课时跟踪检测(八) 分段函数与映射

2021-2022年高中数学课时跟踪检测八函数的表示方法新人教B 版1．已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f (g (2))的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 由函数g (x )的图象知，g (2)＝1，则f (g (2))＝f (1)＝2.2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，则f (f (－7))的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100解析：选A ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，∴f (－7)＝10.f (f (－7))＝f (10)＝10×10＝100.3．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )解析：选D 函数y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，故选D.4．设f (x )＝2x ＋3，g (x )＝f (x －2)，则g (x )＝( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3D ．2x ＋7解析：选B ∵f (x )＝2x ＋3，∴f (x －2)＝2(x －2)＋3＝2x －1，即g (x )＝2x －1，故选B.5．如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则当x ≠0,1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1解析：选B 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则有f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，故选B.6．已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))＝________.x 1 2 3 4 f (x )3241答案：17．已知函数f (x )＝x －mx，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________． 解析：将点(5,4)代入f (x )＝x －m x，得m ＝5. 答案：58．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，若f (x )＝3，则x 的值是________．解析：当x ≤－1时，x ＋2＝3，得x ＝1舍去， 当－1<x <2时，x 2＝3得x ＝3或x ＝－3(舍去)． 答案： 39．(1)已知函数f (x )＝x 2，求f (x －1)； (2)已知函数f (x －1)＝x 2，求f (x )． 解：(1)f (x －1)＝(x －1)2＝x 2－2x ＋1.(2)法一(配凑法)：因为f (x －1)＝x 2＝(x －1)2＋2(x －1)＋1，所以f (x )＝x 2＋2x ＋1. 法二(换元法)：令t ＝x －1，则x ＝t ＋1，可得f (t )＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1，即f (x )＝x 2＋2x ＋1.10．已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示函数f (x )； (2)画出函数f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域． 解：(1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．层级二 应试能力达标1．某学生离开家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，用y 轴表示离学校的距离，x 轴表示所用的时间，则符合学生走法的只可能是( )解析：选D 在A 、C 中，x ＝0时，y ＝0，即该学生一出家门就与学校的距离为零，显然不对，又因为该学生一开始跑步，单位时间内走得路程多，余下的路程步行，单位时间内走得路程少，故选D.2．已知函数f (x ＋1)＝x 2－x ＋3，那么f (x －1)的表达式是( ) A ．f (x －1)＝x 2＋5x －9 B ．f (x －1)＝x 2－x －3 C ．f (x －1)＝x 2－5x ＋9D ．f (x －1)＝x 2－x ＋1解析：选C f (x ＋1)＝(x ＋1)2－3(x ＋1)＋5， 所以f (x )＝x 2－3x ＋5，f (x －1)＝(x －1)2－3(x －1)＋5＝x 2－5x ＋9，故选C.3．函数y ＝f (x )(f (x )≠0)的图象与x ＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．0或1D ．1或2解析：选C 结合函数的定义可知，如果f ：A →B 成立，则任意x ∈A ，则有唯一确定的B 与之对应，由于x ＝1不一定是定义域中的数，故x ＝1可能与函数y ＝f (x )没有交点，故函数f (x )的图象与直线x ＝1至多有一个交点．4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧Cx ，x ＜A ，C A ，x ≥A(A ，C 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 由条件可知，x ≥A 时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一段，即x ＜A 时的解析式，故f (4)＝C4＝30，解得C ＝60.从而f (A )＝60A＝15，解得A ＝16.5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，2－x ，－2≤x <0，的值域是________．解析：当x ≥0时，f (x )≥1， 当－2≤x <0时，2<f (x )≤4，∴f (x )≥1或2<f (x )≤4，即f (x )的值域为[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)6．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x ，则f (x )的解析式为________．解析：∵f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x ，① ∴将x 换成1x，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )＋1x .②由①②消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x，得 f (x )＝－23x －x3，即f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0)．答案：f (x )＝－x 2＋23x(x ≠0)7．根据函数y ＝f (x )的图象(如图所示)写出它的解析式． 解：当0≤x ＜1时，f (x )＝2x ； 当1≤x ＜2时，f (x )＝2； 当x ≥2时，f (x )＝3. 故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0≤x ＜1，2， 1≤x ＜2，3， x ≥2.8．A ，B 两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A 地到B 地，在B 地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A 地．写出该车离A 地的距离s (公里)关于时间t (小时)的函数关系，并画出函数图象．解：(1)汽车从A 地到B 地，速度为50公里/小时，则有s ＝50t ，到达B 地所需时间为15050＝3(小时)．(2)汽车在B 地停留2小时，则有s ＝150.(3)汽车从B 地返回A 地，速度为60公里/小时，则有s ＝150－60(t －5)＝450－60t ，从B 地到A 地用时15060＝2.5(小时)． 综上可得：该汽车离A 地的距离s 关于时间t 的函数关系为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧50t ，0≤t ≤3，150，3<t ≤5，450－60t ，5<t ≤7.5.函数图象如图所示．K39045 9885 颅20738 5102 儂27436 6B2C 欬30561 7761 睡37790 939E 鎞V39406 99EE 駮BX31454 7ADE 竞o+40831 9F7F 齿36812 8FCC迌。

分段函数及映射基础达标1． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f [g (π)]的值为( )．A ．1B ．0C ．－1D ．π解析 由题设，g (π)＝0，f [g (π)]＝f (0)＝0.答案 B2． f (x )＝|x －1|的图象是( )．解析 ∵f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，x ≥1，1－x ，x ＜1，x ＝1时，f (1)＝0可排除A 、C.又x ＝－1时f (－1)＝2，排除D.答案 B3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α＝( )．A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2解析 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，∴α＝－4；当α＞0时，f (α)＝α2＝4，∴α＝2或－2(舍去)．答案 B5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x ＞1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f 2的值是________． 解析 f (2)＝22＋2－2＝4，∴1f 2＝14， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516. 答案 15166．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ b a ≥b ，a a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是________．