高二物理培优提高讲义11洛伦兹力(学生版)

磁场（二）洛伦兹力 带电粒子在磁场中的运动Ⅰ.知识梳理一、洛伦兹力1、洛伦兹力的方向(1)洛伦兹力：运动电荷在磁场中所受的力称为洛伦兹力．(2)用左手定则判断洛伦兹力的方向：伸开左手，使拇指与其余四指垂直且都与手掌在同一个平面内，让磁感线垂直穿过掌心，并使四指指向正电荷运动的方向，则拇指所指的方向就是运动的正电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向．若电荷为负电荷，则四指指向负电荷运动的反方向。

2、洛伦兹力的方向的讨论。

（1）决定洛伦兹力方向的因素有三个：电荷的电性(正、负)、速度方向、磁感应强度的方向．（2）在研究电荷的运动方向与磁场方向垂直的情况时，由左手定则可知，洛伦兹力的方向既与磁场方向垂直，又与电荷的运动方向垂直，即洛伦兹力垂直于v 和B 两者所决定的平面。

（3）注意： ①判断负电荷在磁场中运动所受洛伦兹力的方向，四个手指要指向负电荷运动的反方向。

②电荷运动的速度v 和B 不一定垂直，但洛伦兹力一定垂直于磁感应强度B 和速度v 。

3、洛伦兹力的大小(1)计算大小：①若已知运动电荷的速度v 的方向与磁感应强度B 的方向垂直时，则电荷所受的洛伦兹力大小为f ＝qvB 。

如图所示，直导线长L ，电流为I ，导线中运动电荷数为n ，截面积为S ，电荷的电荷量为q ，运动速度为v ，则安培力F ＝ILB ＝nf所以洛伦兹力f ＝F n ＝ILB n因为I ＝NqSv (N 为单位体积的电荷数)所以f ＝NqSv ·LB n ＝NSL n·qvB ，式中n ＝NSL ，故f ＝qvB 。

②若已知运动电荷的速度v 的方向与磁感应强度B 的方向不垂直时，设夹角为θ，则电荷所受的洛伦兹力大小为f ＝qvB sinθ。

③大小关系：F ＝Nf ，式中的N 是导体中定向运动的电荷数。

(2)洛伦兹力与安培力的关系。

①安培力是洛伦兹力的宏观表现，洛伦兹力是安培力的微观解释。

②方向关系：洛伦兹力f 的方向与安培力F 的方向相同。

高二物理学案27洛伦兹力【学习目标】1、知道什么是洛伦兹力，能计算洛伦兹力的大小，2、会用左手定则判断洛伦兹力的方向。

3、知道洛伦兹力与安培力的联系，能从安培力的计算公式推导出洛伦兹力的计算公式。

【问题导引】1、观察阴极射线的运动：问题1：阴极射线是什么？问题2：阴极射线垂直进入磁场中径迹会发生什么变化？由此你能得到什么结论？2.阅读教材能从安培力公式推导出洛伦兹力公式（建立模型）（1）电流的微观表达式I ＝nvSq（2）如图所示，电荷定向运动时所受洛伦兹力的矢量和，在宏观上表现为导线所受的安培力。

按照这个思路请你尝试由安培力的表达式推导出洛伦兹力的表达式。

（3）知道安培力与洛伦兹力的联系与区别（4）会用左手定则判断洛伦兹力的方向讨论：当负电的高能粒子垂直射向赤道时，粒子向什么方向偏转？【知识要点】一、洛伦兹力1、定义：磁场对 的作用力叫做洛伦兹力2、公式：当v ⊥B 时， ，f= ；当v ∥B 时，f=当V=0时，f=0，故磁场只对 电荷有力的作用3、方向判断：定则：伸开 ，拇指与四指 ，且处于同一平面内，让 垂直穿过手心，四指指向 运动的方向，则大拇指所指的方向就是洛伦兹力的方向。

