平面几何四心讲义

平面向量“四心”知识点总结与经典习题【强烈推荐】平面向量的“四心”是指三角形的外心、内心、重心和垂心，它们各自具有特殊的性质。

在高中数学中，向量问题经常与“四心”问题结合考查。

因此，熟悉向量的代数运算和几何意义是解决这类问题的关键。

四心知识点总结如下：重心：1.重心是三角形三条中线的交点，也是重心到三角形三个顶点距离之和最小的点。

2.重心坐标为$(\frac{1}{3}(x_A+x_B+x_C),\frac{1}{3}(y_A+y_B+y_C))$。

垂心：1.垂心是三角形三条高线的交点，也是垂足到三角形三边距离之积最大的点。

2.若垂心为$O$，则有$OA\cdot OB=OA\cdot OC=OB\cdot OC$。

外心：1.外心是三角形三条中垂线的交点，也是到三角形三个顶点距离相等的点。

2.若外心为$O$，则有$OA=OB=OC$，或$(OA+OB)\cdot AB=(OB+OC)\cdot BC=(OC+OA)\cdot CA$。

内心：1.内心是三角形三条角平分线的交点，也是到三角形三边距离之和最小的点。

2.若内心为$O$，则有$a\cdot OA+b\cdot OB+c\cdotOC=0$，其中$a,b,c$为三角形三边的长度。

下面是一些经典题：1.在$\triangle ABC$中，$D,E,F$分别为$BC,CA,AB$的中点，$M$为重心，则$\vec{AM}$等于（）。

A。

$\frac{1}{3}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})$B。

$\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})$C。

$\frac{1}{3}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})+\vec{OG}$ D。

$\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})+\vec{OG}$ 答案：C2.在$\triangle ABC$中，$O$为坐标原点，$P$满足$\vec{OP}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})$，则$P$一定在（）上。

图3图4三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图1 ，在三角形△ABC 中，有三条边,,AB BC CA ，三个顶点,,A B C ，在三角形中，角平分线、中线、高（如图2）是三角形中的三种重要线段.一、三角形的重心三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心. 1、三角形的三条中线必交于一点1.已知：如图3中△ABC 的两条中线AD 、BE 相交于点O ，连结并延长CO ，交AB 于点F 。

求证：AF=CF证明：延长OF 到点G ，使OG=OC ∵OG=OC, ∴点O 是CG 的中点又∵点D 是BC 的中点 ∴OD 是△BGC 的一条中位线 ∴AD ∥BG ∵点O 是CG 的中点，点E 是AC 的中点 ∴OE 是△CGA 的一条中位线 ∴BE ∥AG∵AD ∥BG ，BE ∥AG ,∴四边形AOBG 是平行四边形 ∴AB 、OG 互相平分,∴AF=CF2、三角形重心的性质(1).重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

(2).重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

例1：如图4中，已知三角形的一边和重心，你能找到三角形的第三个顶点吗?请你画出它的位置。

图1图2图5图6三角形的三条高线相交于一点，这个交点称为三角形的垂心. 1、三角形的三条高必交于一点已知：如图5中△ABC 中，AD 、BE 是两条高，AD 、BE 交于点O ，连接CO 并延长交AB 于点F 求证：CF ⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90°,且在AB 同旁，∴A 、B 、D 、E 四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE （同弧上的圆周角相等） ∵∠EAO=∠DAC,∠AEO=∠ADC=90°∴△AEO ∽△ADC ∴AE/AD=AO/AC 即AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD ∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90° ∴∠ACF+∠BAC=90° ∴CF ⊥AB2、三角形垂心的性质(1).锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外(2).△ABC 中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO ·OE=CO ·OF例2：如图6，点H 是等腰△ABC 的垂心，在底边BC 长度不变的情况下，顶点A 到底边BC 的距离变化时，乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值是否变化？证明你的结论.图7图8图9三角形的三条内角平分线相交于一点，这个交点称为三角形的内心. 1、三角形的三条内角平分线必交于一点己知：如图7，在△ABC 中，∠A 与∠B 的角平分线交于点O ，连接OC求证：OC 平分∠ACB 证明：过O 点作OD,OE,OF 分别垂直于BC,AC,AB,垂足分别为D,E,F∵AO 平分∠BAC,∴OE=OF ；∵BO 平分∠ABC,∴OD=OF ；∴OD=OE ∴O 在∠ACB 角平分线上 ∴CO 平分∠ACB2、三角形内心的性质(1).三角形的内心到三边的距离相等，都等于三角形的内切圆半径r ，cb a S r ABC++=∆2(2).在Rt △ABC 中，∠C=90°，2cb a r -+=． (3).∠BOC = 90 °+∠A/2， ∠BOA = 90 °+∠C/2， ∠AOC = 90 °+∠B/2例3：已知：如图8，在△ABC 中，∠C=90°，∠A 和∠B 的平分线相交于P 点，PE ⊥AB 于E 点，BC=3，AC=4，求BE AE ⋅的值.例4：已知：如图9，△ABC 三边长分别为,,BC a AC b AB c ===，I 为△ABC 的内心，且I 在△ABC 的边B C A CA B 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c aAE AF +-==.图10四、三角形的外心三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个交点称为三角形的外心.1、三角形的三边垂直平分线必交于一点已知：如图10，在△ABC 中，AB,AC 的垂直平分线DO,EO 相交于点O求证：O 点在BC 的垂直平分线上证明：连结AO,BO,CO ，∵DO 垂直平分AB ，∴AO=BO ∵EO 垂直平分AC ，∴AO=CO∴BO=CO 即O 点在BC 的垂直平分线上2、三角形外心的性质(1).三角形的外心到三个顶点的距离相等，都等于三角形的外接圆半径R ，即OA=OB=OC=R; (2).锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合;(3).∠BOC=2∠BAC ，∠AOB=2∠ACB ，∠COA=2∠CBA.例5：已知：△ABC 中，AB=AC=13，BC=10. 求：（1）△ABC 内切圆的半径r ； （2）△ABC 外接圆的半径R.例6：已知△ABC 的重心和内心为同点O ，求证：△ABC 为正三角形.图11 练习1.若想在一块质地均匀的三角形木板上穿一根线，使它水平地悬在空中，则穿线的位置应该是三角形木板的（ ）A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心2.如图11，D 是△ABC 的边BC 上的上点，点E 、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心，连结EF 交AD 于点G ，则GADG___________.3.若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.4． （1） 若三角形ABC 的面积为S ，且三边长分别为a b c 、、，则三角形的内切圆的半径是___________;（2）若直角三角形的三边长分别为a b c 、、（其中c 为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________. 并请说明理由.5.求证：三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．。