解析 由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x x ≥1，x x <1，当x ≥1时，f (x )＝2－x ≤1；当x <1时，f (x )<1，∴f (x )的值域为(－∞，1]．答案 (－∞，1]7．已知函数f (x )＝1＋|x |－x 2(－2＜x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出该函数的图象；(3)写出该函数的值域．解 (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x 2＝1， 当－2＜x ＜0时，f (x )＝1＋－x －x 2＝1－x . ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，0≤x ≤2，1－x ，－2＜x ＜0.(2)函数f (x )的图象如图所示：(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．能力提升8．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于 ( )．A ．－13B.13C ．－23D.23解析 由图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，0＜x ＜1，x ＋1，－1＜x ＜0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13. 答案 B9．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ≥0，0，x ＜0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．解析 当x ≥0时，f (x )＝1，由xf (x )＋x ≤2，知x ≤1，∴0≤x ≤1；当x ＜0时，f (x )＝0，∴x ＜0.综上：x ≤1.答案 {x |x ≤1}10．某市出租车的计价标准是：4 km 以内10元，超过4 km 且不超过18 km 的部分1.2元/km ，超过18 km 的部分1.8元/km.(1)如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；(2)如果某人乘车行驶了20 km ，他要付多少车费？ 解 (1)由题意知，当0＜x ≤4时，y ＝10；当4＜x ≤18时，y ＝10＋1.2(x －4)＝1.2x ＋5.2；当x ＞18时，y ＝10＋1.2×14＋1.8(x －18)＝1.8x －5.6. 所以，所求函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10，0＜x ≤4，1.2x ＋5.2，4＜x ≤18，1.8x －5.6，x ＞18.(2)当x ＝20时，y ＝1.8×20－5.6＝30.4.所以乘车行驶了20 km 要付30.4元的车费．。

分段函数与映射一、选择题1．给出如图所示的对应：其中组成从A 到B 的映射的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．62．映射f ：A →B ，在f 作用下A 中元素(x ，y )与B 中元素(x －1,3－y )对应，则与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是( )A ．(－1,2)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(－1,3)3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －5， x ≥6，f x ＋2， x ＜6，则f (3)为A ．2B ．3C ．4D ．54．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x －1， x ≥0，1x ， x <0若f (a )>1，则实数a 的取值范围是________．5．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费符合f (m )＝错误!其中[m ]表示不超过m 的最大整数，从甲地到乙地通话分钟的话费是( )A ．B ．4.24C ．D ．二、填空题6．已知集合A ＝{1,2,3,4}，集合B ＝{3,4}．若令M ＝A ∩B ，N ＝∁A B ，那么从M 到N 的映射有________个．7．若概念运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ b ，a ≥b ，a ，a <b .则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________． 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋bx ＋c ，x ≤02， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________．三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，x >4.(1)求f {f [f (5)]}的值；(2)画出函数的图象．10．如图所示，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点(起点)向A 点(终点)移动．设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ＝f (x )．(1)求△ABP 的面积与P 移动的路程的函数关系式；(2)作出函数的图象，并依照图象求f (x )的最大值．答 案课时跟踪检测(八)1．选A ①是映射，是一对一；②③是映射，知足关于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应；④⑤不是映射，是一对多；⑥不是映射，a 3、a 4在集合B 中没有元素与之对应．2．选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，3－y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，因此与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是(1,2)．3．选A f (3)＝f (3＋2)＝f (5)，f (5)＝f (5＋2)＝f (7)．∵f (7)＝7－5＝2，故f (3)＝2.4．解析：当a ≥0时，f (a )＝12a －1>1，解得a >4，符合a ≥0； 当a <0时，f (a )＝1a>1，无解． 答案：(4，＋∞)5．选C f ＝××[]＋2)＝×＋2)＝.6．解析：M ＝A ∩B ＝{3,4}，N ＝∁A B ＝{1,2}，从M 到N 可组成4个不同的映射，它们别离是①3→1,4→2；②3→2,4→1；③3→1,4→1；④3→2,4→2.答案：47.解析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≥1，x ，x <1，画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．答案：(－∞，1]8．解析：由f (－4)＝f (0)⇒(－4)2＋b ×(－4)＋c ＝c ，f (－2)＝－2⇒(－2)2＋b ×(－2)＋c ＝－2，解得b ＝4，c ＝2.则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0. 由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ⇒x 2＋3x ＋2＝0⇒x ＝－2或x ＝－1，即当x ≤0时，有两个解．当x >0时，有一个解x ＝2.综上，f (x ) ＝x 有3个解．答案：39.解：(1)∵5>4，∴f (5)＝－5＋2＝－3.∵－3<0，∴f [f (5)]＝f (－3)＝－3＋4＝1.∵0<1<4，∴f {f [f (5)]}＝f (1)＝12－2×1＝－1，即f {f [f (5)]}＝－1.(2)图象如右上图所示．10．解：(1)函数的概念域为(0,12)．当0<x ≤4时，S ＝f (x )＝12×4×x ＝2x ；当4<x ≤8时，S ＝f (x )＝12×4×4＝8；当8<x <12时，S ＝f (x )＝12×4×(12－x )＝24－2x .∴函数解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ∈0，4]，8，x ∈4，8]，24－2x ，x ∈8，12.(2)图象如右图所示．从图象能够看出[f (x )]max ＝8.。

课时分层作业(八) 分段函数与映射(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋5，x ≥4，x －2，x <4，则f (3)的值是( )A ．1B ．2C ．8D ．9A [f (3)＝3－2＝1.]2．函数f (x )＝x ＋|x |x 的图象是( )A B C DC [当x >0时，f (x )＝x ＋xx ＝x ＋1， 当x <0时，f (x )＝x －1，且x ≠0， 根据一次函数图象可知C 正确． 故选C.]3．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是()A ．RB ．[0，2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0，3]B [当0≤x ≤1时，0≤2x ≤2，即0≤f (x )≤2；当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3.综上可知f (x )的值域为[0，2]∪{3}．]4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0，x 2，0<x ≤3，若f (x )＝3，则x 的值是( )A ． 3B ．9C ．－1或1D ．－3或 3A [依题意，若x ≤0，则x ＋2＝3，解得x ＝1，不合题意，舍去．若0<x ≤3，则x 2＝3，解得x ＝－3(舍去)或x ＝ 3.故选A.]5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水量为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米A [该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎨⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10.