（温馨提示：负电荷应指向运动的反方向）洛伦兹力的方向垂直于B 、V 决定的平面4、做功：洛伦兹力与速度方向始终 ，故洛伦兹力不做功（任何情况）二、洛伦兹力与安培力的关系安培力是洛伦兹力的宏观表现，洛伦兹力是安培力的微观解释由安培力公式推导洛仑兹力公式（详见教材）三、带电粒子在磁场中运动（不计其它作用）（1）若v//B ，带电粒子以速度v 做 运动（此情况下洛伦兹力f=0）（2）若v ⊥B ，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度v 做 运动。

向心力由 提供，动力学方程： =ILB F =qvB f =两个基本公式（1）轨道半径公式： （2）周期公式：讨论：试比较电荷在电场中受到的电场力与电荷在磁场中受到的洛伦兹力有什么不同？课中案例1.如图所示，各带电粒子均以速度v 射入匀强磁场，其中图C 中v 的方向垂直纸面向里，图D 中v 的方向垂直纸面向外，试分别指出各带电粒子所受洛仑兹力的方向。

洛伦兹力【典型例题1】磁场对电流有力的作用，而电流是由电荷的定向运动形成的，因此，我们自然会想到：这个力可能是作用在运动电荷上的，作用在整根导线上的力，只不过是作用在运动电荷上的力的宏观表现。

后来实验证明了这一点。

我们把磁场对运动电荷的作用力称为洛仑兹力。

设在磁感应强度为B （T ）的匀强磁场中，垂直于磁场方向放入一段长为L （m ）的通电导线，每米导线中有n 个自由电荷，每个自由电荷的电量为q （C ），定向运动的速度为v （m/s ），试由安培力公式推导出计算洛仑兹力的公式。

解答：导线中的电流强度应为I ＝nqv ，整根导线所受的安培力为F ＝BIL ＝BLnqv ，所以每个运动电荷所受磁场力应为f ＝F N ＝BLnqv Ln＝Bqv 。

【典型例题2】如图63-1所示，摆球带负电的单摆在匀强磁场中摆动，摆动平面与磁场方向垂直，摆球每次通过平衡位置O 时相同的物理量有（ ）（A ）摆球受到的磁场力， （B ）悬线对摆球的拉力， （C ）摆球的动能， （D ）摆球的动量。

解答：因为洛伦兹力不做功，所以摆球两次经过O 点时的速度大小相等，则摆球每次通过平衡位置O 时的动能相同，（C ）正确。

而向左通过和向右通过时速度方向不同，因此动量也不同，（D ）错误。

摆球受到的磁场力大小为Bqv ，每次经过平衡位置O 时磁场力大小是相等的，但从左向右经过时所受磁场力方向向下，而从右向左经过时所受磁场力方向向上，因此所受磁场力不同，（A ）错误。

从左向右通过最低点时有：T 1－mg －Bqv ＝m v 2R， 而从右向右左通过最低点时有：T 2－mg ＋Bqv ＝m v 2R，可见悬线对摆球的拉力大小不相等，（B ）错误。

故应选（C ）。

【典型例题3】如图63-2所示，电子电量和质量分别为e 和m ，电子以速率v在匀强磁场中从P 点沿半圆弧运动到Q 点，PQ 间的距离为L ，则在电子运动的区域中匀强磁场的方向是_______________，磁感应强度的大小为_______________，电子由P 运动到Q 所用的时间是_______________。

