【附答案或解析】2018秋九年级数学上册19.6+相似三角形的性质课后零失误训练

19.5 相似三角形的判定基础能力训练★回归教材 注重基础◆相似三角形的判定1.(2008·哈尔滨)已知菱形ABCD 的边长是6,点E 在直线AD 上,DE=3,联结BE 与对角线AC 相交于点M,则AMMC 的值是______. 2.如图19－5－4所示,E 是平行四边形ABCD 的一边BA 延长线上的一点,CE 交AD 于点F,图中共有______对相似三角形,按对应顶点写出图中的相似三角形____________________.3.如图19－5－5所示,已知△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD 平分∠ABC,则BD=_______=_______.4.如图19－5－6所示,∠l=∠2,若再增加一个条件就能使结论“AB·DE=AD·BC”成立,则这个条件可以是_______.5.如图19－5－7所示,△ACD 和△ABC 具备下列哪个条件时,它们相似( ) A.BC AB CD AC = B.ACBC AD CD = C.CB 2=AD ·BD D.AC 2=AD ·AB 6.用—个放大镜看一个直角三角形,该直角三角形的边长放大到原来的5倍后,下列结论正确的是( )A.每个内角是原来的5倍B.周长是原来的5倍C.面积是原来的5倍D.两条直角边的比值是原来的5倍7.下列条件能判别△ABC～△DEF 的是( )A.AB=4 cm,AC=3.2 cm,DE=2 cm,DF=1.6 cm,∠B=∠E=50°B.AB=6 cm,BC=9 cm,AC=7.5 cm,DE=8 cm,EF=12 cm.DF=10 cmC.∠A=∠D=70°,∠B =50°,∠E=60°D.∠B=∠E=90°,EFBC DF AB = 8.某班在布置新年联欢会会场时,需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸条,如图19－5－8所示,在Rt△ABC 中,∠C =90°,AC=30 cm,AB=50 cm,依次裁下宽为1 cm 的纸条a 1、a 2、a 3、…,若使裁得的矩形纸条长度不小于5 cm,则每张直角三角形彩纸能裁成矩形纸条的条数为( )A.24B.25C.26D.279.已知,如图19－5－9,Rt△∠ABC 和Rt△A′B′C′中∠C=∠C′=90°,''''C A AC B A AB =.△ABC 与△A′B′C′是否相似,并说明理由.10.如图19－5－10所示,四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,∠1=∠2,∠3=∠4,指出图中哪些三角形相似,并说明理由.11.如图19－5－11所示,点C 、D 在线段AB 上,△PCD 是等边三角形.(1)当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时,△ACP ~△PDB?(2)当△ACP～△PDB 时,求∠APB.12.如图19－5－12所示,在△ABC中,AH是BC边上的高,四边形DEFG是△ABC的内接矩形,DG交AH于点I,则图中相似的三角形共有多少对?分别表示出来.13.如果两个三角形中有两边和其中一边上的高对应成比例,则这两个三角形相似吗?综合创新训练★登高望远课外拓展◆创新训练14.已知：如图19－5－13,在平面直角坐标系中,矩形AOBC有两个顶点的坐标分别是A(0,6),C(8,6),x轴的正半轴上有一动点E(E与B不重合),作直线AE交对角线OC于D,或AE与BC相交于点F.当点E在O、B间运动到某些位置时,作直线AE后,图中会出现相似不全等的三角形,请你把这个相似三角形写出来：_______；当E点运动到B点的右边时,请你写出此时图中三对相似而不全等的三角形：__________________.15.如图19－5－14所示,在△ABC中,AB=8 am,BC=16 cm,点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发,经过几秒钟△PBQ 与原△ABC相似?16.一个圆柱形油桶,半径为1米,高为1.5米,用一根2米长的木棒从桶盖小口斜插桶内,另一端在小口处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为1.2米,试求：(1)油面的高度是多少?(2)桶内有油多少升?(1立方分米=1升,π取3.14,取后结果精确到1升)◆开放探索17.如图19－5－15,在△ABC 中,∠C=90°,P 为AB 上一点且点不与点A 重合.过点P 作PE⊥AB 交AC 边于E,点E 不与点C 重合.若AB=10,AC=8,设AP 的长为x,四边形PECB 的周长为y,试用x 的代数式表示y.参考答案1答案：2或32 解析：当点E 在线段AD 上时，如图(1)，因为AB ∥CD ，所以△ABE～△DFE.所以EDAE DF AB =，故DF=6.又因为△AMB ～△CMF ，所以2612===AB CF AM MC . 当点E 在线段AD 的延长线上时，如图(2)，容易得到△BCM ～△EAM ， ∴32366=+==AE BC AM MC .2答案：3 △EAF ～△EBC ，△EAF ～△CDF ，△EBC ～△CDF3答案：BC AD4答案：∠B=∠D ，或∠C=∠AED ，或AD ：AB=AE ：AC解析：本题实质就是构造使△ADE 与△ABC 相似的条件.5答案：D 解析：由AC 2=AD ·AB 可得AC AB AD AC =.又∠A=∠A ，所以△ACD ～△ABC.6答案：B7答案：B 解析：因为43===DF AC EF BC DE AB ，三边对应成比例，所以两三角形相似. 8答案：C 解析：设第n 条的长度恰好为5cm ，且该矩形纸条与AC 的交点为P 点，与AB 的交点为Q 点，则PQ=5cm ，设AP=x cm ，则△APQ ～△ACB,得BC PQ AC AP =，即40530=x ，解得：x=3.75， ∴CP=30－x=26.25.∵矩形宽为1 cm ，取整数，可知矩形纸条为26条.9答案：解析：相似，理由如下：∵''''C A AC B A AB =,∴''''C A B A AC AB =，两边平方，得2222''''C A B A AC AB =，所以222222''''''C A C A B A AC AC AB -=-，由勾股定理得2222C'A'''C B AC BC =，因为AC BC ，''''C A C B 均为正数，则C'A'''C B AC BC =，即''''C A AC C B BC =，而∠C=∠C ′=90°，故Rt △ABC ～Rt △A'B'C'. 10答案：解析：(1)△ABO ～△DCO ，因为∠1=∠2，∠AOB=∠DOC ，所以△ABO ～△DCO. (2)△AOD ～△BOC ，由(1)知△ABO ～△DCO ，则CO BO DO AO =.又因为∠AOD=∠BOC ，所以△AOD ～△BOC. (3)△ACD ～△BCE ，由(2)知△AOD ～△BOC ，则∠DAO=∠CBO ，又因为∠3=∠4，所以△ACD～△BCE.(4)△ABC ～△DEC ，因为∠3=∠4，所以∠3+∠ECO=∠4+∠ECO ，即∠BCA=∠ECD.又因为∠1=∠2，所以△ABC ～△DEC.11答案：解析：(1)∵△PCD 是等边三角形，∴PC=CD=PD ，∠PCD=∠PDC=60°，即∠PCA=∠PDB=120°，∴只要满足BD PC PD AC =，就有△ACP ～△PDB ，∴关系式为BDCD CD AC =或CD 2=AC ·BD. (2)∵△ACP ～△PDB ，∴∠1=∠A ，∠2=∠B.又∵∠PDC=∠1+∠B=60°，∴∠1+∠2=60°，∴∠APB=∠1+∠2+∠CPD=60°+60°=120°12答案：解析：7对，分别是△ADG～△ABC，△BDE～△BAH，△ADI～△ABH，△ADI～△DBE，△AIG～△AHC，△AIG～△GFE，△GFC～△AHC.13答案：解析：(1)当△ABC 和△A ′B ′C ′都是锐角三角形时，可得△ABC ～△A ′B ′C ′，如图①.(2)当两个三角形都是直角三角形时，也可得△ABC ～△A'B'C'.(3)当两个三角形都是钝角三角形时，如图②，可得△ABC ～△A'B'C'.(4)当△ABC 为锐角三角形，△A ′B ′C ′为钝角三角形.虽然两个三角形有两边和其中一边上的高对应成比例，但两个三角形不相似.如图③.14答案：△ADC ～△EDO △ADC ～△EDO ，△AOD ～△FCD ，△BEF ～△OEA ，△AFC ～△EAO 等等 15答案：解析：分两种情况，设经过x s △PBQ 与原△ABC 相似.(1)△BPQ ～△BAC ，则BC BQ BA BP =，即164828t t =-得t=2s ； (2)△BQP ～△BAC ，则BC BP BA BQ =，即162884t t -=得t=0.8s. ∴经过0.8s 或2s 时，△PBQ 与原△ABC 相似.16答案：(1)0.6米 (2)1 884升17答案：解析：∵PE ⊥AB ，∠C=90°，∴∠EPA=∠C=90°.又∵∠A 为公共角，∴△AEP~△ABC ，∴BCEP AC AP AB AE ==.又∵∠C=90°,AB=10，AC=8，可知BC=6. ∴6810PE x AE ==，∴x PE 43=，x AE 45=，x EC 458-=， BP=10－x ，∴242310645843+-=-++-+=x x x x y , ∴2423+-=x y . 设点E 与点C 重合，有CP ⊥AB.又∠ACB=90°，∴CA 2=AP ·AB ，即82=10AP ，解之，得532=AP ，故由P 点与A 点不重合，点E 与点C 不重合知x 的取值范围是0<x<532. ∴y 与x 之间的关系式为:)5320(2423<<+-=x x y .。

