曲线积分与路径无关的条件_图文
- 格式：ppt
- 大小：497.00 KB
- 文档页数：21
下载文档原格式
合集下载
一曲线积分与路径无关的定义二曲线积分与路径无关的条-PPT课件
一、曲线积分与路径无关的定义 二、曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分的求积 四、小结
一、曲线积分与路径无关的定义
如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内
从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有
Pdx Qdy L 1
Pdx Qdy L 2
y
L1
B
即，在 G 内曲线积分 与路径无关。 必要性 用反证法
P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy L
P Q 假设在 G 内存在使 y x
的点 M0，
必要性 用反证法
P Q 假设在 G 内存在使 的点 M0， y x Q P 0 . 即 M 0 y x
不妨设
Q P y x
C
D
M0
G
Q P 0 . 设 f ( x ,y ) . M 0 y x
由于P，Q 具有一阶连续偏导数， 有 f(x ,y ) 连续 . 因此在 G 内必有点 M0 的一个小邻域 D′, 在 D′内
f ( x ,y ) 0 .
因为， D G .应用格林公式，有
o
1
x
因此，积分与路径无关。
P e y , y
Q ey. x
y
2
1
Q 全平面是单连通域。 即 P . y x
L2
因此，积分与路径无关。 取一简单路径：L1 + L2.
y y ( e x ) dx ( xe 2 y ) dy L
o L1 1
x
: x 1 ,y : 0 2 . L : y 0 ,x : 0 1 . L 1 2
C
D
一、曲线积分与路径无关的定义
如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内
从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有
Pdx Qdy L 1
Pdx Qdy L 2
y
L1
B
即，在 G 内曲线积分 与路径无关。 必要性 用反证法
P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy L
P Q 假设在 G 内存在使 y x
的点 M0，
必要性 用反证法
P Q 假设在 G 内存在使 的点 M0， y x Q P 0 . 即 M 0 y x
不妨设
Q P y x
C
D
M0
G
Q P 0 . 设 f ( x ,y ) . M 0 y x
由于P，Q 具有一阶连续偏导数， 有 f(x ,y ) 连续 . 因此在 G 内必有点 M0 的一个小邻域 D′, 在 D′内
f ( x ,y ) 0 .
因为， D G .应用格林公式，有
o
1
x
因此，积分与路径无关。
P e y , y
Q ey. x
y
2
1
Q 全平面是单连通域。 即 P . y x
L2
因此，积分与路径无关。 取一简单路径：L1 + L2.
y y ( e x ) dx ( xe 2 y ) dy L
o L1 1
x
: x 1 ,y : 0 2 . L : y 0 ,x : 0 1 . L 1 2
C
D
第四节 平面上曲线积分与路径无关的条件
Q P 2x x y
所以
2 2 xy d x x dy 0 C
2 2 I ( x y ) d x ( x sin y)dy 其中L为 例2 计算 L
y 2 x x 2 上由点O(0, 0)到点A(2, 0)的一段弧.
解：因为P=x2–y, Q= – (x+sin2y), 有
lim P( x x ) =P(x,y) x 0
u 即 P ( x, y ) x
类似有
u Q( x, y) y
故在D内存在一;Qdy, (3)成立
(3) (4) 设 D内存在一个函数u(x,y),使得 du(x,y)=Pdx+Qdy
y
B(x,y) • • D C(x+x,y) • A(x0,y0)
AB Pdx Qdy
只与B(x,y) 有关 o 故可令u(x,y)= AB Pdx Qdy
u u( x x, y ) u( x, y )
x
考察u(x,y)的可导性。 x, 使C ( x x, y) D
判断时应用最方便、最具操作性的是(4)
即
奇点
P Q ＝ y x
在曲线积分中破坏区域D的单连通性、以及函 数P(x,y)、Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数的点 称为奇点。 在定理2的条件下， 曲线积分在D内与积分路 径无关。则
u( x, y) AB Pdx Qdy A( x , y ) Pdx Qdy
0 0
B( x , y )
且具有du(x,y)=Pdx+Qdy， 称u(x,y)为Pdx+Qdy的一个原函数。
y
若 P Q y x
A( x0 , y0 )
格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条
数学与其他学科的交叉应用
格林公式在数学物理方程、电动力学、流体力学等领域有 广泛的应用，是连接数学与物理世界的重要桥梁。
格林公式的历史背景
发展历程
格林公式是微积分学中的重要内 容，它的起源可以追溯到19世纪 上半叶，当时数学家开始研究如 何将线积分转化为面积分的问题。
贡献人物
乔治·格林（George Green）在 1830年代对这一领域做出了重大 贡献，他通过引入所谓的“格林 函数”来研究平面上向量场的性 质。
格林公式在解决曲线积分问题中的优势
简化计算过程
通过格林公式，可以将复杂的曲线积分问题 转化为面积分问题，从而简化计算过程。
提供解决问题的新思路
格林公式为解决曲线积分问题提供了新的思 路和方法，有助于拓展解题思路。
04
曲线积分与路径无关的应用实例
物理学中的磁场问题
磁场线闭合
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么磁场线必然是闭合的。这意味着磁场没有源点或漏点，即不存在磁单 极。
磁通量不变
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么通过某一区域的磁通量将保持不变。这意味着磁场不会因为路径的改 变而发生改变。
电学中的电场问题
电势差恒定
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电势差将保持恒定。这意味着电场不会因为路径的改变而 发生改变。
