九年级数学上册 24.1 圆(第4课时)学案

24.1.4 圆周角上庸镇九年一贯制学校魏远波（一）教学目标知识与技能目标：1 •理解圆周角的定义，了解与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角. 2•掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明.过程与方法目标：培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力.情感态度与价值观：渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法. 教学重点：1.圆周角的概念.2.圆周角定理及其推论.教学难点：在定理的证明过程中，体会化归和分类讨论的数学思想和归纳的方法.（二）教学过程归纳：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半二、合作探究学习小组内合作探讨证明方法，然后独立写出证明过程三、交流展示小组派代表演板，然后集中点评。

活动二圆周角定理的推论一、问题导学1. 如图，点A、B、C、D、E、F 在O O 上, 则/ A、/ D、/ E、/ F有什么数量关系？为什么？2. 如图，点A、B、C、D 在。

O 上, / BAC = 35(1) /BOC = °，理由是(2) /BDC = 。

，理由是3. 如图，点A、B、C、D在。

0上，完成下列填空./ 1= . /2= ./3= . /5= .4. 如图，如果BC=D E，那么/ A和/ F相等吗？为什么？由此可以得出什么结论？5. 如图，若AB是。

0的直径，则/C等于多少度？反之，若/C = 90° ，则AB是。

0的直径吗？归纳：推论1:同弧所对的圆周角相等• 推论2:等弧所对的圆周角相等.推论3:半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90 。

的圆周角所对的弦是直径•、合作探究先独立思考，然后小组内交流探究，得到问题的最佳答案、交流展示教师点名展示与小组派代表展示相结合，集体点评。

通过对三种情况的分析证明，从而得到圆周角定理，体现完全归纳法的数学思想.通过对问题导学中的1、4、5题的解答，分别得到推论1、推论2、推论3.问题导学2、3题是对推论1的应用。

第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.4 圆周角学习目标1.掌握圆内接四边形的概念及其性质,并能灵活运用.2.了解直角三角形的一种判定方法.学习过程设计一、设计问题,创设情境1.如图,AB是☉O的直径,C为圆上一点,则∠ACB= .2.如图,点A,B,C,D是☉O上的点,若∠BOD=100°,则∠A= ,∠C= .二、信息交流,揭示规律如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做这个.问题1:如图,四边形ABCD叫做☉O的内接四边形,而☉O叫做四边形ABCD的外接圆,猜想:∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为.由此得出圆内接四边形的性质: .三、运用规律,解决问题1.四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠A与∠C是一对对角,且∠A=110°,∠B=80°,则∠C= ,∠D= .2.☉O的内接四边形ABCD中,∠A,∠C是一对对角,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则∠D= .问题2:如图,CD是△ABC的中线,且CD=1AB.求证:∠ACB=90°.由此得直角三角形的判定方法:如果三角形,那么这个三角形是.四、变式训练,深化提高1.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,且∠BOD=110°,则∠C= .2.☉O中,∠AOB=110°,则弦AB所对的圆周角的度数为.3.☉O的内接四边形ABCD中∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能是()A.1∶2∶3∶4B.4∶1∶3∶2C.4∶3∶1∶2D.4∶1∶2∶44.已知,▱ABCD是☉O的内接四边形,求证:▱ABCD是矩形.课堂小结1.圆内接四边形的性质: .2.直角三角形的判定方法:.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.90°2.50°130°二、信息交流,揭示规律圆的内接多边形多边形的外接圆问题1:∠A+∠C=180°;∠B+∠D=180°圆的内接四边形对角互补三、运用规律,解决问题1.70°100°2.90°问题2:证明:∵在△ABC中,CD是AB边上的中线, ∴AD=BD.又∵CD=1AB,∴AD=BD=CD,∴A,B,C在以点D为圆心,AB为直径的圆上.∴∠ACB=90°.一边上的中线等于这条边的一半直角三角形四、变式训练,深化提高1.1 5°2.55°或1 5°3.C4.证明:∵▱ABCD是☉O的内接四边形,∴∠A+∠C=180°,在▱ABCD中,∠A=∠C,∴∠A=∠C=90°,∴▱ABCD是矩形.课堂小结略五、反思小结,观点提炼略。

COB ADoCBDA 24.1.4 圆周角圆内接四边形的性质及圆周角定理的综合运用教 学 目 标知 识 和 能 力过 程和 方 法1、通过观察、比较,分析了解并证明圆内接四边形对角,发展学生合情推理能力和演绎推理能力.2、通过观察图形,提高学生的识图能力．3、通过引导学生添加合理的辅助线,培养学生的创造力．情 感态 度价值观 在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性． 教学重点 圆内接四边形对角互补的探索与运用. 教学难点论证圆内接四边形对角互补．教 学 设 计设计意图 一、复习引入,激发学生兴趣.（1）问题：你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？（P87练习2） 方法： ①利用对称性,两次对折纸片找到直径的交点；②利用“90度的圆周角所对的弦是直径”找到两条直径的交点。

（2）练习：如图,BD 是⊙O 的直径,∠ABC=130° 则∠ADC= °二、探究圆内接四边形的性质,培养学生的探究精神.1、圆内接多边形和多边形内接圆的概念,介绍圆内接四边形2、如图四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,那么其相对的两个内角之间有什么关系？（观察复习2,写出你的猜想）3、证明你的发现.解：发现：∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180° 理由如下：连接OB,OD在⊙O 中,∠A 所对的弧为BCD,∠C 所对的弧为 BAD , 又∵BCD 与BCD 所对的圆心角的度数之和为360°,∴∠A+∠C=12360°=180°.同理：∠B+∠D=180°.4、得出结论：圆内接四边形对角互补.5、几何语言：∵四边形ABCD 内接于⊙O∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°复习圆周角定理及其推论推导论证圆内接四边形的对角互补三、应用举例：例1、若四边形ABCD为圆内接四边形,则下列选项可能成立的是（）A.∠A﹕∠B﹕∠C﹕∠D=1﹕2﹕3﹕4B.∠A﹕∠B﹕∠C﹕∠D=2﹕1﹕3﹕4C.∠A﹕∠B﹕∠C﹕∠D=3﹕2﹕1﹕4D.∠A﹕∠B﹕∠C﹕∠D=4﹕3﹕2﹕1例2、如图,点C、D是⊙O上不与点A、B重合的两点,（1）若∠AOB=70°,则∠ACB= °（2）若∠ACB=130°,求∠AOB的度数.（写出推理过程）练习：1、如图1,四边形ABCD内接于⊙O,则∠A+∠C= °,∠B+∠ADC= °,若∠B=80°,则∠ADC= ,∠CDE= ；2、如图2,四边形ABCD内接于⊙O,∠AOC=100°,则∠B= ,∠D= ；3、四边形ABCD内接于⊙O,∠A：∠C=1:3,则∠A= ；4、如图3,梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,∠B=75°,则∠C= °。

圆周角学习目标：【知识与技能】理解圆周角的概念及其相关性质，并能运用相关性质解决有关问题【过程与方法】经历探索圆周角的有关性质的过程，体会分类、转化等数学思想方法，学会数学地思考问题【情感、态度与价值观】在探求新知的过程中学会合作、交流体会数学中的分类转化等方法。

【重点】圆周角及圆周角定理【难点】圆周角定理的应用学习过程一、自主学习（一）复习巩固1、叫圆心角。

2、在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对的度数。

（二）自主探究1、如图，点A在⊙O外，点B1、B2、B3在⊙O上，点C在⊙O内，度量∠A、∠B1、∠B2、∠B3 、∠C的大小，你能发现什么？∠B1、∠B2、∠B３有什么共同的特征？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

归纳得出结论，顶点在_______，并且两边________________________的角叫做圆周角。

强调条件：①_______________________，②___________________________。

识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？并说明理由．2、如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是BC所对的圆心角、圆周角，求出图（１）、（２）、（３）中∠BAC的度数．OCBA通过计算发现：∠BAC＝＿＿∠BOC．试证明这个结论：3、如图，BC所对的圆心角有多少个？BC所对的圆周角有多少个？请在图中画出BC所对的圆心角和圆周角，并与同学们交流。