相似三角形的性质（答题时间：30分钟）一、选择题1. 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝1，AD ＝2，DB ＝3，则BC 的长是（ ） A. 12B. 32C. 52D. 72*2. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC ＝（ ）A. 1：4B. 1：3C. 2：3D. 1：2**3. 如图所示，AD ∥BC ，∠D ＝90°，DC ＝7，AD ＝2，BC ＝3。

若在边DC 上有点P 使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个ABCDP**4. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝a ，BC ＝b （a ＞b ）。

在△ABC 内依次作∠CBD ＝∠A ，∠DCE ＝∠CBD ，∠EDF ＝∠DCE 。

则EF 等于（ ）A. b 3a 2 B. a 3b 2 C. b 4a 3 D. a 4b3二、填空题5. 在平行四边形ABCD 中，E 在DC 上，若DE ：EC ＝1：2，则BF ：BE ＝__________。

6. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 在AB 上，CE 、BD 交于F ，若AE ：BE ＝4：3，且BF ＝2，则DF ＝__________。

*7. 如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD ＝3，∠ADE ＝60°，则AE 的长为__________。

*8. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为__________。

ABCDE三、解答题*9. 如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线BF 分别与AC 、AD 交于点E 、F 。

（1）求证：AB ＝AF ；（2）当AB ＝3、BC ＝5时，求AE AC的值。

九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解相似三角形基本知识放缩与相似图形的放大或缩小称为图形的放缩运动。

当两个图形形状相同时，我们称它们为相似图形，或者简称相似性。

需要注意的是，相似图形强调形状相同，与它们的位置、颜色、大小等因素无关。

相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的。

当两个图形形状和大小都相同时，这时是相似图形的一种特例——全等形。

相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

需要注意的是，当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度比值为1.比例线段有关概念及性质比例线段的概念比指同一单位下两条线段的长度比较，若两线段的长度分别为m和n，则它们的比为a:b=m:n（或bn）。

比的前项为a，后项为b。

比例指两个比相等的式子，如比例线段的性质对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即比例线段的基本性质是两外项的积等于两内项积，即acbd=adbc。

比例线段还有反比性质、更比性质、合比性质等。

其中，反比性质指如果注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项、后项之间发生同样的和差变化比例仍成立。

例如：$\frac{b-ad-c}{ac}=\frac{bd}{a-b+c-d}=\frac{a+bc+d}{ac}$。

5.等比性质：若$\frac{a+c+e+\cdots+m}{a\cdot c\cdote\cdots m}=\frac{b+d+f+\cdots+n}{b\cdot d\cdot f\cdots n}$，其中$b+d+f+\cdots+n\neq 0$，则$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\cdots=\frac{m}{n}$。