电场线闭合
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电场线必然是闭合的。这意味着电场没有源点或漏点，即 不存在电荷聚集点。
通过格林公式，可以判断一个曲线积分是否 与路径无关，为解决相关问题提供依据。
格林公式与曲线积分的关系证明
利用向量场的散度性质
通过向量场的散度性质，可以推导出格林公 式，从而证明其与曲线积分的关系。
格林公式在数学物理方程、电动力学、流体力学等领域有 广泛的应用，是连接数学与物理世界的重要桥梁。
格林公式的历史背景
发展历程
格林公式是微积分学中的重要内 容，它的起源可以追溯到19世纪 上半叶，当时数学家开始研究如 何将线积分转化为面积分的问题。
贡献人物
乔治·格林（George Green）在 1830年代对这一领域做出了重大 贡献，他通过引入所谓的“格林 函数”来研究平面上向量场的性 质。
格林公式在解决曲线积分问题中的优势
简化计算过程
通过格林公式，可以将复杂的曲线积分问题 转化为面积分问题，从而简化计算过程。
提供解决问题的新思路
格林公式为解决曲线积分问题提供了新的思 路和方法，有助于拓展解题思路。
04
曲线积分与路径无关的应用实例
物理学中的磁场问题
磁场线闭合
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么磁场线必然是闭合的。这意味着磁场没有源点或漏点，即不存在磁单 极。
磁通量不变
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么通过某一区域的磁通量将保持不变。这意味着磁场不会因为路径的改 变而发生改变。
电学中的电场问题
电势差恒定
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电势差将保持恒定。这意味着电场不会因为路径的改变而 发生改变。
电场线闭合
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电场线必然是闭合的。这意味着电场没有源点或漏点，即 不存在电荷聚集点。
通过格林公式，可以判断一个曲线积分是否 与路径无关，为解决相关问题提供依据。
格林公式与曲线积分的关系证明
利用向量场的散度性质
通过向量场的散度性质，可以推导出格林公 式，从而证明其与曲线积分的关系。
第10.6节 曲线积分与路径无关的条件
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
10.6 曲线积分与路径无关的条件
根据被积函数选取适当 的积分路径 L1 , 例10.6.2和例10.6.3
中的计算比较简洁 .
二、原函数及其计算方 法
P Q 由定理10.6.1可知,当 在单连通区域 G内处处成立时 , y x
函数
u( x , y )
例10.6.2 求 I
( x y )dx ( x y )dy 2 , 其中 L 是 y 2 ( 1 x ) 2 2 L x y
y
上从 A( 1,0)到B( 1,0)的一段弧 .
解
x y x y 令P 2 ,Q 2 ,则 2 2 x y x y
L
A
2
L1 1
u ( x, y ) 证明 3 4 假设3 成立, 则在G内存在一个二元函数
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
10.6 曲线积分与路径无关的条件
证明 3 4 假设3 成立, 则在G内存在一个二元函数 u ( x, y )
使得 du Pdx Qdy ,由此可知
u u P ( x , y ), Q( x , y ). x y
4
因此
L1
Pdx Qdy Pdx Qdy .
L2
根据定理 10.6.1和定理 10.6.2, 可以简化一些曲线积分 的计算.
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
10.6 曲线积分与路径无关的条件
例10.6.1 求I ( x 2 y )dx ( x sin 2 y )dy, 其中L为圆周
M ( x, y )
M0 A
Pdx Qdy 和
曲线积分和路径无关的条件
曲线积分和路径无关的条件曲线积分是在曲线上对向量场进行积分的过程。
路径无关的条件是指，对于同一向量场和相同的起点和终点，不同的路径所得到的曲线积分值相等。
这个条件对于许多物理问题都具有重要意义，因为它允许我们在计算复杂路径上的积分时选择更简单或更方便的路径。
一、曲线积分的定义曲线积分可以看作是沿着一条曲线对一个向量场进行积分。
具体来说，设C是一条参数化曲线，即C可以表示为r(t)=(x(t),y(t),z(t))，其中t∈[a,b]。
向量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))是一个从三维空间中每个点到该点处的向量赋值函数。
则沿着C对F进行积分的结果为：∫CF·ds=∫baF(r(t))·r'(t)dt其中F(r(t))表示在r(t)处F的值，r'(t)表示r关于t的导数。
二、路径无关条件如果不同路径上所得到的曲线积分值相等，则称该向量场F在区域D内满足路径无关条件。
形式化地说，在D内如果任意两条起点和终点相同但路径不同的曲线C1和C2上，有∫C1F·ds=∫C2F·ds则称F在D内满足路径无关条件。
三、路径无关条件的判定对于一个向量场F，它是否满足路径无关条件取决于该向量场的旋度。
具体来说，如果F在D内存在一个连通区域，并且该区域内的旋度为零，则F在该区域内满足路径无关条件。
这个结论可以用斯托克斯定理来证明。
四、斯托克斯定理斯托克斯定理是曲线积分和曲面积分之间的一种联系。
它告诉我们，如果一个向量场在某个区域内旋度为零，那么该向量场在该区域内满足路径无关条件。
具体来说，设S是一个分段光滑的曲面，边界为曲线C。
如果向量场F在S上连续可微，则有：∫SF·dS=∫CF·ds其中左边是对曲面S进行的曲面积分，右边是对边界曲线C进行的曲线积分。
五、应用举例路径无关条件可以应用于许多物理问题中。
例如，在电磁学中，电场和磁场的旋度为零是电场和磁场满足路径无关条件的充分条件。
3格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条件
ydx
A
例 4
计算抛物线(x y)
2
ax ( a 0 ) 与 x 轴 所
M
围成的面积.
解
y
ONA 为 直 线 y 0 .
A ( a ,0 )
曲 线 AMO 由 函 数
N
ax x , x [ 0 , a ] 表 示 ,
1 xdy 2 L ydx
A
1
2 ONA
L2 Pdx Qdy
L Pdx Qdy 0.
