高中数学专题复习《导数及其应用-运算单调性极值与定积分》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象 可能是（ ）答案 D2．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=(2020安徽理)3．已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）（A ）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件（2020山东文8） 4．若()224ln f x x x x =--，则()'f x ＞0的解集为（ ）A ．()0,+∞ B. ()()1,02,-⋃+∞ C. ()2,+∞ D. ()1,0-（2020江西理4）5．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,()f x ，且函数)(')1(x f x y -=的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - （D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f6．函数2sin 2xy x =-的图象大致是7．设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12nx x x ⋅⋅⋅的值为（ ）A.1nB.11n +C. 1nn + D.1答案 B8．设曲线1*()n y xn N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅的值为（ ）A.1nB.11n +C. 1n n + D.1（2020陕西卷文）9．曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______________10．已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．出现的是 （ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值 B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值 C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值 D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值 答案 C第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题11．设函数21()ln .2f x x ax bx =--若x =1是()f x 的极大值点，则实数a 的取值范围是 ．12．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足(1) 2f '=，则(1)f '-= ． 13．设曲线2y x =在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为 ． 14．函数cos sin y x x x =-在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为 .15．曲线11y x =+在0x =处的切线的方程是____________________ 16．函数()sin 2xf x x =+的导函数()f x '=评卷人得分三、解答题17．（本小题满分16分）设函数f (x )=ax 2+e x (a ∈R)有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)． (1)求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a 满足f (x 1)=231e x ?如存在，求f (x )的极大值；如不存在，请说明理由．18．已知函数32()4f x x ax =-+-（a ∈R ）. ⑴ 若函数)(x f y =的图象在点()()1,1P f处的切线的倾斜角为4π，求()f x 在[]1,1-上的最小值；⑵ 若存在),0(0+∞∈x ，使0)(0>x f ，求a 的取值范围．（本小题满分14分）19．设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .（2020年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WOR D 版））20．要设计一容积为V 的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积的造价的一半，问储油罐的下部圆柱的底面半径R 为何值时造价最低？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题1．2．A解析：A 与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A3．C 4．C5．D 【2020高考真题重庆理8】【解析】由图象可知当2-<x 时，0)(')1(>-=x f x y ，所以此时0)('>x f ，函数递增.当12<<-x 时，0)(')1(<-=x f x y ，所以此时0)('<x f ，函数递减.当21<<x 时，0)(')1(>-=x f x y ，所以此时0)('<x f ，函数递减.当2>x 时，0)(')1(<-=x f x y ，所以此时0)('>x f ，函数递增.所以函数)(x f 有极大值)2(-f ，极小值)2(f ,选D.6．C (2020年高考山东卷理科9)【解析】因为'12cos 2y x =-,所以令'12cos 02y x =->,得1cos 4x <,此时原函数是增函数;令'12cos 02y x =-<,得1cos 4x >,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C 正确. 7． 8．B解析：B 对1*'()(1)n n y x n N y n x +=∈=+求导得,令1x =得在点（1，1）处的切线的斜率1k n =+,在点（1，1）处的切线方程为1(1)(1)(1)n n y k x n x -=-=+-,不妨设0y =,1n n n x +=则1212311 (23411)n n n x x x n n n -⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=++, 故选 B.9．11221(),2x x y e e ''⇒==曲线在点2(4e )，处的切线斜率为212e ，因此切线方程 为221(4),2y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2(2,0),(0,),A B e -所以： 221||2.2AOB S e e ∆=-⨯= 10．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题11．解析：的定义域为，，由，得.∴.①若a≥0，由，得x=1.当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减.