4、思考与讨论（1）观察上图，在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O有几种位置（2）设BC所对的圆周角为∠BAC，除了圆心O在∠BAC的一边上外，圆心O与∠BAC还有哪几种位置关系？，对于这几种位置关系，结论∠BAC＝21∠BOC还成立吗？试证明之．通过上述讨论总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的相等，都等于这条弧所对的．表达式：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定．表达式：（三）、归纳总结：1．圆周角与圆心角的相同点是，不同点是2．一条弧所对的圆周角与圆心角有三种位置关系，即圆心角的顶点在圆周角的“”，“ ”，“ ”；（四）自我尝试：1、如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，点A 与点D 在点B 、C 所在直线的同侧，∠BAC=350(1)∠BDC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． (2)∠BOC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．OABCD2、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，(1) 若∠BAC=60°，求∠BOC=______°;(2) 若∠AOB=90°,求∠ACB=______°.3、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，点D 在圆外，CD 、BD 分别交⊙O 于点E 、F ，比较∠BAC 与 ∠BDC 的大小，并说明理由。

圆1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．2. 理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．重点：与圆有关的概念．难点：圆的有关概念的理解．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．探究：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__圆__，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做__半径__．②用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O的距离为__r__的所有的点的集合．③连接圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做__优弧__，小于半圆的弧叫做__劣弧__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(3分钟)1．以点A为圆心，可以画__无数__个圆；以已知线段AB的长为半径可以画__无数__个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画__1__个圆．点拨精讲：确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2．到定点O的距离为5的点的集合是以__O__为圆心，__5__为半径的圆．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)1．⊙O的半径为3 cm，则它的弦长d的取值范围是__0＜d≤6__．点拨精讲：直径是圆中最长的弦．2．⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是__等边三角形__．点拨精讲：与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．3．如图，点A，B，C，D都在⊙O上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？解：图略.6条．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(15分钟)1．(1)在图中，画出⊙O的两条直径；(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．解：矩形．理由：由于该四边形对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．作图略．点拨精讲：由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？2．一点和⊙O上的最近点距离为4 cm，最远距离为10 cm，则这个圆的半径是__3_cm 或7_cm__．点拨精讲：这里分点在圆外和点在圆内两种情况．3．如图，图中有__1__条直径，__2__条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条．点拨精讲：这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．,第3题图) ,第4题图)4．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一直线上，图中弦的条数为__2__．点拨精讲：注意紧扣弦的定义．5．如图，CD为⊙O的直径，∠EOD＝72°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，求∠A的度数．解：24°.点拨精讲：连接OB构造三角形，从而得出角的关系．,第5题图) ,第6题图)6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中点，若AC＝10 cm，求OD的长．解：5 cm.点拨精讲：这里别忘了圆心O是直径AB的中点．(学生总结本堂课的收获与困惑)．(2分钟)1．圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件．2．圆的相关概念：(1)弦、直径；(2)弧及其表示方法；(3)等圆、等弧．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)。

⼈教版九年级数学第24章《圆》24.1.1-4导学案第1课时 24.1.1 圆⼀、新知导学1.圆的定义:把线段op 的⼀个端点O ，使线段OP 绕着点O 在旋转，另⼀端点P 运动所形成的图形叫做圆，其中点O 叫做，线段OP 叫做 .以O 为圆⼼的圆记作 .2.圆的集合定义：圆是到的点的集合. 3、从圆的定义中归纳：①圆上各点到定点（圆⼼O ）的距离都等于____ __；②到定点的距离等于定长的点都在____ _.4、圆的表⽰⽅法：以O 点为圆⼼的圆记作______，读作______.5、要确定⼀个圆，需要两个基本条件，⼀个是______，另⼀个是_____，其中_____确定圆的位置，______确定圆的⼤⼩.6；如图1，弦有线段，直径是，最长的弦是，优弧有；劣弧有。

⼆、合作探究1．判断下列说法是否正确，为什么？（1）直径是弦.（）（2）弦是直径.（）（3）半圆是弧.( ) (4) 弧是半圆.( )(5) 等弧的长度相等.( ) (6) 长度相等的两条弧是等弧.( )2．⊙O 的半径为2㎝，弦AB 所对的劣弧为圆周长的61，则∠AOB ＝，AB ＝3．已知：如图2，OAOB 、为O 的半径，C D 、分别为OA OB 、的中点，求证：（1）;A B ∠=∠ (2)AE BE =4.对⾓线互相垂直的四边形的各边的中点是否在同⼀个圆上？并说明理由.三、⾃我检测1.到定点O 的距离为2cm 的点的集合是以为圆⼼，为半径的圆.2.正⽅形的四个顶点在以为圆⼼，以为半径的圆上.3.⼀个点与定圆最近点的距离为4cm, 与最远点的距离是9cm ，则圆的半径是4．下列说法正确的有（）①半径相等的两个圆是等圆；②半径相等的两个半圆是等弧；③过圆⼼的线段是直径；④分别在两个等圆上的两条弧是等弧. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个5.如图3，点A O D 、、以及点B O C 、、分别在⼀条直线上，则圆中有条弦. 6、下列说法正确的是（填序号）①直径是弦②弦是直径③半径是弦④半圆是弧，但弧不⼀定是半圆⑤半径相等的两个半圆是等弧⑥长度相等的两条弧是等弧⑦等弧的长度相等 7.圆O 的半径为3 cm ，则圆O 中最长的弦长为8.如图4，在ABC ?中，90,40,ACB A ∠=?∠=?以C 为圆⼼，CB 为半径的圆交AB 于点D ，求ACD ∠的度数.9、已知：如图5，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB =2DE ，∠E =18°，求∠C 及∠AOC 的度数．（图1）（图2）（图4）（图3）（图5）第2课时 24.1.2 垂直于弦的直径⼀、新知导学1．阅读教材p80有关“赵州桥”问题，思考能⽤学习过的知识解决吗？2. 阅读教材p80“探究”内容，⾃⼰动⼿操作，发现了什么？由此你能得到什么结论？归纳：圆是__ __对称图形，____________ ________都是它的对称轴；3. 阅读教材p80“思考”内容，⾃⼰动⼿操作：按下⾯的步骤做⼀做：（如图1）第⼀步，在⼀张纸上任意画⼀个⊙O ，沿圆周将圆剪下，作⊙O 的⼀条弦AB ；第⼆步，作直径CD ,使CD AB ⊥，垂⾜为E ；第三步，将⊙O 沿着直径折叠. 你发现了什么？归纳：（1）图1是对称图形，对称轴是 .（2）相等的线段有，相等的弧有 .⼆、合作探究活动1：（1）如图2，怎样证明“⾃主学习3”得到的第（2）个结论. 叠合法证明：(2)垂径定理：垂直于弦的直径弦，并且的两条弧.定理的⼏何语⾔：如图2 CD 是直径（或CD 经过圆⼼），且CD AB ⊥____________,____________,_____________∴推论：___________________________________________________________________________．活动2 ：垂径定理的应⽤垂径定理的实际应⽤怎样求p80赵州桥主桥拱半径？解：如图3⼩结：（1）辅助线的常⽤作法：连半径，过圆⼼向弦作垂线段。

人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.2点和圆直线和圆的位置关系》第4课时教案一. 教材分析本节课主要讲述的是点和圆、直线和圆的位置关系。

通过学习，让学生了解点和圆、直线和圆之间的相互关系，掌握判断点和圆、直线和圆位置关系的方法，为后续解决相关问题打下基础。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了点、直线、圆的基本概念，对本节课的内容有一定的认知基础。

但学生对于点和圆、直线和圆的位置关系的判断方法还需要进一步引导和讲解。

三. 教学目标1.让学生掌握点和圆、直线和圆的位置关系及其判断方法。

2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.提高学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.重点：掌握点和圆、直线和圆的位置关系及其判断方法。

2.难点：如何判断直线和圆的位置关系，以及如何运用这些知识解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等多种教学方法，引导学生主动探究、合作交流，从而达到对本节课内容的理解和掌握。

六. 教学准备1.准备相关课件、教学素材。

2.布置预习任务，让学生提前了解本节课的内容。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾之前所学的基本概念，为新课的学习做好铺垫。

例如：“同学们，我们已经学习了点、直线、圆的基本概念，那么点和圆、直线和圆之间有什么关系呢？”2.呈现（10分钟）展示PPT，介绍点和圆、直线和圆的位置关系。

通过具体案例分析，让学生了解点和圆、直线和圆之间的相互关系，以及如何判断它们的位置关系。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，判断实例中点和圆、直线和圆的位置关系，并说明判断方法。

教师巡回指导，纠正错误，解答疑问。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，检验对点和圆、直线和圆位置关系的掌握程度。