注意：(1)此性质的证明运用了“设$k$法”，这种方法是比例计算和变形中一种常用方法。

相似三角形的性质及应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 要点二、相似三角形的应用 1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.要点诠释：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、相似三角形的性质1. △ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.【答案】设另两边长是xcm，ycm，且x＜y.(1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.(2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.(3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能.2.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.【答案】∵四边形EFGH是矩形，∴ EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵ AD⊥BC，∴ AD⊥EH，MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，∴，∴，∴.∴ EF=6cm，EH=12cm.∴举一反三1、如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.【答案】在和中，，.又∵∽，相似比为.的周长为，的面积是.2、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2且，，∴，∴.3、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）A. 2：5 B．14:25 C．16:25 D. 4:21【答案】B.【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=x, 则CE=8-x,在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=,由△ADE∽△ACB得，S△BCE：S△BDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选B.4、在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC边上的高.【答案】过点B做BF⊥AC,垂足为点F，∵AD,CE分别为BC,AB边上的高，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴Rt△ADB∽Rt△CEB,∴,BD AB BD BEBE CB AB CB==即, 且∠B=∠B ， ∴△EBD ∽△CBA,∴221189BED BCADE AC S S⎛⎫=== ⎪⎝⎭△△, ∴13DE AC =, 又∵DE=2， ∴AC=6， ∴11862ABC AC BF S =⋅=∴△，BF=. 5、已知：如图，在△ABC 与△CAD 中，DA ∥BC ，CD 与AB 相交于E 点，且AE ︰EB=1︰2，EF ∥BC 交AC 于F 点，△ADE 的面积为1，求△BCE 和△AEF 的面积．【答案】∵DA ∥BC ， ∴△ADE ∽△BCE ． ∴S △ADE :S △BCE =AE 2:BE 2．∵AE ︰BE=1:2， ∴S △ADE :S △BCE =1:4． ∵S △ADE =1， ∴S △BCE =4．∵S △ABC :S △BCE =AB:BE=3:2， ∴S △ABC =6． ∵EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ．∵AE:AB=1:3， ∴S △AEF :S △ABC =AE 2:AB 2=1:9． ∴S △AEF ==． 6、如图，已知中，，，，，点在上， (与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长. (2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.【答案】 (1)∵，∽.(2)∵的周长与四边形的周长相等.=6，∽.类型二、相似三角形的应用3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？【答案】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？∵AB⊥BC，CD⊥BC∴∠ABO=∠DCO=90°又∵∠AOB=∠DOC∴△AOB∽△DOC.∴∵BO=50m，CO=10m，CD=17m∴AB=85m即河宽为85m．4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度．【答案】(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE(2)由(1)得△ABC∽△ADE∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，∴∴DE=16m即古塔的高度为16m。

19.6 相似三角形的性质基础能力训练★回归教材注重基础◆相似三角形的有关性质1.在一张由复印机复印出来的纸上,一个多边形的一条边由原来的1 cm变成了4 cm,那么这次复印的放缩比例是______,这个多边形的面积放大为原来的______倍.2.两个相似多边形的面积比为5：4,则它们的周长比为______.3.(2008·杭州)如图19－6－3所示,在Rt△ABC中,∠ACB为直角,CD⊥AB于点D,BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形：_______和________；并写出它们的面积比：______.4.两个相似三角形的相似比为2：3,它们的周长的差是25,则较大三角形的周长为______.5.如图19－6－4所示,如果菱形BEFD内接于△ABC,且AB=18,AC=BC=12,那么菱形的周长是______.6.在设计图上,某城市中心有一个矩形广场,设计图的比例尺为1：10 000.图上矩形与实际矩形相似吗?______.如果相似,它们的相似比为_____,图上距离与实际距离的周长比等于______,面积比为______.7.若两个相似三角形对应高的比为5：12,则对应中线的比为______.8.如图19－6－5所示,为同一三角形的甲、乙两张地图上,比例尺分别为l：200和1：500,则甲地图与乙地图的相似比为______,面积比为______.9.如图19－6－6所示,△ABC中,DE∥FG∥BC.(1)若AD=DF=FB,求S1：S2：S3；(2)若S1：S2：S3=1：8：27,求AD：DF：FB.综合创新训练★登高望远课外拓展◆创新应用10.一块直角三角形木板的一条直角边AB的长为1.5米,面积为1.5米2,要把它加工成一个面积最大的正方形桌面,甲、乙两位同学的加工方法分别如图19－6－7所示,请你用所学的知识说明哪位同学的加工方法符合要求(加工损耗忽略不计,计算结果中的分数可保留).◆开放探索11.操作：如图19－6－8所示,在正方形ABCD中,P是CD上一动点(与C、D不重合),使三角尺的直角顶点与点P重合,并且一条直角边始终经过点B,另一条直角边与正方形的某一边所在的直线交于点E探究：(1)观察操作结果,哪一个三角形与△BPC相似?并证明你的结论.(2)当点P位于CD的中点时,你找到的三角形与△BPC的周长比是多少?参考答案1答案：400％ 162答案：2:5解析：因为相似多边形的面积比等于相似比的平方，所以相似比为2:5，而相似比等于对应周长的比，因此它们的周长比为2:5.3答案：△BCD △CAD 9：16(本题答案不唯一)4答案：75 解析：由题意可设小三角形的周长为2k，则大三角形的周长为3k，则3k－2k=25，解得k=25，∴3k=3×25=75.5答案：28.8 解析：设菱形的边长为x ，因为DF ∥BC ，所以△ADF~△ABC ，所以BCDFAB AD =即121818xx =-，解得x=7.2，∴4x=4×7.2=28.8. 6答案：相似 1：10 000 1：10 000 1：1087答案：5：128答案：5：2 25：49答案：解析：∵DE ∥FG ∥BC ，∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC. (1)AD=DF=FB ，∴AD:AF ：AB=1：2：3， ∴S △ADE :S △AFG :S △ABC =1：4：9.令S △ADE =k ，则S △AFG =4k ，S △ABC =9k. ∴S 1=k ，S 2=S △AFG －S △ADE =4k －k=3k ， S 3=S △ABC －S △AFG =9k －4k=5k ， ∴S 1：S 2：S 3=1：3：5.(2)∵S 1：S 2：S 3=1：8：27， ∴可设S 1=k ，则S 2=8k ，S 3=27k ， ∴S △ADE =S 1=k ，S △AFG =S 1+S 2=9k ， S △ABC =S 1+S 2+S 3=36k ，∴S △ADE ：S △AFG ：S △ABC =1：9：36， ∴AD ：AF ：AB=1：3：6， ∴AD ：DF ：FB ：1：2：3.10答案：解析：由AB=1.5米，S △ABC =1.5米2得BC=2米.设甲加工的桌面边长为x 米. ∵DE ∥AB ，∴Rt △CDE~Rt △CBA ，∴ABDE CB CD =,即5.122xx =-解得x=76.设乙加工的桌面边长为y 米，过点B 作Rt △ABC 斜边AC 上的高BH ，交DE 于P ，交AC 于H.由AB=l.5米，BC=2米，S △ABC =1.5米2得AC=2.5米，BH=1.2米.∵DE ∥AC ，∴Rt △BDE ∽Rt △BAC ，∴ACDEBH BP =，即5.22.12.1y y =-，解得3730=y .因为373076>，即x>y ，x 2>y 2,所以甲同学的加工方法符合要求.11答案：解析:由放置方法决定了两种结果.(1)当一条直角边与AD 交于点E 时，△PDE ∽△BCP ，如图①；当另一条直角边与BC 的延长线交于点E 时，△PCE ∽△BCP 或△BPE ∽△BCP ，如图②.(2)当点P 位于CD 的中点时，情况①，△PDE ∽△BCP ，PD ：BC=1：2，∴△PDE 与△BCP 的周长比是1：2；情况②，同样得△PCE 与△BCP 的周长比是1：2；因25BC BP ，可得△BPE 与△BCP 的周长比是2:5.。

