满足0ab >，显然a b +<对于②，若0a b >>，0c d <<则0c d ->->，故ac bd ->-，故ac bd <，故②正确； 对于③，使不等式110x +>，整理得10x x +>，故0x >或1x <-，所以不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是1x <-或1x >，故③正确；对于④，不等式210x x ++>与220x x ++>的解集都为R ，但是1112≠ 若111111==---，则不等式210x x ++>与210x x --->的解集不相同 故若i a 、i b 和(1,2)i c i =是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ==”是 “不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>解集相同”的既不充分也不必要条件，故④错误．故选：B ． 6．C【分析】根据统计图逐个分析判断即可【详解】解：对于A ，由统计图可知2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加，所以A 正确；对于B ，由统计图可得2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，2017年我国数字出版业营收为1935.5亿元，5720.921935.5>⨯ 所以B 正确；对于C ，由统计图可得2021年我国新闻出版业营收为23595.8亿元，2017年我国新闻出版业营收为16635.3亿元，因为23595.8316635.3<⨯，所以C 错误；对于D ，由统计图可得，2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，新闻出版业营收23595.8亿元，而123595.87865.35720.93⨯≈>，所以D 正确故选：C 7．D【分析】结合二次函数的性质求解函数()f x 的单减区间为3[,)2a +∞，即[]31,2,2a ∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭，列出不等关系求解即可.【详解】由题意，函数()f x 是开口向下的二次函数，对称轴为32ax = 故函数()f x 的单减区间为3[,)2a+∞ 即[]31,2,2a ∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭，故312a ≤解得：23a ≤则a 的取值范围是2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D 8．C【分析】先利用等比数列的性质得到3a 的值，再根据24,a a 的方程组可得24,a a 的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前n 项和，根据后两个公式可得正确的选项.【详解】因为{}n a 为等比数列，所以2324a a a =，故3364a =即34a =由24241016a a a a +=⎧⎨=⎩可得2428a a =⎧⎨=⎩或2482a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 为递增数列，故2428a a =⎧⎨=⎩符合.此时24q =，所以2q或2q =-（舍，因为{}n a 为递增数列）.故3313422n n n n a a q ---==⨯= ()1122112n n n S ⨯-==--.故选C.【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质： （1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为n q .9．D【分析】A 选项.由线面平行的性质可判断；B 选项.由线面平行的判定可判断；C 选项.由线面垂直的性质可判断D 选项.由线面垂直的判定定理可判断. 【详解】A 选项：//m β,由l αβ=，又m α⊂，则由线面平行的性质可得//m l ，故A 正确．B 选项：//m l ，由l αβ=，m β⊄，l β⊂由线面平行的判定可得//m β，故B 正确． C 选项：由l αβ=，则l β⊂，又m β⊥所以m l ⊥，故C 正确．D 选项：因为一条直线垂直于平面内的一条直线不能推出直线垂直于平面，故D 错误．故选：D 10．B【分析】设球半径为R ，则圆柱底面半径为R ，圆柱的高为2R ，根据球和圆柱的表面积公式，即可求出比值.【详解】设球半径为R ，则圆柱底面半径为R ，圆柱的高为2R 则24S R π=球2222226S S S R R R R πππ=+=⋅+⨯=圆柱侧底所以23S S =球圆柱 故选：B. 11．A【分析】根据给定条件，求出(2)a b a -⋅，再借助投影向量的意义计算作答.【详解】因1,a a b =⊥，则2(2)21a b a a b a -⋅=-⋅=，令向量2a b -与向量a 的夹角为θ 于是得(2)|2|cos ||||||a ab a a a b a a a a θ-⋅-⋅=⋅= 所以向量2a b -在向量a 方向上的投影向量为a . 故选：A 12．A【分析】画出函数()f x 的图象，使用换元法，令()t f x =，并构造函数()22=-+-g t t at a a ，通过t 的范围，可得结果.【详解】当0x ≥时()1xf x xe -=，则()()'11-=-x f x x e令()'0f x >，则01x ≤<令()'0f x <，则1x >所以函数()f x 在[)0,1递增，在()1,+∞递减 则()()min 11==f x f ，且当0x ≥时()0f x > 函数()()()()1ln ,0,0x x x f x xe x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩图象如图关于x 的方程22()()0f x af x a a -+-=有四个不等实根令()t f x = ()22=-+-g t t at a a则①0=t ，t=1所以()()22001110g a a a g a a a ⎧=-=⎪⇒=⎨=-+-=⎪⎩②()0,1t ∈ ()(),01,∈-∞⋃+∞t 由()()2110=-≥g a则函数()g t 一个根在()0,1，另外一个根在(),0∞-中所以()20001=-<⇒<<g a a a综上所述：(0,1]a ∈ 故选：A【点睛】本题考查方程根的个数求参数，学会使用等价转化的思想以及换元法，考验分析能力以及逻辑推理能力，采用数型结合的方法，形象直观，化繁为简，属难题. 13．1,2(2,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】根据a 与b 夹角为钝角可得(2,1)(,1)0a b λ⋅=-⋅-<，求得λ的范围，再去掉向量反向时的值即可得解.【详解】根据题意可得：(2,1)(,1)210a b λλ⋅=-⋅-=--< 可得12λ>-当2λ=，a b =-时，a 与b 方向相反夹角为180，不符题意 所以12λ>-且2λ≠故答案为1,2(2,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.14．0.1359【分析】利用正态分布的对称性计算给定区间内的概率作答.【详解】因长度误差ξ（单位：毫米）服从正态分布(0,4)N ，则0,2μσ== 于是得(22)0.6827P ξ-<<= (44)0.9545P ξ-<<= 所以1(24)(0.95450.6827)0.13592P ξ<<=-=.故答案为：0.1359 15．4【分析】先求出直线l ，设1122(,),(,)A x y B x y ，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，再利用导数的几何意求出切线的斜率，从而可求出在A ，B 处的切线方程，再求出点M 的坐标，进而可求出MF【详解】抛物线2:4C x y =的焦点为(0,1)F ，则直线l 为1y =+，设1122(,),(,)A x y B x y由214y x y⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得240x --=则12124x x x x +==- 由214y x =，得12y x '=，则过点11(,)A x y 的切线的斜率为112x所以过点11(,)A x y 的切线方程为21111()42x y x x x -=-，即211124x y x x =-同理可得过22(,)B x y 的切线方程222124x y x x =-两切线方程联立，得221212112424x x x x x x -=-，得121()2x x x =+= 所以2111212111()12244x y x x x x x =⋅+-==-所以点M 的坐标为)1-所以4MF =故答案为：416． () 2.5sin()5372f x x π=+ 4【分析】第一空根据表中数据的周期性规律判断为正弦型函数，先由周期计算出ω，再由最值计算出A 和b ，最后由最大值处的数据计算出ϕ，即可得到函数的表达式；第二空先判断出水深的最小值，再由前面求得的函数列不等式，求出解集的宽度即为安全停留时长.【详解】观察表中数据可知，水深与时间近似为正弦型函数.设该函数表达式为()sin()f x A x b ωϕ=++由表中数据可知，一个周期为12小时24分，即744分钟 所以2372T ππω== max min ()()7.5 2.5 2.522f x f x A --=== max ()7.5 2.55b f x A =-=-= (186) 2.5sin()57.52f πϕ=++= 0ϕ∴= 则该函数的表达式为：() 2.5sin()5372f x x π=+.由题可知，水深为4 2.25 6.25+=米以上时安全令() 6.25f x ≥解得62310x ≤≤即安全时间为31062248-=分钟，约4小时. 故答案为：() 2.5sin()5372f x x π=+；4.17．（1）=2n a n ；（2）1=1a ，2a =2 345358,,235a a a ===. 【分析】（1）Sn =n 2+n ，21(2)n S n n n -=-≥ 两式相减即得解；（2）利用递推公式直接求解.【详解】解：（1）由题得Sn =n 2+n 221(1)1(2)n S n n n n n -=-+-=-≥所以两式相减得=2n a n ，又11=2a S =所以=2n a n 适合1n =.