高二·物理·竞赛班·第2讲·学生版 讲述高端的真正的物理学1.洛伦兹力.2.带电粒子在磁场中的动力学问题.1.洛伦兹力载流导线所受的安培力，我们可看为是磁场作用给运动电荷即自由电子的力，经自由电子与导体晶格的碰撞而传递给导线的.根据安培定律θsin L IB F∆=，而电流强度与运动电荷有关系qnvs I =，θ角既是电流元L I ∆与B 的夹角，也可视为带电粒子的速度v ρ与B ρ之间的夹角，L ∆长导线中有粒子数LS n N ∆=，则每个电子受到的力即洛伦兹力为θ=∆θ∆==sin sin qvB LS n L qnvSB N F f记为矢量式为B v q f ϖϖϖ⨯=洛伦兹力总是与粒子速度垂直，因此洛伦兹力不作功，不能改变运动电荷速度的大小，只能改变速度的方向，使路径发生弯曲.知识点睛本讲导学第2讲 洛伦兹力O xyzvfqθ B⊥v洛伦兹力的方向从图可以看出，它一定与磁场(B)的方向垂直，也与粒子运动(v)方向垂直，即与v、B所在的平面垂直，具体方向可用左手定则判定.但应注意，这里所说的粒子运动方向是指正电荷运动的方向，它恰与负电荷沿相反方向运动等效.【思考】安培力可以做功，为什么洛仑兹力不能做功？应该注意“安培力是大量带电粒子所受洛仑兹力的宏观体现”这句话的确切含义——“宏观体现”和“完全相等”是有区别的.我们可以分两种情形看这个问题：（1）导体静止时，所有粒子的洛仑兹力的合力等于安培力（这个证明从略）；（2）导体运动时，粒子参与的是沿导体棒的运动v1和导体运动v2的合运动，其合速度为v ，这时的洛仑兹力f垂直v而安培力垂直导体棒，它们是不可能相等的，只能说安培力是洛仑兹力的分力f1 = qv1B 的合力.很显然，f1的合力（安培力）做正功，而f不做功（或者说f1的正功和f2的负功的代数和为零）.如果从能量的角度看这个问题，当导体棒放在光滑的导轨上时（，导体棒必获得动能，这个动能是怎么转化来的呢？若先将导体棒卡住，回路中形成稳恒的电流，电流的功转化为回路的焦耳热.而将导体棒释放后，导体棒受安培力加速，将形成感应电动势（反电动势）.动力学分析可知，导体棒的最后稳定状态是匀速运动（感应电动势等于电源电动势，回路电流为零）.由于达到稳定速度前的回路电流是逐渐减小的，故在相同时间内发的焦耳热将比导体棒被卡住时少.所以，导体棒动能的增加是以回路焦耳热的减少为代价的.2、带电粒子在匀强磁场中的运动规律总的来说我们要讨论的问题既简单又复杂：知道了一个粒子受的力讨论其轨迹，这是最基本的牛顿定律运用的问题.但是这个力居然与运动方向垂直，还与速度有关，所以动力学方程往往非常难解.不妨先看几个简单直观的例子：1.如果带电粒子原来静止，它即使在磁场中也不会受洛伦磁力的作用，因而保持静止.2.如果带电粒子运动的方向恰与磁场方向在一条直线上，该粒子仍不受洛伦磁力的作用，粒子就以这个速度在磁场中做匀速直线运动.高二·物理·竞赛班·第2讲·学生版讲述高端的真正的物理学高二·物理·竞赛班·第2讲·学生版 讲述高端的真正的物理学带电粒子速度方向与磁场方向垂直，其受力垂直于运动方向，且速度大小不会改变.这种情况与小球做匀速圆周运动时完全一致：合力垂直运动方向且速度不变.因此，可以猜测在洛伦兹力的作用下，带电粒子在垂直于磁场方向的平面内以入射速度v 作匀速圆周运动，检验之后发现这个假设是合理的，并且可以得出带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动的几个基本公式：(1)向心力公式：Rv m qvB 2=(2)轨道半径公式：BqmvR =(3)周期、频率和角频率公式，即：Bq mv R T π=π=22，m Bq T f π==21， m Bq f T =π=π=ω22当然，如果你仍对这个粒子做圆周运动持怀疑态度，可以从牛顿定律出发，解出其运动方程.应用1：回旋加速器在高能物理研究中，粒子加速器起着重要作用，而早期的加速器只能使带电粒子在高压电场中加速一次，因而粒子所能达到的能量受到高压技术的限制.1930年，Earnest O. Lawrence 提出了回旋加速器的理论，他设想用磁场使带电粒子沿圆弧形轨道旋转，多次反复地通过高频加速电场，直至达到高能量.图甲为Earnest O. Lawrence 设计的回旋加速器的示意图.它由两个铝制D 型金属扁盒组成，两个D 形盒正中间开有一条狭缝；两个D 型盒处在匀强磁场中并接有高频交变电压.图乙为俯视图，在D 型盒上半面中心S 处有一正离子源，它发出的正离子，经狭缝电压加速后，进入D 型盒中.在磁场力的作用下运动半周，再经狭缝电压加高二·物理·竞赛班·第2讲·学生版 讲述高端的真正的物理学速；为保证粒子每次经过狭缝都被加速，应设法使交变电压的周期与粒子在狭缝及磁场中运动的周期一致.如此周而复始，最后到达D 型盒的边缘，获得最大速度后被束流提取装置提取出.3.v ϖ与B ϖ成一般夹角θ时，做等螺距螺旋运动:半径:qB mv r θsin =， 螺距:qBmv d θπcos 2=这个结论的证明一般是将v ϖ分解，不难理解. 