2015年咸阳市高考模拟考试试题(一)理科数学

n nn 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学答案解析第一部分一、选择题1. 【答案】A【解析】由 M ={x | x 2 = x } ⇒ M ={0,1},N ={x | lg x ≤ 0}⇒ N ={x | 0 < x ≤1}所以 M N =[0,1] ．【提示】求解一元二次方程化简 M ，求解对数不等式化简 N ，然后利用并集运算得答案 【考点】并集及其运算2. 【答案】C【解析】初中部女教师的人数为110⨯ 70% = 77 ；高中部女教师的人数为40⨯150% = 60 ，∴该校女教师的 人数为77 + 60 =137 ，【提示】利用百分比，可得该校女教师的人数．【考点】收集数据的方法．3. 【答案】C【解析】解：由题意可得当sin⎛ π x + ϕ ⎫取最小值-1 时，函数取最小值 y= -3 + k = 2 ，解得 k = 5 ，∴ 6 ⎪ min ⎝ ⎭ y = 3sin ⎛ π x + ϕ ⎫ + 5 ，∴当sin ⎛ π x + ϕ ⎫取最大值1 时，函数取最大值 y = 3 + 5 = 8 ， 3 ⎪ 6 ⎪ max ⎝ ⎭ ⎝ ⎭【提示】由题意和最小值易得 k 的值，进而可得最大值． 【考点】 y = A sin(ωx +ϕ) 的图象性质．4. 【答案】B【解析】二项式(x +1)n 的展开式的通项是T= C r x r，令 r = 2 得 x 2 的系数是C 2 ，因为 x 2 的系数为15 ，所以C 2 = 15 ，即 n 2 - n - 30 = 0 ，解得： n = 6 或n = -5 ， 因为n ∈ N + ，所以n = 6r +1n 几何体 2 2【提示】由题意可得C 2= 15 ，解关于 n 的方程可得．【考点】二项式定理的应用．5. 【答案】D【解析】根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为V = π 12 + π⨯1⨯2 + 2⨯ 2= 3π + 4【提示】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积． 【考点】由三视图求面积，体积6. 【答案】A【解析】cos2α = 0 ⇒cos 2 α -sin 2 α = 0⇒(cos α -sin α)(cos α +sin α) = 0所以sin α = cos α或sin α = - cos α【提示】由cos2α = cos 2 α -sin 2 α ，即可判断出． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．7. 【答案】B【解析】因为a b =| a || b | cos < a ,b >≤| a || b | ，所以选项A 正确； 当 a 与b 方向相反时，| a - b |≤ | a | - | b | 不成立，所以选项 B 错误； 向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；(a + b)(a - b) = a - b 所以选项D 正确【提示】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得． 【考点】平面向量数量积的运算8. 【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得 x = 2006，x = 2004 满足条件 x ≥ 0，x = 2002 满足条件 x ≥ 0，x = 2000 ……满足条件 x ≥ 0，x = 0ab ⎨ ⎩ ⎩ ⎩ 满足条件 x ≥ 0不满足条件 x ≥ 0，y =10 输出 y 的值为10【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 x 的值，当 x = -2 时不满足条件 x ≥ 0 ，计算并输出 y 的值为10 . 【考点】程序框图9. 【答案】B【解析】 p = f ( ab ) = ln ab ，q = f ⎛ a + b ⎫= lna +b ，2 ⎪ 2 ⎝ ⎭r = 1 ( f (a ) + f (b )) = 1ln ab = ln 2 2函数 f (x ) = ln x 在(0, +∞) 上单调递增，因为 a + b > ，所以 f ⎛ a + b ⎫> f (ab ) ， 22 ⎪ ⎝ ⎭ 所以q > p = r【提示】由题意可得 p = 1 (ln a + ln b ) ， q = ln ⎛ a + b ⎫ ≥ ln( ab ) = p ， r = 1 (ln a + ln b ) ，可得大小关系． 2 2 ⎪ 2【考点】不等关系与不等式．10. 【答案】D⎝ ⎭⎧3x + 2 y ≤ 12【解析】设每天生产甲乙两种产品分别为 x ，y 顿，利润为 z 元，则⎪x + 2 y ≤ 8 ⎪x ≥ 0, y ≥ 0 ，目标函数为 z = 3x + 4y ．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由 z = 3x + 4y 得 y = - 3 x + z ，平移直线 y = - 3 x + z 由图象可知当直线 y = - 3 x + z经过点 B 时，直线4 4 4 4 4 4y = - 3 x + z的截距最大，此时 z 最大，解方程组⎧3x + 2 y = 12 ，解得⎧ x = 2 ，即 B 的坐标为 x = 2，y = 3 ，4 4∴z max = 3x + 4y = 6 +12 =18 ⎨x + 2 y = 8 ⎨ y = 3即每天生产甲乙两种产品分别为 2，3 顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18 万元ab【提示】设每天生产甲乙两种产品分别为 x ，y 顿，利润为 z 元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出 z 的最大值． 【考点】简单线性规划的应用11. 【答案】D【解析】∵复数 z = (x -1) + y i(x ，y ∈R ) 且| z |≤1，∴| z |= ≤ 1，即(x -1)2 + y 2≤ 1 ，∴点(x ，y ) 在(1，0) 为圆心 1 为半径的圆及其内部，而 y ≥ x 表示直线 y = x 左上方的部分，（图中阴影弓形） ∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，∴所求概率 P = 1 π 12 - 1 ⨯1⨯1 = 1 - 14 2 4 2π【提示】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得． 【考点】几何概型12. 【答案】A【解析】假设选项A 错误，则选项B 、C 、D 正确， f '(x ) = 2ax + b ，因为 1 是 f (x ) 的极值点，3 是 f (x ) 的极值， ⎧ f '(1) = 0 ⎧2a + b = 0 ⎧b = -2a 所以⎨ f (1) = 3 ， ⎨a + b + c = 3 ，解得⎨c = 3 + a ，⎩ ⎩ ⎩因为点(2,8) 在曲线 y = f (x ) 上，所以4a + 2b + c = 8，解得： a = 5 ，所以b = -10 ， c = 8 ， 所以 f (x ) = 5x 2 -10x + 8因为 f (-1) = 5⨯(-1)2 -10⨯(-1) + 8 = 23 ≠ 0 ， 所以-1不是 f (x ) 的零点，所以假设成立，选 A【提示】可采取排除法．分别考虑 A ，B ，C ，D 中有一个错误，通过解方程求得 a ，判断是否为非零整数，(x -1)2 + y 21即可得到结论．【考点】二次函数的性质．第二部分二、填空题13. 【答案】5【解析】解：设该等差数列的首项为 a ，由题意和等差数列的性质可得2015 + a =1010⨯ 2 解得 a = 5【提示】由题意可得首项的方程，解方程可得． 【考点】等差数列14. 【答案】2 【解析】抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的准线方程是 x =- p，2 双曲线 x 2 - y 2 = 1 的一个焦点 F (- 2, 0) ，因为抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的准线经过双曲线 x 2 - y 2 = 1 的一个焦点，所以- p= - 22 ，解得 p = 2 【提示】先求出 x 2 - y 2 = 1 的左焦点，得到抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 的准线，依据 p 的意义求出它的值．【考点】抛物线的简单性质 15.【答案】(1,1)【解析】∵ f '(x ) = e x ，∴ f '(0) = e 0= 1∵ y = e x在(0,1) 处的切线与 y = 1 (x > 0) 上点 P 的切线垂直x∴点 P 处的切线斜率为-1又 y ' = 1x 2 ，设点 P (x 0，y 0 )∴ - 1x 0= -1∴x 0 = ±1， x > 0，∴ x 0 =1∴y 0 = 1 223 ∴点 P (1,1)【提示】利用 y = e x在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程16. 【答案】1.2【解析】如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y = ax 2，因为抛物线经过(5，2) ，可得a = 2， 25所以抛物线方程： y =2x 2 ，横截面为等腰梯形的水渠， 25 泥沙沉积的横截面的面积为： 2⎛ 5 2 x 2 - 1 ⨯ 2 ⨯ 2⎫ = 2⎛ 2 x 3 |5 -2⎫ = 8， ⎰0 25 2 ⎪ 75 0 ⎪ 3 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭10 + 6 ⨯ 2 = 16 ，当前最大流量的横截面的面积16 - 8，原始的最大流量与当前最大流量的比值为：1618 - 82 3= 1.2【提示】建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积， 即可推出结果．【考点】直线与圆锥曲线的关系． 三、解答题17. 【答案】（Ⅰ） A = π3（Ⅱ）3 32 【解析】（Ⅰ）因为向量m = (a , 3b ) 与n = (cos A ，sin B ) 平行，所以a sin B -3b cos A = 0 ，由正弦定理可知：sin A sin B - 3 sin B cos A = 0 ，因为sin B ≠ 0 ，所以tan A =3，可得 A = π ； 3（Ⅱ）由正弦定理得 7 = 2 ，从而sin B = 21，sin π sin B 73等腰梯形的面积为：3 ⎩ ⎨又由a > b ，知 A > B ，所以cos B =故 = ⎛π ⎫sin C = sin(A + B ) sin B + ⎪⎝⎭ = sin B cos π + cos B sin π = 3 213 314 所以∆ABC 的面积为 1 bc sin A = 3 32 2【提示】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解 A ；（Ⅱ）利用 A ，以及a = 7，b = 2 ，通过余弦定理求出 c ，然后求解∆ABC 的面积．【考点】余弦定理的应用，平面向量共线（平行）的坐标表示18. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 63【解析】证明：（Ⅰ）在图 1 中，∵ AB = BC =1，AD = 2 ，E 是 AD 的中点，∠BAD = π， 2∴ BE ⊥ AC ，即在图 2 中， BE ⊥ OA 1，BE ⊥ OC ，则 BE ⊥ 平面A 1OC ；∵CD ∥BE ， ∴ CD ⊥ 平面A 1OC ；（Ⅱ）若平面A 1BE ⊥ 平面BCDE ，由（Ⅰ）知 BE ⊥ OA 1，BE ⊥ OC ，∴ ∠A 1OC 为二面角 A 1 - BE - C 的平面角，∴ ∠AOC = π，如图，建立空间坐标系，12∵A 1B = A 1E = BC = ED =1 ， BC ∥EDB ⎛ 2 ，0 ⎫ ⎛ 2 ⎫ ⎛ 2 ⎫ ⎛ 2 ⎫ ∴ 2 ，0 ⎪，E - 2 ，0，0 ⎪，A 1 0，0, 2 ⎪，C 0, 2 ，0 ⎪ ，⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭BC⎛ 2 2 ⎫ ⎛ 2 2 ⎫ = - 2 , 2 , 0 ⎪, A 1C = 0, 2 , - 2 ⎪，CD = BE (- 2, 0, 0)⎝ ⎭ ⎝ ⎭设平面A 1BC 的法向量为m = (x , y , z ) ，平面A 1CD 的法向量为n = (a ，b ，c ) ，则⎧⎪m B C ⎨ ⎪⎩m A C 1= 0 ⎧- x + y = 0 = 0 得⎨ y - z = 0 ，令 x =1 ，则y =1，z =1，即m ⎧⎪n A 1C = 0 = (1,1,1) ，由⎨ ⎪⎩n CD = 0⎧a = 0得 ⎩b - c = 0，取n = (0，1，1) ， 2 77m, n >=m n=2| m || n | 3 ⨯ 26则cos <=，3即平面A BC 与平面ACD 夹角的余弦值为6 ．1 1 3【提示】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD ⊥平面A1OC ；（Ⅱ）若平面A1BE ⊥平面BCDE ，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A1BC 与平面A1CD 夹角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的性质【答案】（Ⅰ）T 的分布列为：T 25 30 35 40P 0.2 0.3 0.4 0.1ET = 32 （分钟）（Ⅱ）0.91T（分钟）25 30 35 40频率0.2 0.3 0.4 0.1T 25 30 35 40P 0.2 0.3 0.4 0.1从而数学期望ET = 25⨯ 0.2 + 30⨯ 0.3 + 35⨯ 0.4 + 40⨯ 0.1 = 32 （分钟）（Ⅱ）设T1，T2 分别表示往、返所需时间，T1，T2 的取值相互独立，且与T 的分布列相同，设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120 分钟”，由于讲座时间为50 分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70 分钟”b 2 +c 210(b 2- 2) 101 12 2P (A ) = P (T 1 + T 2 > 70) = P (T 1 = 35，T 2 = 40) + P (T 1 = 40，T 2 = 35) + P (T 1 = 40，T 2 = 40)= 0.4⨯ 0.1+ 0.1⨯ 0.4 + 0.1⨯ 0.1 = 0.09 故 P ( A ) =1- P (A ) = 0.91【提示】（Ⅰ）求 T 的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数÷样本容量， 数学期望 ET = 25⨯ 0.2 + 30⨯ 0.3 + 35⨯ 0.4 + 40⨯ 0.1 = 32 （分钟）；（Ⅱ）设T 1，T 2 分别表示往、返所需时间，事件 A 对应于“刘教授共用时间不超过 70 分钟”，先求出P (A ) = P (T 1 = 35，T 2 = 40) + P (T 1 = 40，T 2 = 35)+ P (T 1 = 40，T 2 = 40 )= 0 .09【考点】离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列20. 【答案】（Ⅰ） 32（Ⅱ） x 2 + y 2 =12 3【解析】（Ⅰ）经过点(0,b ) 和(c ,0) 的直线方程为bx + cy - bc = 0 ，则原点到直线的距离为d = bc = 1 c 2 ，即为a = 2b ，e = c = a = 3 ； 2（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为 x 2 + 4 y 2 = 4b 2①，由题意可得圆心 M (-2，1) 是线段 AB 的中点，则| AB |= 10 ，易知 AB 与 x 轴不垂直，记其方程为 y = k (x + 2) +1，代入①可得(1+ 4k 2 )x 2 + 8k (1+ 2k ) x + 4(1+ 2k )2- 4b 2 = 0 ，设 A (x ，y )，B (x ，y ) ，x +-8k (1+ 2k )4(1 + 2k )2 - 4b 2x + x = -4 -8k (1+ 2k ) 1则 1 x 2 =1+ 4k2， x 1 x 2 =1 + 4k 2，由 1 2，得 1+ 4k 2 = -4 ，解得k = ， 2从而 x 1 x 2 = 8 - 2b ，于是| AB |= 2x 2 y 2= = ， 解得b 2= 3 ，则有椭圆 E 的方程为 + = 112 3【提示】（Ⅰ）求出经过点(0，b ) 和(c ，0) 的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆 E 的方程为 x 2 + 4 y 2 = 4b 2，①设出直线 AB 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b 2 = 3 ，即可得到椭圆方程． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，曲线与方程b 2 1 - a 2 1 + | x + x |= ⎛ 1 ⎫2 ⎝ 2 ⎭⎪ 1 2 5 2(x + x )2 - 4x x 1 2 1 2 1n 021. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）当 x =1 时， f n (x ) = g n (x )当 x ≠ 1 时， f n (x ) < g n (x )【解析】证明：（Ⅰ）由 F n (x ) = f n (x ) - 2 = 1+ x + x 2 +⋯+ x n - 2 ，则 F (1) = n -1 > 0 ，⎛ 1 ⎫n +1⎛ 1 ⎫ 1 ⎛ 1 ⎫2⎛ 1 ⎫n1- 2 ⎪ 1 F = 1+ + +⋯+- 2 = ⎝ ⎭ - 2 = - < 0 ，n 2 ⎪ 2 2 ⎪ 2 ⎪ 1 2n⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 1-2 ∴ F (x ) 在⎛ 1 ,1⎫ 内至少存在一个零点，又 F '(x ) = 1+ 2x +⋯+ nx n -1> 0 ， n 2 ⎪ n ⎝ ⎭ ∴ F (x ) 在⎛ 1 ,1⎫内单调递增， n 2 ⎪ ⎝ ⎭ ∴ F (x ) 在⎛ 1 ,1⎫内有且仅有一个零点 x ， n 2 ⎪ n⎝ ⎭∵ x n 是 F n (x ) 的一个零点，1 - x n +1 ∴ F (x ) = 0 ，即 n -2 = 0 ，故 x = 1 + 1 x n +1 ； 1 - x nn 2 2 n(n + 1)(1 + x n ) （Ⅱ）由题设， g n (x ) =， 22n(n +1)(1 + x n )设 h (x ) = f n (x ) - g n (x ) = 1 + x + x当 x =1 时， f n (x ) = g n (x ) ．+⋯+ x -，x > 0 ． 2当 x ≠ 1 时， h '(x ) = 1 + 2x +⋯+ nxn -1 n (n + 1)x n -1-．2若0 < x < 1， h '(x ) > xn -1 + 2xn -1 + ... + nx n -1 -n (n + 1)x n -12= n (n +1)x n -1 - n (n +1)x n -1 = ． 2 2若 x >1 ， h '(x ) < xn -1+ 2xn -1+ ... + nxn -1-n (n +1)x n -12= n (n +1)x n -1 - n (n +1)x n -1 = ． 2 2∴h (x ) 在(0，1) 内递增，在(1，+ ∞) 内递减， ∴ h (x ) < h (1) = 0 ，即 f n (x ) < g n (x ) ．n n2 综上，当 x =1 时， f n (x ) = g n (x ) ；当 x ≠ 1 时， f n (x ) < g n (x ) ．【提示】（Ⅰ）由 F (x ) = f (x ) - 2 = 1+ x + x 2 +⋯+ x n - 2 ，求得 F (1) > 0 ， F ⎛ 1 ⎫ < 0 ．再由导数判断出函 n n n n 2 ⎪ ⎝ ⎭ 数 F (x ) 在 ⎛ 1 ,1⎫ 内单调递增， 得到 F (x ) 在 ⎛ 1 ,1⎫ 内有且仅有一个零点 x ，由 F (x )= 0，得到 n 2 ⎪ n 2 ⎪ n n n⎝ ⎭ ⎝ ⎭ x = 1 + 1 x n +1 ；n 2 2 n (n + 1)(1 + x n ) 2 n (n +1)(1 + x n ) （Ⅱ）先求出 g n (x ) = 2 ，构造函数h (x ) = f n (x ) - g n (x ) = 1 + x + x +⋯+ x - ，当 2x =1 时， f n (x ) = g n (x )； 当 x ≠ 1 时， 利用导数求得 h (x ) 在(0，1) 内递增， 在(1，+ ∞) 内递减，即得到f n (x ) <g n (x )．【考点】数列的求和，等差数列与等比数列的综合22. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3【解析】证明：（Ⅰ）∵ DE 是 O 的直径，则∠BED + ∠EDB = 90︒ ，∵BC ⊥ DE ， ∴ ∠CBD + ∠EDB = 90︒ ，即∠CBD = ∠BED ，∵ AB 切 O 于点 B ，∴ ∠DBA = ∠BED ，即∠CBD = ∠DBA ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 BD 平分∠CBA ，则BA = AD = 3 ，∵ BC = ， ∴ AB = 3 2 ， A C = BC CD= 4 ，则 AD = 3 ， AB 2由切割线定理得 AB 2 = AD AE ，即 AE = = 6 ，AD 故 DE = AE - AD = 3 ，即 O 的直径为 3．【提示】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明： ∠CBD = ∠DBA ；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求 O 的直径．【考点】直线与圆的位置关系23.【答案】（Ⅰ）x 2 + ( y - 3)2 = 3 AB 2 - BC 2t 2 +12 3 3 at +12 bt -3t +12 3 4 - t 4 - t + t t ⎩ ⎨ ⎨ （Ⅱ） P (3,0)【解析】（Ⅰ）由 C 的极坐标方程为 ρ = 2 3ρ sin θ ．∴ ρ2 = 2 3ρ sin θ ，化为 x 2 + y 2 = 2 3y ，配方为 x 2 + ( y -3)2 = 3 ．⎛ 1 3 ⎫ （Ⅱ）设 P 3 + 2 t , 2 t ⎪ ，又C (0, 3) ． ⎝ ⎭ ∴|PC |== ≥ 2 ，因此当t = 0 时，| PC | 取得最小值2 ．此时 P (3,0) ．【提示】（Ⅰ）由 C 的极坐标方程为 ρ = 2 3ρ sin θ ．化为 ρ2 = 2 3ρ sin θ ，把⎧ρ 2 = x 2 ⎨ y = ρn+2y θ 代入即可得出． ⎛ 1 3 ⎫（Ⅱ）设 P 3 + 2 t , 2 t ⎪ ，又C (0, 3) ．利用两点之间的距离公式可得|PC |=，再利用二次函数的⎝ ⎭性质即可得出．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化⎧a = -3 24.【答案】（Ⅰ） ⎨⎩b = 1（Ⅱ）4【解析】（Ⅰ）关于 x 的不等式| x + a |< b 可化为-b - a < x < b - a ，又∵原不等式的解集为{x | 2 < x < 4}， ⎧-b - a = 2 ∴ ⎩b - a = 4 ⎧a = -3 ，解方程组可得 ； ⎩b = 1（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 + = += +≤= 2 = 4 ，当且仅当 = 即t =1时取等号， 1∴所求最大值为 4⎛ 1 ⎫2 3 + t ⎪ + t - 3 ⎪ ⎛ 3 ⎫ 2 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ t 2 +12 tt [( 3)2 +12 ][( 4 - t )2 + ( t )2 ]4 - t 3-3t +12 t 3 4 - t t 【提示】（Ⅰ）由不等式的解集可得 a 与 b 的方程组，解方程组可得； （Ⅱ）原式= + = + ，由柯西不等式可得最大值．【考点】不等关系与不等式。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）卷数学（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2|M x x x ==，{}|lg 0N x x =≤，则M N = （ ）（A ）[]0,1 （B ）(]0,1 （C ）[)0,1 （D ）(],1-∞2．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )4．二项式()()1n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n = ( )（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )（A ）3π （B ）4π （C ）24π+ （D ）34π+6．“sin cos αα=”是“cos 20α=”的( ) （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是( )（A ）||||||a b a b ⋅≤ （B ）||||||a b a b -≤-（C ）()22||a b a b +=+ （D ）()()22a b a b a b +-=- 8．根据右边的图，当输入x 为2006时，输出的y = ( )（A ）28 （B ）10 （C ）4 （D ）29．设()ln f x x =，0a b <<，若p f =，2a b q f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()12r f a f b =+⎡⎤⎣⎦，则下列关系式中正确的是（ ） （A ）q r p =< （B ）q r p => （C ）p r q =< （D ）p r q => 10．某企业生产甲、乙两种产品均需用,A B 两种原料。

已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）（A ）12万元 （B ）16万元（C ）17万元 （D ）18万元 11．设复数()()1,z x yi x y R =-+∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ）（A ）3142π+ （B ）1142π- （C ）112π- （D ）112π+ 12．对二次函数()2f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） （A ）1-是()f x 的零点（B ）1是()f x 的极值点 （C ）3是()f x 的极值 （D ）点()2,8在曲线()y f x =上二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________。

理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数111-++-=iiz ，在复平面内z 所对应的点在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是 （A（B ）（C（D ） 833.下列命题错误的是（A ）命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” （B ）若命题2:,10p x R x x ∃∈++=，则2:,10p x R x x ⌝∀∈++≠ （C ）若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题（D ） “2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件4.如图，该程序运行后输出的结果为（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）165.设γβα,,为两两不重合的平面，,,l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γβγα⊥⊥,，则βα//；②若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂，则βα//； ③若βα//，α⊂l ，则β//l ；④若γαγγββα//,,,l n m l === ，则n m //. 其中真命题的个数为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）46.已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若12852=++a a a ，则9S 等于（A ）18 （B ）36 （C ）72 （D ）无法确定俯视图7. P 是ABC ∆所在平面内一点，若+=λ，其中R ∈λ，则P 点一定在（A ）ABC ∆内部 （B ）AC 边所在直线上 （C ）AB 边所在直线上 （D ）BC 边所在直线上8. 抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于（A ） （B ） （C ）2 （D 9. 定义行列式运算12212121b a b a b b a a -=，将函数xx x f cos 1sin 3)(=的图象向左平移)0(>t t 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t 的最小值为 （A ）6π （B ）3π（C ）65π （D ）32π10. 设方程|)lg(|3x x-=的两个根为21,x x ，则（A ） 021<x x （B ）021=x x （C ） 121>x x （D ） 1021<<x x 11. 王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算.（A ）300秒 （B ）400秒 （C ）500秒 （D ）600秒12. 两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是（A ）40 （B ）48 （C ）60 （D ）68第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于a 的概率为 . 14.若等比数列}{n a 的首项为32，且⎰+=4 1 4)21(dx x a ，则公比q 等于 .15. 已知)(x f 为奇函数，且当x >0时, 0)('>x f ，0)3(=f ，则不等式0)(<x xf 的解集为____________.16. 数列 ，，，，，，，，，，1423324113223112211，则98是该数列的第 项. 三．解答题：本大题共6小题，共74分.17. （本小题满分12分）已知角C B A 、、是ABC ∆的三个内角，c b a 、、是各角的对边，若向量⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2cos),cos(1B A B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2cos ,85B A n ,且89=⋅n m .（Ⅰ）求B A tan tan ⋅的值； （Ⅱ）求222sin cb a Cab -+的最大值.18. （本小题满分12分）正ABC ∆的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 的中点（如图（1））.现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A -DC -B （如图（2））. 在图形（2）中：（Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角E -DF -C 的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使DE AP ⊥?证明你的结论.19. （本小题满分12分）张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会（选一题答一题），若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为21. （Ⅰ）求张明进入下一轮的概率；（Ⅱ）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.20.（本小题满分12分）数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，273=a .（Ⅰ）求21,a a 的值； （Ⅱ）已知))((21*N n t a b n n n ∈+=，若数列}{n b 成等差数列，求实数t ； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S ．21. （本小题满分12分）已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2，当AC 垂直于x 轴时，恰好有13||||21：：=.（Ⅰ）求椭圆离心率；（Ⅱ）设F AF B F AF 222111λλ==,试判断21λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.22. （本小题满分14分）已知0>a ，）1ln(12)(2+++-=x x ax x f ，l 是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线.（Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值；（Ⅲ）证明对任意的n a =)(*N n ∈，函数)(x f y =总有单调递减区间，并求出)(x f 单调递减区间的长度的取值范围.（区间],[21x x 的长度=12x x -）附：答案及评分标准：一．选择题： BCCCB BBACD BB1.解析：B. 21(1)1111(1)(1)i i z i i i i -+--=-=-=-++-，故选B.2. 解析：C.该几何体为正四棱锥，底面边长为2，高为22⨯=，其体积12233V =⨯⨯=. 3. 解析：C .由“且”命题的真假性知，p 、q 中至少有一个为假命题，则p q ∧为假，故选项C 错误. 4. 解析：D.每次循环对应的b a ,的值依次为11,1,2,112a b b a ====+=；22,24,213a b a ====+=；43,4,216,314a b b a =====+=. 