所以数列{}n a 的通项公式为=2n a n .（2）由题得1=1a ，2a =1+11=2a 3451325381,1,1223355a a a =+==+==+=. 所以数列的前5项为1=1a ，2a =2 345358,,235a a a ===. 18．(1)证明见详解； (2)π3【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面VAD 的法向量，然后EF 与法向量垂直可证；（2）分别求出两个平面的法向量再根据平面AVE 与平面VEG 夹角公式可求得.【详解】（1）如图建系()()()()()()1000,100,0,0,1110,020,010,012D A V E C G F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，， ()()100,001DA DV ∴==，，，，，设平面VAD 的法向量为()=,,,n a b c所以0,0DA n a DV n c ⎧⋅==⎪∴⎨⋅==⎪⎩不妨取()=0,1,0,n 又111,0,,100100,22EF EF n ⎛⎫=-∴⋅=-⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 又EF ⊄平面VAD ，EF ∴∥平面VAD ；（2）由（1）知：()()()()0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1AE AV GE GV ==-==-设平面AVE 的法向量为()1=,,n x y z ，平面VEG 的法向量()2=,,n p q r所以110,0AE n y AV n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩不妨取()1=1,0,1;n同理220,0GE n p GV n q r ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩不妨取()2=0,1,1;n 设平面AVE 与平面VEG 夹角为π,0,2θθ≤≤所以121πcos cos ,,.23n n θθ===∴= 19．(1)12(2)分布列见解析，()4516E X =【分析】（1）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.（2）依题意X 的可能取值为2、3、4，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.（1）解：用A 表示“甲在3局以内（含3局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”， k C 表示“第k 局丙获胜” 则()()()()12123213P A P A A P A A A P A A A =++11111111111222222222⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）解：依题意X 的可能取值为2、3、4所以()()()()121212111111322244448P X P A A P B B P C C ==++=⨯+⨯+⨯= ()()()()()()()1231231231231231234P X P A B C P AC B P B A C P BC A P C A B P C B A ==+++++1113624416=⨯⨯⨯= ()()()7312416P X P X P X ==-=-== 所以X 的分布列为所以()373452348161616E X =⨯+⨯+⨯=20．（1）22143x y +=（2）4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】（112=，化简即可求出； （2）当直线l 的斜率存在时将直线方程分别与椭圆和抛物线的方程联立，将两个三角形的面积比转化为弦长比，化为关于k 的关系式，求最值求值域即可，之后将直线l 的斜率不存在的情况求出，最后得到答案.【详解】（112= 化简得：223412x y +=，故1C 的方程为22143x y +=. （2）依题意21AB S S MN= ①当l 不垂直于x 轴时设l 的方程是()()10y k x k =-≠联立()21 4y k x y x⎧=-⎨=⎩，得()2222240k x k x k -++= 设()11,A x y ， ()22,B x y 则212224k x x k ++= ()2122412k AB x x k +=++=；联立()221 34120y k x x y ⎧=-⎨+-=⎩得：()22223484120k x k x k +-+-= 设()33,M x y ，()44,N x y 则2342834k x x k +=+ 234241234k x x k -=+()2212134k MN k +==+ 则2221234414,333AB S k S MN k k +⎛⎫===+∈+∞ ⎪⎝⎭②当l 垂直于x 轴时易知AB 4= 223b MN a== 此时1243AB S S MN ==综上，21S S 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有动点轨迹方程的求解，直线被椭圆截得的弦长，直线被抛物线截得的弦长，属于较难题目.21．(1)单调递增区间为(),1-∞，单调递减区间为()1,+∞，最大值为2，无最小值(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，判断导数的正负，即可求得答案；（2）设()()()22e 21ex x h x f x g x x x =-=+--，求导，根据导数的正负，判断()h x 的单调性，结合()10h =，即可证明结论；（3）作出函数()2e e x x f x =，()221g x x x =-++的大致图象，数形结合，利用函数的图象，根据函数值判断根的情况，从而证明结论.(1)∵()()()()()22e e 2e e 2e 1e e x x x x x x x f x ''--'== ∴当1x <时0f x ，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞；当1x >时()0f x '<，函数()f x 的单调递减区间为()1,+∞.∴函数()f x 的最大值为()12f =，无最小值.(2)证明：设()()()22e 21ex x h x f x g x x x =-=+-- 则()()()()21e e 2e 122e e x x xx x h x x ---'=+-= ∴()0h x '≥，当且仅当1x =时等号成立∴函数()h x 单调递增，又()10h =∴当1x <时()0h x <，即()()f x g x <当1x >时()0h x >，即()()f x g x >.(3)证明：结合（1）（2）作出函数()2e e xx f x =，()221g x x x =-++的大致图象：当x →-∞时()f x →-∞；当x →+∞时()0f x →令()()12f x f x m ==，则()012m f <<=.又∵二次函数()g x 的图象开口向下，最大值为()12g =∴存在34x x <，使得()()()()3412g x g x f x f x ===.结合（2）的结论以及图象知3142x x x x <<<∵函数()g x 的图象关于直线1x =对称∴342x x +=∴12342x x x x +>+=【点睛】本题综合考查了导数的应用，考查导数与函数的单调性以及最值得关系，以及利用导数证明相关不等式问题，解答时要注意构造函数，从而利用导数判断新函数的性质，进而证明不等式.22．(1)2212y x -= (2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的性质及其点到直线的距离公式即可求解.（2）根据已知条件设出直线AB 方程及A ，B 的坐标，将直线与双曲线方程联立，得出关于y 的 一元二次方程，根据韦达定理得出12,y y 的关系，再根据向量的数量积的坐标运算即可求解.（1）因双曲线C 的中心在原点，一个顶点是(1,0)D ，则设双曲线C 的方程为：2221(0)y x b b -=>，则c()双曲线C 的渐近线为y bx ±=焦点()到渐近线y bx ±=的距离为d =b =所以双曲线C 的方程为2212y x -=. （2）显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 方程：3x ty =-由22322x ty x y =-⎧⎨-=⎩消去x 得：22(21)12160t y ty --+= 当2210t -≠时222(12)64(21)16(4)0t t t ∆=--=+>恒成立设1122(,),(,)A x y B x y ，则 所以1212221216,2121t y y y y t t +==-- 1122(1,),(1,)DA x y DB x y =-=-因此，12121212(1)(1)(4)(4)DA DB x x y y ty ty y y ⋅=--+=--+21212(1)4()16t y y t y y =+-++222216(1)481602121t t t t +=-+=-- 所以DA DB ⋅为定值0.23．（1）()2,2,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭；（2）[]4,1-. 【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式()()242f x f x -+<的解集；（2）由绝对值不等式的意义求出()()13f x f x -++的最小值，得出关于m 的不等式，求解即可．【详解】解：（1）由题知不等式()(24)2f x f x -+< 即2222x x --+<等价于12222x x x <-⎧⎨-+++<⎩或122222x x x -≤≤⎧⎨-+--<⎩ 或22222x x x >⎧⎨---<⎩； 解得<2x -或223x -<≤或2x >，即<2x -或23x >-（2）由题知(1)(3)31(3)(1)4f x f x x x x x -++=-+--+≥+= (1)(3)f x f x ∴-++的最小值为4234m m ∴+≤解得41m -≤≤∴实数m 的取值范围为[4-，1]．。