一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例相似三角形的性质及判定如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．A 'B 'C 'CB A3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B C 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AHk S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。

《相似三角形的性质》知识全解课标要求了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方．知识结构内容解析1．教材所处的地位及作用“相似三角形的周长与面积”是“相似”一部分的重点内容之一，是在学完相似三角形的定义及判定的基础上，进一步研究相似三角形的特性，以完成对相似三角形的全面研究，它既是全等三角形性质的拓展，也是研究相似多边形的基础．这些性质是解决有关实际问题的重要工具，因此，这部分无论在知识上，还是对学生能力的培养上，都起着十分重要的作用．2．教学内容本部分教材主要讲解相似三角形的两个性质，可以让学生思考相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比分别等于什么．类比学习相似多边形的性质．3．关于教学目的的确定根据学生已有的认知基础及本课教材的地位、作用，依据教学大纲确定本课的教学目的：(1)理解相似三角形性质及证明，能运用它们进行计算和论证；(2)培养学生的逻辑思维能力，动手实践能力，发现问题、解决问题的能力，并对学生进行“实践——认识——实践”的辩证唯物主义认识论教育．重点难点相似三角形的性质及应用是本部分的重点也是难点．它是主要内容之一，是在学完相似三角形判断的基础上，进一步研究相似三角形的性质，以完成对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究．相似三角形的性质还是研究相似多边形性质的基础，是今后研究圆中线段关系的工具．它的难度较大，是因为前面所学的知识主要用来证明两条线段相等，两个角相等，两条直线平行、垂直等．借助于图形的直观可以有助于找到全等三角形．但是到了相似形，主要是研究线段之间的比例关系，借助于图形进行观察比较困难，主要是借助于逻辑的体系进行分析、探求，难度较大．教法导引在教学时，要充分注意新旧知识联系的内容，注意从学生学习的规律出发，加强新旧知识的联系，发挥知识的迁移作用，这样也有助于学生对于新知识的理解．在学生通过观察、操作探究出图形的性质后，还要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续．采用直观、类比的方法，以多媒体手段辅助教学，引导学生预习教材内容，养成良好的自学习惯，启发学生发现问题、思考问题，培养学生逻辑思维能力．逐步设疑，引导学生积极参与讨论，肯定成绩，使其具有成就感，提高他们学习约兴趣和学习的积极性．本部分主要是让学生理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，通过探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想，学会应用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解决简单的问题．因此本课教学设计应突出“相似比相似三角形周长的比相似多边形周长的比”、“相似比相似三角形面积的比相似多边形面积的比”等一系列从特殊到一般的过程，以让学生深刻体验到有限数学归纳法的魅力．学法建议注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质．通过度量，发现利用三个对应边的比相等、两组对应边的比及其夹角相等、两个角相等等相似三角形的判定方法等．“授人以鱼，不如授人以渔”，必须在给学生传授知识的同时，教给他们好的学习方法，就是让他们“会学习”．为培养学生的逻辑思维能力、自学能力和动手实践能力，这节课采用学生制作学具、动手实验和自己发现结论的学习方法，使学生通过本部分的学习进一步理解观察、类比、分析、归纳等教学方法．。

每个学生都应该用的“超级学习笔记”相似三角形习题精讲及答案相似三角形是初中几何的重要内容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考内容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。

一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。

分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。

本例除公共角∠G 外,由BC ∥AD 可得∠1=∠2，所以△AGD ∽△EGC 。

再∠1=∠2（对顶角），由AB ∥DG 可得∠4=∠G ，所以△EGC ∽△EAB 。

评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。

（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。

例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。

借助于计算也是一种常用的方法。

证明：∵∠A=36°，△ABC 是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD 平分∠ABC ，则∠DBC=36°在△ABC 和△BCD 中，∠C 为公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC ∽△BCD例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、A D ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE ∽△ABCཁB ཁཁཁཁG ཁཁཁཁཁཁཁཁ每个学生都应该用的“超级学习笔记”分析： 由已知条件∠ABD=∠CBE ，∠DBC 公用。

九年级数学相似三角形的判定知识讲解（含解析）1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力。

一、相似三角形的概念如图所示：在△ABC 和△A'B'C' 中，如果则△ABC 和△A'B'C' 相似，记作：△ABC ∽ △A'B'C' ，k 是相似比，“∽” 读作“相似于” 。