应用2：磁聚焦结构：见图，K 和G 分别为阴极和控制极，A 为阳极加共轴限制膜片，螺线管提供匀强磁场.原理：由于控制极和共轴膜片的存在，电子进磁场的发散角极小，即速度和磁场的夹角θ极小，各粒子做螺旋运动时可以认为螺距彼此相等（半径可以不等），故所有粒子会“聚焦”在荧光屏上的P 点.应用3：磁笼B接交流电源甲S乙高二·物理·竞赛班·第2讲·学生版 讲述高端的真正的物理学如上图（a ）所示，两个电流方向相同的线圈产生中央弱两端强的不均匀磁场，当处于中间区域的带电粒子沿着z 轴向右运动时，设粒子带正电荷q ，速度v 沿z 轴，如图（b ）所示，粒子受到洛伦兹力作用，使粒子向着如上图（b ）所示方向（垂直屏幕向里）偏转.可见粒子将获得绕轴旋转的运动速度（图中用代表其方向），随着粒子分速度的出现，又将受到洛伦兹力F 的作用，其径向分量使粒子向轴线偏转，轴向分量使带电粒子的轴向速度v 减少，因为，B 增大，v 减小得也快，粒子运动到右端线圈附近时，由于该处B 很大，如果v 初始速度较小，则v 有可能减至为零，然后就反向运动，犹如光线射到镜面上反射回来一样.如果处于中间区域的带电粒子沿着z 轴向左运动，类似分析，如上图（c ），可以得出带电粒子运动到左端线圈附近时，带电粒子轴向速度也有可能减至为零，然后带电粒子反向运动.我们通常把这种能约束运动带电粒子（见右图动画）的磁场分布叫做磁镜，又形象地称为磁瓶，上图（a ）所示的便是一种磁镜装置，对于其中的带电粒子来说，相当于两端各有一面磁镜.那些纵向速度不是太大的带电粒子将在两磁镜之间来回反射，被约束在两面“镜子”之间的中间区域而不能逃脱.Bv ⨯q θv ⊗θv r F z F B v F ⨯=θq v高二·物理·竞赛班·第2讲·学生版 讲述高端的真正的物理学如前所述，不仅带电粒子的横向运动可被磁场抑制，而且纵向运动又被磁镜所反射，所以这样的磁场分布就象牢宠一样，可以把带电粒子或等离子体约束在其中. 但磁镜装置有个缺点，即总有一部分纵向速度较大的粒子会从两端逃逸，所以采用环形磁场结构，可以避免这个缺点. 在受控热核聚变中，除了磁镜的约束外，还有其他的一些磁瓶装置，如托卡马克装置、仿星器等，它们的结构虽然不尽相同，但都是采用某种特定形态的磁场来约束等离子体.磁镜约束也存在于自然界中，例如地球磁场两极强、中间弱就是一个天然磁瓶，它使得来自宇宙射线的带电粒子在两磁极间来回振荡，（如上右图）从而形成第十章所提到的范·阿仑辐射带.生活在地球上的人类及其他生物都应十分感谢这个天然的磁镜约束，正是靠它才将来自宇宙空间、能致生物于死命的各种高能射线或粒子捕获住，使人类和其他生物不被伤害，得以安全地生存下来.同时如果没有地球的磁场，地球的大气会向火星一样被太阳喷射的离子流吹走，地球上的生物也早就灭绝了.以上这样讲有案例教学的嫌疑，所以对于其他的情况我们不再举例，而是变成问题和大家一起研究.例题精讲【例1】已知空间中有垂直纸面向内的均匀磁场，不考虑重力.（1）一初始静止的带正电的粒子发生爆炸，分裂成质量不等，但带电量相等的两个小粒子，假设爆炸后粒子初速度在纸平面内，定性画出带电粒子的轨迹.（如果能碰撞的话，则发生完全非弹性碰撞.）（2）一初始静止的中性粒子发生爆炸，分裂成质量不等的两个小粒子，带电量分别为q和-q，假设爆炸后粒子初速度在纸平面内，定性画出带电粒子的轨迹.（如果能碰撞的话，则发生完全非弹性碰撞.）（3）如下图所示，两相同粒子在纸平面内做圆周运动，半径分别为R和2R.某时刻，它们在A点发生完全非弹性碰撞合为一体.粒子带正电还是负电？它们初速度之间的关系是什么？画出合体后的轨迹图，并求其半径.（4）一带正电粒子在纸平面内以初速v0运动，但是受阻力影响，其速速将不断减小直至静止，定性画出其轨迹.高二·物理·竞赛班·第2讲·学生版讲述高端的真正的物理学【例2】图示为氢原子中电子绕核做快速圆周运动，方向为逆时针，此运动可等效为环形电流.设此环形电流在通过圆心并垂直圆面的轴线上的某点P产生的磁感强度大小为B1 .现在沿垂直轨道平面的方向上加一磁感强度为B0的外磁场，这时，设电子轨道半径没有变，而速度发生了变化.若此时环形电流在P点产生的磁感强度为B2，求：（1）当B0方向向里时，B2和B1的大小关系.（2）当B0方向向外，再回答以上问题.【例3】在如图所示的直角坐标系中，坐标原点O固定电量为Q的正点电荷，另有指向y 轴正方向(竖直向上方向)，磁感应强度大小为B的匀强磁场，因而另一个质量为m、电量力为q的正点电荷微粒恰好能以y轴上的O'点为圆心作匀速圆周运动，其轨道平面(水平面)与xoz平面平行，角速度为ω，试求圆心O'的坐标值.yxzOQO'B高二·物理·竞赛班·第2讲·学生版讲述高端的真正的物理学高二·物理·竞赛班·第2讲·学生版 讲述高端的真正的物理学【例4】 如图所示，虚线AB 右侧是磁感应强度为B 的匀强磁场，左侧是磁感应强度为2B 的匀强磁场，磁场的方向垂直于图中的纸面并指向纸面内，现有一带正电的粒子自图中O 处以初速度V 0开始向右运动。