5. 解析：B.根据面面平行的判定可知①是假命题；②是假命题； ③是真命题；④是真命题. 6. 解析：B. 2585312a a a a ++==，∴54a =,19592993622a a aS +=⨯=⨯=. 7. 解析：B. CB PA PB CB BP PA λλ=+⇒+=CP PA λ⇒=,∴C 、P 、A 三点共线.8. 解析：A. 抛物线212y x =-的准线方程为3x =，双曲线22193x y -=的渐近线为y x =，如图，它们相交得OAB ∆，则(3,A B ,∴132OAB S ∆=⨯=.9. 解析：C. 1sin ()sin sin )2cos xf x x x x x x==-=-2cos()6x π=+.函数()f x 向左平移65π后为55()2cos()2cos()2cos 666f x x x x ππππ+=++=+=-，所以5()2c o s 6f x x π+=-为偶函数. 10. 解析：D. 如图，易知231x x =，3120x x x <<<，∴1201x x <<.11. 解析：B. 设王先生每月拨打长途x 秒，拨打本地电话5x 秒，根据题意应满足50.3650.60120.060.076060x x x x ⋅⋅++≤+，解得400x ≥. 12. 解析：B. 只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达.若奥迪车上没有小孩，则有2344C C +=10种；若有一个小孩，则有11232444()C C C C ++=28种；若有两个小孩，则有1244C C +=10种.故不同的乘车方法种数为10+28+10=48种.二．填空题13.6π；14.3；15. {|033x 0}x x <<-<<或；16.128. 13. 解析：6π.易知，在正方体内到点A 的距离小于a 的点分布在以A 为球心，以a 为半径的球的18部分内.故所求概率即为体积之比3341386a P a ππ⋅==. 14. 解析：3. 42224 14(12)()44(11)181a x dx x x =+=+=+-+=⎰；123a =，341a a q =⋅得公比3q =.15. 解析：{|033x 0}x x <<-<<或.根据题意，函数()f x 的图象如图，可得0)(<x xf 的解集为{|033x 0}x x <<-<<或.16. 解析：128.分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，…，为16的有15项.而98是分子、分母之和为17的第8项.故共有1511581282+⨯+=项. 三．解答题17. （本题小满分12分）已知角C B A 、、是ABC ∆的三个内角，c b a 、、是各角的对边，若向量⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2cos),cos(1B A B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2cos ,85B A n ,且89=⋅n m .（Ⅰ）求B A tan tan ⋅的值； （Ⅱ）求222sin cb a Cab -+的最大值. 解：（Ⅰ）由(1cos(),cos )2A B m A B -=-+,5(,cos )82A B n -=，且98m n ⋅=， 即259[1cos()]cos828A B A B --++=.---------------------------------------------------------------------------2分 ∴4cos()5cos()A B A B -=+,-------------------------------------------------------------------------------------4分即cos cos 9sin sin A B A B =,∴1tan tan 9A B =.--------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）由余弦定理得222sin sin 1tan 2cos 2ab C ab C C a b c ab C ==+-，-------------------------------------------------8分而∵tan tan 9tan()(tan tan )1tan tan 8A B A B A B A B ++==+-9384≥⨯=,即tan()A B +有最小值34.-----------------------------------------------------------------------------------------10分又tan tan()C A B =-+,∴tan C 有最大值34-（当且仅当1tan tan 3A B ==时取等号），所以222sin ab C a b c +-的最大值为38-.-------------------------------------------------------------------------------12分18. （本题小满分12分）正ABC ∆的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 的中点（如图（1））.现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A -DC -B （如图（2））. 在图形（2）中：（Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角E -DF -C 的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使DE AP ⊥?证明你的结论.解法一：（Ⅰ）如图（2）：在ABC ∆中，由EF 分别是AC 、BC 的中点，得EF//AB ，又⊄AB 平面DEF ，⊂EF 平面DEF . ∴//AB 平面DEF.-----------------------------------------------------------------------3分（Ⅱ）CD BD CD AD ⊥⊥,，∴ADB ∠是二面角A -CD -B 的平面角.-------------------------------------------------------------------------------------4分∴BD AD ⊥，∴⊥AD 平面BCD .取CD 的中点M ，则EM //AD ，∴EM ⊥平面BCD .过M 作MN ⊥DF 于点N ，连结EN ，则EN ⊥DF ，MNE ∠是二面角E -DF -C 的平面角.----------------------------------------------------6分在EMN Rt ∆中，EM =1，MN =23，∴721cos =∠MNE .----------------------------------8分（Ⅲ）在线段BC 上取点P ，使BP =BC 31，过P 作PQ ⊥CD 于点Q ，∴⊥PQ 平面ACD .-----------------11分 ∵，33231==DC DQ ∴ADQ Rt ∆中，33tan =∠DAQ .在等边ADE ∆中，,30 =∠DAQ ∴DE AP DE AQ ⊥⊥,.------------------------------------------------------12分解法二：（Ⅱ）以点D 为坐标原点，以直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,3,1(),1,3,0(),0,32,0(002(),2,0,0(F E C B A ），，，------------------------------------------4分平面CDF 的法向量)2,0,0(=DA .设平面EDF 的法向量为n =（x ,y ,z ）.则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0DE ，即⎩⎨⎧=+=+0303z y y x ，取)3,3,3(-=------------------------------------------6分 721||||cos =⋅>=⋅<n DA .二面角E -DF -C 的平面角的余弦值为721.------------------------------------8分（Ⅲ）在平面坐标系x D y 中，直线BC 的方程为323+-=x y ，设)0,332,(x x P -，则)2,332,(--=x x AP .--------------------------------------------------------------------------------------------------------10分∵x DE AP 31340=⇒=⇒=⋅⇒⊥. ∴在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE .---------------------------------------------------------------12分.19. （本题小满分12分）张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会（选一题答一题），若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为21. （Ⅰ）求张明进入下一轮的概率；（Ⅱ）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.解法一：（Ⅰ）张明答4道题进入下一轮的概率为161)21(4=；----------------------------------------------------1分 答5道题进入下一轮的概率为812121)21(334=⋅⋅C ；--------------------------------------------------------------------2分答6道题进入下一轮的概率为32521)21()21(2335=⋅⋅C ；--------------------------------------------------------------3分答7道题进入下一轮的概率为32521)21()21(3336=⋅⋅C ；-------------------------------------------------------------5分张明进入下一轮的概率为1155116832322P =+++=.---------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为4，5，6，7.当ξ=4时可能答对4道题进入下一轮，也可能打错4道题被淘汰.81)21()21()4(44=+==ξP ；类似有4121)21()21(21)21()21()5(334334=⋅⋅+⋅⋅==C C P ξ；)6(=ξP =+⋅⋅21)21()21(2335C 16521)21()21(2335=⋅⋅C ； )7(=ξP =+⋅⋅21)21()21(3336C 16521)21()21(3336=⋅⋅C .----------------------------------------------10分 于是ξ的分布列为161671664584=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ---------------------------------------------------------------------12分解法二：（Ⅱ）设张明进入下一轮的概率为1P ，被淘汰的概率为2P ，则121=+P P ，又因为张明答对每一道题的概率都为21，答错的概率也都为21.所以张明答对4题进入下一轮与答错4题被淘汰的概率是相等的.即21P P =. 所以张明进入下一轮的概率为21.--------------------------------------------------------------------------------------6分20.（本小题满分12分）数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，273=a .（Ⅰ）求21,a a 的值；（Ⅱ）已知))((21*N n t a b n n n ∈+=，若数列}{n b 成等差数列，求实数t ； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S ．解法一：（Ⅰ）由)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，得33222127a a =++=29a ⇒=.2212219a a =++=12a ⇒=.--------------------------------------------------------------3分（Ⅱ）*11221(,2)(1)2(1)2n n n n n n a a n N n a a --=++∈≥⇒+=++*(,2)n N n ∈≥1111122n n nn a a --++⇒=+*(,2)n N n ∈≥---------------------------------------------------------5分 1111122n n n n a a --++⇒-=*(,2)n N n ∈≥，令*1(1)()2n n nb a n N =+∈，则数列}{n b 成等差数列，所以1t =. ---------------------------------------------------------------------------------------------7分（Ⅲ））}{n b 成等差数列，1(1)n b b n d =+-321(1)22n n +=+-=.121(1)22n n n n b a +=+=； 得1(21)21n n a n -=+⋅-*()n N ∈.--------------------------------------------------------------8分n S =21315272(21)2n n n -⋅+⋅+⋅+++⋅------------①2n S =23325272(21)22n n n ⋅+⋅+⋅+++⋅---------------------②① - ② 得213222222(21)2n n n S n n --=+⋅+⋅++⋅-+⋅+233222(21)2nnn n =++++-+⋅+14(12)3(21)212n n n n --=+-+⋅+-=(21)21nn n -+⋅+-.所以(21)21n n S n n =-⋅-+*()n N ∈-------------------------------------------------------------12分.解法二：（Ⅱ）))((21*N n t a b n nn ∈+=且数列}{n b 成等差数列，所以有1()n n b b +-*()n N ∈为常数. 11111()()22n n n n n n b b a t a t +++-=+-+*()n N ∈1111(221)()22n n n n n a t a t ++=+++-+*()n N ∈111112222n n n n n n t ta a ++=++--*()n N ∈ 1112n t+-=+*()n N ∈，要使1()n n b b +-*()n N ∈为常数.需1t =.---------------------------------7分21. （本题小满分12分）已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一个动点，弦AB 、AC分别过焦点F 1、F 2，当AC 垂直于x 轴时，恰好有13||||21：：=. （Ⅰ）求椭圆离心率；（Ⅱ）设F AF B F 222111λλ==,试判断21λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.解：（Ⅰ）当AC 垂直于x 轴时，a b 22||=，13||||21：：=AF AF ，∴ab 213||=∴a ab 242=，∴222b a =，∴22c b =，故22=e .-----------------------------------------3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为22222b y x =+，焦点坐标为)0,(),0,(21b F b F -.①当弦AC 、AB 的斜率都存在时，设),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ，则AC 所在的直线方程为)(00b x bx y y --=， 代入椭圆方程得0)(2)23(20200202=--+-y b y b x by y bx b .∴02222023bx b y b y y --=，--------------------------------------------------------------5分F AF 222λ=，bx b y y 020223-=-=λ.--------------------------------------------------7分 同理bx b 0123+=λ，∴621=+λλ------------------------------------------------------9分 ②当AC 垂直于x 轴时，则bbb 23,112+==λλ，这时621=+λλ； 当AB 垂直于x 轴时，则5,121==λλ，这时621=+λλ.综上可知21λλ+是定值 6.