注：当相似比为1 时，两个三角形全等.（相似不一定全等，但全等一定相似！）。

二、相似三角形的判定方法（4种方法）1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；2、如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；3、如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应边所包含的夹角相等，那么这两个三角形相似.；4、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

三、相似三角形的常见图形及其变换四、例题讲解例题1、下列说法错误的是（ C ）A、有一对锐角对应相等的两个直角三角形相似；B、全等的两个三角形一定相似；C、对应角相等的两个多边形相似；D、两条邻边对应成比例的两个矩形相似。

例题2、如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、CD上的点，AE = ED ， DF = 1/4DC,连接 EF 并延长交 BC 的延长线于点G 。

① 求证：△ABE∽△DEF；② 若正方形的边长为 4，求线段 BG 的长。

注：此题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用。

例题3、如图，小正方形边长均为 1，则图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是哪一个？解题思路：图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度的比是否相等来判断哪两个三角形相似。

学科：数学专题：相似三角形的性质主讲教师：黄炜北京四中数学教师重难点易错点解析题一：题面：两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB=12，DH=3，平移距离为4，求阴影部分的面积．金题精讲题面：如图△ABC中，AD为△ABC的角平分线，求证：AB•DC=AC•BD．满分冲刺题一：题面：如图，Rt△ABC中，有三个正方形，DF=9cm，GK=6cm，则第三个正方形的边长PQ= ．题二：题面：已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB=4，CD=6，BC=14，P为BC上一点，试问BP= _________时，△ABP与△PCD相似．题三：题面：如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a，AC=b，AB=c．（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF；（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG．课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：42．金题精讲答案：AB•DC=AC•BD．满分冲刺题一：答案：4cm ． 详解：由已知可得PK ∥EF ∥AC ，∴△QPK ∽△KGF ∽△FDA ，∴由相似三角形的性质和正方形的性质可得：QPKGPK GF =，又∵PK =KG -QP ，GF =DF -GK ，DF =9cm ，GK =6cm ，∴QPKGPK GF =即6696QPQP =--，解得QP =4cm ．题二： 答案：2或12或5.6．详解：∵AB ⊥DB ，CD ⊥DB ，∴∠C =∠B =90°，设BP =x ，当PB ：DC =AB ：PC 时，△P AB ∽△DPC ， ∴4614xx =-，解得BP =2或12； 当PB ：PC =AB ：DC 时，△P AB ∽△PDC ， ∴4146xx =-，解得x =5.6；解得BP =2或12或5.6．题三：答案：22BG AB ACb c=++=；DG 平分∠EDF ；BG ⊥CG ．详解：（1）∵D 、E 、F 分别是△ABC 三边中点，∴DE =12AB ，DF =12AC ．又∵△BDG 与四边形ACDG 周长相等，即BD +DG +BG =AC +CD +DG +AG ， ∴BG =AC +AG ．∵BG =AB －AG ，∴22AB AC b c BG ++==． （2）证明：2b cBG +=，222b c cbFG BG BF +=-=-=，∴FG =DF ．∴∠FDG =∠FGD ．又∵DE ∥AB ，∴∠EDG =∠FGD ．∴∠FDG =∠EDG ．∴DG 平分∠EDF ．（3）在△DFG 中，∠FDG =∠FGD ，∴△DFG 是等腰三角形．∵△BDG 与△DFG 相似，∴△BDG 是等腰三角形．∴∠B =∠BGD ．∴BD =DG ．∴CD = BD =DG ．∴B 、G 、C 三点共圆．∴∠BGC =90°．∴BG ⊥CG ．初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

”求证：△DBE ∽△ABC每个学生都应该用的“超级学习笔记”分析： 由已知条件∠ABD=∠CBE ，∠DBC 公用。

所以∠DBE=∠ABC ，要证的△DBE 和△ABC ，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。

从已知条件中可看到△CBE ∽△ABD ，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。

证明：在△CBE 和△ABD 中， ∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD ∴△CBE ∽△ABD∴BC AB =BEBD即：BC BE =ABBD在△DBE 和△ABC 中 ∠CBE=∠ABD, ∠DBC 公用 ∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC ∴∠DBE=∠ABC且BC BE =ABBD∴△DBE ∽△ABC”二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例1、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：A每个学生都应该用的“超级学习笔记”DF •AC=BC •FE分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF ：FE=BC ：AC ，再利用相似三角形或平行线的性质进行证明：证明：过D 点作DK ∥AB ，交BC 于K ， ∵DK ∥AB ，∴DF ：FE=BK ：BE又∵AD=BE ，∴DF ：FE=BK ：AD ，而BK ：AD=BC ：AC 即DF ：FE= BC ：AC ，∴DF •AC=BC •FE例2：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。

求证：（1）MA 2=MD •ME ；（2）MD MEADAE =22 证明：（1）∵∠BAC=900，M 是BC 的中点，∴MA=MC ，∠1=∠C ， ∵DM ⊥BC ， ∴∠C=∠D=900-∠B ， ∴∠1=∠D ， ∵∠2=∠2， ∴△MAE ∽△MDA ， ∴MAMEMD MA =， ∴MA 2=MD •ME ， （2）∵△MAE ∽△MDA ， ∴MD MA AD AE =，MAMEAD AE = ∴MD MEMA ME MD MA ADAE =•=22 评注：（1）通过一对相似三角形来证明比例线段，是证比例线段的一种基本方法。

相似三角形性质知识精要一、相似三角形的性质1、(定义):相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

3、性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比。

4、性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。

二、相似三角形的应用例题讲解:例题:地图比例尺为1:2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000__m2。