L L1 ( L2 )
定理 21.12 设开区域 D 是一个单连通闭区域, 函 数 P ( x , y ), Q ( x , y ) 在 D 内具有一阶连续偏导数 , 则以下 四个条件等价：
(i )沿D 内任一按段光滑封闭曲线L，有
D
Q x
d
dxdy
c
d
dy
2
( y)
Q x
1 ( y )
dx
c
Q ( 2 ( y ), y ) dy
Q ( x , y ) dy
Q ( x , y ) dy
c
d
Q ( 1 ( y ), y ) dy
y
CBE
CBE
CAE
EAC
Q ( x , y ) dy
)( Pdx Qdy )
1
L Pdx
Qdy
( L 1 , L 2 , L 3 对 D 来说为正方向
沟通了沿闭曲线的积分与
)
格林公式的实质:
二重积分之间的联系.
便于记忆形式:
A
例 4
计算抛物线(x y)
2
ax ( a 0 ) 与 x 轴 所
M
围成的面积.
解
y
ONA 为 直 线 y 0 .
A ( a ,0 )
曲 线 AMO 由 函 数
N
ax x , x [ 0 , a ] 表 示 ,
1 xdy 2 L ydx
A
1
2 ONA
L2 Pdx Qdy
L Pdx Qdy 0.
L L1 ( L2 )
定理 21.12 设开区域 D 是一个单连通闭区域, 函 数 P ( x , y ), Q ( x , y ) 在 D 内具有一阶连续偏导数 , 则以下 四个条件等价：
(i )沿D 内任一按段光滑封闭曲线L，有
D
Q x
d
dxdy
c
d
dy
2
( y)
Q x
1 ( y )
dx
c
Q ( 2 ( y ), y ) dy
Q ( x , y ) dy
Q ( x , y ) dy
c
d
Q ( 1 ( y ), y ) dy
y
CBE
CBE
CAE
EAC
Q ( x , y ) dy
)( Pdx Qdy )
1
L Pdx
Qdy
( L 1 , L 2 , L 3 对 D 来说为正方向
沟通了沿闭曲线的积分与
)
格林公式的实质:
二重积分之间的联系.
便于记忆形式:
第22章第2节曲线积分和路径的无关性
P( x, y)dx Q( x, y)dy
l
1
§22.2 曲线积分和路径的无关性
如果对于平面区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有
L1
Pdx Qdy
y
L2
Pdx Qdy
L1
B
G
则称曲线积分 L Pdx Qdy
Q P 由格林公式 dxdy C Pdx Qdy y x
即推出了1。
0
9
§22.2 曲线积分和路径的无关性
定义：当第二类曲线积分和路径无关时，点A x0 , y0 固定， 称U x , y
x, y
x0 , y0
A '' l
B ''
A
B
L
Pdx Qdy Pdx Qdy
定义：只环绕奇点M一周的闭路上的积分值 叫做区域D的循环常数,记为 .
20
§22.2 曲线积分和路径的无关性
xdy ydx 例5. 求 2 关于奇点(0,0)的循环常数. 2 x y
y x 解：P 2 , Q 2 . 2 2 x y x y
故
xy dx y ( x ) dy ( 0,0)
2
( 1 ,1 )
0 0dx 0
1
1
1 ydy . 2
19
§22.2 曲线积分和路径的无关性
区域内有一个奇点M的情况.
闭路中有一奇点，格林公式不能应用。
B'
A'
L
Pdx Qdy Pdx Qdy 0
曲线积分和路径的无关
与路径无关（只依赖曲线的端点）；
（iii）微分式 Pdx Qdy 在 D 内是某一个函数
Ux, y 的全微分，即 dU Pdx Qdy ；
（iv） P Q 在 D 内处处成立。
y x
证明
当曲线积分和路径无关时，即满足上面的诸条件，如
令点 Ax0, y0 固定而点 Bx, y 为区域 D 内任意一点，
Pdx AB
Qdx
U
B
U
A
U
M
B A
这里 U B U xB , yB ，U A U xA, yA ， xA, yA 和
xB , yB
分别为
A
，B
点的坐标。
U M B
A
是一个
记号，它等于 UBUA 。
剩下来还要说明如何求 Pdx Qdy 的原函数。设 P 和
Q 满足定理的条件
P Q y x
现在讨论区域内有一个奇点 M 的情形。这时，如果
闭路中包含一奇点，格林公式就不能应用。我们考虑两条 闭路 l ， L 都逆时针绕奇点 M 一圈，可用线段 AB 将l
和 L 联结起来，在 L 及 l 上沿逆时针方向积分，即得
LPdx Qdy l Pdx Qdx
Pdx Qdx 0
BB'B''B BA
那么由积分所定义的函数
U x, y
x,y
Pdx Qdx
x0 , y0
在 D 内连续并且单值。这个函数 Ux, y 为 Pdx Qdy
的一个原函数，它和定积分中所述原函数相仿并有以下性 质：
1’ dUx, y Pdx Qdy .这由刚才的证明即得。
2’利用原函数 Ux, y 来计算曲线积分
C
（iii）微分式 Pdx Qdy 在 D 内是某一个函数
Ux, y 的全微分，即 dU Pdx Qdy ；
（iv） P Q 在 D 内处处成立。
y x
证明
当曲线积分和路径无关时，即满足上面的诸条件，如
令点 Ax0, y0 固定而点 Bx, y 为区域 D 内任意一点，
Pdx AB
Qdx
U
B
U
A
U
M
B A
这里 U B U xB , yB ，U A U xA, yA ， xA, yA 和
xB , yB
分别为
A
，B
点的坐标。
U M B
A
是一个
记号，它等于 UBUA 。
剩下来还要说明如何求 Pdx Qdy 的原函数。设 P 和
Q 满足定理的条件
P Q y x
现在讨论区域内有一个奇点 M 的情形。这时，如果
闭路中包含一奇点，格林公式就不能应用。我们考虑两条 闭路 l ， L 都逆时针绕奇点 M 一圈，可用线段 AB 将l
和 L 联结起来，在 L 及 l 上沿逆时针方向积分，即得
LPdx Qdy l Pdx Qdx
Pdx Qdx 0
BB'B''B BA
那么由积分所定义的函数
U x, y
x,y
Pdx Qdx
x0 , y0
在 D 内连续并且单值。这个函数 Ux, y 为 Pdx Qdy
的一个原函数，它和定积分中所述原函数相仿并有以下性 质：
1’ dUx, y Pdx Qdy .这由刚才的证明即得。
2’利用原函数 Ux, y 来计算曲线积分
C
10-6平面曲线积分与路线无关的条件
四、证明曲线积分
(3,4) (6 xy 2 y 3 )dx (6 x 2 y 3 xy 2 )dy 在整个xoy 面 (1,2)
内与路径无关,并计算积分值 .