满足题意；②若a<0，由，得x=1,.由题意知，即．解析： (1,)-+∞ 解析：()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x ax b x'=--，由(1)0f '=，得1b a =-.∴1(1)(1)()1ax x f x ax a x x-+-'=-+-=. ①若a ≥0，由()0f x '=，得x =1.当10<<x 时，()0f x '>，此时)(x f 单调递增；当1>x 时，()0f x '<，此时)(x f 单调递减.满足题意； ②若a <0，由()0f x '=，得x =1,1x a=-.由题意知11a->，即10a -<<． 12．-2解析：∵，∴为奇函数，∴解析： -2 解析：∵3()42f x ax bx '=+，∴()f x '为奇函数，∴( 1)(1) 2.f f '-=-'=- 13． 14．π- 15． 16． 评卷人得分三、解答题17． 解：(1)()f x '=2ax +e x ．显然a ≠0，x 1，x 2是直线y =12a -与曲线y =g (x )=ex x两交点的横坐标．··············2分由()g x '=1e x x-=0，得x =1．列表： x (-∞，1)1 (1，+∞)()g x '+-g (x ) ↗ g (x )m a x =1e↘·························································4分此外注意到： 当x <0时，g (x )<0；当x ∈[0，1]及x ∈(1，+∞)时，g (x )的取值范围分别为[0，1e ]和(0，1e)． 于是题设等价于0<12a -<1e ⇒a <e2-，故实数a 的取值范围为(-∞，e2-)．········6分 (2)存在实数a 满足题设．证明如下： 由(1)知，0< x 1<1<x 2，1()f x '=2ax 1+1e x =0， 故f (x 1)=121+ex ax =111e e 2x x x -=231e x ，故11231e 1e e 02x x x --=．····························8分 记R (x )=23e 1e e 2x x x --(0<x <1)，则()R x '=2e (1)1e 02x xx x --<，于是，R (x )在(0，1)上单调递减． 又R (23)=0，故R (x )有唯一的零点x =23． 从而，满足f (x 1)=231e x 的x 1=23．所以，a=1231e 3e 24x x -=-．·····························12分 此时f (x )=2233e e 4x x -+，()f x '=233e e 2x x -+，又(0)f '>0，(1)f '<0，(2)f '>0，而x 1=23∈(0，1)， 故当a =233e 4-时，f (x )极大=f (x 1)=232e 3．·······················································16分18． （本小题满分14分）解：（1）.23)(2ax x x f +-=' …………………………. ……………1分根据题意，(1)tan 1,321, 2.4f a a π'==∴-+==即 …………………3分 此时，32()24f x x x =-+-，则2()34f x x x '=-+. 令124'()00,.3f x x x ===，得 x1- (1,0)-0 (0,1)1 ()f x ' 7-- 0+ 1()f x1-↘4-↗3-…………………………………………………………………………………………. 6分 ∴当[]1,1x ∈-时，()f x 最小值为()04f =-. ………………………7分 （2）).32(3)(a x x x f --=' ①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x '><∴+∞≤当时在上单调递减. 又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使…………………………………………..10分②若220,0,()0;,()0.33a aa x f x x f x ''><<>><则当时当时从而)(x f 在（0，23a ）上单调递增，在（23a ，+)∞上单调递减. .4274494278)32()(,),0(333max-=-+-==+∞∈∴a a a a f x f x 时当根据题意，33440,27. 3.27a a a ->>∴>即 …………….............................. 13分综上，a 的取值范围是(3,)+∞.……………………………………14分 19．(Ⅰ)当1k =时,()()21x f x x e x=--,()()()1222x x x xf x e x e x xe x x e '=+--=-=- 令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:x(),0-∞0 ()0,ln 2ln 2 ()ln 2,+∞()f x ' +-+()f x极大值极小值右表可知,函数()f x 的递减区间为()0,ln 2,递增区间为(),0-∞,()ln 2,+∞. (Ⅱ)()()()1222x x xx f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<;当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>; 所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311k h k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3k k e k ϕ=-,则()330k k e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e e ϕϕ⎛⎫⎛⎫⋅=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<, 所以()h k 在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减. 因为1170228h e ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭,()10h =,所以()0h k ≥在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31kM k e k =--.20．设圆柱的高为h ，下底面单位面积的造价为a ．则V ＝πR 2h ＋23πR 3．所以h ＝V πR 2－23R ． 因为h ＞0，所以0＜R ＜33V 2π．设总造价为y ，则y ＝πR 2⋅a ＋2πRh ⋅a 2＋2πR 2⋅a 4＝πa(32R2＋Rh)＝a(32πR2＋VR－23πR2)＝a(56πR2＋VR)．y'＝a(53πR－VR2)＝5πaR3－3a V3R2，令y'＝0得R＝33V5π，当R∈(0，33V5π）时，y'＜0，y为减函数；当R∈(33V5π，33V2π)时，y'＞0，y为增函数．所以当R＝33V5π时，y有最小值．答：当储油罐的下部圆柱的底面半径R＝33V5π时，造价最低．。