由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13.] 二、填空题6．已知A ＝R ，B ＝{x |x ≥1}，映射f ：A →B ，且A 中元素x 与B 中元素y ＝x 2＋1对应，则当y ＝2时，x ＝________．±1 [由x 2＋1＝2得x ＝±1，故填±1.]7．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式是________．f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1 [由题图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1，0)，(0，1)代入解析式，则⎩⎨⎧－a ＋b ＝0，b ＝1，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，即f (x )＝x ＋1. 当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1，即f (x )＝－x . 综上，f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ＜0，－x ，0≤x ≤1.]8．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．－12 [在同一平面直角坐标系内，作出函数y ＝2a 与y ＝|x －a |－1的大致图象，如图所示．由题意，可知2a ＝－1，则a ＝－12.] 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，x >4.(1)求f (f (f (5)))的值；(2)画出函数f (x )的图象． [解] (1)因为5>4，所以f (5)＝－5＋2＝－3. 因为－3<0，所以f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1. 因为0<1≤4.所以f (f (f (5)))＝f (1)＝12－2×1＝－1. (2)f (x )的图象如下：10．如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C ，D ，A 绕周界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．[解] 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4×x ＝2x ； 当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.[等级过关练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x >10，f （f （x ＋5）），x ≤10，则f (5)的值是( )A ．24B ．21C ．18D ．16A [f (5)＝f (f (10))，f (10)＝f (f (15))＝f (18)＝21，f (5)＝f (21)＝24.]2．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，从A 到B 的映射f ：(x ，y )→(x ＋y ，x －y )的映射下，B 中的元素为(4，2)对应的A 中元素为( )A ．(4，2)B ．(1，3)C ．(6，2)D ．(3，1)D [∵从A 到B 的映射f ：(x ，y )→(x ＋y ，x －y )，B 中元素为(4，2)，∴⎩⎨⎧x ＋y ＝4x －y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.∴集合A 中的元素为(3，1)．]3．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a的值为________．－34 [当a ＞0时，1－a ＜1，1＋a ＞1，∴2(1－a )＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32(舍去)．当a ＜0时，1－a ＞1，1＋a ＜1，∴－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.]4．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．(－∞，1] [由题意得f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≥1，x ，x <1，画出函数f (x )的图象得值域为(－∞，1]．]5．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：(1)请写出y 关于x 的函数关系式；(2)有一职工八月份交纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？ [解] (1)由题意，得y ＝⎩⎨⎧0，0≤x ≤5 000，（x －5 000）×3%，5 000<x ≤8 000，90＋（x －8 000）×10%，8 000<x ≤17 000，990＋（x －17 000）×20%，17 000<x ≤30 000.(2)∵该职工八月份交纳了54元的税款，∴5 000<x ≤8 000，(x －5 000)×3%＝54，解得x ＝6 800.故这名职工八月份的工资是6 800元．。

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课时达标训练1.设函数f(x)=则f的值为( )A.-1B.C.D.4【解析】选C.f(2)=22+2-2=4,=,f=1-=.2.下列对应为A到B的函数的是( )A.A=R,B={y|y>1},f:x→y=|x|B.A=Z,B=N*,f:x→y=x2C.A=Z,B=Z,f:x→y=D.A=[-1,1],B={0},f:x→y=0【解析】选D.由函数的定义可知,对于A,0∈R,且|0|=0∉B,故A不是A到B的函数;对于B,0∈Z,且02=0∉N*,故B不是A到B的函数;对于C,当x<0时,如-2∈Z,但无意义,故C不是A到B的函数;对于D,是多对一的情形,符合函数的定义,是A到B的函数.3.已知f(x)=则f(x)的定义域为( )A.RB.(-∞,1]C.(-∞,2)D.(1,+∞)【解析】选C.分段函数的定义域是每段定义域的并集,故f(x)的定义域为{x|x≤1}∪{x|1<x<2}={x|x<2}.4.设函数f(x)=则f(f(2))=________;函数f(x)的值域是________.【解析】f(2)=,f(f(2))=f=-,当x>1时,f(x)∈(0,1),当x≤1时,f(x)∈[-3,+∞),所以f(x)∈[-3,+∞).答案:-[-3,+∞)5.设A=Z,B={x|x=2n-1,n∈Z},且从A到B的映射是x→2x-1,则A中的元素1在B中与之对应的元素是________.【解析】与A中元素1对应的B中元素为2×1-1=1.答案:16.已知y=f(x)的图象如图,则f(x)=________.【解析】当0≤x≤1时,设y=kx,将(1,1)代入得k=1,所以y=x;当1≤x≤2时,设y=k′x+b,将(1,1),(2,0)代入得k′=-1,b=2,所以y=2-x.故f(x)=答案:7.设函数f(x)=若方程f(x)=t有三个不等实根,求t的取值范围.作出函数f(x)=的图象如图,【解析】故t的取值范围是(0,1).关闭Word文档返回原板块。

课时跟踪检测（八） 分段函数与映射层级一 学业水平达标1．下列对应关系f 中，能构成从集合A 到集合B 的映射的是( ) A ．A ＝{x |x >0}，B ＝R ，f ：x →|y |＝x 2 B ．A ＝{－2,0,2}，B ＝{4}，f ：x →y ＝x 2 C ．A ＝R ，B ＝{y |y >0}，f ：x →y ＝1x 2D ．A ＝{0,2}，B ＝{0,1}，f ：x →y ＝x2解析：选D 对于A ，集合A 中元素1在集合B 中有两个元素与之对应；对于B ，集合A 中元素0在集合B 中无元素与之对应；对于C ，集合A 中元素0在集合B 中无元素与之对应．故A 、B 、C 均不能构成映射．2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，则f (f (－7))的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100解析：选A ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，∴f (－7)＝10.f (f (－7))＝f (10)＝10×10＝100.3．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )解析：选D 函数y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，故选D.4．若a ，b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →2x 表示把集合M 中的元素x映射到集合N 中为2x ，则a ＋b ＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．±2解析：选C 由题意知M 中元素b a 只能对应0,1只能对应a ，所以2ba ＝0，a ＝2，所以b ＝0，a ＝2，因此a ＋b ＝2，故选C. 5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x <1，1x ，x >1的值域是( )A.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ B ．(0,1) C.⎣⎡⎭⎫34，1D ．(0，＋∞)解析：选D 当x <1时，f (x )＝x 2－x ＋1的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞；当x >1时，f (x )＝1x 的值域是(0,1)，所以f (x )的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞∪(0,1)＝(0，＋∞)．6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥1，1x ，x <1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫13＝________. 