2017年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则集合A的子集的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．162．已知复数Z=（i是虚数单位），则复数Z的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C． D．3．对于实数x，y，若p：x+y≠4，q：x≠3或y≠1，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若，则|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=（）A．0 B．1 C．32 D．﹣15．据统计2016年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天的游客人数服从正态分布N，则在此期间的某一天，太阳岛的人数不超过2300的概率为（）附；若X～N（μ，σ2）．A．0.4987 B．0.8413 C．0.9772 D．0.99876．已知函数f（x）的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出200粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过100次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数为66，由此可估计的值约为（）A．B．C．D．7．已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，E，F分别是PB，PC的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．执行如图所示的程序框图，若输入x=0，输出K的值为10，则判断框内可填入的条件是（）A．x＞50？ B．x＞90？ C．x＞100？D．x＞200？9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公子仔细算相还．”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程且前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问题第六天走了”（）A．96里B．48里C．12里D．6里10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是（）A．B．C．D．11．已知函数在[0，2）上的最大值为a，在（2，4]上的最小值为b，则a+b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．212．P是双曲线C：x2﹣y2=2左支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F2是双曲线C的右焦点，则|PF2|+|PQ|的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若圆M过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7），则圆M直径的长为．14．已知平面向量的夹角为，且，若平面向量满足=2，则=．15．下列命题中，正确的命题有．①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近0，说明模型的拟合效果越好；④用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码为6号．16．已知数列{a n}满足，则数列{a n•b n}满足对任意的n∈N+，都有b1a n+b2a n+…+b n a1=，则数列{a n•b n}的前n项和T n=．﹣1三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°（∠BAC=15°）方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？18．甲乙两家快递公司其“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元（1）设甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式为f（n），g（n），求f（n），g（n）；（2）假设同一公司的“快递小哥”一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：若将频率视为概率，回答下列问题：①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，且AB⊥AC．（1）求证：AC⊥BB1；（2）若AB=AC=A1B=2，M为B1C1的中点，求二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，M是抛物线C上的任意一点，当M位于第一象限内时，△OFM外接圆的圆心到抛物线C准线的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）过K（﹣1，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，且，点G为x轴上一点，且|GA|=|GB|，求点G的横坐标x0的取值范围．21．已知f（x）=2x﹣ax2+bcosx在点处的切线方程为．（1）求a，b的值及f（x）在[0，π]上的单调区间；（2）若x1，x2∈[0，π]，且x1≠x2，f（x1）=f（x2），求证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．（1）若曲线为参数）与曲线C1相交于两点A，B，求|AB|；（2）若M是曲线C1上的动点，且点M的直角坐标为（x，y），求（x+1）（y+1）的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|ax﹣1|，若f（x）≤2的解集为[﹣1，3]．（1）求实数a的值；（2）若x+y+z=a（x，y，z∈（0，+∞）），求的最小值．2017年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则集合A的子集的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．16【考点】16：子集与真子集．【分析】由≤0，可得（x+1）（x﹣2）≤0，且x≠2，解得x，根据x∈Z，可得x，A．即可得出．【解答】解：由≤0，可得（x+1）（x﹣2）≤0，且x≠2，解得﹣1≤x＜2，又x∈Z，可得x=﹣1，0，1，∴A={﹣1，0，1}．∴集合A的子集的个数为23=8．故选：B．2．已知复数Z=（i是虚数单位），则复数Z的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C． D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数Z得答案．【解答】解：Z==，则复数Z的共轭复数是：．故选：D．3．对于实数x，y，若p：x+y≠4，q：x≠3或y≠1，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由已知可得p⇒q，反之不成立，例如取x=5，y=﹣1．【解答】解：p：x+y≠4，q：x≠3或y≠1，则p⇒q，反之不成立，例如取x=5，y=﹣1．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．4．若，则|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=（）A．0 B．1 C．32 D．﹣1【考点】DB：二项式系数的性质．==（﹣1）r x r，当r为奇数时，＜0．当r为偶数时，【分析】T r+1＞0．可得|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5，对，令x=1，即可得出．==（﹣1）r x r，【解答】解：T r+1当r为奇数时，＜0．当r为偶数时，＞0．∴|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5．对，令x=1，可得：a0+a1+a2+a3+a4+a5=（1﹣1）2=0．故选：A．5．据统计2016年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天的游客人数服从正态分布N，则在此期间的某一天，太阳岛的人数不超过2300的概率为（）附；若X～N（μ，σ2）．A．0.4987 B．0.8413 C．0.9772 D．0.9987【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的对称性得出P（X＞2300），从而可得P（X≤2300）．【解答】解：P=0.9974，∴P（X＞2300）=（1﹣0.9974）=0.0013，∴P（X≤2300）=1﹣0.0013=0.9987．故选D．6．已知函数f（x）的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出200粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过100次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数为66，由此可估计的值约为（）A．