教师选取部分学生的作业进行点评，指出优点和不足。

5.拓展（10分钟）引导学生运用所学知识解决实际问题。

24.1.４圆周角一、学习目标：1、理解圆周角的。

2、掌握并会应用___________定理及其推论。

３、知道多边形的外接圆。

４、理解圆的内接多边形的对角_________。

５、学习重点：６、学习难点：二、知识准备1、我们把顶点在圆心的角叫做___________。

2、圆的任意一条________的两个端点把圆分成两条_____，每一条_____都叫作半圆。

3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的________相等，所对的_____也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的___________相等，所对的_____也相等。

在同圆或等圆中，如果两弦相等，那么它们所对的___________相等，所对的_____也相等。

自习自疑文一、阅读教材P８４－８６内容，思考并回答下面的问题：1、我们把顶点在_________，并且两边都与圆_________的角叫做___________。

2、圆周角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角同弧或等弧所对的________相等，都等于这条弧所对的_________的＿＿＿。

３、推论：半圆（或直径）所对的圆周角是_________，９０º的圆周角所对的弦是_______。

４、如果一个多边形的_________________ 都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的________.这个圆叫做这个多边形的__________ .5、圆的内接多边形的性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

二、自习评估：1.如图，AB是⊙O的直径，∠A=10°,则∠ABC=________.2.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠ACD=40°,则∠BCD=_______,∠BOD=_______.3.如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点(不与点A、B重合)，延长BD到点C，使DC=BD ，判断△ABC 的形状：__________。

我想问：请你将预习中未能解决的问题和有疑问的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。

人教版九年级数学（上）第24章圆24.1圆的有关性质24.1.4圆周角课时1圆周角定理及其推论教案【教材内容】1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．【教学目标】知识与技能：1．了解圆周角的概念；2．理解圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半；3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；【教学重点】圆周角的定理、圆周角的定理的推导．【教学难点】1．探究圆周角的定理的存在；2．运用数学分类思想证明圆周角的定理．【教学过程设计】一、情境导入进行中的足球比赛如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究知识点一：圆周角定理例1 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为圆上两点，∠AOC ＝130°，则∠D 等于( )A ．25°B ．30°C ．35°D ．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC ＝130°，∠AOB ＝180°，∴∠BOC ＝50°，∴∠D ＝25°.故选A.探究点二：圆周角定理的推论【类型一】利用圆周角定理的推论求角例2 如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝30°，则∠B ＝( ) A ．150° B ．75° C ．60° D ．15°解析：因为AB ︵＝AC ︵，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B ＝∠C ，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＋2∠B ＝180°，又因为∠A ＝30°，所以30°＋2∠B ＝180°，解得∠B ＝75°，故选B.方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．例3 如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°解析：由BD 是直径得∠BCD ＝90°.∵∠CBD ＝30°，∴∠BDC ＝60°.∵∠A与∠BDC 是同弧所对的圆周角，∴∠A ＝∠BDC ＝60°.故选C.【类型二】利用圆周角定理的推论求线段长例4 如图所示，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AB ＝10cm ，∠A ＝30°，则BC 的长为________．解析：由AB 为⊙O 的直径得∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，因为∠A ＝30°，所以BC ＝12AB ＝12×10＝5cm.【类型三】利用圆周角定理的推论进行有关证明例5 如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C ，∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．探究点三：圆的内接四边形及性质【类型一】利用圆的内接四边形的性质进行计算例6 如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，点O 在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD ＝________度．解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°.∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC＝∠B.又由题意可知∠AOC＝2∠ADC.∴∠ADC ＝180°÷3＝60°.连接OD，可得AO＝OD，CO＝OD.∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD ＝∠ODC.∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠D＝60°.【类型二】利用圆的内接四边形的性质进行证明例7如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．解析：由已知易得∠E＝∠BCE，由同角的补角相等，得∠A＝∠BCE，则∠E ＝∠A.证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A ＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE.∴∠A＝∠E.∴AD＝DE.∴△ADE是等腰三角形．方法总结：圆内接四边形对角互补．三、教学小结教师引导学生总结本节所学知识：1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.【板书设计】24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角课时1 圆周角定理及其推论1.圆周角的概念2.圆周角定理及推论3.圆内接四边形的性质4.应用圆周角定理及推论进行计算【课堂检测】C1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：sin a A =sin b B =sin cC =2R ． 分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin bB=2R ，sin c C =2R ，即sinA=2a R ，sinB=2b R ，sinC=2c R ，因此，十分明显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=BC DC ，即2R=sin a A同理可证：sin b B =2R ，sin cC=2R∴sin a A =sin b B =sin cC =2R教学过程中，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟练掌握并会学以致用．在圆中，利用圆周定理及其推论求相关的角度时，注意辅助线的添加及多种可能情况的考虑．人教版九年级数学（上）第24章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角 课时1圆周角定理及其推论学案【学习目标】 知识与技能1．理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论；2．学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题； 3．了解拱高、弦心距等概念．过程与方法经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其他结论的过程，锻炼思维品质，学习证明的方法．情感、态度与价值观在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后，还要求对发现的性质 进行证明，培养学生的创新意识． 【学习重点】垂径定理及其推论． 【学习难点】探索并证明垂径定理． 【自主学习】一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P 81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A ，B 两点；②AB ⊥CD 交CD 于E ，那么可以推出：③CE ＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 1．在⊙O中，直径为10 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，则弦AB的长为__8_cm__．2．在⊙O中，直径为10 cm，弦AB的长为8 cm，则圆心O到AB的距离为__3_cm__．点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．3．⊙O的半径OA＝5 cm，弦AB＝8 cm，点C是AB的中点，则OC的长为__3_cm__．点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？(8米)点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．【新知探究】一、小组合作1．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AE＝9，BE＝1，求CD的长．解：6.点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．2．⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为__3__，最大值为__5__．点拨精讲：当OM与AB垂直时，OM最小(为什么)，M在A(或B)处时OM 最大．3．如图，线段AB与⊙O交于C，D两点，且OA＝OB.求证：AC＝BD.证明：作OE⊥AB于E.则CE＝DE.∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝BE，∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．二、跟踪练习学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．在直径是20 cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是__53 __cm.点拨精讲：这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6 cm，弓形的高为2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为__134__cm.3．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD.证明：过点O作OE⊥AB于点E.则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.点拨精讲：过圆心作垂径．4．已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，求弦AB与CD之间的距离．解：过点O作直线OE⊥AB于点E，直线OE与CD交于点F.由AB∥CD，则OF⊥CD.(1)当AB，CD在点O两侧时，如图①.连接AO，CO，则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝15 cm，OF＝7 cm.∴EF＝OE＋OF＝22 (cm)．即AB与CD之间距离为22 cm.(2)当AB，CD在点O同侧时，如图②，连接AO，CO.则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝15 cm，OF＝7 cm.∴EF＝OE－OF＝8 (cm)．即AB与CD之间距离为8 cm.由(1)(2)知AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm.点拨精讲：分类讨论，①AB，CD在点O两侧，②AB，CD在点O同侧．【学习总结】学生总结本节课的收获与困惑．(2分钟)1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．2．垂径定理及其推论以及它们的应用．教师点拨：圆是轴对称图形，经过圆心的都是它的对称轴。