解析：依题意，得f ⎝⎛⎭⎫13＝113＝3，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫13＝f (3)＝32－1＝8. 答案：87．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，若f (x )＝3，则x 的值是________．解析：当x ≤－1时，x ＋2＝3，得x ＝1舍去， 当－1<x <2时，x 2＝3得x ＝3或x ＝－3(舍去)． 答案： 38．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝________.解析：∵f (－1)＝1，∴f (a )＝2－f (－1)＝1. 当a ≥0时，由a ＝1知a ＝1. 当a <0时，由－a ＝1知a ＝－1.故a ＝±1. 答案：±19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5，x ≤1，－2x ＋8，x >1.(1)求f (2)及f (f (－1))的值； (2)若f (x )≥4，求x 的取值范围． 解：(1)f (2)＝－2×2＋8＝4. ∵f (－1)＝－1＋5＝4，∴f (f (－1))＝f (4)＝－2×4＋8＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋5≥4，x ≤1，解得－1≤x ≤1；由⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋8≥4，x >1，解得1<x ≤2. 综上，满足f (x )≥4的x 的取值范围是[－1,2]． 10．已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．解：(1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1；当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．层级二 应试能力达标1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈(0，1]，则函数f (x )的图象是( )解析：选A 当x ＝－1时，y ＝0，即图象过点(－1,0)，D 错；当x ＝0时，y ＝1，即图象过点(0,1)，C 错；当x ＝1时，y ＝2，即图象过点(1,2)，B 错．故选A.2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．4 C ．2D ．－4解析：选B 由已知有f ⎝⎛⎭⎫43＝2×43＝83. f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－43＋1＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＝2×23＝43. 所以f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝83＋43＝4.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1，若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B ．78C ．34D ．12解析：选D f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝f ⎝⎛⎭⎫3×56－b ＝f ⎝⎛⎭⎫52－b .当52－b <1，即b >32时，3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍去)．当52－b ≥1，即b ≤32时，2×⎝⎛⎭⎫52－b ＝4，解得b ＝12.故选D. 4．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1≥2，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，2－x ，－2≤x <0的值域是________．解析：当x ≥0时，f (x )≥1， 当－2≤x <0时，2<f (x )≤4，∴f (x )≥1或2<f (x )≤4，即f (x )的值域为[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水量为________立方米．解析：该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10.由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13. 答案：137.如图所示，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)．(1)求f (f (0))的值； (2)求函数f (x )的解析式． 解：(1)直接由图中观察，可得 f (f (0))＝f (4)＝2.(2)设线段AB 所对应的函数解析式为y ＝kx ＋b ，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0代入，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝b ，0＝2k ＋b .得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，k ＝－2.∴y ＝－2x ＋4(0≤x ≤2)．同理，线段BC 所对应的函数解析式为 y ＝x －2(2<x ≤6)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，0≤x ≤2，x －2，2<x ≤6.8．A ，B 两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A 地到B 地，在B 地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A 地．写出该车离A 地的距离s (公里)关于时间t (小时)的函数关系，并画出函数图象．解：(1)汽车从A 地到B 地，速度为50公里/小时，则有s ＝50t ，到达B 地所需时间为15050＝3(小时)．(2)汽车在B 地停留2小时，则有s ＝150.(3)汽车从B 地返回A 地，速度为60公里/小时，则有s ＝150－60(t －5)＝450－60t ，从B 地到A 地用时15060＝2.5(小时)．综上可得：该汽车离A 地的距离s 关于时间t 的函数关系为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧50t ，0≤t ≤3，150，3<t ≤5，450－60t ，5<t ≤7.5.函数图象如图所示．。

课时追踪检测（八）分段函数与映照层级一 学业水平达标1．以下对应关系 f 中，能组成从会合 A 到会合 B 的映照的是 ()A ． A ＝{ x | x >0} ，B ＝ R ， f ： x →|y | ＝x 2B ． A ＝{ － 2,0,2} ， B ＝ {4} ， f ： x → y ＝ x 21C ． A ＝R ， B ＝ { y | y >0} ， f ： x → y ＝ x 2xD ． A ＝{0,2} ， B ＝ {0,1} ， f ： x →y ＝ 2分析：选D对于 A ，会合 A 中元素 1 在会合 B 中有两个元素与之对应； 对于 B ，会合 A中元素 0 在会合 B 中无元素与之对应； 对于 C ，会合 A 中元素 0 在会合 B 中无元素与之对应． 故 A 、 B 、 C 均不可以组成映照．10， x <0，的值为()2．已知 f ( x ) ＝则 f ( f ( － 7))10x ， x ≥0，A ． 100B ． 10C ．－ 10D ．－ 100分析：选 A∵f ( x ) ＝10， x <0，∴ f ( －7) ＝ 10.10x ， x ≥0，f ( f ( －7)) ＝ f (10) ＝10×10＝ 100.3．以下图形是函数 y ＝ x | x | 的图象的是 ()分析：选 D 函数y ＝ | | ＝x 2， x ≥0，应选 D.－ x 2， x <0，x x4．已知会合 M ＝{ x |0 ≤ x ≤4} ， N ＝{0|0 ≤ y ≤2} ，按对应关系 f 不可以组成从 M 到 N 的映射的是 ()A ． ： → 1B ． ： → 1＝＝fx y 2xfx y 3x2C ． f ：x → y ＝ 3xD ． f ： x → y ＝ x分析：选 C 由于当＝4 时，28f 不可以组成从到＝ ×4＝ ? ，所以 C 中的对应关系x y33NM N的映照．2x ，0≤ x ≤1，．函数f ( x ) ＝ 2， 1<x <2，的值域是()53，x ≥2A ． RB ． [0,2] ∪ {3}C ． [0 ，＋∞)D ． [0,3]分析：选 B先求各段上的图象，再求各段值域的并集，即为该函数的值域．x 2－ 1， x ≥1，11， x <1，6．已知 f ( x ) ＝则 f f 3 ＝ ________.x1 112分析：依题意，得f 3 ＝ 1＝ 3，则 f f 3 ＝ f (3) ＝ 3 － 1＝ 8.3 答案： 87．函数 f ( x ) ＝x ＋ 2，x ≤－ 1，若 f ( x ) ＝ 3，则 x 的值是 ________．2，－ 1< <2，x x分析：当 x ≤－ 1 时， x ＋2＝ 3，得 x ＝ 1 舍去，当－ 1< <2 时， x 2＝3 得 x ＝ 3或x ＝－3(舍去 )．x答案：38．在映照 f ： A → B 中， A ＝ B ＝ {( x ，y )| x ， y ∈ R}，且 f ： ( x ， y ) →(x － y ， x ＋y ) ，则与 A 中的元素 ( － 1,2) 对应的 B 中的元素为 ________．分析：由题意知， 与 A 中元素 ( － 1,2) 对应的 B 中元素为 ( －1－ 2，－ 1＋ 2) ，即 ( －3,1) ．答案： ( － 3,1)x 2－ 4，0≤ x ≤2，9．已知函数 f ( x ) ＝2x ， x >2.(1) 求 f (2) ， f ( f (2)) 的值；(2) 若 f ( x 0) ＝ 8，求 x 0 的值．解： (1) ∵0≤ x ≤2时， f ( x ) ＝ x 2－ 4，∴ f (2) ＝ 22－ 4＝ 0，f ( f (2)) ＝ f (0) ＝ 02－ 4＝－ 4.(2) 当 0≤ x 0≤2时，2由 x 0－ 4＝ 8，得 x 0＝±2 3( 舍去 ) ；当 x 0>2 时，由 2x 0＝8，得 x 0 ＝4.∴ x 0＝ 4.| x| －x10．已知函数 f ( x)＝1＋( －2<x≤2) ．(1)用分段函数的形式表示函数 f ( x)；(2)画出函数 f ( x)的图象；(3)写出函数 f ( x)的值域．