B．C．D．【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】根据几何概型的概率计算公式得出阴影部分的面积，再根据定积分的几何意义得出答案．3=6，【解答】解：矩形部分的面积为S矩形=2×由题意可知：==，=．∴S阴影=∴=S阴影=．故选B．7．已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，E，F分别是PB，PC的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用数量积公式求向量夹角，得到所求．【解答】解：建立空间直角坐标系如图，设PA=4，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），P（2，2，2）．所以E（3，1，），F（3，3，），所以=（3，1，），=（﹣1，3，），所以异面直线AE与BF所成角的余弦值为：=；故选：C．8．执行如图所示的程序框图，若输入x=0，输出K的值为10，则判断框内可填入的条件是（）A．x＞50？ B．x＞90？ C．x＞100？D．x＞200？【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=0，K=0执行循环体，x=3，K=2不满足条件，执行循环体，x=9，K=4不满足条件，执行循环体，x=21，K=6不满足条件，执行循环体，x=45，K=8，不满足条件，执行循环体，x=93，K=10由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出K的值为10．可得判断框内可填入的条件是：x＞90？故选：B．9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公子仔细算相还．”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程且前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问题第六天走了”（）A．96里B．48里C．12里D．6里【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果．【解答】解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6==378，解得：a1=192，∴=6．故选：D．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体为半个圆锥与四棱锥的组合体，根据图中数据计算体积．【解答】解：由三视图得到几何体为半个圆锥与四棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，所以几何体的体积为：=；故选C．11．已知函数在[0，2）上的最大值为a，在（2，4]上的最小值为b，则a+b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由函数g（x）=在（﹣∞，2），（2，+∞）单调递减，函数h（x）=cos在[0，4]单调递减，可得函数在[0，2），（2，4]上单调性，即可求得a，b即可．【解答】解：函数g（x）=，函数g（x）是函数y=向右平移2个单位，向上平移1个单位，故函数g（x）在（﹣∞，2），（2，+∞）单调递减；对于函数h（x）=cos，由2k（k∈Z），得8k≤x≤8k+4，故函数h（x）在[0，4]单调递减．∴函数在[0，2）上单调递减，故其最大值为f（0）=a，∴a=1，函数在（2，4]上单调递减，其最小值为f（4）=b，∴b=1．所以a+b=2，故选D．12．P是双曲线C：x2﹣y2=2左支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F2是双曲线C的右焦点，则|PF2|+|PQ|的最小值为（）A．B．C． D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的ab，c，以及一条渐近线方程，运用双曲线的定义，可得|PF2|+|PQ|=|PF1|+2+|PQ|，依题意，当且仅当Q、P、F1三点共线，且P在F1，Q之间时，|PF1|+|PQ|最小，且最小值为F1到l的距离，从而可求得|PF2|+|PQ|的最小值．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2=2的a=b=，c=2，一条渐近线l方程为x﹣y=0，设双曲线的左焦点为F1，连接PF1，由双曲线定义可得|PF2|﹣|PF1|=2a=2，∴|PF2|=|PF1|+2，∴|PF2|+|PQ|=|PF1|+2+|PQ|，当且仅当Q、P、F1三点共线，且P在F1，Q之间时，|PF1|+|PQ|最小，且最小值为F1到l的距离，可得F1（﹣2，0）到l的距离d==，∴|PQ|+|PF2|的最小值为2+=3．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若圆M过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7），则圆M直径的长为10．【考点】J2：圆的一般方程．【分析】设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0（d2+e2﹣4f＞0），代入三点的坐标，解方程可得d，e，f，再化为标准式，可得圆的半径，进而得到直径．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0（d2+e2﹣4f＞0）圆M过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7），可得，解方程可得d=﹣2，e=4，f=﹣20，即圆的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，即为（x﹣1）2+（y+2）2=25，即有圆的半径为5，直径为10．故答案为：10．14．已知平面向量的夹角为，且，若平面向量满足=2，则=．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设出向量，夹角为α，则与夹角为（），由平面向量满足=2，以及三角函数的平方关系得到cosα，再由数量积公式求得．【解答】解：设向量，夹角为α，则与夹角为（），由平面向量满足=2，得到，整理得到sin，代入sin2α+cos2α=1得到cosα=，所以||===；故答案为：15．下列命题中，正确的命题有②④．①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近0，说明模型的拟合效果越好；④用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码为6号．【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据回归直线恒过样本点的中心，不一定过样本点判断①错误；根据方差是表示数据波动大小的量，判断②正确；用相关指数R2刻画回归效果时，R2越接近1说明模型的拟合效果越好判断③错误；根据系统抽样原理求出第1组中抽取的号码值，判断④正确．【解答】解：对于①，回归直线恒过样本点的中心，不一定过任一样本点，∴①错误；对于②，因为方差是表示数据波动大小的量，将一组数据的每个数都加一个相同的常数后，方差不变，∴②正确；对于③，用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近1，说明模型的拟合效果越好，∴③错误；对于④，根据系统抽样原理，样本间隔为=8，第16组抽出的号码为15×8+a0=126，解得a0=6，即第1组中抽取的号码为6号，④正确．综上，正确的命题序号是②④．故答案为：②④．16．已知数列{a n}满足，则数列{a n•b n}满足对任意的n∈N+，都有b1a n+b2a n+…+b n a1=，则数列{a n•b n}的前n项和T n=．﹣1【考点】8E：数列的求和．【分析】对任意的n∈N+，都有b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=，求得n=1的情况，当n≥2时，将n换为n﹣1，相减求得b n=n，可得a n•b n=n•2n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：∵数列{a n}满足，由b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=2n﹣n﹣1，①令n=1，则b1a1=2﹣﹣1，解得b1=．∵b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=2n﹣n﹣1，当n≥2时，b1a n﹣1+b2a n﹣2+…+b n﹣2a2+b n﹣1a1=2n﹣1﹣（n﹣1）﹣1，将上式两边同乘公比2得，b1a n+b2a n﹣1+…b n﹣1a2=2n﹣n﹣1．