五、利用格林公式,计算下列曲线积分:
1、 ( x 2 y)dx ( x sin2 y)dy其中L 是在圆周 L y 2 x x 2 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧；
是某一函数 u(x, y) 的全微分，并求出一个这样的函数.
证明： P 4sin xsin 3y cos x ， Q 3cos3y cos 2x ，
则 Q 6cos3ysin 2x P 在整个 xOy 面内恒成立，
x
y
因此，在整个 xOy 面内，
4sin xsin3y cos xdx 3cos3y cos 2xdy
场力所作的功与所取的路径无关 .
练习题答案
一、1、L Pdx dyQ ；
2、p Q ； y x
3、10.
三、 1 . 30
四、3 a2 . 8
五、236.
六、1、 7 1 sin 2；
2、-2.
64
七、1、当 L 所包围 的区域 D 不包含原点时,0；
2、当 L 所包围 的区域 D 包含原点,且 L 仅绕 原点
导数,且Q x
1,P y
1 ,则L
Pdx
Qdy
___.
二、计算 (2xy x 2 )dx ( x y 2 )dy 其中L 是由抛物线 L y x 2 和 y 2 x 所围成的区域的正向边界曲线,并 验证格林公式的正确性 .
三、利用曲线积分,求星形线x a cos3 t , y a sin3 t 所 围成的图形的面积 .
(3,4) (6 xy 2 y 3 )dx (6 x 2 y 3 xy 2 )dy 在整个xoy 面 (1,2)
内与路径无关,并计算积分值 .
五、利用格林公式,计算下列曲线积分:
1、 ( x 2 y)dx ( x sin2 y)dy其中L 是在圆周 L y 2 x x 2 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧；
是某一函数 u(x, y) 的全微分，并求出一个这样的函数.
证明： P 4sin xsin 3y cos x ， Q 3cos3y cos 2x ，
则 Q 6cos3ysin 2x P 在整个 xOy 面内恒成立，
x
y
因此，在整个 xOy 面内，
4sin xsin3y cos xdx 3cos3y cos 2xdy
场力所作的功与所取的路径无关 .
练习题答案
一、1、L Pdx dyQ ；
2、p Q ； y x
3、10.
三、 1 . 30
四、3 a2 . 8
五、236.
六、1、 7 1 sin 2；
2、-2.
64
七、1、当 L 所包围 的区域 D 不包含原点时,0；
2、当 L 所包围 的区域 D 包含原点,且 L 仅绕 原点
导数,且Q x
1,P y
1 ,则L
Pdx
Qdy
___.
二、计算 (2xy x 2 )dx ( x y 2 )dy 其中L 是由抛物线 L y x 2 和 y 2 x 所围成的区域的正向边界曲线,并 验证格林公式的正确性 .
三、利用曲线积分,求星形线x a cos3 t , y a sin3 t 所 围成的图形的面积 .
x145积分与路径无关条件.ppt
从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有
L1 f1dx f2dy
L2 f1dx
则称曲线积分
L
f2dy
f1dx
f2dy
y
L1 B G
A
L2
o
x
在 G 内与路径无关,
称向量场ufr (P) ( f1(x, y), f2 (x, y)) 为保守场.
向量场ufr (P) ( f1(x, y), f2 (x, y)) 为保守场充要条件.
f1dx
f2dy
L
• A( x0 , y0 )
o
• C( x1, y0 )
x
x1 x0
f1 ( x,
y0 )dx
y1 y0
f2 (x1,
y)dy
AC CB
或
y1 y0
f2 (x0 ,
y)dy
x1 x0
f1 ( x,
y1)dx
AD DB
例 1 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy. 其中
若对平面区域或空间区域 内每一个点M，
都有一个数量（向量）与之对应v，则称在 该区域上给定了 一个数量场 f (M（) 向量场） f (M )
引力做功W只与质点的起点和终点有关，而与路径无
关，在物理学中称这样的场为保守场（位势场）。
曲线积分与路径无关的定义
如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内
M
N
M0 f1dx f2dy M f1dx f2dy y
u lim u(x x, y) u(x, y) lim f1( , y)x
x x0
x
x0 x
同理可证
u y
课件：积分与路径无关
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pdx Qdy L
与路径无关, 只与起止点有关.