平面向量与三角形“四心”（较全面）一、“四心”概念（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心1）：外心到三角形各顶点的距离相等.二、“四心”的充要条件（1）⇔=++→→→→0OC OB OA 是△ABC 的重心.【证法1】：设()y x O ,，()11,y x A ，()22,y x B ，()33,y x C⇔=++→→→→0OC OB OA ()()()()()()⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-00321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔是的重心.【证法2】：∵→→→→→→=+=++02ODOAOCOBOA,∴→→=ODAO2∴A,O,D三点共线，且O分AD为2：1，∴是△ABC的重心.（2）⇔⋅=⋅=⋅→→→→→→OA OC OC OB OB OA 为△ABC 的垂心.【证明】：如图,O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ，D 、E 是垂足.→→→→→→→→→→→⊥⇔=⋅=-⇔⋅=⋅AC OB CA OB OC OA OB OC OB OB OA 0)(同理→→⊥OB OA ，⇔⊥→→AB OC O 为△ABC 的垂心. (3) ⇔=++→→→→0OC c OB b OA a O 为△ABC 的内心. 【证明】：∵bAC c AB →→,分别为→→AC AB ,方向上的单位向量，bACc AB →→+平分BAC ∠,(λ=→AO )bAC c AB →→+，令c b a bc ++=λ cb a bcAO ++=→)(bAC c AB →→+,化简得→→→→=++++0)(AC c AB b OA c b a ,→→→→=++0OC c OB b OA a .（4）⇔==→→→||||||OC OB OA 为△ABC 的外心.三、“四心”的向量表达1.⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=→→→→→→)(31)(31BC BA BO AC AB AO O 为△ABC 的重心；【证】：由),0[,sin sin +∞∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→λλC b AC B c AB OA OP ，即)(sin →→→+=AC B A C b AP λ，故→AP 与→→+AC AB 共线，又→→+AC AB 过BC 中点D ，故P 点的轨迹也过中点D ， 故点P 过三角形的重心．2. ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00AC BO BC AO O 为△ABC 的垂心.（1）由C B A S S S AOB AOC BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆⇒→→→→=++0tan tan tan OC C OB B OA A . （2）222222→→→→→→+=+=+B A OC CA OB BC OA .【证】：由⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→AC b B A c OA OP λ知，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→→→AC b B B A c C AP cos cos λ， =⋅→→BC AP )cos cos (→→→→⋅+⋅⋅BC AC bB C B AB c C λ 0)cos cos cos cos (=+-=C B C B a λ，故→AP 与向量→BC 垂直， 故点P 的轨迹过垂心．【证】：由),0[,2sin 2sin 22+∞∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→λλC b AC B c AB OA OP 知，,2sin 2sin 22⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→→→C b AC B c AB AP λ故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=⋅→→→→→→C b BC AC B c BC AB BC AP 2sin 2sin 22λ，则0)sin sin (2=+-=⋅→→C b a B c a BC AP λ， 故点P 轨迹过三角形的垂心．【解】：AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足.→→→→→⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+BC C AC AC B AB AB cos ||cos ||C AC BC AC B AB BC AB cos ||cos ||→→→→→→⋅+⋅=C AC C BC AC B AB B BC AB cos ||cos ||||cos ||cos ||||→→→→→→⋅+⋅-=0=+-=→→BC BC ∴点的轨迹一定通过△ABC 的垂心.3. ⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=>+=→→→→→→→→→→0),||||(0),||||(t BC BCBA BA t BO AC AC AB AB AO λλO 为△ABC 的内心；（1）c b a S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆⇒→→→→=++0sin sin sin OC C OB B OA A（2）→→→→→→→→→→→→→→→→=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅0||||||||||||CB CB CA CAOC BC BC BA BA OB AC AC AB AB OA【解】：由),0[,sin sin 22+∞∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→λλC b AC B c AB OA OP 知，)0)(||||(sin >+=→→→→→λλAC AC AB AB B c AP ， 故动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心.满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→→→||||AC AC AB AB OA OP λ，),0[+∞∈λ ，则点的轨迹一定通过△ABC 的____.【解】：∵如图,设||,||→→→→→→==AC AC AF AB ABAE 分别为→→AC AB ,方向上的单位向量， 易知四边形AETF 是菱形,∴||||→→→→+AC AC AB AB 平分BAC ∠,∴点的轨迹一定通过△ABC的内心.4.两点分别是△ABC的边上的中点,且⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅⋅=⋅→→→→→→→→OA EO OC EO OC DO OB DO O 为△ABC 的外心； (1)0=++→∆→∆→∆OC S OB S OA S AOB AOC BOC (外心向量定理） (2)由AOB AOC BOC S S S AOB AOC BOC ∠∠∠=∆∆∆sin :sin :sin ::C B A 2sin :2sin :2sin =⇒→→→→=⋅+⋅+⋅02sin 2sin 2sin OC C OB B OA A .四、欧拉线及其向量法证明三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线叫三角形的欧拉线. 在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心.求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2. 【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系。

四心的向量表示方法引言：在数学和计算机科学中，向量是一种重要的数学工具，可以用来表示物理量、数据集以及抽象的概念等。

四心是指一个由四个关键点组成的几何结构，它在图像处理、机器学习和计算机视觉等领域发挥着重要的作用。

本文将介绍四心的向量表示方法，以及其在实际应用中的意义和优势。

一、四心的定义和特性四心是指一个由四个关键点组成的几何结构，其中包括内心、垂心、外心和重心。

这四个点具有以下特性：1. 内心是指由三角形的三条角平分线的交点构成的点，它到三角形的三个顶点的距离相等。

2. 垂心是指由三角形的三条边的垂直平分线的交点构成的点，它到三条边的距离相等。

3. 外心是指由三角形的三条边的中垂线的交点构成的点，它到三个顶点的距离相等。

4. 重心是指由三角形的三个顶点的中点构成的点，它到三个顶点的距离成比例。

二、四心的向量表示方法为了方便计算和使用，我们可以将四心表示为向量的形式。

下面是四心的向量表示方法：1. 内心的向量表示方法：内心的向量表示方法是将内心的坐标表示为三个顶点坐标的线性组合，即：内心坐标 = (顶点1坐标 + 顶点2坐标 + 顶点3坐标) / 32. 垂心的向量表示方法：垂心的向量表示方法是将垂心的坐标表示为三个顶点坐标的线性组合，即：垂心坐标 = (顶点1坐标 + 顶点2坐标 + 顶点3坐标) / 33. 外心的向量表示方法：外心的向量表示方法是将外心的坐标表示为三个顶点坐标的线性组合，即：外心坐标 = (顶点1坐标 + 顶点2坐标 + 顶点3坐标) / 34. 重心的向量表示方法：重心的向量表示方法是将重心的坐标表示为三个顶点坐标的线性组合，即：重心坐标 = (顶点1坐标 + 顶点2坐标 + 顶点3坐标) / 3三、四心的应用意义和优势四心的向量表示方法在实际应用中具有以下意义和优势：1. 方便计算和使用：四心的向量表示方法可以简化计算过程，减少了对复杂几何结构的处理和计算。

2. 提高效率和精度：四心的向量表示方法可以提高计算效率和精度，减少计算误差和数据处理的复杂性。

向量中三角形四心的结论和推导一、引言在平面几何中，一个三角形有四个特殊的点，它们分别是三角形的重心、外心、内心和垂心。

这些点被称为三角形的四心。

在向量中，我们也可以推导出三角形的四心的坐标。

二、定义1. 向量向量是一个有大小和方向的量，通常用箭头表示。

在平面直角坐标系中，一个向量可以表示为(x, y)，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的投影长度。

2. 三角形三角形是由三条线段连接而成的图形。

它有三个顶点和三条边。

3. 重心重心是连接三角形每个顶点与对边中点所得线段交于一点的点。

4. 外心外接圆是通过三角形每个顶点并且垂直于对边所得圆。

外接圆圆心就是外心。

5. 内心内切圆是切于三角形每一条边并且内部没有其他点在其内部所得圆。

内切圆圆心就是内心。

6. 垂心垂足分别位于每条高线上，高线即从某个顶点垂直于对边所得线段。

7. 四边形四边形是由四条线段连接而成的图形。

它有四个顶点和四条边。

8. 向量的运算向量的加法：向量相加就是将它们的坐标对应位相加。

向量的减法：向量相减就是将它们的坐标对应位相减。

向量的数量积：两个向量之间的数量积等于这两个向量模长之积与这两个向量夹角余弦值之积。

三、结论1. 重心三角形ABC三个顶点坐标分别为A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)。

则重心G坐标为：G = ((x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3)2. 外心三角形ABC三个顶点坐标分别为A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)。

则外心O坐标为：OA = OB = OC = R其中R为外接圆半径，有以下公式：R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC)其中a、b、c分别为三角形ABC三条边长度，A、B、C分别为对应角度。

O = ((x1^2+y1^2)(y2-y3)+(x2^2+y2^2)(y3-y1)+(x3^2+y3^2)(y1-y2))/(2(x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2))), ((x1^2+y1^2)(x3-x2)+(x2^2+y2^2)(x1-x3)+(x3^2+y3^2)(x2-x1))/(2(y1(x3-x2)+y2(x1-x3)+y3(x2-x1)))其中，(x,y)为向量的坐标。