解： (1) 当 0≤x≤2时，f ( x) ＝ 1＋x－ x2＝1，－x－ x当－ 2<x<0 时，f ( x) ＝ 1＋2＝1－x.1，0≤x≤2，所以 f ( x)＝1－x，－ 2<x<0.(2)函数 f ( x)的图象以下图．(3)由 (2) 知，f ( x) 在 ( － 2,2] 上的值域为 [1,3) ．层级二应试能力达标x＋1， x∈[－1，0]，1．已知函数f ( x) ＝x2＋1，x∈， 1]，则函数 f ( x)的图象是()分析：选 A 当x＝－ 1 时，y＝ 0，即图象过点 ( － 1,0) ，D 错；当x＝ 0 时，y＝1，即图象过点 (0,1) ， C 错；当x＝ 1 时，y＝ 2，即图象过点 (1,2) ，B 错．应选 A.2．已知函数y＝x2＋1， x≤0，使函数值为 5 的x的值是 ()－ 2x，x>0，5A．－ 2B．2 或－25C．2 或－ 2 D ．2或－2或－2分析：选 A当 x≤0时，令 x2＋1＝5，解得 x＝－2；当 x>0时，令－2x＝5，得 x＝－52，不合题意，舍去．3．已知映照 f ：A→ B，此中会合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，会合 B 中的元素在A 中都能找到元素与之对应，且对随意的a∈ A，在 B 中和它对应的元素是|a|，则会合B中元素的个数是()A． 4B．5C． 6D． 7分析：选－2 对应会合A 注意到对应法例是f：a→|a| B中的元素2；1和－1对应会合，所以3 和－3 对应会合B 中的元素1；4对应会合B中的元素B中的元素3；2 和4. 所以B＝{1,2,3,4}，有 4 个元素．4．某单位为鼓舞员工节俭用水，作出了以下规定：每位员工每个月用水量不超出10 立方米的，按每立方米m元收费；用水量超出10 立方米的，超出部分按每立方米2m元收费．某员工某月缴水费16m元，则该员工这个月实质用水量为()A． 13 立方米 B ．14 立方米C． 18 立方米 D ．26 立方米分析：选A该单位员工每个月应缴水费y 与实质用水量x 知足的关系式为mx，0≤ x≤10，y＝由 y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝ 16m，解得x＝13.2mx－ 10m，x>10.x2＋1， x≥0，5．函数f ( x) ＝的值域是________．2－x，－ 2≤x<0，分析：当 x≥0时， f ( x)≥1，当－ 2≤x<0 时， 2<f ( x) ≤4，∴f ( x)≥1或2<f ( x)≤4，即 f ( x)的值域为[1，＋∞)．答案： [1 ，＋∞)12x－1，x≥0，6．设函数f ( x) ＝若f(a)>1，则实数a的取值范围是________．1x， x<0，1分析：当 a≥0时， f ( a)＝2a－1>1，解得 a>4，切合 a≥0；1当 a<0时， f ( a)＝a>1，无解．答案： (4 ，＋∞)7.以下图，函数 f ( x)的图象是折线段 ABC，此中 A， B，C的坐标分别为 (0,4) ， (2,0) ，(6,4) ．(1)求 f ( f (0))的值；(2)求函数f (x)的分析式．解：(1) 直接由图中察看，可得f ( f (0))＝ f (4)＝2.(2)设线段 AB所对应的函数分析式为 y＝ kx＋b，x＝0，x＝2，将与代入，y＝4y＝04＝b，b＝4，解得得0＝ 2k＋b.k＝－2.∴ y＝－2x＋4(0≤ x≤2)．同理，线段BC所对应的函数分析式为y＝ x－2(2< x≤6)．－ 2x＋ 4，0≤x≤2，∴f ( x)＝x－2，2<x≤6.8．A，B两地相距150 公里，某汽车以每小时50 公里的速度从 A 地到 B 地，在 B 地停留 2 小时以后，又以每小时60 公里的速度返回 A 地．写出该车离 A 地的距离s(公里)对于时间t (小时)的函数关系，并画出函数图象．解： (1) 汽车从A地到B地，速度为50 公里 / 小时，则有s＝50t ，抵达 B 地所需时间为15050＝3(小时)．(2)汽车在 B 地逗留2小时，则有 s＝150.(3) 汽车从B地返回A地，速度为60 公里 / 小时，则有s＝150－60( t －5)＝450－60t ，150从 B地到 A地用时60＝2.5(小时)．综上可得：该汽车离 A 地的距离s关于时间t的函数关系为s ＝50t，0≤t≤3，150， 3<t≤5，450－ 60t，5<t≤7.5.函数图象以下图．。

分段函数与映射一、选择题1．给出如图所示的对应：其中构成从A 到B 的映射的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．62．映射f ：A →B ，在f 作用下A 中元素(x ，y )与B 中元素(x －1,3－y )对应，则与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是( )A ．(－1,2)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(－1,3)3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －5， x ≥6，f x ＋2， x ＜6，则f (3)为A ．2B ．3C ．4D ．54．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x －1， x ≥0，1x ， x <0若f (a )>1，则实数a 的取值范围是________．5．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费符合f (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧3.71，0<m ≤4，1.060.5×[m ]＋2，m >4，其中[m ]表示不超过m 的最大整数，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是( )A ．3.71B ．4.24C ．4.77D ．7.95二、填空题 6．已知集合A ＝{1,2,3,4}，集合B ＝{3,4}．若令M ＝A ∩B ，N ＝∁A B ，那么从M 到N 的映射有________个．7．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ b ，a ≥b ，a ，a <b .则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________． 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋bx ＋c ，x ≤02， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________．三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，x >4.(1)求f {f [f (5)]}的值；(2)画出函数的图象．10．如图所示，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点(起点)向A 点(终点)移动．设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ＝f (x )．(1)求△ABP 的面积与P 移动的路程的函数关系式；(2)作出函数的图象，并根据图象求f (x )的最大值．答 案课时跟踪检测(八)1．选A ①是映射，是一对一；②③是映射，满足对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应；④⑤不是映射，是一对多；⑥不是映射，a 3、a 4在集合B 中没有元素与之对应．2．选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，3－y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，所以与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是(1,2)．3．选A f (3)＝f (3＋2)＝f (5)，f (5)＝f (5＋2)＝f (7)．∵f (7)＝7－5＝2，故f (3)＝2.4．解析：当a ≥0时，f (a )＝12a －1>1，解得a >4，符合a ≥0； 当a <0时，f (a )＝1a>1，无解． 答案：(4，＋∞)5．选C f (5.2)＝1.06×(0.5×[5.2]＋2)＝1.06×(2.5＋2)＝4.77.6．解析：M ＝A ∩B ＝{3,4}，N ＝∁A B ＝{1,2}，从M 到N 可构成4个不同的映射，它们分别是①3→1,4→2；②3→2,4→1；③3→1,4→1；④3→2,4→2.答案：47.解析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≥1，x ，x <1，画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．答案：(－∞，1]8．解析：由f (－4)＝f (0)⇒(－4)2＋b ×(－4)＋c ＝c ，f (－2)＝－2⇒(－2)2＋b ×(－2)＋c ＝－2，解得b ＝4，c ＝2.则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0.由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ⇒x 2＋3x ＋2＝0⇒x ＝－2或x ＝－1，即当x ≤0时，有两个解．当x >0时，有一个解x ＝2.综上，f (x ) ＝x 有3个解．答案：39.解：(1)∵5>4，∴f (5)＝－5＋2＝－3.∵－3<0，∴f [f (5)]＝f (－3)＝－3＋4＝1.∵0<1<4，∴f {f [f (5)]}＝f (1)＝12－2×1＝－1，即f {f [f (5)]}＝－1.(2)图象如右上图所示．10．解：(1)函数的定义域为(0,12)．当0<x ≤4时，S ＝f (x )＝12×4×x ＝2x ；当4<x ≤8时，S ＝f (x )＝12×4×4＝8；当8<x <12时，S ＝f (x )＝12×4×(12－x )＝24－2x .∴函数解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ∈0，4]，8，x ∈4，8]，24－2x ，x ∈8，12.(2)图象如右图所示．从图象可以看出[f (x )]max ＝8.。