(3)
在 D 内是某一函数
的全微分,
即 d u(x, y) P dx Q dy (4) 在 D 内每一点都有 P Q .
第五节
第十四章
曲线积分与路径无关的条件
一、曲线积分与路径无关的定义
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
引例. 计算
其中L为 y
B(1,1)
(1) 抛物线 L : y x2, x : 0 1; x y 2
(2) 抛物线
y x2
(3) 有向折线 L : OA AB.
du P dx Qdy
则
u P(x, y), u Q(x, y)
x
y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有
P Q y x
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
证明 (4)
(1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D D (如图) , 因此在 D上
P Q y x
y0
或
u (x, y)
y
y0 Q(x0 , y)d y
x
P(x, y)dx
x0
y0
x0
x
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
例 1 设曲线积分 xy2dx y( x)dy与路径无关, 其中
L
具有连续的导数, 且(0) 0,计算 (1,1) xy2dx y( x)dy. (0,0)
平面上曲线积分与路径无关的条件
所围的区域为 . 由于 D 为单连通区域, 所以区域
含在
D
内.
应用格林公式及在
D
内恒有
P y
Q x
的
条件, 就得到
L
P
dx
Q
dy
与路径无关的四个等价命题
条 在单连通区域 D 上 P( x, y), Q( x, y)具有连 件 续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 （1） 在 G 内 Pdx Qdy 与路径无关； L
价 （2）
Pdx Qdy 0 ，闭曲线 L G
L
命 （3）在 G 内存在 u(x, y) ，使 du Pdx Qdy
P dx Q dy
BC
xx
x P(t , y)dt P( x x , y)x ,
其中 0 1. 根据 P( x , y)在 D 上连续, 于是有
2020年1月29日星期三
20
目录
上页
下页
返回
u lim xu lim P( x x , y) P( x , y).
P dx Q dy P dx Q dy .
AC
AB
因为在 D 内曲线积分与路线无关, 所以
P dx Qdy P dx Q dy P dx Q dy .
AC
AB
BC
因直线段 BC 平行于 x 轴, 故 dy 0, 从而由积分中
值定理可得
xu
x2 x sin y C .
2020年1月29日星期三
17
O
C ( x, 0)
§3Green公式曲线积分与路径无关性
§ 3 Green 公式 曲线积分与路径无关性一、 格林Green 公式Green 公式揭示了平面上某区域内的二重积分与该边界上的一个特定的第二类曲线积分之间的关系. Green 公式是N--L 公式在 R 2中的推广.1 闭区域的正面与边界正向的规定平面上的单连通区域、多连通区域 P227—228在区域D 2R ⊂内，如果任意两条有同一起点和同一终点的曲线，其中一条总可以在D 内连续的变动为另一条，则称区域D 是单连通的；否则就是多连通闭区域的正面与边界正向的规定搭配: 右手螺旋定向, 即以右手拇指表示区域的正面( 理解为拇指“站立在” 区域的正面上 ), 则其余四指( 弯曲 )表示边界的正向. 右手螺旋定向法则还可表述为: 人站立在区域的正面的边界上, 让区域在人的左方. 则人前进的方向为边界的正向. 参阅P224图21--10. 若以L 记正向边界, 则用-L 或L -表示反向（或称为负向）边界.2 格林Green 公式及其证明定理21.11 设闭区域D 边界D ∂由光滑曲线或逐段光滑曲线组成. 若函数P 和Q 在闭区域D ⊂R 2上连续,且有连续的一阶偏导数, 则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D L Qdy Pdx dxdy y P x Q , （1）其中L 为区域D 的正向边界.证明 P224—226注 将格林Green 公式的证明过程分为几个习题，由同学们解答.然后老师小结.Green 公式又可记为⎰⎰⎰+=∂∂∂∂DL Qdy Pdx dxdy QP y x . 3 格林Green 公式的一个应用由逐段光滑封闭曲线所围区域D 的面积公式|D |⎰-=L ydx xdy 21, L 为D 的正向边界. （2）补例1 计算由星形线 ) 20 ( sin , cos 33π≤≤==t t b y t a x 所界的面积. 补例2 用Green 公式求曲线 a x y y x 333=+ 所围图形的面积.4 应用格林Green 公式简化某些二类曲线积分的计算举例有时用Green 公式，将二类曲线积分转化为二重积分来计算. 对环路积分, 可直接应用Green 公式. 对非闭路积分, 常采用附加上一条线使变成环路积分的技巧.例1 计算积分⎰ABxdy , 其中A , ) , 0 (r B ) 0 , (r . 曲线AB 为圆周222r y x =+在第一象限中的部分. （P226）解法1 ( 直接计算积分 ) 曲线AB 的方程为 20 , sin , cos π≤≤==t t r y t r x .方向为自然方向的反向. 因此⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=AB r t t r tdt r xdy 222022242sin 2121cos πππ. 解法2 ( 用Green 公式 ) 补上线段BO 和OA ( O 为坐标原点 ), 成闭路. 设所围区域为D , 注意到∂D 为反向, 以及0=⎰BOA, 有⎰ABxdy ⎰⎰⎰⎰∂-=-=-=DBOADr dxdy xdy xdy 24π.例2 计算积分 I =⎰+-L y x ydxxdy 22, 其中L 为任一不包含原点的闭区域D 的边界. （P226）解 2222),( , ),(yx xy x Q y x y y x P +=+-=. (P 和Q 在D 上有连续的偏导数). ()2222222yx x y y x y x y P +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂, 22222)(y x x y x Q +-=∂∂. 于是, I =⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=D Ldxdy y P x Q 0.注 将此例推广为（参见P203） 计算积分 I =⎰+-L y x ydxxdy 22, 其中L 为任一不通过原点的正向闭曲线.