变式:东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为( )。

A.1:5000000B.1:500000C.1:50000D.1:5000答案：B例题:(1)两个相似三角形的面积之比为9:16，它们的对应高之比为3:4 。

(2)两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9 。

变式:(1)两个相似三角形面积之比是1:3，则他们对应边上的高之比为( )。

(A).1:3 (B) 3:1 (C) 1:3(D) 1:9(2)两个相似三角形的相似比是2:3，面积相差30厘米2，则它们的面积之和是( )。

(A)150厘米2(B) 65厘米2(C) 45厘米2(D) 78厘米2答案：(1) C (2)D。

例题:如图，已知DE//BC，AD:DB=2:3，那么S△ADE:S△ECB= 4:15。

变式:如图，在ABCD 中，AC 与DE 交于点F ，AE:EB=1:2，S △AEF =6cm 2，则S △CDF 的值为( )。

A.12cm 2B.15cm 2C.24cm 2D.54cm 2 答案：D 。

例题:如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AD:BC=3:5， 求:(1)S △AOD :S △BOC 的值； (2)S △AOB :S △AOD 的值。

答案:(1)9:25 (2)5:3。

相似三角形的应用相似三角形的应用在实际问题中常常利用相似三角形的性质测量物体高度、宽度，常见类型如下：1。

利用阳光下的影子测量数据：人的身高AC与影长BC，旗杆的影长B′C′.方法归纳：相似三角形的对应边成比例，即错误!＝错误!.2. 利用标杆测量数据：BF的长，BD的长，标杆高度CD，人眼离地面的高度AB.方法归纳：由△ACG∽△AEH，得错误!＝错误!，而AG＝BD，AH＝BF,CG＝CD－AB，于是EH 可求。

再加上人眼离地面的高度AB即为旗杆的高度.3. 利用镜子反射测量数据：人眼离地面的高度AB,镜子与人的距离BE，镜子与旗杆的距离ED。

方法归纳：由于光线的入射角等于反射角，得∠AEB＝∠CED，因此△ABE∽△CDE,有错误!＝BEDE，于是CD可求.总结：1. 能够利用相似三角形解决测量物体的高度、宽度等实际问题。

2。

学会综合运用三角形相似的判定条件和性质解决问题，加深对相似三角形的理解和认识。

例题1如图所示，小明为了测量一高楼MN的高度，在离N点20m的A处放了一个平面镜,小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC＝1.5m，小明的眼睛离地面的高度BC为1。

6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度.(精确到0.1m）ABCMN解析：根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样△BCA与△MNA的相似关系就明确了,再利用相似三角形的对应边成比例求楼房高度MN即可.答案：因为BC⊥CA，MN⊥AN，∠BAC＝∠MAN,所以△BCA∽△MNA，所以MNBC＝错误!，即MN∶1。

6＝20∶1.5，所以MN＝1.6×20÷1。

5≈21。

3（m）。

点拨：这是一个实际应用题,利用了两角对应相等的两个三角形相似,且相似三角形对应边成比例.例题2某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA＝CD,BC＝20cm,BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm。

27.2.2 相似三角形的性质学习目标：1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题. (重点、难点)2.理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题. (重点)【自主学习】一、知识链接1. 相似三角形的判定方法有哪几种？2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?【合作探究】一、要点探究探究点1：相似三角形对应线段的比思考如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？证明如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，求它们对应高的比.试一试仿照求高的比的过程，当△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k 时，求它们对应中线的比、对应角平分线的比.【要点归纳】相似三角形对应高的比等于相似比.类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.【典例精析】例1已知△ABC∽△DEF，BG、EH 分别是△ABC和△DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4 cm，BG= 4.8 cm. 求EH 的长.【针对训练】1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对应角平分线的比是，对应边上的中线的比是.2. 已知△ABC ∽△A'B'C' ，相似比为3 : 4，若BC 边上的高AD＝12 cm，则B'C' 边上的高A'D' ＝.思考如果△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k，它们的周长比也等于相似比吗？为什么？【要点归纳】相似三角形周长的比等于相似比.探究点2：相似三角形面积的比思考 如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为 k ，它们的面积比是多少？证明 画出它们的高，由前面的结论，我们有k C B BC =''，k D A AD=''，22121k k k D A AD C B BC D A C B AD BC S S C B A ABC=⋅=''⋅''=''⋅''⋅='''△△【要点归纳】由此得出：相似三角形面积的比等于相似比的平方．【针对训练】1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：2. 把一个三角形变成和它相似的三角形，(1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为原来的_____倍；相似比 2k ……周长比13……面积比10000……(2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大为原来的_____倍.3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm 、14 cm ，(1) 它们的周长差 为60 cm ，这两个三角形的周长分别是___ ___； (2) 它们的面积之和是 58 cm 2，这两个三角形的面积分别是 .例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF ，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为512，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.【针对训练】如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上的高为______.例3 如图，D ，E 分别是 AC ，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100 cm 2，且53==AB AD AC AE ，求四边形 BCDE 的面积.【针对训练】如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC的值.二、课堂小结当堂检测1. 判断：(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的5 倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5 倍( )(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的9 倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9 倍( )2. 在△ABC 和△DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF，∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若AP ＝2，则DQ的值为( )1A．2 B．4 C．1 D.23. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于___________.4. 两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm，面积是12 cm2，则较小三角形的周长是__________cm，面积为__________cm2.5. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE 和△EFC 的面积分别为4 和9，求△ABC 的面积.6. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交AB、AC 于点D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求S△ADE∶S△ABC.【分析】从题干分析可以得到△ADE∽△ABC，要证明它们面积的比，直接的就是先求出相似比，观察得到△ADE与△DCE是同高，得到AE与CE的比，进而求解.参考答案自主学习一、知识链接解：（1）定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似（2）平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似 （3）三边成比例的两个三角形相似（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 （5）两角分别相等的两个三角形相似（6）一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似 解：还有高，中线，平分线等等合作探究一、要点探究探究点1：相似三角形对应线段的比证明 解：如图，分别作出 △ABC 和 △A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ． 则∠ADB =∠A' D' B'=90°.∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴∠B ＝∠B' . ∴△ABD ∽△A' B' D' .∴k B A ABD A AD =''=''. 【典例精析】解：∵ △ABC ∽△DEF ，∴EFBCEH BG =(相似三角形对应角平分线的比等于相似比)， ∴468.4=EH ，解得 EH = 3.2.∴ EH 的长为 3.2 cm. 【针对训练】1. 2 : 3 2 : 3 2. 16cm思考 解：等于，如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k ，那么k AC CAC B BC B A AB =''=''=''，因此AB ＝k A'B'，BC ＝kB'C'，CA ＝kC'A'，从而k A C C B B A A C k C B k B A k A C C B B A CA BC AB =''+''+''''+''+''=''+''+''++. 探究点2：相似三角形面积的比 【针对训练】1.2. (1) 5 (2) 103. (1) 100cm ，40cm (2) 50cm 2,8cm 2解：在 △ABC 和 △DEF 中，∵ AB=2DE ，AC=2DF ，∴21==AC DF AB DE . 又 ∵∠D=∠A ，∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为21. ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为512，∴△DEF 的边 EF 上的高为21×6 = 3， 面积为53512212=⨯⎪⎭⎫⎝⎛.【针对训练】14解：∵ ∠BAC = ∠DAE ，且53==AB AD AC AE ，∴ △ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为 3 : 5，∴ 面积比为 9 : 25.又∵ △ABC 的面积为 100 cm 2，∴ △ADE 的面积为 36 cm 2. ∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm 2).【针对训练】解：∵ DE ∥BC ，D 为 AB 中点，∴ △ADE ∽ △ABC ，∴21==AB AD AC AE ，即相似比为 1 : 2，面积比为 1 : 4. 又∵ EF ∥AB ，∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为21=AC CE ， ∴面积比为 1 : 4.设 S △ABC = 4，则 S △ADE = 1，S △EFC = 1， S 四边形BFED = S △ABC －S △ADE －S △EFC = 4－1－1 = 2， ∴ S 四边形BFED : S △ABC = 2 : 4 =21. 当堂检测1. (1) √ (2) ×2. C3. 1:1 1:44. 14 345. 解：∵ DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴ △ADE ∽△ABC ，∠ADE =∠EFC ，∠A =∠CEF ， ∴△ADE ∽△EFC.又∵S △ADE : S △EFC = 4 : 9，∴ AE : EC=2:3，则 AE : AC =2 : 5， ∴ S △ADE : S △ABC = 4 : 25，∴ S △ABC = 25.6. 解：过点 D 作 AC 的垂线，垂足为 F ，则22121==⋅⋅=EC AE DF EC DF AE S S DCEADE △△， ∴32=AC AE . 又∵ DE ∥BC ，∴ △ADE ∽△ABC. ∴943222=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=AC AE S S ABC ADE △△，即 S △ADE : S △ABC ＝4 : 9.。