专题02 平面向量解析三角形的“四心”一．“四心”的概念介绍及平面向量表示1. 重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1.⇔=++O 是ABC ∆的重心.2. 垂心——高线的交点：高线与对应边垂直.⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.3. 内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等． 设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是ABC ∆的内心.O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心.4. 外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等．==⇔O 为ABC ∆的外心.二．考点讲解 考点一：三角形的重心例1：在ABC ∆中，已知 AB a =，BC b =，G 为ABC ∆的重心，用向量,a b 表示向量AG =______. 【答案】2133a b 【分析】利用平面向量的基本定理，结合重心性质即可得解.【详解】由重心的性质可知()111333BG BA BC b a =+=-， 所以11213333AG AB BG a b a a b =+=+-=+.故答案为：2133a b 【点睛】本题考查了重心的几何性质和平面向量基本定理，属于基础题.例2：若P 是ABC ∆内部一点，且满足2PA PB CB +=，则ABP ∆与ABC ∆的面积比为_______. 【答案】13【分析】利用向量的加法运算得出PA PB CP +=，取AB 的中点为O ，进而得出点P 为ABC ∆的重心，根据重心的性质即可得出答案.【详解】2PA PB CB PA PB CB BP CP +=⇒+=+= 取AB 的中点为O ，则2PA PB PO += 即2PO CP =，则点P 为ABC ∆的重心根据重心的性质可得，点P 到AB 的距离是点C 到AB 的距离的13则13ABP ABC S S ∆∆= 故答案为：13【点睛】本题主要考查了根据向量关系判断三角形的重心，属于常考题.考点二：三角形的垂心例3：已知点P 是ABC ∆所在平面内一点，且满足()()cos cos AB AC AP R AB BAC Cλλ=+∈，则直线AP 必经过ABC ∆的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】D【分析】两边同乘以向量BC ，利用向量的数量积运算可求得0AP BC ⋅=从而得到结论． 【详解】()cos cos AB AC AP R AB B AC C λλ⎛⎫⎪=+∈ ⎪⎝⎭两边同乘以向量BC ,得AP BC ∴⊥(1t ∈即点P 在BC 边的高线上，所以P 的轨迹过△ABC 的垂心， 故选D.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题． 考点三：三角形的内心例4：O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，[)0,μ∈+∞，则P 点的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 【分析】先根据||ABAB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC→方向上的单位向量，确定||||A A B A A C C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，再由AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭可得到AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，可得答案．【详解】解：||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，∴||||A AB A AC C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，又AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，∴AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴向量AP →的方向与BAC ∠的角平分线一致∴P 点的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算和向量的数乘，以及对三角形内心的理解，考查化简运算能力． 考点四：三角形的外心例5：在ABC ∆中，2AC =，6BC =，60ACB ∠=︒，点O 为ABC ∆所在平面上一点，满足OC mOA nOB =+（,m n ∈R 且1m n +≠）． （1）证明：11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心，求m 、n 的值； （3）若点O 为ABC ∆的外心，求m 、n 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）1m =-，1n =-；（2）3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【分析】（1）根据条件OC mOA nOB =+,结合向量的加法运算,化简即可证明. （2）根据重心的向量表示为0OA OB OC ++=,即可求得m 、n 的值. （3）根据点O 为ABC ∆的外心,求得21||2CO CB CB ⋅=,21||2CO CA CA ⋅=,CA CB ⋅,再根据已知分别求得CO CB ⋅,CO CA ⋅,结合平面向量基本定理即可求得m 、n 的值. 【详解】（1）CO mAO nBO =+()()m AC CO n BC CO =+++mAC mCO nBC nCO =+++即CO mAC mCO nBC nCO =+++ 所以CO mCO nCO mAC nBC --=+ 则()1m n CO mAC nBC --=+ 所以11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心则0OA OB OC ++= 因为OC mOA nOB =+ 所以0mOA nOB OC --+= 则1m =-,1n =-（3）由O 是ABC 的外心 得21||182CO CB CB ⋅==,21||22CO CA CA ⋅==,6CA CB ⋅=, 所以,1111m n CO CB CA CB CB CB m n m n m n CO CA CA CA CB CAm n m n ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎪+-+-⎨⎪⋅=⋅+⋅⎪+-+-⎩即23321m n m n -=⎧⎨+=-⎩,解得3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查了平面向量加法和减法的运算,三角形重心和外心的向量表示,对向量线性运算的化简要熟练掌握,属于中档题.三．课后作业1．在ABC ∆中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．重心 B ．内心C ．外心D ．垂心【答案】A【分析】设sin sin a B b A CH ==，则()mCP a b CH=+，再利用平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，即可得答案；【详解】如图，sin sin a B b A CH ==，∴()m OP OC a b CH =++，()mCP a b CH=+， 由平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，∴P 的轨迹一定通过ABC 的重心.故选：A.【点睛】本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.2．已知点O 是ABC ∆所在平面上的一点，ABC 的三边为,,a b c ，若0a OA bOB c OC →→→→++=，则点O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B【分析】在AB ，AC 上分别取单位向量,AD AE →→，作AF AD AE →→→=+，则AF 平分BAC ∠，用,,OA AB AC →→→表示出,OB OC →→代入条件式，用,AB AC →→表示出AO→，则可证明A ，F ，O 三点共线，即AO 平分BAC ∠．【详解】在AB ，AC 上分别取点D ，E ，使得AB AD c →→=，AC AE b →→=，则||||1AD AE →→==．以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADFE ，如图，则四边形ADFE 是菱形，且AB AC AF AD AE c b→→→→→=+=+．AF ∴为BAC ∠的平分线．0aOA bOB cOC →→→→++=()()0a OA b OA AB c OA AC →→→→→→∴⋅+⋅++⋅+=，即()0a b c OA b AB c AC →→→→++++=，∴()b c bc AB AC bc AO AB AC AF a b c a b c a b c c b a b c→→→→→→=+=+=++++++++．A ∴，O ，F 三点共线，即O 在BAC ∠的平分线上．同理可得O 在其他两角的平分线上，O ∴是ABC 的内心．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题.3．点M ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，满足MA MB MC ++=0，|NA NB NC ==∣，且PA PB ⋅=PB PC PC PA ⋅=⋅，则M 、N 、P 依次是ABC ∆的（）A ．重心，外心，内心B ．重心，外心，垂心C ．外心，重心，内心D ．外心，重心，垂心【答案】B【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案． 【详解】解：0MA MB MC ++=，∴MA MB MC +=-，设AB 的中点D ，则2MA MB MD +=，C ∴，M ，D 三点共线，即M 为ABC ∆的中线CD 上的点，且2MC MD =．M ∴为ABC 的重心．||||||NA NB NC ==， ||||||NA NB NC ∴==，N ∴为ABC 的外心；PA PB PB PC =，∴()0PB PA PC -=，即0PB CA =，PB AC ∴⊥， 同理可得：PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴为ABC 的垂心；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题． 4．（多选）已知M 为ABC ∆的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．MA MB MC == B ．0MA MB MC ++= C ．1233CM CA CD =+ D ．2133BM BA BD =+ 【答案】BC【分析】由题可知M 是三边中线的交点，且在中线三等分点处，由此依次计算判断即可得出结果. 【详解】M 为△ABC 的重心，∴M 是三边中线的交点，且在中线三等分点处，对于A ，由于△ABC 为任意三角形，故中线不一定相等，则,,MA MB MC 不一定相等，故A 错误； 对于B ，D 为BC 的中点，2MB M MD C +∴=，2MA MD =-，0MA MB MC ++=∴，故B 正确；对于C ，()22123333CM CA AM CA AD CA CD CA CA CD =+=+=+-=+，故C 正确； 对于D ，()22123333BM BA BA BA B AM AD BD BA A BD +=+=+-==+，故D 错误. 故选：BC.5．ABC ∆中，3AB =，6AC =，G 为ABC ∆的重心，O 为ABC ∆的外心，则AO AG ⋅=______． 【答案】152【分析】根据三角形的外心的性质，得出212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，由三角形的重心的性质，得出1()3AO AG AO AB AC ⋅=⋅+，通过向量的数量积运算，即可求出AO AG ⋅的值. 【详解】解：因为G 为ABC 的重心，O 为ABC 的外心，所以212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，所以111()333AO AG AO AB AC AO AB AO AC ⋅=⋅+=⋅+⋅221166AB AC =+93615662=+=， 即152AO AG ⋅=. 故答案为:152．【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，考查三角形的重心和外心的向量表示，考查计算能力. 6．已知A ，B ，C 是平面内不共线的三点，O 为ABC ∆所在平面内一点，D 是AB 的中点，动点P 满足()()()122123OP OD OC R λλλ⎡⎤=-++∈⎣⎦，则点P 的轨迹一定过ABC ∆的______（填“内心”“外心”“垂心”或“重心”）. 【答案】重心【分析】根据已知条件判断,,P C D 三点共线，结合重心的定义，判断出P 的轨迹过三角形ABC 的重心. 【详解】∵点P 满足()()()122123OP OD OC λλλ⎡⎤=-++∈⎣⎦R ，且()()112212133λλ-++=， ∴P ，C ，D 三点共线.又D 是AB 的中点，∴CD 是边AB 上的中线，∴点P 的轨迹一定过ABC ∆的重心. 故答案为：重心【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查三角形的重心的知识，属于基础题. 7．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG PQ λ=，将OG 用λ，OP ，OQ 表示； (2)设OP xOA =，OQ yOB =，证明：11x y+是定值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）寻找包含OG 的图形OPG ，利用向量的加法法则知OG OP PG +＝ ，再根据PG PQ λ=和PQ OQ OP -＝ 即可（2）根据（1）结合OP xOA =，OQ yOB =知：()()11OGOP OQ xOA yOB λλλλ-+-+＝＝ ，再根据G 是OAB 的重心知：()2211133233OG OM OA OB OA OB ⨯++＝＝＝ ，最后根据OA OB 、 不共线得到关于x y λ，， 的方程组即可求解 【详解】(1)解＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.(2)证明 一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x ＋λy ；① 另一方面，△G 是△OAB 的重心，△＝＝× (＋)＝＋.②而，不共线，△由①②，得解得△＋＝3(定值)．【点睛】本题考查了向量的加减法，三角形的重心的性质，平面向量的定值问题，属于基础题．。