补例3 计算积分⎰++Ldy x y x dx xy )(22, 其中L 是由曲线 222 , x y x y ==,4 , 3==xy xy 所围区域D 的边界, 取正向.解 ,),(2xy y x P = x y x y x Q +=2),(. 1 , 12 , 2=∂∂-∂∂⇒+=∂∂=∂∂yP x Q xy x Q xy y P . ⎰⎰⎰=DLdxdy .作代换xy v x yu ==, 2, 在此代换之下 , 区域D 变为UV 平面上的区域 } 43 , 21|),( {≤≤≤≤='v u v u D .=-=∂∂xy x x yy x v u 2312),(),(u x y 332-=-, u v u y x 31),(),( =∂∂⇒. 于是,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰'====DD Lu dv du dudv u dxdy 2143331 ⎰==21212ln 31ln 3131u u du . 补例4 计算积分⎰⎰-Dy dxdy e 2, D : 10 , 1≤≤≤≤x y x . 解 令2),( , 0),(y xe y x Q y x P -==, 有⎰⎰⎰∂+=DDdy y x Q dx y x P ),(),( .域D 为三角形, 三个顶点为O , ) 0 , 0 (A ) 1 , 1 (, B ) 1 , 0 (.⇒⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-==+=∂∂BOO ADDDdy y x Q dy y x Q dx y x P ),(),(),()1(21211101022----=-==⎰e e dx xe x x . 注 此例将二重积分化为二类曲线积分转来计算.二、曲线积分与路线无关性第二类曲线积分不仅与曲线的起点和终点有关，而且也与所沿的积分路径有关. 对同一个起点和同一个终点，沿不同的路径所得到的第二类曲线积分一般是不相同的. 在什么样的条件下第二类曲线积分与积分路径无关而仅与曲线的起点和终点有关呢？下面我们先在平面中情形来讨论这个问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2) L是从点A(1,0)沿上半圆y 1 x 2 到点B(1,0)的圆弧；
(3) L是从点A(1,0)到点M (0,1)再到点B(1,0)的折线 . y 1 解: 在(1),(2)和(3)的各自条件下
I (3x 2 y )dx ( x 2 y )dy 2
L
1
平面上曲线积分与路径无关的等价条件
一. 平面上曲线积分与路径无关的概念 二. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 三. 平面上曲线积分与路径无关的应用
一. 平面上曲线积分与路径无关的概念
引例.
计算对坐标的曲线积分
L
(3x 2 y )dx ( x 2 y )dy ,
(1) L是从点A(1,0)到点B(1,0)的线段;
解:
y
F ( y , x) ,
W F d s
F
A
B
D
M ( x, y )
2 2
o
x
股票入门基础知识 /
槷敇愸
P Q P, Q, 和 都连续, 且 P Q 在右半平面上恒成立 ,故 y x y x xdy ydx 在右半平面上 , 积分 2 与路径无关 . L x y2
例 32.4
( 1 ,1 )
设曲线积分 xy 2dx y( x )dy 与路径
L
无关, 其中 具有连续的导数, 且 (0) 0 , 计算
2
Q P (2) x y
例32.9 设
解:
1 5 x 2x2 y3 y5 C 5
例32.10 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到
点B(3, 4), 在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M
到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为 锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功.
三. 平面上曲线积分与路径无关的应用
1.简化线积分的计算 .
(1)直接简化(取适当的路径 );
(2)间接简化(添加辅助线 ).
例32.2
计算 (e y x)dx ( xe y 2 y )dy , 其中 L为从点 O(0,0)
L
经过A(1,0)到点B(1,2)的圆弧段 .
解:
y
B
令P( x, y) e y x, Q( x, y) xe y 2 y,
O
1 x
注: 这是偶然的还是必然的?
1
定义:
设函数P( x, y),Q( x, y)定义在平面区域 D上
且在D内有 连续偏导数 .若对D内任意两个
定点A, B, 沿D中以A为始点B为终点的任一分段
光滑曲线 L, 积分 P( x, y )dx Q( x, y )dy 为同一个
L
值，则称此积分在 D内与积分路径无关 .否则, 称
解:
力场所作的功为 ky kx W F ds 2 dx 2 dy, 2 2 L L x y x y
则有
令
P k ( x 2 y 2 ) Q 4 y x r
( x2 y2 0 )
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
取圆弧 AB :
由 y( x ) 2 xy
( x ) x 2 c
由(0) 0 ，知c 0
故
( x ) x 2 .
( 0,0)
1
( 1 ,1 )
xy 2dx y( x )dy
1
1 0 0dx 0 ydy . 2
2.求二元函数的原函数 .
例32.5
验证：表达式 xy 2 dx x 2 ydy是某个二元函数的全微 分，
与路径有关 .
y
L1
B
L2
D
A o
x
例32.1 证明 曲线积分 (3x 2 y )dx ( x 2 y )dy
L
与路径无关．
证明:
令P( x, y) 3x 2 y, Q( x, y) x 2 y, 则
显然它们在整个xoy平面上有连续偏导数 .
任取两点A, B, 任取两条连接 A, B的分段光
y
( x, y )
u ( x, y ) x 0 dx
2 0
x
y
0
1 2 2 x ydy x y . 2
2
O
x
例32.6
k 设质点在力场 F 2 ( y, x)作用下沿曲线 L : y cos x 2 r 2 2
由点 A(0, )移动到点 B( ,0), 求此力场所作的功 .(其中 r x 求法．
方法(i)
x
u( x, y) P( x, y0 )dx
x0
y
A( x0 , y0 )
B ( x, y )
Q( x, y)dy
y0
y
C ( x, y0 )
o
x x0
x
或
u( x, y) Q( x0 , y)dy P( x, y)dx
(3)存在某一函数 u u( x, y)定义在D上, 使得 du Pdx Qdy
在D内恒成立 ;
P Q (4)在D内才处处有 . y x 证明路线图: (1) (2) (3) (4) (1).
