广渠门中学初三第一学期9月月考数学试题答案2014.9.26

2021-2022学年北京市东城区广渠门学校九年级第一学期月考数学试卷（10月份）一、选择题（共10小题；共30分）请把答案填在以下表格里1．中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方后得到的方程是（）A．（x﹣1）2＝5B．（x+2）2＝5C．（x+1）2＝5D．（x+2）2＝3 3．方程x2﹣2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根4．已知由二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2可知（）A．其图象的开口向下B．x＞3时，y随x增大而增大C．其顶点坐标为（4，2）D．其图象的对称轴为直线x＝45．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＞07．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a ≠0）．若此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒8．若函数y＝x2+3x+c的图象过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则下列说法正确的是（）A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y2＜y1＜y3D．y1＜y2＜y39．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（）A．B．C．4D．610．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，P为此抛物线对称轴l上任意一点，则△APC的周长的最小值是（）A．2B．3C．5D．+二、填空题（共8小题；共16分）11．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，1）关于原点的对称点P′的坐标是．12．写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向上；②图象过原点，这个二次函数的解析式可以是．13．某网店2020年一月份销售一种商品1000件，2020年三月份销售该种商品2500件，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意，可列方程为．14．如果关于x的方程mx2+（m﹣1）x+5＝0有一个解是2，那么m＝．15．若抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是．16．点P（﹣1，4）绕原点顺时针旋转90°得到点p'，点p'的坐标为．17．如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，且AD＝3，将△ABD绕点A旋转到△ACE的位置，连接DE，则DE的长为．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，1），B（4，1），将抛物线y＝x2沿x轴向右平移m（m＞0）个单位长度后，使其与线段AB（含端点）没有交点，那么m的取值范围是．三、解答题（共8小题；共54分）。

县(市区) 学校 班级 姓名 座位号2014-2015学年度第一学期第一次月考试卷九年级数学(试题卷)题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．B ． a x 2+bx+c=0C ． （x ﹣1）（x+2）=1D ． 3x 2﹣2xy ﹣5y 2=0 2．若x=﹣2是关于x 的一元二次方程x 2﹣ax+a 2=0的一个根，则a 的值为（ ） A ． 1或4 B ． ﹣1或﹣4 C ． ﹣1或4 D ． 1或﹣43．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等于（ ） A ． 3.5 B ． 4 C ． 7 D ． 14第3题图 第10题图4．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ） A ． 对角线互相平分 B ． 对角线互相垂直 C ． 对角线相等 D ． 对角线互相垂直且相等5．若x 1，x 2是一元二次方程x 2+10x+16=0的两个根，则x 1+x 2的值是（ ） A ． ﹣10 B ． 10 C ． ﹣16 D ． 166．目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x ，则下面列出的方程中正确的是（ ） A ． 438（1+x ）2=389 B ．389（1+x ）2=438 C ． 389（1+2x ）2=438 D ．438（1+2x ）2=389 7．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率 A ． B ． C ． D ． 2 A ． （x+1）2=0 B ． （x ﹣1）2=0 C ． （x+1）2=2 D ． （x ﹣1）2=2 9．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x ﹣2）（x ﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（ ）A．11 B．11或13C．13 D．以上选项都不正确10．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2B．a2C．a2D．a2二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足（a﹣1）2+=0，那么菱形的面积等于_________．12．关于x的一元二次方程x2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为_________．13．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为_________．14.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是_____ ____．15．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD其中正确结论的为_________（请将所有正确的序号都填上）．第15题图三．（本大题共2小题，每小题5分，满分10分）16. (1)（x﹣3）2﹣9=0．(2) (x＋1)(2－x)=1四、（本大题共3小题，每小题6分，满分18分）17. (1)已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，求k的值．18.甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司缴税的年平均增长率为多少? 19．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED为菱形；（2）连接AE、BE，AE与BE相等吗？请说明理由．五、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）20．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？21．第17届亚运会正在韩国仁川如火如荼的进行，爸爸想通过一个游戏决定小明能否看今晚的比赛：在一个不透明的盒子中放入三张卡片，每张卡片上写着一个实数，分别为3，，2（每张卡片除了上面的实数不同以外其余均相同），爸爸让小明从中任意取一张卡片，如果抽到的卡片上的数是有理数，就让小明看比赛，否则就不能看．（1）请你直接写出按照爸爸的规则小明能看比赛的概率；（2）小明想了想，和爸爸重新约定游戏规则：自己从盒子中随机抽取两次，每次抽取一张卡片，第一次抽取后记下卡片上的数，再将卡片放回盒中抽取第二次，如果抽取的两数之积是有理数，自己就看比赛，否则就不看．请你用列表法或树状图法求出按照此规则小明看比赛的概率．六、（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）22.如图，AD 是△ABC 的角平分线，线段AD 的垂直平分线分别交AB 和AC 于点E 、F ，连接DE 、DF.（1）试判定四边形AEDF 的形状，并证明你的结论； （2）若AE=5，AD=8，求EF 的长；（3）△ABC 满足什么条件时，四边形AEDF 是正方形？请说明理由.F A C E B DO23．选取二次三项式ax2+bx+c（a≠0）中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如①选取二次项和一次项配方：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2；②选取二次项和常数项配方：，或③选取一次项和常数项配方：根据上述材料，解决下面问题：（1）写出x2﹣8x+4的两种不同形式的配方；（2）已知x2+y2+xy﹣3y+3=0，求x y的值．2014-2015学年度第一学期第一次月考九年级数学参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项CBAAABCDCD二．填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）11． _2__．12． _6__．13． _-2___． 14． _12 _． 15． _①③④．三．（本大题共2小题，每小题5分，满分10分）16．(1)解：移项得：（x ﹣3）2=9， (2)开平方得：x ﹣3=±3， 则x ﹣3=3或x ﹣3=﹣3， 解得：x 1=6，x 2=0．四、（本大题共3小题，每小题6分，满分18分）17． 解：∵关于x 的方程（k ﹣1）x 2﹣（k ﹣1）x+=0有两个相等的实数根，∴△=0， ∴[﹣（k ﹣1）]2﹣4（k ﹣1）=0， 整理得，k 2﹣3k+2=0，即（k ﹣1）（k ﹣2）=0，解得：k=1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k=2． ∴k=2．18. 解： 设该公司缴税的年平均增长率为x 则有40（1+x ）（1+x ）＝48.4 解出x ＝0.1，即10％所以该公司缴税的年平均增长率为10％19．（1）证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴四边形DOCE 是平行四边形，∵矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∴OC=AC=BD=OD ，∴四边形OCED 为菱形； ∴AE=BE ．五、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）（2）列表如下：3 23 9 363 3 426 4 8所有等可能的情况有9种，其中抽取的两数之积是有理数的情况有5种，则按照此规则小明看比赛的概率P=．六、（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）22解：（1）证明：∵四边形ABCD正方形，∴∠B=∠D=90°,AB=AD.∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF.∴Rt△ABE≌Rt△ADF,∴BE=DF,∵BC=CD, ∴CE=CF.（2）在Rt△EFC中，设EC=FC=x 根据勾股定理解得x=2设正方形ABCD的边长为x，则2222)2(=-+xx解得X= 262±（舍负）正方形ABCD的周长为4×262+6222+=23.．。

2023北京广渠门中学初三（上）期中数 学本试卷共8页，100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无．．．．．．．效．． 一、选择题（共8小题，每道小题2分，共16分）1. 习近平总书记提出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．下列图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.2. 下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）A. 31y x =−B. 21y x =C. 231y x x =+−D. 321y x =− 3. 若关于x 的一元二次方程230x x m −+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（ ）A. 9−B. 94−C. 94D. 94. 如图将ABC 绕点A 顺时针旋转90︒到ADE ，若50DAE ∠=︒，则CAD ∠=（ ）A. 30︒B. 40︒C. 50︒D. 90︒ 5. 如图，O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于点C ，则OC 的长为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y （单位：米）与飞行的水平距离x （单位：米）之间具有函数关系21531682y x x =−++，则小康这次实心球训练的成绩为（ ）A. 14米B. 12米C. 11米D. 10米7. y 是x 的二次函数，其对应值如下表：A. 该二次函数的图象的对称轴是直线 1x =B. 1m =C. 当3x >时，y 随x 的增大而增大D. 图象与x 轴有两个公共点8. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点M 在AD 边上自A 至D 运动，点N 在BA 边上自B 至A 运动，M ，N 速度相同，当N 运动至A 时，运动停止，连接CN ，BM 交于点P ，则AP 的最小值为（ ）A. 1B. 2 1二、填空题（共8小题，每道小题2分，共16分）9. 点(3,2)−关于原点对称的点的坐标为_______．10. 已知2x =是一元二次方程220x mx −+=的一个根，则另一个根是_________．11. 某种型号的芯片每片的出厂价为400元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每次降价的百分率都为x ，降价后的出厂价为144元、依题意可列方程为：___________．12. 如图，平面直角坐标系中，AB x ⊥轴于点B ，点A 的坐标为(32)，，将AOB 绕原点O 顺时针旋转90︒得到A OB ''△，则A '的坐标是_____．13. 若抛物线24y x =向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是________．14. 关于x 的方程220x x c +−=无实数根，则二次函数22y x x c =+−的图象的顶点在第______ 象限． 15. 已知点()()1,,2,m n −在二次函数223(0)y ax ax a =++>的图象上，则m _____________n ．（填“>”“<”或“=”）16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2y ax bx =+，其中0a b +>，下列结论：①若这个函数的图象经过点(2,0)，则它必有最大值；②若这个函数的图象经过第三象限的点P ，则必有a<0；③若a<0，则方程20ax bx +=必有一根大于1；④若0a >，则当112x ≤≤时，必有y 随x 的增大而增大． 结合图象判断，所有正确结论的序号是____________．二、解答题（共12小题，共68分）17. 按要求解下列方程．（1）用因式分解法解：250x x +=；（2）用公式法解：2310x x ++=．18. 小北同学解方程2210x x −−=的过程如下所示．解方程：2210x x −−=．解：221x x −=⋯第一步2(1)1x −=⋯第二步10x =，22x =⋯第三步（1）小北同学是用___________（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）来求解的，从第___________步开始出现错误．（2）请你用与小北同学相同的方法解该方程．19. 若m 是关于x 的一元二次方程210x x −−=的根，求2322−+m m 的值．20. 已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点(1,10),(2,8)A B −−两点．（1）求b ，c 的值．（2）求该函数图象与x 轴的交点坐标．21. 已知抛物线22(21)y x m x m m =−−+−．（1）求证：此抛物线与x 轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线33y x m =−+的一个交点在y 轴上，求m 的值．22. 如图，正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：（1）画出与ABC 关于坐标原点O 成中心对称的111A B C △．（2）111A B C △的面积为___________．（3）将ABC 绕某点逆时针旋转90︒后，其对应点分别为2(1,2)A −−，2(1,3)B −，2(0,5)C −，则旋转中心的坐标为___________．23. 如图，已知△ABC 是等边三角形，在△ABC 外有一点D ，连接AD ，BD ，CD ，将△ACD 绕点A 按顺时针方向60旋转得到△ABE ，AD 与BE 交于点F ，∠BFD ＝97°．（1）求∠ADC 的大小；（2）若∠BDC ＝7°，BD ＝2，BE ＝4，求AD 的长．24. 2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，官渡区某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为34米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践若设菜地的宽AB 为x 米．（1）BC =（ ）米（用含x 的代数式表示）；（2）若围成的菜地面积为96平方米，求此时的宽AB ．25. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法． 赵爽在其所著的《公股圆方图注》中记载了解方程25140x x +−=，即(5)14x x +=的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是2(5)x x ++，其中四个全等的小矩形面积分别为(5)14x x +=，中间的小正方形面积为25，所以大正方形的面积又可表示为24145⨯+，据此易得原方程的正数解为2x =．任务：（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程23100x x −−=解法的正确构图是___________（从序号①②③中选择）．（2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程22150x x +−=的正数解（写出必要的思考过程）26. 在平面直角坐标系xOy 中，点123(1)(1)(2)y y y −，，，，，在抛物线2y ax bx =+上．（1）若12a b ==−，，求该抛物线的对称轴并比较1y ，2y ，3y 的大小；（2）已知抛物线的对称轴为x t =，若2310y y y <<<，求t 的取值范围．27. 已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α︒<<︒），得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．（1）如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数；（3）联结AF ，求证：DE =．28. 定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x m =，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m 的部分关于直线x m =的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m 的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x m =的“镜面函数”．例如：图①是函数1y x =+的图象，则它关于直线0x =的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为1(0)1(0)x x y x x +≥⎧=⎨−+<⎩，也可以写成1y x =+．（1）在图③中画出函数21y x =−+关于直线1x =的“镜面函数”的图象．（2）函数222y x x −=+关于直线=1x −的“镜面函数”与直线y x n =−+有三个公共点，求n 的值． （3）已知抛物线242(0)y ax ax a =−+<，关于直线0x =的“镜面函数”图像上的两点()11,P x y ，()22,Q x y ，当111t x t −≤≤+，24x ≥时，均满足12y y ≥，直接写出t 的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题，每道小题2分，共16分）1. 【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A .该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D.该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了轴对称图形和中心对称图形，将一个图形沿着某条直线翻折，直线两侧能完全重合的图形叫轴对称图形；将一个图形绕一点旋转180度后能与自身完全重合的图形叫中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．2. 【答案】C【分析】利用二次函数定义：一般地，形如y=ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数进行解答即可．【详解】解：A 、y =3x -1是一次函数，故此选项不合题意；B 、21y x =不是二次函数，故此选项不合题意； C 、y =3x 2+x -1是二次函数，故此选项符合题意；D 、y =2x 3-1不是二次函数，故此选项不合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．3. 【答案】C【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得Δ0=，进而即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程230x x m −+=有两个相等的实数根，∴24940b ac m ∆=−=−=． 解得：94m =． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．4. 【答案】B【分析】由旋转的性质可得50BAC DAE ∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，即可求解．【详解】解：由旋转的性质，得50BAC DAE ∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，∴40CAD BAD BAC ∠=∠−∠=︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键．5. 【答案】C【分析】由于OC AB ⊥于点C ，所以由垂径定理可得142AC AB ==，在Rt ABC 中，由勾股定理即可得到答案．【详解】解：在O 中，∵OC AB ⊥，8AB = ∴142AC AB == ∵在Rt ABC 中，5OA =，4AC =∴由勾股定理可得：3OC ===故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理的性质，熟练运用垂径定理并结合勾股定理是解答本题的关键．6. 【答案】B【分析】根据铅球落地时，高度0y =，把实际问题可理解为当0y =时，求x 的值即可．【详解】解：当0y =时，则215301682x x −++=， 解得2x =−（舍去）或12x =．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．7. 【答案】D【分析】由待定系数法求出二次函数的解析式，求出对称轴，可以判断A ，当0x =时，求出m 的值，可以判断B ，根据a 的值和对称轴确定y 随x 的变化情况，可以判断C ，根据根的判别式确定与x 轴的交点个数，可以判断D ，从而得到答案．【详解】解：设二次函数为2y ax bx c =++，则01424a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=−+⎩，解得：121a b c =⎧⎪=−⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为：221y x x =−+， 对称轴为：2122b x a −=−=−=，故选项A 正确， 当0x =时，1y =，1m ∴=，故选项B 正确，10a ∴=>，∴图象开口向上，∴当1x ≥时，y 随x 的增大而增大，∴当3x >时，y 随x 的增大而增大，故选项C 正确，()22424110b ac ∆=−=−−⨯⨯=，∴图象与x 轴有一个公共点，故选项D 错误，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是采用待定系数法，求出二次函数的解析式．8. 【答案】C【分析】先确定点P 的运动轨迹为以BC 为直径的一段弧，再求AP 的最小值即可【详解】解：如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴,90AB BC CD DA A ABC ===∠=∠=︒，∴90BCN BNC ∠+∠=︒，又BN AM =,∴ABM BCN ∆≅∆，∴ABM BCN ∠=∠，∴90ABM BNC ∠+∠=︒，∴90BPC BPN ∠=∠=︒，∴点P 的运动轨迹为以BC 为直径的一段弧，如图2所示，连接1AO 交弧于点P ，此时，AP 的值最小，在1Rt ABO ∆中，112,12AB BO BC ===，由勾股定理得，1AO ===，∴111AP AO PO =−=，故选：C【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及圆的性质，知道线段最短时点的位置并能确定出最小时点的位置是解题关键．二、填空题（共8小题，每道小题2分，共16分）9. 【答案】(3,2)−【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可．【详解】解：点()3,2−关于原点对称的点的坐标为()3,2−，故答案为：()3,2−．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点(),x y 关于原点O 的对称点是(),x y −−．10. 【答案】1x =【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．【详解】解：设该方程的另一个根为a ，则根据一元二次方程根与系数的关系可得：22a =，∴1a =；故答案为1x =．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．11. 【答案】2400(1)144x −=【分析】平均每次降价的百分率为x ，则第一次降价后的价格400(1)x −元，第二次降价后的价格为2400(1)x −元．根据降价后的出厂价为144元，列出方程即可．【详解】解：根据题意，列方程为2400(1)144x −=．故答案为：2400(1)144x −=．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据所设未知数，表示出第二次降价后价格是解决本题的关键．12. 【答案】(23)−，【分析】根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A '的坐标．【详解】解：如图．∵将AOB 绕原点O 顺时针旋转90︒得到A OB ''△，∴23A B AB OB OB ''==='=，，90OA B OBA ∠=∠=''︒，∴(23)A '−，． 故答案为：(23)−，． 【点睛】此题考查了旋转变换、点的坐标及旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转的三要素，及旋转的性质：()a b ，绕原点顺时针旋转90︒得到的坐标为()b a −，． 13. 【答案】()2421y x =−−【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：平移后的抛物线的解析式是()2421y x =−−，故答案为：()2421y x =−−【点睛】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 14. 【答案】二【分析】由程220x x c +−=无实数根，可知抛物线与x 轴没有交点，由二次项系数大于0可知抛物线在x 轴的上方，然后结合对称轴即可求解．【详解】解：∵关于x 的方程220x x c +−=无实数根，∴二次函数22y x x c =+−的图象与x 轴没有交点，∵10a =>，∴二次函数22y x x c =+−的图象开口向上，∴抛物线在x 轴上方， ∵对称轴为直线12b x a=−=−， ∴抛物线顶点在第二象限．故答案为：二．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，以及二次函数与坐标轴的交点问题，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．15. 【答案】>【分析】根据二次函数的图象性质，得对称轴=1x −，结合对称性判断．【详解】解：二次函数223(0)y ax ax a =++>， 对称轴为212a x a=−=−， ∵1(1)21(2)1−−=>−−−=，∴(1,)m 与对称轴的距离较(2,)n −与对称轴的距离远．而0a >，∴m n >．故答案为：>【点睛】本题考查二次函数的图象性质；确定对称轴，理解对称性是解题的关键．16. 【答案】①③④【分析】①将点(2,0)代入2y ax bx =+中，得2b a =−，再将其代入0a b +>，判断出a 与0的关系，从而判断最值即可；②通过0a >，0b >，可得抛物线过一、二、三象限，从而判断出a<0错误即可；③根据a<0，0a b +>判断出对称轴的取值范围，再利用抛物线的对称性可判断方程的根；④当0a >时，0b ≥或0b <进行分类讨论，先判断对称轴的范围，最后判断增减性即可．【详解】解：①将(2,0)代入2y ax bx =+中，得420a b +=，∴2b a =−，∵0a b +>，∴20a b a a a +=−=−>，即a<0∴抛物线开口向下，有最大值，故①正确；②∵抛物线2y ax bx =+过原点，且0a b +>，∴当0a >，0b >时，对称轴02b x a=−<， ∴图象经过第三象限时，不一定有a<0，故②错误；③抛物线2y ax bx =+过原点，且0a b +>，∴方程20ax bx +=的其中一个根为0，当a<0时，b a >−， 则有对称轴122b x a =−>， 根据抛物线的对称性可知：方程20ax bx +=的另一根大于1，故③正确；④当0a >，0b ≥时，抛物线对称轴02b x a=−≤， ∴112x ≤≤，y 随x 增大而增大， 当0a >，0b <时，即0a b −<<， 抛物线对称轴122b x a =−<， ∴112x ≤≤，y 随x 增大而增大， 综上所述：若0a >时，则当112x ≤≤，y 随x 增大而增大， 故答案为：①③④．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握其性质．二、解答题（共12小题，共68分）17. 【答案】（1）120,5x x ==−（2）1233,22x x −−== 【分析】（1）先用提取公因式分解方程的左边，然后求解即可；（2）先用根的判别式判别一元二次方程根的情况，然后再根据求根公式解答即可．【小问1详解】解：250x x +=()50x x +=0,50x x =+=120,5x x ==−．【小问2详解】解：2310x x ++=2341150∆=−⨯⨯=>3322x −−±==1233,22x x −−==． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法和公式法解一元二次方程是解答本题的关键．18. 【答案】（1）配方法，二（2）11x =+，21x =【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握配方法的一般步骤是解题的关键．（1）根据配方法解一元二次方程的一般步骤判断；（2）利用配方法解一元二次方程即可．【小问1详解】解：小北同学是用配方法来求解的，从第二步开始出现错误，故答案为：配方法，二．【小问2详解】2210x x −−=．解：221x x −=2(1)2x −=1x −=11x =，21x =．19. 【答案】1【分析】把x m =代入210x x −−=即可得到21m m −=，再整体代入即可求值．【详解】解：∵m 是关于x 的一元二次方程210x x −−=的根∴把x m =代入210x x −−=得：210m m −−=∴21m m −=∴2232232()3211m m m m −+=−−=−⨯=．【点睛】本题考查一元二次方程的解，利用整体求值是解题的关键．20. 【答案】（1）5,6b c ==−（2）()(1,0),60−，【分析】（1）依据题意，将A 、B 代入解析式进行计算可以得解；（2）由（1）再令0y =，从而计算可以得解．【小问1详解】解：点(1,10),(2,8)A B −−代入抛物线，得110,428b c b c −+=−⎧⎨++=⎩5.6b c =⎧∴⎨=−⎩【小问2详解】∵5,6b c ==−∴256y x x =+−．令0y =，解得，121,6x x ==−．∴二次函数与x 轴的交点坐标为()(1,0),60−，． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，解题时要熟练掌握并理解是关键．21. 【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值为-3或1.【分析】（1）先求得△的值，然后证明△0>即可；（2）依据此抛物线与直线33y x m =−+的一个交点在y 轴上可得到233m m m −=−+，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：（1）令0y =得：22(21)0x m x m m −−+−=①△22(21)4()10m m m =−−−=>∴方程①有两个不等的实数根，∴原抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）令：0x =，根据题意有：233m m m −=−+，整理得：2230m m +−=解得3m =−或1m =．【点睛】本题主要考查的是抛物线与x 轴的交点，依据此抛物线与直线33y x m =−+的一个交点在y 轴上得到关于m 的方程是解题的关键．22. 【答案】（1）见解析 （2）52（3）()01−，【分析】本题考查作图—旋转变换、 中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键.（1）根据中心对称的性质作图即可.（2）利用割补法求三角形的面积即可.（3）连接22,AA CC ，分别作线段22,AA CC ，的垂直平分线，两线相交于点M ，则点M 为ABC 与222A B C 的旋转中心，即可得出答案.【小问1详解】如图, 111A B C △即为所求.【小问2详解】111A B C △的面积为()111523221312222⨯+⨯−⨯⨯−⨯⨯=， 故答案为：52. 【小问3详解】如图, 连接22,AA CC ，再分别作线段22,AA CC 的垂直平分线，两线相交于点M ，则 ABC 是绕点M 逆时针旋转90︒后得到的222A B C ，∴旋转中心的坐标为()01−，， 故答案为：()01−，.23. 【答案】（1）23°；（2）【分析】（1）由旋转的性质可得AB ＝AC ，∠ADC ＝∠E ，∠CAB ＝∠DAE ＝60°，由三角形的内角和定理可求解；（2）连接DE ，可证△AED 是等边三角形，可得∠ADE ＝60°，AD ＝DE ，由旋转的性质可得△ACD ≌△ABE ，可得CD ＝BE ＝4，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）∵将△ACD 绕点A 按顺时针方向旋转得到△ABE ，∴AB ＝AC ，∠ADC ＝∠E ，∠CAB ＝∠DAE ＝60°，∵∠BFD ＝97°＝∠AFE ，∴∠E ＝180°−97°−60°＝23°，∴∠ADC ＝∠E ＝23°；（2）如图，连接DE ，∵AD ＝AE ，∠DAE ＝60°，∴△AED 是等边三角形，∴∠ADE ＝60°，AD ＝DE ，∵将△ACD 绕点A 按顺时针方向旋转得到△ABE ，∴△ACD ≌△ABE ，∴CD ＝BE ＝4，∵∠BDC ＝7°，∠ADC ＝23°，∠ADE ＝60°，∴∠BDE ＝90°，∴DE ，∴AD ＝DE ＝【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．24. 【答案】（1）36-3x（2）8【分析】对于（1），根据3432BC AB =−+即可表示；对于（2），根据面积公式列出方程，求出解，并判断．【小问1详解】根据题意可知3432363BC AB x =−+=−；故答案为：363x −；【小问2详解】根据题意，得(363)96x x −=，解得8x =或4x =（不合题意，舍去）．所以，宽AB 为8米．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，确定等量关系是解题的关键．25. 【答案】（1）② （2）3x =【分析】（1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法；（2）仿照阅读材料构造大正方形面积是()22x x ++，其中四个全等的小矩形面积分别为 ()215x x +=，中间的小正方形面积为22，即可解决问题.【小问1详解】∵应构造面积是 ()23x x +−的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为 ()310x x −=，中间的小正方形面积为23,∴大正方形的面积又可表示为2410349⨯+=，∴大正方形的边长为7，所以 37x x +−=5x ∴=，故正确构图②，故答案为: ②;【小问2详解】首先构造了如图2所示的图形，图中的大正方形面积是()22x x ++，其中四个全等的小矩形面积分别为()215x x +=，中间的小正方形面积为22，所以大正方形的面积又可表示为2415264⨯+=，进一步可知大正方形的边长为8，所以28x x ++=，解得 3.x =【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，体现了数形结合的思想.26. 【答案】（1）132y y y >>；（2）112t <<． 【分析】（1）将12a b ==−，代入函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解；（2）由抛物线解析式可得抛物线经过原点，分别讨论0a >与a<0两种情况．【小问1详解】解：（1）∵12a b ==−，，∴22y x x =−， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线212x −=−=， ∵1(1)2111−−>−>−， ∴132y y y >>；【小问2详解】把0x =代入2y ax bx =+得0y =， ∴抛物线经过原点(00)，， ①0a >时，抛物线开口向上，∵20y <，∴0t >，当31y y =时，12122t −+==， ∵31y y <， ∴12t >； 当20y =时，0212t +==， ∴112t <<满足题意． ②a<0时，抛物线开口向下， ∵20y <，∴0t <，∴0x >时，y 随x 增大而减小， ∴32<y y ，不符合题意． 综上所述，112t <<． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．27. 【答案】（1）30°；（2）不变；45°；（3）见解析【分析】（1）利用图形的旋转与正方形的性质得到△BEC 是等边三角形，从而求得α=∠DCE =30°．（2）因为△CED 是等腰三角形，再利用三角形的内角和即可求∠BEF =18045CED CEB ︒−∠−∠=︒. （3）过A 点与C 点添加平行线与垂线，作得四边形AGFH 是平行四边形，求得△ABG ≌△ADH .从而求得矩形AGFH 是正方形，根据正方形的性质证得△AHD ≌△DIC ，从而得出结论．【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中, BC =CD .由旋转知，CE =CD ,又∵BE =CE ,∴BE =CE =BC ,∴△BEC 是等边三角形，∴∠BCE =60°.又∵∠BCD =90°,∴α=∠DCE =30°.（2）∠BEF 的度数不发生变化.在△CED 中，CE =CD ,∴∠CED =∠CDE =1809022︒−αα︒−， 在△CEB 中,CE =CB ,∠BCE =90α︒−,∴∠CEB =∠CBE =1804522BCE α︒−∠=︒+, ∴∠BEF =18045CED CEB ︒−∠−∠=︒.（3）过点A 作AG ∥DF 与BF 的延长线交于点G ，过点A 作AH ∥GF 与DF 交于点H ，过点C 作CI ⊥DF 于点I易知四边形AGFH 是平行四边形，又∵BF ⊥DF ，∴平行四边形AGFH 是矩形.∵∠BAD =∠BGF =90°，∠BPF =∠APD ，∴∠ABG =∠ADH .又∵∠AGB =∠AHD =90°，AB =AD ，∴△ABG ≌△ADH .∴AG =AH ，∴矩形AGFH 是正方形.∴∠AFH =∠FAH =45°，∴AH =AF∵∠DAH +∠ADH =∠CDI +∠ADH =90°∴∠DAH =∠CDI又∵∠AHD =∠DIC =90°，AD =DC ，∴△AHD ≌△DIC∴AH =DI ，∵DE =2DI ，∴DE =2AH AF【点晴】本题考查正方形的性质和判定、图形的旋转、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．28. 【答案】（1）见解析 （2）4或74（3）33t −≤≤【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数21y x =−+的“镜面函数”的图象即可；（2）分直线y x m =−+过“镜面函数”图象与直线=1x −的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可； （3）根据题意可作出对应的函数图象，再根据二次函数的性质可得出关于t 的不等式组，解之即可得出结论.【小问1详解】解： 如图，即为函数函数 21y x =−+关于直线 1x =的“镜面函数”的图象，【小问2详解】如图,对于 222,y x x 当0x =时, 2y =，∴函数 222y x x −=+与y 轴的交点坐标为()02，, 当直线y x n =−+经过点 ()1,5−时, 4m =；此时222y x x −=+关于直线=1x −的“镜面函数”与直线有三个公共点，当直线y x n =−+与原抛物线只有一个交点时，则有：222x mx x −+=+−， 整理得 220,x x m −+−=此时()()2Δ1420m =−−−=， 解得74m =， 综上，m 的值为4或74； 【小问3详解】 根据题意可知，该抛物线的“镜面函数”为：()()()222240,224(0)a x a x y a x a x ⎧−+−≥⎪=⎨++−<⎪⎩ 函数图象如图所示：当 24x =时，如图，点Q 关于直线2x =的对称点为 ()20Q y '，，关于 0x =的对称点为 ()24,Q y −''， 若当 1211,4t x t x −≤≤+≥时，均满足12,y y 则需满足 1414t t −≥−⎧⎨+≤⎩，解得3 3.t −≤≤故答案为：33t −≤≤．【点睛】本题考查二次函数的综合应用； 理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键.。