平面几何（3）三角形的四心上期回顾说明本文中的定理性质内容较多，后续会给出证明，当然笔者遇到有趣的性质也会随时补充一、内心内心（Incenter），三角形三条内角角平分线的交点叫三角形的内心，即内切圆的圆心。

2.如何证明三角形的三条平分线相交于一点？三角形的内心I过I作三边的垂线分别交于A',B',C'.由角平分线性质可知：IA'=IB'=IC'(斯霍腾定理)，易证 IC'\bot AB,IB'\bot AC,IA'\bot BC .综上所述易得I为内切圆的圆心1.三角形的三个角的平分线相交于一点，这一点就是三角形的心。

2、三角形的内心与三角形位置关系：现有AI交BC于点D；BI交CA于点E；CI交AB于点F,三角形内接圆分别交BC,CA,AB于X,Y,Z。

（1） IX=IY=IZ（2） \frac{BD}{CD}=\frac{b}{c} (角平分线定理)（3） \frac{BX}{CX}=\frac{p-b}{p-c} ,其中 p=\frac{a+b+c}{2} 为半周长（4）\color{Blue}{AI:BI:CI=\frac{1}{sin\frac{A}{2}}:\frac{1 }{sin\frac{B}{2}}:\frac{1}{sin\frac{C}{2}}}（5） \color{Blue}{S_\Delta IBC:S_\Delta ICA:S_\Delta IAB=a:b:c}3、 r=\frac{p}{3}4、若C=90°，则 r=\frac{a+b-c}25、对于4、有更普遍的结论\color{Blue}{ r=\frac{tan\frac A2 (b+c-a)}2}6、（O是平面ABC上任意一点） O是\Delta ABC的内心\Leftrightarrow \color{Blue}{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0} }7. (点O是平面ABC上任意一点)点O是△ABC内心\Leftrightarrow \overrightarrow{OI}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrig htarrow{OC}}{a+b+c}8、 I_x=\frac{A_x+B_x+C_x}{3},I_y=\frac{A_y+B_y+C_y}{3}9、(欧拉定理) \bigtriangleup ABC中,R,r分别为外接圆\odot O半径和内接圆\odot I半径 ,则\color{Blue}{OI^2=R^2-2Rr}二、外心外心定义：指三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。