说明:
(1)比较此定理的条件与格 林公式条件的差别；
P Q (2)应用判别积分与路径无 关的条件: ; y x
P 设D为平面单连通区域 , P( x, y ), Q( x, y ), , y
Q 在D内连续 , 则下列四个命题等价 : x (1)沿D内任意一条分段光滑闭 曲线 L, Pdx Qdy 0;
L
(2)对于 D内任意一条分段光滑曲 线L, 积分 Pdx Qdy
L
与路径无关 ;
滑曲线 L1 AMB, L2 ANB,
使闭曲线AMBNA的正向为 逆时针方向 ,
则
L1
Pdx Qdy
L1 L2
Pdx Qdy
N
B
M
Pdx Qdy
L2
A
(1 1)d Pdx Qdy
D L2
Pdx Qdy.
L2
二. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理:
P y Q 则 e , ey, A O y x P Q P Q 显然P, Q, 和 在整个xoy面上连续, 且 , y x y x
x
故积分 Pdx Qdy与路径无关 .
L
因此取积分路径 L OA AB, 有
7 L OA AB 0 (1 x)dx 0 (e 2 y)dy e 2 .
1 2 y 2
例32.3
验证 : 在右半平面上 , 积分 xdy ydx 与路径无关 . 2 2 L x y
y x 证明：令P( x, y) 2 , Q( x, y) 2 , x 0, 2 2 x y x y
P y2 x2 Q 则 2 , x 0, 显然在右半平面 ( x 0)上, 2 2 y ( x y ) x
与路径无关．并求当 A与B分别为点 (0,0)与点(1,2)时这个线积分
的值．
解:
3.
(1, 2 )
( 0, 0)
( x 4 xy )dx (6 x
4
1
79 y 5 y )dy . 5
2 4
例32.8 1. 设
2
y L
l
且都取正向, 问下列计算是否正确 ? o 1 2x xd y 4y d x l x2 y2 1 1 x d y 4 y d x 5 d 5 4 l 4 D 提示: xd y yd x l x2 y2 x 2 y 2 0时 Q P 1 1 (1) x d y yd x 2 d x y 4 D 4 l
( 0,0 )
xy 2dx y( x )dy .
2
解
P ( x, y ) xy ,
Q( x , y ) y( x ),
P Q 2 ( xy ) 2 xy, [ y( x )] y( x ), y y x x
P Q 积分与路径无关 ， y x
4.求二元函数的 "原函数".
注: 对坐标的曲线积分计算方法
(1)代入法化成定积分；
(2)利用格林公式简化计算 （添加辅助线）；
(3)利用积分与路径无关性 , 取特殊路径简化计算 ; (4)利用 "原函数".
备用题:
例32.7
确定 的值，使线积分
AB
( x 4 4 xy )dx (6 x 1 y 2 5 y 4 )dy
W k
AB
x
r
2
2
cos , y
2
sin ( :
2
0)
( y dx x d y)
y
A L
2
k
o
B x
思考: 积分路径是否可以取 AO OB ? 为什么？
三. 小结
1.曲线积分与路径无关的 概念; 2.曲线积分与路径无关的 四个等价命题 ;
3.简化曲线积分 ;
并求出这个函数．
证明: 令P( x, y) xy 2 , Q( x, y) x 2 y, 则
P Q P Q P , Q, 和 在整个 xoy 面上连续，且 2 xy . x x x x
故表达式xy 2 dx x 2 ydy是某个二元函数的全微 分.
(3) L是从点A(1,0)到点M (0,1)再到点B(1,0)的折线 . y 1 解: 在(1),(2)和(3)的各自条件下
I (3x 2 y )dx ( x 2 y )dy 2
L
1
平面上曲线积分与路径无关的等价条件
一. 平面上曲线积分与路径无关的概念 二. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 三. 平面上曲线积分与路径无关的应用
一. 平面上曲线积分与路径无关的概念
引例.
计算对坐标的曲线积分
L
(3x 2 y )dx ( x 2 y )dy ,
(1) L是从点A(1,0)到点B(1,0)的线段;
解:
y
F ( y , x) ,
W F d s
F
A
B
D
M ( x, y )
2 2
o
x
股票入门基础知识 /
槷敇愸
P Q P, Q, 和 都连续, 且 P Q 在右半平面上恒成立 ,故 y x y x xdy ydx 在右半平面上 , 积分 2 与路径无关 . L x y2
例 32.4
( 1 ,1 )
设曲线积分 xy 2dx y( x )dy 与路径
L
无关, 其中 具有连续的导数, 且 (0) 0 , 计算
2
Q P (2) x y
例32.9 设
解:
1 5 x 2x2 y3 y5 C 5
例32.10 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到
点B(3, 4), 在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M
到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为 锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功.
三. 平面上曲线积分与路径无关的应用
1.简化线积分的计算 .
(1)直接简化(取适当的路径 );
(2)间接简化(添加辅助线 ).
例32.2
计算 (e y x)dx ( xe y 2 y )dy , 其中 L为从点 O(0,0)
L
经过A(1,0)到点B(1,2)的圆弧段 .
解:
y
B
令P( x, y) e y x, Q( x, y) xe y 2 y,
O
1 x
注: 这是偶然的还是必然的?