2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高二（上）月考数学试卷（9月份）一､选择题（每小题4分，共40分）1.（4分）已知直线经过点，，则下列不在直线上的点是（ ）A.B.C.D.2.（4分）直线同时要经过第一､二､四象限，则，，应满足（ ）A.， B.，C.，D.，3.（4分）已知，若，，共面，则等于（）A.B.3C.D.94.（4分）若关于，的方程组无解，则（ ）A.2C.15.（4分）如图底面为平行四边形的四棱锥，，若，则（ ）A.1B.2C.D.6.（4分）“”是“直线与直线互相垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.（4分）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ）A.B. C. D.l (3,2)--(1,2)l (2,1)--(1,0)-(0,1)(2,1)0ax by c ++=a b c 0ab >0bc <0ab <0bc >0ab >0bc >0ab <0bc <(2,1,3),(1,2,3),(7,6,)a b c λ=-=-=a b c λ3-9-x y 4210()210x y a x ay ++=⎧∈⎨++=⎩R a =P ABCD -2EC PE =DE xAB y A z AP C +=+x y z ++=13532m =1:(3)10l m x my -++=2:(1)20l mx m y +--=l sin 20x y θ--=l α[]0,ππ,π42⎡⎤⎢⎥⎣⎦π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦8.（4分）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离.当､变化时，的最大值为（ ）A.1B.2C.3D.49.（4分）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（ ）D.10.（4分）“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图①是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”有两个底面边长为2，高为）A.B.点的坐标为C.，，，四点共面D.直线与直线二､填空题（每小题5分，共30分）11.（5分）已知，且，则__________.d (cos ,sin )P θθ20x my --=θm d A BCD -AB BC AC DB DC ====ABC BCD E BC EF AD ∥ADB ABF 66GE =C (2,2,-O E F A CE DG (2,1,3),(4,2,)a b x =-=- a b ∥x =12.（5分）过点且平行于直线的直线方程为__________.13.（5分）若，，则以为邻边的平行四边形面积为__________.14.（5分）已知，则向量在上的投影向量坐标为__________.15.（5分）若直线经过点，则直线在轴和轴的截距之和的最小值是__________.16.（5分）在正三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法中，正确的有__________.（请填入所有正确说法的序号）①当时，的周长为定值；②当时，三棱锥的体积为定值；③当时，有且仅有一个点，使得；④当时，有且仅有一个点，使得平面.三､解答题（共50分）17.（12分）已知的顶点分别为，，.（1）求边的中线所在直线的方程；（2）求边的垂直平分线的方程.18.（12分）在平行六面体中，，，.（1）求的长；（2）求到直线的距离；(1,3)-23x y -+(2,3,1)a =-(2,1,3)b =-,a b(2,1,3),(2,2,6),(3,3,6)A B C -AC AB:1(0,0)x yl a b a b+=>>(1,2)l x y 111ABC A B C -11AB AA ==P 1BP BC BB λμ=+[0,1],[0,1]λμ∈∈1λ=1AB P 1μ=1P A BC -12λ=P 1A P BP ⊥12μ=P 1A B ⊥1AB P ABC (2,4)A (7,1)B -(6,1)C -BC AD BC DE 1111ABCD A B C D -12AB AA ==1AD =1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒1BD 1A BC（3）动点在线段上运动，求的最小值.19.（12分）如图，正方形的边长为2，，分别为，的中点.在五棱锥中，为棱上一点，平面与棱，分别交于点，.（1）求证：；（2）若底面，且，直线与平面所成角为.（i ）确定点的位置，并说明理由；（ii ）求线段的长.20.（14分）设正整数，集合，对应集合A 中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时.若的子集满足：当且仅当时，，则称为A 的完美子集.（1）当时，已知集合，分别判断这两个集合是否为A 的完美子集，并说明理由；（2）当时，已知集合.若不是的完美子集，求的值；（3）已知集合，其中.若对任意都成立，判断是否一定为A 的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.P 1CD AP CP ⋅AMDE B C AM MD P ABCDE -F PE ABF PD PC G H AB FG ∥PA ⊥ABCDE PA AE =BC ABF 6πF PH 3n ≥(){}12,,,,,1,2,,n k A aa x x x x k n ==∈=R ∣()12,,n a x x x =⋯()12,,nb y y y =⋯λ(1,2,,)k k x y k n == ()()112212;,,;,,n n n a b a b x y x y x y a x x x λλλλ=+=++⋯+=⋯A {}123,,B a a a =1230λλλ===()1122330,0,,0a a a λλλ++= B 3n =12{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)},{(1,2,3),(2,3,4),(4,5,6)}B B ==3n =()()(){}2,,1,,2,1,,1,2B m m m m m m m m m =---B A m {}123,,B a a a A =⊆()()12,,1,2,3i i i in a x x x i =⋯=1232ii i i i x x x x >++1,2,3i =B2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高二（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一､选择题（每小题4分，共40分）1.D【解答】解：由直线的两点式方程，得直线的方程为，即，将各个选项中的坐标代入直线方程，可知点都在直线上，点不在直线上.故选：D.2.【答案】A【解答】解：由于直线同时要经过第一､二､四象限，故斜率小于0，在轴上的截距大于0，故，故，故选：A.3.【答案】C【解答】解：，共面，设，则，，解得，解得.故选：C.4.【答案】C【解答】解：关于的方程组无解，直线与直线平行，l ()()()()232213y x ----=----10x y -+=()()()2,1,1,0,0,1---l ()2,1l 0ax by c ++=y 00a b c b⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩0,0ab bc ><()()()2,1,3,1,2,3,7,6,a b c λ=-=-=,,a b c∴a mb nc =+ ()()2,1,37,26,3m n m n m n λ-=-+++7226133m n m n m n λ-+=⎧⎪∴+=⎨⎪+=-⎩11,44m n =-=9λ=- ,x y ()4210210x y a x ay ++=⎧∈⎨++=⎩R ∴4210x y ++=210x ay ++=，解得.故选：C.5.【答案】A【解答】解：由题意，，又因为，所以，所以.故选：A.6.【答案】A【解答】解：由题意两条直线垂直时，则，即，解得或，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.7.【答案】C【解答】解：当时，则直线的斜率不存在，这时直线的倾斜角为，当时，则直线的斜率，当时，则，这时直线的倾斜角为，当，则，这时直线的倾斜角为，综上所述：直线的倾斜角的范围为.故选：C.8.【答案】C21421a ∴=≠1a =DE DC CA AE AB AC AP PE=++=-++()1133AB AC AP PC AB AC AP AC AP =-++=-++- 2233AB AC AP =-+DE x AB y AC z AP =++221,,33x y z ==-=1x y z ++=()()310m m m m -+-=2240m m -=0m =2m =2m =()1:310l m x my -++=()2:120l mx m y +--=sin 0θ=π2sin 0θ≠1sin k θ=0sin 1θ<…[)1,k ∞∈+ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭1sin 0θ-<…(],1k ∞∈--π3π,24⎛⎤⎥⎝⎦π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解答】解：由题意当时，.的最大值为3.故选：C.9.【答案】B【解答】解：如图，连接，因为为中点，所以，又平面底面，平面底面平面，所以平面，故两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由，可得，则，设平面的一个法向量为，则有，令，得，则，设平面的一个法向量为，则有，令，得，d ∴()sin 1θα-=-max 13d =d ∴,AE DE ,AB BC AC DB DC E ====BC ,AE BC DE BC ⊥⊥ABC ⊥BCD ABC ⋂,BCD BC AE =⊂ABC AE ⊥BCD ,,ED EB EA E 2AB =EF ∥AD ()()(,,0,1,0,A DB F (()0,1,,,AB AD AF ===ABD (),,m x y z =m AB y m AD ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ 1x =1y z ==()m = ABF (),,n a b c = 0n AB b n AF ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩1c =0,a b ==()n =则则平面与平面故选：B.10.【答案】C【解答】解：由题意正方形的对角线，则，则，故A 错误；因为，则，故错误；对于，则，所以，又为三个向量的公共起点，所以四点共面，故C 正确；由，得，则，则所以直线与直线，故D 错误.故选：C.二､填空题（每小题5分，共30分）11.【答案】见试题解答内容【解答】解：因为，且，所以存在实数使得即cos ,m n m n m n ⋅<>===ADB ABF ABCD BD =((2,2,,0,G E GE ==12GA =⨯=(2,2,C -B ((,0,4,,C A F (((0,4,,0,,0,OA OE OF ===2OA OF =O ,,,O E F A DE =(D -((,3,1,CE DG ==-cos ,CE DG <>==CE DG ()()2,1,3,4,2,a b x =-=- a∥b λa b λ=24123x λλλ=-⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得.故答案为.12.【答案】见试题解答内容【解答】解：设要求的直线方程为：，把点（）代入上述方程可得：，解得.要求的直线方程为：，故答案为：.13.【答案】见试题解答内容【解答】解：设向量的夹角为，，，由同角三角函数的关系，得，以为邻边的平行四边形面积为，故答案为：14.【答案】.【解答】解：因为，所以，所以，所以向量在上的投影向量坐标为.故答案为：.15.【解答】解：直线经过点，6x =-6-20x y m -+=1,3-1230m --⨯+=7m =∴270x y -+=270x y -+=,a bθ()()2,3,1,2,1,3a b =-=-2cos 7a ba bθ⋅∴===-⋅ sin θ==∴,a b sin S a b θ=⋅== 110,,22⎛⎫-⎪⎝⎭()()()2,1,3,2,2,6,3,3,6A B C -()()1,2,3,0,3,3AC AB ==-693AC AB ⋅=-+=AC AB110,,22AC AB AB ABAB ⋅⎛⎫⋅==- ⎪⎝⎭ 110,,22⎛⎫-⎪⎝⎭():10,0x yl a b a b+=>>()1,2121a b∴+=，当且仅当时上式等号成立.直线在轴，轴上的截距之和的最小值为.故答案为：.16.【解答】解：由题意得：，所以为正方形内一点，①当时，，即，所以在线段上，所以周长为，如图1所示，当点在处时，，故①错误；②如图2，当时，即，即，所以在上，，因为平面平面，所以点到平面距离不变，即不变，故②正确；③当时，即，如图3，为中点，为的中点，是上一动点，易知当时，点与点重合时，由于为等边三角形，为中点，所以，又，所以平面，因为平面，则，当时，点与点重合时，可证明出平面，而平面，则，即，故③错误；④，当时，即，如图4所示，为的中点，为的中点，则为上一动点，易知，若平面，只需即可，()12233b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=+++ ⎪⎝⎭…b =∴xy 3+3+][1,0,1,0,1BP BC BB λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦P 11BCC B 1λ=1BP BC BB μ=+[]1,0,1CP BB μμ=∈ P 1CC 1AB P 11AB AP B P ++P 12,P P 111122B P AP B P AP +≠+1μ=1BP BC BB λ=+[]1,0,1B P BC λλ=∈ P 11B C 13P AIBC AIBC V S h -=⋅⋅ 11B C ∥11,BC B C ⊄1,A BC BC ⊂⊂1A BC P 1A BC h 12λ=112BP BC BB μ=+ M 11B C N BC P MN 0μ=P N ABC N BC AN BC ⊥11,AA BC AA AN A ⊥⋂=BN ⊥ANMA 1A P ⊂1ANMA 1BP A P ⊥1μ=P M 1A M ⊥11BCC B BM ⊂11BCC B 1A M BM ⊥1A P BP ⊥12μ=112BP BC BB λ=+ D 1BB E 1CC P DE 1AB AB ⊥1A B ⊥1AB P 11A B B P ⊥取的中点，连接，又因为平面，所以，若，只需平面，即即可，如图5，易知当且仅当点与点重合时，故只有一个点符合要求，使得平面，故④正确.故答案为：②④.11B C F 1,A F BF 1A F ⊥11BCC B 1AF PB ⊥11A B PB ⊥1B P ⊥1A FB 1B P FB ⊥P E 1B P FB ⊥P 1A B ⊥1AB P三､解答题（共50分）17.【答案】（1）；（2）.【解答】解：（1）设中点的坐标为，则，边的中线过点两点，所在直线方程为，即；（2）的斜率，的垂直平分线的斜率，直线的方程为，即.18.【答案】（1（2）2；（3）.【解答】解：（1），因为，所以8340x y --=264130x y --=BC D ()00,x y 0076111,0222x y --+====BC AD ()12,4,,02A D ⎛⎫ ⎪⎝⎭AD ∴40101222y x -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-8340x y --=BC 1127613k --==-+BC ∴DE 1132k =∴DE 131022y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭264130x y --=14-1112,1,60AB AA AD BAD BAA DAA ∠∠∠====== 111BD BA AD DD AB AD AA =++=-++ 1BD ==而，，，所以，即；（2）因为，所以，所以，在中，，所以，即，又因为，所以平面，而平面，所以，即为到直线的距离，而，所以三角形为等边三角形，即，即到直线的距离为（3）设则1||||cos 602112AB AD AB AD ︒⋅=⋅=⨯⨯= 111||cos 602222AB AA AB AA ︒⋅=⋅=⨯⨯= 111||cos 601212AD AA AD AA ︒⋅=⋅=⨯⨯= 1BD == 1BD 11cos60212AD AA ==⨯= 1,A D AD AD ⊥∥BC 1A D BC ⊥ABD BD ===222AD BD AB +=BD BC ⊥1A D BD D ⋂=BC ⊥1A BD 1A B ⊂1A BD 1A B BC ⊥1A B 1A BC 112,60AA AB A AB ∠===1AA B 12A B =1A BC 2;1,CP CD λ= ()()()1111AP CP PA PC PC CB BA PC D C AD AB D C A B AD AB A B λλλλ⋅=⋅=++⋅=--⋅=--⋅，当时，这时的最小值为.19.【答案】（1）证明见解答；（2）（1）F 为中点；（2）2.【解答】（1）证明：在正方形中，，又平面平面，所以平面，又平面，平面平面，则；（2）解：（1）当为中点时，有直线与平面所成角为，证明如下：由平面，可得建立空间直角坐标系，如图所示：()()111AB AA AD AB AA λλλ⎡⎤=---⋅-⎣⎦ ()()22111111AB AB AA AA AB AA AD AB AD AA λλλλλ⎡⎤=---⋅-⋅+-⋅+⋅⎢⎥⎣⎦ ()()22111221cos602cos60cos60AB AA AD AB AD AA λλλλ⎡⎤=-⨯--⋅+⨯-⋅+⋅⎣⎦()()11141212241212222λλλλ⎡⎤=---⨯⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯⎢⎥⎣⎦242λλ=-211444λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭14λ=AP CP ⋅14-PE AMDE AB ∥DE AB ∉,PDE DE ⊂PDE AB ∥PDE AB ⊂ABFG ABFG ⋂PDE FG =AB ∥FG F PE BC ABF π6PA ⊥ABCDE ,,PA AB PA AE ⊥⊥A xyz -则，又为中点，则，设平面的一个法向量为，则有，即，令，则，则平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，故当为中点时，直线与平面所成角的大小为.（2）设点的坐标为，因为点在棱上，所以可设，即，所以，因为是平面的法向量，所以，即，解得，故，则，所以.20.【答案】（1）是的完美子集，不是完美子集；()()()()0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,0,2A B C P F PE ()()()()0,1,1,1,1,0,1,0,0,0,1,1F BC AB AF === ABF (),,n x y z =00n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00x y z =⎧⎨+=⎩1z =1y =-ABF ()0,1,1n =- BC ABF α||1sin |cos ,|2||||n BC n BC n BC α⋅=<>=== F PE BC ABF π6H (),,u v w H PC ()01PH PC λλ=<< ()(),,22,1,2u v w λ-=-2,,22u v w λλλ===-()0,1,1n =-ABFGH 0n AH ⋅= ()()0,1,12,,220λλλ-⋅-=23λ=422,,333H ⎛⎫ ⎪⎝⎭424,,333PH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2PH ==1B A 2B（3）是的完美子集.【解答】解（1）设，即，所以是完美子集，设，，可得解得：所以不是完美子集；（2）因为集合不是的完美子集，所以存在，使得，即，由集合的互异性可得：且且，所以且，所以，可得，所以，即，所以，所以或，当时，，解得：，所以存在使得，当时，因为，所以，不符合题意，B A ()1122330,0,0a a a λλλ++=1230λλλ===1B 112233(0,0a a a λλλ++=0)1231231232402350,3460λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1232,3,1λλλ==-=2B ()()(){}2,,1,,2,1,,1,2B m m m m m m m m m =---A ()()123,,0,0,0λλλ≠()1122330,0,0a a a λλλ++=()()()123123123202101120m m m m m m m m m λλλλλλλλλ⎧++=⎪++-=⎨⎪-+-+=⎩2m m ≠1m m ≠-12m m -≠0m ≠1m ≠-12320λλλ++=()()312122,,0,0λλλλλ=--≠()()()()()12121212212011220m m m m m m λλλλλλλλ⎧++---=⎪⎨-+-+--=⎪⎩()()()()12122103110m m m m λλλλ⎧-+++=⎪⎨--+--=⎪⎩()1410m λ-+=14m =10λ=14m =123123123202303320λλλλλλλλλ++=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩12357,3λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩123573λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩()1122330,0,0a a a λλλ++=10λ=1m ≠-230,0λλ==（3）一定是的完美子集，假设存在不全为0的实数满足，不妨设，则，否则与假设矛盾，由，可得，所以.即矛盾，所以假设不成立，所以，所以，所以一定是的完美子集.B A 123λλλ､､()1122330,0,0a a a λλλ++=123λλλ……10λ≠1112213310x x x λλλ++=3211213111x x x λλλλ=--32112131213111x x x x x λλλλ++……111121312x x x x >++11112131x x x x >++10λ=230λλ==B A。