重难点突破之奔驰定理与“四心”问题【常用结论】考点一．四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．考点二．奔驰定理---解决面积比例问题(1)重心定理：三角形三条中线的交点．已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标为G (x 1+x 2+x 33，y 1+y 2+y 33)．注意：(1)在△ABC 中，若O 为重心，则OA +OB +OC =0．(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：AG =13AB +13AC．奔驰定理：S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0，则△AOB 、△AOC 、△BOC 的面积之比等于λ3:λ2:λ1奔驰定理证明：如图，令λ1OA =OA 1 ，λ2OB =OB 1 ，λ3OC =OC 1 ，即满足OA 1+OB 1+OC1=0S △AOB S △A 1OB 1=1λ1λ2，S △AOC S △A 1OC 1=1λ1λ3，S △BOC S △B 1OC 1=1λ2λ3，故S △AOB :S △AOC :S △BOC =λ3:λ2:λ1．考点三．三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0 ．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0．考点四．常见结论(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +ACAC所在的直线上．AB ⋅PC +BC ⋅PC +CA⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心．(2)外心：P A =PB =PC⇔P 为△ABC 的外心．(3)垂心：P A ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅P A⇔P 为△ABC 的垂心．(4)重心：P A +PB +PC =0⇔P 为△ABC 的重心．【奔驰定理和四心的性质及证明】1、【重心】：若O 为△ABC 重心(1)S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =1:1:1；(2)OA +OB +OC =0 ；(3)动点P 满足OP =OA +λ(AB +AC)，λ∈(0，+∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的重心(4)动点P 满足OP =OA +λAB AB sin B +ACACsin C，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心(5)重心坐标为：x A +x B +x C 3，y A +y B +y C3.2、【垂心】：若O 为△ABC 垂心(1)OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA(2)OA 2+BC 2=OB 2+CA 2=OC 2+AB2(3)动点P 满足OP =OA +λAB AB cos B +ACACcos C，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心(4)S △BOC :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C(5)tan A •OA +tan B •OB +tan C •OC =0.3、【内心】：若O 为△ABC 内心(1)S △BOC :S △COA :S △AOB =a :b :c(2)a •OA +b •OB +c •OC =0 (3)动点P 满足OP =OA+λAB|AB |+AC|AC |，λ∈[0,+∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的内心(4)OA ⋅AC |AC |-AB|AB |=OB ⋅BC|BC |-BA BA=OC ⋅CA |CA |-CB|CB |=04、【外心】：若O 为△ABC 外心(1)OA 2 =OB 2=OC 2 ；(2)动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB AB cos B +ACACcos C，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心；(3)若OA +OB ⋅AB =OB +OC ⋅BC =OA +OC ⋅AC=0，则O 是△ABC 的外心；(4)S △BOC :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ；(5)sin2A •OA +sin2B •OB +sin2C •OC =0.5、奔驰定理以及四心的向量式证明：已知O 是ΔABC 内的一点，ΔBOC ,ΔAOC ,ΔAOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，求证：S A •OA +S B •OB +S C •OC =0【解答】如图，延长OA 与BC 边相交于点D 则BDDC=S ΔABD S ΔACD =S ΔBOD S ΔCOD =S ΔABD -S ΔBOD S ACD -S ΔCOD =S CS BOD =DC BC OB +BD BC OC=S BS B +S C OB +S C S B +S COC∵ODOA =S BOD S BOA =S COD S COA =S BOD +S COD S BOA +S COA =S A S B +S C ∴OD =-S A S B +S COA∴-S A S B +S C OA =S BS B +S C OB +S C S B +S COC∴S A •OA +S B •OB +S C •OC =0推论:O 是ΔABC 平面内的一点，且x •OA +y •OB +z •OC =0，则S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =x :y :z ②S △BOC S △ABC=xx +y +z 6、【奔驰定理与三角形四心向量式】1、O 是ΔABC 的重心⇔S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =1:1:1⇔OA +OB +OC =02、O 是ΔABC 的内心⇔S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =a :b :c ⇔a •OA +b •OB +c •OC =03、O 是ΔABC 的外心⇔S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =sin2A :sin2B :sin2C⇔sin2A •OA +sin2B •OB +sin2C •OC =04、O 是ΔABC 的垂心⇔S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =tan A :tan B :tan C⇔tan A •OA +tan B •OB +tan C •OC =0证明：如图O 为三角形的垂心，tan A =CD AD,tan B =CDDB ⇒tan A :tan B =DB :ADS ΔBOC :S ΔCOA =DB :AD ∴S ΔBOC :S ΔCOA =tan A :tan B同理得S ΔCOA :S ΔAOB =tan B :tan C ，S ΔBOC :S ΔAOB =tan A :tan C ∴S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =tan A :tan B :tan C奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一重难点题型(一)四心的识别1.已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA+λAB AB cos B +AC AC cos C ，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()．A.重心B.外心C.内心D.垂心2.O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足OP =OA +λAB AB sin B +ACACsin C，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A.内心B.重心C.外心D.垂心3.O 是△ABC 所在平面上一点，若OA +OB ⋅AB =OB +OC ⋅BC =OA +OC ⋅AC=0，则O 是△ABC 的()．A.重心B.外心C.内心D.垂心4.已知O 是△ABC 所在平面上一点，若OA 2 =OB 2 =OC 2 ，则O 是△ABC 的()．A.重心B.外心C.内心D.垂心重难点题型(二)奔驰定理1.(23-24高一下·甘肃·期末)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知M 是△ABC 内一点，△BMC ，△AMC ，△AMB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，且S A ⋅MA +S B ⋅MB +S C ⋅MC =0.若M 为△ABC 的垂心，3MA +4MB +5MC=0，则cos ∠AMB =()A.-63B.-66C.66D.632.已知点P 是ΔABC 所在平面内一点，满足2P A +5PB +3PC =0，S ΔABC =s ，则S ΔPBC =3.(22-23高一下·上海奉贤·阶段练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A 、S B 、S C ，则有S A OA +S B OB +S C OC =0，设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题错误的是()A.若OA +OB +OC =0 ，则O 为△ABC 的重心B.若OA +2OB +3OC =0 ，则S A :S B :S C =1:2:3C.则O 为△ABC (不为直角三角形)的垂心，则tan ∠BAC ⋅OA +tan ∠ABC ⋅OB +tan ∠ACB ⋅OC =0D.若OA =OB =2，∠AOB =5π6，2OA +3OB +4OC =0 ，则S △ABC =924.(22-23高三上·江西·阶段练习)奔驰定理：已知点O 是△ABC 内的一点，若△BOC ,△AOC ,△AOB 的面积分别记为S 1,S 2,S 3，则S 1⋅OA +S 2⋅OB +S 3⋅OC =0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是△ABC 的垂心，且OA +2OB +3OC =0，则cos C =()A.31010B.1010C.255D.55重难点题型(三)四心的相关的计算1.(2024·新疆·二模)已知椭圆x 29+y 28=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为ΔMF 1F 2的内心和重心，则IG ⋅F 1F 2=()A.0B.1C.22D.32.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC 的外心为O ，重心为G ，垂心为H ，M 为BC 中点，且AB =5，AC =4，则下列各式正确的有．①AG ⋅BC =-3 ②AO ⋅BC=-6③OH =OA +OB +OC ④AB +AC =4OM +2HM3.(23-24高一下·四川·期末)△ABC 中，AB =2，点P 为△ABC 平面内一点，且PB ⋅BC =-12,PC ⋅BC=12,O 、H 分别为△ABC 的外心和内心，当tan ∠BAC 的值最大时，OH 的长度为()A.2-22B.3-222C.22D.14.(23-24高一下·山东烟台·阶段练习)在斜△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，46a sin2C =3a 2+b 2-c 2sin B ，b =4，点O 满足2OA +OB +OC =0 ，且cos ∠CAO =14，则△ABC 的面积为()A.152B.10C.215D.45重难点题型(四)奔驰定理与四心的综合题1.(23-24高一下·陕西西安·阶段练习)已知△ABC 中，A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ,若O ,P ,H 为△ABC 所在平面内点，则下列说法正确的个数为()①若PO =13(P A +PB +PC )，则O 为三角形ABC 的重心；②若HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2，则点H 是△ABC 的垂心；③若O 是△ABC 的外心，则sin2A ⋅OA +sin2B ⋅OB +sin2C ⋅OC =0；④若O 是△ABC 的内心，则a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0.A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ΔABC 内一点，若分别满足下列四个条件：①aOA +bOB +cOC =0 ；②tan A ⋅OA +tan B ⋅OB +tan C ⋅OC =0；③sin2A ⋅OA +sin2B ⋅OB +sin2C ⋅OC =0；④OA +OB +OC =0 ；则点O 分别为ΔABC 的()A.外心、内心、垂心、重心B.内心、外心、垂心、重心C.垂心、内心、重心、外心D.内心、垂心、外心、重心3.(2024高一下·上海·专题练习)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是△ABC 内一点，△BMC ,△AMC ,△AMB 的面积分别为S A ,S B ,S C ，且S A ⋅MA +S B ⋅MB +S C ⋅MC =0．以下命题错误的是()A.若S A :S B :S C =1:1:1，则M 为△ABC 的重心B.若M 为△ABC 的内心，则BC ⋅MA +AC ⋅MB +AB ⋅MC =0C.若∠BAC =45°,∠ABC =60°，M 为△ABC 的外心，则S A :S B :S C =3:2:1D.若M 为△ABC 的垂心，3MA +4MB +5MC =0 ，则cos ∠AMB =-664.(23-24高一下·福建莆田·期中)(多选题)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是△ABC 内一点，△BMC ，△AMC ，△AMB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，且S A ⋅MA +S B ⋅MB+S C ⋅MC =0．以下命题正确的有()A.若S A :S B :S C =1:1:1，则M 为△ABC 的重心B.若M 为△ABC 的内心，则BC ⋅MA +AC ⋅MB +AB ⋅MC =0C.若M 为△ABC 的外心，则MA +MB ⋅AB =MB +MC ⋅BC =MA +MC ⋅AC=0D.若M 为△ABC 的垂心，3MA +4MB +5MC =0 ，则cos ∠AMB =665.奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ,S B ,S C 则S ，S A ⋅OA+S B ⋅OB +S C ⋅OC=0“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedes benz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若O 是锐角△ABC 内的一点，A ，B ，C 是△ABC 的一个内角，且点O 满足则OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA，则()A.O 为△ABC 的垂心B.∠AOB =π-CC.OA :OB :OC=sin A :sin B :sin CD.tan A ⋅OA +tan B ⋅OB +tan C ⋅OC =06.(20-21高一下·江苏苏州·期中)(多选题)奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ,S B ,S C ，则S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若O 是锐角△ABC 内的一点，A ,B ,C 是△ABC 的三个内角，且点O 满足OA ⋅OB=OB ⋅OC =OC ⋅OA ，则()A.O 为△ABC 的垂心B.∠AOB =π-CC.OA :OB :OC=sin A :sin B :sin CD.tan A ⋅OA +tan B ⋅OB +tan C ⋅OC =07.(2021·四川凉山·三模)如图，P 为△ABC 内任意一点，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .总有优美等式S △PBC P A +S △P AC PB +S △P AB PC =0成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：①若P 是△ABC 的重心，则有P A +PB +PC =0 ；②若aP A +bPB +cPC =0成立，则P 是△ABC 的内心；③若AP =25AB +15AC ，则S △ABP :S △ABC =2:5；④若P 是△ABC 的外心，A =π4，P A=mPB +nPC ，则m +n ∈-2,1 .则正确的命题有.8.(23-24高一下·湖南·期中)已知△ABC 中AB =2，点D 满足BD =2DC ，且AD=AB 2⋅AC +AC 2⋅ABAB 2+AC2，点O 是△ABC 的外心，则AO ⋅BC =．。