1
定义:
设函数P( x, y),Q( x, y)定义在平面区域 D上
且在D内有 连续偏导数 .若对D内任意两个
定点A, B, 沿D中以A为始点B为终点的任一分段
光滑曲线 L, 积分 P( x, y )dx Q( x, y )dy 为同一个
L
值，则称此积分在 D内与积分路径无关 .否则, 称
解:
力场所作的功为 ky kx W F ds 2 dx 2 dy, 2 2 L L x y x y
则有
令
P k ( x 2 y 2 ) Q 4 y x r
( x2 y2 0 )
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
取圆弧 AB :
由 y( x ) 2 xy
( x ) x 2 c
由(0) 0 ，知c 0
故
( x ) x 2 .
( 0,0)
1
( 1 ,1 )
xy 2dx y( x )dy
1
1 0 0dx 0 ydy . 2
2.求二元函数的原函数 .
例32.5
验证：表达式 xy 2 dx x 2 ydy是某个二元函数的全微 分，
与路径有关 .
y
L1
B
L2
D
A o
x
例32.1 证明 曲线积分 (3x 2 y )dx ( x 2 y )dy
L
与路径无关．
证明:
令P( x, y) 3x 2 y, Q( x, y) x 2 y, 则
显然它们在整个xoy平面上有连续偏导数 .
任取两点A, B, 任取两条连接 A, B的分段光
y
( x, y )
u ( x, y ) x 0 dx
2 0
x
y
0
1 2 2 x ydy x y . 2
2
O
x
例32.6
k 设质点在力场 F 2 ( y, x)作用下沿曲线 L : y cos x 2 r 2 2
由点 A(0, )移动到点 B( ,0), 求此力场所作的功 .(其中 r x 求法．
方法(i)
x
u( x, y) P( x, y0 )dx
x0
y
A( x0 , y0 )
B ( x, y )
Q( x, y)dy
y0
y
C ( x, y0 )
o
x x0
x
或
u( x, y) Q( x0 , y)dy P( x, y)dx
(3)存在某一函数 u u( x, y)定义在D上, 使得 du Pdx Qdy
在D内恒成立 ;
P Q (4)在D内才处处有 . y x 证明路线图: (1) (2) (3) (4) (1).
说明:
(1)比较此定理的条件与格 林公式条件的差别；
P Q (2)应用判别积分与路径无 关的条件: ; y x
P 设D为平面单连通区域 , P( x, y ), Q( x, y ), , y
Q 在D内连续 , 则下列四个命题等价 : x (1)沿D内任意一条分段光滑闭 曲线 L, Pdx Qdy 0;
L
(2)对于 D内任意一条分段光滑曲 线L, 积分 Pdx Qdy
L
与路径无关 ;
滑曲线 L1 AMB, L2 ANB,
使闭曲线AMBNA的正向为 逆时针方向 ,
则
L1
Pdx Qdy
L1 L2
Pdx Qdy
N
B
M
Pdx Qdy
L2
A
(1 1)d Pdx Qdy
D L2
Pdx Qdy.
L2
二. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理:
P y Q 则 e , ey, A O y x P Q P Q 显然P, Q, 和 在整个xoy面上连续, 且 , y x y x
x
故积分 Pdx Qdy与路径无关 .
L
因此取积分路径 L OA AB, 有
7 L OA AB 0 (1 x)dx 0 (e 2 y)dy e 2 .
1 2 y 2
例32.3
验证 : 在右半平面上 , 积分 xdy ydx 与路径无关 . 2 2 L x y
y x 证明：令P( x, y) 2 , Q( x, y) 2 , x 0, 2 2 x y x y
P y2 x2 Q 则 2 , x 0, 显然在右半平面 ( x 0)上, 2 2 y ( x y ) x
与路径无关．并求当 A与B分别为点 (0,0)与点(1,2)时这个线积分
的值．
解:
3.
(1, 2 )
( 0, 0)
( x 4 xy )dx (6 x
4
1
79 y 5 y )dy . 5
2 4
例32.8 1. 设
2
y L
l
且都取正向, 问下列计算是否正确 ? o 1 2x xd y 4y d x l x2 y2 1 1 x d y 4 y d x 5 d 5 4 l 4 D 提示: xd y yd x l x2 y2 x 2 y 2 0时 Q P 1 1 (1) x d y yd x 2 d x y 4 D 4 l
( 0,0 )
xy 2dx y( x )dy .
2
解
P ( x, y ) xy ,
Q( x , y ) y( x ),
P Q 2 ( xy ) 2 xy, [ y( x )] y( x ), y y x x
P Q 积分与路径无关 ， y x
4.求二元函数的 "原函数".
注: 对坐标的曲线积分计算方法
(1)代入法化成定积分；
(2)利用格林公式简化计算 （添加辅助线）；
(3)利用积分与路径无关性 , 取特殊路径简化计算 ; (4)利用 "原函数".
备用题:
例32.7
确定 的值，使线积分
AB
( x 4 4 xy )dx (6 x 1 y 2 5 y 4 )dy
W k
AB
x
r
2
2
cos , y
2
sin ( :
2
0)
( y dx x d y)
y
A L
2
k
o
B x
思考: 积分路径是否可以取 AO OB ? 为什么？
三. 小结
1.曲线积分与路径无关的 概念; 2.曲线积分与路径无关的 四个等价命题 ;
3.简化曲线积分 ;
并求出这个函数．
证明: 令P( x, y) xy 2 , Q( x, y) x 2 y, 则
P Q P Q P , Q, 和 在整个 xoy 面上连续，且 2 xy . x x x x
故表达式xy 2 dx x 2 ydy是某个二元函数的全微 分.