北京市广渠门中学2014-2015学年九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2011•贵州模拟）2的相反数是（）A．B．C．D．﹣2考点：相反数．专题：常规题型．分析：根据相反数的概念作答即可．解答：解：根据相反数的定义可知：2的相反数是﹣2．故选D．点评：主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．0的相反数是其本身．2．（2014秋•北京校级月考）根据世界贸易组织（WTO）秘书处初步统计数据，2013年中国货物进出口总额为4160000000000美元，超过美国成为世界第一货物贸易大国．将这个数据用科学记数法可以记为（）美元．A． 4.16×1012B．4.16×1013C．0.416×1012D．416×1010考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：4160000000000=4.16×1012．故选A．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（2014•成都）下列计算正确的是（）A．x+x2=x3B．2x+3x=5x C．（x2）3=x5D．x6÷x3=x2考点：同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同底数幂的乘法，可判断A，根据合并同类项，可判断B，根据幂的乘方，可判断C，根据同底数幂的除法，可判断D．解答：解：A、不是同底数幂的乘法，指数不能相加，故A错误；B、系数相加字母部分不变，故B正确；C、底数不变指数相乘，故C错误；D、底数不变指数相减，故D错误；故选：B．点评：本题考查了幂的运算，根据法则计算是解题关键．4．（2014•常德）如图，已知AC∥BD，∠CAE=30°，∠DBE=45°，则∠AEB等于（）A．30° B．45° C．60°D． 75°考点：平行线的性质．分析：过E作EF∥AC，然后根据平行线的传递性可得EF∥BD，再根据平行线的性质可得∠B=∠2=45°，∠1=∠A=30°，进而可得∠AEB的度数．解答：解：过E作EF∥AC，∵AC∥BD，∴EF∥BD，∴∠B=∠2=45°，∵AC∥EF，∴∠1=∠A=30°，∴∠AEB=30°+45°=75°，故选：D．点评：此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．5．（2014•北京）某篮球队12名队员的年龄如表：年龄（岁）18 19 20 21人数 5 4 1 2则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（）A．18，19 B．19，19 C．18，19.5 D． 19，19.5考点：众数；加权平均数．分析：根据众数及平均数的概念求解．解答：解：年龄为18岁的队员人数最多，众数是18；平均数==19．故选：A．点评：本题考查了众数及平均数的知识，掌握众数及平均数的定义是解题关键．6．（2014秋•莱城区校级期中）将二次函数y=x2﹣2x﹣3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y=（x+1）2+4 B．y=（x+1）2+2 C．y=（x﹣1）2﹣4 D．y=（x﹣1）2+2考点：二次函数的三种形式．分析：由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．解答：解：y=x2﹣2x﹣3=（x2﹣2x+1）﹣1﹣3=（x﹣1）2﹣4．故选C．点评：本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．7．（2014秋•湖北期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=．下列结论中，正确的是（）A．a＜0B．当x＜﹣时，y随x的增大而增大C．a+b+c＞0D．当x=﹣时，y的最小值是考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质．分析：根据抛物线开口方向可对A进行判断；根据当抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小的性质可对B进行判断；观察函数图象得到当x=1时，y＜0，则可对C进行判断；先根据对称轴方程得到a=b，再由抛物线开口向上，函数有最小值=，然后约分后即可对D进行判断．解答：解：A、抛物线开口向上，则a＞0，所以A选项错误；B、抛物线开口向上，对称轴为直线x=，则x＜﹣时，y随x的增大而减小，所以B选项错误；C、当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，所以C选项错误；D、对称轴为直线x=﹣=，则a=b，因为抛物线开口向上，所以函数有最小值==，所以D选项正确．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣，函数有最小值；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．8．（2010•江津区）如图，等腰Rt△ABC（∠ACB=90°）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：几何图形问题；压轴题．分析：此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．解答：解：设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y∴当C从D点运动到E点时，即0≤x≤2时，y==．当A从D点运动到E点时，即2＜x≤4时，y==∴y与x之间的函数关系由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应．点评：本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（2014秋•紫云县校级期中）分解因式：ax2﹣9ay2=a（x+3y）（x﹣3y）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：首先提公因式a，然后利用平方差公式分解即可．解答：解：原式=a（x2﹣9y2）=a（x+3y）（x﹣3y）．故答案是：a（x+3y）（x﹣3y）．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．10．（2013秋•东城区期末）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式y=x2﹣1（答案不唯一）．考点：二次函数的性质．专题：开放型．分析：抛物线开口向上，二次项系数大于0，然后写出即可．解答：解：抛物线的解析式为y=x2﹣1．故答案为：y=x2﹣1（答案不唯一）．点评：本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写函数解析式的二次项系数一定要大于0．11．（2014秋•北京校级月考）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是k＞﹣1且k≠0．考点：根的判别式；一元二次方程的定义．分析：根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．解答：解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，故答案为：k＞﹣1且k≠0．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．12．（2013秋•昌平区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，直线x=2和抛物线y=ax2在第一象限交于点A，过A作AB⊥x轴于点B．如果a取1，2，3，…，n时对应的△AOB的面积为S1，S2，S3，…，S n，那么S1=4；S1+S2+S3+…+S n=2n（n+1）．考点：二次函数的性质．专题：规律型．分析：把a=1和x=2代入抛物线解析式求出AB的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；表示出S1，S2，S3，…，S n，然后相加，再利用求和公式列式计算即可得解．解答：解：a=1，x=2时，y1=1×22=4，△AOB的面积为S1=×2×4=4，∵S1=4，S2=×2×（2×22）=2×4，S3=×2×（3×22）=3×4，…，S n=×2×（n×22）=4n，∴S1+S2+S3+…+S n=4+2×4+3×4+…+4n=4×（1+2+3+…+n）=2n（n+1）．故答案为：4，2n（n+1）．点评：本题考查了二次根式的性质，主要利用了抛物线上点的坐标特征，求出点A的纵坐标并求出△AOB的面积等于4的倍数是解题的关键，也是本题的难点．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）（2014•北京）如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：由全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△EDB，则对应角相等：∠A=∠E．解答：证明：如图，∵BC∥DE，∴∠ABC=∠BDE．在△ABC与△EDB中，∴△ABC≌△EDB（SAS），∴∠A=∠E．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．14．（5分）（2014秋•北京校级月考）计算：﹣2|﹣1|+（）﹣1﹣（2014）0．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：利用二次根式的性质以及绝对值和负整数指数幂的性质、零指数幂的性质化简求出即可．解答：解：﹣2|﹣1|+（）﹣1﹣（2014）0=2﹣2（﹣1）+2﹣1=3．点评：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．15．（5分）（2014秋•北京校级月考）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析：先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．解答：解：∵解不等式①得：x＞﹣1.5，解不等式②得：x≤1，∴不等式组的解集为﹣1.5＜x≤1，在数轴上表示不等式组的解集为：．点评：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集．16．（5分）（2014秋•北京校级月考）先化简，再求值：（m+）÷，其中m是方程x2+2x﹣1=0的根．考点：分式的化简求值；一元二次方程的解．分析：先化简分式，再利用方程得出m2+2m=1即可．解答：解：（m+）÷，=×，=×，=m2+2m，∵m是方程x2+2x﹣1=0的根，∴m2+2m﹣1=0，∴原式=m2+2m=1．点评：本题主要考查了分式方程的解及一元二次方程的解，解题的关键是正确的化简分式．17．（5分）（2014秋•北京校级月考）已知二次函数y=x2﹣2x﹣3（1）请求出它的顶点坐标、与坐标轴的交点坐标，并利用五点法在直角坐标系中画出示意图；（2）如果A（x1，y1），B（x2，y2）是（1）中图象上的两点，且x1＜x2＜1，请直接写出y1、y2的大小关系．考点：二次函数的性质；二次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征．分析：（1）根据顶点式求得顶点坐标，令x=0，求得与y轴的交点，令y=0，求得与x轴的坐标，再在对称轴的两侧取两组对称点，列表，然后描点、连线即可．（2）根据二次函数的性质即可求得y1、y2的大小关系．解答：解：（1）由y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4可知顶点坐标为（1，﹣4），令x=0，则y=﹣3，∴与y轴交点为（0，﹣3），令y=0，则0=x2﹣2x﹣3，解得x1=﹣1，x2=3，∴与x轴交点为（﹣1，0），（3，0）．列表：x …﹣1 0 1 2 3 …y=x2﹣2x﹣3 …0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …描点、连线：（2）∵二次函数y=x2﹣2x﹣3的对称轴为x=1，在对称轴的右边y随x的增大而增大，∴x1＜x2＜1时，y1＜y2．点评：本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，找到顶点及对称轴，根据对称轴取点是画图的关键一步．18．（5分）（2014秋•北京校级月考）列方程或方程组解应用题中秋节期间，我校“慈善小组”筹集善款600元，全部用于购买月饼到福利院送给老人．购买五仁月饼花费360元，购买枣泥月饼花费240元，已知五仁月饼比枣泥月饼每块贵5元，结果购买的五仁月饼和枣泥月饼一样多．请求出两种口味的月饼每块各多少元？考点：分式方程的应用．分析：设枣泥月饼每块x元，则五仁月饼每块（x+5）元，根据“购买五仁月饼花费360元，购买枣泥月饼花费240元，购买的五仁月饼和枣泥月饼一样多”列出方程，解方程即可．解答：解：设枣泥月饼每块x元，则五仁月饼每块（x+5）元．依题意得=，解得x=10．经检验x=10是原方程的解，答：枣泥月饼每块10元，则五仁月饼每块15元．点评：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）（2014秋•北京校级月考）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），且经过点D（2，7）．（1）求此二次函数的解析式；（2）请你写出一种平移方法，使平移后的抛物线经过原点，并写出平移后抛物线的解析式．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．专题：计算题．分析：（1）把已知三点坐标代入抛物线求出a，b，c的值，即可确定出解析式；（2）根据平移规律确定出抛物线解析式即可．解答：解：（1）把A，C及D坐标代入抛物线解析式得：，解得：，则二次函数解析式为y=x2+4x﹣5；（2）抛物线向下平移5个单位经过原点，得到解析式为y=x2+4x．点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数图象与几何变换，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（5分）（2014•丰台区一模）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）如果∠G=90°，∠C=60°，BC=2，求四边形DEBF的面积．考点：平行四边形的判定与性质．分析：（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，DC∥AB，DC=AB，推出DF=BE，DF∥BE，根据平行四边形的判定推出即可；（2）求出△DBC是直角三角形，求出三角形的面积，即可求出答案．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC∥AB，DC=AB，∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴DF=BE，DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵AG∥BD，∠G=90°，∴∠DBC=90°，∵∠C=60°，BC=2，∴DC=2BC=4，由勾股定理得：BD=2，∴△DBC的面积是BD×BC=×2×2=2，∵F为DC的中点，∴△DBF的面积是S△DBC=×2=，∵四边形DEBF是平行四边形，∴四边形DEBF的面积是2S△DBF=2．．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，勾股定理的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，题目是一道比较好的题目，难度适中．21．（5分）（2012秋•丰台区期末）小明爸爸经营的水果店出售一种优质热带水果，正在上初三的小明经过调查和计算，发现这种水果每月的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在着一次函数关系：y=﹣10x+500．下面是他们的一次对话：小明：“您要是告诉我咱家这种水果的进价是多少？我就能帮你预测好多信息呢！”爸爸：“咱家这种水果的进价是每千克20元”聪明的你，也来解答一下小明想要解决的三个问题：（1）若每月获得利润w（元）是销售单价x（元）的函数，求这个函数的解析式．（2）当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？（3）如果想要每月从这种水果的销售中获利2000元，那么销售单价应该定为多少元？考点：二次函数的应用．专题：应用题．分析：（1）根据题意可得利润=（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）根据（1）式列出的方程式，运用配方法即可求最大利润；（3）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价．解答：解：（1）根据题意可得：w=（x﹣20）（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000；（2）w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250，当x=35时，每月利润最大；（3）当w=2000时，﹣10x2+700x﹣10000=2000，化简得：x2﹣70x+1200=0，解得：x1=30，x2=40．答：如果想要每月从这种水果的销售中获利2000元，那么销售单价应该定为30元或40元．点评：此题考查二次函数的应用以及抛物线的基本性质，注意仔细审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力．22．（5分）（2012秋•西城区期末）阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y=x2﹣6x+7的最大值．他画图研究后发现，x=1和x=5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数y=x2﹣6x+7的对称轴为直线x=3，∴由对称性可知，x=1和x=5时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则x=1时，y的最大值为2；若m≥5，则x=m时，y的最大值为m2﹣6m+7．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为49；（2）若p≤x≤2，求二次函数y=2x2+4x+1的最大值；（3）若t≤x≤t+2时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为1或﹣5．考点：二次函数的最值．专题：阅读型．分析：（1）先求出抛物线的对称轴为直线x=﹣1，然后确定当x=4时取得最大值，代入函数解析式进行计算即可得解；（2）先求出抛物线的对称轴为直线x=﹣1，再根据对称性可得x=﹣4和x=2时函数值相等，然后分p≤﹣4，﹣4＜p≤2讨论求解；（3）根据（2）的思路分t＜﹣2，t≥﹣2时两种情况讨论求解．解答：解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴当﹣2≤x≤4时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为：2×42+4×4+1=49；（2）∵二次函数y=2x2+4x+1的对称轴为直线x=﹣1，∴由对称性可知，当x=﹣4和x=2时函数值相等，∴若p≤﹣4，则当x=p时，y的最大值为2p2+4p+1，若﹣4＜p≤2，则当x=2时，y的最大值为17；（3）t＜﹣2时，最大值为：2t2+4t+1=31，整理得，t2+2t﹣15=0，解得t1=3（舍去），t2=﹣5，t≥﹣2时，最大值为：2（t+2）2+4（t+2）+1=31，整理得，（t+2）2+2（t+2）﹣15=0，解得t1=1，t2=﹣7（舍去），所以，t的值为1或﹣5．点评：本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的对称性，确定出抛物线的对称轴解析式是确定p和t的取值范围的关键，难点在于读懂题目信息．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2014秋•北京校级月考）已知关于x的方程kx2+（3k+1）x+3=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）若二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k 的值．考点：根的判别式；抛物线与x轴的交点．分析：（1）分类讨论：当k=0时，方程变形一元一次方程，有一个实数解；当k≠0时，计算判别式得到△=（3k﹣1）2，由此得到△≥0，由此判断当k≠0时，方程有两个实数根；（2）先由求根公式得到kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）的解为x1=﹣，x2=﹣3，则二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为﹣和﹣3，然后根据整数的整除性可确定整数k的值．解答：（1）证明：当k=0时，方程变形为x+3=0，解得x=﹣3；当k≠0时，△=（3k+1）2﹣4•k•3=（3k﹣1）2，∵（3k﹣1）2≥0，∴△≥0，∴当k≠0时，方程有实数根，∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）解：kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）x=，x1=﹣，x2=﹣3，所以二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为﹣和﹣3，根据题意得﹣为整数，所以整数k为±1．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了抛物线与x轴的交点．24．（7分）（2009•莆田）已知：等边△ABC的边长为a．探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且MN=a；探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1．OD+OE+OF=a；结论2．AD+BE+CF=a；②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．考点：等边三角形的判定与性质；解直角三角形．专题：综合题；压轴题．分析：（1）本题中△ABC为等边三角形，AB=BC=a，∠ABC=60°，求出∠N，∠G的值，在直角△AMB、△CNB中，可以先用a表示出MB，NB然后再表示出MN，这样就能证得MN=a；（2）判定①是否成立可通过构建直角三角形，把所求的线段都转化到直角三角形中进行求解；判断②是否成立，也要通过构建直角三角形，可根据勾股定理，把所求的线段都表示出来，然后经过化简得出结论②是否正确．解答：（1）证明：如图1，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°．∵BC⊥MN，BA⊥MG，∴∠CBM=∠BAM=90°．∴∠ABM=90°﹣∠ABC=30°．∴∠M=90°﹣∠ABM=60°．同理：∠N=∠G=60°．∴△MNG为等边三角形．在Rt△ABM中，BM=a，在Rt△BCN中，BN=a，∴MN=BM+BN=a．（2）②：结论1成立．证明：如图3，过点O作GH∥BC，分别交AB、AC于点G、H，过点H作HM⊥BC于点M，∴∠DGO=∠B=60°，∠OHF=∠C=60°，∴△AGH是等边三角形，∴GH=AH．∵OE⊥BC，∴OE∥HM，∴四边形OEMH是矩形，∴HM=OE．在Rt△ODG中，OD=OG•sin∠DGO=OG•sin60°=OG，在Rt△OFH中，OF=OH•sin∠OHF=OH•sin60°=OH，在Rt△HMC中，HM=HC•sinC=HC•sin60°=HC，∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=OG+HC+OH=（GH+HC）=AC=a．（2）②：结论2成立．证明：如图4，连接OA、OB、OC，根据勾股定理得：BE2+OE2=OB2=BD2+OD2①，CF2+OF2=OC2=CE2+OE2②，AD2+OD2=AO2=AF2+OF2③，①+②+③得：BE2+CF2+AD2=BD2+CE2+AF2，∴BE2+CF2+AD2=（a﹣AD）2+（a﹣BE）2+（a﹣CF）2=a2﹣2AD•a+AD2+a2﹣2BE•a+BE2+a2﹣2CF•a+CF2整理得：2a（AD+BE+CF）=3a2∴AD+BE+CF=a．点评：本题中综合考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，由于知识点比较多，本题的难度比较大．25．（8分）（2013秋•石景山区期末）已知点A（2，﹣2）和点B（﹣4，n）在抛物线y=ax2（a≠0）上．（1）求a的值及点B的坐标；（2）点P在y轴上，且满足△ABP是以AB为直角边的直角三角形，求点P的坐标；（3）平移抛物线y=ax2（a≠0），记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′．点M（2，0）在x轴上，当抛物线向右平移到某个位置时，A′M+MB′最短，求此时抛物线的函数解析式．考点：二次函数综合题．分析：（1）首先将A点代入求出a的值，进而得出B点坐标即可；（2）分别根据①以A为直角顶点，则∠P1AB=90°，②以B为直角顶点，则∠DBP2=90°，进而求出P点坐标即可；（3）首先求出直线BE的解析式进而得出Q点坐标，再求出MQ的长，进而得出平移后解析式．解答：解：（1）∵点A（2，﹣2）在抛物线y=ax2（a≠0）上．∴，抛物线解析式为：，∴当x=﹣4，则n=﹣8，∴B点坐标为：B（﹣4，﹣8）；（2）如图1，记直线AB与x、y轴分别交于C、D两点，则直线AB：y=x﹣4，C（4，0），D（0，﹣4），Rt△COD中，∵CO=DO，∴∠ODA=45°，①以A为直角顶点，则∠P1AB=90°，Rt△P1AD中，∠P1DA=45°，则，∴，又∵D（0，﹣4），∴P1（0，0），②以B为直角顶点，则∠DBP2=90°，Rt△DBP2中，∠BDP2=∠ODC=45°，∴，∴P（0，﹣12），∴综上所述：P（0，0）或（0，﹣12）；（3）如图2，记点A关于x轴的对称点为：E（2，2），将B，E代入y=kx+h得：，解得：，则直线BE的解析式为：令y=0，得即BE与x轴的交点为：，，故抛物线向右平移个单位时A'M+MB'最短，此时，抛物线的解析式为：．点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及待定系数法求二次函数以及一次函数解析式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．。