---------------------------------------------------------------12分22. （本题小满分14分）已知0>a ，）1ln(12)(2+++-=x x ax x f ，l 是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线.（Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值；（Ⅲ）证明对任意的n a =)(*N n ∈，函数)(x f y =总有单调递减区间，并求出)(x f 单调递减区间的长度的取值范围.（区间],[21x x 的长度=12x x -）解：（Ⅰ）1)0(),1ln(12)(2=+++-=f x x ax x f ,11)22(21122)(2'+--+=++-=x x a ax x ax x f , 1)0('=f ，切点)1,0(P ，l 斜率为1-.∴切线l 的方程：1+-=x y ------------------------------------------------------３分（Ⅱ）切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点等价于方程1)1ln(122+-=+++-x x x ax 有且只有一个实数解.令)1ln()(2++-=x x ax x h ，则0)(=x h 有且只有一个实数解.---------------------------4分 ∵0)0(=h ，∴0)(=x h 有一解0=x .------------------------------------------------------5分1)]121([21)12(21112)(2'+--=+-+=++-=x a x ax x xa ax x ax x h --------------------------------６分 ①)(),1(01)(,212'x h x x x x h a ->≥+==在),1(+∞-上单调递增， ∴0=x 是方程0)(=x h 的唯一解；------------------------------------------------------7分 ②0)(,210'=<<x h a ，0121,021>-==a x x∴0)11ln(11)1(,0)0()121(2>++-⨯==<-a a aa a h h a h ， ∴方程0)(=x h 在),121(+∞-a上还有一解.故方程0)(=x h 的解不唯一；--------------------8分③当0)(,21'=>x h a ，)0,1(121,021-∈-==a x x∴0)0()121(=>-h ah ，而当1->x 且x 趋向-1时，)1ln(,12++<-x a x ax 趋向∞-，)(x h 趋向∞-. ∴方程0)(=x h 在)1211(--a，上还有一解.故方程0)(=x h 的解不唯一.综上，当l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点时，21=a .-------------------------10分（Ⅲ）11)22(2)(2'+--+=x x a ax x f ；∵,1->x ∴0)('<x f 等价于01)22(2)(2<--+=x a ax x k .∵0)1(48)22(22>+=+-=∆a a a ，对称轴12121422->+-=--=aa a x ，011202(2)1(>=---=-a a k ，∴0)(=x k 有解21,x x ，其中211x x <<-.∴当),(21x x x ∈时，0)('<x f .所以)(x f y =的减区间为],[21x x22122121211214)222(4)(aa a a x x x x x x +=⨯+--=-+=---------------------------12分 当)(*N n n a ∈=时，区间长度21211n x x +=-21112=+≤ ∴减区间长度12x x -的取值范围为)2,1(--------------------------------------------------14分。

2015高考数学模拟试卷及答案解析（理科）本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数321i i -（i 为虚数单位）的虚部是A ．15iB ．15C ．15i -D ．15-2．设全集U=R ，A={x|2x （x-2）<1}，B={x|y=1n （l －x ）}，则右图中阴影部分表示的集合为 A ．{x |x≥1} B ．{x |x≤1} C ．{x|0<x≤1} D ．{x |1≤x<2}3．等比数列{a n }的各项均为正数，且564718a a a a +=，则log 3 a 1+log 3a 2+…+log 3 a l0= A ．12 B ．10C ．8D ．2+log 3 54．若x=6π是f （x ）=3sin x ω+cos x ω的图象的一条对称轴，则ω可以是 A ．4 B ．8 C ．2 D ．15．己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．233π+ B ．2323π+ C ．232π+ D ．23π+6．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有’5架舰载机准备着舰．如果甲乙2机必须相邻着舰，而丙丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）种 A ．12 B ．18 C ．24 D ．487．已知M=3(,)|3,{(,)|20}2y x y N x y ax y a x -⎧⎫==++=⎨⎬-⎩⎭且M N =∅I ，则a= A ．-6或-2 B ．-6 C ．2或-6 D ．-28．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．己知在过滤过程中废气中的污染物数量尸（单位：毫克／升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为：P= P 0e －kt ，（k ，P 0均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%．那么，至少还需（ ）时间过滤才可以排放．A ．12小时 B ．59小时 c ．5小时 D ．10小时9．己知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为 A ．2+1B ．2C ．2D ．2－110．实数a i （i =1,2,3,4,5,6）满足（a 2－a 1）2+（a 3－a 2）2+（a 4－a 3）2+（a 5－a 4）2+（a 6－a 5）2=1则（a 5+a 6）－（a 1+a 4）的最大值为A ．3B ．22C ．6D ．1二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题．每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．）（一）必考题．（11－14题） 11．己知0(sin cos )xa t t dt =+⎰，则（1x ax-）6的展开式中的常数项为 。

2015高考理科数学模拟题答案(一)ﻪ【－高考数学】ﻪﻭﻪﻭ201５高考理科数学模拟题答案(一）ﻪﻭﻪ２０15高考理科数学模拟题(一) &ｇt;&gｔ;&gt;点击查看ﻪﻭﻪﻭ高考语文复习资料ﻪ高考数学复习资料ﻪﻭ高考英语复习资料ﻪﻭ高考文综复习资料ﻪﻭ高考理综复习资料ﻪﻭﻪﻭ高考语文模拟试题ﻪ高考数学模拟试题ﻪ高考英语模拟试题ﻭ高考文综模拟试题ﻪ高考理综模拟试题ﻪﻭ高中学习方法高考复习方法高考状元学习方法ﻭ高考饮食攻略ﻪﻭ高考励志名言ﻪﻪﻭ2０07－20０9年高考理科数学试题１10３2００7年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国Ⅰ卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分．共15０分,考试时间1２0分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题1．α是第四象限角，5taｎ1２α=－,则si n α＝A.1５ B.15- C.５13D.５１３- ２.设a是实数,且１ｉ1ｉ2a ++＋是实数,则a = A.1２B ．１C．3２D．２ 3.已知向量(5６)＝－，ａ,（65)=，ｂ,则a 与bA .垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向D.平行且反向4.已知双曲线的离心率为２,焦点是(4０）-，,(40),，则双曲线方程为A .2214１2x y -= B.２21124ｘｙ－＝C.221106ｘy-= D.22１６1０x y -= ５.设ａｂ∈R，，集合｛}10b a b a b a ⎧⎧＋=⎧⎧⎧⎧，，,，，则b ａ-=A.1Ｂ．1- C .2 Ｄ.2-6.下面给出的四个点中，到直线10ｘｙ－+=的距离为2,且位于10１0ｘｙx ｙ+--＋＞⎧,表示的平面区域内的点是Ａ.（1１), B.（11）-, Ｃ.（１１）-－, Ｄ.(1１)-，7．如图,正四棱柱11１1AＢCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线1ＡB与1AD 所成角的余弦值为A.1５Ｂ.25Ｃ．35 D ．458．设１a>，函数(）log a f xｘ=在区间［]2a a ,上的最大值与最小值之差为12，则a＝B．2C． D ．49.()f x,（）g ｘ是定义在R上的函数,(）()()h x fｘgｘ=+,则“()f ｘ,()ｇx 均为偶函数”是“（）h x为偶函数”的Ａ.充要条件Ｂ．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件Ｄ.既不充分也不必要的条件10.２1ｎx x ⎧⎧－⎧⎧⎧的展开式中,常数项为15,则n =A．3 B．４ C.5 D .611.抛物线24y x =的焦点为Ｆ，准线为l，经过Ｆ的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点Ａ，AK l ⊥，垂足为Ｋ，则AＫF △的面积是 A.４B． C. D．８12.函数22()coｓ2cｏs 2xf x x=－的一个单调增区间是A .23３ππ⎧⎧⎧⎧⎧， B.６2ππ⎧⎧⎧⎧⎧，C.03π⎧⎧⎧⎧⎧, D．６6ππ⎧⎧－⎧⎧⎧，第Ⅱ卷(非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题５分，共20分．把答案填在横线上.1３.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种.（用数字作答)1４．函数()y f x =的图像与函数3ｌog (0)y x x =>的图像关于直线y x=104SDCＢA对称,则()f x =.1５.等比数列｛}n ａ的前n 项和为n Ｓ，已知1S,22S ,33S 成等差数列，则{}n a的公比为.16.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分) 设锐角三角形ABC 的内角A ＢC ，,的对边分别为a b c,，，2sｉn a b A =. (Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求ｃos siｎA C ＋的取值范围. １8.（本小题满分１2分)某商场经销某商品，根据以往资料统计, 顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品,采用1期付款，其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件Ａ：“购买该商品的3位顾客中，至少有１位采用1期付款”的概率()P A ;(Ⅱ)求η的分布列及期望E η．19.(本小题满分１2分）四棱锥ＳAＢCD-中,底面ＡBCＤ为平行四边形,侧面SB Ｃ⊥底面ＡBCD ．已知45ABC =∠,2AB =，BC ＝，SA ＳB ＝＝(Ⅰ）证明SA BC⊥;（Ⅱ)求直线SD 与平面SＡB 所成角的大小．2０.（本小题满分1２分)设函数()ｅｅxxf x-=-．（Ⅰ）证明:（）f x 的导数()2f x '≥；(Ⅱ）若对所有0x ≥都有（)ｆx ａx≥,求a的取值范围.21.(本小题满分１２分）已知椭圆22132x y ＋＝的左、右焦点分别为1Ｆ,２F ．过1F 的直线交椭圆于B D ,两点,过2Ｆ的直线交椭圆于A C ，两点,且AC ＢD⊥，垂足为P .（Ⅰ)设P 点的坐标为０0(）x ｙ,,证明:２200132ｘｙ＋11）(２)n n a a ＋＝+，1２３n =，，,….(Ⅰ)求｛｝ｎ a 的通项公式; （Ⅱ）若数列｛｝n b中１2b=,１3423n n n b b b ＋+=＋,123n=，，,…,43ｎｎ b a -1０５2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国Ⅱ卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．共１５0分，考试时间12０分钟．第Ⅰ卷(选择题共６0分)第Ⅰ卷(选择题）一、选择题 1.sin２１０＝Ｂ.-C.1２D .１2- 2.函数ｓｉn ｙx =的一个单调增区间是Ａ.ππ⎧⎧-⎧44⎧⎧，B.3ππ⎧⎧⎧44⎧⎧, C .3π⎧⎧π⎧2⎧⎧, D．32π⎧⎧π⎧2⎧⎧,3．设复数ｚ满足12ii z＋=,则ｚ=A．２i-+B.2i －- C .2i －Ｄ.２i＋４.下列四个数中最大的是Ａ．2（ｌn2）Ｂ.ln(ln 2）C．ln D .ｌn 2 5．在AＢC△中,已知D 是AB 边上一点,若12３AＤDＢCDＣA CB λ==+，,则λ= A.2３B．13C.1３-D.２３-6．不等式2104ｘx ->-的解集是A．(2１)－，B．(2)+∞, C .(21)(2)-＋∞,, D.（２)（1)－∞-+∞,，7.已知正三棱柱1１1ABC A ＢC -的侧棱长与底面边长相等,则1AB 与侧面11ACＣＡ所成角的正弦值等于A8.已知曲线２3lｎ4ｘyｘ=-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为A .3Ｂ．2C．1D.１２9．把函数e xy ＝的图像按向量（23)＝,ａ平移，得到（)yｆx =的图像,则（)f x=A．3e 2x －＋B.3e 2x+-C .２e 3x-＋ D.2e ３ｘ+-10.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天，要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有A.４０种 B ．６0种C.1０0种Ｄ.120种1１.设1２F Ｆ，分别是双曲线2222x ｙa ｂ-的左、右焦点，若双曲线上存在点Ａ,使129０ＦＡＦ∠=，且１2３AF AF=，则双曲线的离心率为Ｂ12.设F 为抛物线２4y x ＝的焦点，A B C ,,为该抛物线上三点，若FA FＢＦC +＋＝0,则FA FB FＣ++=A．９B．6C．4 Ｄ.3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分.１３.821(12）x x x ⎧⎧＋- ⎧⎧⎧的展开式中常数项为．（用数字作答）1４．在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布2(１)(0)Ｎσσ＞，.若ξ在(01)，内取值的概率为0．4,则ξ在(0２),内取值的概率为.1５.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2ｃm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为１cm ，那么该棱柱的表面积为cｍ２. 16．已知数列的通项５2n ａn ＝-+,其前n 项和为ｎＳ，则２limｎn Ｓn ∞=→.１06三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.１７.(本小题满分10分)在ABＣ△中,已知内角Aπ=３，边ＢC =设内角B x =，周长为y. （Ⅰ）求函数（)ｙf x =的解析式和定义域;(Ⅱ）求y 的最大值.18．（本小题满分1２分）从某批产品中,有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件Ａ:“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.９6ＰＡ=.（Ⅰ)求从该批产品中任取1件是二等品的概率ｐ;(Ⅱ）若该批产品共100件,从中任意抽取2件,ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列. 19.(本小题满分12分）如图,在四棱锥ＳＡBCD -中,底面ABCＤ为正方形,侧棱SD ⊥底面A B C D E F ,，分别为AＢSC ，的中点.（Ⅰ）证明ＥF∥平面SAD；(Ⅱ）设２SD DC =, 求二面角A ＥFＤ-－的大小.20.(本小题满分１2分）在直角坐标系xOｙ中,以O 为圆心的圆与直线4x＝相切．（Ⅰ)求圆O 的方程;(Ⅱ)圆O与x 轴相交于A Ｂ，两点，圆内的动点P 使PA ＰO PB ,,成等比数列，求PA ＰＢ的取值范围. ２1.(本小题满分12分) 设数列{｝n a 的首项113(01)２n ｎａa a －-∈=，，, 23４ｎ=，，,….（Ⅰ)求{}n ａ的通项公式;(Ⅱ）设n b a =,证明1ｎｎｂb +２2．（本小题满分12分）已知函数３（)ｆx x x ＝-．