圆教学时间课题24.1.4 圆周角课型新授课教学目标知识和能力1．了解圆周角与圆心角的关系．2．探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征．3．能运用圆周角的性质解决问题．过程和方法1．通过观察、比较，分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．2．通过观察图形，提高学生的识图能力．3．通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力．4．学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想解决问题．情感态度价值观引导学生对图形的观察发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．教学重点探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征．教学难点发现并论证圆周角定理．教学准备教师多媒体课件学生“五个一”问题与情境师生行为设计意图[活动1 ]演示课件或图片：教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆．教师解释：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物．教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题．教师结合示意图，给出圆周角的定义．利用几何画板演示，让学生辨析圆周角，并引导学生将问题1、问题2中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学．将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法．引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．问题1如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（和）有什么关系？问题2如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（和）和同学乙的视角相同吗？（）所对的圆心角（）与圆周角（）、同弧所对的圆周角（、、等）之间的大小关系．教师引导学生进行探究．教师关注：1．问题的提出是否引起了学生的兴趣；2．学生是否理解了示意图；3．学生是否理解了圆周角的定义；4．学生是否清楚了要研究的数学问题．［活动2］问题1同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的？问题2同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与圆周角∠ADB的大小关系是怎样的？教师提出问题，引导学生利用度量工具（量角器或几何画板）动手实验，进行度量，发现结论．在活动中，教师应关注：1．学生是否积极参与活动；2．学生是否度量准确，观察、发现的结论是否正确．由学生总结发现的规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．教师利用几何画板课件“圆周角定理”，从动态的角度进行演示，验证学生的发现．教师可从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无变化．1．拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动；2．改变圆心角的度数；3．改变圆的半径大小．活动2的设计是为引导学生发现．让学生亲自动手，利用度量工具（如半圆仪、几何画板）进行实验、探究，得出结论．激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性．教师利用几何画板从动态的角度进行演示，目的是用运动变化的观点来研究问题，从运动变化的过程中寻找不变的关系．［活动3］问题1在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几教师引导学生，采取小组合作的学习方式，前后四人一组，分组讨论．教师关注：数学教学是在教师的引导下，进行的再创造、再发现的教学．通过数学活动，教给学生一种科学研究的方法，学会发现问题、提出问种情况？(课件：折痕与圆周角的关系)问题2当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论？问题3另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？1．学生是否会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果；2．学生能否发现圆心与圆周角的三种位置关系．教师巡视，请学生回答问题．回答不全面时，请其他同学给予补充．教师演示圆心与圆周角的三种位置关系．教师引导学生从特殊情况入手证明所发现的结论．学生写出已知、求证，完成证明．教师关注：1．学生能否用准确的数学符号语言表述已知和求证，并准确地画出图形来；2．学生能否证明出结论．学生采取小组合作的学习方式进行探索发现，教师观察指导小组活动．启发并引导学生，通过添加辅助线，将问题进行转化．教师关注：1．学生是否会想到添加辅助线，将另外两种情况进行转化；题、分析问题，并能解决问题．活动3的安排是让学生对所发现的结论进行证明．培养学生严谨的治学态度．问题1的设计是让学生通过合作探索，学会运用分类讨论的数学思想研究问题．培养学生思维的深刻性．问题2、3的提出是让学生学会一种分析问题、解决问题的方式方法：从特殊到一般．学会运用化归思想将问题转化．并启发培养学生创造性的解决问题．2．学生添加辅助线的合理性；3．学生是否会利用问题2的结论进行证明．教师讲评学生的证明，板书圆周角定理．［活动4］问题1半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？（课件：圆周角定理推论）问题290°的圆周角所对的弦是什么?学生独立思考，回答问题，教师讲评．问题1提出后，教师关注：学生是否能由半圆（或直径）所对的圆心角的度数得出圆周角的度数．问题2提出后，教师关注：学生是否能由90°的圆周角推出同弧所对的圆心角度数是180°，从而得出所对的弦是直径．问题3提出后，教师关注：学生能否得出正确的结论，并能说明理由．活动4的设计是圆周角定理的应用．通过4个问题层层深入，考察学生对定理的理解和应用．问题1、2是定理的推论，也是定理在特殊条件下得出的结论．问题3的设计目的是通过举反例，让学生明确定理使用的条件．问题4是定理的引申，将本节课的内容与所学过的知识紧密结合起来，使学生很好地进行知识的迁移．问题5、6是定理的应用．即时反馈有助于记忆，让学生在练习中加深对本节知识的理解．教师通过学生练习，及时发现问题，评价教学效果．问题3在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？∠ABC=30°∠A’B’C’=30°问题4在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？问题5如图，点、、、在同一个圆上，四边形的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？教师提醒学生：在使用圆周角定理时一定要注意定理的条件．问题4提出后，教师关注：学生能否利用定理得出与圆周角对同弧的圆心角相等，再由圆心角相等得到它们所对的弧相等．问题5提出后，教师关注：学生是否准确找出同弧所对的圆周角．问题6提出后，教师关注：1．学生是否能由已知条件得出直角三角形ABC、ABD；2．学生能否将要求的线段放到三角形里求解；3．学生能否利用问题4的结问题6如图，⊙O的直径AB 为10 cm，弦AC 为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD 的长．论得出弧AD与弧BD相等，进而推出AD=BD．［活动5］问题通过本节课的学习你有哪些收获？教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容．教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握．教师布置作业．通过小结，使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联系，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感．增加阅读作业的目的是让学生养成看书的习惯，并通过看书加深对所学内容的理解．课后巩固作业是对课堂所学知识的检验，让学生巩固、提高、发展．作业设计必做教科书P87：4、5、6选做教科书P89：13、14、15教学反思。

人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.2点和圆直线和圆的位置关系》第4课时教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.2点和圆直线和圆的位置关系》第4课时，主要讲述了点和圆、直线和圆的位置关系。

通过本节课的学习，学生能够掌握点和圆、直线和圆的位置关系，并能够运用这些知识解决实际问题。

教材通过丰富的实例和图示，引导学生探索和发现规律，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对点和直线的位置关系有了初步的了解。

但是，对于点和圆、直线和圆的位置关系的理解和运用还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，教师需要根据学生的实际情况，采取合适的教学方法，引导学生主动探索和发现规律，提高学生解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解和掌握点和圆、直线和圆的位置关系，并能够运用这些知识解决实际问题。

2.过程与方法：学生通过观察、思考和探索，培养观察能力、思考能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：学生能够积极参与数学学习，体验数学学习的乐趣，增强对数学学习的信心。

四. 教学重难点1.重点：点和圆、直线和圆的位置关系。

2.难点：点的圆、直线和圆的位置关系的运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的实例和图示，引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。

2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生主动探索和发现规律，培养学生的问题解决能力。

3.合作学习法：学生分组讨论和合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.教学素材：准备相关的实例和图示，用于引导学生观察和思考。

2.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具，用于板书和讲解。

3.学习任务单：准备学习任务单，用于引导学生主动探索和发现规律。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实例，引导学生观察和思考，提出问题和引导学生思考问题。

例如，教师可以提出一个问题：“在平面上有三个点，它们与一个圆的位置关系是什么？”让学生观察和思考。

24．1.1 圆学习目标：1．了解圆的定义，理解弧、弦、半圆、直径等有关圆的概念．2．从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，探索圆的有关概念．重点、难点1、重点：圆的相关概念2、难点：理解圆的相关概念导学过程：阅读教材P78 —80 , 完成课前预习【课前预习】（1）举出生活中的圆的例子．（2）圆既是对称图形，又是对称图形。

（3）圆的周长公式C=圆的面积公式S=2：探究（1）圆的定义○1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转，另一个端点所形成的图形叫做．固定的端点O叫做，线段OA叫做．以点O为圆心的圆，记作“”，读作“”决定圆的位置，决定圆的大小。

圆的定义○2：到的距离等于的点的集合．（2）弦：连接圆上任意两点的叫做弦直径：经过圆心的叫做直径（3）弧：任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧半圆：圆的任意一条的两个端点把圆分成两条弧，每一条都叫做半圆优弧：半圆的弧叫做优弧。

用个点表示，如图中叫做优弧劣弧：半圆的弧叫做劣弧。

用个点表示，如图中叫做劣弧等圆：能够的两个圆叫做等圆等弧：能够的弧叫做等弧【课堂活动】活动1：预习反馈活动2：典型例题例1 如果四边形ABCD是矩形，它的四个顶点在同一个圆上吗？如果在，这个圆的圆心在哪里？例2 已知：如图，在⊙O中，AB，CD为直径求证：BCAD//活动3：随堂训练1、如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由。

2、你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以很清楚的看出树木生长的年轮。

把树木的年轮看成是圆形的，如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm，这棵红杉树的半径平均每年增加多少?活动4：课堂小结圆的相关概念：【课后巩固】一．选择题：1．以点O为圆心作圆，可以作（）A．1个B．2个C．3个D．无数个2．确定一个圆的条件为（）A．圆心B．半径C．圆心和半径D．以上都不对.3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知DE∆为直角三角形，则E∠的度数为（）AB2=，若CODA．︒5.22B．︒1530C．︒45D．︒二．解答题：5．如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D为OA、OB上两点，且BDAC=求证：BCAD=6．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD交于点O. 求证：点A、B、C、D在以O为圆心的圆上.7．如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别为OA、OB、OC、OD的中点.求证：点E、F、G、H四点在同一个圆上.。