2022年北京东城区广渠门中学九上期中数学试卷1.抛物线y=−(x+2)2−3的顶点坐标是( )A．(2,−3)B．(−2,3)C．(2,3)D．(−2,−3)2.如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC=120∘，那么∠BAC的度数是( )A．90∘B．60∘C．45∘D．30∘3.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(4,3)，OP与x轴正半轴的夹角为α，则tanα的值为( )A．35B．45C．34D．434.如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC上，连接BE交对角线AC于点F，若DE:EC=1:3，则S△EFC:S△BFA=( )A．1:3B．1:9C．3:4D．9:165.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=40∘，则∠BAD为( )A．40∘B．50∘C．60∘D．70∘6.如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A=34∘，则∠ACB的度数是( )A．28∘B．30∘C．31∘D．32∘7.把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线( )A．y=(x+3)2−1B．y=(x+3)2+3C．y=(x−3)2−1D．y=(x−3)2+38.在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的位置如图所示，抛物线y=ax2−2ax经过A，B，则下列说法不正确的是( )A．抛物线的开口向上B．抛物线的对称轴是x=1C．点B在抛物线对称轴的左侧D．抛物线的顶点在第四象限9.请写出一个开口向下，并且过坐标原点的抛物线的表达式，y=．10.根据测试距离为5m的标准视力表制作一个测试距离为3m的视力表．如果标准视力表中“E”的长b是3.6cm，那么制作出的视力表中相应“E”的长a是．11.已知：如图，在△ABC中，点D在AC上（点D不与A，C重合）．若再添加一个条件，就可证出△ABD∽△ACB．12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=115∘，则∠BOD等于∘．13.如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60∘的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30∘的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是海里．14.如图，PA，PB，EF分别切⊙O于A，B，D，若∠P=50∘，那么∠EOF=∘．15.已知函数y=x2−2x−3，当−1≤x≤a时，函数的最小值是−4，则实数a的取值范围是．16.如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y=2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为．tan45∘．17.计算：2cos30∘−tan60∘+sin30∘+1218.下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及⊙O外一点P．求作：⊙O的一条切线，使这条切线经过点P．作法：①连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A；②以A为圆心，AO为半径作圆，交⊙O于点M；③作直线PM，则直线PM即为⊙O的切线．根据小芸设计的尺规作图过程，(1) 用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2) 完成证明．19.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x⋯−2−1012⋯y⋯0−4−408⋯(1) 根据表填空：①抛物线与x轴的交点坐标是和；② x时，y>0；(2) 试确定抛物线y=ax2+bx+c的解析式．20.如图，点P是⊙O内一点．(1) 过点P画弦AB，使点P是AB的中点，并简述作图过程．(2) 连接OP并延长交⊙O于点C，若AB=8，PC=2，求⊙O的半径．21.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC=90∘．(1) 求证：△ADE∽△BEC．(2) 若AD=1，BC=3，AE=2，求AB的长．，求BC的长．22.如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3√2，AC=5，sinC=3523.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30∘角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度ℎ（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系ℎ=20t−5t2．(1) 小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？(2) 小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？24.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，点D为AB边上的动点（点D不与点A，点B重合），过点D作ED⊥CD交直线AC于点E．已知∠A=30∘，AB=4cm，在点D由点A到点B 运动的过程中，设AD=x cm，AE=y cm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整．(1) 通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm⋯12132252372⋯y/cm⋯0.40.8 1.0 1.00 4.0⋯（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）(2) 在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象：(3) 结合画出的函数图象，解决问题：当AE=12AD时，AD的长度约为cm．25.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90∘，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．(1) 求证：AE=AF．(2) 若AE=5，AC=4，求BE的长．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−4ax+3a−2(a≠0)与x轴交于A，B两点．（点A在点B左侧）(1) 当抛物线过原点时，求实数a的值．(2) 回答下列问题：①求抛物线的对称轴．②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）．(3) 当AB≤4时，求实数a的取值范围．27.在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．(1) 依题意补全图1．(2) 若∠PAB=20∘，求∠ADF的度数．(3) 如图2，若45∘<∠PAB<90∘，用等式表示线段AB，EF，FD之间的数量关系，并证明．28.我们规定；平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=D−d．(1) 回答下列问题．①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：A(1,0)的距离跨度．B(−12,√32)的距离跨度．C(−3,−2)的距离跨度．②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是．(2) 如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以D(−1,0)为圆心，2为半径的圆，直线y=k(x−1)上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围．(3) 如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OP：y=√33x(x≥0)，⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，直接写出圆心E 的横坐标x E的取值范围．答案1. 【答案】D【解析】∵抛物线y=−(x+2)2−3为抛物线解析式的顶点式，∴抛物线顶点坐标是(−2,−3)．2. 【答案】B【解析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可知：BAC=12∠BOC，∵∠BOC=120∘，∴∠BAC=60∘．3. 【答案】C【解析】过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO=∠PNO=90∘，∵x轴⊥y轴，∴∠MON=∠PMO=∠PNO=90∘，∴四边形MONP是矩形，∴PM=ON，PN=OM，∵P(4,3)，∴ON=PM=4，PN=3，∴tanα=PNON =34．4. 【答案】D【解析】∵DE:EC=1:3，∴EC:DC=3:4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC，∴△EFC∽△BFA，∴S△EFCS△BFA =(ECAB)2=916．5. 【答案】B【解析】如图，连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB=90∘，∵∠B=∠C=40∘，∴∠DAB=90∘−40∘=50∘．6. 【答案】A【解析】如图，连接OB．∵AB切⊙O于点B，∴∠OBA=90∘，∵∠A=34∘，∴∠AOB=90∘−34∘=56∘，∵OB=OC，∴∠C=∠OBC，∵∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C，∴∠C=28∘．7. 【答案】C【解析】由题意得原抛物线的顶点为(0,1)，∴平移后抛物线的顶点为(3,−1)，∴新抛物线解析式为y=(x−3)2−1．8. 【答案】C【解析】∵y=ax2−2ax，∴x=0时，y=0，∴图象经过原点，=1，又∵对称轴为直线x=2a2a∴抛物线开口向上，点B在对称轴的右侧，顶点在第四象限．即A，B，D正确，C错误．9. 【答案】−x2+2x(答案不唯一)10. 【答案】6cm【解析】如图，依题意得△OAB∽△OCD，则DCAB =DOBO，即a3.6=53，解得：a=6．11. 【答案】∠ABD=∠ACB（答案不唯一）【解析】可再添加一组角，如∠ABD=∠ACB．12. 【答案】130【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=115∘，∴∠C=180∘−∠A=180∘−115∘=65∘，∴∠BOD=2∠C=130∘．13. 【答案】6√3【解析】作CH⊥AD于H，由题意得，∠CAB=30∘，∠CBH=60∘，∴∠C=30∘，∴∠CAB=∠C，∴BC=BA=24×12=12，在Rt△CBH中，CH=BC⋅sin∠CBH=6√3（海里）．14. 【答案】65【解析】连接OA，OB，OD．∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90∘，而∠P=50∘，∴∠AOB=360∘−90∘−90∘−50∘=130∘；∴∠ODE=∠ODF=90∘，∵OA=OD=OB，OE=OE，OF=OF，∴Rt△OAE≌Rt△ODE(HL)，Rt△OFD≌Rt△OFB(HL)，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=12∠AOB=65∘，则∠EOF=65∘．15. 【答案】a≥116. 【答案】√3【解析】连接PQ，OP，如图．∵直线OQ切⊙P于点Q，∴PQ⊥OQ．在Rt△OPQ中，OQ=√OP2−PQ2=√OP2−1，当OP最小时，OQ最小，当OP⊥直线y=2时，OP有最小值2，∴OQ的最小值为√22−1=√3．17. 【答案】原式=2×√32−√3+12+12=1．18. 【答案】(1) 如图所示：PM即为所求作的的⊙O的切线．(2) 连接OM，根据作图过程可知：OP为⊙A的直径，∴∠PMO=90∘，即OM⊥PM，又OM为⊙O的半径，∴PM为⊙O的切线．19. 【答案】(1) (−2,0)；(1,0)；<−2或x>1(2) 设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x−1)，把(0,−4)代入得−4=a×2×(−1)，解得a=2，所以抛物线解析式为y=2(x+2)(x−1)，即y=2x2+2x−4．【解析】(1) ①抛物线与x轴的交点坐标是(−2,0)和(1,0)．② x<−2或x>1时，y>0．20. 【答案】(1) ①过P作直径DE，交⊙O于点D和E；②过P作弦AB⊥DE于P．(2) 连接OA，设⊙O的半径为r，则OP=r−2，∵OP⊥AB，∴AP=12AB=12×8=4根据勾股定理可得：OA2=OP2+AP2，∴r2=42+(r−2)2，r=5．答：⊙O的半径为5．21. 【答案】(1) 因为AD∥BC，AB⊥BC，所以AD⊥AB，∠B=∠A=90∘，所以∠ADE+∠AED=90∘，又因为∠AED+∠BEC=90∘，所以∠ADE=∠BEC，所以△ADE∽△BEC．(2) 因为△ADE∽△BEC，所以AEBC =ADBE，所以23=1BE，所以BE=32，所以AB=AE+EB=2+32=72．22. 【答案】BC=7．【解析】作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90∘，∵AC=5，sinC=35，∴AD=AC⋅sinC=3．∴在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=4．∵AB=3√2，∴在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=3．∴BC=BD+CD=7．23. 【答案】(1) 由已知可得，ℎ=5(t−2)2+20，∴当t=2时，ℎ有最大值20，∴小球飞行时间是2s时，小球最高为20m．(2) 由题意：20t−5t2=15，解得t1=1，t2=3，由图象可知，当1≤t≤3时，ℎ≥15．∴当1≤t≤3时，满足题意．24. 【答案】(1) 根据题意，测量得1.2，∴故答案为：1.2．(2) 根据已知数据，作图得：(3) 2.4或3.3【解析】(3) 当AE=12AD时，y=12x，在（2）中图象作图，并测量两个函数图象交点得：AD=2.4或3.3．25. 【答案】(1) 连接OD，∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC，∴∠ODC=90∘，又∵∠ACB=90∘，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠F，∵OE =OD ，∴∠OED =∠ODE ，∴∠OED =∠F ，∴AE =AF ．(2) ∵OD ∥AC ，∴△BOD ∽△BAC ，∴BO AB =OD AC ，∵AE =5，AC =4，即BE+2.5BE+5=2.54，∴BE =53．26. 【答案】 (1) ∵ 点 O (0,0) 在抛物线上，∴3a −2=0，a =23．(2) ①对称轴 x =−−4a 2a =2．② y =ax 2−4ax +3a −2=a (x −2)2−a −2，故顶点的纵坐标为 −a −2．(3) （ⅰ）当 a >0 时，依题意，{−a −2<0,3a −2≥0,解得 a ≥23． （ⅰ）当 a <0 时，依题意，{−a −2>0,3a −2≤0,解得 a <−2． 综上，a <−2 或 a ≥23．27. 【答案】(1) 补全图形如图所示：(2) 连接 AE ，依题可知，∠PAB =∠PAE =20∘，AB =AE =AD ，∠DAE =∠DAB +∠BAE =130∘．∴∠ADE =∠AED =25∘．(3) 连接 AE ，BF ，AD ．由对称性可知：AE =AB =AD ，EF =BF ，△ABE ，△AED ，△EFB 都是等腰三角形．∴∠AEB =∠ABE ，∠AED =∠ADE ．∵∠BAD =90∘，∴∠BAD =∠ABE +∠BED +∠ADE =2∠BED =90∘，∴∠BED =45∘．∴△EFB 都是等腰直角三角形，∴BF =EF ，∠BFE =90∘．在 Rt △BFD 中，BF 2+DF 2=BD 2，BD =√2AB ．∴EF 2+DF 2=2AB 2．28. 【答案】(1) ① 2；2；4②圆(2) ∵ y =k (x −1)，∴ 直线是过点 (1,0) 可以旋转的直线，又 ∵ 直线上存在到 QC 跨度距离为 2 的点，∴ 直线与以 (−1,0) 为圆心，1 为半径的圆有交点，如图，极限情况为 l 1，l 2 与圆相切，∴ DM =DN =1=12QD ， ∴ ∠MQD =∠NQD =30∘，∴ k 1=√33，k 2=−√33， ∴ −√33≤k ≤√33． (3) −1≤x E ≤2【解析】(1) ①如图，∵ 图形 G 1 为以 O 为圆心，2 为半径的圆，∴ 直径为 4，∵ A (1,0)，OA =1，∴ 点 A 到 ⊙O 的最小距离 d =MA =OM −OA =1，点 A 到 ⊙O 的最大距离 D =AN =ON +OA =2+1=3，∴ 点 A 到图形 G 1 的距离跨度 R =D −d =3−1=2．∵ B (−12,√32)， ∴ OB =√(−12)2+(√32)2=1，∴ 点 B 到 ⊙O 的最小距离 d =BG =OG −OB =1，点B到⊙O的最大距离D=BF=FO+OB=2+1=3，∴点B到图形G1的距离跨度R=D−d=3−1=2．∵C(−3,−2)，∴OC=√(−3)2+(−2)2=√13，∴点C到⊙O的最小距离d=CD=OC−OD=√13−2，点C到⊙O的最大距离D=CE=OC+OE=2+√13，∴点C到图形G1的距离跨度R=D−d=2+√13−(√13−2)=4．②由①可知点与圆心O的距离为1时，跨度距离都为2，所以满足跨度距离为2的所有的点组成一个圆．设⊙O外一点Q的坐标为(x,y)，∴OQ=√x2+y2，∴点Q到⊙O的最小距离d=OQ−2，点P到⊙O的最大距离D=OQ+2，∴点P到图形G1的距离跨度R=D−d=OQ+2−(OQ−2)=4；∵图形G1的距离跨度为2，∴此种情况不存在，∴到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．(3) 以3为半径的圆E距离跨度为2的点在以E为圆心半径为1的圆上，∴与射线OP的跨度距离为2，即以E为圆心半径为1的圆与射线OP有交点，x，∵OP：y=√33∴∠POE=30∘，∴有交点即两种极限情况如图所示，∴相切时OP=2，∴−1≤x E≤2．。