（Ⅰ)求曲线(）yｆx =在点((））M t f t，处的切线方程;(Ⅱ)设０a >，如果过点()ａｂ,可作曲线（)y f x =的三条切线,证明：（)aｂf ａ－A EB CF S D1072008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国Ⅰ卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．共1５0分，考试时间１20分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分)一、选择题1.函数yA.｛|0x x ≥B.{}|1ｘｘ≥Ｃ.｛}{｝|10x x ≥D.{}|０1x x ≤≤２.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程ｓ看作时间t 的函数,其图像可能是３.在ABC△中,AB =ｃ,ＡC =b .若点D满足2ＢD DC ＝，则AD=A.213３＋ｂcＢ.5233－c b C．2133-ｂc D．1２33+b c 4.设a ∈R,且2()ａｉi +为正实数，则a = Ａ．２ B.1 C.0 D.1-5.已知等差数列｛｝n a 满足244aａ+=,3５10a a ＋=，则它的前10项的和10S =Ａ.1３8B.13５C．９5D．2３６.若函数(１)y f x=－的图像与函数lｎ１ｙ＝的图像关于直线y x =对称,则（)f ｘ= Ａ.e ２x-１Ｂ．e ２xC．ｅ2ｘ+1D. ｅ２ｘ+27.设曲线1１x yｘ+=-在点(３2），处的切线与直线10ax y ++=垂直，则ａ=A.2B.１２C.12- D．２-８．为得到函数πcos 23y x ⎧⎧=+ ⎧⎧⎧的图像,只需将函数siｎ2ｙｘ=的图像A.向左平移5π12个长度单位 B.向右平移5π１2个长度单位C．向左平移5π６个长度单位D.向右平移5π6个长度单位9.设奇函数()f x在(0)+∞,上为增函数, 且(1）0ｆ＝,则不等式()()f x f x x--B.(1）(01)－∞－,，C．(1)(1)-∞-+∞,, D.(10)(0１)-,，１0.若直线１x ya b+=通过点(ｃos sｉn )Mαα，，则Ａ.２21ａ b +≤Ｂ.２2１ａb ＋≥C.2211１a b +≤D.22１11a b +≥11.已知三棱柱111ＡBC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为AＢＣ△的中心,则1AB 与底面ABＣ所成角的正弦值等于A.13D.231２.如图，一环形花坛分成A B C D ,,，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为A.96B．8４C.60D.48第Ⅱ卷(非选择题共9０分）二、填空题：本大题共４小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13.若x ｙ，满足约束条件03003x y ｘyｘ＋⎧⎧-＋⎧⎧⎧≥≥≤≤，，,。

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学注意事项:1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（共60分）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求（本大题共12小题,每小题5分,共60分）. 1.设集合2{|}M x x x ==,{|lg 0}N x x =≤,则M N = ( )A .[0,1]B .(0,1]C .[0,1)D .(,1]-∞2.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为 ( ) A .93 B .123 C .137D .1673.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数π3sin()6y x k ϕ=++,据此函数可知,这段时间水深（单位:m ）的最大值为 ( )A .5B .6C .8D .104.二项式*(1)()nx n +∈Ν的展开式中2x 的系数为15,则n =( )A .7B .6C .5D .45.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 为 ( ) A .3π B .4π C .2π+4D .3π+46.“sin cos αα=”是“cos20α=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.对任意向量a ,b ,下列关系式中不恒成立的是( )A .|a b |≤|a ||b |B .|a -b |≤||a |-|b ||C .(a +b )2=|a +b |2D .(a +b )(a -b )=a 2-b 28.根据如图所示的程序框图,当输入x 为2 006时,输出的y =( )A .2B .4C .10D .289.设()ln f x x =,0a b <<,若p f =,()2a bq f +=,1(()())2r f a f b =+,则下列关系式中正确的是( )A .q r p =<B .p r q =<C .q r p =>D .p r q =>10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料,已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1 吨甲、乙产品可获利润分别为3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A .12 万元B .16 万元C .17 万元D .18 万元 11.设复数(1)i(,)z x y x y =-+∈R ,若||1z ≤,则y x ≥的概率为( )A .3142π+ B .112π+ 姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）C .112π- D .1142π- 12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数）,四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A .1-是()f x 的零点B .1是()f x 的极值点C .3是()f x 的极值D .点(2,8)在曲线()y f x =上第二部分（共90分）二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题,每小题5分,共20分）. 13.中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 .14.若抛物线22(0)y p xp =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点,则p = . 15.设曲线x y e =在点(0,1)处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 .16.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示）,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题,共70分）. 17.（本小题满分12分）ABC △的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .向量m ()a =与n (cos ,sin )A B =平行. （Ⅰ）求A ;（Ⅱ）若a =2b =,求ABC △的面积.18.（本小题满分12分）如图1,在直角梯形ABCD 中,AD BC ∥,π2BAD ∠=,1AB BC ==,2AD =,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点．将ABE △沿BE 折起到1A BE △的位置,如图2.（Ⅰ）证明:CD ⊥平面1A OC ;（Ⅱ）若平面1A BE ⊥平面BCDE ,求平面1A BC 与平面1A CD 夹角的余弦值.19.（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100（Ⅰ）求T （Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.20.（本小题满分12分）已知椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的半焦距为c ,原点O 到经过两点(,0)c ,(0,)b 的直线的距离为12c .（Ⅰ）求椭圆E 的离心率;（Ⅱ）如图,AB 是圆M :225(2)(1)2x y ++-=的一条直径,若椭圆E 经过A ,B 两点,求椭圆E 的方程.21.（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列,x ,2,,n 的各项和,其中0x >,n ∈Ν,2n ≥.（Ⅰ）证明:内有且仅有一个零点（记为n x ）,且,其各项和为()n g x ,比较()n f x 与()n g x 的大小,并加以证明.考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,AB 切O 于点B ,直线AO 交O 于D , E 两点,BC DE ⊥,垂足为C . （Ⅰ）证明:CBD DBA ∠=∠;（Ⅱ）若3AD DC =,BC =求O 的直径.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）在直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为13,2,x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C 的极坐标方程为ρθ=.（Ⅰ）写出C 的直角坐标方程;（Ⅱ）P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲已知关于x 的不等式||b x a +<的解集为{|24}xx <<. .2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学答案解析第一部分一、选择题 1.【答案】A【解析】由2{|}{0,1},M x x x M ==⇒=N {|lg 0}N {|01}x x x x =≤⇒=<≤所以[0,1]MN =．【提示】求解一元二次方程化简M ，求解对数不等式化简N ，然后利用并集运算得答案 【考点】并集及其运算 2.【答案】C【解析】初中部女教师的人数为11070%77⨯=；高中部女教师的人数为40150%60⨯=，∴该校女教师的人数为7760137+=，【提示】利用百分比，可得该校女教师的人数． 【考点】收集数据的方法． 3.【答案】C4.【答案】B【解析】二项式(1)n x +的展开式的通项是1r rr n T C x +=， 令2r =得2x 的系数是2n C ， 因为2x 的系数为15，所以215n C =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-， 因为n N +∈，所以6n =【提示】由题意可得215n C =，解关于n 的方程可得．【考点】二项式定理的应用． 5.【答案】D【解析】根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为2π1π1222V =+⨯⨯+⨯g 几何体3π4=+【提示】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积．【考点】由三视图求面积，体积 6.【答案】A【解析】22cos20cos sin 0ααα=⇒-=(cos sin )(cos sin )0αααα⇒-+=所以sin cos sin =cos αααα=-或【提示】由22cos2cos sin ααα=-，即可判断出．数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 7.【答案】B【解析】因为||||cos ,||||a b a b a b a b =<>≤r r r r r r r rg ，所以选项A 正确； 当a r 与b r 方向相反时，||||||a b a b -≤-r r r r不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；22(a b)(a b)a b +-=-r r r r rr 所以选项D 正确【提示】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得． 【考点】平面向量数量积的运算 8.【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得20062004x x ==，满足条件02002x x ≥=， 满足条件02000x x≥=， ……满足条件00x x ≥=， 满足条件0x ≥， 不满足条件010x y ≥=， 输出y 的值为10【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x 的值，当2x =-时不满足条件0x ≥，计算并输出y 的值为10.【考点】程序框图 9.【答案】B【解析】p f ==，ln22a b a b q f ++⎛⎫== ⎪⎝⎭， ()11()()ln 22r f a f b ab =+==函数()lnf x x =在(0,)+∞上单调递增， 因为2a b+>2a b f f +⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以q p r >=即每天生产甲乙两种产品分别为2，3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元数学试卷 第9页（共18页） 数学试卷 第10页（共18页）4242π12.【答案】A【解析】假设选项A 错误，则选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b '=+， 因为1是()f x 的极值点，3是()f x 的极值，所以(1)0(1)3f f '=⎧⎨=⎩，203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，解得23b a c a =-⎧⎨=+⎩，因为点(2,8)在曲线()y f x =上，所以428a b c ++=， 解得：5a =，所以10b =-，8c =， 所以2()5108f x x x =-+因为()215(1)10(1)8230f -=⨯--⨯-+=≠， 所以1-不是()f x 的零点，所以假设成立，选A【提示】可采取排除法．分别考虑A ，B ，C ，D 中有一个错误，通过解方程求得a ，判断是否为非零整数，即可得到结论． 【考点】二次函数的性质．第二部分二、填空题 13.【答案】5【解析】解：设该等差数列的首项为a ，由题意和等差数列的性质可得201510102a +=⨯ 解得5a =【提示】由题意可得首项的方程，解方程可得． 【考点】等差数列 14.【答案】【解析】抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2p x =-， 双曲线221x y -=的一个焦点1(F ， 因为抛物线22(0)y px p =>的准线 经过双曲线221x y -=的一个焦点，所以p-=p =16.【答案】1.2数学试卷 第11页（共18页）317.【答案】（Ⅰ）3A = （Ⅱ）sin 3又由a b >，知A B >，所以cos B =故sin sin()C A B =+πsin 3B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 33B B =+= 所以ABC ∆的面积为1sin bc A =18.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ），取1)1(0n =，，，m n >==g u r r数学试卷 第14页（共18页）332ET =（分钟）（Ⅱ）0.91（Ⅱ）221x y +=数学试卷 第15页（共18页） 数学试卷 第16页（共18页）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=，①设出直线AB 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得23b =，即可得到椭圆方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，曲线与方程22.【答案】（Ⅰ）见解析数学试卷 第17页（共18页）数学试卷 第18页（共18页）【提示】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：CBD DBA ∠=∠； （Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求O 的直径．【考点】直线与圆的位置关系 23.【答案】（Ⅰ）22(3x y += （Ⅱ）()3,0P24.【答案】（Ⅰ）31a b =-⎧⎨=⎩。