学业分层测评(八) 分段函数及映射(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2(x ≤1)x 2＋x －2(x >1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (2)的值为( )A.1516 B ．－2716 C.89D ．18【解析】 当x ＞1时，f (x )＝x 2＋x －2，则f (2)＝22＋2－2＝4，∴1f (2)＝14，当x ≤1时，f (x )＝1－x 2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－116＝1516.故选A. 【答案】 A2．设集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，在下图中能表示从集合A 到集合B 的映射的是( )【导学号：97030042】【解析】 在A 中，当0＜x ＜1时，y ＜1，所以集合A 到集合B 不成映射，故A 不成立； 在B 中，当1≤x ≤2时，y ＜1，所以集合A 到集合B 不成映射，故B 不成立；在C 中，当0≤x ≤1时，任取一个x 值，在0≤y ≤2内，有两个y 值与之相对应，所以构不成映射，故C 不成立；在D 中，当0≤x ≤1时，任取一个x 值，在0≤y ≤2内，总有唯一确定的一个y 值与之相对应，故D 成立．故选D.【答案】 D3．已知f (x )＝⎩⎨⎧x －5(x ≥6)f (x ＋2)(x <6)，则f (3)＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 由题意，得f (3)＝f (5)＝f (7)， ∵7≥6，∴f (7)＝7－5＝2.故选A. 【答案】 A4．(2016·杭州高一检测)在映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，且f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，则与B 中的元素(－1,1)对应的A 中的元素为( )A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(－1，－3)D ．(－2,0)【解析】 由题意，⎩⎨⎧x －y ＝－1x ＋y ＝1，解得x ＝0，y ＝1，故选A.【答案】 A5．设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2(x ≤－1)x 2(－1<x <2)2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x ＝( )【导学号：97030043】 A. 3 B ．±3 C ．－1或 3D ．不存在【解析】∵f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2(x ≤－1)x 2(－1<x <2)2x (x ≥2)，f (x )＝3，∴⎩⎨⎧ x ＋2＝3x ≤－1或⎩⎨⎧ x 2＝3－1<x <2或⎩⎨⎧2x ＝3x ≥2，∴x ∈∅或x ＝3或x ∈∅，∴x ＝ 3. 【答案】 A二、填空题6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，－1≤x <0－12x ，0<x <23，x ≥2，则f ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫－34的值为________，f (x )的定义域是________． 【解析】 ∵－1<－34<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋2＝12.而0<12<2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12×12＝－14. ∵－1<－14<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋2＝32.因此f ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫－34＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}． 【答案】 32 {x |x ≥－1且x ≠0}7．已知函数f (x )的图象如图1-2-3所示，则f (x )的解析式是______．图1-2-3【解析】 由题图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎨⎧ －a ＋b ＝0b ＝1，∴⎩⎨⎧a ＝1b ＝1，即f (x )＝x ＋1；当0<x <1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1，即f (x )＝－x . 综上，f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ＜0－x ，0≤x ≤1.【答案】 f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋1，－1≤x <0－x ，0≤x ≤18．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧b ，a ≥ba ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．【解析】 由题意得f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≥1x ，x <1，画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．【答案】 (－∞，1] 三、解答题9．画出函数y ＝|x ＋1|＋|x －3|的图象，并写出其值域． 【导学号：97030044】【解】由y ＝|x ＋1|＋|x －3|＝错误!∴函数图象如图，由图象易知函数的值域为[4，＋∞)．10.如图1-2-4，动点P 从边长为4的正方形ABCD的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕周界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．图1-2-4【解】 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4×x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤48，4<x ≤824－2x ，8<x ≤12.[能力提升]1．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 一定是( ) A ．∅ B ．∅或{1} C ．{1}D ．∅【解析】 由题意可知，集合A 中可能含有的元素为：当x 2＝1时，x ＝1，－1；当x 2＝2时，x ＝2，－ 2.所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合．无论含有几个元素，A ∩B ＝∅或{1}．故选B.【答案】 B2．下列图形是函数y ＝⎩⎨⎧x 2，x <0x －1，x ≥0的图象的是( )【解析】 由于f (0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x <0时，y ＝x 2，则函数图象是开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分．因此只有图形C 符合．【答案】 C3．(2016·常州高一检测)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x <1－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________. 【导学号：97030045】【解析】 当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，∴2(1－a )＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32(舍去)． 当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，∴－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34. 【答案】 －344．“水”这个曾经被人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2 000亿元，给我国农业造成的损失达1 500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x (x ≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y (单位：元)．【解】 由题意可知：①当x ∈[0,5]时，f (x )＝1.2x .②若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，即当x ∈(5,6]时， f (x )＝1.2×5＋(x －5)×3.6＝3.6x －12.③当x ∈(6,7]时，f (x )＝1.2×5＋1×3.6＋(x －6)×6＝6x －26.4.∴f (x )＝⎩⎨⎧1.2x ，x ∈[0，5]3.6x －12，x ∈(5，6]6x －26.4，x ∈(6，7].。