平面向量三角形四心(有详解)平面向量三角形四心(有详解)平面向量是数学中的重要概念，可以用来表示空间中的点、线、面等几何对象。

在平面向量的运算和应用中，三角形是常见的几何形状之一。

本文将介绍平面向量与三角形四心的关系，并详细解析其性质和应用。

1. 三角形的四心概述三角形的四心是指三角形内部的四个特殊点，包括重心、外心、内心和垂心。

这四个点有着各自的特点和性质，对于研究三角形的形状和性质非常重要。

1.1 重心三角形的重心是三条中线的交点，即三角形三个顶点与对应中点的连线交于一点。

重心在三角形中心位置，对称性较强，具有重要的几何意义。

1.2 外心三角形的外心是外接圆的圆心，即三角形三个顶点的垂直平分线的交点。

外心离三角形各顶点的距离相等，是三角形的外接圆的圆心。

1.3 内心三角形的内心是内切圆的圆心，即三角形三条边的角平分线的交点。

内心到三角形三边的距离相等，是三角形的内切圆的圆心。

1.4 垂心三角形的垂心是三条高线的交点，即三角形三个顶点与对边垂线的交点。

垂心所在的直线被称为垂心线，与三角形的三条边垂直。

2. 平面向量与四心关系的性质平面向量与三角形的四心之间具有一些重要的几何性质和关系，下面将分别介绍。

2.1 重心与向量以三角形的重心为原点建立直角坐标系，三角形三个顶点的位置向量相对于重心的位置向量之和为零。

即，三角形三个顶点的位置向量和为零向量。

2.2 外心与向量三角形的三个顶点为A、B、C，以外心O为原点建立直角坐标系。

则三角形顶点A、B、C的位置向量之和等于三倍的外心O的位置向量。

即，OA + OB + OC = 3OO。

2.3 内心与向量设三角形的内心为I，以内心I为原点建立直角坐标系。

则三角形三个顶点的位置向量与对边的位置向量之和分别为倍数的内心I的位置向量。

即，AI + BI = CI = 2II。

2.4 垂心与向量以三角形的垂心为原点建立直角坐标系，三角形三个顶点的位置向量与对边垂线的位置向量之和为零。

培优专题1 平面向量与三角形的“四心”三角形的内心、外心、垂心与重心问题，尤其是与平面向量相结合后，学生考查时感觉比较棘手，错误率较高，甚至无从下手。

因此，本讲将对与“四心”有关的知识进行总结归纳，借助典型例题说明解题要领。

知识点1 三角形的内心1、内心的定义：三个内角的角平分线的交点（或内切圆的圆心).如图，点P注：角平分线上的任意点到角两边的距离相等 2、常见内心的向量表示：（1）||||||0AB PC BC PA CA PB ++=（或0aPA bPB cPC ++=）其中,,a b c 分别是ABC ∆的三边AC AB BC 、、的长 （2）(),(0,)||||AB ACAP AB AC λλ=+∈+∞，则P 点的轨迹一定经过三角形的内心 （注：向量()AB AC ABACλ+(0λ≠)所在直线过ABC ∆内心(是BAC ∠角平分线所在直线)）3、破解内心问题，主要是利用了平面向量的共线法，通过构造与角平分线共线的向量，即两个单位向量的和向量。

拓展：是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，证明的轨迹一定通过的内心． 【解析】证明：、分别表示与、方向相同的单位向量， 的方向与的角平分线方向一致； 又，； 的方向与的角平分线方向一致， 点的轨迹一定通过的内心．知识点2 三角形的外心1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或外接圆的圆心）注：外心到三角形各顶点的距离相等. 2、常用外心的向量表示：（1）222||||||OA OB OC OA OB OC ==⇔==（2）()()()0OA OB AB OB OC BC OA OC AC +⋅=+⋅=+⋅= 变形：P 为平面ABC 内一动点，若()()()()()()0OA OB PB PA OB OC PC PB OA OC PC PA +⋅−=+⋅−=+⋅−=，则O 为三角形的外心3、破解外心问题，关键是运用平面向量的加减法和数量积的运算，结合数量积的运算律从而得到三角形的外心。