2015年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|（）x≤1}，B＝{x|x≥2}，A∩（∁R B）＝（）A．[0，2）B．[0，2]C．（1，2）D．（1，2] 2．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2﹣i，则|z+i|＝（）A．B．C．2D．3．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）A．B．C．D．4．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣3]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）5．（5分）一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2：经过椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．2D．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A．14B．30C．20D．558．（5分）在数阵里，每行、每列的数依次均成等差数列，其中a22＝2，则所有数的和为（）A．18B．17C．19D．219．（5分）如图所示为函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象，A，B两点之间的距离为5，且f（1）＝0，则f（﹣1）＝（）A．B．2C．D．10．（5分）函数f（x）＝ln（x﹣）的图象大致是（）A．B．C．D．11．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB＝1：2，AB⊥平面α，H 为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为（）A．B．4πC．D．12．（5分）弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在在棋盘上将他们叠成正四面体球堆，试剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有（）颗．A．11B．4C．5D．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知向量，，则在方向上的投影为．14．（5分）若x、y满足条件，则z＝x+3y的最大值为．15．（5分）＝．16．（5分）设f（x）＝，x＝f（x）有唯一解，f（x0）＝，f（x n﹣1）＝x n，n＝1，2，3，…，则x2015＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC 的面积为S＝ac cos B．（1）若c＝2a，求角A，B，C的大小；（2）若a＝2，且≤A≤，求边c的取值范围．18．（12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑色球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD 的交点，AC⊥BC，且AC＝BC．（Ⅰ）求证：AM⊥平面EBC；（Ⅱ）求二面角A﹣EB﹣C的大小．20．（12分）如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1．过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足k AD•k AE＝2．（1）求抛物线C的方程；（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．21．（12分）已知函数．（I）若f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（II）当m＝1，且1≥a＞b≥0时，证明：．选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠P AB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q．（Ⅰ）求证：QC•BC＝QC2﹣QA2；（Ⅱ）若AQ＝6，AC＝5．求弦AB的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知f（x）＝|x+l|+|x﹣2|，g（x）＝|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．2015年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|（）x≤1}，B＝{x|x≥2}，A∩（∁R B）＝（）A．[0，2）B．[0，2]C．（1，2）D．（1，2]【解答】解：由集合A中（）x≤1，得到x≥0，即A＝[0，+∞），∵B＝{x|x≥2}，∴（∁R B）＝{x|x＜2}＝（﹣∞，2），则A∩（∁R B）＝[0，2），故选：A．2．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2﹣i，则|z+i|＝（）A．B．C．2D．【解答】解：∵复数z满足（1+i）z＝2﹣i，∴（1﹣i）（1+i）z＝（1﹣i）（2﹣i），化为2z＝1﹣3i，∴z＝，∴z+i＝．∴|z+i|＝＝．故选：B．3．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）A．B．C．D．【解答】解：A中，的三视图为：，满足条件；B中，的侧视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；C中，的侧视图和俯视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；D中，的三视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；故选：A．4．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣3]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由x2+2x﹣3＞0得x＞1或x＜﹣3，即p：x＞1或x＜﹣3，￢p：﹣3≤x≤1，∵q：x＞a，∴￢q：x≤a，若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则￢p⇒￢q成立，但￢q⇒￢p不成立，∴a≥1，故选：D．5．（5分）一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题知小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为p＝．故选：C．6．（5分）已知圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2：经过椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：由题意得，椭圆的右焦点F为（c，0）、上顶点B为（0，b），因为圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2经过右焦点F和上顶点B，所以，解得b＝c＝2，则a2＝b2+c2＝8，解得a＝，所以椭圆C的离心率e＝＝＝，故选：D．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A．14B．30C．20D．55【解答】解：由程序框图知：第一次运行S＝1，i＝1+1＝2，不满足条件i＞4，循环，第二次运行S＝1+4＝5，i＝2+1＝3，不满足条件i＞4，循环，第三次运行S＝5+9＝14，i＝3+1＝4，不满足条件i＞4，循环，第四次运行S＝14+16＝30，i＝4+1＝5，满足条件i＞4，终止程序，输出S＝30，故选：B．8．（5分）在数阵里，每行、每列的数依次均成等差数列，其中a22＝2，则所有数的和为（）A．18B．17C．19D．21【解答】解：∵数阵里，每行、每列的数依次均成等差数列，其中a22＝2，∴a12+a22+a32＝3a22＝6，又每行的3个数依次成等差数列，∴a11+a12+a13＝3a12，a21+a22+a23＝3a22，a31+a32+a33＝3a32，∴a11+a12+a13+a21+a22+a23+a31+a32+a33＝3a12+3a22+3a32＝3×3a22＝18，故选：A．9．（5分）如图所示为函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象，A，B两点之间的距离为5，且f（1）＝0，则f（﹣1）＝（）A．B．2C．D．【解答】解：∵A，B两点之间的距离为5，则有：＝5，求得T＝6，∴ω＝＝，∴f（x）＝2sin（x+φ），∵f（1）＝2sin（+φ）＝0，∴+φ＝kπ，k∈Z，∴可解得：φ＝kπ﹣，k∈Z，∵，∴φ＝，∴f（﹣1）＝2sin（﹣+）＝2×＝，故选：A．10．（5分）函数f（x）＝ln（x﹣）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由x﹣＞0 得，﹣1＜x＜0或x＞1，即函数的定义域为{x|﹣1＜x＜0或x＞1}，故A，D错误．当x＞1时，y＝x﹣为增函数，∴f（x）＝ln（x﹣）也为增函数，∴排除C，故选：B．11．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB＝1：2，AB⊥平面α，H 为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为（）A．B．4πC．D．【解答】解：设球的半径为R，∵AH：HB＝1：2，∴平面α与球心的距离为R，∵α截球O所得截面的面积为π，∴d＝R时，r＝1，故由R2＝r2+d2得R2＝12+（R）2，∴R2＝∴球的表面积S＝4πR2＝．故选：C．12．（5分）弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在在棋盘上将他们叠成正四面体球堆，试剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有（）颗．A．11B．4C．5D．0【解答】解：依题设第k层正四面体为1+2+…+k＝，则前k层共有（12+22+…+k2）+（1+2+…+k）＝≤60∴k最大为6，剩4，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知向量，，则在方向上的投影为．【解答】解：∵向量，，∴在方向上的投影为||cos＜，＞＝||×＝＝＝．故答案为：．14．（5分）若x、y满足条件，则z＝x+3y的最大值为11．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x+3y，得平移直线，由图象可知当，经过点C时，直线截距最大，此时z最大．由得，即A（2，3），此时z＝x+3y＝2+3×3＝11，故答案为：11．15．（5分）＝+．【解答】解：＝＝+++﹣+＝+．故答案为：+．16．（5分）设f（x）＝，x＝f（x）有唯一解，f（x0）＝，f（x n﹣1）＝x n，n＝1，2，3，…，则x2015＝．【解答】解：∵f（x）＝，f（x）＝x有唯一解，∴x＝，解得x＝0或x＝﹣2，由题意知﹣2＝0，∴a＝，f（x）＝，）＝，∴x n＝f（x n﹣1∴﹣＝，又∵x1＝f（x0）＝，∴＝1008，∴数列{}是首项为1008，公差等于的等差数列．∴＝1008+（2015﹣1）•＝2015，∴x2015＝．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC 的面积为S＝ac cos B．（1）若c＝2a，求角A，B，C的大小；（2）若a＝2，且≤A≤，求边c的取值范围．【解答】解：由已知及三角形面积公式得S＝ac sin B＝ac cos B，化简得sin B＝cos B，即tan B＝，又0＜B＜π，∴B＝．（1）解法1：由c＝2a，及正弦定理得，sin C＝2sin A，又∵A+B＝，∴sin（﹣A）＝2sin A，化简可得tan A＝，而0＜A＜，∴A＝，C＝．解法2：由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+4a2﹣2a2＝3a2，∴b＝，∴a：b：c＝1：，知A＝，C＝．（2）由正弦定理得，即c＝，由C＝﹣A，得＝＝＝+1又由≤A≤，知1≤tan A≤，故c∈[2，]．18．（12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑色球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（I）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B．∵事件A，B相互独立，且．∴取出的4个球均为黑球的概率为P（A•B）＝P（A）•P（B）＝．（II）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．∵事件C，D互斥，且．∴取出的4个球中恰有1个红球的概率为P（C+D）＝P（C）+P（D）＝．（III）ξ可能的取值为0，1，2，3．由（I），（II）得，又，从而P（ξ＝2）＝1﹣P（ξ＝0）﹣P（ξ＝1）﹣P（ξ＝3）＝．ξ的分布列为ξ的数学期望．19．（12分）如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD 的交点，AC⊥BC，且AC＝BC．（Ⅰ）求证：AM⊥平面EBC；（Ⅱ）求二面角A﹣EB﹣C的大小．【解答】（本小题满分12分）几何法：（Ⅰ）证明：∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥EC，又∵平面ACDE⊥平面ABC，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面EAC，…（3分）∵BC⊄平面EAC，∴BC⊥AM，又∵EC∩BC＝C，∴AM⊥平面EBC．…（6分）（Ⅱ）解：过A作AH⊥EB于H，连结HM，∵AM⊥平面EBC，∴AM⊥EB，∴EB⊥平面AHM，∴∠AHM是二面角A﹣EB﹣C的平面角，…（8分）∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB，在Rt△EAB中，AH⊥EB，有AE•AB＝EB•AH，设EA＝AC＝BC＝2a，得，AB＝2a，EB＝2a，∴＝，∴sin＝，∴∠AHM＝60°．∴二面角A﹣EB﹣C等于60°．…（12分）向量法：（Ⅰ）证明：∵四边形ACDE是正方形，∴EA⊥AC，∵平面ACDE⊥平面ABC，EA⊥平面ABC，…（2分）∴以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，设EA＝AC＝BC＝2，则A（0，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2），M是正方形ACDE的对角线的交点，M（0，1，1），…（4分）＝（0，1，1），＝（0，2，﹣2），，∴，∴AM⊥EC，AM⊥BC，又EC∩BC＝C，∴AM⊥平面EBC．…（6分）（2）设平面EAB的法向量为，则，∴，取y＝﹣1，则x＝1，则＝（1，﹣1，0），…（10分）又∵为平面EBC的一个法向量，∴cos＜＞＝＝﹣，设二面角A﹣EB﹣C的平面角为θ，则cosθ＝|cos＜＞|＝，∴θ＝60°，∴二面角A﹣EB﹣C等于60°．…（12分）20．（12分）如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1．过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足k AD•k AE＝2．（1）求抛物线C的方程；（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线方程为C：y2＝2px（p＞0），由其定义知，又|AF|＝2，所以p＝2，y2＝4x；（2）易知A（1，2），设D（x1，y1），E（x2，y2），DE方程为x＝my+n（m≠0），把DE方程代入C，并整理得y2﹣4my﹣4n＝0，△＝16（m2+n）＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，由及，得y1y2+2（y1+y2）＝4，即﹣4n+2×4m＝4，所以n＝2m﹣1，代入DE方程得：x＝my+2m﹣1，即（y+2）m＝x+1，故直线DE过定点（﹣1，﹣2）．21．（12分）已知函数．（I）若f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（II）当m＝1，且1≥a＞b≥0时，证明：．【解答】解：（I），∴．对，，故不存在实数m，使对恒成立，由对恒成立得，m≥对恒成立而＜0，故m≥0经检验，当m≥0时，对恒成立∴当m≥0时，f（x）为定义域上的单调递增函数．（II）证明：当m＝1时，令，在[0，1]上总有g′（x）≥0，即g（x）在[0，1]上递增∴当1≥a＞b≥0时，g（a）＞g（b），即．令，由（2）知它在[0，1]上递减，∴h（a）＜h（b）即综上所述，当m＝1，且1≥a＞b≥0时，＜．选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠P AB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q．（Ⅰ）求证：QC•BC＝QC2﹣QA2；（Ⅱ）若AQ＝6，AC＝5．求弦AB的长．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣1：几何证明选讲1证明：（1）∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠P AC＝∠CBA，∵∠P AC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠CBA，∴AC＝BC＝5，由切割线定理得：QA2＝QB•QC＝（QC﹣BC）•QC，∴QC•BC＝QC2﹣QA2．（5分）（2）由AC＝BC＝5，AQ＝6 及（1），知QC＝9，∵直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∴∠QAB＝∠ACQ，又∠Q＝∠Q，∴△QAB∽△QCA，∴＝，∴AB＝．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分又由得ρ2＝2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2＝5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3﹣t）2+（t）2＝5，即t2﹣3t+4＝0设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2＝3又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|P A|+|PB|＝|t1|+|t2|＝t1+t2＝3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．【选修4-5：不等式选讲】24．已知f（x）＝|x+l|+|x﹣2|，g（x）＝|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝|x+l|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，而﹣2 对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f（x）≤5的解集为[﹣2，3]．（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，即|x﹣2|+|x﹣a|≥a恒成立．而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|＝|a﹣2|，∴|a﹣2|≥a，∴（2﹣a）2≥a2，解得a≤1，故a的范围（﹣∞，1]．。