②①﹣②可得：b n a1=n，（n≥2），由a1=2，可得b n=n，对n=1也成立，则a n•b n=n•2n，T n=（1•2+2•22+3•23+…+n•2n），可得2T n=（1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1），两式相减可得﹣T n=（2+22+23+24+…+2n﹣n•2n+1）=（﹣n•2n+1），化简可得T n=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°（∠BAC=15°）方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）解△BCP，利用BCP中，，在△ABC中，由正弦定理求得；（2）利用正弦定理和余弦定理，分别解△BCD，求得∠CDB．【解答】解：（1）在△BCP中，在△ABC中，由正弦定理得：，所以，船的航行速度是每小时千米．（2）在△BCD中，由余弦定理得：，在△BCD中，由正弦定理得：，所以，山顶位于D处南偏东1350．18．甲乙两家快递公司其“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元（1）设甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式为f（n），g（n），求f（n），g（n）；（2）假设同一公司的“快递小哥”一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：若将频率视为概率，回答下列问题：①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元，由此能求出甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式f（n），g（n）．（2）①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．②乙快递公司的“快递小哥”日平均送单数为45，从而乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为115元，甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元．由此推荐小赵去乙快递公式应聘．【解答】解：（1）甲快递公式的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送单数n 的函数关系式为：y=70+n，n∈N+，∴f（n）=y=70+n，n∈N+．乙快递公式的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：．∴g（n）=．（2）①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，，，所以X的分布列为：②乙快递公司的“快递小哥”日平均送单数为：42×0.2+44×0.4+46×0.2+48×0.1+50×0.1=45，所以乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为70+45×1=115（元），由①知，甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元．故推荐小赵去乙快递公式应聘．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，且AB⊥AC．（1）求证：AC⊥BB1；（2）若AB=AC=A1B=2，M为B1C1的中点，求二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）推导出A1B⊥AC，AB⊥AC，从而AC⊥平面A1ABB1，由此能证明AC ⊥BB1．（2）过点A作AY∥A1B，以射线AB，AC，AY为x，y，z正半轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，∴A1B⊥AC，∵AB⊥AC，A1B∩AB=B，∴AC⊥平面A1ABB1，∵BB1⊂平面A1ABB1，∴AC⊥BB1．解：（2）过点A作AY∥A1B，∵A1B⊥平面ABC，∴AY⊥平面ABC，又AB⊥AC，以射线AB，AC，AY为x，y，z正半轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），由，得B1（4，0，2），C1（2，2，2），M为B1C1的中点，M（3，1，2），，设平在ABM的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得平面ABM的法向量，，平面ABA1的法向量，∴，设二面角M﹣AB﹣A1的平面角为θ，由图知θ锐角，∴二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值为．20．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，M是抛物线C上的任意一点，当M位于第一象限内时，△OFM外接圆的圆心到抛物线C准线的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）过K（﹣1，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，且，点G为x轴上一点，且|GA|=|GB|，求点G的横坐标x0的取值范围．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，点Q在FO的垂直平分线上，运用点到直线的距离，解方程可得p，进而得到所求抛物线的方程；（2）设A，B的坐标，运用向量的坐标运算，设直线l：x=my﹣1，并代入到y2=4x 中，运用韦达定理，可得m和λ，运用对勾函数的单调性，可得4m2的范围，求出AB的垂直平分线方程，令y=0，结合不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（1）F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点（，0），根据题意，点Q在FO的垂直平分线上，所以点Q到准线x=﹣的距离为，所以C：y2=4x．（2）设，①设直线l：x=my﹣1代入到y2=4x中得y2﹣4my+4=0，所以y1+y2=4m，y1y2=4，②由①②可得4m2==λ++2，由2≤λ≤3可得y=λ++2递增，即有4m2∈[，]，又AB中点（2m2﹣1，2m），所以直线AB的垂直平分线的方程为y﹣2m=﹣m（x﹣2m2+1），令y=0，可得．21．已知f（x）=2x﹣ax2+bcosx在点处的切线方程为．（1）求a，b的值及f（x）在[0，π]上的单调区间；（2）若x1，x2∈[0，π]，且x1≠x2，f（x1）=f（x2），求证．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，利用函数f（x）=2x+ax2+bcosx在点处的切线方程为y=π，求a，b的值，利用导数的正负讨论f（x）在[0，π]上的增减性；（2）由（Ⅰ）的单调性，设，推导F（x）的单调性，由x2＞π﹣x1，所以x1+x2＞π，结合单调性，即可得证．【解答】解：（1）f（x）=2x﹣ax2+bcosx在点处的切线方程为y=π，f（x）的导数为f′（x）=2﹣2ax﹣bsinx，可得⇔⇔，所以，①当时，1﹣x≥0，1﹣sinx≥0，可得f′（x）＞0，所以f（x）在为增函数；②当时，，所以f（x）在为减函数；（2）由（1）得f（x）在为增函数，在上为减函数，所以，由f'（x）在恒为负，，设，则，所以F'（x）＞0，所以F（x）在递增，，当时，f（x）＜f（π﹣x），所以f（x1）＜f（π﹣x1），又f（x2）=f（x1），所以，又f（x）在上为减函数，所以x2＞π﹣x1，所以x1+x2＞π，所以，所以．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．（1）若曲线为参数）与曲线C1相交于两点A，B，求|AB|；（2）若M是曲线C1上的动点，且点M的直角坐标为（x，y），求（x+1）（y+1）的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）C1：ρ=1化为直角坐标方程为，为参数）可化为为参数），代入，化简得，设A，B对应的参数为t1，t2，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．（2）M（x，y）在曲线C1上，设为参数），可得（x+1）（y+1）=（cosθ+1）（sinθ+1）=sinθcosθ+sinθ+cosθ+1，令，则，代入化简即可得出．【解答】解：（1）C1：ρ=1化为直角坐标方程为，为参数）可化为为参数），代入，得，化简得，设A，B对应的参数为t1，t2，则，∴．（2）M（x，y）在曲线C1上，设为参数）则（x+1）（y+1）=（cosθ+1）（sinθ+1）=sinθcosθ+sinθ+c osθ+1，令，则，那么，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|ax﹣1|，若f（x）≤2的解集为[﹣1，3]．（1）求实数a的值；（2）若x+y+z=a（x，y，z∈（0，+∞）），求的最小值．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论a的范围，求出x的范围，结合不等式的解集，求出对应a的值即可；（2）求出x+y=1﹣z，根据z的范围，求出u的最小值即可．【解答】解：（1）|ax﹣1|≤2⇒﹣2≤ax﹣1≤2⇔﹣1≤ax≤3，当a＞0时，，当a＜0时，，此时无解，当a=0时，也无解．（2）由x+y+z=1⇒x+y=1﹣z，z∈（0，1），则，所以，此时．2017年8月10日。