2022-2023学年北京市东城区广渠门中学九年级（上）第一次质检数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）1．一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，1，5B．2，1，﹣5C．2，0，﹣5D．2，0，52．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如果将抛物线y＝2x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到一条新的抛物线，这条新的抛物线的表达式是（）A．y＝2（x﹣2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x+2）2+34．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（）A．（0，0）B．（1，0）C．（1，﹣1）D．（2.5，0.5）5．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（）A．√5B．√13C．4D．66．如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x 满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系B．正比例函数关系，二次函数关系C．二次函数关系，正比例函数关系D．二次函数关系，一次函数关系7．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0③4a+b＜0；④若此抛物线经过点C（1，1），则点（5，1）一定是抛物线y＝ax2+bx+c＝0上的一个点．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．①④8．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m二、填空题（共16分，每题2分）9．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的顶点坐标是．10．将二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝（x﹣h）2+k的形式为．11．如图所示，△ABC绕点P顺时针旋转得到△DEF，则旋转的角度是．12．抛物线y＝x2+4x+3与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为．13．请写出一个有最小值，并且对称轴为直线x＝1的二次函数的解析式．14．已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是．15．已知抛物线y＝x2﹣x﹣3经过点A（2，y1）、B（3，y2），则y1与y2的大小关系是．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2﹣AD2＝CD2.若AB＝2√13，BC＝4，则BD长的最小值为．三、解答题17．解方程：x2﹣2x﹣8＝0．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B （4，﹣3）．（1）将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA1B1，点A旋转后的对应点为A1．画出旋转后的图形△OA1B1，并写出点A1的坐标；（2）△OAB关于点O中心对称得到△OA2B2，点B的对称点为B2．画出中心对称后的图形△OA2B2，并写出点B2的坐标．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x+c的部分图象经过点A（0，﹣3），B（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于2，求k的取值范围．21．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．（1）求证：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．22．在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x……﹣1012……y……﹣3010……（1）求这个二次函数的表达式；（2）画出这个二次函数的图象；（3）写出y随x增大而减小的x的取值范围；（4）若﹣1＜x＜2，结合函数图象，直接写出y的取值范围．23．已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣m（m是常数）．（1）若该二次函数的图象与x轴有两个的交点，求m的取值范围；（2）若该二次函数的图象与x轴的其中一个交点坐标为（﹣1，0），求一元二次方程﹣x2+2x﹣m＝0的解．24．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A （﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．25．中国在2022年北京冬奥会上向全世界展示了“胸怀大局，自信开放，迎难而上，追求卓越，共创未来”的北京冬奥精神．跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之一，如图是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台AB长1米（即AB＝1），平台AB距地面18米．以地面所在直线为x轴，过点B垂直于地面的直线为y轴，取1米为单位长度，建立平面直角坐标系，已知滑道对应的函数为y=15x2﹣4x+c（x≥1）．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落过程中的某位置（忽略空气阻力）．设运动员飞出时间为t秒，运动员与点A的竖直距离为h米，运动员与点A的水平距离为1米，经实验表明：h＝6t2，l＝vt．（1）求滑道对应的函数表达式；（2）当v＝5，t＝1时，通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上；（3）在试跳中，运动员从A处飞出，运动员甲飞出的路径近似看做函数y=−15x2+25x+895图象的一部分，着陆时水平距离为d1，运动员乙飞出的路径近似看做函数y=−16x2+13x+1076图象的一部分，着陆时水平距离为d2，则d1d2，（填“＞”“＝”或“＜”）．26．在平面直角坐标系：xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N （x3，y3）．若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围；（3）若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，且当x1＜x2时，都有y1＜y2，求x1+x2的取值范围．27．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA＝BC，DA＝DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是．（2）将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转90度，补全旋转后的图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．28．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y ≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值，例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y ＝x 2和y ＝x +l （﹣4＜x ≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y ＝﹣x +1（a ≤x ≤b ，b ＞a ）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围；（3）将函数y ＝x 2（﹣1≤x ≤m ，m ≥0）的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足34≤t ≤1？。

九年级数学九月份月考试卷一、填空题：（每小题2分，共20分）1．化简：21= ，=-2)32(； 二、方程x 2－2＝0的解是x 1＝ 、x 2= ； 3、已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x4、化简：5=-a a 9 ；五、关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根别离为1和2，则b ＝______；c ＝______．六、（2007湖南怀化）已知方程230x x k -+=有两个相等的实数根，则k =7．（2006年福建省三明市）已知x 2＋4x －2=0，那么3x 2＋12x ＋2000的值为 。

八、（2007江苏淮安）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________。

九、（06四川成都市）已知某工厂计划通过两年的时刻，把某种产品从此刻的年产量100万台提高到121万台，那么每一年平均增加的百分数是______________。

按此年平均增加率，估计第4年该工厂的年产量应为______________万台。

10、下面是依照必然规律画出的一列“树型”图：经观察能够发觉：图⑵比图⑴多出2个“树枝”，图⑶比图⑵多出5个“树枝”，图⑷比图⑶多出10个“树枝”，照此规律，图⑺比图⑹多出_________个“树枝”．二、选择题：（每小题3分，共24分）1一、．方程x(x+3)=(x+3)的根为--------------------------------------（ ）A 、x 1=0，x 2=3B 、x 1=0，x 2=－3C 、x=0D 、x=－31二、下列方程没有实数根的是-----------------------------------------( )A. x 2-x-1=0B. x 2-6x+5=0C.2x 3x 30+= +x+1=0.13.等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则那个三角形的周长为--（ ）.10 C 或10 D.不能肯定 14．如图1，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条一样宽的道路，余下部份作为耕地. 按照图中数据， 图11m 1m 30m20m计算耕地的面积为------------------------------------------（ ）A ．600m 2B ．551m 2C ．550 m 2D ．500m 215．下列说法中正确的是……………………………………………………………（ ） （A ）36的平方根是±6 （B ）16的平方根是±2 （C ）|－8|的立方根是－2 （D ）16的算术平方根是416 在式子b a b a a x m +-+,2,4,5.0,31,182中，是最简二次根式的有（ ）个A 、2B 、3C 、1D 、017．下列变形中，正确的是………------------------------------------------（ ）（A ）(23)2＝2×3＝6 （B ）2)52(-＝－52 （C ）169+＝169+ （D ）)4()9(-⨯-＝49⨯．三、解答题：（19—21小题每小题5分，共20分）1九、()3327÷-20．计算：1131850452+-2一、 b a a b ab a155102÷⋅ 2二、 ()21322)6328(--÷-23、解方程：每小题7分，共28分）（1）、4x 2－121=0 （2）、2410x x +-=．（3）、x 2＋3＝3(x ＋1)． （4）、x 2－3x+043=24．（9分）如图5，小正方形边长为1，连接小正方形的三个极点，可得△ABC 。