第2课时 分段函数及映射一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ， x ≤0，x 2， x >0，若f (α)＝4，则实数α等于( ) A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或22．下列集合A 到集合B 的对应中，能构成映射的是( )3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( ) A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0,3]D ．{x |0≤x ≤2或x ＝3}4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ∈[－1，1]，x ，xD ∈/[－1，1]，若f [f (x )]＝2，则x 的取值范围是( ) A ．∅ B ．[－1,1]C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．{2}∪[－1,1]5．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≥0，x ，x <0，φ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x 2，x <0，则当x <0时，f [φ(x )]为( ) A ．－x B ．－x 2 C ．x D ．x 26．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米 二、填空题7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的定义域是________． 8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，x <0，π，x ＝0，x ＋1，x >0，则f {f [f (－1)]}＝________.9．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ≥0，0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________． 10．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是________． 三、解答题11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x ，x ＞1，x 2＋1，－1≤x ≤1，2x ＋3，x ＜－1.(1)求f (2＋1)与f [f (1)]的值；(2)若f (a )＝32，求a 的值． 12．设集合A ＝[0，12)，B ＝[12，1]，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2(1－x )，x ∈B ，若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，求x 0的取值范围．13．如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕边界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．答案精析1．B 2.D 3.D 4.D 5.B6．A [该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ， 0≤x ≤10，2mx －10m ， x >10. 由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13(立方米)．]7．[0，＋∞) 8.π＋1 9.{x |x ≤1}10．(－∞，1]11．解 (1)f (2＋1)＝1＋12＋1＝1＋2－1＝ 2. ∵f (1)＝12＋1＝2，∴f [f (1)]＝f (2)＝1＋12＝32. (2)当a ＞1时，f (a )＝1＋1a ＝32， ∴a ＝2；当－1≤a ≤1时，f (a )＝a 2＋1＝32， ∴a ＝±22； 当a ＜－1时，f (a )＝2a ＋3＝32， ∴a ＝－34(舍去)． 综上，a ＝2或a ＝±22. 12．解 因为x 0∈A ，所以0≤x 0<12，且f (x 0)＝x 0＋12， 又12≤x 0＋12<1，所以(x 0＋12)∈B ， 所以f [f (x 0)]＝2(1－x 0－12)＝2(12－x 0)， 又f [f (x 0)]∈A ，所以0≤2(12－x 0)<12， 所以14<x 0≤12. 13．解 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ； 当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时， y ＝12×4×(12－x )＝24－2x . 综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， 0≤x ≤4，8， 4<x ≤8，24－2x ， 8<x ≤12.。

课时作业9 分段函数与映射时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．下列对应不是映射的是( )解析：按映射的定义判断应满足一对一或多对一，且M 中元素无剩余． 答案：D2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2.若f (x )＝3，则x ＝( )A ．1B ．± 3 C.32D. 3解析：若⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝3x ≤－1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ≤－1无解；若⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3－1<x <2，⎩⎨⎧x ＝±3－1<x <2，∴x ＝ 3.若⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3x ≥2，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32x ≥2.无解．综上可知：x ＝ 3. 答案：D3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0,3]D ．[0,2]∪{3}解析：作出f (x )的图象，由图象可知，f (x )的值域为[0,2]∪{3}．答案：D4．函数y ＝x ＋|x |x的图象是( )解析：对于y ＝x ＋|x |x，当x >0时，y ＝x ＋1；当x <0时，y ＝x －1.即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0，故其图象应为C.答案：C5．函数f (x )＝x 2－2|x |的图象是( )解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0，分段画出，应选C.答案：C6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥00，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是( )A ．x ≤1B ．x ≤2C ．0≤x ≤1D ．x <0解析：当x ≥0时，f (x )＝1，xf (x )＋x ≤2⇔x ≤1， ∴0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，xf (x )＋x ≤2⇔x ≤2，∴x <0， 综上，x ≤1. 答案：A二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥2，f x ＋3，x <2，则f (1)－f (3)＝________.解析：f (1)＝f (1＋3)＝f (4)＝42＋1＝17，f (3)＝32＋1＝10，∴f (1)－f (3)＝17－10＝7.答案：78．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，其中y 轴左侧为一条线段，右侧为一段抛物线，则f (x )的解析式为________．解析：当－2≤x ≤0时，设y ＝ax ＋b ， 代入(－2,0)与(0,2)，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－2a ＋b ，2＝b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.∴y ＝x ＋2.当0<x ≤3时，设y ＝a (x －2)2－2， 代入(0,2)得a ＝1. ∴y ＝(x －2)2－2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， －2≤x ≤0，x －22－2， 0<x ≤3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， －2≤x ≤0，x －22－2， 0<x ≤3.9．某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3 km(含3 km)，3 km 后到10 km(含10 km)每多走1 km(不足1 km 按1 km 计)加价0.5元，10 km 后每多走1 km 加价0.8元，某人坐出租车走了13 km ，他应交费________元．解析：由题意，设出租车行驶了x km ，应交费f (x )元， 则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6，0≤x ≤36＋0.5x －3，3<x ≤106＋0.510－3＋0.8x －10，x >10，∴当x ＝13时， f (x )＝6＋0.5(10－3)＋0.8(13－10)＝11.9.答案：11.9三、解答题(共计40分)10．(10分)下列对应关系中，哪些是从集合A 到集合B 的映射？ (1)A ＝{1,4,9}，B ＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f ：x →x 的平方根； (2)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 的倒数；(3)A ＝N ，B ＝{0,1,2}，f ：x →x 被3除所得的余数．解：(1)不是，不符合映射的概念，如x ＝1时，在集合B 中与之对应的元素有两个：1，－1；(2)不是，不符合映射的概念，如x ＝0时，在集合B 中没有元素与之对应；(3)对于任意自然数，被3除所得的余数可能为0,1,2中的一个，而0,1,2都是集合B 中的元素，所以f 是A 到B 的映射．11．(15分)已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)作出该函数的图象，并写出该函数的值域． 解：(1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1；当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示，由图象知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．——能力提升——12．(15分)国家规定个人稿费的纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4 000元的按超过800元的部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税．(1)试根据上述规定建立某人所得稿费x 元与纳税额y 元的函数关系式；(2)某人出了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费是多少元？ 解：(1)纳税额y 元与稿费x 元之间的函数关系为： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x ≤800，x －800×14%，800<x ≤4 000，11%x ，x >4 000.(2)令(x －800)×14%＝420，解得x ＝3 800∈(800,4 000]，而令11%x ＝420，解得x ＝3 818211∉(4 000，＋∞)，故舍去．∴这个人的稿费为3 800元．。