2017年哈尔滨三中第四次模拟考试数学（理科）试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．i 是虚数单位32,1i i=-A.1i +B.1i -+C.1i -D.1i --2．从8名女生，4名男生选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样， 则不同的抽取方法种数A.2448C C ⋅B.3438C C ⋅C.612C D.2448A A ⋅3．函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是 A.)(1,0 B. )(2,1 C. )(3,2 D. )(4,34．在ABC ∆中，C B A ,,分别是ABC ∆的三个内角，下列选项中不是．．“B A >”成立 的充要条件的是A.B A sin sin >B.B A cos cos <C.B A tan tan >D.B A 22sin sin >5．已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-3311y x y x y x 则目标函数y x z +=4的最大值为A ．4B ．11C ．12D ．146．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于A ．6B ．7C ．8D ．97．ABC ∆的顶点B 在平面α内，点A ,C 在α的同一侧，BC AB ,与α所成的角分别是︒30 和︒45，若24,3==BC AB ，5=AC ，则AC 与α所成的角为A.︒60B. ︒45C. ︒30D. ︒158．已知()f x 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k ，若()2f k k ≥成立，则()()211f k k +≥+成立，下列命题成立的是A.若()39f ≥成立，则对于任意1k ≥，均有()2f k k ≥成立B.若()416f ≥成立，则对于任意的4k ≥，均有()2f k k <成立C.若()749f ≥成立，则对于任意的7k <，均有()2f k k <成立D.若()425f =成立，则对于任意的4k ≥，均有()2f k k ≥成立9．双曲线22221x y a b-=（0,0>>b a ）的两个焦点为21,F F ，若双曲线上存在一点P ，满足212PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为 A ．(]1,3B ．()31，C ．()∞+，3 D ．[)3,+∞10．某种商品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提供的数据，得出y 与x 的线性回归方程为ˆ 6.517.5yx =+，则表中的m 的值为A ．45B ．50C ．55D ．6011．若直线1=+bya x 通过点()ααsin ,cos M ，则 A.122≤+b a B. 122≥+b a C.11122≤+b a D.11122≥+ba12．设函数)(x f 的定义域是][4,4-，其图象如图，那么不等式0)(≤x f 的解集为 A.][1,2- B. ][][4,12,4⋃--C.)[)[)[ππ,10,2,4⋃-⋃--D. )[()ππ，1,4⋃--二、填空题（每小题5分，共20分）13．由曲线2x y =与3x y =围成的封闭图形的面积为14. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体x的体积为15．ABC ∆中， 2=⋅，ABC ∆的面积为1，则=A16．如果一个正方形的四个点都在三角形的三边上，则该正方形是该三角形的内接正方形，那么面积为4的锐角ABC ∆的内接正方形面积的最大值为 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（12分）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+ （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值； （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．18．（12分）设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程02=++c bx x 实根的个数（重根按一个计） （Ⅰ）求方程02=++c bx x 有实根的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和期望.正视图侧视图俯视图19．（12分）正三棱柱111C B A ABC -中, 2=AB ,D 是AC 中点,且11BC AB ⊥ （Ⅰ）求侧棱1AA 的长；（Ⅱ）求二面角C BC D --1的余弦值.20．（12分）已知函数x a x x a x f )1(21ln )(2+-+= （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若函数0)(≥x f 对定义域内的任意的x 恒成立，求实数a 的取值范围.21．（12分）已知抛物线1C 的方程为2x y =，抛物线2C 的方程为22x y -=，1C 和2C交于A ，B 两点，D 是曲线段AOB 段上异于A ，B 的任意一点，直线AD 交2C 于 点E ，G 为BDE ∆的重心，过G 作1C 的两条切线，切点分别为M ，N ，求线段MN 的长度的取值范围.A1C1BCB1AD请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