2024-2025学年北京市广渠门中学数学九年级第一学期开学经典试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，矩形内部有一动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A ，B 两点的距离之和PA PB +的最小值为（）.A ．5B ．C ．D ．2、（4分）点()1,3M 在反比例函数k y x =的图像上，则k 的值为（）A ．1-B ．3C ．3-D ．133、（4分）如图，矩形ODEF 的顶点F 在y 轴正半轴上、顶点D 在x 轴正半轴上，反比例函数()0k y x x =>的图象分别与EF 、DE 交于点(),8A a 、(),4B b ，连接AB 、OA 、OB ，若6AOB S ∆=，则k 的值为（）A ．2B ．4C ．6D ．84、（4分）若一次函数21y x =-向上平移2个单位，则平移后得到的一次函数的图象与y 轴的交点为A ．()0,1-B ．()0,3-C ．()0,1D ．()0,25、（4分）如图，已知直线y ＝12x 与双曲线y ＝k x (k>0)交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为4.点C 是双曲线上一点，且纵坐标为8，则△AOC 的面积为()A ．8B ．32C ．10D ．156、（4分）小刚以400m/min 的速度匀速骑车5min ，在原地休息了6min ，然后以500m/min 的速度骑回出发地，小刚与出发地的距离s (km)关于时间t (min)的函数图象是A ．B ．C ．D ．7、（4分）如图，小明为了测量校园里旗杆AB 的高度，将测角仪CD 竖直放在距旗杆底部B 点5m 的位置，在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为60°若测角仪的高度是1.6m ，则旗杆AB 的高度约为（）（精确到0.1m . 1.73≈）A ．8.6m B ．8.7m C ．10.2m D ．10.3m 8、（4分）某种正方形合金板材的成本y (元)与它的面积成正比，设边长为x cm.当x ＝3时，y ＝18，那么当成本为72元时，边长为（）A ．6cm B ．12cm C ．24cm D ．36cm 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如果一组数据：5，x ，9，4的平均数为6，那么x 的值是_________10、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、AD 上，请添加一个条件__________使四边形AECF 是平行四边形（只填一个即可）．11、（4分）如图，在ABC △中，10AB AC ==，AD 平分BAC ∠，点E 为AC 中点，则DE =_____．12、（4分）在平面直角坐标系中，点(2,3)-关于x 轴对称的点的坐标是__________．13、（4分）已知5的整数部分为a ，5的小数部分为b ，则a +b 的值为__________三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠DAB=60°，点E 是AD 边的中点，点M 是AB 边上的一个动点（不与点A 重合），延长ME 交CD 的延长线于点N ，连接MD ，AN ．（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形．（2）当AM 的值为何值时，四边形AMDN 是矩形，请说明理由．15、（8分）已知2(7(2x x -+--.16、（8分）如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，∠B ＝60°，G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2）①AE 为何值时四边形CEDF 是矩形？为什么？②AE 为何值时四边形CEDF 是菱形？为什么？17、（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，8），点B （6，8）．（1）尺规作图：求作一个点P ，使点P 同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）①点P 到A ，B 两点的距离相等；②点P 到∠xOy 的两边的距离相等；（2）在（1）作出点P 后，直接写出点P 的坐标．18、（10分）已知一次函数y ＝kx +b 的图象与直线y ＝﹣2x +1的交点M 的横坐标为1，与直线y ＝x ﹣1的交点N 的纵坐标为2，求这个一次函数的解析式．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）已知直线过点和点，那么关于的方程的解是________．20、（4分）在某次数学测验中，班长将全班50名同学的成绩（得分为整数）绘制成频数分布直方图（如图），从左到右的小长方形高的比为0.6:2:4:2.2:1.2，则得分在70.5到80.5之间的人数为________.21、（4分）分解因式：﹣2x 2y+16xy ﹣32y=．22、（4分）a 与5的和的3倍用代数式表示是________.23、（4分）过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是________.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在△ABC 中，AD 是角平分钱，点E 在AC 上，且∠EAD=∠ADE ．（1）求证：△DCE ∽△BCA ；（2）若AB=3，AC=1．求DE 的长．25、（10分）如图，在□ABCD 中，点E 在BC 上，AB =BE ，BF 平分∠ABC 交AD 于点F ，请用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）.（1）在图1中，过点A 画出△ABF 中BF 边上的高AG ；（2）在图2中，过点C 画出C 到BF 的垂线段CH .26、（12分）甲、乙两车分别从A 地将一批物品运往B 地，再返回A 地，如图表示两车离A 地的距离s （千米）随时间t （小时）变化的图象，已知乙车到达B 地后以30千米/小时的速度返回．请根据图象中的数据回答：（1）甲车出发多长时间后被乙车追上？（2）甲车与乙车在距离A 地多远处迎面相遇？（3）甲车从B 地返回的速度多大时，才能比乙车先回到A 地？参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D【解析】首先由13PAB ABCDS S∆=矩形，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A 关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA＋PB的最小值．【详解】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵13PAB ABCDS S∆=矩形，∴12AB•h＝13AB•AD，∴h＝23AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝2＋2＝4，∴BE=即PA＋PB的最小值为故选D．本题考查了轴对称−最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．2、B【解析】把点M 代入反比例函数k y x =中，即可解得K 的值.【详解】解：∵点()1,3M 在反比例函数k y x =的图像上，∴31k =，解得k=3.本题考查了用待定系数法求函数解析式，正确代入求解是解题的关键.3、D 【解析】根据点的坐标特征得到,8,,4AF a OF OD b BD ====，根据矩形面积公式、三角形的面积公式列式求出,a b 的关系，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到84a b =，解方程得到答案．【详解】解：∵点(,8),(,4)A a B b ，∴,8,,4AF a OF OD b BD ====，则,844AE b a BE =-=-=，由题意得，111884()46222b a b b a -⨯-⨯--⨯=，整理得，23b a -=，∵点(,8),(,4)A a B b 在反比例函数k y x =上，∴84a b =，解得，1,2a b ==，则188k =⨯=，故选：D ．本题考查的是反比例函数比例系数k 的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、三角形的面积公式，掌握反比例函数比例系数k 的几何意义是解题的关键．4、C【解析】首先根据平移的性质，求出新的函数解析式，然后即可求出与y 轴的交点.【详解】解：根据题意，可得平移后的函数解析式为212y x =-+，即为21y x =+∴与y 轴的交点，即0x =代入解析式，得1y =∴与y 轴的交点为()0,1故答案为C .此题主要考查根据函数图像的平移特征，求坐标，熟练掌握，即可解题.5、D 【解析】点A 的横坐标为4，将x ＝4代入y ＝12x ，得y ＝2.∴点A 的坐标为(4，2)．∵点A 是直线y ＝12x 与双曲线y ＝k x (k>0)的交点，∴k ＝4×2＝8，即y ＝8x .将y ＝8代入y ＝8x 中，得x ＝1.∴点C 的坐标为(1，8)．如图，过点A 作x 轴的垂线，过点C 作y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，且AM ，CN 的反向延长线交于点D ，得长方形DMON.易得S 长方形DMON ＝32，S △ONC ＝4，S △CDA ＝9，S △OAM ＝4.∴S △AOC ＝S 长方形DMON －S △ONC －S △CDA －S △OAM ＝32－4－9－4＝15.6、C【解析】【分析】根据题意分析在各个时间段小刚离出发点的距离，结合图象可得出结论.【详解】由已知可得，前5min 小刚与出发地相距2千米，后6min 距离不变，之后距离逐渐减少.故选项C 符合实际情况.故选：C 【点睛】本题考核知识点：函数的图形.解题关键点：结合实际分析函数图像.7、D 【解析】过D 作DE ⊥AB ，根据矩形的性质得出BC=DE=5m 根据30°所对的直角边等于斜边的一半，可得AD=10，根据勾股定理可得AE 的长，根据AB=AE+BE=AE+CD 算出答案.【详解】过D 作DE ⊥AB 于点E ，∵在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为60°，∴∠ADE=60°．∴∠DAE=30°．∵BC=DE=5m ，AD=2DE=10∴5 1.738.65AE =≈⨯≈，∴AB=AE+BE=AE+CD=8.65+1.6=10.25m≈10.3m ．故答案为:D本题考查了仰角俯角问题，正确作出辅助线，构造出30°直角三角形模型是解决问题的关键.8、A【解析】设y 与x 之间的函数关系式为y=kx 2，由待定系数法就可以求出解析式，当y=72时代入函数解析式就可以求出结论．【详解】解：设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx 2，由题意，得18＝9k ，解得：k ＝2，∴y ＝2x 2，当y ＝72时，72＝2x 2，∴x ＝1．故选A ．本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，根据解析式由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、6【解析】根据平均数的定义，即可求解.【详解】根据题意，得59464x +++=解得6x =故答案为6.此题主要考查平均数的求解，熟练掌握，即可解题.10、AF=CE （答案不唯一）．【解析】根据平行四边形性质得出AD ∥BC ，得出AF ∥CE ，当AF=CE 时，四边形AECF 是平行四边形;根据有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形的判定，可添加AF=CE 或FD=EB ．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形的定义，可添加AE ∥FC.添加∠AEC=∠FCA 或∠DAE=∠DFC 等得到AE ∥FC ，也可使四边形AECF 是平行四边形.11、1【解析】根据等腰三角形的三线合一得到∠ADC=90°，根据直角三角形的性质计算即可．【详解】解：∵AB=AC ，AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，∴∠ADC=90°，点E 为AC 中点，∴DE=12AC=1，故答案为：1．本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．12、(2,3)【解析】根据关于x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可.【详解】点(2,3) 关于x 轴对称的点的坐标是(2,3).故答案为：(2,3).本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数.13、12-【解析】的取值范围，再求出5与5的取值范围，从而求出a ，b 的值．【详解】解：∵3＜4，∴8＜5＜9，1＜5＜2，∴5的整数部分为a =8，5的小数部分为b =5-1=4，∴a +b =8+4=12-，故答案为12．的范围．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）证明见解析；（2）AM=1．理由见解析．【解析】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴ND ∥AM ，∴∠NDE=∠MAE ，∠DNE=∠AME ，∵点E 是AD 中点，∴DE=AE ，在△NDE 和△MAE 中，NDE MAE DNE AME DE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△NDE ≌△MAE （AAS ），∴ND=MA ，∴四边形AMDN 是平行四边形；（2）解：当AM=1时，四边形AMDN 是矩形．理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB=2，∵平行四边形AMDN 是矩形，∴DM ⊥AB ，即∠DMA=90°，∵∠DAB=60°，∴∠ADM=30°，∴AM=12AD=1．本题考查矩形的判定；平行四边形的判定；菱形的性质．15、2【解析】把2x =+代入代数式，再根据平方差公式、完全平方公式计算即可求解．【详解】解：((27x 2x -+--((27222=-++-+-(22772=-++--(22743=-+-49481=-+-2=本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式．16、（1）见解析；（2）①当AE ＝4cm 时，四边形CEDF 是矩形．理由见解析；②当AE ＝2时，四边形CEDF 是菱形，理由见解析.【解析】（1）先证△GED ≌△GFC ，推出DE ＝CF 和DE ∥CF ，再根据平行四边形的判定推出即可；（2）①作AP ⊥BC 于P ，先证明△ABP ≌△CDE ，然后求出DE 的值即可得出答案；②先证明△CDE 是等边三角形，然后求出DE 的值即可得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BF ，∴∠DEF ＝∠CFE ，∠EDC ＝∠FCD ，∵G 是CD 的中点，∴GD ＝GC ，∴△GED ≌△GFC ，∴DE ＝CF ，DE ∥CF ，∴四边形CEDF 是平行四边形，（2）①当AE ＝4cm 时，四边形CEDF 是矩形．理由：作AP ⊥BC 于P ，∵四边形CEDF 是矩形，∴∠CED ＝∠APB ＝90°，∴AP=CE，又∵ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4cm，则△ABP≌△CDE（HL），∴BP=DE，∵AB＝4cm，∠B＝60°，∴BP＝AB×cos60°=4×12=2（cm），∴BP=DE=2cm，又∵BC=AD=6cm，∴AE=AD-DE=6-2=4（cm）；.②当AE＝2时，四边形CEDF是菱形．理由：∵平行四边形CEDF是菱形，∴DE＝CE，又∵∠CDE＝∠B＝60°，∴△CDE是等边三角形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4cm，DE=CD=4cm，∵BC=AD=6cm，则AE=AD-DE=6-4=2（cm）.本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及三角函数应用，注意：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．17、（1）见解析；（2）（3，3）【解析】（1）作线段AB的垂直平分线线和∠xOy的角平分线，两线的交点即为点P．（2）根据（1）中所作的图，点P应同时满足3x=和y x=，直接写出点P的坐标即可．【详解】（1）如图所示，点P即为所求．（2）∵点A （0，8），点B （6，8），点P 在线段AB 的垂直平分线上∴点P 在直线3x =上∵点P 在∠xOy 的角平分线上∴点P 在直线y x =上联立得3x y x =⎧⎨=⎩解得3,3x y ==∴点P 的坐标（3，3）本题考查了平面直角坐标系作图的问题，掌握垂直平分线和角平分线的性质是解题的关键．18、y ＝32x ﹣52．【解析】依据条件求得交点M 的坐标是（1，﹣1），交点N 的坐标是（3，2），再根据待定系数法即可得到一次函数的解析式．【详解】解：把x ＝1代入y ＝﹣2x+1中，可得y ＝﹣1，故交点M 的坐标是（1，﹣1）；把y ＝2代入y ＝x ﹣1中，得x ＝3，故交点N 的坐标是（3，2），设这个一次函数的解析式是y ＝kx+b ，把（1，﹣1），（3，2）代入，可得123k bk b -=+⎧⎨=+⎩，解得3252k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故所求函数的解析式是y ＝32x ﹣52．本题考查了两直线相交的问题，解题的关键是理解交点是两条直线的公共点．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、【解析】观察即可知关于的方程的解是函数中y=0时x 的值.【详解】解：∵直线过点∴当y=0时x=-3即的解为x=-3故答案为：本题考查了一次函数与一元一次方程的问题,掌握函数图像上的点与方程的关系是解题的关键.20、20【解析】所有小长方形高的比为0.6：2：4：2.2：1.2，可以求出得分在70.5到80.5之间的人数的小长方形的高占总高的比，进而求出得分在70.5到80.5之间的人数．【详解】解：450=200.624 2.2 1.2⨯++++人故答案为：20考查频数分布直方图的制作特点以及反映数据之间的关系，理解各个小长方形的高表示的实际意义，用所占比去乘以总人数就得出相应的人数．21、﹣2y （x ﹣4）2【解析】试题分析：根据提取公因式以及完全平方公式即可求出：原式=﹣2y（x2﹣8x+16）=﹣2y（x ﹣4）2故答案为﹣2y（x﹣4）2考点：因式分解22、3（a+5）【解析】根据题意，先求和，再求倍数．解：a与5的和为a+5，a与5的和的3倍用代数式表示是3（a+5）．列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“和”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．23、9【解析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可组成n-2个三角形，依此可得n的值.【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意得，n-2=7，解得：n=9，故答案为：9.本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）、证明过程见解析；（2）、12 7【解析】试题分析：（1）已知AD平分∠BAC，可得∠EAD=∠ADE，再由∠EAD=∠ADE，可得∠BAD=∠ADE，即可得AB∥DE，从而得△DCE∽△BCA；（2）已知∠EAD=∠ADE，由三角形的性质可得AE=DE，设DE=x，所以CE=AC﹣AE=AC﹣DE=1﹣x，由（1）可知△DCE∽△BCA，根据相似三角形的对应边成比例可得x：3=（1﹣x）：1，解得x的值，即试题解析：（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∵∠EAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∴AB∥DE，∴△DCE∽△BCA；（2）解：∵∠EAD=∠ADE，∴AE=DE，设DE=x，∴CE=AC﹣AE=AC﹣DE=1﹣x，∵△DCE∽△BCA，∴DE：AB=CE：AC，即x：3=（1﹣x）：1，解得：x=，∴DE的长是．考点：相似三角形的判定与性质．25、(1)见解析;(2)见解析.【解析】(1)连接AE，交BF于点G，则AG即为所求，理由为：AB＝AE，BF平分∠ABC，根据等腰三角形三线合一的性质可得BG⊥AG；(2)连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交AD于点G，连接CG交BF于点H，CH即为所求，理由：由平行四边形的性质以及作法可得△BOE≌△DOG，由此可得DG=BE=AB=CD，继而可得CG平分∠BCD，由AB//CD可得∠ABC+∠BCD=180°，继而可得∠FBC+∠GCB=90°，即∠BHC=90°，由此即可得答案.【详解】(1)如图1，AG即为所求；(2)如图2，CH即为所求.本题考查了作图——无刻度直尺作图，涉及了等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.26、（1）1.5小时；（2）40.8；（3）48千米/小时.【解析】解：（1）由图知，可设甲车由A地前往B地的函数解析式为s=kt，将（2.4，48）代入，解得k=20，所以s=20t，由图可知，在距A地30千米处，乙车追上甲车，所以当s=30千米时，（小时）．即甲车出发1.5小时后被乙车追上，（2）由图知，可设乙车由A地前往B地函数的解析式为s=pt+m，将（1.0，0）和（1.5，30）代入，得，解得，所以s=60t﹣60，当乙车到达B地时，s=48千米．代入s=60t﹣60，得t=1.8小时，又设乙车由B地返回A地的函数的解析式为s=﹣30t+n，将（1.8，48）代入，得48=﹣30×1.8+n，解得n=102，所以s=﹣30t+102，当甲车与乙车迎面相遇时，有﹣30t+102=20t解得t=2.04小时代入s=20t，得s=40.8千米，即甲车与乙车在距离A地40.8千米处迎面相遇；（3）当乙车返回到A地时，有﹣30t+102=0，解得t=3.4小时，甲车要比乙车先回到A地，速度应大于（千米/小时）．【点评】本题考查的是一次函数在实际生活中的运用，解答此类问题时要利用数形结合的方法解答．。

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．两相似三角形的相似比为2:3，它们的面积之差为15，则面积之和是（ ）A ．39B ．75C ．76D ．402．设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品2只，三等品3只。

则从中任意取一只，是二等品的概率等于 （ ）A ．112B ．16C ．14D ．712 3．下列说法正确的是（ ）A ．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查B ．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为2=3S 甲，2=4S 乙，说明乙的跳远成绩比甲稳定C ．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5D ．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生4．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．如图，已知AB 与O 相切于点A ，点,C D 在O 上.求证：CAB D ∠=∠.证明：连接AO 并延长，交O 于点E ，连接EC ． ∵AB 与O 相切于点A ，∴90EAB ∠=︒，∴90EAC CAB ∠+∠=︒．∵@是O 的直径，∴90ECA ∠=︒（直径所对的圆周角是90°），∴90E EAC ∠+∠=︒，∴E ∠=◎. ∵=AC AC ， ∴▲D =∠（同弧所对的※相等），∴CAB D ∠=∠． 下列选项中，回答正确的是（ ）A ．@代表ADB ．◎代表CAB ∠C ．▲代表DAC ∠D ．※代表圆心角5．若将半径为12cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（ ） A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．6cm6．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，1sin 3A =，那么下列说法中正确的是（ ） A ．1cos 3B = B ．1cot 3A = C ．22tan 3A = D ．22cot 3B = 8．将抛物线y ＝(x －3)2－2向左平移（ ）个单位后经过点A （2，2）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图,丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ,当他走到点P 时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部,当他向前再步行20 m 到达Q 点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部,已知丁轩同学的身高是1.5 m,两个路灯的高度都是9 m,则两路灯之间的距离是( )A ．24 mB ．25 mC ．28 mD ．30 m 10．反比例函数y=16t x -的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t 的取值范围是（ ） A ．t ＜16 B ．t ＞16 C ．t≤16 D ．t≥1611．遵义市脱贫攻坚工作中农村危房改造惠及百万余人，2008年以来全市累计实施农村危房改造40.37万户，其中的数据40.37万用科学记数法表示为（ ）A ．34.03710⨯B ．54.03710⨯C ．440.3710⨯D ．3403.710⨯12．关于x 的一元一次方程122a x m -+=的解为1x =，则a m -的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题（每题4分，共24分）13． “今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD ，东边城墙AB 长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E 、南门点F 分别是AB ，AD 的中点，EG ⊥AB ，FE ⊥AD ，EG =15里，HG 经过A 点，则FH =__里.14．计算：22sin45°·cos30°+3tan60°= _______________. 15．将抛物线y ＝2x 2的图象向上平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式为_____．16．如图，已知半⊙O 的直径AB ＝8，将半⊙O 绕A 点逆时针旋转，使点B 落在点B '处，AB '与半⊙O 交于点C ，若图中阴影部分的面积是8π，则弧BC 的长为_____．17．点A(-2,y 1),B(-1,y 2)都在反比例函数y=- 3x图象上,则y 1 _____________ y 2 (选填 “ ﹤” , “>”或” = ”) 18．若m 是方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则6m 2﹣9m +2020的值为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）（1）x 2﹣2x ﹣3＝0 （2）cos45°•tan45°3°﹣2cos60°2sin45°20．（8分）（1）解方程组:2427x y x y -=-⎧⎨+=⎩（2）计算24421111a a a a a a -+--⎛⎫÷-+ ⎪++⎝⎭21．（8分）某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元/件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y （件）与每件的销售价格x （元）满足函数关系：2180y x =-+．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件．（1）写出每天的销售利润w （元）与销售价格x （元）的函数关系式；（2）每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？22．（10分）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每涨价1元，每星期要少卖出10件．（1）每件商品涨价多少元时，每星期该商品的利润是4000元？（2）每件商品的售价为多少元时，才能使每星期该商品的利润最大？最大利润是多少元？23．（10分）已知：PA=2，PB ＝4，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧．(1)如图，当∠APB ＝45°时，求AB 及PD 的长；(2)当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB 的大小．24．（10分）如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，BAC DAC ∠=∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若2AB =，23AC =，求菱形ABCD 的面积．25．（12分）如图，在△ABC 中，AB=AC ．（1）若以点A 为圆心的圆与边BC 相切于点D ，请在下图中作出点D ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若该圆与边AC 相交于点E ，连接DE ，当∠BAC=100°时，求∠AED 的度数.26．直线122y x=-+与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线2y x bx c=-++经过A B、两点.（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是直线AB上方抛物线上一点；①当PBA∆的面积最大时，求点P的坐标；②在①的条件下，点P关于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线AB上是否存在点M，使得直线QM与直线BA的夹角是QAB∠的两倍，若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】由两相似三角形的相似比为2:3，得它们的面积比为4：9，设它们的面积分别为4x，9x，列方程，即可求解. 【详解】∵两相似三角形的相似比为2:3，∴它们的面积比为4：9，设它们的面积分别为4x，9x，则9x-4x=15，∴x=3，∴9x+4x=13x=13×3=39.故选A.【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键.2、B【分析】让二等品数除以总产品数即为所求的概率．【详解】解：∵现有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品2只，三等品3只，从中任意取1只，可能出现12种结果，是二等品的有2种可能， ∴二等品的概率21126==． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率()m P A n=． 3、C【分析】全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果数据的个数是偶数，中间两数的平均数就是中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．【详解】解：A ．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，A 错误；B ．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为2=3S 甲，2=4S 乙，说明甲的跳远成绩比乙稳定，B 错误；C ．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5，正确；D ．可能性是1的事件在一次试验中可能会发生，D 错误．故选C ．【点睛】本题考查了统计的应用，正确理解概率的意义是解题的关键．4、B【分析】根据圆周角定理和切线的性质以及余角的性质判定即可．【详解】解：由证明过程可知：A ：@代表AE ，故选项错误；B ：由同角的余角相等可知：◎代表CAB ∠，故选项正确；C 和D ：由同弧所对的圆周角相等可得▲代表∠E ，※代表圆周角，故选项错误；故选B.【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，余角的性质等知识点，熟记知识点是解题的关键．5、D【解析】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×12÷2=12π（cm），∴圆锥的底面半径为12π÷2π=6（cm），故选D．6、B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【详解】（1）是轴对称图形，不是中心对称图形．不符合题意；（2）不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；（3）是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；（4）是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．7、A【分析】利用同角三角函数的关系解答．【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，1sin3A=，则A、cosB=sinA=13，故本选项符合题意．B、cotA=313cosAsinA==．故本选项不符合题意．C、tanA=13sinAcosA==．故本选项不符合题意．D、cotB=tanA=4．故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查同角三角函数关系，解题关键在于掌握（1）平方关系：sin2A+cos2A=1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比.8、C【分析】直接利用二次函数平移规律结合二次函数图像上点的性质进而得出答案．【详解】解：∵将抛物线()232y x =--向左平移后经过点()2,2A ∴设平移后的解析式为()232y x a =-+-∴()22232a =-+-∴3a =或1a =-（不合题意舍去）∴将抛物线()232y x =--向左平移3个单位后经过点()2,2A ． 故选：C【点睛】本题主要考查的是二次函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．9、D【解析】由题意可得:EP ∥BD ,所以△AEP ∽△ADB ,所以AP EP AP PQ BQ BD=++,因为EP =1.5,BD =9,所以1.59220AP AP =+,解得:AP =5,因为AP=BQ ,PQ =20,所以AB=AP+BQ+PQ =5+5+20=30,故选D. 点睛:本题主要考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用,应用相似三角形可以间接地计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度,解题时关键是找出相似三角形,然后根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题.10、B【分析】将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，整理得出x 2﹣2x+1﹣6t=0，又因两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，根据根的判别式以及根与系数的关系可求解．【详解】由题意可得：﹣x+2=16t x-， 所以x 2﹣2x+1﹣6t=0，∵两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数， ∴2)2(4(16)0160t t -⎧--⎨-⎩＞＜ 解不等式组，得t ＞16． 故选：B ．点睛：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是利用两个函数的解析式构成方程，再利用一元二次方程的根与系数的关系求解.11、B【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：根据科学记数法的定义：40.37万=54.03710⨯故选：B.【点睛】此题考查的是科学记数法,掌握科学记数法的定义是解决此题的关键.12、D【分析】满足题意的有两点，一是此方程为一元一次方程，即未知数x 的次数为1；二是方程的解为x=1,即1使等式成立，根据两点列式求解.【详解】解：根据题意得，a-1=1,2+m=2,解得，a=2,m=0,∴a-m=2.故选：D.【点睛】本题考查一元一次方程的定义及方程解的定义，对定义的理解是解答此题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、1.1【解析】∵EG ⊥AB ，FH ⊥AD ，HG 经过A 点，∴FA ∥EG ，EA ∥FH ，∴∠HFA ＝∠AEG ＝90°，∠FHA ＝∠EAG ，∴△GEA ∽△AFH ，∴EG EA AF FH=． ∵AB ＝9里，DA ＝7里，EG ＝15里， ∴FA ＝3.5里，EA ＝4.5里，∴15 4.53.5FH =， 解得FH ＝1.1里．故答案为1.1．14、【分析】先求出各个特殊角度的三角函数值，然后计算即可【详解】∵453060sin cos tan ︒=︒=︒=∴原式= 22+=故答案为【点睛】 本题考查特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键。