1下列说法中正确的是（2关于磁感应强度的单位3.磁感线在磁场中画出一系列曲线，使曲线上每一点的切线方向都跟这点的磁感应强度方向一致，这样的曲线叫做磁感线．（1）磁感线与电场线类似，是假想的曲线；（2）磁感线的疏密表示磁场的强弱，切线方向代表磁感应强度的方向；（3）磁感线不相交、也不能相切．4.常见的磁场（1）常见磁体的磁场：（2）常见电流的磁场：通电直导线通电螺线管环形电流示意图安培定则（右手螺旋定则）右手握住导线，让伸直的拇指所指的方向与电流方向一致，弯曲的四指所指的方向就是磁感线环绕方向．让右手弯曲的四指与环形电流的反向一致，伸直的拇指所指的方向就是环形导线轴线上磁感线的方向．同左D.如图，足够长的直线3无法判断将条形磁铁竖直放置，闭合圆环水平放置，并使条形磁铁中心线穿过圆环中心，如图所示，若圆环为弹性环，其形状由扩大到，那么圆环内磁通量的变化情况是（4空间中的磁场通常会是多个磁场的叠加，磁感应强度是矢量，可以通过平行四边形定则进行计算或判）应用平行四边形定则进行合成，如图中的合磁场．B.、两点磁感应强度相同D.点磁感应强度最大如图所示，在竖直向上的匀强磁场中水平放置着一根长直导线，电流方向垂直纸面向外，是以直导线为圆心的同一圆周上的四点，在这四点中（5 D.如图，在磁感应强度大小为的匀强磁场中，两长直导线和垂直于纸面固定放置，两者之间．在两导线中均通有方向垂直于纸面向里的电流时，直面内与两导线距离均为的点中的电流反向，其他条件不变，则点处磁感应强度的大小为（6点的磁感应强度大小变为点的磁感应强度大小变为分别置于78如图所示，用天平测量匀强磁场的磁感应强度．下列各选项所示的载流线圈匝数相同，边长D.如图所示，一根长为9 B. C. D.如图，长为的直导线折成边长相等，夹角为的形，并置于与其所在平面相垂直的匀强磁场．当在该导线中通以电流强度为的电流时，该形通电导线受到的安培力大10如图所示，质量为11，方向垂直斜面向上如图所示，在倾角为12的匀加速运动滑块开始做匀加速直线运动，然后做加速度减小的加速运动，最后做匀速运动的匀加速运动，滑块做速度为的匀速运动的匀加速运动，滑块做速度为的匀速运动如图所示，空间有一垂直纸面向外的磁感应强度为13两条相距14磁场的方向；15质量为16如图所示，两平行金属导轨间的距离17如图，由均匀的电阻丝组成的等边三角形导体框，垂直磁场放置，将；当粒子运动方向与磁感应强度方向平行（最大值）之间．18空间有一磁感强度为粒子在磁场中所受洛伦兹力较大粒子在磁场中运动时间较长两个质量相同，所带电荷量相等的带电粒子19如图所示，倾角为的斜面上，固定一内壁光滑且由绝缘材料制成的圆筒轨道，轨道半径为，轨、电荷量为的小恰好对轨道无沿半径方向20如图所示，小车．带正电荷的所在的空间存在匀强磁场，方21。