2017年哈尔滨市第三中学第四次高考模拟考试数学试卷(理工类）考试说明：本试卷分第I 卷(选择题）和第II 卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟．(1)答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚;（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂， 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整, 字迹清楚；(3)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效;（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题， 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 若复数i z 21+=，则复数z 的模等于 A 。

B. 2 C 。

D 。

2. 设集合{})1(log 2-==x y x A ,{}x y y B -==2，则=B AA.(]2,0 B 。

()2,1 C.()∞+，1 D 。

(]2,13. 已知数列{}n a ,那么“对于任意的n N *∈,点),(nn a n P 都在曲线xy 3=上"是“数列{}na 为等比数列”的A 。

充分不必要条件B 。

必要不充分条件C 。

充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 对于平面α和不重合的两条直线n m 、，下列选项中正确的是 A ．如果,α⊂m n ∥α,n m 、共面,那么m ∥n B ．如果,α⊂m n 与α相交，那么n m 、是异面直线 C ．如果,α⊂m α⊄n ，n m 、是异面直线,那么n ∥αD 。

如果α⊥m ，m n ⊥，那么n ∥α5。

若圆()()22211x y r-++=上有且只有两个点到直线10x y -+=的距离等于2,则半径r 的取值范围是A。

B. C 。

D 。

6。

下面几个命题中,真命题是A 。

“若y x >，则yx 11<"的否命题；B 。

哈三中2016－2017学年度上学期 高三学年期末考试 数学 试卷（理）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合{}1,0,1M =-，{}(2)(1)0N x x x =+-<，则M N = A.{}1,0M =- B.{}0,1M = C.{}0M = D.{}1M =- 2.点P 到直线3y =的距离比到点()0,1F -的距离大2，则点P 的轨迹方程为 A.24y x = B.24y x =- C. 24x y = D. 24x y =- 3.下列说法错误的是A.在ABC ∆中，若A B >，则cos cos A B <B.若2b ac =，则b 为,a c 的等比中项 C.若命题p 与p q ∧为真，则q 一定为真D.若:p ()0,x ∀∈+∞，ln 1x x <-，则:p ⌝()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x ≥-4. 已知三个不同的平面,,αβγ，三条不重合的直线,,m n l ，有下列四个命题：①若,m l n l ⊥⊥，则//m n ；②若,αγβγ⊥⊥，则//αβ；③若βαβα⊥⊂⊥则,,//,n n m m ； ④若//,m n ααβ= ，则//m n 其中真命题的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.已知a =)2,(x ，b )1,2(-=，b a ⊥，则=-b aA ．5B ．52C ．10D ．10 6．已知,31tan ,21)tan(==+ββα则=-)4tan(πα A ．43 B ．43- C ．错误！未找到引用源。

2017年高考(617)哈尔滨市三中2017届高三第四次模拟考试2017年哈尔滨市第三中学第四次高考模拟考试语文试卷本试卷共150分，考试时间150分钟。

考生作答时，请将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．答题时使用0．5毫米黑色签字笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，无破损。

第卷阅读题一、现代文阅读（35分）（一）论述类文本阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1～3题。