2015-2016吉林省长春九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题1．下列运算正确的是（）A．B．C．D．2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣2）2=93．下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A． B．C．D．4．若，则=（）A．B．C．D．5．如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE ：S四边形DBCE=1：8，那么AE：AC等于（）A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：26．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．07．如图，等边三角形ABC的边长为4，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点．若∠APD=60°，则CD的长为（）A．B．C．D．18．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题9．=2x﹣3，x的取值范围是．10．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=80mm，高AD=60mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是mm．11．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，如果要使△ABC∽△DCA，那么还要补充的一个条件是．（只要求写出一个条件即可）12．小亮的身高是1.6米，某一时刻他在水平面上的影长是2米，若同一时刻测得附近一古塔在水平地面上的影长为20米，则古塔的高度是米．13．如图（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程是．14．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3厘米，BC=4厘米，点P从A沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如P与Q同时出发，且当一点移动到端点并停止时，另一点也同时停下，秒后三角形PBQ的面积为2平方厘米．三、解答题15．（1）计算：﹣﹣；（2）计算：（）﹣2﹣|2﹣3|+．16．解方程：（1）x2﹣2x=0；（2）30x2﹣45=0．17．解方程：x2+3x+1=0．18．解方程：（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5．19．已知y=++3，求﹣的值．20．某企业2012年盈利3000万元，2014年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利4320万元，从2012年到2014年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业每年盈利的年增长率？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2015年盈利多少万元？21．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．（1）求证：△ACB∽△DCE；（2）求证：EF⊥AB．22．已知▱ABCD的两边AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根，当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长．23．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．24．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF ⊥AE于F．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．2015-2016吉林省长春九年级（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题1．下列运算正确的是（）A．B．C．D．【考点】二次根式的混合运算．【分析】根据二次根式的混合运算的相关知识进行解答．需要注意的是，无论怎么化简、变形，原式值的符号不能改变．【解答】解：A、原式=6×=3，故A错误；B、原式=﹣，故B错误；C、a2=a2×=a，故C错误；D、原式=3﹣2=，故D正确．故选D．2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣2）2=9【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x2﹣2x=5，方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x2﹣2x+1=6∴（x﹣1）2=6．故选：C．3．下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A． B．C．D．【考点】同类二次根式．【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．【解答】解：A、=2，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A选项错误；B、=，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故B选项错误；C、=，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故C选项错误；D、=3，与的被开方数相同，是同类二次根式，故D选项正确．故选：D．4．若，则=（）A．B．C．D．【考点】比例的性质．【分析】由题干可得2b=3a﹣3b，根据比等式的性质即可解得a、b的比值．【解答】解：∵，∴5b=3a，∴，故选D．5．如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE ：S四边形DBCE=1：8，那么AE：AC等于（）A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2 【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由题可知：△ADE∽△ABC，相似比为AE：AC，由S△ADE ：S四边形DBCE=1：8，得S△ADE ：S△ABC=1：9，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE ：S△ABC=AE2：AC2，∵S△ADE ：S四边形DBCE=1：8，∴S△ADE ：S△ABC=1：9，∴AE：AC=1：3．故选B．6．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．0【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．【解答】解：根据题意，知，，解方程得：m=2．故选：B．7．如图，等边三角形ABC的边长为4，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点．若∠APD=60°，则CD的长为（）A．B．C．D．1【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形性质求出AB=BC=AC=4，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出=，代入求出即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=4，∠B=∠C=60°，∴∠BAP+∠APB=180°﹣60°=120°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠DPC=180°﹣60°=120°，∴∠BAP=∠DPC，即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，∴△BAP∽△CPD，∴=，∵AB=BC=4，CP=BC﹣BP=4﹣1=3，BP=1，即=，解得：CD=，故选C．8．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】相似三角形的判定．【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．【解答】解：有三个．①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；故选：C．二、填空题9．=2x﹣3，x的取值范围是x≥．【考点】二次根式的性质与化简．【分析】根据公式=|a|，可得出x的取值范围．【解答】解：∵=2x﹣3，∴3﹣2x≤0，解得x≥，∴x的取值范围是x≥，故答案为x≥．10．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=80mm，高AD=60mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是mm．【考点】相似三角形的应用．【分析】如图，设正方形EFGH的边长为x，EF与AD交于点K．由EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，得到=，得=，列方程即可．【解答】解：如图，设正方形EFGH的边长为x，EF与AD交于点K．∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=，∴=，∴x=，故答案为．11．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，如果要使△ABC∽△DCA，那么还要补充的一个条件是∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或．（只要求写出一个条件即可）【考点】相似三角形的判定．【分析】本题主要根据平行推出角的等量关系，再根据对应边的关系，利用两三角形相似的判定定理，做题即可．【解答】解：∵AD∥BC∴∠DAC=∠ACB∴当∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或AD：AC=AC：BC∴都可得相似．答案不唯一，如∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或AD：AC=AC：BC．12．小亮的身高是1.6米，某一时刻他在水平面上的影长是2米，若同一时刻测得附近一古塔在水平地面上的影长为20米，则古塔的高度是16米．【考点】相似三角形的应用；平行投影．【分析】利用相似及投影知识解题，因为某一时刻，实际高度和影长之比是一定的，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：=，解得：古塔的高=16，故答案为：16．13．如图（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程是（32﹣2x）（20﹣x）=570．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设宽为xm，从图（2）可看出剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面积可列出方程．【解答】解：设宽为xm，（32﹣2x）（20﹣x）=570．故答案为：（32﹣2x）（20﹣x）=570．14．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3厘米，BC=4厘米，点P从A沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如P与Q同时出发，且当一点移动到端点并停止时，另一点也同时停下，1秒或2秒后三角形PBQ的面积为2平方厘米．【考点】一元二次方程的应用．【分析】根据题意表示出BP，BQ的长，进而利用三角形面积求出答案．【解答】解：设x秒后三角形PBQ的面积为2平方厘米，根据题意可得：BP=3﹣x，BQ=2x，故×2x（3﹣x）=2，解得：x1=1，x2=2，故1或2秒后三角形PBQ的面积为2平方厘米．故答案为：1或2．三、解答题15．（1）计算：﹣﹣；（2）计算：（）﹣2﹣|2﹣3|+．【考点】实数的运算；负整数指数幂．【分析】（1）原式化简后，合并即可得到结果；（2）原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及分母有理化计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=3﹣﹣2=﹣；（2）原式=4﹣3+2+=1+．16．解方程：（1）x2﹣2x=0；（2）30x2﹣45=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】（1）原方程有公因式x，先提取公因式，然后再分解因式求解；（2）系数化为1后，利用直接开平方法求出方程的解．【解答】解：（1）∵x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，∴x=0或x﹣2=0，∴x1=0，x2=2．（2）∵30x2﹣45=0，∴x2=，∴x=±，∴x1=，x2=﹣17．解方程：x2+3x+1=0．【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】先找出a，b，c，再求出△，代入求根公式即可．【解答】解：a=1，b=3，c=1，…∴△=b2﹣4ac=9﹣4×1×1=5＞0，…∴x=﹣3±，…∴x1=﹣3+，x2=﹣3﹣…．18．解方程：（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：（x﹣5）（x﹣6）﹣（x﹣5）=0，分解因式得：（x﹣5）（x﹣7）=0，可得x﹣5=0或x﹣7=0，解得：x1=5，x2=7．19．已知y=++3，求﹣的值．【考点】分式的化简求值；二次根式有意义的条件．【分析】先算括号里面的，再算除法，最后求出x、y的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=﹣==，∵与有意义，∴，解得x=2，∴y=3，∴原式==﹣9．20．某企业2012年盈利3000万元，2014年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利4320万元，从2012年到2014年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业每年盈利的年增长率？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2015年盈利多少万元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）设每年盈利的年增长率为x，就可以表示出2014年的盈利，根据2014年的盈利为4320万元建立方程求出x的值即可；（2）根据（1）求出的年增长率就可以求出结论．【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，根据意，得3000（1+x）2=4320解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）答：增长率为20%；（2）由题意，得4320（1+0.2）=5184万元答：预计2015年该企业盈利5184万元．21．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．（1）求证：△ACB ∽△DCE ；（2）求证：EF ⊥AB ．【考点】相似三角形的判定与性质；三角形内角和定理．【分析】（1）从图中得到AC=3，CD=2，BC=6，CE=4，∠ACB=∠DCE=90°，故有，所以△ACB ∽△DCE ；（2）由1知，∠B=∠E ，可得∠B +∠A=∠E +A=180°﹣∠AFE=90°，即∠EFA=90°，故EF ⊥AB ．【解答】证明：（1）∵，，∴． 又∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ACB ∽△DCE ．（2）∵△ACB ∽△DCE ，∴∠ABC=∠DEC ．又∵∠ABC +∠A=90°，∴∠DEC +∠A=90°．∴∠EFA=90°．∴EF ⊥AB ．22．已知▱ABCD 的两边AB 、AD 的长是关于x 的方程x 2﹣mx +﹣=0的两个实数根，当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长．【考点】菱形的判定；根的判别式．【分析】由题意可知：AB 、AD 的长是关于x 的方程x 2﹣mx +﹣=0的两个实数根，也就是方程有两个相等的实数根，利用根的判别式为0即可求得m ，进而求得方程的根即为菱形的边长．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=AD ，∴△=0，即m 2﹣4（﹣）=0，整理得：（m ﹣1）2=0，解得m=1，当m=1时，原方程为x2﹣x+=0，解得：x1=x2=0.5．故当m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5．23．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．【考点】一元二次方程的应用．【分析】可设矩形草坪BC边的长为x米，则AB的长是，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解．【解答】解：设BC边的长为x米，则AB=CD=米，根据题意得：×x=120，解得：x1=12，x2=20，∵20＞16，∴x2=20不合题意，舍去，答：矩形草坪BC边的长为12米．24．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF ⊥AE于F．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．【考点】相似三角形的判定；正方形的性质．【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠PAF=∠AEB．∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE．（2）解：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB．∴PE∥AB．∴四边形ABEP为矩形．∴PA=EB=2，即x=2．若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB．∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF．∴PE=PA．∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点．∵AE==2，∴EF=AE=．∵，即，∴PE=5，即x=5．∴满足条件的x的值为2或5．2016年12月12日。