第二十四章圆24.1.4 圆周角知识要点1．顶点在__圆周__上，并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角．2．在同圆或等圆中，__等弧__或__等弦__所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角__的一半．3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也__相等__．4．半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__，90°的圆周角所对的弦是__直径__．5．圆内接四边形的对角__互补__．知识构建1．如图所示，点A，B，C，D在圆周上，∠A＝65°，求∠D的度数．解：65°.第1题图)第2题图)2．如图所示，已知圆心角∠BOC＝100°，点A为优弧上一点，求圆周角∠BAC的度数．解：50°.3．如图所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，C为优弧AB的中点，求∠CAB的度数．解：65°.第3题图)第4题图)4．如图所示，已知AB是⊙O的直径，∠BAC＝32°，D是AC的中点，那么∠DAC的度数是多少？解：29°.知识运用5．如图所示，点A，B，C在⊙O上，连接OA，OB，若∠ABO＝25°，则∠C＝__65°__．第1题图)第2题图)6．如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB＝ __64°__．7．如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.∴BC＝＝8 (cm)．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD.由AB为直径，知AD⊥BD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AD2＋BD2＝2AD2＝2BD2＝AB2，∴AD＝5cm，BD＝5cm.点拨精讲：由直径产生直角三角形，由相等的圆周角产生等腰三角形．8．如图所示，OA为⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，若OD＝5 cm，则BE＝__10_cm__．点拨精讲：利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线．第1题图)第2题图)9．如图所示，点A，B，C在⊙O上，已知∠B＝60°，则∠CAO＝__30°__．10．OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC.求证：∠ACB＝2∠BAC.证明：∵∠AOB是劣弧所对的圆心角，∠ACB是劣弧所对的圆周角，∴∠AOB＝2∠ACB.同理∠BOC＝2∠BAC，∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠ACB＝2∠BAC.点拨精讲：看圆周角一定先看它是哪条弧所对圆周角，再看所对的圆心角．11．如图，在⊙O中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，求∠A.解：∠A＝50°点拨精讲：圆内接四边形的对角互补．。

数学：24.1圆教案（人教新课标九年级上）一、教学目标(一)知识与技能通过观察、操作等活动认识圆及圆的有关性质，了解点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，了解有关的数学历史。

(二)过程与方法1.经历探索圆及其有关性质的过程，体验观察、实验、抽象、推测等过程。

2.在活动中进一步发展空间观念，提高观察和实验能力，形象思维能力，形成对数学积极的态度、情感与价值观。

(三)情感态度和价值观1.积极参与数学活动，对与圆有关的知识产生好奇心和求知欲。

2.在学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

3.经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试交流与合作解问题的体会。

二、教学重点、难点教学重点：探索和理解圆及圆的有关性质。

教学难点：用圆的知识解释和描述生活中的有关现象。

发展与圆有关的各种数学活动。

三、教学过程(一)引入新课1.教师播放图片：平静的水面，阳光将枝叶的影子照射到一个球面上甚至是球面上有一个小球给学生带来强烈的视觉效果，营造新奇、富有情趣的学习氛围。

并提出问题：我们日常生活中常见的车轮都是什么形状的？车轮为什么都是圆的呢？2.引导学生列举生活中与圆有关的生活现象。

如：锅盖是圆的，硬币是圆的，奥运会徽标是圆的等等。

3.今天这节课我们就来学习有关圆的知识。

通过这节课的学习，以上问题就会迎刃而解了。

(二)分小组活动1.由生活中的圆形物体(如车轮)，让学生思考：车轮为什么是圆的？如果做成其他形状会有什么后果？通过生活中的实例引入圆的概念。

2.学生按原有的分组进行活动，并记录活动情况，交流活动情况和自己的看法，形成汇报材料。

教师巡视并参与学生的活动。

3.学生汇报活动情况，各组之间进行交流、互相学习。

通过活动学生可以列举许多实际生活中圆形的物体，并简单说明各种制作过程。

并通过观察和讨论形成圆的有关性质：(1)在同一个圆里，所有的半径都相等。

(2)在同一个圆里，半径是直径的一半。

(3)在同一个圆里圆的直径是半径的两倍即d=2r等。

24．1《圆的有关性质》24．1．4《圆周角定理及其推论》一、内容和内容解析本节教学内容源于人教版九年级上册“24．1．4圆周角”，属于“空间与图形”领域中“圆”的内容．圆心角、圆周角是与圆有关的角，圆周角是在垂径定理、圆心角及弧、弦的关系定理的基础上学习的．圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等以及证明圆中三角形相似等数学问题提供了十分便捷的方法和思路．圆周角定理的证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和一般到特殊的化归思想，使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的思考方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步发展学生的逻辑思维能力和演绎推理能力．教学过程中，应注意积极创设问题情境，突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来发现和探索圆心角与圆周角，圆周角与圆周角之间的数量关系，同时还要求学生能对发现的结论进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续．基于上述分析，确定本节教学重点是：直观操作与推理论证相结合，探索并论证圆周角定理及其推论，发展推理能力，渗透分类讨论和化归等数学思想和方法．二、目标和目标解析1．理解圆周角的定义．通过与圆心角的类比，明确圆周角的两个特征：①顶点在圆上；①两边都与圆相交，会在具体情景中辨别圆周角．2．掌握圆周角定理及其推论．经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理的探索过程，发展学生的逻辑思维能力和推理论证以及用几何言语表达的能力；提高运用数学解决实际问题的意识和能力，同时对学生进行辩证唯物主义的教育．3．通过对圆周角定理的论证，渗透分类讨论、化归等数学思想和方法．4．引导学生对图形进行观察、研究、添加辅助线，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，培养学习的自信心．三、问题诊断分析教师教学可能存在的问题：（1）创设问题情景，以具体的实际问题为载体，引导学生对概念和性质的学习是新课程倡导的教学方法，在本课中要求列举一些典型的、贴近学生生活实际的例子是不容易做到的；（2）不能设计有效的数学问题，使学生通过有思维含量的数学问题，展开有效的数学教学活动，引导学生积极地探索圆周角的性质，发展学生的数学思维；（3）过分强调知识的获得，忽略了数学思想和方法的渗透；（4）对学生学习过程中所体现出来的态度和情感关注不够，以至于不能很好地激发好奇心和求知欲，体验成功的乐趣，培养自信心．学生学习中可能出现的问题：（1）不喜爱或者不了解足球的同学缺乏兴趣，致使不能很好地激发学习欲望；（2）对完全归纳法、分类讨论等数学思想和方法理解有困难；（3）一般到特殊的转化、辅助线的添加、论证过程的书写等都将是学生学习过程中的弱点．鉴于上述分析，确定本节的教学难点是：列举典型的、贴近学生生活实际的例子，通过设计有效的、有思维含量的数学问题，激活学生的数学思维，引导探索圆周角的性质，理解分类讨论证明数学命题的思想和方法．教学任务分析解决问题1．会在具体情景中辨别圆周角．2．运用圆周角定理及其推论解决问题．教学流程安排通过观察度量、实验操作、图形变换、推理来探索图形的性质，从而让学生学会分析问题和解决问题的方法，体会分类思想和转化思想．教学过程设计活动二探究新知，发现规律1．画一画：在图2圆O上任取弧AB，画出圆周角∠ACB，画出圆心角∠AOB．你发现：一条弧对着个圆周角；一条弧对着个圆心角．2．量一量:在图2中，请同学们用量角器测量∠AOB= °；∠ACB= °．猜想：∠AOB=∠ACB．3．想一想：圆心与圆周角有几种位置关系？请画出来．所对的圆心角的关活动三证明规律，总结性质1．证一证:你会选择那种来证明，说说你的证明过程．2．思考：另外两种情况能否转变成第一种情况呢？如何转变呢？★圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的．推论1：同弧或所对的圆周角．从特殊情况入手，证明猜想，既便于学生的学习，又为其他两种情况的证明提供了转化的方向．将一般情况化为特殊情况，体现了化归的数学思想．学生通过证明三种情况，感受分类证明的必要性，有利于逻辑推理能如图所示，几何语言:推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是，的圆周角所对的弦是直径．如图所示，几何语言:3．圆周角定理及其推论文字语言、图形语言、几何语言的转化．掌握圆周角定活动四运用性质，典例分析如图，AB是 O的直径，点C，D是 O上的点，(1)若∠C=40°，则∠AOD=_______．(2)连接AD，若∠OAD=50°，则∠C=_______．（1）（3）（4）(3)如图，连接DO并延长交 O于点E,连接BE，则∠1+∠2=________．，通过习题和例题考查学生对定理及推论的理解和应用，并使学生在从复杂的图形中分解出基本图形的训练中，BC=_______．活动五小结收获，布置作业1．布置课后作业2．小结收获主要知识: 一个定义，一个定理，两个推论主要思想与方法: 你还有什么困惑:勇于拼搏，顶住压力，中考必胜!。