公元2世纪中叶，张骞受汉武帝派遣凿空西域，开通丝绸之路，成就了他的一世英名。

这是众所周知的事实。

其实，早在张骞之前，走通东西方通道的，是众多不知名的英雄。

但是，为什么到了张骞之后，丝绸之路才真正建立和发展起来呢？这与丝路此端的汉唐帝国国力的强盛密切相关。

秦穆公称霸西戎，对于东西贸易的开拓有一定的促进作用。

秦朝及汉朝初年，匈奴几乎垄断了通往西域的道路，也自然垄断了丝路贸易。

到了汉武帝之后，凭借父祖几代六十年的休养生息政策积累起来的国力，果断采取反击匈奴的政策，因此才有张骞的出使。

带着军事外交目的出使的张骞，不经意间就发现了经过四川、云南到缅甸而至印度的商贸通道。

张骞第二次出使，携带了更多的物品，分送出使诸国，虽然这不算官方贸易，但却促进了西域诸部族和邦国来华。

这些外邦来使，与其说是向风慕义，不如说是为了经贸往来。

唐朝设立安西四镇以及伊西北庭都护府，对葱岭东西地区的羁縻府州，实行了有效的控制，从而使唐朝的丝绸之路，比之于汉代有了长足的发展。

可以说，汉唐时代的国力强盛，是丝绸之路得以建立、巩固与发展的先决条件。

在西汉张骞打通西域而建立起从中原经新疆至大夏的商路后，中亚原有道路网中的主要干线便成为丝绸之路的西段，从长安横贯中亚、西亚到欧洲，构成了陆上丝绸之路经济带。

黑龙江省哈尔滨市2017届高三数学下学期第四次模拟考试试题理（扫描版）四模数学答案理科13.10 14.3 15.（2）（4） 16.(1)212nn-+17、解：（1）在BCP ∆中，tan 2PCPBC BC BC ∠=⇒= ………………2分 在ABC ∆中，由正弦定理得：002sin sin sin15sin 45BC AB ABBAC BCA =⇒=∠∠………3分所以，1)AB =………………4分船的航行速度是每小时1)千米. ………………6分（2）在BCD ∆中，由余弦定理得：CD =分在BCD ∆中，由正弦定理得：CD sin sin sin 2BC CDB DBC CDB =⇒∠=∠∠……10分所以，山顶位于D 处南偏东0135.………………12分18．解：（Ⅰ）甲快递公司的“快递小哥”一日工资y （单位：元）与送单数n 的函数关系为：70,y n n N *=+∈………………2分乙快递公司的“快递小哥”一日工资y （单位：元）与送单数n 的函数关系为：………………4分（Ⅱ）①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X （单位：元），由条形图得X 的可能取值为100，106，118，130，………………5分P （X =100）==0.2，P （X =106）==0.3，P （X =118）==0.4，P （X =130）==0.1，∴X 的分布列为：………………8分E （X ）=100×0.2+106×0.3+118×0.4+130×0.1=112（元）．………………9分②乙快递公司的“快递小哥”日平均送单数为：42×0.2+44×0.4+46×0.2+48×0.1+50×0.1=45所以乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为：70+45×1=115（元）………………10分 由①知，甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元．………………11分 故推荐小赵去乙快递 公司应聘．………………12分 19. （1）111111=A B ABC A B AC AB AC AC A ABB AC BB A B AB B ⊥⇒⊥⎫⎪⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎪⎭平面 平面 ……………5分 （2）过点A 作1//AY A B ，因为1A B ⊥平面,ABC 所以AY ABC ⊥平面，又AB AC ⊥，以射线,,AB AC AY 为,,x y z 轴正半轴建立空间直角坐标系……………6分 由12AB AC A B ===，得1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2)A B C A 由111(2,0,2)BB CC AA ====得11(4,0,2),(2,2,2)BC == M 为11B C 的中点，所以(3,1,2)M(3,1,2),(2,0,0)AM AB ==，平面ABM 的法向量(0,2,1)n =-……………8分1(2,0,2),(2,0,0)AA AB ==，平面1ABA 的法向量(0,1,0)n =……………9分2,15m n m n m n⋅<>==⋅⋅11分设二面角1M AB A --的平面角为θ，由图知θ锐角， 12分 20．解： （1）根据题设,点在FO 的垂直平分线上，----------------------------1分所以点到准线的距离为32422p p p +=⇒=---------------------3分 2:4C x p ⇒=-------------------------------------4分（2）设()()1122,,,A x yB x y ，12KA KB y y λλ=⇒=，-------------------------------------5分设直线:1l x my =-代入到24y x =中得2440y my -+=，所以()1222122414y y m y y y y λλ+==+==-------------------------------------6分-------------------------------------8又AB 中点()221,2m m -，-------------------------------------10分所以直线AB 的垂直平分线为()2221y m m x m ⎡⎤-=---⎣⎦--------------------11分21. 解：（1）'33241441,220022f a b a a b f ππππππππ⎧⎛⎫⎧=-= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎪⇔⇒==⎨⎨⎛⎫⎪⎪-⋅-== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩………………2分()x x x x f cos 122+-=∴π，()22-sin f x x x π'=-………………3分1当02x π≤≤时，()21-0,1sin 00x x f x π'≥-≥∴>，()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，为增函数………………4分2()()()0sin 22,222sin sin ,2'<--=∴-=->-=≤<x x x f x x x x x πππππππ()f x ∴在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2上减函数………………6分 （2）由（1）得()f x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，为增函数，在⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2为减函数， ππ≤<<≤∴2120x x由()f x '在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2恒为负，1212222x x x x ππππ+>>∴>+>设()()()x f x f x F --=π02x π<<（）()()()()()''2224-2sin 2sin 22F x f x f x x x x x x x xππππππππ⎛⎫⎡⎤'=+=------=--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()'0F x F x ∴>∴在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π递增，……………9分()02F x F π⎛⎫∴<= ⎪⎝⎭……………10分当20π<<x 时，()()()()11f x f x f x f x ππ<-∴<-又()()()()ππππ<-<-<∴=121212,2,x x x f x f x f x f又()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，2减函数ππ>+∴->∴2112x x x x , 1222x x π+∴>,所以0221'<⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f ……………12分22.解：（1）C 1：=1ρ化成直角坐标系下方程为C 1：22x +y =1，………………1分21()2x t C t y t =+⎧⎨=+⎩：是参数可化为21()22x C t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩：是参数，………………3分 代入C 1：22x +y =1，可得221+2=122⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2t 4=0+，设A,B 对应的参数为12t t ，，则1212+=4t t t t ⋅。