2024北京广渠门中学初三一模数 学一、选择题（每题2分，共16分）1. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）A. B. C. D. 2. 某种冠状病毒的直径120纳米，1纳米910-=米，则这种冠状病毒的直径（单位是米）用科学记数法表示为（ ）A. 912010-⨯米B. 81.210-⨯米C. 71.210-⨯米D. 61.210-⨯米3. 如图，90ACD CE AB ∠=︒⊥，，垂足为E ，则下面的结论中，不正确的是（ ）A. 点C 到AB 的垂线段是线段CDB. CD 与AC 互相垂直C. AB 与CE 互相垂直D. 线段CD 的长度是点D 到AC 的距离4. 已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（ ）A. 十边形B. 十一边形C. 十二边形D. 十三边形5. 阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点A ，B 分别表示数a ，b ，则A ，B 两点之间的距离为AB a b =-．反之，可以理解式子3x -的几何意义是数轴上表示实数x 与实数3两点之间的距离．则当25x x ++-有最小值时，x 的取值范围是（ ）A. <2x -或5x >B. 2x ≤-或5x ≥C. 25x -<<D. 25x -≤≤6. 为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（ ）A. 23 B. 12 C. 13 D. 167. 李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月（30天）每天所走的步数，并绘制成如右统计表：在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）A. 1.6，1.5B. 1.7，1.6C. 1.7，1.7D. 1.7，1.558. 某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的y 与x 的数据如表：时间(x 分钟)0246810121620含药量(y 毫克)0 1.53 4.56 4.843 2.4则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象可能是（ ）A. B.C. D.二、填空题9. 在函数0(4)y x =+-中，自变量x 的取值范围是___________．10. 方程组2128x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是___．11. 关于x 的一元二次方程x 2-2x +m =0有两个不相等的实数根．请你写出一个满足条件的m 值：m =______．12. 如图，为估算某鱼塘的宽AB 的长，在陆地上取点C ，D ，E ，使得A ，C ，D 在同一条直线上，B ，C ，E 在同一条直线上，且11,22==CD AC CE BC ．若测得ED 的长为10m ，则AB 的长为____________m ．13. 已知点()()122,,1,A y B y --在反比例函数(0)k y k x=≠的图象上，且12y y <，则k 的值可以是__________．（只需写出符合条件的一个的值）14. 如图，在ABC 中，点D 在AB 上（不与点A ，B 重合），过点D 作DE BC ∥交AC 于点E ，若1=AD DB ，则AE AC =__________．15. 在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数()0k y k x=≠的图象与直线1x =的交点的纵坐标为2，则该图象与直线=2y -的交点的横坐标为___．16. 围棋是一种起源于中国的棋类游戏，在春秋战国时期即有记载，围棋棋盘由横纵各19条等距线段构成，围棋的棋子分黑白两色，下在横纵线段的交叉点上．若一个白子周围所有相邻（有线段连接）的位置都有黑子，白子就被黑子围住了．如图1，围住1个白子需要4个黑子，固住2个白子需要6个黑子，如图2，围住3个白子需要8个或7个黑子，像这样，不借助棋盘边界，只用15个黑子最多可以围住___个白子．三、解答题（本题共68分，第17－21题，每小题5分，第22－23题，每小题6分，第24题5分，第25－26题，每小题6分，第27－28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：()1202211453-⎛⎫-+-︒ ⎪⎝⎭．18. 解不等式6438x x -≥-，并写出其正整数解．19. 已知22220m n +-=，求代数式2()(2)m n n m n -++的值．20. 已知：如图，A 为O 上的一点．求作：过点A 且与O 相切的一条直线．作法：①连接OA ；②以点A 为圆心，OA 长为半径画弧，与O 的一个交点为B ，作射线OB ；③以点B 为圆心，OA 长为半径画弧，交射线OB 于点P （不与点O 重合）；④作直线PA ．直线PA 即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接BA ．由作法可知BO BA BP ==．∴点A 在以OP 为直径的圆上．∴90OAP ∠=︒（ ）（填推理的依据）．∵OA 是O 的半径，∴直线PA 与O 相切（ ）（填推理的依据）．21. 已知关于x 的一元二次方程23210x x a -+-=有两个不相等的实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为正整数，求方程的根．22. 已知：如图，在四边形ABCD 中，,AB DC AC BD ⊥∥，垂足为M ，过点A 作AE AC ⊥，交CD 的延长线于点E ．（1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）若48,sin 5AC ABD =∠=，求BD 的长．23. 如图，ABC 中AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，以AD 为直径的O 交AB 于点E ，交AC 于点F ．（1）求证：BD 是O 切线；（2）连接EF 交OD 与G 、连接BO 交EF 于P ，连接PC ，若O 的半径为5，3OG =，求GE 和PC 的长．24. 有这样一个问题：探究函数()()()11232y x x x x =---+的性质．（1）先从简单情况开始探究：①当函数为()112y x x =-+时，y 随x 增大而_______(填“增大”或“减小”)；②当函数为()()1122y x x =--时，它的图象与直线y x =的交点坐标为_______；（2）当函数为()()()11232y x x x x =---+时，如表为其y 与x 的几组对应值，则=a _______．x ⋯12-01322523492⋯y ⋯11316-3-1271623716a 717716⋯①如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了该函数部分对应值为坐标的点，请大致画出该函数的图象；②结合函数图象，估计方程()()()112362x x x x ---+=的解可能为_______．25. 如图，A 是O 上一点，BC 是O 的直径，BA 的延长线与O 的切线CD 相交于点D ，E 为CD 的中点，AE 的延长线与BC 的延长线交于点P ．（1）求证：AP 是O 的切线；（2）若OC CP =，AB =，求CD 的长．26. 在平面直角坐标系xOy 中，已知关于x 的二次函数226y x ax =-+．（1）若此二次函数图象的对称轴为1x =．①求此二次函数的解析式；②当1x ≠时，函数值y ______5（填“>”，“<”，或“≥”或“≤”）；（2）若2a <-，当22x -≤≤时，函数值都大于a ，求a 的取值范围．27. 如图1，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，M 为BC 边上的一个动点（不与点B ，C 重合），连接AM ，以点A 为中心，将线段AM 逆时针旋转135°，得到线段AN ，连接BN ．（1）依题意补全图2；（2）求证：∠BAN＝∠AMB；（3）点P在线段BC的延长线上，点M关于点P的对称点为Q，写出一个PC的值，使得对于任意的点M，总有AQ＝BN，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy中，过⊙T（半径为r）外一点P引它的一条切线，切点为Q，若0＜PQ≤2r，则称点P为⊙T的伴随点．（1）当⊙O的半径为1时，①在点A(4，0)，B(0，C(1中，⊙O的伴随点是 ；②点D在直线y＝x+3上，且点D是⊙O的伴随点，求点D的横坐标d的取值范围；（2）⊙M的圆心为M(m，0)，半径为2，直线y＝2x﹣2与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，直接写出m的取值范围．参考答案一、选择题（每题2分，共16分）1. 【答案】D【详解】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】A 、圆锥的主视图是三角形，故A 不符合题意；B 、圆柱的主视图是矩形，故 B 不符合题意；C 、圆台的主视图是梯形，故C 不符合题意；D 、球的主视图是圆，故D 符合题意，故选D ．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．2. 【答案】C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】120纳米=120×10-9米=1.2×10-7米，故选：C ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3. 【答案】A【分析】本题考查的是点到直线的距离，根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A 、∵CE AB ⊥，∴点C 到AB 的垂线段是线段CE ，原说法错误，故本选项符合题意；B 、∵=90ACD ∠︒，∴CD AC ⊥，即CD 与AC 互相垂直，原说法正确，故本选项不符合题意；C 、∵CE AB ⊥，垂足为E ，∴AB 与CE 互相垂直，原说法正确，故本选项不符合题意；D 、∵=90ACD ∠︒，∴CD AC ⊥，∴线段CD 的长度是点D 到AC 的距离，原说法正确，故本选项不符合题意．故选：A ．4. 【答案】C【分析】首先设多边形的每一个外角为x °，则内角为（4x +30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x +4x +30=180，解方程可得x 的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数．【详解】解：设外角为x °，由题意得：x +4x +30=180，解得：x =30，360°÷30°=12，∴这个多边形是十二边形．故选：C【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解题的关键是内角与相邻的外角是互补关系，构建方程求解．5. 【答案】D 【分析】根据题意将25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.【详解】25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，当x<-2时，25x x ++-=（-2-x ）+（5-x ）=3-2x ；当25x -≤≤时，25x x ++-=（x+2）+（5-x ）=7；当x>5时，25x x ++-=（x+2）+（x-5）=2x-3；∴25x x ++-有最小值，最小值为7，此时25x -≤≤，故选：D .【点睛】此题考查依据绝对值的性质化简绝对值，正确理解题意，得到25x x ++-表示的意义，再利用分类思想解答问题.6. 【答案】B【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2名学生中恰好有2名女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，选出的2名学生中恰好有2名女生的有6种情况；∴P （2女生）=61=122．故选：B ．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7. 【答案】B【分析】对于中位数由于图中是按从小到大的顺序排列的，找出最中间的两个数求平均数即可；对于众数可由条形统计图中出现天数最多的数据写出．【详解】解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第四组，1.7（万步），故众数是1.7（万步）；因图中是按从小到大的顺序排列的，第15天和第16天的步数都是1.6（万步），故中位数是1.6（万步）．故选：B ．【点睛】本题考查了众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，熟练掌握中位数和众数的定义是解题的关键．8. 【答案】D【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案．【详解】解：由表格中数据可得：08x ≤<，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：y kx =，则将()21.5，代入得：1.52k =，解得：34k =，故函数解析式为：3(08)4y x x =≤<，由表格中数据可得：8x ≤，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：a y x =，则将()124，代入得：48a =，故函数解析式为：()488y x x=≥．故函数图象D 正确．故选：D ．【点睛】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．二、填空题9. 【答案】3x >-且4x ≠【分析】根据二次根式有意义的条件、分母不为0、零指数幂的概念列出不等式，解不等式，得到答案．【详解】解：由题意得，3040x x +>-≠，，解得，3x >-且4x ≠，故答案为：3x >-且4x ≠．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式有意义的条件、零指数幂的概念是解题的关键．10. 【答案】23x y =⎧⎨=-⎩【分析】利用加减消元法解答即可．【详解】解：2128x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①×2+②，得：5x =10，解得x =2，把x =2代入①，得：4+y=1,解得y =-3，所以原方程组的解为：23x y =⎧⎨=-⎩，故答案为：23x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．11. 【答案】0【分析】根据一元二次方程根判别式可得：△=b 2-4ac=（-2）2-4×1×m ＞0，可进一步求出结果.【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=-2，c=m ，∴△=b 2-4ac=（-2）2-4×1×m ＞0，解得m ＜1，故答案是：0．【点睛】考核知识点：从根的情况求参数.12. 【答案】20【分析】根据两边对应成比例，夹角相等证明ABC DEC ∆∆ ，再由相似三角形对应边成比例求解即可．【详解】解：∵11,22==CD AC CE BC ，∴11,22CD CE AC BC ==，∴CD CE AC BC=，又DCE ACB ∠=∠，∴ABC DEC ∆∆ ，∴12DE DC AB AC ==，∵10m DE =，∴220m AB DE ==，故答案为：20【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明ABC DEC ∆∆ 是解答本题的关键．13. 【答案】－1（答案不唯一）【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．【详解】解：∵点()()122,,1,A y B y --在反比例函数(0)k y k x =≠的图象上，且12y y <，－2＜－1＜0，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，∴k ＜0，故答案为：－1（答案不唯一）【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解答的关键．14. 【答案】12【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出1AE AD EC DB ==， 即可求解．【详解】解：∵ ABC 中，DE BC ∥，1=AD DB，∴1AE AD EC DB==，∴AE EC =，∴122AE AE AE AC AE EC AE ===+，故答案为：12．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．15. 【答案】-1【分析】由反比例函数()0k y k x=≠的图象与直线1x =的交点的纵坐标为2，则可得交点的坐标，从而求得反比例函数解析式，根据反比例函数图象与直线=2y -相交，即可求得交点的横坐标．【详解】∵反比例函数()0k y k x =≠的图象与直线1x =的交点的纵坐标为2，∴此交点坐标为(1，2)．∴122k =⨯=，即反比例函数解析式为2y x =．∵2y x =的图象与直线=2y -相交，∴22x-=，即x =-1．∴2y x=的图象与直线=2y -的交点的横坐标为-1.故答案为：-1.【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，求得反比例函数的解析式是关键．16. 【答案】21【分析】根据题意可得到黑子的个数为4=4×1，最多可以围住白子的个数为1=2×12-2×1+1，黑子的个数为6=4×2-2，最多可以围住白子的个数为2=2×22-4×2+2；黑子的个数为7=4×2-1，最多可以围住白子的个数为3=2×22-3×2+1；黑子的个数为8=4×2，最多可以围住白子的个数为5=2×22-2×2+1；黑子的个数为9=4×3-3，最多可以围住白子的个数为6=2×32-5×3+3，由此可设黑子的个数为4n -x ，其中0≤x ≤3，得到当x =0时，最多可以围住白子的个数为2n 2-2n +1；当x =1时，最多可以围住白子的个数为2n 2-3n +1；当x =2时，最多可以围住白子的个数为2n 2-4n +2；当x =3时，最多可以围住白子的个数为2n 2-5n +3即可求解．【详解】解：根据题意得：黑子的个数为4=4×1，最多可以围住白子的个数为1=2×12-2×1+1，黑子的个数为6=4×2-2，最多可以围住白子的个数为2=2×22-4×2+2，黑子的个数为7=4×2-1，最多可以围住白子的个数为3=2×22-3×2+1，黑子的个数为8=4×2，最多可以围住白子的个数为5=2×22-2×2+1，黑子的个数为9=4×3-3，最多可以围住白子的个数为6=2×32-5×3+3，∴可设黑子的个数为4n -x ，其中0≤x ≤3，当x =0时，最多可以围住白子的个数为2n 2-2n +1；当x =1时，最多可以围住白子的个数为2n 2-3n +1；当x =2时，最多可以围住白子的个数为2n 2-4n +2；当x =3时，最多可以围住白子的个数为2n 2-5n +3；∴当黑子的个数为15=4×4-1时，最多可以围住白子的个数为2×42-3×4+1=21个．故答案为：21【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17－21题，每小题5分，第22－23题，每小题6分，第24题5分，第25－26题，每小题6分，第27－28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 【答案】1【分析】先计算乘方和开方运算，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可求解．【详解】解：原式=1+2-3+1=1【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂的运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．18. 【答案】2x ≤，正整数解为1，2．【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数解即可．【详解】解：6438x x -≥-，移项得：4386x x --≥--，合并同类项得：714x -≥-，系数化为1得：2x ≤，∴不等式的正整数解为1，2．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．19. 【答案】2【分析】由22220m n +-=得：2222m n +=，将2()(2)m n n m n -++化简变形可得222()(2)=22n m n m n m n -++=+．【详解】解：∵22220m n +-=，∴2222m n +=，∴222222()(2)=2222m n m n m mn n mn n m n n -+-+++=++=．【点睛】本题考查已知式子的值，求代数式的值，解题的关键是将式子2()(2)m n n m n -++进行化简．20. 【答案】（1）图见解析；（2）直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理【分析】（1）根据所给的几何语言作出对应的图形即可；（2）根据圆周角定理和切线的判定定理解答即可．【详解】解：（1）补全图形如图所示，直线AP 即为所求作；（2）证明：连接BA ，由作法可知BO BA BP ==，∴点A 在以OP 为直径的圆上，∴90OAP ∠=︒（直径所对的圆周角是直角），∵OA 是O 的半径，∴直线PA 与O 相切（切线的判定定理），故答案为：直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理．【点睛】本题考查基本作图-画圆、圆周角定理、切线的判定定理，熟知复杂作图是在基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质，因此熟练掌握基本图形的性质和切线的判定是解答的关键．21. 【答案】（1）a ＜518；（2）12x x ==【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ=b 2-4ac ＞0，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围；（2）由（1）的结论结合a 为正整数，即可得出a =1，将其代入原方程，再利用公式法解一元二次方程，即可求出原方程的解．【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程23210x x a -+-=有两个不相等的实数根，∴2(3)4(21)a ∆=---＞0，解得a ＜518，∴a 的取值范围为a ＜518．（2）∵a ＜518，且a 为正整数，∴1a =，代入23210x x a -+-=，此时，方程为2310x x -+=．∴解得方程的根为12x x ==【点睛】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根．22. 【答案】（1）证明见解析（2）6【分析】（1）先证明AE ∥BD ，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；（2）先根据平行四边形的性质和锐角三角函数求得CE 的长，再利用勾股定理求出AE 的长即可求得BD 的长．【小问1详解】解：∵AC ⊥BD ，AC ⊥AE ，∴AE ∥BD ，又AB ∥DC ，∴四边形ABDE 是平行四边形．【小问2详解】解：∵四边形ABDE 是平行四边形，∴BD =AE ，∠E =∠ABD ，∵48,sin 5AC ABD =∠=，∴4sin sin 5AC E ABD CE ∠=∠==，则CE =10，在Rt △EAC 中，6AE ===，∴BD =6．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键．23. 【答案】（1）见解析 （2）4，【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD BC ⊥，再由AD 是直径即可证得结论；（2）连接OE 、DE 、DF ，过P 作PH BD ⊥于H ，则易证Rt ADE △≌Rt ADF ，则可得EF BC ∥，从而有AEG △∽ABD △，由相似三角形的性质可求得BD 的长，则可得OBD 是等腰直角三角形；易得四边形PHDG 是矩形，则可得2PH GD ==，且可得BPH 是等腰直角三角形，则可得2BH PH ==及CD 的长，在Rt PHC 中，由勾股定理即可求得PC 的长．【小问1详解】证明：AB AC = ，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，AD BC ∴⊥，AD 是O 的直径，BD ∴是O 切线；【小问2详解】解：连接OE 、DE 、DF ，过P 作PH BD ⊥于H ，如下图，AD 是O 的直径，90AED AFD ∴∠=∠=︒，AD 平分BAC ∠，EAD FAD ∴∠=∠，DE DF ∴=，AD AD = ，Rt ADE ∴ ≌()Rt HL ADF ，AE AF ∴=，AD EF ∴⊥，O 的半径为5，3OG =，4EG ∴==，AD BC ⊥ ，∴EF BC ∥，∴ AEG ∽ABD △，EG AG BD AD∴=，即45310BD +=， 5BD ∴=，210BC BD ∴==，90PGD HDG DHP ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形PGDH 是矩形，532PH DG ∴==-=，PH GD ∥，BPH BOD ∴∠=∠，5OD BD == ，45BOD OBD ∴∠=∠=︒，45BPH OBD ∴∠=∠=︒，2BH PH ∴==，8CH BC BH ∴=-=，在Rt PHC 中，由勾股定理得PC ==【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，关键是构造直角三角形．24. 【答案】（1）①增大；②⎝⎭，⎝⎭ （2）3；①见解析；②154【分析】（1）①由x 的系数的正负求解．②令()()1122x x x --=，求出x 的值，进而求解．（2）将3x =代入解析式求解即可求得a ．①根据图象中所描点及函数解析式求解．②结合图象求解．【小问1详解】()1311222y x x x =-+=- ①，y ∴随x 增大而增大，故答案为：增大．②令()()1122x x x --=，解得1x =，2x =，∴交点坐标为⎝⎭，.⎝⎭故答案为：⎝⎭，.⎝⎭【小问2详解】将3x =代入()()()11232y x x x x =---+得3y =，3a ∴=．故答案为：3．①如图，②由图象估计，直线6y =与函数图象交点横坐标为315344+=，故答案为：154．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程的关系，并能从图象中获取正确的信息．25. 【答案】（1）见解析 （2【分析】（1）先由圆周角定理得出90BAC ∠=︒，再由斜边上的中线性质得出12AE CD CE DE ===，由CD 是切线得出CD OC ⊥，即可得出OA AP ⊥，周长结论；（2）先证明AOC ∆是等边三角形，得出60ACO ∠=︒，再在Rt BAC 和Rt ACD 中，运用锐角三角函数即可得出结果．【小问1详解】证明：连接AO ，AC ；如图所示：BC 是O 的直径，90BAC ∴∠=︒，90CAD ∴∠=︒，E 是CD 的中点，12AE CD CE DE ∴===，ECA EAC ∠∠∴=，OA OC = ，OAC OCA ∴∠=∠，CD 是O 的切线，CD OC ∴⊥，90ECA OCA ∴∠+∠=︒，90EAC OAC ∴∠+∠=︒，OA AP ∴⊥，A 是O 上一点，AP ∴是O 的切线；【小问2详解】解：由（1）知OA AP ⊥．在Rt OAP △中，90OAP ∠=︒∵，OC CP OA ==，即2OP OA =，1sin 2OA P OP ∴==；30P ∴∠=︒，60AOP ∴∠=︒，OC OA = ，AOC ∴∆是等边三角形，60ACO ∴∠=︒，在Rt BAC 中，90BAC ∠=︒ ，AB =60ACO ∠=︒，2tan AB AC ACO ∴===∠，又 在Rt ACD 中，90CAD ∠=︒，9030ACD ACO ∠=︒-∠=︒，cos cos302AC CD ACD ∴===∠︒．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数的运用；解题的关键是熟练掌握切线的判定与性质并结合锐角三角函数进行计算．26. 【答案】（1）①226y x x =-+；②>；（2）1023a -<<-．【分析】（1）①根据对称轴求出a 的值，即可得到二次函数的解析式；②把二次函数的解析式配方即可得到解答；（2）由题意可得原函数图象的对称轴为x =a ，开口向上，且x ≥-2时函数值随x 的增大而增大，求出x =-2时y 的值，再由y >a 即可得到题目解答．【小问1详解】解：①由题意可得：2121a --=⨯,解之可得：a =1，∴二次函数的解析式为：226y x x =-+；②∵226y x x =-+=215x -+（），∴y ≥5，当x =1时，y =5；当x ≠1时，y >5，故答案为>；【小问2详解】解：∵ 226y x ax =-+=226x a a -+-（），∴原函数图象的对称轴为x =a ，开口向上，∵2a <-，∴当22x -≤≤时，原函数的函数值随x 的增大而增大，∵当x =-2时，y =4+4a +6=10+4a ，∴10+4a >a ，解之可得：a >103-，∴a 的取值范围为：1023a -<<-．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的对称轴、配方法及最值、二次函数的图象及性质是解题关键．27. 【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析；（3）1PC =，证明见解析．【分析】（1）根据旋转图形、线段的画法作图即可；（2）先证明=45ABC ∠︒，再由三角形内角和求得∠AMB 与∠BAM 的数量关系，再利用角的和差也可求得∠BAN 与∠BAM 的关系，进而得结论；（3）如图2，任取满足条件的点M ，作点M 关于点C 的对称点M '，连接AM '，先根据对称性和旋转的性质可知，,2AM AM AN MM CM ''===，再根据等腰三角形的性质可得AM C AMC '∠=∠，从而可得AM Q AMB BAN '∠=∠=∠，又根据线段的和差、对称性得出2M Q PC '=，要总有AQ BN =，只需'AM Q NAB ≅ 恒成立，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得．【详解】（1）由旋转图形、线段的画法作图如下：（2）∵90,ACB AC BC∠=︒=∴=45ABC ∠︒∵180MAB ABM AMB ∠+∠+∠=︒，即45180MAB AMB ∠+︒+∠=︒∴135AMB MAB∠=︒-∠由旋转的定义可知，135MAN ∠=︒∴135BAN MAN MAB MAB∠=∠-∠=︒-∠∴BAN AMB ∠=∠；（3）∵90,ACB AC BC ∠=︒==∴2AB ==如图2，任取满足条件的点M ，作点M 关于点C 的对称点M '，连接AM '由对称性和旋转的性质可知，,2AM AM AN MM CM''===∴AM C AMC '∠=∠∴AM Q AMB BAN '∠=∠=∠∵点M 关于点P 的对称点为Q∴2MQ MP=∴222()2M Q MQ MM MP CM MP CM PC ''=-=-=-=要总有AQ BN =，只需'AM Q NAB ≅ 恒成立由SAS 定理可知，当2M Q AB '==时，可证出'AM Q NAB ≅ 22PC AB ∴==解得1PC =因此，当1PC =时，必有2M Q AB '==，由SAS 定理可证'AM Q NAB ≅ ，此时，对于任意的点M ，总有AQ BN =．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．28. 【答案】（1）①B ，C ；②21d -≤≤-；（2）11m -≤<34m <≤．【分析】（1）①画出图形，利用勾股定理、圆的切线的性质求出切线长，再根据⊙O 的伴随点的定义判断即可；②如图2中，设点D 的坐标为(,3)d d +，先求出当切线长为22r =时，OD 的长，再利用两点之间的距离公式可求出d 的值，由此即可得出答案；（2）求出临界位置时m 的值即可判断：①如图3-1中，设FT 是⊙M 的切线，当4FT =时，求出此时m 的值，再根据伴随点的定义，结合图象即可得；②如图3-2中，设ET 是⊙M 的切线，连接MT ，则90MTE ∠=︒，求出此时临界位置m 的值，再根据伴随点的定义，如图3-3中，当⊙M 在直线EF 的左侧与EF 相切时，设切点为T ，连接MT ，求出临界位置m 的值，然后结合图象即可得．【详解】（1）①如图1，,,AG BN CM 为⊙O 的三条切线,,OG AG ON BN OM CM∴⊥⊥⊥ ⊙O 的半径为11OG ON OM ∴===(4,0),A B C4,2OA OB OC ∴====则切线AG 2==>切线BN 2==切线CM ==由⊙O 的伴随点的定义得：点B ，C 是⊙O 的伴随点故答案为：B ，C ；②如图2中，设点D 的坐标为(,3)d d +当过点D 的切线长为22r =时，OD ==由两点之间的距离公式得：OD ==解得122,1d d =-=-结合图象可知，点D 的横坐标d 的取值范围是21d -≤≤-；（2）对于22y x =-当0y =时，220x -=，解得1x =，则点E 的坐标为(1,0)E 当0x =时，=2y -，则点F 的坐标为(0,2)F - ⊙M 的半径为2，⊙M 的圆心为(,0)M m 24r ∴=，OM m=由题意，由以下两种情况：如图3-1中，点M 在点E 的右侧设FT 是⊙M 的切线则有两个临界位置：4FT =和点E 对应的切线长为0当4FT =时，则4OM m FT ===当点E 对应的切线长为0，即2EM =12EM m ∴=-=解得3m =结合图象得，当34m <≤时，线段EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点②如图3-2和3-3中，点M 在点E 的左侧则有如下两个临界位置：如图3-2，设ET 是⊙M 的切线，连接MT ，则90MTE ∠=︒当4ET =时，EM ===此时1m -=解得1m =-如图3-3，当⊙M 在直线EF 的左侧与EF 相切时，设切点为T ，连接MT∵(1,0),(0,2)E F -∴1,2OE OF ==∴EF ==∵EF 是切线∴EF MT⊥∴90MTE FOE ∠=∠=︒∵MET FEO∠=∠∴MTE FOE~∴EM MT EF OF =22=解得EM =，即1m -=解得1m =结合图象得，当11m -≤<时，线段EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点综上，m 的取值范围是11m -≤<-或34m <≤．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、两点之间的距离公式等知识点，较难的是题（2），正确找出临界位置，并求出m 的值是解题关键．。