第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆学习目标1.理解圆的两种定义形式.2.理解与圆有关的一些概念.学习过程设计一、设计问题,创设情境活动1:观察图形,从中找到共同特点.二、信息交流,揭示规律(一)圆活动2:1.画圆2.圆的定义:归纳:圆心是确定圆在平面内的的,半径是确定圆的的,所以,圆是由和两个要素确定的.圆有个圆心,条半径,同一个圆中所有的都相等.活动3:结合定义,师生共同讨论以下几个问题:(1)篮球是圆吗?为什么?(2)以3厘米为半径的圆,能画出几个?为什么?(3)以点O为圆心画圆,能画几个?为什么?(4)在圆的定义中,为什么要强调“另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆”?不是端点行吗?(5)反过来,平面内所有到点O的距离等于线段OA的长的点都在圆上吗?3.从画圆的过程可以看出:(1)圆上各点到的距离都等于.(2)到定点的距离等于定长的点都.因此,圆心为O,半径为r的圆可以看成是的点的集合.活动4:讨论圆中相关元素的定义:(二)与圆有关的概念:(画图,结合图形说明)1.弦:.直径:.思考:直径是不是弦?弦是不是直径?答:.2.弧:.半圆:.由此可知:弧可分为三类,大于半圆的弧叫,小于半圆的弧叫,还有半圆.3.等圆:能够重合的圆.等圆的半径.4.同心圆:圆心相同,半径不同的圆.请你画出来:5.等弧:.思考:长度相等的两条弧是否是等弧?为什么?答:等弧只能出现在或中.三、运用规律,解决问题活动5:1.在现实生活中,许多物体给我们以圆的形象,同学们想一想,为什么车轮要做成圆形的,如果是椭圆的或其他形状可以吗?2.判断(1)直径是弦,弦也是直径.()(2)半圆是弧,弧也是半圆.()(3)同圆的直径是半径的2倍.()(4)长度相等的弧是等弧.()(5)等弧的长度相等.()(6)过圆心的直线是直径.()(7)直径是圆中最长的弦.()四、变式训练,深化提高活动6:1.如何在操场上画一个半径是5 m的圆?说出你的理由.2.你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚地看出树生长的年龄.如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23 cm,这棵红杉树的半径平均每年增加多少?3.如图,正方形OCEF的顶点E在☉O上,求半圆的直径AB.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境活动1:都有圆形.二、信息交流,揭示规律(一)圆活动2:1.2.在一个平面内,线段OA绕它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.归纳:位置大小圆心半径1无数半径活动3:(1)不是圆必须是“在同一个平面内”.(2)无数个.圆心不固定.(3)无数个.半径不定.(4)强调端点意在说明:圆上各点到圆心O(定点)的距离都等于线段OA的长(定长).如果不是定长,就可能得到一个别的图形.(5)都在圆上.3.(1)圆心半径(2)在圆上到圆心O的距离等于半径r活动4:(二)1.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦直径:经过圆心的弦叫做直径思考:直径是弦,弦不是直径2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆优弧劣弧3.相等4.略5.等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧不是,因为必须在同圆或等圆中相等的弧才是等弧等圆同圆三、运用规律,解决问题活动5:1.车轮做成圆形,车轮上各点到车轮中心(圆心)的距离都等于车轮的半径,当车轮在平面上滚动时,车轮中心与平面的距离保持不变.因此当车辆在平坦的路上行驶时,坐车的人会感觉到非常平稳;如果做成其他形状,比如正方形,正方形的中心距离地面的距离随着椭圆的滚动而改变,因此中心到地面的距离就不是保持不变,因此不稳定.2.(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×(7)√四、变式训练,深化提高活动6:1.可以用一条长5 m的绳子,将绳子的一端A固定,然后拉紧绳子的另一端B,并绕A在地上转一圈.B所经过的路径就是所要的圆.2.解:树干的半径是23÷2=11.5(cm).平均每年半径增加11.5÷20=0.575(cm).3.解:在正方形OCEF中,OC=CE=1,∵OE2=OC2+CE2,∴OE==,∵OE=OB=OA,∴AB=2.五、反思小结,观点提炼略第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径学习目标1.掌握垂径定理及相关结论.2.运用这些结论解决一些有关证明、计算和作图问题.学习过程设计一、设计问题,创设情境问题:你知道赵州桥吗?它是1 300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?二、信息交流,揭示规律活动1:用你手中的一个圆形纸片,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?活动2:如图1,AB是☉O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.图1(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧吗?为什么?相等的线段:相等的弧:由此可得垂径定理:.请结合图形,写出它的推理形式.∵∴若将问题中的直径CD⊥AB改为CD平分AB,你又能得到结论:(图中弦AB是否可为直径?)请结合图形,写出它的推理形式.∵∴三、运用规律,解决问题活动3:1.在下列图形中,你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧.2.填空(1)如图(1),半径为4 cm的☉O中,弦AB=4 cm,那么圆心O到弦AB的距离是.(2)如图( ),☉O的直径为10 cm,圆心O到弦AB的距离为 3 cm,则弦AB的长是.(3)如图(3),半径为2 cm的圆中,过半径中点且垂直于这条半径的弦长是.3.解决求赵州桥拱半径的问题.四、变式训练,深化提高活动4:1.某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图所示,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问修理人员应准备内径多大的管道?2.通过本节课的学习,你能编一道用垂径定理来解决的数学问题吗?五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境略二、信息交流,揭示规律活动1:圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.图2活动2:(1)是轴对称图形,对称轴是CD.(2)AM=BM;=,=.如图(2)所示,连接OA,OB.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵CD是直径,CD⊥AB,∴AM=BM,=,=.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.∵CD是直径,AM=BM,∴CD⊥AB,=,=.三、运用规律,解决问题活动3:1.解:上面三个图可以找到相等的线段或相等的圆弧.2.(1)23 cm(2)8 cm(3)23 cm3.解:在图中AB=37,CD=7.23,OD=OC-CD=R-7.23,AD=AB=×37=18.5,在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,即R2=18.52+(R-7.23)2,解得:R≈ 7.3(m).因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.四、变式训练,深化提高活动4:1.解:如图所示,连接OA,过O作OE⊥AB,垂足为E,交圆于点F,则AE=AB=30 cm.令☉O的半径为R,则OA=R,OE=OF-EF=R-10.在Rt△AEO中,OA2=AE2+OE2,即R2=302+(R-10)2.解得R=50 cm.即修理人员应准备内径为100 cm的管道.2.略五、反思小结,观点提炼略第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角学习目标理解弧、弦、圆心角之间的关系,并运用这些关系解决有关的证明、计算问题.学习过程设计一、设计问题,创设情境1.圆是轴对称图形,其对称轴是.圆还是对称图形,其对称中心是.2.圆绕旋转度可以与自身重合,由此可得:圆具有旋转不变性.二、信息交流,揭示规律1.圆心角:顶点在的角,叫圆心角.2.探究:(1)如图,☉O中∠AOB=∠A'OB',则AB A'B',.(2)如图,☉O中=,则∠AOB ∠A'OB',AB A'B'.(3)如图,☉O中AB=A'B',则∠AOB ∠A'OB',.文字语言叙述:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧,所对的弦也.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角,所对的弦.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角,所对的弧.符号语言:如上图(1)∵∠AOB=∠A'OB',∴,.(2)∵=,∴,;(3)∵AB=A B ,∴,.3.反例:在图中,∠AOB=∠A'OB',但弦AB和A'B'相等吗?和相等吗?三、运用规律,解决问题【例1】如图:在☉O中,弧=,∠ACB=60°.求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.【例2】如图,AB是☉O的直径,==,∠COD=35°,求∠AOE的度数.【例3】如图,在☉O中,AD=BC,比较与的大小.,并证明你的结论.四、变式训练,深化提高为建设我们美丽的校园,学校准备把圆形花坛的外沿分成相等的三部分,每部分用不同颜色的花砖砌成,请你用所学知识帮助设计一种施工方案.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.