磁场的运用【例】如图所示，在X轴上方有匀强磁场B ，一个质量为，带电荷量为q -的粒子，以速度从O 点射入磁场，角θ已知，粒子重力不计，求：（1）请在图中画出粒子的运动轨迹； （2）粒子在磁场中运动的时间；（3）粒子离开磁场的位置与O 点间的距离。

【例】一个质量为m ，电荷量为q 的带电粒子从x 轴上的P(a ，0)点以速度v ，沿与x 正方向成60º的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y 轴射出第一象限。

求磁感应强度B 和射出点S 的坐标。

知识点一：带电粒子在直线边界磁场中的运动【例】如图所示，在以坐标原点O 为圆心、半径为R 的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B 、方向垂直于纸面向里的匀强磁场．一个重力不计的带电粒子从磁场边界与x 轴的交点A 处以速度v 沿 -x 方向射入磁场，恰好从磁场边界与y 轴的交点C 处沿+y 方向飞出。

（1）判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m ； （2）若只将磁感应强度大小变为B B 33'，求粒子在磁场中的运动时间t ； （3）在（2）的条件下，求粒子出射点的坐标（用R 表示）。

【例】如图所示，a 点距坐标原点的距离为L ，坐标平面内有边界过a 点和坐标原点0的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直坐标平面向里。

有一电子（质量为m 、电荷量为e ）从a点以初速度v 0平行x 轴正方向射入磁场区域，在磁场中运行，从x 轴上的b 点（图中未画出）射出磁场区域，此时速度方向与x 轴的正方向之间的夹角为60°，求 （1）磁场的磁感应强度； （2）磁场区域的圆心O 1的坐标； （3）电子在磁场中运动的时间。

知识点二：带电粒子在圆形边界磁场中的运动【例】如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B ，宽度为d ，边界为CD 和EF 。

一电子从CD 边界外侧以速率v 0垂直匀强磁场射入，入射方向与CD 边界夹角为θ。

已知电子的质量为m ，电荷量为e ，为使电子能从磁场的另一侧EF 射出，求电子的速率v 0至少多大？【例】M 、N 两极板距为d ，板长均为5d ，两板均未带电，板间有垂直纸面的匀强磁场，如图所示。