学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2(x ≤1)x 2＋x －2(x >1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (2)的值为( )A .1516 B ．－2716 C.89D ．18【解析】 当x ＞1时，f (x )＝x 2＋x －2，则f (2)＝22＋2－2＝4，∴1f (2)＝14，当x ≤1时，f (x )＝1－x 2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－116＝1516.故选A . 【答案】 A2．设集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，在下图中能表示从集合A 到集合B 的映射的是( )【解析】 在A 中，当0＜x ＜1时，y ＜1，所以集合A 到集合B 构不成映射，故A 不成立；在B 中，当1≤x ≤2时，y ＜1，所以集合A 到集合B 构不成映射，故B 不成立；在C 中，当0≤x ≤2时，任取一个x 值，在1≤y ≤2内，有两个y 值与之相对应，所以构不成映射，故C 不成立；在D 中，当0≤x ≤1时，任取一个x 值，在1≤y ≤2内，总有唯一确定的一个y 值与之相对应，故D 成立．故选D.【答案】 D3．已知f (x )＝⎩⎨⎧x －5，x ≥6f (x ＋2)，x<6，则f (3)＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 由题意，得f (3)＝f (5)＝f (7)， ∵7≥6，∴f (7)＝7－5＝2.故选A . 【答案】 A4．在映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，且f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，则与B 中的元素(－1,1)对应的A 中的元素为( )A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(－1，－3)D ．(－2,0)【解析】 由题意，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1x ＋y ＝1，解得x ＝0，y ＝1，故选A .【答案】 A5．设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1x 2，－1<x <22x ，x ≥2，若f (x )＝3，则x ＝( )A . 3B ．±3C ．－1或 3D ．不存在【解析】∵f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1x 2，－1<x <22x ，x ≥2，f (x )＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝3x ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝3－1<x <2或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3x ≥2，∴x ∈∅或x ＝3或x ∈∅，∴x ＝ 3.故选A . 【答案】 A 二、填空题6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，－1≤x <0－12x ，0<x <23，x ≥2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34的值为________，f (x )的定义域是________． 【解析】 ∵－1<－34<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋2＝12.而0<12<2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12×12＝－14. ∵－1<－14<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋2＝32.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1，且x ≠0}．【答案】 32 {x |x ≥－1，且x ≠0}7．已知函数f (x )的图象如图1-2-5所示，则f (x )的解析式是______．图1-2-5【解析】 由题图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，即f (x )＝x ＋1. 当0<x <1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1，即f (x )＝－x . 综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0－x ，0≤x ≤1.【答案】 f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x <0－x ，0≤x ≤1.8．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧b ，a ≥ba ，a<b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．【解析】 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1x ，x <1，画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．【答案】 (－∞，1] 三、解答题9．如图1-2-6，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．图1-2-6(1)求f (x )的解析式； (2)写出f (x )的值域．【解】 (1)当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝k x ＋b(k ≠0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1b ＝1，∴y ＝x ＋1， 当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1. ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，得a ＝14，∴f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ≤014(x －2)2－1，x >0.(2)当－1≤x ≤0时，y ∈[0,1]． 当x >0时，y ∈[－1，＋∞)． ∴函数值域为[0,1]∪[－1，＋∞) ＝[－1，＋∞)．10．如图1-2-7，动点P 从边长为4的正方形A BCD 的顶点B 开始，顺次经C ，D ，A 绕周界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△A PB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．图1-2-7【解】当点P在BC上运动，即0≤x≤4时，y＝12×4×x＝2x；当点P在CD上运动，即4<x≤8时，y＝12×4×4＝8；当点P在DA上运动，即8<x≤12时，y＝12×4×(12－x)＝24－2x.综上可知，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，0≤x≤48，4<x≤824－2x，8<x≤12.[能力提升]1．下列图形是函数y＝⎩⎨⎧x2，x<0x－1，x≥0的图象的是()【解析】由于f(0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x<0时，y＝x2，则函数图象是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分．因此只有图形C符合．【答案】C2．集合A＝{a，b}，B＝{－1,0,1}，从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B的个数是()A．2 B．3C．5 D．8【解析】由f(a)＝0，f(b)＝0，得f(a)＋f(b)＝0；由f(a)＝1，f(b)＝－1，得f(a)＋f(b)＝0；由f(a)＝－1，f(b)＝1，得f(a)＋f(b)＝0，共3个．【答案】 B3．已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩⎨⎧2x＋a，x<1－x－2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________.【解析】 当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，∴2(1－a )＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32(舍去)．当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，∴－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34. 【答案】 －344．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x (x ≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y (单位：元)．【解】 ①当x ∈[0,5]时，f (x )＝1.2x .②若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，即当x ∈(5,6]时，f (x )＝1.2×5＋(x －5)×3.6＝3.6x －12.③当x ∈(6,7]时，f (x )＝1.2×5＋1×3.6＋(x －6)×6＝6x －26.4. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1.2x ，x ∈[0，5]3.6x －12，x ∈(5，6]6x －26.4，x ∈(6，7].。