直径所在的直线中心对称圆心2.圆心任意角二、信息交流,揭示规律1.圆心2.(1)= = (2)= = (3)= = 相等相等相等相等相等相等(1)AB=A'B' =( )∠AOB=∠A'OB' AB=A'B' (3)=∠AOB=∠A'OB'3.不相等;不相等.三、运用规律,解决问题【例1】证明:∵=,∴AB=AC,△ABC是等腰三角形.又∵∠ACB=60°,∴△ABC是等边三角形,AB=BC=CA.∴∠AOB=∠AOC=∠BOC.【例2】解:∵==,∴∠COB=∠COD=∠DOE=35°,∴∠AOE= 80°-∠COB-∠COD-∠DOE=75°.【例3】解:∵AD=BC,∴=,∴+=+,∴=.四、变式训练,深化提高做三个相等的圆心角各 0°,三个角所对的弧相等.五、反思小结,观点提炼略第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.4 圆周角(第1课时)学习目标1.理解圆周角的定义,掌握圆周角定理.2.初步运用圆周角定理解决相关问题.3.渗透分类讨论思想.学习过程设计一、设计问题,创设情境什么叫圆心角?在图1中画出所对的圆心角,能画几个?图1二、信息交流,揭示规律(一)圆周角定义1.定义:叫圆周角.辨析:图中的角是圆周角的是.2.在图1中画出弧所对的圆周角.能画几个?(二)探究1:1.根据圆周角与圆心的位置关系可将圆周角分为几类?在下图中画出所对的圆周角.2.量出所对的圆周角和∠AOB的度数你会发现: .3.尝试证明你的发现.归纳:圆周角定理:.在图中,由圆周角定理可知:∠ADB ∠ACB= .思考:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗?为什么?(三)探究2:在图中画出直径AB所对的圆周角,你有什么发现?归纳:圆周角定理的推论:.三、运用规律,解决问题1.如图,点A、B、C、D在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角,这些角中哪些是相等的角?2.如图,☉O的直径AB为10 cm,弦AC为6 cm,∠ACB的平分线交☉O于D,求BC,AD,BD 的长.四、变式训练,深化提高已知在一个圆形博物馆的墙壁周围安装电子监视仪,若每只监视仪最大监视视角为30°,要使博物馆室内每一个角落都能监视到,你认为至少要安装多少个监视仪?五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境顶点在圆心的角叫做圆心角.1个.二、信息交流,揭示规律(一)1.顶点在圆上,两边都与圆相交的角 E2.无数个.(二)1.三类.画图略2.同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半3.证明:证法1:∵OA=OC,∴∠A=∠C,又∵∠BOC=∠A+∠C,∴∠BOC= ∠A,即∠A=∠BOC.证法2:作射线AO交☉O于点D.由第1种情况得∠BAD=∠BOD,∠CAD=∠COD,∠BAD+∠CAD=∠BOD+∠COD,即∠BAC=∠BOC.证法3:作射线AO交☉O于点D,由第1种情况得∠CAD=∠COD,∠BAD=∠BOD,∠CAD-∠BAD=∠COD-∠BOD,即∠BAC=∠BOC.归纳:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.=∠AOB相等;因为同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半,圆周角相等,圆心角就相等,圆心角所对的弧就相等.(三)画图略.直径AB所对的圆周角都是直角;同弧或等弧所对的圆周角相等,半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.三、运用规律,解决问题1.∠ =∠4;∠ =∠7;∠3=∠6;∠5=∠8.2.解:∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形.在Rt△ABC中,BC=-= 0-6=8.∵CD平分∠ACB,∴=,∴AD=BD.又在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,∴AD=BD=AB=×10=5(cm).四、变式训练,深化提高6个.五、反思小结,观点提炼略第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.4 圆周角(第2课时)学习目标1.掌握圆内接四边形的概念及其性质,并能灵活运用.2.了解直角三角形的一种判定方法.学习过程设计一、设计问题,创设情境1.如图,AB是☉O的直径,C为圆上一点,则∠ACB= .2.如图,点A,B,C,D是☉O上的点,若∠BOD= 00°,则∠A= ,∠C= .二、信息交流,揭示规律如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做这个.问题1:如图,四边形ABCD叫做☉O的内接四边形,而☉O叫做四边形ABCD的外接圆, 猜想:∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为.由此得出圆内接四边形的性质: .三、运用规律,解决问题1.四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠A与∠C是一对对角,且∠A= 0°,∠B=80°,则∠C= ,∠D= .2.☉O的内接四边形ABCD中,∠A,∠C是一对对角,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则∠D= .问题2:如图,CD是△ABC的中线,且CD=AB.求证:∠ACB=90°.由此得直角三角形的判定方法:如果三角形,那么这个三角形是.四、变式训练,深化提高1.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,且∠BOD= 0°,则∠C= .2.☉O中,∠AOB= 0°,则弦AB所对的圆周角的度数为.3.☉O的内接四边形ABCD中∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能是()A.1∶2∶3∶4B.4∶1∶3∶2C.4∶3∶1∶2D.4∶1∶2∶44.已知,▱ABCD是☉O的内接四边形,求证:▱ABCD是矩形.课堂小结1.圆内接四边形的性质: .2.直角三角形的判定方法:.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.90°2.50° 30°二、信息交流,揭示规律圆的内接多边形多边形的外接圆问题 :∠A+∠C= 80°;∠B+∠D= 80°圆的内接四边形对角互补三、运用规律,解决问题1.70° 00°2.90°问题2:证明:∵在△ABC中,CD是AB边上的中线,∴AD=BD.又∵CD=AB,∴AD=BD=CD,∴A,B,C在以点D为圆心,AB为直径的圆上.∴∠ACB=90°.一边上的中线等于这条边的一半直角三角形四、变式训练,深化提高1. 5°2.55°或 5°3.C4.证明:∵▱ABCD是☉O的内接四边形,∴∠A+∠C= 80°,在▱ABCD中,∠A=∠C,∴∠A=∠C=90°,∴▱ABCD是矩形.课堂小结略五、反思小结,观点提炼略第二十四章圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系学习目标1.理解点和圆的三种位置关系及判定方法,能熟练地运用判定方法判定点与圆的位置关系.2.掌握不在同一直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆.学习过程设计一、设计问题,创设情境问题:我国射击运动员在奥运会上获金牌,为我国赢得了荣誉.右图是射击靶的示意图,它是由许多同心圆(圆心相同,半径不相同)构成的,你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗?二、信息交流,揭示规律1.点P与☉O有哪几种位置关系?画图说明.2.点P到圆心O的距离为d,根据每种位置关系比较☉O的半径r与d的数量关系.当点P在圆时,d r;当点P在圆时,d r;当点P在圆时,d r.3.结合画图说明:设点P到圆心O的距离为d,☉O的半径为r,若d>r,则点P在圆;若d=r,则点P在圆;若d<r,则点P在圆;归纳:①点P在⇔d r;②点P在⇔d r;③点P在⇔d r.练习:1.已知圆的半径等于5厘米,点到圆心的距离是:A.8厘米B.4厘米C.5厘米请你分别说出点与圆的位置关系.2.如图,已知矩形ABCD的边AB=3厘米,AD=4厘米.(1)以点A为圆心,3厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?(2)以点A为圆心,4厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?(3)以点A为圆心,5厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?4.画图探究:图1图2(1)如图1,经过已知点A作圆,这样的圆你能作出多少个?(2)如图2,经过已知点A,B作圆,这样的圆你能作出多少个?它们的圆心分布有什么特点?(3)经过三点作圆①当点A,B,C在同一条直线上时,过这三点能否作圆?②当点A,B,C不在同一条直线上时,过这三点能否作圆?如果能,指出圆心位置.这样的圆能作出多少个?小结:(1)经过一点可以作个圆;经过两点可以作个圆,它们的圆心在上.(2)个点确定一个圆.(3)经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的,这个三角形叫做圆的,圆心叫做三角形的.练习:画出以下几个三角形的外接圆归纳:锐角三角形外心在三角形部;钝角三角形外心在三角形部;直角三角形外心在.三、运用规律,解决问题(一)判断题:1.过三点一定可以作圆()2.三角形有且只有一个外接圆()3.任意一个圆有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形()4.三角形的外心就是这个三角形任意两边垂直平分线的交点()5.三角形的外心到三边的距离相等()(二)思考:如图,CD所在的直线垂直平分线段AB,怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心.(三)如何解决“破镜重圆”的问题四、变式训练,深化提高1.