2015年陕西省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合A＝{x|y＝lg（3﹣2x）}，集合B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A．B．（﹣∞，1]C．D．2．（5分）已知复数z1＝2+i，z2＝1﹣2i，若，则＝（）A．B．C．i D．﹣i3．（5分）若f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）＝0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若过点A（0，﹣1）的直线l与圆x2+（y﹣3）2＝4的圆心的距离记为d，则d的取值范围为（）A．[0，4]B．[0，3]C．[0，2]D．[0，1] 5．（5分）周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估计做对第二道题的概率为（）A．0.80B．0.75C．0.60D．0.486．（5分）一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A．3B．2C．D．7．（5分）如图，给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤2021B．i≤2019C．i≤2017D．i≤2015 8．（5分）已知直线y＝﹣x+m是曲线y＝x2﹣3lnx的一条切线，则m的值为（）A．0B．2C．1D．39．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝的取值范围为（）A．[﹣3，3]B．[﹣3，﹣2]C．[﹣2，2]D．[2，3] 10．（5分）已知直线l：x﹣y﹣m＝0经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，l 与C交于A、B两点．若|AB|＝6，则p的值为（）A．B．C．1D．211．（5分）在正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝1，A′A＝2，则A′C 与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝πx和函数g（x）＝sin4x，若f（x）的反函数为h （x），则h（x）与g（x）两图象交点的个数为（）A．1B．2C．3D．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）的展开式中的常数项等于．14．（5分）已知向量是两个不共线的向量，若与共线，则λ＝．15．（5分）双曲线＝1的两条渐近线与右准线围成的三角形的面积为．16．（5分），f2（x）＝sin x sin（π+x），若设f（x）＝f1（x）﹣f2（x），则f（x）的单调递增区间是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知，正项数列{a n}是首项为2的等比数列，且a2+a3＝24．（1）求{a n}的通项公式．（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1．（1）证明：EM⊥BF；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．19．（12分）有一种密码，明文是由三个字母组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表，明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同次序排列组成；（如：明文取的是三个字母为AFP，则与他对应的五个数字（密码）就为11223．）（Ⅰ）假设明文是BGN，求这个明文对应的密码；（Ⅱ）设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数，①求P（ξ＝2）；②求ξ的概率分布列和它的数学期望．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＝1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|＝3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝x•lnx，g（x）＝ax3﹣x﹣．（1）求f（x）的单调增区间和最小值；（2）若函数y＝f（x）与函数y＝g（x）在交点处存在公共切线，求实数a的值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l 的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC＝PD．（Ⅰ）求证：l是⊙O的切线；（Ⅱ）若⊙O的半径OA＝5，AC＝4，求CD的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l的参数方程是（t是参数），⊙C的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）试判断直线l与⊙C的位置关系．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣3|（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．2015年陕西省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合A＝{x|y＝lg（3﹣2x）}，集合B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A．B．（﹣∞，1]C．D．【解答】解：由A中y＝lg（3﹣2x），得到3﹣2x＞0，解得：x＜，即A＝（﹣∞，），由B中y＝，得到1﹣x≥0，即x≤1，∴B＝（﹣∞，1]，则A∩B＝（﹣∞，1]．故选：B．2．（5分）已知复数z1＝2+i，z2＝1﹣2i，若，则＝（）A．B．C．i D．﹣i【解答】解：∵复数z1＝2+i，z2＝1﹣2i，∴＝＝＝＝i，则＝﹣i．故选：D．3．（5分）若f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）＝0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据奇函数的性质可知，奇函数的定义域关于原点对称，若f（0）＝0，则f（﹣x）＝f（x）不一定成立，所以y＝f（x）不一定是奇函数．比如f（x）＝|x|，若y＝f（x）为奇函数，则定义域关于原点对称，∵f（x）是定义在R上的函数．∴f（0）＝0，即“f（0）＝0”是“函数f（x）为奇函数”的必要不充分条件，故选：A．4．（5分）若过点A（0，﹣1）的直线l与圆x2+（y﹣3）2＝4的圆心的距离记为d，则d的取值范围为（）A．[0，4]B．[0，3]C．[0，2]D．[0，1]【解答】解：圆x2+（y﹣3）2＝4的圆心（0，3），半径为2，过点A（0，﹣1）的直线l与圆x2+（y﹣3）2＝4的圆心的距离记为d，最小值就是直线经过圆的圆心，最大值就是点与圆心的连线垂直时的距离．d的最小值为0，最大值为：＝4．d∈[0，4]．故选：A．5．（5分）周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估计做对第二道题的概率为（）A．0.80B．0.75C．0.60D．0.48【解答】解：设事件A i（i＝1，2）表示“做对第i道题”，A1，A2相互独立，由已知得P（A1）＝0.8，P（A1A2）＝0.6，∴P（A1A2）＝P（A1）P（A2）＝0.8P（A2）＝0.6，解得P（A2）＝＝0.75．故选：B．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A．3B．2C．D．【解答】解：三视图复原的几何体的三棱锥，是长方体的一个角出发的三条棱的顶点的连线组成的三棱锥，三度分别为：2，1，2，三棱锥的体积为：．故选：D．7．（5分）如图，给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤2021B．i≤2019C．i≤2017D．i≤2015【解答】解：根据流程图，可知第1次循环：S＝，i＝4；第2次循环：S＝，i＝6；第3次循环：S＝……第1008次循环：S＝，i＝2016；此时，i＝2018，设置条件退出循环，输出S的值．故判断框内可填入i≤2016．对比选项，故选：C．8．（5分）已知直线y＝﹣x+m是曲线y＝x2﹣3lnx的一条切线，则m的值为（）A．0B．2C．1D．3【解答】解：曲线y＝x2﹣3lnx（x＞0）的导数为：y′＝2x﹣，由题意直线y＝﹣x+m是曲线y＝x2﹣3lnx的一条切线，可知2x﹣＝﹣1，所以x＝1，所以切点坐标为（1，1），切点在直线上，所以m＝1+1＝2．故选：B．9．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝的取值范围为（）A．[﹣3，3]B．[﹣3，﹣2]C．[﹣2，2]D．[2，3]【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则z的几何意义为区域内的点D（﹣2，0）的斜率，由图象知DB的斜率最小，DA的斜率最大，由，解得，即A（﹣1，2），则DA的斜率k DA＝，由，解得，即B（﹣1，﹣2），则DB的斜率k DB＝，则﹣2≤z≤2，故的取值范围是[﹣2，2]，故选：C．10．（5分）已知直线l：x﹣y﹣m＝0经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，l 与C交于A、B两点．若|AB|＝6，则p的值为（）A．B．C．1D．2【解答】解：由得：x2﹣（2m+2p）x+m2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝2m+2p；又直线l：x﹣y﹣m＝0经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点（，0），∴﹣0﹣m＝0，解得：m＝．又|AB|＝（x1+）+（x2+）＝x1+x2+p＝2m+3p＝4p＝6，∴p＝．故选：B．11．（5分）在正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝1，A′A＝2，则A′C 与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】：如图：正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝1，A′A＝2，连结A′B，则A′C与BC所成角就是直角三角形A′BC中的∠A′CB，A′C与BC所成角的余弦值为：＝＝．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝πx和函数g（x）＝sin4x，若f（x）的反函数为h （x），则h（x）与g（x）两图象交点的个数为（）A．1B．2C．3D．0【解答】解：由y＝f（x）＝πx，得x＝logπy，x，y互换得：y＝logπx，即h（x）＝logπx．又g（x）＝sin4x，如图，由图可知，h（x）与g（x）两图象交点的个数为3．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）的展开式中的常数项等于﹣160．【解答】解：的展开式中的通项公式为T r+1＝•26﹣r•（﹣1）r•x3﹣r，令3﹣r＝0，求得r＝3，故展开式中的常数项等于﹣23•＝﹣160，故答案为：﹣160．14．（5分）已知向量是两个不共线的向量，若与共线，则λ＝﹣．【解答】解：∵向量是两个不共线的向量，不妨以、为基底，则＝（2，﹣1），＝（1，λ）；又∵、共线，∴2λ﹣（﹣1）×1＝0；解得λ＝﹣．故答案为：．15．（5分）双曲线＝1的两条渐近线与右准线围成的三角形的面积为．【解答】解：双曲线＝1的渐近线方程为y＝x，右准线方程为x＝即为x＝1，解得渐近线与右准线的交点为（1，），（1，﹣），则围成的三角形的面积为×═．故答案为：．16．（5分），f2（x）＝sin x sin（π+x），若设f（x）＝f1（x）﹣f2（x），则f（x）的单调递增区间是[kπ，kπ+]．【解答】解：f（x）＝f1（x）﹣f2（x）＝sin（+x）cos x﹣sin x sin（π+x）＝﹣cos2x+sin2x＝﹣cos2x，故本题即求函数y＝cos2x的减区间．令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，求得kπ≤x≤kπ+，可得函数y＝cos2x的减区间为，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知，正项数列{a n}是首项为2的等比数列，且a2+a3＝24．（1）求{a n}的通项公式．（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由a1＝2，a2+a3＝24，得2（q+q2）＝24，解得：q＝﹣4（舍）或q＝3．则；（2）b n＝＝．则．则．两式作差得：＝．故．18．（12分）如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1．（1）证明：EM⊥BF；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EA⊥BM．又∵BM⊥AC，EA∩AC＝A，∴BM⊥平面ACFE，而EM⊂平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC＝90°．又∵∠BAC＝30°，AC＝4，∴，AM＝3，CM＝1．∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，∴FC⊥平面ABC．∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．∴∠EMA＝∠FMC＝45°．∴∠EMF＝90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．∵MF∩BM＝M，∴EM⊥平面MBF．而BF⊂平面MBF，∴EM⊥BF．（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．由（1）知FC ⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，∴FC⊥BG．而FC∩CH＝C，∴BG⊥平面FCH．∵FH⊂平面FCH，∴FH⊥BG，∴∠FHC 为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AC＝4，∴，由，得GC＝2．∵，又∵△GCH∽△GBM，∴，则．∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC＝45°，∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为．19．（12分）有一种密码，明文是由三个字母组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表，明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同次序排列组成；（如：明文取的是三个字母为AFP，则与他对应的五个数字（密码）就为11223．）