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相似三角形的性质、应用课后作业1、如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥A C，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1:25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：252、如图,△ABC中，AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC，则线段AC的长为( ）A．4 B．42 C．6 D．433、如图，在四边形ABCD中,AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点,且DE⊥CE．若AD=1，BC=2,CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（）A．CE=3 DE B．CE=2 DE C．CE=3D E D．CE=2DE4、如图,点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：15、如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB 于点D,连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（）A．1：2 B．1：3 C．1：2 D．2：36、如图,CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG;②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47、如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F,若S△DEC=3，则S△BCF= ．8、如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD,交BC的延长线于点E,FA⊥AE，交CB延长线于点F,则EF的长为．9、如图，DE⊥AB于E，AF⊥BC于F，若BD=6，AB=8，则DE:AF=10、如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC,垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．(1)求证:△ACD∽△BFD；（2）当tan∠ABD=1,AC=3时，求BF的长．11、如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．（1)求证:AD∥BC;（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长．12、如图,△ABC为锐角三角形,AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm,AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；(2）求这个正方形的边长与面积．参考答案1、解析:根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA,根据相似三角形的性质定理得到 DE:AC=1：5， BE ：BC=DE:AC=1:5，结合图形得到 BE ：EC=1：4，得到答案．解：∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△COA,又S △DOE ：S △COA =1:25， ∴DE:AC=1：5， ∵DE ∥AC ，∴BE:BC=DE:AC=1：5， ∴BE ：EC=1:4∴S △BDE 与S △CDE 的比是1：4, 故选：B2、解析：根据AD 是中线，得出CD=4,再根据AA 证出△CBA∽△CAD ，得出 AC:BC=CD:AC ，求出AC 即可．解：∵BC=8， ∴CD=4，在△CBA 和△CAD 中， ∵∠B=∠DAC ，∠C=∠C ， ∴△CBA ∽△CAD ， ∴AC ：BC=CD ：AC ， ∴AC 2=CD •BC=4×8=32， ∴AC=42； 故选B ．3、解析：过点D 作DH ⊥BC,利用勾股定理可得AB 的长，利用相似三角形的判定定理可得△ADE∽△BEC ，设BE=x,由相似三角形的性质可解得x ，易得CE ，DE 的关系．解：过点D 作DH ⊥BC ， ∵AD=1，BC=2， ∴CH=1，DH=AB=222213-=-CH CD =22,∵AD ∥BC,∠ABC=90°， ∴∠A=90°， ∵DE ⊥CE,∴∠AED+∠BEC=90°， ∵∠AED+∠ADE=90°， ∴∠ADE=∠BEC ， ∴△ADE ∽△BEC,∴AD ：BE=AE ：BC=DE ：CE ， 设BE=x,则AE=22−x ， 即1:x=（22-x ）:2， 解得x=2，∴AD:BE=DE:CE=1: 2， ∴CE=2DE ， 故选B4、解析:证明DE 是△ABC 的中位线,由三角形中位线定理得出DE ∥BC ，DE=21BC ，证出△ADE∽△ABC ，由相似三角形的性质得出△ADE 的面积：△ABC 的面积=1：4，即可得出结果．解:∵D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE ∥BC ，DE=21BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴△ADE 的面积:△ABC 的面积=(21）2=1:4，∴△ADE 的面积：四边形BCED 的面积=1：3； 故选：B5、解析：由AB 是⊙O 的直径,得到∠ACB=90°，根据已知条件得到 AC:BC=3:3，根据三角形的角平分线定理得到AC:BC=AD ：BD=3:3，求出AD=333+ AB,BD=333+ AB ，过C 作CF ⊥AB 于F ，连接OE,由CE 平分∠ACB 交⊙O 于E ，得到OE ⊥AB ，求出OE=21AB ，CF=43 AB,根据三角形的面积公式即可得到结论．解:∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠B=30°， ∴AC:BC=3：3,∵CE 平分∠ACB 交⊙O 于E, ∴AC ：BC=AD ：BD=3:3， ∴AD=333+AB,BD=333+AB ，过C 作CF ⊥AB 于F ，连接OE ， ∵CE 平分∠ACB 交⊙O 于E ， ∴弧AE=弧BE ， ∴OE ⊥AB ，∴OE=21AB ，CF=43AB ，∴S △ADE ：S △CDB =（21AD •OE):（21BD •CF ）=（21×333+AB •21AB ）：（21×333+AB •43AB ）=2:3．故选D6、解析:由正方形的性质得出∠FAD=90°,AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG ，由AAS 证明△FGA ≌△ACD ，得出AC=FG ，①正确;证明四边形CBFG 是矩形，得出S △FAB =21FB •FG=21S 四边形CBFG ，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确； 证出△ACD∽△FEQ ，得出对应边成比例，得出D •FE=AD 2=FQ •AC ，④正确．解：∵四边形ADEF 为正方形， ∴∠FAD=90°，AD=AF=EF ， ∴∠CAD+∠FAG=90°， ∵FG ⊥CA,∴∠C=90°=∠ACB ， ∴∠CAD=∠AFG ，在△FGA 和△ACD 中,∠G ＝∠C ，∠AFG ＝∠CAD,AF ＝AD ， ∴△FGA ≌△ACD （AAS ）， ∴AC=FG ，①正确； ∵BC=AC, ∴FG=BC ，∵∠ACB=90°,FG⊥CA, ∴FG ∥BC ，∴四边形CBFG 是矩形,∴∠CBF=90°,S △FAB =21FB •FG=21S 四边形CBFG ,②正确；∵CA=CB,∠C=∠CBF=90°, ∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确； ∵∠FQE=∠DQB=∠ADC ，∠E=∠C=90°, ∴△ACD ∽△FEQ, ∴AC ：A D=FE ：FQ ，∴AD •FE=AD 2=FQ •AC ，④正确； 故选:D ．7、解析：根据平行四边形的性质得到AD ∥BC 和△DEF∽△BCF ，由已知条件求出△DEF 的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案．解：∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ，AD=BC, ∴△DEF ∽△BCF, ∴EF ：CF=DE ：BC ，S △DEF :S △BCF =（DE ：BC ）2， ∵E 是边AD 的中点，∴DE=21AD=21BC ，∴EF ：CF=DE ：BC=21,∴△DEF 的面积=31S △DEC =1,∴S △DEF :S △BCF =1：4， ∴S △BCF =4; 故答案为：4．8、解析:利用正方形的性质和勾股定理可得AC 的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E,易得CE=CA ，由FA ⊥AE ，可得∠FAC=∠F ，易得CF=AC ，可得EF 的长．解：∵四边形ABCD 为正方形，且边长为3， ∴AC=32， ∵AE 平分∠CAD ， ∴∠CAE=∠DAE ， ∵AD ∥CE, ∴∠DAE=∠E ， ∴∠CAE=∠E ， ∴CE=CA=32, ∵FA ⊥AE,∴∠FAC+∠CAE=90°,∠F+∠E=90°，∴∠FAC=∠F，∴CF=AC=32，∴EF=CF+CE=32+32=62,故答案为：629、解析：要求DE：AF的值,又已知BD=6，AB=8且DE、AF、BD、AB分别是两个直角三角形△BED和△BFA中的边，所以只要证明△BED∽△BFA即可，根据相似三角形的性质；DE:AF=BD:AB = 6:8=3:4解:∵DE⊥AB，AF⊥BC∴∠BED=∠BFA又∵∠B=∠B∴△BED∽△BFA∴DE:AF=BD：AB = 6：8=3:4．即:DE：AF=3：410、解析:（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可证明．(2)先证明AD=BD,由△ACD∽△BFD，得 AC：BF=AD：BD=1，即可解决问题．（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DBF=∠DAC，∴△ACD∽△BFD．（2)∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°∴AD:BD=1∴AD=BD，∵△ACD∽△BFD，∴AC：BF=AD:B D=1，∴BF=AC=3．11、解析：（1）由AB=AC ，AD 平分∠CAE ，易证得∠B=∠DAG=21∠CAG,继而证得结论； (2)由CG ⊥AD,AD 平分∠CAE,易得CF=GF,然后由AD ∥BC ，证得△AGF∽△BGC ，再由相似三角形的对应边成比例，求得答案．（1）证明：∵AD 平分∠CAE ，∴∠DAG=21∠CAG ， ∵AB=AC ，∴∠B=∠ACB ，∵∠CAG=∠B+∠ACB ，∴∠B=21∠CAG ， ∴∠B=∠DAG ，∴AD ∥BC ；（2)解：∵CG ⊥AD ，∴∠AFC=∠AFG=90°，在△AFC 和△AFG 中，∠CAF ＝∠GAF, AF ＝AF, ∠AFC ＝∠AFG∴△AFC ≌△AFG （ASA ），∴CF=GF ，∵AD ∥BC ，∴△AGF ∽△BGC ，∴GF ：GC=AF ：BC=1：2,∴BC=2AF=2×4=812、解析：（1）根据EH ∥BC 即可证明．（2）如图设AD 与EH 交于点M ，首先证明四边形EFDM 是矩形,设正方形边长为x,再利用△AEH ∽△ABC ，得 EH:BC=AM ：AD ，列出方程即可解决问题．（1）证明：∵四边形EFGH 是正方形，∴EH ∥BC ，∴∠AEH=∠B ，∠AHE=∠C ，∴△AEH ∽△ABC ．（2）解：如图设AD 与EH 交于点M ．∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDM 是矩形，∴EF=DM,设正方形EFGH 的边长为x ，∵△AEH ∽△ABC ，∴EH:BC=AM ：AD∴x:40=(30—x ）:30，∴x=7120，∴正方形EFGH 的边长为7120cm,面积为4914400cm 2．。