思考:任意四个点是不是可以作一个圆?请举例说明.2.为美化校园,学校要把一块三角形空地扩建成一个圆形喷水池,在三角形三个顶点处各有一棵名贵花树(A,B,C),若不动花树,还要建一个最大的圆形喷水池,请设计你的实施方案.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境两种.二、信息交流,揭示规律1.三种.P的三种位置如图A,B,C2.外> 上= 内<3.外上内归纳:①圆外> ②圆上= ③圆内<练习1:A.圆外、B.圆内、C.圆上.2.(1)B在圆上,D在圆外,C在圆外,(2)B在圆内,D在圆上,C在圆外,(3)B在圆内,D在圆内,C在圆上.4.(1)无数个.(2)无数个;经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.(3)①不能.②能.不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心在AB,AC,BC三条线的垂直平分线的公共交点上.小结:略练习:略三、运用规律,解决问题(一)1.×2.√3.×4.√5.×(二)因为A,B两点在圆上,所以圆心必与A,B两点的距离相等,又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,所以圆心在CD所在的直线上,因此可以作任意两条直径,它们的交点为圆心.(三)四、变式训练,深化提高1.(1)四点在一条直线上时不能作圆;(2)三点在同一直线上,另一点不在这条直线上不能作圆;(3)四点中任意三点不在一条直线上有可能作出圆也可能作不出一个圆.2.作三角形ABC的外接圆.五、反思小结,观点提炼略第二十四章圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系(第1课时)学习目标1.理解直线与圆的相交、相切、相离三种位置关系.2.掌握它们的判定方法.学习过程设计一、设计问题,创设情境活动1:1.点与圆有几种位置关系?2.怎样判定点和圆的位置关系?活动2:你能根据直线和圆的公共点个数想象一下,直线和圆有几种位置关系吗?二、信息交流,揭示规律活动3:(1)直线和圆的公共点个数的变化情况如何?公共点个数最少时有几个?最多时有几个?(2)通过刚才的研究,你认为直线和圆的位置关系可分为几种类型?1.判断下列直线和圆的位置关系.2.判断下列说法正确与否(1)直线与圆最多有两个公共点.()(2)若C为☉O上的一点,则过点C的直线与☉O相切.()(3)若A,B是☉O外两点,则直线AB与☉O相离.()(4)若C为☉O内一点,则过点C的直线与☉O相交.()活动4:议一议对比点和圆的位置关系的判定方法,是否还有其他的方法来判断直线与圆的位置关系?三、运用规律,解决问题活动5:如图,∠AOB=30°,P为OB上一点,且OP=5 cm,以P为圆心,以R为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系?为什么?①R=2 cm;②R=2.5 cm;③R=4 cm.2.填表四、变式训练,深化提高1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5 cm,BC=12 cm,以点C为圆心,r为半径作圆.(1)当r满足时,直线AB与☉C相离;(2)②当r满足时,直线AB与☉C相切;(3)当r满足时,直线AB与☉C相交;(4)当r满足时,线段AB与☉C有且只有一个公共点.2.试着编一道直线与圆位置关系的题目,使得直线与圆满足相离、相切、相交三种位置关系.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境活动1:1.3种2.(1)点到圆心的距离大于半径时,点在圆外.(2)点到圆心的距离等于半径时,点在圆上.(3)点到圆心的距离小于半径时,点在圆内.活动2:直线和圆有三种位置关系.二、信息交流,揭示规律活动3:(1)一开始没有公共点,到有一个公共点,然后有两个公共点;0;2(2)3种1.相离;与☉O1相离,与☉O2相交;相切;相交.2.( )√(2)×(3)×(4)√活动4:利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系.三、运用规律,解决问题1.解:过点P作PM⊥OA于点M.在Rt△OMP中,∠AOB=30°,OP=5 cm∴PM=2.5 cm.(1)R=2 cm,∵2<2.5,∴☉P与OA相离.(2)R=2.5 cm,∵2.5=2.5,∴☉P与OA相切.(3)R=4 cm,∵4>2.5,∴☉P与OA相交.2.位置关系公共点个四、变式训练,深化提高1.(1)0<r<603 (2)r=603 (3)r>603 (4)r=603或5<r ≤ 2.略五、反思小结,观点提炼 略第二十四章 圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系(第2课时)学习目标1.掌握切线的判定定理的内容,并会运用它进行切线的证明.2.能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线.学习过程设计一、设计问题,创设情境1.圆的直径是15 cm,如果直线与圆心的距离分别是(1)5.5 cm,(2)7.5 cm,(3)15 cm,那么直线和圆的位置关系分别是(1) ,(2) ,(3) ;直线和圆的公共点的个数依次是 , , .2.你有哪几种方法判断一条直线是圆的切线? 二、信息交流,揭示规律 1.切线的判定定理的得出:作图:在☉O中,经过半径OA 的外端点A 作直线l ⊥OA ,已知OA=r.那么,(1)圆心O 到直线l 的距离是 ;(2)直线l 和☉O 的位置关系是 . 归纳:切线的判定定理:经过并且的直线是圆的切线.请依据上图,用符号语言表达切线的判定定理:判断:(1)过半径的外端的直线是圆的切线.()(2)与半径垂直的直线是圆的切线.()(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线.()2.总结:到此为止学习的切线的判定方法共有:(1);(2);(3) .三、运用规律,解决问题1.已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线?2.如图,直线AB经过☉O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证:直线AB是☉O的切线.3.已知点O为∠BAC平分线上一点,OD⊥AB于点D,以O为圆心,OD为半径作☉O.求证:☉O 与AC相切.课堂小结若证直线是圆的切线,1.当该直线过圆上一点时,则连接,再证;2.当没有指明该直线过圆上一点时,则过作,再证.四、变式训练,深化提高1.如图,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AC于点E,以O为圆心,OE为半径作☉O.求证:AB是☉O的切线.2.已知:△ABC内接于☉O,过点A作直线EF.(1)如图1,AB为直径,要使EF为☉O的切线,还需添加的条件是(只需写出两种情况):①;②.(2)如图2,AB是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证:EF是☉O的切线.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.相交相切相离2102.(1)定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.(2)数量法(d=r):和圆心距离等于半径的直线是圆的切线.二、信息交流,揭示规律1.(1)r (2)相切半径的外端垂直于半径∵OA是半径,l⊥OA于点A∴l是☉O的切线.判断:(1)×(2)×(3)×2.总结:(1)定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线(2)数量法(d=r):和圆心距离等于半径的直线是圆的切线(3)判定定理:经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线三、运用规律,解决问题1.略2.证明:连接OC(图略).∵在△OAB中,OA=OB,CA=CB,∴AB⊥OC于C.∵OC是☉O的半径,∴AB是☉O的切线.3.证明:过O作OE⊥AC于点E(图略).∵AO平分∠BAC,OD⊥AB,∴∠DAO=∠CAO,∠ADO=∠AEO=90°,又∵AO=AO,∴△ADO≌△AEO,∴OE=OD,即圆心O到AC的距离d=r,∴AC是☉O的切线.课堂小结:1.这点和圆心直线垂直于经过这点的半径2.圆心直线的垂线段这条线段的长等于圆的半径四、变式训练,深化提高1.证明:过点O作OF⊥AB于点F∵AB=AC,AO⊥BC,∴AO平分∠BAC,又∵OE⊥AC,OF⊥AB,∴OE=OF,∴AB是☉O的切线.2.(1)AB⊥EF ∠CAE=∠B(2)证明:过点O作直径AD,连接DC.∵=,∴∠D=∠B.∵AD是直径,∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠D=90°,即∠CAD+∠B=90°.又∵∠CAE=∠B,∴∠CAD+∠CAE=90°,∴OA⊥EF,∴EF是☉O的切线.五、反思小结,观点提炼略第二十四章圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系(第3课时)学习目标1.理解切线的性质定理内容和推出过程.2.会用切线的性质定理证明.学习过程设计一、设计问题,创设情境作图1:过☉O外一点P作直线.作图2:若点A为☉O上的一点,如何过点A作☉O的切线?二、信息交流,揭示规律如图,如果直线AB是☉O的切线,切点为点C,那么半径OC与直线AB是不是一定垂直呢?(用反证法说明)归纳:圆的切线的性质:符号表示:∵∴三、运用规律,解决问题1.如图,AB是☉O的直径,直线l1,l2是☉O的切线,A,B是切点,l1与l2有怎样的位置关系?证明你的结论.2.如图,以O为圆心的两个同心圆,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点,求证:AP=BP.四、变式训练,深化提高1.如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为点D,求证:AC平分∠DAB.2.如图,BC切☉O于点B,AB为☉O的直径,弦AD∥OC.求证:CD是☉O的切线.课堂小结切线的判定方法:。