（Ⅰ）假设明文是BGN，求这个明文对应的密码；（Ⅱ）设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数，①求P（ξ＝2）；②求ξ的概率分布列和它的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵明文是BGN，且B对应的数字是12，G对应的数字是23，N对应的数字是2，∴明文BGN对应的密码是12232．（Ⅱ）①∵ξ＝2，∴密码中只有两个不同的数字，注意到密码的第一、二列只有数字1，2，故只能取表格的第一、二列中的数字作密码，∴P（ξ＝2）＝＝．②由已知得ξ的可能取值为2，3，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝1﹣＝，∴ξ的分布列为：Eξ＝＝．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＝1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|＝3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，e＝，则a＝c，b＝c，∴AB+CD＝2a+2，所以c＝1．所以椭圆的方程为＝1．（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，＝＝2；由题意知S四边形②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），且设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），则直线CD的方程为y＝﹣（x﹣1）．将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，所以AB＝．同理，CD＝．＝所以S四边形＝＝＝＝，∵+1＝9当且仅当k＝±1时取等号∴综合①与②可知21．（12分）已知函数f（x）＝x•lnx，g（x）＝ax3﹣x﹣．（1）求f（x）的单调增区间和最小值；（2）若函数y＝f（x）与函数y＝g（x）在交点处存在公共切线，求实数a的值．【解答】解：（1）f′（x）＝1+lnx，令f′（x）＝1+lnx＞0解得，x＞；故f（x）的单调增区间为（，+∞）；f（x）的单调减区间为（0，）；故f（x）的最小值为f（）＝﹣；（2）f′（x）＝1+lnx，g′（x）＝3ax2﹣，∵函数y＝f（x）与函数y＝g（x）在交点处存在公共切线，∴1+lnx＝3ax2﹣①，x•lnx＝ax3﹣x﹣②；由①得，ax2＝+；代入②得，x•lnx＝x（+）﹣x﹣；化简可得，xlnx＝﹣；故x＝；故3a﹣＝0；解得a＝．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l 的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC＝PD．（Ⅰ）求证：l是⊙O的切线；（Ⅱ）若⊙O的半径OA＝5，AC＝4，求CD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD．又OA＝OB，PC＝PD，所以OP∥BD，从而OP⊥l．因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．（Ⅱ）解：由上知OP＝（AC+BD），所以BD＝2OP﹣AC＝6，过点A作AE⊥BD，垂足为E，则BE＝BD﹣AC＝6﹣4＝2，在Rt△ABE中，AE＝＝4，∴CD＝4．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l的参数方程是（t是参数），⊙C的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）试判断直线l与⊙C的位置关系．【解答】解：（I）由⊙C的极坐标方程为，展开化为，即x2+y2＝，化为．∴圆心C．（II）由直线l的参数方程（t是参数），消去参数t可得x﹣y+4＝0，∴圆心C到直线的距离d＝＝5＞1＝R，因此直线l与圆相离．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣3|（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣3|，∴不等式f（x）≤6 等价于①，或②，或③．解①求得﹣1≤x＜﹣；解②求得﹣≤x≤；解③求得＜x≤2．综合可得，原不等式的解集为[﹣1，2]．（2）∵f（x）＝|2x+1|+|2x﹣3|≥|2x+1﹣（2x﹣3）|＝4，则f（x）的最小值为4．若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，则|a﹣2|≥4，a﹣2≥4，或a﹣2≤﹣4，求得a≥6，或a≤﹣2，故a的范围为{a|a≥6，或a≤﹣2 }．。

2015陕西高考模拟测试一2015年陕西省高考模拟检测试卷（一）理科数学考生须知：1.设全集U=R，A={x|x(x-2)<0},B={x|y=ln(1-x)}，则A∩(ðU B)是( )(A)(-2，1) (B)(1，2)(C)(-2，1］(D)［1，2)2.集合A＝{12x|y x=},B={y|y=log2x,x>0},则A∩B等于（）(A)R (B)Ø(C)[0,+∞) (D)(0,+∞)3.已知集合M={x|y=2x-}，集合N={y|y=x2-2x+1,x∈R},则M∩N=( )(A){x|x≤2} (B){x|x≥2}(C){x|0≤x≤2} (D)Ø4.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若A∩B=Ø，则实数a的取值范围是( )(A){a|0≤a≤6} (B){a|a≤2或a≥4}(C){a|a≤0或a≥6} (D){a|2≤a≤4}5.已知集合A={x|(x2+ax+b)(x-1)=0},集合B满足条件A∩B＝{1,2}，若U=R且A∩(ðU B)={3},则a+b=（）(A)-1 (B)1 (C)3 (D)116.集合S⊆{1,2,3,4,5},且满足“若a∈S，则6-a∈S”，这样的非空集合S共有( )(A)5个(B)7个(C)15个(D)31个7.命题“若x,y都是偶数，则x+y也是偶数”的否命题是( )(A)若x,y都是偶数，则x+y不是偶数(B)若x,y都不是偶数，则x+y不是偶数(C)若x,y都不是偶数，则x+y是偶数(D)若x,y不都是偶数，则x+y不是偶数8.已知函数y=f(x)的定义域为D，且D关于坐标原点对称，则“f(0)=0”是“y=f(x)为奇函数”的( )(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件9.下列说法错误的是（）试卷类型：A(A)命题“若x 2-4x+3=0则x=3”的逆否命题是“若x ≠3则x 2-4x+3≠0” (B)“x>1”是“｜x ｜>0”的充分不必要条件 (C)若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题(D)命题p ：“∃x ∈R 使得x 2+x+1<0”,则⌝p ：“∀x ∈R 均有x 2+x+1≥0” 10.已知命题p ：存在x 0∈(-∞,0), 00x x 23<；命题q ：△A C 中，若sinA>sinB ，则A>B ，则下列命题为真命题的是( ) ()p ∧q(B)p ∨(⌝q)()(⌝p)∧q()p ∧(⌝q)11.命题：（1）⌝x ∈R,2x-1>0,(2) ∀x ∈N *,(x-1)2>0, (3)∃x 0∈R,lgx 0<1,(4)若p:1x 1- >0,则⌝p:1x 1-≤0,(5)∃x 0∈R,sinx 0≥1其中真命题个数是（ ） ()1()2()3()412.已知命题p:“∀x ∈［0,1］,a ≥e x”，命题q ：“∃x 0∈R ，20x +4x 0+a=0”，若命题“p ∧q ”是假命题，则实数a 的取值范围是( )()(-∞,4］ ()(-∞,1)∪(4,+∞) ()(-∞,e)∪(4,+∞) ()(1,+∞)13.设集合A={5，log 2(a+3)}，集合B={a,b}，若A ∩B={2}，则A ∪B=_______. 14.已知集合A={x|x ≤a},B={x|1≤x ≤2},且A ∪ðR B=R,则实数a 的取值范围是________. 15.若“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为______. 16.若∀a ∈(0,+∞), ∃θ∈R ，使asin θ≥a 成立，则cos(θ- 6π)的值为________ 三 解答题 （要求有求解思路和解题步骤） 17.（本题满分12分）已知集合A={-4，2a-1，a 2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的a 的值. (1)9∈(A ∩B); (2){9}=A ∩B.18.（本题满分12分）设集合A={x|-1≤x ≤2},B={x|x 2-(2m+1)x+2m<0}. (1)当m<12时，化简集合B ； (2)若A ∪B=A ，求实数m 的取值范围；(3)若ðR A ∩B 中只有一个整数，求实数m 的取值范围.19.（本题满分12分）已知命题p:A={x|x 2-2x-3<0,x ∈R}, q:B={x|x 2-2mx+m 2-9<0, x ∈R,m ∈R}. (1)若A ∩B=(1,3)，求实数m 的值；(2)若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.20.（本题满分12分） 已知集合A={y|y=x 2-32x+1,x ∈［34,2］},B={x|x+m 2≥1}.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件,求实数m 的取值范围.21.（本题满分12分）已知命题p:方程2x 2+ax-a 2=0在［-1，1］上有解；命题q:只有一个实数x 0满足不等式20x +2ax 0+2a ≤0,若命题“p ∨q ”是假命题，求a 的取值范围. 写出下列命题的否定，并判断真假. (1)q: x ∈R ，x 不是5x-12=0的根;(2)r:有些素数是奇数;(3)s: ∃x0∈R，|x0|＞0.24.（本小题10分）求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.1.【解析】选D.由x(x-2)<0得0<x<2，∴A={x|0<x<2},由1-x>0得x<1，∴B={x|x<1},∴ðU B={x|x≥1},∴A∩(ðU B)={x|1≤x<2}.2.【解析】选C.A={12x|y x= }={x|x≥0}=[0,+∞),B={y|y=log2x,x∈(0,+∞)}=R,∴A∩B=[0,+∞).3.【解析】选C.由2-x≥0得x≤2，∴M={x|x≤2}, ∵y=x2-2x+1=(x-1)2≥0.∴N={y|y≥0},∴M∩N={x|0≤x≤2}.4.【解析】选C.由|x-a|<1得a-1<x<a+1,又A∩B=Ø，所以a+1≤1或a-1≥5,解得a≤0或a≥6.5.【解析】选B.由题意知A={1,2,3}，即2，3是方程x2+ax+b=0的两根，∴b=2×3=6,a=-(2+3)=-5,∴a+b=1.6.【解析】选B.若满足条件,则单元素的集合为{3};两个元素的集合为{1,5}，{2,4};三个元素的集合为{1,3,5},{2,3,4};四个元素的集合为{1,2,4,5}；五个元素的集合为{1,2,3,4,5}，共有7个.7.【解析】选D.“都是”的否定是“不都是”，故其否命题是：“若x,y不都是偶数，则x+y不是偶数”.8.【解析】选D.若f(x)=x2，则满足f(0)=0，但f(x)是偶函数；若f(x)=1x，则函数f(x)是奇函数，但f(0)没有意义，故选D.9.【解析】选C.∵若p且q为假命题，则p与q 至少有一个为假命题.10.【解析】选.因为当x＜0时，(23)x>1，即2x>3x，所以命题p为假，从而⌝p为真．△ABC中，由sinA>sinB⇒a>b⇒A>B，所以命题q为真.故选C.11.【解析】选.（1）根据指数函数的性质，正确；（2）当x=1时，不成立，故错误；（3）x=1时，lgx=0<1，故正确；（4）⌝p应为：“1x1-≤0或x=1”,故错误；（5）存在x=2π使sinx≥1成立，故真命题有3个.12.【解题指南】“p∧q”为假命题是“p∧q”为真命题的否定，故可先求出“p∧q”为真命题时a的取值范围，再根据补集的思想求“p∧q”为假命题时a的取值范围.【解析】选.当p为真命题时，a≥e；当q为真命题时,x2+4x+a=0有解，则Δ=16-4a≥0，∴a≤4. ∴“p∧q”为真命题时，e≤a≤4.∴“p∧q”为假命题时，a＜e或a＞4.13.【解析】∵A∩B={2},∴2∈A,则log2(a+3)=2. ∴a=1,∴b=2.∴A={5,2},B={1,2}.∴A∪B={1,2,5}.答案:{1，2，5}14.【解析】∵ðR B=(-∞，1)∪(2，+∞)且A∪ðR B=R，∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.答案：［2，+∞)15.【解题指南】把必要不充分条件转化为集合间的关系，再根据集合间的关系求a的最大值. 【解析】由x2＞1，得x＜-1或x＞1，由题意知参考答案专项训练一{x|x ＜-1或x ＞1}{x|x ＜a},∴a ≤-1，即a 的最大值为-1. 答案：-116.【解析】∵∀a ∈(0,+∞)，asin θ≥a, ∴sin θ≥1，又sin θ≤1,∴sin θ=1, ∴θ=2k π+2π(k ∈Z),∴cos(θ- 6π)=sin 6π= 12.答案：1217.【解题指南】解答本题有两个关键点：一是A∩B=A ∪B ⇔A=B;二是由A=B ，列方程组求a,b 的值. 【解析】由A ∩B=A ∪B 知A=B ，∴2a 2a b ba b =⎧⎪=⎨⎪≠⎩或2a bb 2a a b ⎧=⎪=⎨⎪≠⎩解得a 0b 1=⎧⎨=⎩或1a 41b 2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴a=0或a=14.答案：0或1418.【解析】∵不等式x 2-(2m+1)x+2m<0⇔(x-1)(x-2m)<0. (1)当m<12时，2m<1,∴集合B={x|2m<x<1}. (2)若A ∪B=A,则B ⊆A,∵A={x|-1≤x ≤2},①当m<12时,B={x|2m<x<1},此时-1≤2m<1⇒ -12≤m<12; ②当m=12时,B=Ø,有B ⊆A 成立;③当m>12时,B={x|1<x<2m},此时1<2m ≤2⇒12<m ≤1; 综上所述，所求m 的取值范围是-12≤m ≤1.(3)∵A={x|-1≤x ≤2}, ∴ðR A={x|x<-1或x>2}, ①当m<12时,B={x|2m<x<1},若ðR A ∩B 中只有一个整数,则-3≤2m<-2⇒ -32≤m<-1; ②当m=12时,不符合题意; ③当m>12时,B={x|1<x<2m},若ðR A ∩B 中只有一个整数,则3<2m ≤4,∴32<m ≤2.综上知,m 的取值范围是-32≤m<-1或32<m ≤2.19.【解析】（1）A={x|-1<x<3,x ∈R},B={x|m-3<x<m+3,x ∈R,m ∈R}, ∵A ∩B=(1,3),∴m=4.(2)∵﹁p 是﹁q 的必要不充分条件， ∴﹁q ⇒﹁p, ﹁p﹁q, ∴﹁p ⇒﹁q, ﹁q﹁p,∴AB,1m 3,0m 2.3m 3-≥-⎧∴∴≤≤⎨≤+⎩20.【解析】y=x 2-32x+1=(x-34)2+716, ∵x ∈［34,2］,∴716≤y ≤2,∴A={y|716≤y ≤2},由x+m 2≥1，得x ≥1-m 2,∴B={x|x ≥1-m 2},∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B,∴1-m 2≤716,解得m ≥34或m ≤-34,故实数m 的取值范围是(-∞,- 34］∪［34,+∞).21【解析】由2x 2+ax-a 2=0,得(2x-a)(x+a)=0, ∴x=a2或x=-a, ∴当命题p 为真命题时,|a2|≤1或|-a|≤1, ∴|a|≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式20x +2ax 0+2a ≤0”, 即抛物线y=x 2+2ax+2a 与x 轴只有一个交点,∴Δ=4a 2-8a=0,∴a=0或a=2.∴当命题q 为真命题时,a=0或a=2. ∴命题“p ∨q ”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p∨q”为假命题，∴a>2或a<-2. 即a的取值范围为a>2或a<-2.22.【解析】∵A∩B=Ø,(1)当A=Ø时，有2a+1≤a-1⇒a≤-2;(2)当A≠Ø时，有2a+1>a-1⇒a>-2.又∵A∩B=Ø，则有2a+1≤0或a-1≥1⇒a≤- 12或a≥2,∴-2<a≤-12或a≥2,由以上可知a≤- 12或a≥2.23.【解析】(1)⌝q: ∃x0∈R，x0是5x-12=0的根，真命题.(2)⌝r:每一个素数都不是奇数，假命题.(3)⌝s:∀x∈R，|x|≤0，假命题.24.【证明】必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个根为1,则x=1满足方程ax2+bx+c=0,∴a+b+c=0.充分性：若a+b+c=0,则b=-a-c,∴ax2+bx+c=0可化为ax2-(a+c)x+c=0,∴(ax-c)(x-1)=0,∴当x=1时，ax2+bx+c=0,∴x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根.。