奔驰定理与四心问题【考点预测】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、奔驰定理---解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点.已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标为G x 1+x 2+x 33，y 1+y 2+y 33.注意：(1)在△ABC 中，若O 为重心，则OA +OB +OC =0．(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：AG =13AB +13AC．奔驰定理：S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0，则△AOB 、△AOC 、△BOC 的面积之比等于λ3:λ2:λ1奔驰定理证明：如图，令λ1OA =OA 1 ，λ2OB =OB 1 ，λ3OC =OC 1 ，即满足OA 1+OB 1+OC1=0S △AOB S △A 1OB 1=1λ1λ2，S △AOC S △A 1OC 1=1λ1λ3，S △BOC S △B 1OC 1=1λ2λ3，故S △AOB :S △AOC :S △BOC =λ3:λ2:λ1.三、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔OA +OB +OC =0 ．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0 ．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0 ．l【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +ACAC所在的直线上.AB ⋅PC +BC⋅PC +CA ⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB=PC ⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0 ⇔P 为△ABC 的重心.l【题型归纳目录】题型一：奔驰定理题型二：重心定理题型三：内心定理题型四：外心定理题型五：垂心定理【典例例题】题型一:奔驰定理例1.(多选题)(2022·全国·高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC 、△AOC 、△AOB 的面积分别为S A 、S B 、S C ，则S A ⋅OA +S B ⋅OB+S C ⋅OC =0.若O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 是△ABC 的三个内角，且点O 满足OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA ，则( )A.O 为△ABC 的垂心B.∠AOB =π-∠ACBC.OA :OB :OC=sin ∠BAC :sin ∠ABC :sin ∠ACBD.tan ∠BAC ⋅OA +tan ∠ABC ⋅OB +tan ∠ACB ⋅OC =0例2.(多选题)(2022·全国·高三专题练习)点O 在△ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有( )A.若动点P 满足OP =OA +λAB AB sin B +ACACsin C(λ>0)，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的垂心；B.若OA ⋅AC AC -AB AB=OB ⋅BCBC -BA BA =0，则点O 为△ABC 的内心；C.若(OA +OB )⋅AB =(OB +OC )⋅BC=0，则点O 为△ABC 的外心；D.若动点P 满足OP =OA+λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.例3.(多选题)(2022·全国·高三专题练习)奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，则S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若O 、P 是锐角△ABC 内的点，A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且满足PA +PB +PC=13CA ，OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA ，则( )A.S △PAB :S △PBC :S △PCA =4:2:3B.∠A +∠BOC =πC.OA :OB :OC=cos A :cos B :cos CD.tan A ⋅OA +tan B ⋅OB +tan C ⋅OC =0例4.(多选题)(2022·浙江·高三专题练习)如图，已知点G 为△ABC 的重心，点D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且D ，G ，E 三点共线，AD =mAB ，AE =nAC，m >0，n >0，记△ADE ，△ABC ，四边形BDEC的面积分别为S 1，S 2，S 3，则()A.1m +1n =3 B.S 1S 2=mn C.S 1S 3≥45 D.S 1S 3≤45例5.(河南省安阳市2021-2022学年高一年级下学期阶段性测试(五)数学试卷)已知O 是△ABC 内的一点，若△BOC ,△AOC ,△AOB 的面积分别记为S 1,S 2,S 3，则S 1⋅OA +S 2⋅OB +S 3⋅OC =0.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O 是△ABC 的垂心，且OA +2OB +3OC =0 ，则tan ∠BAC :tan ∠ABC :tan ∠ACB =( )A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6例6.(2021·四川德阳·高一期末)已知P 是△ABC 内部一点，且PA +3 PB +5PC =0 ，则△PAB 、△PCA 、△PBC 面积之比为( )A.1：3：5B.5：3：1C.1：9：25D.25：9：1例7.(2022·安徽·芜湖一中三模(理))平面上有△ABC 及其内一点O ，构成如图所示图形，若将△OAB ，△OBC ，△OCA 的面积分别记作S c ，S a ，S b ，则有关系式S a ⋅OA +S b ⋅OB +S c ⋅OC =0．因图形和奔驰车的log o 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0，则O 为△ABC 的( )A.外心 B.内心C.重心D.垂心例8.(2022·云南·一模(理))在△ABC 中，D 是直线AB 上的点.若2BD =CB +λCA ，记△ACB 的面积为S 1，△ACD 的面积为S 2，则S 1S 2=( )A.λ6B.λ2C.13D.23例9.(2022·全国·高三专题练习)在平面四边形ABCD 中，已知△ABC 的面积是△ACD 的面积的2倍.若存在正实数x ,y 使得AC =1x -4 AB +1-1yAD成立，则2x +y 的最小值为( )A.1B.2C.3D.4例10.(2022·上海·高三专题练习)如图，P 为△ABC 内任意一点，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .总有优美等式S △PBC PA +S △PAC PB+S △PAB PC =0 成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：①若P 是△ABC 的重心，则有PA +PB +PC =0 ；②若aPA +bPB+cPC =0 成立，则P 是△ABC 的内心；③若AP =25AB +15AC ，则S △ABP :S △ABC =2:5；④若P 是△ABC 的外心，A =π4，PA=mPB +nPC ，则m +n ∈-2,1 .则正确的命题有___________.例11.(2022·江西宜春·高三期末(理))已知S △ABC =3，点M 是△ABC 内一点且MA +2MB=CM ，则△MB C 的面积为( )A.14B.13C.34D.12例12.(2022·全国·高三专题练习)已知点M 是△ABC 所在平面内一点，若AM =12AB +13AC，则△ABM与△BCM 的面积之比为( )A.83B.52C.2D.43例13.(2022·全国·高三专题练习)已知点O 为正△ABC 所在平面上一点，且满足OA +λOB +(1+λ)OC=0 ，若△OAC 的面积与△OAB 的面积比值为1:4，则λ的值为( )A.12B.13C.2D.3【方法技巧与总结】奔驰定理：如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ⋅PA +S △PAC ⋅PB+S △PAB ⋅PC =0 .由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.题型二:重心定理例14.(2022·浙江绍兴·模拟预测)已知△-ABC 是圆心为O ，半径为R 的圆的内接三角形，M 是圆O 上一点，G 是△ABC 的重心．若OM ⊥OG ，则AM 2+BM 2+CM2=___________．例15.(2022·江苏南京·模拟预测)在△ABC 中，AB ⋅AC =0，AB =3，AC =4，O 为△ABC 的重心，D 在边BC 上，且AD ⊥BC ，则AD ⋅AO______．例16.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，CB =a ，CA =b ，且OP =OC +m a a sin B +b b sin A ，m ∈R ，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心例17.(2022·全国·高三专题练习)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP=13[(1-λ)OA +(1-λ)OB +(1+2λ)·OC ]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( )A.△ABC 的内心B.△ABC 的垂心C.△ABC 的重心D.AB 边的中点例18.(2022·河北·石家庄二中模拟预测)在△ABC 中，G 为重心，AC =23，BG =2，则AB ⋅BC=_____.例19.(2022·四川达州·二模(文))在△ABC 中，G 为重心，AC =23，BG =2，则BA ⋅BC =___________.例20.(2022·全国·高三专题练习(理))在△ABC 中，点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别交线段AB ，AB 于点N ，M (M ，N 不与△ABC 的顶点重合)，则S △ANGS △CMG的最小值为___________.例21.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =1，∠ABC =60°，AC ·AB=-1，若O 是△ABC 的重心，则BO ·AC=________.例22.(2022·全国·高三专题练习)如图，O 是△ABC 的重心，AB =a ，AC =b ，D 是边BC 上一点，且BD =3DC ，OD =λa +μb ，则λ+μ=________．例23.(2022·重庆·三模)已知O 为△ABC 的重心，记OA =a ，OB =b ，则AC =( )A.-2a -bB.-a+2bC.a-2bD.2a +b例24.(2022·安徽蚌埠·模拟预测(理))已知点P 是△ABC 的重心，则下列结论正确的是( )A.sin2A PA +sin2B PB+sin2C PC =0B.sin A PA +sin B PB+sin C PC =0C.tan A PA +tan B PB+tan C PC =0D.PA +PB +PC =0例25.(2022·辽宁·二模)已知点P 为△ABC 的重心，AB =3，AC =6，A =2π3，点Q 是线段BP 的中点，则|AQ|为( )A.2B.52C.3D.32例26.(2022·全国·高三专题练习)设O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA+λ(AB +AC )，λ∈[0,+∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心例27.(2022·宁夏石嘴山·一模(理))已知G 是△ABC 重心，若AB =2，AC =10，则AG ⋅BC 的值为( )A.4B.1C.-2D.2例28.(2022·黑龙江·哈九中高三开学考试(理))数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC 的外心O ，重心G ，垂心H ，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若AB =4，AC =2，则下列各式不正确的是( )A.AG ⋅BC -4=0.B.2GO =-GHC.AO ⋅BC +6=0D.OH =OA +OB +OC例29.(2022·湖北省鄂州高中高三期末)在△ABC 中，A =π3，G 为△ABC 的重心，若AG ⋅AB =AG ⋅AC =6，则△ABC 外接圆的半径为( )A.3B.433C.2D.23例30.(2022·全国·高三专题练习(理))在△ABC 中，A =π3，O 为△ABC 的重心，若AO ⋅AB =AO ⋅AC =2，则△ABC 外接圆的半径为( )A.33B.233C.3D.433例31.(2022·全国·高三专题练习)已知△ABC 的三个内角分别为A ,B ,C ,O 为平面内任意一点，动点Р满足OP =OA +λAB AB sin B +ACAC sin C,λ∈0,+∞ 则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.垂心C.内心D.外心【方法技巧与总结】三角形的重心一定在三角形的中线上，所以，在等式中显示出的现象是两个相加的向量，前面的系数相同，还需注意两个系数相同的向量相加的同时还会产生中点．题型三：内心定理例32.(2022·全国·高三专题练习)若O 在△ABC 所在的平面内，且满足以下条件OA ⋅AC |AC |-AB|AB |=OB ⋅BC |BC |-BA BA=OC ⋅CA |CA |-CB|CB |=0，则O 是△ABC 的( )A.垂心B.重心C.内心D.外心例33.(2022·全国·高三专题练习)已知点O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λAB |AB |+AC|AC |(λ∈(0，+∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心例34.(2022·全国·高三专题练习)已知Rt △ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，I 是△ABC 的内心，P 是△IBC 内部(不含边界)的动点.若AP =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是______.例35.(2022·广西柳州·高一期中)设O 为△ABC 的内心，AB =AC =5，BC =8，AO =m AB +nBCm ,n ∈R ，则m +n =_______________例36.(2022·全国·高三专题练习)△ABC 中，a ､b ､c 分别是BC ､AC ､AB 的长度，若a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =O ，则O 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心例37.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =2AC ，动点M 满足AM ⋅(BC +AC )=0，则直线AM 一定经过△ABC 的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心例38.(2022·全国·高三专题练习)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .△ABC 内一点M 满足：a ⋅MA +b ⋅MB+c ⋅MC =0，则M 一定为△ABC 的( )A.外心B.重心C.垂心D.内心例39.(2022·全国·高三专题练习)已知O 是△ABC 所在平面上的一点,角A 、B 、C 所对的边分别为a ,b ,c ，若PO =aPA +bPB+cPC a +b +c(其中P 是△ABC 所在平面内任意一点)，则O 点是△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心【方法技巧与总结】角平分线定理：若OA =a ，OB =b ，则∠AOB 平分线上的向量OM 为λa |a |+b|b |，λ由OM 决定．角平分线定理证明：令a|a |和b |b |分别为OA 和OB 方向上的单位向量，a |a |+b |b |是以a |a |和b|b |为一组邻边的平行四边形过O 点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故a |a |+b|b |在∠AOB 平分线上，但∠AOB 平分线上的向量OM 终点的位置由OM决定．当λ=1时，四边形OA MB 构成以∠AOB =120°的菱形．题型四：外心定理例40.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =4，AC =3，A =π3，点O 为△ABC 的外心，若AO =λAB +μAC ，λ、μ∈R ，则λ=____________.例41.(2022·全国·高三专题练习)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OB +OC2+λAB AB cos B +AC AC cos C，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心例42.(2022·全国·模拟预测)在△ABC 中，AB =2，AC =23，BC =4，点O 为△ABC 的外心，则AO ⋅BC=______，P 是三角形ABC 外接圆圆心O 上一动点，则PA ⋅PB +PC的最小值为______.例43.(2022·全国·高三专题练习)设O 为△ABC 的外心，若AO =AB +2AC ，则sin ∠BAC 的值为___________.例44.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，点O 为△ABC 的外心，|AB |=6，则AB ⋅AO=______.例45.(2022·宁夏六盘山高级中学二模(理))已知△ABC 中，AB =AC =1，BC =2，点O 是△ABC 的外心，则CO ⋅AB =________.例46.(2022·全国·高三专题练习)已知在△ABC 中，AB =1，BC =6，AC =2，点O 为△ABC 的外心，若AO =sAB +tAC ，则有序实数对s ,t 为________．例47.(2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测)在△ABC 中，点O 、点H 分别为△ABC 的外心和垂心，|AB |=5,|AC |=3，则OH ⋅BC=________.例48.(2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模(文))已知△ABC 的外心为O ，若AB +AC =2AO ，且OA =AB ，则B =___________.例49.(2022·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xoy 中，OA =(1,3)，OB =(3,1)，OC =xOA +yOB(其中x ∈R ,y ∈R ).(1)若点C 在直线AB 上，且OC ⊥AB ，求x ,y 的值.(2)若点C 为ΔOAB 的外心，求点C 的坐标.例50.(2022·全国·高三专题练习)设O 为△ABC 的外心，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，若b =3， c =5，则OA ⋅BC =( )A.8B.-8C. 6D.-6例51.(2022·全国·高三专题练习)已知△ABC 的外心为O ，2AC =5BC =10，则2OC ⋅AB=( )A.11B.10C.20D.21例52.(2022·全国·模拟预测(理))在△ABC 中，∠ABC =π3，O 为△ABC 的外心，BA ⋅BO =2，BC ⋅BO =4，则BA ⋅BC =( )A.2B.22C.4D.42例53.(2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习)在△ABC 中，CA =2CB =4，F 为△ABC 的外心，则CF ⋅AB=( )A.-4B.4C.-6D.6例54.(2022·江西上饶·二模(理))已知△ABC 的外心为点O ，M 为边BC 上的一点，且BM=2MC ,∠BAC=π3,AO⋅AM =1，则△ABC 的面积的最大值等于( )A.32B.3C.368D.364例55.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，角B ,C 的边长分别为b ,c ，点O 为△ABC 的外心，若b 2+c 2=2b ，则BC ⋅AO的取值范围是( )A.-14,0B.0,2C.-14,+∞D.-14,2例56.(2022·全国·高三专题练习)已知平面向量OA ，OB 满足OA ⋅OB =0，OB=2，D 为线段OA 上一点，E 为△AOB 的外心，则OB ⋅DE的值为( )A.-2B.-43C.43D.2例57.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，设AC 2-AB 2=2AM ⋅BC，那么动点M 的轨迹必通过△ABC 的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心.【方法技巧与总结】外心定理：垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等．(1)AO ∙AB =12|AB |2，AO ∙AC =12|AC |2；BO ∙BC =12|BC |2；(2)AO ∙AF =14|AB |2+14|AC|2，BO ∙BE =14|AB |2+14|BC |2，CO ∙CD =14|BC |2+14|AC|2；(3)AO ∙BC =12|AC |2-12|AB |2，BO ∙AC =12|BC |2-12|BA |2，CO ∙AB =12|BC |2-12|AC|2．题型五：垂心定理例58.(2022·全国·高三专题练习)已知O 为△ABC 的垂心，且OA +2OB +3OC =0 ，则角A 的值为( )A.3π4B.π4C.2π3D.π3例59.(2022·全国·高三专题练习)设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP=OA +λAB AB cos B +ACAC cos C，λ∈0,+∞ ，则点P 的轨迹经过△ABC 的( )A.内心B.外心C.垂心D.重心例60.(2022·全国·高三专题练习)若O 是△ABC 的垂心，∠A =π3,sin B cos C AB +sin C cos B AC =m sin B sin CAO ，则m =( )A.1B.33C.3D.32例61.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，若OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA，则下列说法正确的是( )A.O 是△ABC 的外心B.O 是△ABC 的内心C.O 是△ABC 的重心.D.O 是△ABC 的垂心例62.(2022·全国·高三专题练习)已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且OA 2+BC 2=OB 2+CA 2=OC 2+AB 2，则O 一定为△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心例63.(2022·上海·高三专题练习)三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，那么点P 是三角形ABC 的( )A.重心B.垂心C.外心D.内心例64.(2022·全国·高三专题练习)点P 为△ABC 所在平面内的动点，满足AP =t AB AB cos B +AC AC cos C，t ∈0,+∞ ，则点P 的轨迹通过△ABC 的( )A.外心B.重心C.垂心D.内心例65.(2022·全国·高三专题练习)若H 为△ABC 所在平面内一点，且HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC2+AB 2则点H 是△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心例66.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC ，tan C =43，H 为△ABC 的垂心，且满足AH =mAB +nBC ，则m +n =___________.【方法技巧与总结】OA ⋅OB =OC ⋅OB ⇒OB ⋅(OA -OC )=0⇒OB ⋅CA =0，即OB ⊥CA。

一、知识要点1、若O 为ABC ∆内一点，则m n r S S S OC r OB n OA m OBC OAC OAB ::::0=⇔=++∆∆∆→→→2、若O 为ABC ∆的重心，则ABC OBC OAC OAB S S S S ∆∆∆∆===313、若O 为ABC ∆的垂心，则A B C S S S OBC OAC OAB tan :tan :tan ::=∆∆∆，故0tan tan tan=⋅+⋅+⋅→→→OA A OB B OC C4、若O 为ABC ∆的内心，则a b c S S S OBC OAC OAB ::::=∆∆∆，故0=⋅+⋅+⋅→→→OA a OB b OC c5、若O 为ABC ∆的外心，AB C BOC AOC AOB S S S OBC OAC OAB 2sin :2sin :2sin sin :sin :sin ::==∆∆∆故02sin 2sin 2sin=⋅+⋅+⋅→→→OA A OB B OC C二、要点证明1、若O 为ABC ∆内一点，则m n r S S S OC r OB n OA m OBC OAC OAB ::::0=⇔=++∆∆∆→→→证明：先证充分性，即已知0=++→→→OC r OB n OA m ，求证m n r S S S OBC OAC OAB ::::=∆∆∆ 如图所示，分别在射线OA ，OB 上去点1A ，1B ，使得→→=OA m OA 1，→→=OB n OB 1，并以→→11,OB OA 为邻边作平行四边形11DB OA ，连接OD ，11B A故→→→→→→-=+=+=OC r nOB OA m OB OA OD 11，因此OC r OD =。

设S S DB OA 211=，则S S S S S DB A B OA ODB D OA ====111111，mn S OB A n OB m OA AOB OB OA S OAB =⋅=⋅⋅=1111sin 21sin 21，同理mrSS nr S S OAC OBC ==,。

近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：一、重心问题三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上.例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过△ABC的（）Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为，所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选 C.点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合.二、垂心问题三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（）.A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心解析:由.即.则，所以P为的垂心. 故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合.三、内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上.例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕.A、重心B、垂心C、外心 D、内心解析：如图2所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？想想一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，这道题就迎刃而解了.四、 外心问题三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上.例4 已知O 是△ABC 内的一点，若，则O 是△ABC 的〔 〕.A ．重心 B.垂心 C.外心 D.内心解析：，由向量模的定义知到的三顶点距离相等.故是的外心 ，选C.点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合三角形的“四心”与平面向量向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。